第三章统计指标
统计指标是反映现象数量特征的概念和具体数值。进行统计分析时首先需要利用各种统计指标从数量方面来综合说明现象的特征。统计指标具有多种形式，包括：总量指标、相对指标、平均指标和变异指标等。
第一节总量指标
一、总量指标的概念和作用
总量指标是统计资料经过汇总整理后所得到的总和指标。其表现形式是具有计量单位的绝对数。例如，一个国家或地区的国民生产总值、人口总数和粮食总产量，一个企业的职工总数和工资总额等。它反映的是某种社会经济现象在一定时间、地点和条件下的规模和水平。
总量指标在社会经济管理中具有重要的作用。首先，总量指标是反映一个国家的国情国力、一个地区和企业单位的总体情况的基本数据。其次，总量指标是制订政策、编制计划和实行管理的重要依据，因为许多计划指标都是用总量指标的形式来规定的。最后，总量指标还是计算相对指标和平均指标的基础。
二、总量指标的种类和计算方法
（一）总量指标的种类
1. 按所反映的内容不同来分
总量指标按其所说明的总体内容的不同可分为总体单位总数和总体标志总量。总体单位总数是指总体单位的总和，如企业总数、学校总数、职工总数等。总体标志总量是指总体内各单位某一标志值的总和，简称标志总量，如工业总产值、商品零售总额、利润总额等等。
2. 按所反映的总体时间状态不同来分
总量指标按所反映的总体时间状态不同可分为时期总量指标和时点总量指标。
时期总量指标是反映社会经济现象在一段时期内发展变化的总量指标，如社会总产值、工资总额等。时期总量指标的特点是可以连续不断地计数，具有累加性，且其数值大小与时期长短直接有关，如某产品的年产量就是各季产量之和，而季度产量又等于月产量之和。
时点总量指标是反映社会经济现象在某一时刻状态的总量指标，如年末职工人数、商品库存量等。时点总量指标由于反映的是社会经济现象在某一瞬间所处的水平，因此只能间断计数。时点指标没有可加性，如各月末商品库存量之和相加并不等于年末商品库存量。
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时点指标的数值大小也与时点的间隔大小没有直接的关系，如年末职工人数不一定多于某月末职工人数。
3. 按计量单位的不同来分
总量指标总是有计量单位的。总量指标根据计量单位的不同可分为实物单位指标、货币单位指标和劳动单位指标。
实物单位指标又称实物量指标，是根据事物的属性和特点而采用的适当的实物计量单位来计量的指标。如钢材用吨、木材用立方米来计量。实物单位指标的内容具体，概念明确，但不同实物单位的指标通常无法相加，综合性差。
货币单位指标又称价值量指标，是以货币价值为尺度来计算的总量指标。它可以反映社会财富和劳动成果的价值量。如工资总额、利润总额等。以贷币单位计量的总量指标具有广泛的综合性和概括能力，但由于价值量指标脱离了物质的具体内容，比较抽象，经常难以反映具体情况。
劳动单位指标又称劳动量指标，是以劳动时间表示的总量指标。劳动量指标主要用于编制和检查基层企业的生产作业计划，如定额工时，或完成多少人月的工作量等。
（二）总量指标的计算方法
确定总量指标有两种方法：直接法和推算法。直接法就是对研究对象直接进行计量。推算法是根据社会经济现象间的各种关系或非全面调查所得到的资料来推算总量，如因素关系推算法、比例关系推算法和抽样推算法等。
三、常用的经济统计总量指标
在衡量不同国家和地区的经济发展规模和水平，以便进行国际间或地区间的比较时，主要的就采用一些总量指标。下面就是国际上常用的国民经济宏观产出和收入指标及其有关的其他一些常用的指标。
（一）国内生产总值与国民生产总值
1. 国内生产总值（Gross Domestic Product，简写为GDP）是指在一个国家或地区的领土（或辖区）范围内，由本国居民和外国居民在一定时期内生产的最终产品和提供的全部劳务价值的总和。GDP是按国土原则计算的。
2. 国民生产总值（Gross National Product，简写为GNP）是指在一个国家或地区在一定时期内由本国居民在国内或在国外从事经济活动所提供的全部社会最终产品和劳务价值的总和。GNP是按国民原则计算的。
3. 国内生产总值包括外国居民在本国从事经济活动所创造的增加值，但不包括本国居民在国外从事经济活动所创造的增加值；国民生产总值则相反。两者关系为：
GNP＝GDP＋来自国外的要素收入－支付给国外的要素收入
＝GDP＋来自国外的净要素收入（±）
要素收入是指由于提供劳动、资本、土地等有形资产、专利等特许使用权所取得的收
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入。包括工资、薪水、利润、股息、租金、特许使用费、转让费等。
（二）GDP与GNP派生的产出和收入指标
1. 国民生产净值(Net National Product，简写为NNP)。NNP是指一国或地区在一定时期内在其生产产品和提供的劳务总值中新创造的价值总和。计算公式为：
NNP＝GNP－固定资产折旧总额
＝从业人员收入总额＋利润总额＋利息＋租金
＋间接税总额＋来自国外的净要素收入
式中，间接税是指对生产经营者从事生产、销售服务活动征收的税金，但可由生产者通过含税价格转嫁给消费者，故实际上是对消费者的间接征税，与之对应的概念为直接税，即对有要素收入的所得者征税（如所得税、调节税等）由纳税人负担，不能转嫁给消费者。
2. 国民收入（National Income，简写为NI），即按要素成本价格计算的一个国家或地区在一定时期内新创造的价值之和。计算公式为：
NI＝NNP－简接税＋政府津贴
式中政府津贴是指政府为了某一经济政策（如稳定物价）用来补偿生产经营者由于产品、劳务定价低于其成本价格而蒙受损失的一种补偿。其实质是国家财政的一种政策性价格补贴。由于其来自于政府税收，不是产品或劳务销售收入的一部分；因此在按市场价格计算NNP时未予计算。计算要素所得者的实际收入时，则应计入这一部分。
3. 个人收入（Personal Income，简写为PI）是指一个国家或地区的全体社会成员在一定时期内从事各种来源获得的收入总和。计算公式为：
PI＝NI－生产经营单位未分配的利润＋政府对个人的转移支付
上式中的基本生产经营单位的未分配利润由下式决定：
基本生产经营单位的未分配利润＝企业利润＋净利息支出＋社会保险捐献
－支付给私人的利息－私人股份分红－对私人的其它支付
政府对个人的转移支付指政府和社会福利机构对私人的救济金、抚恤金、捐赠等转移支出。
4.个人可支配收入（Personal Disposable Income，简写为PDI）是指一定时期内个人收入在缴纳所得税和扣除非税支出后，个人可用于消费和储蓄的全部收入，代表了该时期的社会购买力。其计算公式为：
PDI＝PI－个人税－其它非税支出＝个人消费＋个人储蓄
式中的非税支出是指个人捐赠、汇出国外等支出；个人储蓄则既包括个人存款，也包括手存现金。
按国际通用的方法，在预测经济发展形势时，一般采用个人消费率和储蓄指标，来反映经济繁荣与萧条的态势。
储蓄率＝（个人储蓄／个人可支配收入）×100％＝１－个人消费率
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储蓄率提高意味着投资支出比率上升，预示经济复苏或繁荣；反之则预示经济萧条。
第二节 相对指标
一、相对指标的概念和作用
相对指标是用两个有关指标的比值来反映社会经济现象的数量特征和数量关系的统计指标。其表现形式是相对数。例如资金利润率、人均国民生产总值等都是相对指标。相对数有两种计量形式：一种是无名数，另一种是有名数。采用无名数计量时一般用百分数、倍数、成数和十分数等来表示。有名数即复名数，主要用于强度相对指标，如人均国民收入用“元／人”，人口密度用“人／平方公里”来表示。
相对指标的作用，首先是说明总体内部结构的特征，为深入分析事物的性质提供依据。其次相对指标将现象的绝对差异抽象化，使原来不能直接比较的经济指标有了比较的基础。最后相对指标还能说明现象的相对水平，表明事物的发展过程和发展程度反映其发展变化的趋势。
二、相对指标的种类
