2019届江苏省徐州市高三12月月考
数学（理）试题
数学Ⅰ试卷
一、填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1.设集合，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
解不等式得到集合A，根据函数的值域得到集合B，然后可得．
【详解】由题意得，，所以．
故答案为：．
【点睛】本题以集合的运算为载体，考查二次函数的值域和简单的绝对值不等式的解法，属于基础题．
2.已知，其中为虚数单位，则=_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先化简，求出m,n的值，即得m+n的值.
【详解】因为，所以3-mi=n+i ,所以m=-1,n=3,所以m+n=2.
故答案为：2
【点睛】本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
3.函数的定义域是，则函数的定义域为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
解不等式-1≤≤1即得函数的定义域.
【详解】由题得-1≤≤1，所以.
所以函数的定义域为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则角C＝_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据余弦定理求cosC,再根据三角形内角范围得结果.
【详解】根据余弦定理得：，
因为，所以C＝.
【点睛】本题考查余弦定理，考查基本求解能力.属基础题.
5.如图，程序执行后输出的结果为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】模拟程序的运行，可得a=5，S=1
满足判断框内的条件，执行循环体，S=5，a=4
满足判断框内的条件，执行循环体，S=20，a=3
满足判断框内的条件，执行循环体，S=60，a=3
此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为60．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
6.设函数（为常数，且）的部分图象如图所示，则的值为
_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先由周期求出ω，再由五点法作图求出φ的值．
【详解】根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，
可得?=+，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2×（﹣）+φ=0，∴φ=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法求出φ的值，属于基础题．
7.已知，，若向区域上随机投掷一点，则点落入区域的概率为．
【答案】
【解析】
试题分析：区域为一个三角形，其面积为，区域为一个三角形，其面积为，所
以点落入区域的概率为
考点：几何概型概率
8.已知满足约束条件则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示（包含边界）,由图可知,,所以目标函数可
化为,记,所以表示可行域内的点与定点P（–2,0）连线的斜率,由解得
所以B（1,2）,由解得所以C（1,3.5）,所以,结合图形可得即所以即的取值范围为.
9.已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且在区间上是单调递增，若
，则的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先将函数中的变量化简，再确定函数f（x）是在实数集R上单调递增，利用函数的单调性，即可求得x的取值范围．
【详解】∵lg2?lg50+（lg5）2=（1﹣lg5）（1+lg5）+（lg5）2=1
∴f（lg2?lg50+（lg5）2）+f（lgx﹣2）＜0，可化为f（1）+f（lgx﹣2）＜0，
∵函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，
∴f（lgx﹣2）＜f（﹣1）
∵函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是单调递增，
∴函数f（x）是在实数集R上单调递增
∴lgx﹣2＜﹣1
∴lgx＜1
∴0＜x＜10
故答案为：（0，10）．
【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，解题的关键是确定函数的单调性，化抽象不等式为具体不等式，属于基础题．
10.已知＝，且α∈，则cos＝________.
【答案】
【解析】
试题分析：，而，，所以，
考点：二倍角公式，两角和余弦公式
11.设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用a n=S n﹣S n﹣1构造新数列，即可求解数列{a n}的通项公式.
【详解】由S n=2a n+n（n∈N*），
当n=1时，可得S1=2a1+1，即a1=﹣1．
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n+n﹣（2a n﹣1+n﹣1）=2a n﹣2a n﹣1+1
即a n=2a n﹣1﹣1
可得：（a n﹣1）=2（a n﹣1﹣1）
可得{a n﹣1}是公比为2的等比数列，首项为﹣2．
∴a n﹣1=﹣2?2n﹣1．
即a n=﹣2n+1．
故答案为：
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键.
12.已知正实数满足，则的最小值为____
【答案】
【解析】
【分析】
构造与已知条件有关的等式关系．x+y=，利用基本不等式的性质即可解决．
【详解】∵x＞0，y＞0，∴2x+y＞0，2x+3y＞0，x+y＞0，
+=1，x+y=，
那么：x+y=（x+y）×1=×（+）
=（1+）
=
∵=1，当且仅当2x=y=时取等号．
所以：x+y≥．
故x+y的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题考查了整体思想的构造和转化．构造出与已知条件的形式．利用基本不等式的性质求解．属于中档题．
13.已知函数,如果存在实数,其中,使得,则的取值范围是
___________.
【答案】
【解析】
作出函数的大致图象,如图,由图象可知时,,,
,即,所以,设,则
,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以
时,有最小值,又,即的取值范围为.
14.设函数，则满足的的取值范围是．
【答案】
【解析】
试题分析：，函数在上单调递增，且
，或，解得或．
考点：利用导数解不等式
二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答
．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15.如图，在四棱锥中，平面平面，BC//平面PAD，,．
求证：（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
试题分析：（1）由BC//平面PAD可得BC//AD，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）过P作PH
AB于H,由条件可得平面，从而可证得BC PH，又BC PB,故有BC 平面PAB，所以平面PBC 平面PA B .
