实验4 最优化与存储模型实验 1. 拟合问题
解：
解：
(1) 根据题意可以列出目标方程：
()
2
n
1
i i i 10
y -x min 1
0∑=+=βββ
β，
使用Lingo 软件进行计算并取最优解，编程如下： model: sets:
quantity/1..50/: x,y; endsets
min=@sum(quantity: (B0+B1*x-y)^2); data:
y=2 10 4 22 16 10 18 26 34 17 28 14 20 24 28 26 34 34 46 26 36 60 80 20 26 54 32 40 32 40 50 42 56 76 84 36 46 68 32 48 52 56 64 66 54 70 92 93 120 85;
x=4 4 7 7 8 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 20 20 20 20 20 22 23 24 24 24 24 25;
enddata
@free(B0); @free(B1); End
Local optimal solution found.
Objective value: 11353.52 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 16
Variable Value Reduced Cost
B0 -17.57909 -0.2710756E-08 B1 3.932409 -0.4680284E-07 X( 1) 4.000000 0.000000 X( 2) 4.000000 0.000000 X( 3) 7.000000 0.000000
……
X( 50) 25.00000 0.000000 Y( 1) 2.000000 0.000000 Y( 2) 10.00000 0.000000 Y( 3) 4.000000 0.000000 Y( 50) 85.00000 0.000000 ……
Row Slack or Surplus Dual Price 1 11353.52 -1.000000
由LINGO解得：
β0= -17.6,β1=3.9
(2)根据题意可以列出目标方程：
∑=+
=
n
i1
i
i
1
y
-
x
min
1
ββ
β
β，
使用Lingo软件进行计算并取最优解，编程如下：
model:
sets:
quantity/1..50/: x,y;
endsets
min=@sum(quantity:@abs(B0+B1*x-y));
data:
y=2 10 4 22 16 10 18 26 34 17 28 14 20 24 28 26 34 34 46 26 36 60 80 20 26 54 32 40 32 40 50 42 56 76 84 36 46 68 32 48 52 56 64 66 54 70 92 93 120 85;
x=4 4 7 7 8 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 20 20 20 20 20 22 23 24 24 24 24 25;
enddata
@free(B0); @free(B1);
End
得到结果如下：
Linearization components added:
Constraints: 200
Variables: 200
Integers: 50
Global optimal solution found.
Objective value: 563.8000
Objective bound: 563.8000
Infeasibilities: 0.1776357E-14
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 83
Variable Value Reduced Cost
B0 -11.60000 0.000000
B1 3.400000 0.000000
X( 1) 4.000000 0.000000
X( 2) 4.000000 0.000000
X( 3) 7.000000 0.000000
……
X( 50) 25.00000 0.000000
Y( 1) 2.000000 0.000000
Y( 2) 10.00000 0.000000
……
Y( 50) 85.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 563.8000 -1.000000
所以得到绝对偏差和最小时的β0为-11.6，β1为3.4。 (3) 根据题意可以列出目标方程：
i
i 101y -x max m in 1
0βββ
β+=≤≤n
i ，
使用Lingo 软件进行计算并取最优解，编程如下： model: sets:
quantity/1..50/: x,y; endsets
min=@max(quantity:@abs(B0+B1*x-y)); data:
y=2 10 4 22 16 10 18 26 34 17 28 14 20 24 28 26 34 34 46 26 36 60 80 20 26 54 32 40 32 40 50 42 56 76 84 36 46 68 32 48 52 56 64 66 54 70 92 93 120 85;
x=4 4 7 7 8 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 20 20 20 20 20 22 23 24 24 24 24 25; enddata
@free(B0); @free(B1); End
得到结果如下：
Linearization components added: Constraints: 301 Variables: 251 Integers: 100
Global optimal solution found.