由于研究目的和任务不同，对比基础不同，相对指标可分为计划完成相对指标、结构相对指标、比较相对指标、强度相对指标和动态相对指标等五种。
（一）计划完成相对指标
计划完成相对指标就是把实际完成数与对应的计划任务数对比得到的相对指标，也称计划完成百分数。它表明某一时期内某种计划的完成程度。一般用百分数表示。计算公式为：
计划完成相对指标（%）＝（实际完成数／同期计划数）×100％
公式中的分子和分母在指标的涵义、计算口径、计算方法、计量单位、时间和空间范围等方面应完全一致。
计划完成相对指标既可以根据总量指标来计算，也可以根据相对指标来计算，还可以根据平均指标来计算。在检查长期计划完成指标时，有的规定计划期末应达到的水平，有的规定全期应完成的累计总数，因此检查计划完成相对指标有水平法和累计法两种方法。
1. 水平法
水平法只规定计划期末应达到的水平，适用于反映生产能力的经济指标，如钢产量、社会商品零售额等的计划完成情况的检查。其计算公式为：
%100?=
计划规定期末水平期末实际达到水平计划完成指标
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累计法
适用于规定计划期累计完成量应达到水平的情形，如固定资产投资总额、新增生产能力等。其计算公式为：
%100?=计划规定累计数
数计划期内实际累计完成计划完成指标 要计算提前完成计划的时间可以从期初往后连续考察，只要实际累计完成数达到计划规定的累计任务数，即完成计划，所余时间就为提前完成计划的时间。
（二）结构相对指标和比例相对指标
结构相对指标就是同一总体中各组（部分）的数值与总体数值之比。它表明同一总体各部分在总体中所占的比重。结构相对指标一般用百分数表示。总体中各组（部分）比重之和必须等于100％。计算公式为：
结构相对指标＝（总体各组（部分）数值／总体总数值）×100％
有时需要研究总体内部各部分之间的数量比例关系，此时分母就变为总体中另一部分的数值。这时结构相对指标就变为比例相对指标。结构相对指标是统计分析中常用的指标。它可以反映总体内部结构的特征，通过分析不同时期结构相对指标的变动可以发现事物的变化过程及其发展趋势。
（三）比较相对指标
比较相对指标是反映同一时期某一同类现象在不同空间的对比关系的综合指标。它用来反映某一同类现象在各国、各地、各单位或各组之间的数量对比关系和程度。其计算公式为：
比较相对指标＝甲空间某类指标数值／乙空间某类指标数值
在计算比较相对指标时，作为比较基数的分母既可以取一般对象，也可以取典型的标准对象。这时通常取行业先进水平，国家规定的标准或国外先进水平等，以便确定差距或反映所处的地位水平。
（四）强度相对指标
强度相对指标就是两个有联系的不同事物的数值之比。计算公式如下：
强度相对指标=某一总量指标数值／另一有联系而性质不同的总量指标数值
强度相对指标能表明现象的强度、精度和普遍程度，例如主要产品人均产量，人口密度、资金利润率等。
（五）动态相对指标
动态相对指标就是表明同一现象在不同时期的两个数值之比。它说明现象在时间上的发展程度。在统计上又称为发展速度。它用来说明某一现象发展变化的方向和程度。通常用来作为比较标准的时期叫做基期，与基期对比的时期叫做报告期，其对比结果用百分数或倍数表示。计算公式为：
动态相对指标（发展速度）=（某一现象报告期数值／同一现象基期数值）×100%
如反映我国改革开放以来国民经济的发展状况，基期应当选择改革的初始年份，如1978年。如1992年我国国民生产总值为24036亿元，1978年为3588.1亿元，则其间的发展速度就为：24036/3588.1×100%=669.88%
动态相对指标在编制动态数列和计算指数方面具有广泛的应用
三、计算和应用相对指标应当注意的问题
1. 作为对比标准的基数选择要正确
相对指标的基数是进行对比的依据和标准。若对比基数选择不当，相对指标就不能揭示现象之间真实的内在关系，甚至产生误导。如计算某地的就业率就必须把就业人数与当地具有劳动能力的法定成年人数进行比较。如把就业人数与总人口相比较显然是错误的。
2. 要保证两个对比指标的可比性
保证分子和分母的可比性是正确计算和应用相对指标的前提。可比性是指两个对比的指标在经济内容、总体范围、计算方法、计量单位和时间、地点等方面的一致性。
3. 要把相对指标和总量指标结合起来运用
相对指标具有抽象化的特点，从而掩盖了现象间绝对量的差别。为全面分析问题，应用相对指标时最好能与其基数结合起来运用，这样才能使人们形成正确的认识。例如，甲、乙两公司去年计划完成相对指标分别是150%和110%。从相对指标来看甲公司优于乙公司。但如果甲公司对比的基数是20万元，乙公司对比的基数是200万元，则两者超计划数分别是10万元和20万元。显然乙公司的绝对增长数远高于甲公司。由此可见，只有将相对数和绝对数结合起来运用，才能对事物做出正确的评价。
4. 要把多种相对指标结合起来运用
一种相对指标只能说明一方面的情况，若把多种相对指标联系起来研究就能较全面地说明事物的发展情况和规律性。例如，某公司今年的单位产品成本达到历史最低水平，说明该公司今年在降低成本方面取得了显著成绩，但是否处于同行业先进水平还必须与同行业的先进指标进行比较才能说明问题。要评价某公司生产计划的完成情况，就要全面分析产量产值计划、品种计划、劳动生产率计划、成本计划和利润计划等方面的完成情况，这样才能做出正确的评价。
第三节平均指标
一、平均指标的概念和作用
平均指标又称平均数，是指描述同质总体内现象一般水平的统计指标。如职工的平均工资，商品的平均价格等等。多数变量的分布具有“两头大、中间小”的特点，远离平均指标的标志值较少，而接近平均指标的标志值居多，是以平均值为中心分布的。所以平均
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指标也是反映总体分布的集中趋势的数值。
平均指标的主要作用首先在于把数量差异抽象化，从而说明了总体的一般水平。其次是可以用于同一总体不同时间的总体指标或不同总体的同一总体指标间的比较。还可以用于分析现象之间的依存关系和进行数量上的推算。例如，某些行业中企业的生产成本与生产规模之间存在依存关系，据此来划分企业的规模标准，并计算出各种规模企业的平均单位成本，一旦有了平均单位成本就又可以推算出某一具体企业的平均总成本了。最后平均指标还可以作为评价事物的一种标准或参考。
从计算方法上看，平均指标可分为数值平均数和位置平均数。数值平均数是根据所有单位的标志值计算的平均数，包括算术平均数、调和平均数和几何平均数。位置平均数是根据某些单位标志值在分布数列中的位置来确定的平均数，包括众数、中位数等。尽管各种平均数都是反映现象的一般水平的，但各自的计算方法不同，涵义不同，因此应用场合也不同。
二、算术平均数 算术平均数是一种最常用的平均指标。算术平均数又称均值，常用x 来表示。其计算公式是
算术平均数=总体标志总量/总体单位数
根据计算方法的不同，算术平均数又可分为简单算术平均数和加权算术平均数。
（一）简单算术平均数
根据未分组的资料计算简单算术平均数时，其计算公式如下：
n
x n x x x x n
i i n ∑==+++=121 式中：n 是观察数据的个数；
x i 是各数据的观察值或标志值。 在用SPSS 计算一组数据的算术平均数时，在输入某变量的一组观察值以后只要顺序按Analyze → Descriptive Statistics → Descriptives ，打开 Descriptives 对话框。选定变量进入Variable 栏中，再单击 Options 按钮，打开 Options 对话框，选中 Mean ，再单击主对话框中的OK 按钮，就能得到算术平均数。
（二）加权算术平均数
根据一组已经过分组的资料来计算算术平均数时，需要采用加权平均法来计算。其公式为：
∑∑===++++++=n
i i n i i i n n n f
f x f f f f x f x f x x 1121221
1 式中：f i 是代表值为x i 的组中数据出现的次数，又称为频率；
