第五章微分方程模型5.1传染病模型
5.2经济增长模型
5.3正规战与游击战
5.4药物在体内的分布与排除5.5香烟过滤嘴的作用
5.6人口预测和控制
5.7烟雾的扩散与消失
5.8万有引力定律的发现
动态模型?描述对象特征随时间(空间)的演变过程?分析对象特征的变化规律
?预报对象特征的未来性态
?研究控制对象特征的手段
?根据函数及其变化率之间的关系确定函数
微分
方程建模?根据建模目的和问题分析作出简化假设?按照内在规律或用类比法建立微分方程
5.1 传染病模型
问题?描述传染病的传播过程
?分析受感染人数的变化规律
?预报传染病高潮到来的时刻
?预防传染病蔓延的手段
?按照传播过程的一般规律，
用机理分析方法建立模型
已感染人数(病人) i (t )?每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为λ
模型1
假设t
t i t i t t i ?=-?+)()()(λ若有效接触的是病人，则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
建模
)0(i i i dt
di
==λ∞→?∞→i t t
e
i t i λ0)(=?
si dt
di
λ=1
)()(=+t i t s 模型2
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设
1）总人数N 不变，病人和健康人的比例分别为)(),(t s t i 2）每个病人每天有效接触人数为λ, 且使接触的健康人致病
建模
t
t Ni t s t i t t i N ?=-?+)()]([)]()([λ?????=-=0
)0()1(i i i i dt di
λλ~ 日
接触率
SI 模型
t
e i t i λ-?
??
? ??-+=
1111
)(0?????=-=0
)0()1(i i i i dt di
λ模型2
1/2t m
i i 010
?
??
?
??-=-11ln 01
i t m λt m ~传染病高潮到来时刻
λ(日接触率)↓→t m ↑
1→?∞→i t Logistic 模型
病人可以治愈！
?
t=t m , di /dt 最大
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成
为健康人，健康人可再次被感染增加假设
SIS 模型3）病人每天治愈的比例为μ
μ~日治愈率
t
t Ni t t i t Ns t i t t i N ?-?=-?+)()()()]()([μλ建模μ
λσ/=λ~ 日接触率
1/μ~感染期
σ~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
?????=--=0
)0()1(i i i i i dt di
μλ
?????
≤>-
=∞1,
01,11)(σσσ
i )]11([σλ---=i i dt di 模型3
i 0
i 0
接触数σ=1 ~ 阈值
μ
λσ/=1≤σ↓
?)(t i 形曲线增长
按S t i )(?感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数
小01
i >σ1-1/σ
i 0
i i i dt di
μλ--=)1(模型2(SI 模型)如何看作模型3(SIS 模型)的特例
i
di/dt
1σ>1
i
σ>1
1-1/σ
i
t
σ≤1
di /dt < 0
模型4
传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者
SI R 模型
假设
1）总人数N 不变，病人、健康人和移出者的比例分别为)
(),(),(t r t s t i 2）病人的日接触率λ, 日治愈率μ, 接触数σ= λ/ μ
建模
1
)()()(=++t r t i t s 需建立的两个方程
)(),(),(t r t s t i
t
t Ni t t i t Ns t i t t i N ?-?=-?+)()()()]()([μλ模型4
SIR 模型
很小）
通常000)0((1r r s i =≈+无法求出的解析解)(),(t s t i 在相平面上研究解的性质
i s ~t
t i t Ns t s t t s N ?-=-?+)()()]()([λ?
??
?
?????==-=-=0
0)0(,)0(s s i i si dt ds
i si dt di
λμλ
??
??
?=-==00
11i i s ds di s s σ0
00ln
1
)()(s s
s i s s i σ+-+=模型4
???
?
?????==-=-=00)0(,)0(s s i i si dt ds
i si dt di
λμλμ
λσ/=消去dt
SIR 模型
}
1,0,0),{(≤+≥≥=i s i s i s D 相轨线的定义域
)(s i 相轨线
1
s
i
D 在D 内作相轨线的图形，进行分析
)(s i
s
10
1D
模型4
SIR 模型
相轨线及其分析
)(s i ????