Objective value: 36.00000 Objective bound: 36.00000 Infeasibilities: 0.3552714E-14 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 996
Variable Value Reduced Cost B0 -12.00000 0.000000 B1 4.000000 0.000000 X( 1) 4.000000 0.000000 X( 2) 4.000000 0.000000
……
X( 50) 25.00000 0.000000
Y( 1) 2.000000 0.000000
Y( 2) 10.00000 0.000000
Y( 3) 4.000000 0.000000
……
Y( 50) 85.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 36.00000 -1.000000
所以得到绝对偏差和最小时的β0为-12.00000，β1为4.000000。
根据y=β0+β1x，得到的三个解析方程式为：
y=-17.57909+3.932409x
y=-11.60000+3.400000x
y=-12.00000+4.000000x
利用Matlab求得所有数据的线性回归方程：
Linear model Poly1:
f(x) = p1*x + p2
Coefficients (with 95% confidence bounds):
p1 = 3.653 (2.877, 4.429)
p2 = -15.36 (-27.99, -2.737)
Goodness of fit:
SSE: 9803
R-square: 0.6987
Adjusted R-square: 0.6925
RMSE: 14.29
分析结果，其R2约为0.6987，解析式为y=-15.36+3.653x
利用Matlab做出所有图像并进行对比：
由图像已经可以观察出深蓝色线与红色回归线最为贴近，计算得到其R2约为0.6742，所以由
绝对偏差和最小得到的结果y=-11.60000+3.400000x更为贴近。
2.非线性优化问题
解：
（1）根据题意设x11、x12、x13为汽油加工所需要的A、B类原油与广告费的值，设x21、x22、x23为民用燃油所需要的A、B类原油与广告费的值。
则相应的目标函数为总利润：
Max=250*x13/10*5+200*x23/10*10-x13-x23=124*x13+199*x23
约束条件为：
(10x11+5x12)/(x11+x12)≥8;
(10x21+5x22)/(x21+x22)≥6;
x11+x21≤5000;
x12+x22≤10000;
5*x13/10≤x11+x12;
10*x23/10≤x21+x22;
使用Lingo软件进行计算并取最优解，编程如下：
model:
max=124*x13+199*x23;
(10*x11+5*x12)/(x11+x12)>=8;
(10*x21+5*x22)/(x21+x22)>=6;
(10*x21+5*x22)/(x21+x22)<=8;
x11+x21<=5000; x12+x22<=10000; x11+x12>=0.5*x13; x21+x22>=x23;
@GIN(x11);
@GIN(x12);
@GIN(x13);
@GIN(x21);
@GIN(x22);
@GIN(x23);
End
得到结果如下：
Local optimal solution found.
Objective value: 3230000.
Objective bound: 3230000.
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 1
Total solver iterations: 62
Variable Value
X13 10000.00
X23 10000.00
X11 3000.000
X12 2000.000
X21 2000.000
X22 8000.000
Row Slack or Surplus
1 3230000.
2 0.000000
3 0.000000
4 2.000000
5 0.000000
6 0.000000
7 0.000000
8 0.000000
分析结果易知最优的生产方案为汽油加工所需要的A、B类原油与广告费为3000桶、2000桶、10000元，民用燃油所需要的A、B类原油与广告费的值为2000桶、8000桶、10000元时，可以获得最大利润3230000元。
（2）根据题目中条件可设加入汽油中的SQ为x14桶，可设加入民用燃油中的SQ 为x24桶，则可得新的目标函数为：
Max=250*x13/10*5+200*x23/10*10-x13-x23-200x14-200x24;
约束条件为：
x11+x21≤5000;
x12+x22≤10000;
(10*x11+5*x12)/(x11+x12+x14)+(x14/(x11+x12+x14))^0.5>=8;
(10x21+5x22)/(x21+x22+x24)+0.6*(x24/(x21+x22+x24))^0.6>=6;
x13/10*5≤x11+x12+x14;
x23/10*10≤x21+x22+x24;
x14≤(x11+x12)*5%;
x24≤(x21+x22)*5%;
使用Lingo软件进行计算并取最优解，编程如下：
model:
max=124*x13+199*x23-200*x14-200*x24;
(1+(x14/(x11+x12+x14))^0.5)*(10*x11+5*x12)/(x11+x12)>=8;
(1+0.6*(x24/(x21+x22+x24))^0.6)*(10*x21+5*x22)/(x21+x22)>=6;
x11+x21<=5000;
x12+x22<=10000;
x11+x12+x14>=0.5*x13;
x21+x22+x24>=x23;
0.05*x11+0.05*x12>=x14;
0.05*x21+0.05*x22>=x24;
@GIN(x11);
@GIN(x12);
@GIN(x13);
@GIN(x14);
@GIN(x21);
@GIN(x22);
@GIN(x23);
@GIN(x24);
End
得到结果如下：
Local optimal solution found.
Objective value: 3755903.
Objective bound: 3755903.
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 4
Total solver iterations: 452
Variable Value
X13 31496.00
X23 1.000000
X14 749.0000
X24 0.000000
X11 4999.000
X12 10000.00
X21 1.000000
X22 0.000000
Row Slack or Surplus
1 3755903.
2 0.1203040
3 4.000000
4 0.000000
5 0.000000
6 0.000000
7 0.000000
8 0.9500000
9 0.5000000E-01
分析结果易知最优的生产方案为汽油加工所需要的A、B类原油、广告费及SQ化学添加剂为5000桶、10000桶、31496元、749桶时，停止生产民用燃油可以获得最大利润3755903元。
（3）根据题意，约束条件中：
x14+x24>400；
同理使用Lingo软件进行计算并取最优解，编程如下：
model:
max=124*x13+199*x23-100*x14-100*x24;
(1+(x14/(x11+x12+x14))^0.5)*(10*x11+5*x12)/(x11+x12)>=8;
(1+0.6*(x24/(x21+x22+x24))^0.6)*(10*x21+5*x22)/(x21+x22)>=6;
x14+x24>400;
x11+x21<=5000;
x12+x22<=10000;
x11+x12+x14>=0.5*x13;
x21+x22+x24>=x23;
0.05*x11+0.05*x12>=x14;
0.05*x21+0.05*x22>=x24;
@GIN(x11);
@GIN(x12);
@GIN(x13);
@GIN(x14);
@GIN(x21);
@GIN(x22);
@GIN(x23);
@GIN(x24);
End
得到结果如下：
Local optimal solution found.