其余符号含义同上。
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（三）算术平均数的性质和应用
算术平均数有两个重要的性质。其一是各变量与平均数的离差之和等于零。平均数把各变量之间的差异全部抽象化了，使得小于平均数的各变量的负偏差等于大于平均数的各变量的正偏差。其二是各变量对于平均数的离差方之和为最小。各变量对于不是平均数的数值所计算的离差平方和总是大于以平均数为中心计算的离差平方和的。因此算术平均数是误差最小的总体代表值。
算术平均数在度量一组数据的集中化趋势时是应用最广的。这是因为任何一组数据都有一个平均数，而且只有一个平均数。计算平均数时全部数据都参加运算，用它来反映一组数据的集中化趋势的代表性比较好。但是它也有缺点，主要的问题是因为平均数是根据一组数据中的全部数据来计算的，会受到资料中那些没有代表性的极端值的影响。因此，有时在计算平均数时先剔除个别缺乏代表性的特殊值所得到的结果可能会具有更大的代表性。
三、调和平均数
调和平均数也称“倒数平均数”，它是对变量的倒数求平均数，然后再求倒数。常记作H X 。调和平均数有简单调和平均数和加权调和平均数两种。
1. 简单调和平均数
对于未分组的资料适合于计算简单调和平均数，其计算公式为：
∑=i H x n
X 1
2. 加权调和平均数
对于分组的资料适合于计算加权调和平均数，其计算公式为：
∑∑=i i
i H x f f
X
式中变量的含义同上。
3. 调和平均数的特点和应用
由于调和平均数是根据所有标志值来计算的，所以也易受极端值的影响。它受极小值的影响大于受极大值的影响。而且数列中有一个标志值为零时就无法计算调和平均数。
调和平均数的应用主要有两种情形：其一是由平均数计算平均数，其二是由相对数计算平均数。例3-2是由平均数计算平均数的例子。此时各组的标志总量已知，但只知道各组的平均数，而各组单位数未知。例3-3是由相对数计算平均数的例子。两种情形都有一个共同的特点就是计算平均数的子项已知，而母项未知。我们以子项数值为权数就需要采用调和平均数的计算方法。相反，如果我们所掌握的权数资料是基本公式的母项数值，就应该采用加权算术平均数的形式了。
例3-2。某车间工人当日每人日产量和相应组的总产资料如表3-2所示，计算人均日产量。
表3-2 每人日产量和相应组的总产量资料
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人均日产量
=7.231503555===∑∑x M M 总人数总产量（件） 例3-3。根据表3-3资料计算某工厂三个车间的平均计划完成程度指标。
平均计划完成程度指标=%1.107660
707===∑∑x M M 计划产量实际产量 四、几何平均数(略)
五、中位数
（一）中位数的概念和计算方法
将被研究对象各单位按其标志值由小到大的顺序排列后，处于数列中间位置上的标志值称为中位数。用M e 表示。如果标志值个数恰好为奇数，则中位数数值恰为(n+1)/2位置上的数值。如果标志值个数为偶数，则中位数就为最中间位置上两个数值的平均值。
对于未分组数列的中位数的求法如上所述，比较简单，但对于按组距数列方式组织起来的分组数据，计算中位数就比较繁琐。这时首先要计算向上或向下累计频数，确定中位数所在的组，然后再在假设中位数所在组所有数据的标志值都均匀分布的前提下，运用线性插值公式来求出中位数。
（二）中位数的特点
1、中位数不受极端标志值的影响。中位数是一种位置平均数，它仅受数列中间标志值的影响，因此作为标志值的平均水平有不足之处，但如果数列中存在极端的标志值，由于中位数不受其影响，作为标志值一般水平的代表是合理的。
2. 对于某些数列可能找不到合适的中位数。有些离散型整数变量的单项式数列，当分布偏态时就可能找不到合适的中位数。如表3-5是某县各乡产值上千万的工厂个数的资料。从表上看到如果把6个作为中位数，则小于6个的有10个乡，而超过6个的只有4个乡，两边频数相差很大。对这一问题就没有合适的中位数。
3. 对于某些问题，中位数的处理比平均数更为复杂。在计算中位数之前必须把数据依次加以排队，这在数据个数很多时是很费时间的。
六、众数
（一）众数的概念和计算
众数是指所研究的数据中出现次数最多的标志值，或在变量数列中频数最高的变量值。众数常用M0来表示。大多数消费者购买服装和鞋帽时所选的尺码，集市上某种产品最普遍的成交价格，大多数家庭的人口数等就都是众数的例子。
在总体单位数目多且有明显的集中趋势时，计算众数既方便且意义明确。总体单位数少，或虽多但无明显的集中趋势时就不存在众数。当出现两个或两个以上的数值都具有同样的最多的出现次数时，就可能有多个众数。由单项数列计算众数时，就把次数最多的组定为众数组。
由组距数据计算众数时，先要确定众数所在组，再在假设众数组内所有数据的标志值都均匀分布的前提下，运用线性插值公式来求众数。
(二) 众数的特点及应用
1. 众数是位置平均数，它并没有通常意义上的“平均”的含义，但在数据中出现的次数最频繁，也不会受到资料中极端值的影响，这从另一个侧面说明该数值最具有代表性。
2. 当所研究的数列中不同数值的数据出现的次数没有明显的差异时，无众数可言。
3. 对于分组数据而言，众数常常依赖于分组的情况，分组数改变时，众数可能就要有较大的变化，稳定性较差。如分布数列中出现多个众数时应重新分组，或将各组频数合并，求得一个有明显的集中趋势的分布数列，然后再求众数。
第四节变异指标
一、变异指标的概念和作用
平均指标把标志值之间的差异抽象化，反映总体的一般水平和集中趋势。但总体内各单位的标志值是参差不齐的，与平均数相比均有一定的离差。相对于平均数而言，这种离差的大小体现了一种离散趋势及其程度。从总体的分布特征看，集中趋势强，离散趋势弱；离散趋势强，集中趋势弱。它们分别从两个侧面描述了总体分布的特征，是人们了解和掌握总体分布的基本着眼点。离散趋势常用标志变异指标、也称为标志变动度来描述。
标志变异指标在统计分析中具有以下的重要作用：
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1. 它可以表明平均数的代表性程度。标志变异度大，该分布平均数的代表性程度就低；标志变异度小，该分布平均数的代表性程度就高。
例3-6。某车间两个小组各有10个工人，每个工人日产量件数如表3-6所示。两个组工人的平均日产量都是25件。但第一组工人的产量相对而言较为整齐；第二组工人的产量参差不齐，差距较大。因此第二组工人产量平均数的代表性要比第一组的差。
2. 它表明现象分布的均衡性和事物发展的稳定性程度。如例3-6中，第二组的标志变异程度大，反映其产量差异大，均衡性差，说明整体生产水平没有第一组高。
常用的标志变异指标有极差、平均差、方差和标准差以及离散系数等。
二、极差
极差（Range）又称全距，是标志值数列中最大值和最小值之差。说明被研究现象中各单位标志值的最大变动范围。通常用R来表示。
对于未分组的资料，极差的计算公式为：
极差R＝最大标志值－最小标志值
分组数列的极差计算公式为：
极差R＝最高组的上限－最低组的下限
按照这一公式计算的结果通常都要大于实际极差，它只是一个近似值。
极差的计算方法简单，但由于它是由两个极端的标志值所决定的，因此不一定能真实地反映标志值的变动状况。如两组数据的最大值和最小值可能相同，于是它们的极差相等，但是离散的程度可能相当不一致。其次，极差没有包含众多中间数值之间的差异情况，也就不能综合反映所研究对象的实际离散程度。实际上，极差所反映的只是一组数据的最大离散值。
三、平均差
平均差是指一组数据中的各数据对平均数的离差绝对值的平均数，又称平均离差。由于分布数列中的各单位的标志值对算术平均数的离差有正有负，其和为零，因此必须用离差的绝对值来计算平均差。平均差通常用A.D来表示。
对于未分组的资料采用简单平均的方法，其计算公式为：
A.D ＝
n x
x
i
∑-
式中：
i
x表示各单位的标志值；x表示各单位标志值的算术平均数；