试题解析：
(1)因为BC//平面PAD,
而BC平面ABCD,平面ABCD平面PAD = AD,
所以BC//AD，
又因为AD 平面PBC,BC平面PBC,
所以平面
(2)过P作PH AB于H,
因为平面平面,且平面平面=AB,
所以平面
因为BC 平面ABCD,
所以BC PH.
因为,
所以BC PB,
而,
于是点H与B不重合,即PB PH = H.
因为PB,PH 平面PAB,
所以BC 平面PAB
因为BC 平面PBC,
故平面PBC 平面A B.
点睛：
（1）直线与平面平行的主要判定方法
①定义法。
①判定定理：证明这条直线与平面内的一条直线平行；
③面与面平行的性质：当两平面平行时，则一个平面内的直线与另一个平面平行。（2）两平面垂直的判定主要方法
①定义法：两个平面所成的二面角是直角；
①面面垂直的判定定理：证一个平面经过另一平面的垂线．
16.在中，角所对的边分别是，且
（1）求角；
（2）若，试求的最小值．
【答案】（1）．（2）
【解析】
在化简时一般切化弦，再根据正弦定理得三角形边的比值等于其相对应角A,B,C的正弦值的比值，将代数式中三角函数值化成正余弦值；求时通常通过平方，转化为来解决。
解：（1），即，
∴，∴．∵，∴．……………7分
（2），
．
∵，∴，∴．从而．
∴当＝1，即时，|m n|取得最小值．所以，．
17.如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：的左顶点作直线，与椭圆和轴正半轴分别
交于点，．
（1）若，求直线的斜率；
（2）过原点作直线的平行线，与椭圆交于点，求证：为定值．
【答案】（1）（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）设直线,代入椭圆方程得由，有，可得出直线的斜率；
（2）设直线l斜率为k，联立方程组分别求出AP，AQ，MN，代入计算化简即可得出结论．
试题解析：（1）依题意，椭圆的左顶点，
设直线的斜率为，点的横坐标为，
则直线的方程为．①
又椭圆：，②
由①②得，，
则，从而．
因为，所以．
所以，解得（负值已舍）．
（2）设点的横坐标为．结合（1）知，直线的方程为．③
由②③得，．
从而，即证．
18.如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5 千米，BC＝8 千米，CD＝3 千米．现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/时．
(1)若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；
(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由路程、速度、时间关系可得关系式：，解简单含绝对值不等式即可，注意单位
统一（2）首先乙先到达D地，故＜2，即v＞8．然后乙从A到D的过程中与甲最大距离不超过5千米：分三段讨论①当0＜vt≤5，由余弦定理得甲乙距离(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB≤25，②当5＜vt≤13，构造直角三角形得甲乙距离(vt－1－6t)2＋9≤25，②当5＜vt≤13，由直角三角形得甲乙距离(12
－6t)2＋(16－vt)2≤25，三种情况的交集得8＜v≤．
试题解析：解：（1）由题意，可得AD＝12千米．
由题可知
解得．
（2）经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．
由于乙先到达D地，故＜2，即v＞8．
①当0＜vt≤5，即0＜t≤时，
f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝(v2－v＋36) t2．
因为v2－v＋36＞0，所以当t＝时，f(t)取最大值，
所以(v2－v＋36)×()2≤25，解得v≥．
②当5＜vt≤13，即＜t≤时，
f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6)2(t－)2＋9．
因为v＞8，所以＜，(v－6)2＞0，所以当t＝时，f(t)取最大值，
所以(v－6)2(－)2＋9≤25，解得≤v≤．
③当13≤vt≤16，≤t≤时，
f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，
因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在(，)递减，所以当t＝时，f(t)取最大值，
(12－6×)2＋(16－v×)2≤25，解得≤v≤．
因为v＞8，所以 8＜v≤．
考点：实际应用题，分段函数求函数最值
19.设数列的前n项和为，数列满足: ,且数列的前n项和为.
(1)求的值；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，……余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前n项和为，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
(1)给n取值求出的值.(2)由题得数列是等比数列.(3)证明当
n=2k-1 时,. 当n=2k 时,,综合即得.
【详解】(1)由题意得: ;
当n=1时,则有: 解得: ;
当n=2时,则有: ,即,解得: ;
。
(2) 由① 得:
②
② - ①得: ,
即: 即:;
,由知:
数列是以4为首项,2为公比的等比数列.
(3)由(2)知: ,即，
当n≥2时, 对n=1也成立,
即(n，
∴数列为,它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；
∴当n=2k-1
时,
，
∴当n=2k 时,
，
，
.
.