Objective value: 3831000.
Objective bound: 3831000. Infeasibilities: 0.4551556E-09
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 36
Variable Value
X13 31500.00
X23 0.000000
X14 750.0000
X24 0.000000
X11 5000.000
X12 10000.00
X21 0.000000
X22 0.000000
Row Slack or Surplus
1 3831000.
2 0.1214526
3 0.000000
4 350.0000
5 0.000000
6 0.000000
7 0.000000
8 0.000000
9 0.000000 10 0.000000
分析结果易知最优的生产方案为汽油加工所需要的A 、B 类原油、广告费及SQ 化学添加剂为5000桶、10000桶、31500元、750桶时，停止生产民用燃油可以获得最大利润3831000元。
3. 库存问题I
解：1）单位时间统一为天。 已知R=100个/天，C 1=0.02元/个.天，C 3=100元/次。
00
1000()
Q =
==个
00100010()100Q t R =
==天，TC *=R C C 312=10010002.02???=40（元/天）
（3）已知 P=200个
010001414()Q =
==个
0014141
14.14()100Q t R ===天，TC *=
R C C 312P R P )
(-=40×21=28.3（元/
天）
4. 库存问题II
解：根据题意，得需求率是D=30件/天，储存费Cp=0.05元/每件每天，订货费为CD=100元/次，采购费C1=10元，采购费C2=8元，分界点Q 为600件，提前时间为21天。
使用Lingo 软件进行计算并取最优解，编程如下： model: D=30; C_P=0.05; C_D=100;
C=@if(Q #lt# 600, 10, 8);
min=1/2*C_P*Q+C_D*D/Q+C*D; end
得到结果如下：
Linearization components added:
Constraints: 15
Variables: 8
Integers: 6
Local optimal solution found.
Objective value: 260.0000
Objective bound: 260.0000
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 5
Variable Value Reduced Cost
D 30.00000 0.000000
C_P 0.5000000E-01 0.000000
C_D 100.0000 0.000000
C 8.000000 0.000000
Q 600.0000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.000000 -8.166667
2 0.000000 -300.0000
3 0.000000 -0.5000000E-01
4 0.000000 -30.00000
5 260.0000 -1.000000
由此可以得到最优的订货量为600件，最优的储存费为260元/天。根据提前时间L=21天，再订货点为21D=21×30件=630件，最优库存策略就是当储存量下降到630件时，订货600件，其最优库存总费为260元/天。
5.库存文件III
解：
根据题意，设C_P为存储费；C_D为订货费，D为需求，Q为进货数
所占面积小于等于24平方米
ABC三种货品的的费用为1/2*C_P*Q+C_D*D/Q+C*D
约束条件，取货数为整数
使用Lingo软件进行计算并取最优解，编程如下：
Model:
sets:
kinds/1..3/: C_P, D, C, W, Q, C_D, N;
endsets
min=@sum(kinds: 0.5*C_P*Q+C_D*D/Q);
@sum(kinds: W*Q)<=W_T;
@for(kinds: N=D/Q; @gin(N));
data:
C_D = 10,5,15;
D = 2, 3, 4;
C_P = 0.3, 0.1, 0.2;
W = 1.0, 1.0, 1.0;
W_T = 24;
Enddata
end
得到结果如下：
Local optimal solution found.
Objective value: 30.85000
Objective bound: 30.85000 Infeasibilities: 0.2117548E-08
Extended solver steps: 2
Total solver iterations: 57
Variable Value Reduced Cost
W_T 24.00000 0.000000
C_P( 1) 0.3000000 0.000000
C_P( 2) 0.1000000 0.000000
C_P( 3) 0.2000000 0.000000
D( 1) 2.000000 0.000000
D( 2) 3.000000 0.000000
D( 3) 4.000000 0.000000
C( 1) 0.000000 0.000000
C( 2) 0.000000 0.000000
C( 3) 0.000000 0.000000
W( 1) 1.000000 0.000000
W( 2) 1.000000 0.000000
W( 3) 1.000000 0.000000
Q( 1) 2.000000 0.000000
Q( 2) 3.000000 0.000000
Q( 3) 4.000000 0.000000
C_D( 1) 10.00000 0.000000
C_D( 2) 5.000000 0.000000
C_D( 3) 15.00000 0.000000
N( 1) 1.000000 9.699999
N( 2) 1.000000 4.850000
N( 3) 1.000000 14.60000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 30.85000 -1.000000
2 15.00000 0.000000
3 -0.2117548E-08 9.699999
4 0.000000 4.850000
5 0.000000 14.60000
由此易知A、B、C三种货物的最优订货量为3件、1件、2件，及最优存贮费用为30.85元。