n表示标志值的个数。
对于分组资料，应采用加权平均的形式，其计算公式为：
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43 A.D ＝∑∑-i i i f f x x
式中：i x 表示各组的标志值或平均数；x 表示各单位标志值的加权算术平均数； n 表示标志值的个数。
平均差克服了极差的缺点，将研究对象的所有标志值的差异情况都包括进去了，比较全面、客观地反映了标志的平均变动程度。而且计算简便，直观地表现了各单位标志值与其平均数的平均差异，意义明确，可以准确地综合反映总体的离差程度。但平均差要采用离差的绝对值来计算不利于进一步代数运算，在应用中受到一定的限制。
四、方差和标准差（σ２和σ）
为了克服平均差不适合代数运算的缺点，我们用各单位标志值与其算术平均数离差平方和的算术平均数来表示标志变动度。这就是方差。通常用σ２
来表示。方差的意义与平均差基本相同，只是在计算时数学处理方法不同而已。平均差取离差的绝对值来消除正负号，而方差取离差的平方来消除正负号。
对于未分组的数据其计算公式为： ()n x x i ∑-2
＝２σ
对于分组数据，计算公式为：
()∑∑-i i
i f f x x 2＝２σ
为了使统计量的单位同标志值的单位相一致，通常将方差开平方，即得到标准差σ，标准差也称为均方差。其计算公式相应地变为：
对于未分组的数据： ()σ=-∑x x
n 2
对于分组数据，计算公式为： ()∑∑-i i
i f f x x 2＝σ
由定义可知，方差和标准差所反映的是一组数据对其均值为代表的中心的某种偏离程度。而且我们可以猜测到，标准差（或方差）较小的分布一定是比较集中在均值附近的，反之则是比较分散的。
标准差也是根据全部数据来计算的，资料中的极端值对它的影响要比极差小一些，但是它也会受到极端值的一定的影响。标准差的计算要比平均差方便，因此，标准差是综合反映标志变动程度的最重要，也是最常用的指标。
在统计中我们通常用σ２
和σ分别表示总体（总体的具体概念将在下章中讨论）的方差和标准差。当总体中的个体数很大时，我们希望通过抽样，用样本标准差来估计总体的
44 标准差时，就需要计算样本的方差和标准差。但为了使估计更正确，我们需要对相应的计算公式作一调整。此时，样本的方差和标准差分别记作S 2和S ，其计算公式分别为： ()S x x n 22
1=--∑，()S x x n =--∑2
1
值得注意的是，在计算样本的方差和标准差时分母是n-1，而不是n ，其原因我们将在以后加以说明。
标准差的概念在统计上具有重要的作用。对于任意一个总体，在确定了标准差以后就可以精确地确定总体中的单位落在平均数两侧某个范围内的频率大小。统计学中的“契比雪夫定理”证明，不管是何种形状的分布，至少有75%的数值落在分布的平均数加减两个标准差的范围内。至少有89%的数值落在平均数加减三个标准差的范围内。对于正态分布的情形，至少有68%的数值落在分布的平均数加减一个标准差的范围内。至少有95%的数值落在分布的平均数加减两个标准差的范围内。至少有99%的数值落在平均数加减三个标准差的范围内。
以上介绍的方差和标准差固然可以反映数据的离散程度，但由于它们都是绝对数（平均数）指标，有不同的计量单位，代表不同实物量。其数值的大小受到所采用的计量单位的影响，只能度量对其均值的偏离程度。但若要比较两组数据的离散程度，用两个标准差直接进行比较显然就不合适了。例如，如果一个总体的标准差是20，均值是10。如果另有一个总体的标准差是30，均值是3000。如果直接用标准差来进行比较，后一总体的标准差是前一总体标准差的1.5倍，似乎前一总体的分布集中而后一总体的分布分散。但前一总体用标准差来衡量的各数据的差异量是其均值的两倍。后一总体用标准差来衡量的各数据差异是其均值的1/100，是微不足道的。可见用标准差与均值的比值大小来衡量不同总体数据的分散程度更合理。统计上把这一比例称为离散系数，或变异系数。
离散系数就是表示离散趋势的绝对数与算术平均数的比，是一个无名数，可用于比较不同数列的变异程度。通常用V 来表示。最常用的离散系数是标准差离散系数，其计算公式如下： 标准差离散系数V ＝%100?x σ
其中：σ为数组的标准差； x 为数组的平均值。
如某厂A 、B 两组工人的平均日产量x ，标准差σ与离散系数分别为：
100=A x （件），90=B x （件），4=A σ（件），78.3=B σ（件），
%0.4=A V ，%2.4=B V 。
从标准差看A 组小于B 组，但由于两组工人的平均日产不同，就不能直接推断B 组的平均日产具有较大的代表性，而采用标志的变异系数来判断就比较正确。由于A V 小于B V 说明A 组的平均日产量的代表性比B 组的要好。
小学数学六年级上册人教版第七单元扇形统计图测试卷（答案解析） 一、选择题 1．某地的地貌结构为“三山二水一平原”，如果用扇形统计图表示该地的地貌结构，则下面能大致体现这一地貌结构的是（）。 A. B. C. D. 2．周敏一个月各项消费情况如图所示，下面说法正确的是（）。 A. 从图中可以看出各项消费数额 B. 从图中可以看出总消费数额 C. 从图中可以看出餐费占总消费额的40%，且在各项消费中最多 D. 从图中可以看出周敏一个月消费的变化情况 3．在一个有48名学生的班级里选举班长，选举投票结果如下表。下面图（）表示了这一结果。 A. B. C.
D. 4．阳光小学校园里种了三种树其中有杨树20棵槐树20棵玉兰树20棵.下面统计图中能正确表示阳光小学所种树木占比情况的是（） A. B. C. D. 5．某酒精溶液是由75％的水和25％的酒精形成的。下面图（）能正确地表示这个信息。 A. B. C. D. 6．下图是某班一次数学能力测试成绩的扇形统计图，全班共有36人，则得优秀的有（）人。 A. 18 B. 9 C. 8 7．在一个40名学生的班级中选举班长，选举结果是：下面哪个圆圈图显示了这些结果？（） 张强刘莉李浩赵红 20票10票4票6票
A. B. C. 8．在一个有40名学生的班级里选举班长，选举结果如下表，下面（）图表示这一结果。 张明10 小豆20 杨杨5 丽丽5 A. B. C. D. 9．要统计一瓶果汁里的营养成分所占情况，你觉得用（）统计图比较合适。 A. 条形 B. 折线 C. 扇形 D. 复式10．六（1）班在六一儿童节前要评选一名市三好学生，采取一名学生只投一票的方式进行评选，投票结果如下表。 下面最能表示这个投票结果的是图（）。 A. B. C. 11．如图所示，如果甲校共有学生1200人，乙校共有学生1500人，那么女生多的学校是（） A. 甲校 B. 乙校 C. 一样多
医学统计学简答题 1.简述标准差、标准误的区别与联系？ 区别：（1）含义不同：标准差S表示观察值的变异程度,描述个体变量值（x）之间的变异度大小,S越大,变量值（x）越分散；反之变量值越集中,均数的代表性越强。标准误..估计均数的抽样误差的大小,是描述样本均数之间的变异度大小,标准误越大,样本均数与总体均数间差异越大,抽样误差越大；反之,样本均数越接近总体均数,抽样误差越小。 （2）与n的关系不同： n增大时,S趋于σ（恒定）,标准误减少并趋于0（不存在抽样误差）。 （3）用途不同：标准差表示x的变异度大小、计算变异系数、确定医学参考值范围、计算标准误等,标准误用于估计总体均数可信区间和假设检验。 联系：二者均为变异度指标,样本均数的标准差即为标准误,标准差与标准误成正比。 2.简述假设检验的基本步骤。 1.建立假设,确定检验水准。 2.选择适当的假设检验方法,计算相应的检验统计量。 3.确定P值,下结论 3.正态分布的特点和应用：? 特点：?1、集中性：正态曲线的高峰位于正中央,即均数所在的位置；? 2、对称性：正态分布曲线位于直角坐标系上方，以x=u为中心,左右对称,曲线两端永远不与横轴相交； 3、均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始,分别向左右两侧逐渐均匀下降；?
