解题研究课程小论文
平面向量问题的两种常规解法
数师132 ******** 刘宸
“平面向量”是高中数学知识体系的重要组成部分，江苏高考每年都考，一般在填空题中出现，也可能和其它知识相结合在解答题中出现。掌握灵活、多样、实用的解题方法和策略是解决平面向量问题的重要条件。
下面编者将从2016江苏高考数学卷填空题第13题出发，向读者展示如何用“转化合思想”和“坐标化思想”解决平面向量问题。
一、 试题展示
（2016江苏卷13）如图，在ABC ?中，D 是BC 中点，F E ,是AD 上两个三等分点,4=??→??→?CA BA ，1-=??→??→?CF BF ，则?→
??→??CE BE 的值是_________.
二、解法展示
解法一：（转化法）令b DB a DF ==?→??→
?,，则b DC -=?→?，a DE 2=?→?，a DA 3=?→?，则 b a BA -=?→?3，b a CA +=?→?3 ，b a BE -=?→?2，b a CE +=?→?2，b a BF -=?→?，b a CF +=?→? 则229b a CA BA -=??→??→?，22b a CF BF -=??→??→?
A
x
由4=??→??→?CA BA ，1-=??→
??→?CF BF 可得，4922=-b a ，122-=-b a
解得：852=a ，8132=b 因此87813854422=-?=-=??→
??→?b a CE BE
解法二：（坐标法）如图，以D 为原点建立直角坐标系。
设),(b a A =，)0,(c B -=，)0,(c C =。 由于F E ,是AD 上两个三等分点
故)32,32(b a E =，)31,31(b a F = 则),(b c a BA +=?→?，),(b c a CA -=?→?，
)32,32(b c a BE +=?→?，)32,32(b c a CE -=?→?， )31,31(b c a BF +=?→?，)31,31(b c a CF -=?→? 由
1992
22-=+-=??→
??→?b c a CF BF 4222=+-=??→??→?b c a CA BA 可解得： 84522=
+b a ，8132=c ， 则8
781384594)(94222=-?=-+=??→??→?c b a CE BE 三、解题反思
解法一利用“转化合思想”解题，是解决平面向量问题的常规套路。利用三角形法则，向量共线定理，三角形的中线向量性质以及向量模的运算转化为向量的运算等都是进行向量转化的常用技巧。
但是编者认为本题用转化法有难度，不容易做出来。体现在：
1. 转化的方向容易不对路。有的学生由D 是BC 中点，F E ,是AD 上两个三等分
点联想到点F 是ABC ?的重心，由此构造AC AB ,边上的中点，连线，将图画得面目全非，误入歧途。也有学生看到题目“4=??→??→?CA BA ，1-=??→??→?CF BF ，求?→??→??CE BE 的值”时，可能想通过将?→??→?CE BE ,用?→??→??→??→?CF CA BF BA ,,,表示出来，进而求出?→??→??CE BE 的值，事实上，此法涉及到多组向量间的互相转化，耗时耗力，越化越繁，很难得到结果。
2. 转化的过程可能不简洁。转化主要有化未知为已知，化难为易的功能。其实它还有化繁为简的功能，这是是学生容易忽视的。当不同字母表示的向量其实是同一个或者正好是方向相反的向量时，如果仍旧采用原字母表示，解题过程会越写越乱，最终两眼一抹黑，容易放弃解答。
本题的解法一就将转化化归的化繁为简功能展现得淋漓尽致。首先将两个大写字母表示的向量用一个小写字母表示出来，接着利用向量共线定理将不同字母表示出的向量相同或相反向量用同一个字母表示出来，这是简化的关键。待这个步骤完成之后，学生会有“拨开云雾见太阳”的感觉，接下来的解题会非常顺畅，通过这样的向量表示方法的转化，学生很容易看出题设中给定的两个向量的数量积有平方差公式的形式，进而列式用二元一次方程组求解，再带回待求式子，得出结果。
事实上，就本题而言，建系求解更加容易。
本题要求?→??→??CE BE 的值，抛出来的是个代数问题，我们要想方设法将向量问题代数化，而坐标是向量代数化的表达形式，可以利用向量的坐标进行向量的各种运算。向量坐标化是将几何问题代数化的过程，建系求解可以尝试。
在建立坐标系之前，应认真观察图形的特征，合理地选取坐标原点，要使运算尽可能简便。本题中观察发现线段BC 关于中点D 对称，若选取D 点为原点，不仅C B ,两点的坐标可以只用一个字母表示出来，而且由于F E ,是AD 上两个三等分点，有?→??→?=DF DE 2，?→??→?=DF DA 3，?→
??→??→?DA DF DE ,,就是A F E ,,三点的坐标。
选取好坐标系之后，再将相应向量的坐标表示出来，根据题目条件列式求解，
得出结果。
坐标法也有其不足之处，虽然思路明确，但是总体计算量较大。
通过转化法和坐标法的对比，反映出了数学解题的特点，思维过程复杂的方法解题步骤较简略，思路明确的方法解题步骤繁琐。
对于一般的向量问题，我们还可以采用特殊化的方法。尤其是当题目条件中出现出现“任意“等字眼或所求的问题与点、直线的位置关系，图形的形状无关的时候，可以将点和直线的位置关系特殊化，将图形的形状特殊化。但在本题中，特殊化的方法行不通，只知道向量的数量积为一定值，它与向量的长度和夹角都有关，若将ABC
看成特殊三角形，得出的结果不可靠。
对于学生而言，解题要有“目标意识”。明确问题，拿出方案，执行方案。一种方案行不通，及时掉头，重启思路。当然，一个有难度的问题的解决也需要依靠一定解题经验的支撑，学生应当多做一些习题，及时总结各种方法，为顺利解题做必要的经验储备。