?????==-=-=0
0)0(,)0(s s i i si dt ds i si dt di λμλ?????=-==00
11i i s ds di s s σ000ln 1)()(s s s i s s i σ+-+=0
ln 1
00=+-+∞∞∞s s s i s s σ满足m i i s ==,/1σ传染病蔓延传染病不蔓延
s (t )单调减→相轨线的方向
,→∞→i t P 1*
s 0
σi m
∞
s P 1: s 0>1/?→i (t )先升后降至0P : s <1/?→i (t )单调降至0
1/?~
阈值
P 3
P 4P 2S 0
∞
∞
--=
s s s s 00ln ln σ模型4
SIR 模型
预防传染病蔓延的手段
λ(日接触率)↓?卫生水平↑μ(日治愈率)↑?医疗水平↑
传染病不蔓延的条件——s 0<1/σσ的估计
ln 1
00=+-+∞
∞s s s i s σ0
i 忽略?降低s 0
提高r 0
1
000=++r i s ?提高阈值1/σ
降低σ(=λ/μ)
λ↓, μ↑
群体免疫
模型4
SIR 模型
被传染人数的估计
ln 1
000=+-+∞
∞s s s i s σ记被传染人数比例∞
-=s s x 00
)21
1(200?--σ
σs x
s x 0)1ln(10?-+s x x σ)
1
(200σ
σ-
≈s s x δ
2?x x <
i
0∞s σ
P 1
s s
?
i 0 ?0, s 0 ?1
δ小, s 0 σ?1
提高阈值1/?→降低被传染人数比例x
s 0 -1/σ= δ
5.2经济增长模型
增加生产发展经济增加投资增加劳动力提高技术?建立产值与资金、劳动力之间的关系
?研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大?调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
产值Q (t )
))
(),(()(0t L t K F f t Q F 为待定函数
资金K (t )劳动力L (t )
技术f (t )= f 0
)
(/0y g f L Q z ==1
0,
)(<<=αα
y y g 0,>????L
Q K Q 模型假设
静态模型
)
,(),(0L K F f L K Q =每个劳动力的产值L Q
z =每个劳动力的投资L
K y =z 随着y 的增加而增长，但增长速度递减
y
g (y )
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
含义？0,2
2
22
Q
K Q α
)/(0L K L f Q =Douglas 生产函数
α
α-=10),(L K f L K Q
α
α-=10),(L
K f L K Q Q K ~ 单位资金创造的产值
Q L ~ 单位劳动力创造的产值
α~ 资金在产值中的份额
1-α~劳动力在产值中的份额
更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数
,
1,0,),(00><<=f L K f L K Q βαβ
α1. Douglas 生产函数αα-==1,Q
LQ Q
KQ L
K
Q
LQ KQ L K =+
0,0=??=??L
S
K S αα-==1,Q
LQ Q
KQ L
K
r
w L K αα-=
1w ↑, r ↓, α↑
?K/L ↑
求资金与劳动力的分配比例K/L (每个劳动力占有的资金) ，使效益S 最大
资金和劳动力创造的效益
wL
rK Q S --=资金来自贷款，利率r 劳动力付工资w
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）
α
α-=
1K L Q Q L K w
r
Q Q L K =
Ly
K L
K
y ==,3) 经济(生产率)增长的条件(动态模型)
要使Q (t ) 或Z (t )=Q (t )/L (t ) 增长, K (t ), L (t )应满足的条件模型假设
?投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产)
?劳动力相对增长率为常数
)
(0y Lg f Q =α
y
y g =)(α
λLy f dt
dK 0=0,>=λλQ dt
dK
L dt
dL μ=t
e L t L μ0)(=Ly dt
dy
L dt dK μ+=
α
λLy f dt
dK 0=Ly dt
dy
L dt dK μ+=α
λμy f y dt
dy 0=+Bernoulli 方程
α
μαα
μλμλ----???
? ??-+=11)1(0100)()(t e f y f t y 0
010000000,,/Q K
L K f Q L K y λα
α
===- 00
010
K
K f y λ
α
=-α
μαμμλ---??
?