4、正态分布有两个参数,即均数μ和标准差σ,可记作N（μ,σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小,曲线越陡峭；σ越大,曲线越扁平； ?5、u变换：为了便于描述和应用,常将正态变量作数据转换；?? 应用：?1.估计医学参考值范围?2.质量控制?3.正态分布是许多统计方法的理论基础 4.简述参考值范围与均数的可信区间的区别和联系 可信区间与参考值范围的意义、计算公式和用途均不同。 ?1.从意义来看?95％参考值范围是指同质总体内包括95％个体值的估计范围,而总体均数95％可信区间是指?95％可信度估计的总体均数的所在范围? 2.从计算公式看?若指标服从正态分布,95％参考值范围的公式是：±1.96s。?总体均数95％可信区间的公式是：??前者用标准差,后者用标准误。前者用1.96,后者用α为0.05,自由度为v的t界值。 5.频数表的用途和基本步骤。 用途：（1）揭示资料的分布特征和分布类型；（2）便于进一步计算指标和分析处理；（3）便于发现某些特大或特小可疑值。 基本步骤：（1）求出极差；（2）确定组段，一般设8~15个组段；（3）确定组距；组距=R/组段数，但一般取一方便计算的数字；（4）列出各个组段并确定每一组段频数。 6.非参数统计检验的适用条件。 （1）资料不符合参数统计法的应用条件（总体为正态分布、且方差相等）或总体分布类型未知；（2）等级资料；（3）分布呈明显偏态又无适当的变量转换方法使之满足参数统计条件；（4）在资料满足参数检验的要求时，应首选参数法，以免降低检验效能 7.线性回归的主要用途。
扇形统计图测试题 一、填空。 1、常用的统计图有（ ）统计图，（ ）统计图，（ ）统计图。 2、如果要表示各部分数量同总数之间的关系，可以用（ ）统计图表示。 3、扇形统计图是用（ ）表示总数，用 （ ）表示各部分所占总数的百 分比。 4、如果要反映数量的增减变化情况，可以用（ ）统计图表示。 （2）（ ）的含量最多，（ ）的含量最少。 （3）兔毛含量比涤纶少占总数的（ ）%。 A 用( )统计图 B 用( )统计图 C 用( )统计图 9、要反映某食品中各种营养成份的含量，最好选用（ ）统计图。 10、用统计表表示的数量，还可以用（ ）来表示。 11、要绘制一幅能反映出全校各年级男女生人数的统计图，绘制成（ ）统 计图较好。 二、仔细分析，再解答。 1、我国国土总面积是960万平方千米。下面是我国地形分布情况统计图，请根据统计图回答问题。 1）我国山地面积占总面积的百分之几？ 2）各类地形中，什么地形面积最大？什么最小？ （3）请算出各类地形的实际面积，填入下表。 2、聪聪家2009年11月支出情况统计如下图。聪聪家2009年11月的总支出是3600元。请你回答问题。 （1）这个月哪项支出最多？支出了多少元？ （2）文化教育支出了多少元？购买衣物支出了 多少元？ （3）购买衣物的支出比文化教育支出少百分之几？ 少支出了多少元？ 3、右图是养兔专业户养的黑兔、灰兔、白兔的扇形统计图。 如果这个养兔专业户共养兔3000只，算出三种兔各养了多少只？ 4、下图是某学校教师喜欢看的电视节目统计图。 水电支出
（1）实验小学喜欢《走进科学》栏目的老师占百分之 几？ （2）喜欢的《大风车》的老师比喜欢《焦点访谈》 的 多20人，实验小学一共有多少老师？ （3）喜欢《新闻联播》的和喜欢《走进科学》的一共有多少人？ 5、下面是林场育苗基地树苗情况统 计图。 ⑴柳树有2500棵，这些树苗的总数是多 少棵？ ⑵柏树和槐树一共有多少棵？ ⑶杨树比松树多百分之几？ 6、食品公司2009年上半年生产情况统计图 2009年7月 （1）（）月份的产量最高，（）月份的产量最低。 （2）上半年平均月产量是多少吨？ （3）六月份产量比一月份增长百分之几？ 7、电视机厂去年第四季度产量用下图表示。 已知十月份的产量是十一月份的85％，十二月份比十月份增产25％ （1）十一月、十二月各生产多少台？ （2）在图上标出十一月、十二月的产量，并完成折线统计图。 扇形统计图 一．填空 1.如图1,如果用整个图表示总体,那么____扇形表示总体的 1 3 ,___扇形表示总体的 1 2 .
小学数学六年级上册第七单元扇形统计图测试题（包含答案解析） 一、选择题 1．下图是两幅扇形统计图，下列说法错误的是（）。 A. 甲、乙两班的男生可能一样多 B. 甲班的女生一定比乙班多 C. 甲班的男生一定比女生多 D. 甲班的男生占全班总人数的 2．阳光小学校园里种了三种树其中有杨树20棵槐树20棵玉兰树20棵.下面统计图中能正确表示阳光小学所种树木占比情况的是（） A. B. C. D. 3．下图是某班一次测验成绩的扇形统计图，其中得优的有12人，则全班共有（）人。 A. 10 B. 30 C. 40 4．一个鸡蛋按质量计算，蛋壳、蛋白、蛋黄约占整个鸡蛋的百分比分别为：15%、53%、32%，如果将数据画成统计图，选（）统计图较合适。 A. 条形 B. 折线 C. 扇形 D. 复式条形5．下面说法中，正确的说法是（） A. 一个不为0的数除以一个假分数，商一定大于被除数 B. 一个数的倒数一定比这个数小 C. 扇形统计图主要用来表示某个量随时间变化而发生的增减变化情况 D. 在同一个圆中，一个扇形的圆心角的度数越大，它的面积就越大 6．某校对六年级300名学生生活常识进行一次调查,得分情况如右图,则在60分以下的人数为( )。
A. 75人 B. 60人 C. 50人 7．要统计一瓶果汁里的营养成分所占情况，你觉得用（）统计图比较合适。 A. 条形 B. 折线 C. 扇形 D. 复式8．某校为表示学生体育锻炼达标情况，选用（）可以清楚地表示出“优”“良”“合格”各等次人数占全校总人数的百分比。 A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 9．六（1）班在六一儿童节前要评选一名市三好学生，采取一名学生只投一票的方式进行评选，投票结果如下表。 下面最能表示这个投票结果的是图（）。 A. B. C. 10．下面说法中，正确的是（）。 A. 读503020时，一个零都不读 B. 一个不为0的整数，它的倍数一定比它的因数大 C. 扇形统计图可以清楚地反映各部分数量与总量的关系 D. 一个圆锥，底面直径和高同时扩大2倍，体积就扩大4倍 11．如下图所示，女生多的学校是（）
一、基本概念 1.总体与样本 总体：所有同质观察单位某种观察值（即变量值）的全体 样本：是总体中抽取部分观察单位的观察值的集合 2.普查与抽样调查 普查：就是全面调查，即调查目标总体中全部观察对象 抽样调查：是一种非全面调查，即从总体中抽取一定数量的观察单位组成样本，对样本进行调查 3.参数与统计量 参数：总体的某些数值特征 统计量：根据样本算得的某些数值特征 4.Ⅰ型与Ⅱ型错误 假设检验的结论 真实情况拒绝H0不拒绝H0 H0正确Ⅰ型错误(ɑ) 推断正确(1 ?ɑ) H0不正确推断正确(1?β) Ⅱ型错误(β) Ⅰ型错误（ɑ错误）: H0为真时却被拒绝，弃真错误 Ⅱ型错误（β错误）: H0为假时却被接受，取伪错误 5.随机化原则与安慰剂对照 随机化原则:是将研究对象随机分配到实验组和对照组，使每个研究对象都有同等机会被分配到各组中去，以平衡两组中已知和未知的混杂因素，从而提高两组的可比性，避免造成偏倚。（意义:①是提高组间均衡性的重要设计方法；②避免有意扩大或缩小组间差别导致的偏倚；③各种统计学方法均建立在随机化基础上） 安慰剂对照:是一种常用的对照方法。安慰剂又称伪药物，是一种无药理作用的制剂，不含试验药物的有效成分，但其感观如剂型、大小、颜色、质量、气味及口味等都与试验药物一样，不能被受试对象和研究者所识别。（安慰剂对照主要用于临床试验，其目的在于控制研究者和受试对象的心理因素导致的偏倚，并提高依从性。安慰剂对照还可以控制疾病自然进程的影响，显示试验药物的效应） 6.误差与标准误（区分率与均数） ㈠均数 抽样误差:由个体变异产生的、随机抽样引起的样本统计量与总体参数间的差异。 标准误：是指样本均数的标准差，反映抽样误差大小的定量指标，其公式表示为S x =S/√n ㈡样本率 率的抽样误差:样本率p和总体率π的差异 率的标准误:样本率的标准差,公式为σp=√π（1-π）/n