【点睛】本题主要考查数列性质的证明，考查等比数列求和和分组求和，考查数列范围的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
20.已知函数，．
（1）当时，求的单调增区间；
（2）若恰有三个不同的零点（）．
①求实数的取值范围；
②求证：．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接利用导数求函数的单调递增区间. （2）①关于的方程在上有三个不同的解．即关于的方程在上有三个不同的解．令，,再利
用导数研究函数F(x)的图像和值域，即得a的取值范围. ②当时，
．令，则，即，分析得到，，
代入化简即证.
【详解】（1）当时，，定义域为．
．
所以，在上单调递增；
即的单调增区间为.
（2）①由题意可得，关于的方程在上有三个不同的解．即关于的方程在上有三个不同的解．
令，．
所以．
显然，当时，，证明如下：
令，．
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增．
所以当时，取最小值．
所以，当时，．
令，可得或．
将x,h1(x),h(x)变化情况列表如下
极大值
又当
所以，实数的取值范围为．
②由①可知，当时，．
令，则，
即，，．
不妨设，则．
又，，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
显然，当时，；当时，．
所以，．
所以
．
即．
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数证明等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
第Ⅱ卷（附加题共40分）
21.如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的切线，连接AD交⊙O于E，若BD∥CE，AB交CE于M，求证：.
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
连接CB,先证明∠ACB=∠ABD，所以△ACB∽△ABD，所以，即
得证.
【详解】连接CB,
因为AB为⊙O的直径，BD是⊙O的切线，所以
因为BD∥CE，所以
因为AB交CE于M，所以M为CE的中点，
所以AC=AE，。
因为BD是⊙O的切线，所以∠ABD=90°
因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠ACB=∠ABD.
因为，所以△ACB∽△ABD，所以，所以
即
【点睛】本题主要考查平面几何圆的知识，考查相似三角形的判定和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
22.已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点．
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量．
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）由可解得；（2）矩阵的特征多项式为
，令，得矩阵的特征值为与，再分别求其相应的特征向量.
试题解析：
（1）由
（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为
令，得矩阵的特征值为与
当时，
矩阵的属于特征值-1的一个特征向量为；
当时，
矩阵的属于特征值4的一个特征向量为.
23.已知圆的极坐标方程为，求的最大值.
【答案】.
【解析】
【分析】
先化简方程得到圆的直角坐标方程为，再求圆上的点到原点距离的最大值得解. 【详解】原方程化为
即，
∴圆的直角坐标方程为，
圆心M(2 , 2)，半径为，∴。
【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查圆中的距离的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.
24.已知均为正数，求证：.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由柯西不等式得 ,化简即得.
【详解】由柯西不等式得
则 ,
即。
【点睛】本题主要考查综合法证明不等式,考查柯西不等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
25.设为整数，集合中的数由小到大组成数列．
（1）写出数列的前三项；
（2）求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由于r，s，t为整数，且0≤t＜s＜r，下面对r进行分类讨论：r最小取2时，符合条件的数a有一个，当r=3时，符合条件有的数a有3个，由此求得数列{a n}的前三项．（2）同理可得r=4时，r=6时，r=7时，分别算出符合条件的数a的个数，最后利用加法原理计算即得．
【详解】（1）∵r、s、t为整数且0≤t＜s＜r，∴r最小取2，此时符合条件的数a有=1；
当r=3时，s，t 可在0，1，2中取，符合条件有的数a有=3；
故数列{a n}的前三项为：20+21+22=7，20+21+23=11，20+22+23=13．
（2）同理，r=4时，符合条件有的数a有=6；
r=5时，符合条件有的数a有=10；
r=6时，符合条件有的数a有=15；
r=7时，符合条件有的数a有=21；
因此，a36是r=7中的最小值，即 a36=20+21+27=131．
【点睛】本题主要考查两个基本计数原理及数列的通项公式等基本概念，既要会合理分类，又要会合理
分步，一般是先分类，后分步．
26.如图，过抛物线上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点.
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值。
【答案】（1）y1＋y2＝4.（2）6
【解析】
(1)因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线C：y2＝4x上，所以A，B，k PA＝，同理k PB＝，依题意有k PA＝－k PB，因为＝－，所以y1＋y2＝4
(2)由(1)知k AB＝＝1，设AB的方程为y－y1＝x－，即x－y＋y1－＝0，P到AB的距离为d＝
，AB＝·＝|y1－y2|＝2|2－y1|，所以S△PAB＝××2|2－y1|＝|－4y1
－12||y1－2|＝|(y1－2)2－16|·|y1－2|，令y1－2＝t，由y1＋y2＝4，y1≥0，y2≥0，可知－2≤t≤2.S△PAB
＝|t3－16t|，因为S△PAB＝|t3－16t|为偶函数，只考虑0≤t≤2的情况，记f(t)＝|t3－16t|＝16t－t3，f′(t)＝16－3t2>0，故f(t)在[0，2]是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)＝24，故S△PAB的最大值为6