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2017年高考(文)数学一轮复习第6节二次函数与幂函数

第6节二次函数与幂函数

【选题明细表】

基础对点练(时间:30分钟)

1.(2015南安月考)已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),若f(m)=3,则实数m的值为( D )

(A) (B)±(C)±9 (D)9

解析:由函数f(x)=xα过点(4,2)可得4α=22α=2,

所以α=,所以f(x)=,故f(m)==3?m=9.

2.(2015福州模拟)下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是

( B )

(A)y=(B)y=x4

(C)y=x-1(D)y=x3

解析:根据幂函数y=x n的性质,当n>0时,图象过(0,0),(1,1)点;当

n<0时,图象过点(1,1),排除C,而A,B,D中只有B是偶函数.

3.抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象限,与x轴的两个交点分别位于原点两侧,则a,b,c的取值范围是( B )

(A)a<0,b<0,c<0

(B)a<0,b>0,c>0

(C)a<0,b<0,c>0

(D)a<0,b>0,c<0

解析:由题意,抛物线开口向下,故a<0.由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧,得ac<0,所以c>0.再由顶点在第一象限得->0,所以b>0.

4.(2016龙岩模拟)已知二次函数y=x2-kx+k+5在(-∞,1]上为减函数,则k的取值范围是( A )

(A)[2,+∞) (B)(2,+∞)

(C)(-2,+∞) (D)[-2,+∞)

解析:由题意知二次函数开口向上,对称轴为x=,二次函数

y=x2-kx+k+5在(-∞,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数.所以≥1,即k≥2.故选A.

5.(2015桂林质检)若幂函数f(x)=(m2-m-1)x m在(0,+∞)上为增函数,则实数m等于( A )

(A)2 (B)-1 (C)3 (D)-1或2

解析:由题意有m2-m-1=1得m=-1或m=2,又幂函数为(0,+∞)上的增函数,所以f(x)=x2,所以m=2,故选A.

6.(2015青岛高三模拟)设α∈,则使幂函数y=xα为奇函数且在(0,+∞)上单调递增的α值的个数为( C )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:若幂函数y=xα为奇函数,同时在(0,+∞)上单调递增,α的取值可以为1,3.

7.(2015珠海模拟)已知幂函数y=f(x)的图象过点(,),则log4f(2)的值为.

解析:设f(x)=xα,由图象过点(,),得()α==()?α

=,log4f(2)=log4=.

答案:

8.(2015合肥模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R.若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)= .

解析:由题意知

解得

所以f(x)=x2+2x+1.

答案:x2+2x+1

9.(2015南京模拟)已知a=(),b=(),c=log2,则a,b,c从小到大用“<”号排列为.

解析:因为幂函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,

所以()<(),

即a0,

又因为对数函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,

所以c=log2

答案:c

10.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值g(a).

解:因为函数y=x2-2x=(x-1)2-1.

所以对称轴为直线x=1,而x=1不一定在区间[-2,a]内,应进行讨论. 当-2

则当x=a时,y min=a2-2a;

当a≥1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,y min=-1.

综上,g(a)=

11.点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,)在幂函数g(x)的图

象上.

(1)求f(x),g(x)的解析式;

(2)当x取何值时有:①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);

③f(x)

解:(1)设f(x)=x a,得2=()a,解得a=2,即f(x)=x2.

设g(x)=x b,将(-2, )代入g(x)=x b中,

得=(-2)b,解得b=-2,即g(x)=x-2.

(2)在同一坐标系下作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象如图所示.

由图象可知:①当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);

②当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);

③当-1

能力提升练(时间:15分钟)

12.(2015漳州模拟)函数y=ax2+a与y=(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )

解析:当a>0时,二次函数y=ax2+a的图象开口向上,且对称轴为x=0,顶点坐标为(0,a),故排除A,C;当a<0时,二次函数y=ax2+a的图象开口向下,且对称轴为x=0,顶点坐标为(0,a),函数y=的图象在第二、四象限,故排除B.