???--=11
)1(0
00])1(1[)(t e K K f t y
对于6.4节蛛网模型讨论下列问题： （1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k+1时段的价格1+k y 由第k+1和第k 时段的数 量1+k x 和k x 决定。如果设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并 与6.4的结果进行比较。 （2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和 1-k y 决定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。 解：（1） 设1+k y 由1+k x 和k x 的平均值决定，即价格函数表示为： )2 (11k k k x x f y +=++ 则 0),2 (0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),(001>-=-+ββy y x x k k 消去y, 得到 012)1(22x x x x k k k +=++++αβαβαβ ，k=1,2,…. 该方程的特征方程为 022=++αβαβλλ 与6.4节中 )2 (11-++=k k k y y g x 时的特征方程一样， 所以0<αβ<2, 即为0p 点的稳定条件。
（2）设 )2 (11k k k x x f y +=++ )2 (11-++=k k k y y g x ， 则有 0),2 (0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),2 (0101>-+=--+ββy y y x x k k k 消去y,得到 0123)1(424x x x x x k k k k +=++++++αβαβαβαβ 该方程的特征方程为 02423=+++αβαβλαβλλ 令λ=x ,αβ=a ， 即求解三次方程 0a 2ax ax 4x 23=+++ 的根 在matlab 中输入以下代码求解方程的根x ： syms x a solve(4*x^3+a*x^2+2*a*x+a==0,x) 解得 1x = (36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3)/12 - a/12 + (a*(a - 24))/(12*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3))； 2x = -(2*a*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3) - 3^(1/2)*a*24*i - 3^(1/2)*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3)*i - 24*a + 3^(1/2)*a^2*i +
《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3 1 .1000i i p 方法一（按比例分配） ,35.23 1 11== ∑=i i p N p q ,33.33 1 22== ∑=i i p N p q 32.43 1 33== ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n
第10个席位：计算Q 值为 ,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322 3=?=Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）. i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1Λ=i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ?? +=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π )22 2 n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日）
第一章建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模
1.1从现实对象到数学模型 我们常见的模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… …~ 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机… …~ 物理模型地图、电路图、分子结构图… …~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
你碰到过的数学模型——“航行问题” 用x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 75050)(750 30)(=?-=?+y x y x 答：船速每小时20千米/小时. 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? x =20y =5求解
航行问题建立数学模型的基本步骤?作出简化假设（船速、水速为常数）； ?用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； ?用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）； ?求解得到数学解答（x=20, y=5）； ?回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
数学模型(Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型 数学 建模
数学模型姜启源第四版答案 【篇一：姜启源数学模型课后答案(3版)】 t>第二章(1)（2008年9月16日） 1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分 较大者; （2）. 1中的q值方法； （3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍 分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将 3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑n=10的分配方案， 3 p1?235,p2?333,p3?432, ?pi?1000. i?1 方法一（按比例分配） q1? p1n 3 ?2.35,q2? p2n 3 ?3.33, q3? p3n 3 ?4.32 ? i?1 pi ? i?1 pi
i?1 pi 分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： n1?2,n2?3, n3?4 第10个席位：计算q值为 q1? 235 2 2?3 ?9204.17, q2? 333 2 3?4 ?9240.75, q3? 432 2 4?5 ?9331.2 q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5 方法三（d’hondt方法） 此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5 此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）. pini pini pini 是 每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近. 中选较大者，可使对所有的i,尽量接 再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ?vdt?2?k?(r?wkn)dn t
姜启源版《数学模型》第四章习题第7题 一、问题重述 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm现有一客户需要15根290mm 28根315mm 21根350mn和30根455mn的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10 增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm 为了使总费用最小，应如何下料？ 二、基本假设 1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm勺钢管。 2、假设每次切割都准确无误。 3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。 5、假设钢管余料价值为0。 6假设一切运作基本正常不会产生意外事件。 四、模型建立 根据题目要求，不妨假设叫左勺王％,于是得到目标函数: 4 min M X i 1 0.1i i 1
需求量的约束: 每一种切法不能超过限制1850,余料不超过100(即产品加起来不小于1750) 极限情况下，根数的范围: D j le n j j 1 1850 一根原料钢管最多生产5根产品： 4 r j 5,i 1,2,3,4 j 1 钢管根数和切割方法都为非负整数： r ij Z ,x i Z 五、模型求解 model : !数学模型132页题7; sets : !定义4种切割模式，每种模式用 x(i)根管材； qiegemoshi/m1..m4/:x; !定义四种长度，每种有需求 ； cha ngdu/cd1..cd4/:le n,dema nd; !定义切法矩阵，行为模式，列为需要的长度类型 ； lin ks(qiegemoshi,cha ngdu):r; en dsets !目标函数，每种切割模式按切割频率增加 10%的费用； min = @sum(qiegemoshi(i):x(i)*(1+i*0.1)); !假设4种切法，一种比一种切得少 ； @for (qiegemoshi(i)|i#lt#4:x(i)>=x(i+1)); !需求量的约束； @for (changdu(j)： 约束条件如下: x-i x 2 x 3 x 4 (4.1 ) D j ，j 1,2,3, 4 (4.2 ) 4 1750 r ij le n j j 1 1850,i 123,4 (4.3) D j 1850 len j (4.4)