第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。
1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。
小学数学六年级下册扇形统计图单元测试题时间：80分钟班级姓名 一、填空题。（本大题包括7个小题，共35分） 1．（3分）常用的统计图有（）统计图，（）统计图和（）统计图。 2．（6分）下面三组信息分别选用哪种统计图表示比较合适？ （1）人离不开水，成年人每天体内47%的水靠喝水获得，39%来自食物含的水，14%来自氧化时释放出的水。 选用（）统计图比较合适。 （2）华山小学五年级学生最喜欢的课外活动统计如下。 选用（）统计图比较合适。 （3）黄涛从一年级到六年级每年体检的身高记录如下。 选用（）统计图比较合适。 3. （6分）下表是宝山乡2002年、2003年各种农产品产量统计表，把下表填写 完整。 4．（6分）下图是四（1）班学生参加“2+x”活动的人数统计图。请你在统计表里填上参加各项活动的人数。
5．（8分）右图是（）统计图。喜欢语文 的人数占总数的（）%，喜欢英语的人数 占总数的（）%，喜欢数学的人数占总数 的（）%。 6.（6分）下图是六一班5位同学统计的一周丢弃塑料袋情况统计图。根据 图上提供的信息填空。 （1）这一周丢弃塑料袋最多的是( )家，有( )个。 （2）这5个家庭一周共丢弃塑料袋（）个，平均每家丢弃塑料袋（）个。 （3）如果一个塑料袋污染土地4dm2，那么，这5位同学的家庭一周丢弃的塑料袋大约会污染土地（）dm2，合（）m2。
7．（2分）植树能有效治理沙尘暴。下面是三种树在沙漠中的成活情况统计。 （1）算出每种树的成活率填在上表中。 （2）根据成活率，最适合在沙漠中种植的树是（ ）。 二、完成下面的统计表。（本大题包括2个小题，共9分） 1．（4分）下面是五（1）班图书角的书，请填上合计数。 2．（5分）下面是育新小学六年级小银行储蓄存款情况统计表。根据表中已 有数据，把统计表填写完整。 三、解决问题。（本大题包括5个小题，共56分） 1．（9分）看右图回答问题。 （1）每种颜色的面积各占圆面积的百分之几？ （2）哪两种颜色的面积占圆面积的百分比是相同的？ （3）哪种颜色的面积正好是另一种颜色面积的百分之五十？ 2．（ 12分）六 (1) 班学生血型情况如右图. (1) （4分）写出你从图中得到的4个信息。
第二单元 计量资料的统计推断 分析计算题 2.1 某地随机抽样调查了部分健康成人的红细胞数和血红蛋白量，结果见表4： 表4 某年某地健康成年人的红细胞数和血红蛋白含量 指 标 性 别 例 数 均 数 标准差 标准值* 红细胞数/1012·L -1 男 360 4.66 0.58 4.84 女 255 4.18 0.29 4.33 血红蛋白/g ·L -1 男 360 134.5 7.1 140.2 女 255 117.6 10.2 124.7 请就上表资料： (1) 说明女性的红细胞数与血红蛋白的变异程度何者为大？ (2) 分别计算男、女两项指标的抽样误差。 (3) 试估计该地健康成年男、女红细胞数的均数。 (4) 该地健康成年男、女血红蛋白含量有无差别？ (5) 该地男、女两项血液指标是否均低于上表的标准值（若测定方法相同）？ 2.1解： (1) 红细胞数和血红蛋白含量的分布一般为正态分布，但二者的单位不一致，应采用变异系数(CV )比较二者的变异程度。 女性红细胞数的变异系数0.29 100%100% 6.94%4.18 S CV X = ?=?= 女性血红蛋白含量的变异系数10.2 100%100%8.67%117.6 S CV X =?=?= 由此可见，女性血红蛋白含量的变异程度较红细胞数的变异程度大。 (2) 抽样误差的大小用标准误X S 来表示，由表4计算各项指标的标准误。 男性红细胞数的标准误0.031 X S = ==(1210/L ) 男性血红蛋白含量的标准误0.374 X S = ==(g/L )
女性红细胞数的标准误0.018X S = ==(1210/L ) 女性血红蛋白含量的标准误0.639X S = ==(g/L ) (3) 本题采用区间估计法估计男、女红细胞数的均数。样本含量均超过100，可视为大样本。σ未知，但n 足够大 ，故总体均数的区间估计按 (/2/2X X X u S X u S αα-+ , )计算。 该地男性红细胞数总体均数的95%可信区间为： (4.66－1.96×0.031 , 4.66＋1.96×0.031)，即(4.60 , 4.72)1210/L 。 该地女性红细胞数总体均数的95%可信区间为： (4.18－1.96×0.018 , 4.18＋1.96×0.018)，即(4.14 , 4.22)1210/L 。 (4) 两成组大样本均数的比较，用u 检验。 1) 建立检验假设，确定检验水准 H 0：12μμ=，即该地健康成年男、女血红蛋白含量均数无差别 H 1：12μμ≠，即该地健康成年男、女血红蛋白含量均数有差别 0.05α= 2) 计算检验统计量 22.829X X u === 3) 确定P 值，作出统计推断 查t 界值表(ν＝∞时)得P <0.001，按0.05α=水准，拒绝H 0，接受H 1，差别有统计学意义，可以认为该地健康成年男、女的血红蛋白含量均数不同，男性高于女性。 (5) 样本均数与已知总体均数的比较，因样本含量较大，均作近似u 检验。 1) 男性红细胞数与标准值的比较 ① 建立检验假设，确定检验水准 H 0：0μμ=，即该地男性红细胞数的均数等于标准值
2008-2009学年第一学期期末试卷-B 卷 概率论与数理统计 课程号： 课序号： 开课学院： 统计学院 1． 设A 、B 是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) 2． 设A 、B 是Ω中的随机事件,则A ∪B=A ∪AB ∪B ( ) 3． 若X 服从二项分布B(n,p), 则EX=p ( ) 4． 样本均值X = n 1∑ =n i i X 1 是总体均值EX 的无偏估计 （ ） 5． X ～N(μ,21σ) , Y ～N(μ,22σ) ，则 X －Y ～N(0,21σ－22σ) （ ） 二、填空题（本题共15分，每小题3分） 1．设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且 ()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________. 2．甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中 各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________. 3．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0, x x f x <
三、单项选择题（本题共15分，每小题3分） 1．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是 （A）X与Y独立. （B）() D X Y DX DY -=+. （C）() D X Y DX DY -=-. （D）() D XY DXDY =. （）2．设随机变量X的概率密度为 2 (2) 4 (), x f x x + - =-∞<<∞ 且~(0,1) Y aX b N =+，则在下列各组数中应取 （A）1/2, 1. a b ==（B ）2, a b == （C）1/2,1 a b ==-. （D ）2, a b ==（）3．设随机变量X与Y 相互独立，其概率分布分别为 01 0.40.6 X P 01 0.40.6 Y P 则有 （A）()0. P X Y ==（B）()0.5. P X Y == （C）()0.52. P X Y ==（D）() 1. P X Y ==（）4．对任意随机变量X，若E X存在，则[()] E E EX等于 （A）0.（B）.X（C）. E X（D）3 (). E X（）5．设 12 ,,, n x x x 为正态总体(,4) Nμ的一个样本，x表示样本均值，则μ的置信度为1α -的置信区间为 （A） /2/2 (x u x u αα -+ （B） 1/2/2 (x u x u αα - -+ （C）(x u x u αα -+ （D） /2/2 (x u x u αα -+（） 四、（8分）甲、乙、丙三个炮兵阵地向目标发射的炮弹数之比为1∶7∶2， 而各地每发炮弹命目标的概率分别为0.05、0.1、0.2。求 （1）目标被击毁的概率； （2）若目标已被击毁，问被甲阵地击毁的概率。
人教版六年级上册 《第7单元扇形统计图》单元检测试卷（一） 一、我会填。(每空3分，共30分) 1．下图是六(1)班同学最喜欢喝的饮料情况统计图。 (1)最喜欢喝各种饮料的人数占全班总人数的百分比之和应该是( )%。 (2)最喜欢喝( )的人数最多，占全班总人数的( )%。 (3)如果全班有40人，那么最喜欢喝奶茶的有( )人，最喜欢喝可乐的有( )人。 (4)如果最喜欢喝可乐的有9人，那么全班有( )人。 2．为了表示一年中每个月的平均气温变化情况，应绘制成( )统计图；为了表示某次测验优、良、及格、不及格的人数与班级总人数的关系，应绘制成( )统计图。 3．校园里有杨树、柳树和槐树三种树，其中杨树有60棵，占总数的30%，柳树有100棵，占总数的( )%，如果画扇形统计图，槐树部分占圆面积的( )%。 二、根据统计表填空。(每题6分，共18分) 下面是小明调查的三组数据。 1．小明8～14岁每年生日时测量的体重如下表： 从表中可以看出小明从( )岁到( )岁体重增长幅度最大。如果要用统计图表示这组数据，应该制成( )统计图。 2．小刚周日的作息时间安排如下表：
项目学习用餐文体 活动睡眠其余 占全天 时间的 百分比20% 10% ？% 37.5% 12.5% 小刚参加文体活动花了( )小时。如果要用统计图表示这组数据，应该制成( )统计图。 3．某天全班同学参加课外活动的情况统计如下表： 项目足球篮球踢毽子跳绳乒乓球其他人数18 10 4 9 7 4 他们班一共有( )人。如果要用统计图表示这组数据，应该制成( )统计图。 三、解决问题。(1，5题每题8分，其余每题12分，共52分) 1．空气的主要成分体积含量各占总体积的百分比情 况如下图。500升空气中含氧气多少升？ 2．光明小学六年级学生最喜欢的球类运动如下图。 (1)你能得到哪些信息？ (2)如果最喜欢篮球的学生有150人，你能提出一个问题并解答吗？
第二单元 计量资料的统计推断 分析计算题 2.1 某地随机抽样调查了部分健康成人的红细胞数和血红蛋白量，结果见表4： 表4 某年某地健康成年人的红细胞数和血红蛋白含量 指 标 性 别 例 数 均 数 标准差 标准值* 红细胞数/1012 ·L -1 男 360 4.66 0.58 4.84 女 255 4.18 0.29 4.33 血红蛋白/g ·L -1 男 360 134.5 7.1 140.2 女 255 117.6 10.2 124.7 请就上表资料： (1) 说明女性的红细胞数与血红蛋白的变异程度何者为大？ (2) 分别计算男、女两项指标的抽样误差。 (3) 试估计该地健康成年男、女红细胞数的均数。 (4) 该地健康成年男、女血红蛋白含量有无差别？ (5) 该地男、女两项血液指标是否均低于上表的标准值（若测定方法相同）？ 2.1解： (1) 红细胞数和血红蛋白含量的分布一般为正态分布，但二者的单位不一致，应采用变异系数(CV )比较二者的变异程度。 女性红细胞数的变异系数0.29 100%100% 6.94%4.18 S CV X = ?=?= 女性血红蛋白含量的变异系数10.2 100%100%8.67%117.6 S CV X =?=?= 由此可见，女性血红蛋白含量的变异程度较红细胞数的变异程度大。 (2) 抽样误差的大小用标准误X S 来表示，由表4计算各项指标的标准误。 男性红细胞数的标准误0.031 X S = ==(1210/L ) 男性血红蛋白含量的标准误0.374 X S = ==(g/L )
女性红细胞数的标准误0.018X S = ==(1210/L ) 女性血红蛋白含量的标准误0.639X S = ==(g/L ) (3) 本题采用区间估计法估计男、女红细胞数的均数。样本含量均超过100，可视为大样本。σ未知，但n 足够大 ，故总体均数的区间估计按 (/2/2X X X u S X u S αα-+ , )计算。 该地男性红细胞数总体均数的95%可信区间为： (4.66－1.96×0.031 , 4.66＋1.96×0.031)，即(4.60 , 4.72)1210/L 。 该地女性红细胞数总体均数的95%可信区间为： (4.18－1.96×0.018 , 4.18＋1.96×0.018)，即(4.14 , 4.22)1210/L 。 (4) 两成组大样本均数的比较，用u 检验。 1) 建立检验假设，确定检验水准 H 0：12μμ=，即该地健康成年男、女血红蛋白含量均数无差别 H 1：12μμ≠，即该地健康成年男、女血红蛋白含量均数有差别 0.05α= 2) 计算检验统计量 22.829X X u === 3) 确定P 值，作出统计推断 查t 界值表(ν＝∞时)得P <0.001，按0.05α=水准，拒绝H 0，接受H 1，差别有统计学意义，可以认为该地健康成年男、女的血红蛋白含量均数不同，男性高于女性。 (5) 样本均数与已知总体均数的比较，因样本含量较大，均作近似u 检验。 1) 男性红细胞数与标准值的比较 ① 建立检验假设，确定检验水准 H 0：0μμ=，即该地男性红细胞数的均数等于标准值
《扇形统计图》单元测试卷 一、填空（18分） 1．如果只表示各种数量的多少,可以选用( )统计图表示；如果想要表示出数量增减变化的情况，可以选用( )统计图表示；如果要清楚地了解各部分数量与总数之间的关系，可以用( )统计图表示。 2．下图是鸡蛋各部分质量统计图。从图中我们可以看出：一个鸡蛋中蛋壳的质量约占（），蛋黄的质量约占（）。如果一个鸡蛋重80克，那么这个鸡蛋中的蛋白重（）克。 3．如图，如果用整个图表示总体，那么（）扇形表示总体的；（）扇形表示总体的；剩下的C扇形表示总体的（）。 4．下图是某学校教师喜欢看的电视节目统计图。 （1）喜欢《走进科学》的老师占全体老师人数的（）%。 （2）喜欢（）节目和（）节目的人数差不多。 （3）喜欢（）节目的人数最少。如果该学校有150名老师，那么喜欢新闻联播的老师有（）人。 5．已知东湖公园实际占地120公顷，请根据以下东湖公园占地分布情况统计图填写下表。 二、选择（10分） 1．某公司有员工700人举行元旦庆祝活动（如下图），A、B、C 分别表示参加各种活动的人数的百分比，规定每人只参加一项且每人都要参加，则不下围棋的人共有( )。 A.259人 B.441 C.350人 D.490人
2．某校男生、女生人数表示在下图中的扇形区，则男生占全校人数的百分比为( )。 A.48% B.52% C.92.3% D.4% 3．六（1）班有40名学生，选举班长的得票数为：小何20票；小赵10票；小邓6票；小李4票。下列四幅图中，（ ）图准确地表示了这一结果。 A. B. C. D. 4．在“阳光体育节”活动中，某校对六（1）班、（2）班同学各50人参加体育活动的情况进行了调查，结果如下图所示。下列说法中（ ）是正确的。 A.喜欢乒乓球的人数（1）班比（2）班多 B.喜欢足球的人数（1）班比（2）班多 C.喜欢羽毛球的人数（1）班比（2）班多 D.喜欢篮球的人数（2）班比（1）班多 5．一个圆形花坛内种了三种花，用条形统计图表示各种花占地面积的关系应是（ ）。 A. B. C. D. 三、分数计算（30分） 1. 每小题4分 87－3215÷85＋16 3 （34－51×41）÷154
六年级上册小学数学人教版第七单元扇形统计图检测（含答案解析） 一、选择题 1．周敏一个月各项消费情况如图所示，下面说法正确的是（）。 A. 从图中可以看出各项消费数额 B. 从图中可以看出总消费数额 C. 从图中可以看出餐费占总消费额的40%，且在各项消费中最多 D. 从图中可以看出周敏一个月消费的变化情况 2．图书室藏书量用图来表示，如果表示3万本，那么大约表示（）本。 A. 2万 B. 1万 C. 2.4万 D. 1.5万3．下图是对一份杂志（共208页）各版块的统计结果，体育版约占（）页。 A. 10 B. 30 C. 50 D. 100 4．在一个40名学生的班级中选举班长，选举结果是：下面哪个圆圈图显示了这些结果？（） 张强刘莉李浩赵红 20票10票4票6票 A. B. C. 5．一个鸡蛋按质量计算，蛋壳、蛋白、蛋黄约占整个鸡蛋的百分比分别为：15%、53%、32%，如果将数据画成统计图，选（）统计图较合适。 A. 条形 B. 折线 C. 扇形 D. 复式条形6．在一个畜牧场养了三种牲畜（如图），图（）用扇形统计图表示了三种牲畜的关系。
A. B. C. D. 7．要统计一瓶果汁里的营养成分所占情况，你觉得用（）统计图比较合适。 A. 条形 B. 折线 C. 扇形 D. 复式8．某校为表示学生体育锻炼达标情况，选用（）可以清楚地表示出“优”“良”“合格”各等次人数占全校总人数的百分比。 A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 9．要统计永泰县各庄寨2018年国庆黄金周游客所占百分比的情况，应选用（）较合适． A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 以上都不是 10．六（1）班在六一儿童节前要评选一名市三好学生，采取一名学生只投一票的方式进行评选，投票结果如下表。 下面最能表示这个投票结果的是图（）。 A. B. C. 11．下面说法中，正确的是（）。 A. 读503020时，一个零都不读 B. 一个不为0的整数，它的倍数一定比它的因数大 C. 扇形统计图可以清楚地反映各部分数量与总量的关系 D. 一个圆锥，底面直径和高同时扩大2倍，体积就扩大4倍 12．下图是《都市晚报》一周中各版面所占比例情况统计．本周的《都市晚报》一共有206版．体育新闻约有（）版．
概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020
一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为
六年级数学（上）扇形统计图测试题（一） 一、填空。（24分） （1）用统计图表示数量之间的关系比较形象，常见的统计图有（ ）、 （ ）和（ ）。 （2)( )统计图可以清楚地反映出部分量与总量之间的关系。 （3)要能清楚地反映出事物增减变化的情况，选用（ ）统计图比较合适。 （4)12的30％是（ ）；一个数的20％是15，这个数是（ ）。 （5)扇形统计图用（ ）表示总数，用圆中（ ）表示部分所占总数的百 分数。 （6）下图是实验小学图书室的故事书、科技书和连环画三类图书的统计图，已 知三类图书共2000本。故事书有（ ）本，科技书有（ ）本，连环 画有（ ）本。 二、判断。（12分） 1、从扇形统计图中不能看出各部分的具体数量。 （ ） 2、条形统计图比扇形统计图更先进。 （ ） 3、扇形统计图中，一个圆代表%100。 （ ） 4、扇形统计图用圆柱表示就变成条形统计图。 （ ） 三、选择。（25分） 1、右图是某班一次测验成绩的扇形统计图，其中得优的有12人，则全班共有（ ）人。 A 、10 B 、30 C 、40 2、太阳是由%75的氢和%25的氦形成的。下面哪个图能正确地表示这个信息？ （ ） A 、 B 、 C 、 D 、 3、爸爸要统计小强每次数学测试成绩，看看进展情况，应绘制（ ）统计图。 A 、条形 B 、折线 C 、扇形 4、要表示某实验小学各年级学生人数同全校学生总人数的关系，应选择（ ）统计图比较合适。 A 、条形 B 、扇形 C 、折线 5、永光超市春节期间共运来水果500千克，其中运来橘子100千克，苹果250千克，那么运来的苹果 占运来水果的（ ）。 A 、%20 B 、%50 C 、%40 氦 氢 氢 氦 氢 氦 氦 氢气 良40% 优30% 及格25% 不 及 格5%
小学数学第七单元扇形统计图测试（有答案解析） 一、选择题 1．下图是两幅扇形统计图，下列说法错误的是（）。 A. 甲、乙两班的男生可能一样多 B. 甲班的女生一定比乙班多 C. 甲班的男生一定比女生多 D. 甲班的男生占全班总人数的 2．周敏一个月各项消费情况如图所示，下面说法正确的是（）。 A. 从图中可以看出各项消费数额 B. 从图中可以看出总消费数额 C. 从图中可以看出餐费占总消费额的40%，且在各项消费中最多 D. 从图中可以看出周敏一个月消费的变化情况 3．黄豆中各种营养成分所占百分比如图。400g黄豆中脂肪的含量是（）。 A. 56g B. 100g C. 144g D. 64g 4．下图是对一份杂志（共208页）各版块的统计结果，体育版约占（）页。 A. 10 B. 30 C. 50 D. 100 5．在一个40名学生的班级中选举班长，选举结果是：下面哪个圆圈图显示了这些结果？
（） 张强刘莉李浩赵红 20票10票4票6票 A. B. C. 6．在一个有40名学生的班级里选举班长，选举结果如下表，下面（）图表示这一结果。 张明10 小豆20 杨杨5 丽丽5 A. B. C. D. 7．要统计一瓶果汁里的营养成分所占情况，你觉得用（）统计图比较合适。 A. 条形 B. 折线 C. 扇形 D. 复式8．某校为表示学生体育锻炼达标情况，选用（）可以清楚地表示出“优”“良”“合格”各等次人数占全校总人数的百分比。 A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 9．六（1）班有40名学生，选举班长的得票数为：小何20票；小赵10票；小邓6票；小李4票。下列四幅图中，（）图准确地表示了这一结果。 A. B. C. 10．六(2)班在一次数学测验中的成绩统计表如下： 等级优秀良好达标未达标
中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）.
《扇形统计图》单元测试卷 一、填空 1．如果只表示各种数量的多少,可以选用( )统计图表示；如果想要表示出数量增减变化的情况，可以选用( )统计图表示；如果要清楚地了解各部分数量与总数之间的关系，可以用( )统计图表示。 2．下图是鸡蛋各部分质量统计图。从图中我们可以看出：一个鸡蛋中蛋壳的质量约占（），蛋黄的质量约占（）。如果一个鸡蛋重80克，那么这个鸡蛋中的蛋白重（）克。 3．如图，如果用整个图表示总体，那么（）扇形表示总体的；（） 扇形表示总体的；剩下的C扇形表示总体的（）。 4．下图是某学校教师喜欢看的电视节目统计图。 （1）喜欢《走进科学》的老师占全体老师人数的（）%。 （2）喜欢（）节目和（）节目的人数差不多。（3）喜欢 （）节目的人数最少。如果该学校有150名老师，那么喜欢新闻联播的老师有（）人。
5．已知东湖公园实际占地120公顷，请根据以下东湖公园占地分布情况统计图填写下表。 二、选择 1．某公司有员工700人举行元旦庆祝活动（如下图），A、B、C 分别表示参加各种活动的人数的百分比，规定每人只参加一项且每人都要参加，则不下围棋的人共有 ( )。 A.259人 B.441人 C.350 人 D.490人 2．某校男生、女生人数表示在下图中的扇形区，则男生占全校人数的百分比为( )。 A.48% B.52% C.9 2.3% D.4%
3．六（1）班有40名学生，选举班长的得票数为：小何20票；小赵10票；小邓6票；小李4票。下列四幅图中，（）图准确地表示了这一结果。 A. B. C. D. 4．在“阳光体育节”活动中，某校对六（1）班、（2）班同学各50人参加体育活动的情况进行了调查，结果如下图所示。下列说法中（）是正确的。 A.喜欢乒乓球的人数（1）班比（2）班多 B.喜欢足球的人数（1）班比（2）班多 C.喜欢羽毛球的人数（1）班比（2）班多 D.喜欢篮球的人数（2）班比（1）班多 5．一个圆形花坛内种了三种花，用条形统计图表示各种花占地面积的关系应是（）。