13.(2016阜阳模拟)已知f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则t的取值范围为( D )

(A)[-1,2] (B)[-1,0] (C)[1,2] (D)[0,2]

解析:由于当x>0时,f(x)=x++t在x=1时取得最小值为2+t,

由题意当x≤0时,f(x)=(x-t)2,

若t≥0,此时最小值为f(0)=t2,故t2≤t+2,

即t2-t-2≤0,解得-1≤t≤2,此时0≤t≤2;

若t<0,则f(t)

14.(2015江苏五校联考)已知函数f(x)=mx2+(2-m)x+n(m>0),当-1≤x

≤1时,|f(x)|≤1恒成立,则f(= .

解析:由题意得

|f(0)|≤1?|n|≤1?-1≤n≤1;

|f(1)|≤1?|2+n|≤1?-3≤n≤-1,

因此n=-1,

所以f(0)=-1,f(1)=1.

由f(x)的图象可知:要满足题意,

则图象的对称轴为直线x=0,所以2-m=0,m=2,

所以f(x)=2x2-1,

所以f(=-.

答案:-

15.已知函数y=a2x+2a x-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14,求a的值.

解:令a x=t,则y=t2+2t-1.

①当a>1时,因为x∈[-1,1],所以a x∈[,a],

y=t2+2t-1=(t+1)2-2在[,a]上是增函数,

所以当t=a时,y max=(a+1)2-2=14,

解得a=3或a=-5(舍去).

②当0

所以y max=(+1)2-2=14.

解得a=或a=-(舍去).

综合①②可得a=3或a=.

16.(2015江西赣州十二县(市)期中联考)已知函数

g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设

f(x)=.

(1)求a,b的值;

(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值

范围.

解:(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,

因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,

故即

解得

(2)f(x)=x+-2,

所以f(2x)-k·2x≥0可化为2x+-2≥k·2x,

即1+()2-2·≥k,

令t=,则k≤t2-2t+1,

因为x∈[-1,1],所以t∈[,2],记h(t)=t2-2t+1,则h(t)max=h(2)=1,所以k≤1.

故k的取值范围是(-∞,1].

精彩5分钟

1.(2015山东诊断)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(,),则k+α等于( C )

(A)(B)1 (C)(D)2

解题关键:已知函数为幂函数得出k=1是本题的关键.

解析:由幂函数的定义知k=1.又f()=,

所以()α=,解得α=,从而k+α=.

2.(2015松原模拟)设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( C )

(A)f(m+1)≥0 (B)f(m+1)≤0

(C)f(m+1)>0 (D)f(m+1)<0

解题关键:本题需要结合对称轴x=-,利用数形结合分析求解.

解析:

因为f(x)的对称轴为x=-,f(0)=a>0,

所以f(x)的大致图象如图所示.

由f(m)<0,得-1

所以m+1>0,

所以f(m+1)>f(0)>0.

3.(2015咸阳模拟)对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( B )

(A)(1,3) (B)(-∞,1)∪(3,+∞)

(C)(1,2) (D)(-∞,1)∪(2,+∞)

解题关键:本题的解题关键是将关于x的函数转化为关于a的函数进行求解.

解析:令g(a)=x2+(a-4)x+4-2a

=(x-2)a+x2-4x+4,

因为对于a∈[-1,1],

函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零, 则

解得x<1或x>3.

课时跟踪检测(十二) 二次函数与幂函数

课时跟踪检测（十二）二次函数与幂函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数y ＝x 的图象是( ) 解析：选B 由幂函数y ＝x α，若0＜α＜1，在第一象限内过(1,1)，排除A 、D ，又其图象上凸，则排除C ，故选B. 2．(2018·丽水调研)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R)，对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )成立，在函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的一个不可能是( ) A ．f (－1) B ．f (1) C ．f (2) D ．f (5) 解析：选B 由f (2＋t )＝f (2－t )知函数y ＝f (x )的图象对称轴为x ＝2. 当a >0时，易知f (5)＝f (－1)>f (1)>f (2)；当a <0时，f (5)＝f (－1)

∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)． 4．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈ [a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为____________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈????－9 4，－2，故当m ∈????－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2 －5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：??? ?－9 4，－2 5．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________. 解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上，所以f (2)＝t ＋4＝0，所以t ＝－4. 答案：－4 二保高考，全练题型做到高考达标 1．已知f (x )＝x ，若00，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )