(iii)如果E l ogΡ>0,则li m n→∞X n=-∞a.e.

引理1　对于固定的环境e,令Ρn=Βn Αn.

Ξ收稿日期:2002-01-02收到

基金项目:国家自然科学基金;广东自然科学基金资助项目(编号980287)

(i)若∑∞n=1(Ρ-1…Ρ-n)-1=∞,且∑∞n=1Ρ1…Ρn<∞,则li m n→∞X n=∞a.e.

(ii)若∑∞n=1(Ρ-1…Ρ-n)-1=∞,且∑∞n=1Ρ1…Ρn=∞,则-∞=li m inf n→∞X n

(iii)若∑∞n=1(Ρ-1…Ρ-n)-1<∞,且∑∞n=1Ρ1…Ρn=∞,则li m n→∞X n=-∞a.e.

证明　令Σa=inf{nΕ0:X n=a},a∈Z

对a

P[a,b]

-=P e,x(Σa<Σb),P[a,b]

+=P e,x(Σa>Σb)

即P[a,b]

-表示从x出发在击中b之前击中a的概率;P[a,b]

+表示从x出发在击中a之前击中b的概率,由马氏性可得:

P[a,b]

-(x)=Αx P[a,b]

-

(x+1)+Χx P[a,b]

-

(x)+Βx P[a,b]

-

(x-1),

P[a,b]

-

(a)=1,P[a,b]

-

(b)=0.(1)

P[a,b]

+(x)=Αx P[a,b]

+

(x+1)+Χx P[a,b]

+

(x)+Βx P[a,b]

+

(x-1),

P[a,b]

+

(a)=0,P[a,b]

+

(b)=1.(2)

这里由过程的定义可知当xΦa时,P[a,b]

+(x)=0,P[a,b]

-

(x)=1;当xΕb时,P[a,b]

+

(x)=1,

P[a,b]

-

(x)=0.

解(1)方程可得

P[a,b]

-(x+1)-P[a,b]

-

(x)=

Βx

Αx(P[a,b]-(x)-P[a,b]-(x-1)),aΦx

P[a,b]

-

(x)=1+∑

b-1

y=x+1

Αy…Αb-1

Βy…Βb-1 1+∑

b-1

y=a+1

Αy…Αb-1

Βy…Βb-1

分子分母乘以Αb

Βb,得

P[a,b]

-

(x)=∑

b

y=x+1

Αy…Αb

Βy…Βb ∑

b

y=a+1

Αy…Αb

Βy…Βb aΦxΦb.(3)

同理可解得(2)得

P[a,b]

+(x)=∑

x-1

y=a

Βy…Βa

Αy…Αa ∑

b-1

y=a

Βy…Βa

Αy…Αa aΦxΦb.(4)

对任意固定的x,显然有P x(li m

a→±∞

Σa=∞)=1.在(3)和(4)中,令b→∞,a→∞得

若x>a,则

P x(Σa=∞)=0 若∑

∞

y=1

Βy…Β1

Αy…Α1=∞

∑x-1

y=a

Βy…Βa

Αy…Αa ∑

∞

y=a

Βy…Βa

Αy…Αa,　若∑

∞

y=1

Βy…Β1

Αy…Α1<∞.

(5)

若x

P x(Σb=∞)=0 若∑

-1

y=-∞

Αy…Α-1

Βy…Β-1=∞

∑b

y=k+1

Αy…Αb

Βy…Βb ∑

b

y=-∞

Αy…Αb

Βy…Βb,　若∑

-1

y=-∞

Βy…Α-1

Βy…Β-1<∞.

(6)

?

9

9

2

?

第3期 柳向东等:一类随机环境中的随机游动

由(5)和(6)式可得引理1成立.

引理2　设Y 1,Y 2,…,Y n ,…为一列独立同分布的非退化的有限值的随机变量,

S n =Y 1+Y 2+…+Y n ,n Ε1则:

要么 li m n →∞S n n 1

2

=∞a .e .;

要么 li m n →∞

S n n 1

2

=-∞a .e .

证明　参见[3].

定理1的证明　因为(Αn ,Βn ),n ∈Z 独立同分布,所以Ρn =l

og Βn

Αn

也是独立同分布的且E l og Ρn 存在.由强大数定理可知:

li m

n →∞

1

n ∑n

k =1

l og Βk

Α

k

=

E l og Ρ.a .e .

当E l og Ρ<0时,

∑∞y =1Β1…Βy

Α

1…Αy =∑

∞y =1

exp

∑

y

k =1

l og

Βk

Αk

由于大数定理,可知∑n

y =1ln Ρn →-∞,再由引理2可知,此时必有

li m

n →∞

∑

n y =1

ln Ρn

n

12

=-∞a .s .

于是当n 充分大之后有∑n

y =1ln Ρn <-n 1

2

,于是存在N ,使得

0Φ

∑∞

n =N

exp ∑n

y =1

ln Ρ

n

<

∑

∞

n =N exp (n

-12

)<∞a .s .

即当E l og Ρ<0时必有:

∑∞

n =1

exp ∑n

y =1

l og Ρ

y

<∞a .s .即

∑∞

n =1

Ρ1

…Ρ

n

<∞

而Ρ-k 与Ρk 同分布,同理可得 li m

n →∞

1

n ∑

n

k =1

l og (Ρ

-k

-1

)=E l og (Ρ-1

k )=-E l og Ρ

而E l og Ρ<0,故-E l og Ρ>0,即E l og Ρ-1

>0.

所以由强大数定理可得:

∑n k =1

l og (Ρ

-k

-1

)→∞a .s .

进而∑∞

n =1

exp ∑n

k =1

l og (Ρ

-k

-1

)=∞

即

∑∞

n =1

(Ρ

-1

…Ρ-n )-1=∞

故定理1的(i )可证.同理可证(iii ).下面来证(ii ).

当E l og Ρ=0时,由随机游动的一般理论可得:

?003?数学研究2002年

li m n →∞

∑n

k =1l og Ρk

=

+∞a .e .; li m n →∞

∑n

k =1

l og Ρk

=

-∞a .e .

于是对任意的M >0有

P

∑n

k =1

l og Ρk

ΕM

=1,且　P

∑n

k =1

l og Ρk

Φ-M =1.

故有

∑∞

n =1

exp ∑n

k =1

l og Ρ

k

=+∞,且　

∑-∞

n =-1

exp

-

∑n

k =1

l og Ρ

k

=+∞

从而由引理1的(ii )可知 -∞=li m inf n →∞X n

X n =∞

定理1证毕. □

注　所得的结果与So l om n 的结果完全一致,由此可知常返性与中间状态无关.令

T 0=0

T n =

m in{k >0:X k =n }, 集合不空,

∞, 集合空. 定理2　

E T 1=

1+E Ρ+E (Χ0 Α0)

1-E Ρ, E Ρ<1,

+∞, E ΡΕ1.

为了证明上述的定理只需考虑一个新的过程X #(n ):是{X n ,n Ε0}在-1点的反射后的过程.固定环境e ,X #(n )有转移函数p e (x ,y ),满足以下的条件:

p e

(x ,y )=e (x ,a ),x Ε0和-1Φa Φ2,p e (-1,0)=1,

p e

(x ,y )=0,其它情形.

显然,要求出E T 1,只要考虑X #(n ).

引理3　固定环境(Αn ,Βn ),若E {T 1 e }<∞,则方程组

v (1)=1;

v (y )=

∑x Φ1v (x )p e

(x ,y ),

y Φ1;

有唯一的非负解v (3),且 ∑y Φ1

v (y )<∞

且E {T 1 e }=

∑

y Φ0

v (y ).

证明　考虑到固定的环境,X #(t )是马氏链,再参看B rei m an,1968,143-145即可.证明定理2:设一个随机变量h (n ),n ∈Z

h (0)=1;h (a )=0,a Ε1; h (n -1)=h (n ) Βn

Αn

,n Φ0.

由E Ρ<1,容易计算得

E

Α0-Β0Α0

∑

z Φ0

E {h (z )}=1(6)

而且容易验证,对n Φ0,l 令v (n )=h (n ) Αn 和v (1)=1.则v (3)正好是引理3中方程组的根.则有:

?

103?第3期 柳向东等:一类随机环境中的随机游动

E

∑

n Φ0

v (n )=E ∑

n Φ0

h (n )

Αn

=E

∑

n Φ0

h (n )E (1 Α0)(最后一个等号是由于h (n )

与Αn 的独立性)

由(6)式可得: ∑n Φ0

E {v (n )}=E 1

Α0E

Α0-Β0Α0-1整理以后即得: E T 1=

1+E Ρ+E (Χ0 Α0)

1-E Ρ

注　这个结论与So l omon 的结论是一致的,只需令Χ0≡0即可,但加了一个中间态后,其返回的时间变长了,这也是情理之中的事.

定理3　(i )若E Ρ<1,则li m n →∞T n n =1+E Ρ+E (Χ0 Α0)

1-E Ρ.a .e .

(ii )若E (Ρ-1

)<1,则li m n →∞T -n n =1+E (Ρ-1)+E (Χ0 Β0)1-E (Ρ-1

)

.a .e .(iii )若(E Ρ)-1

Φ1ΦE (Ρ-1),则li m n →∞

T n n =∞=li m n →∞T -n

n

.a .e .证明　由于(T n -T n -1,n Ε1)是平稳遍历的序列,由B irkhoff 遍历定理有li m n →∞

T n

n

=E T 1由定理2可知(i )和(iii )的一部分成立

.同理可以证明T -n

部分. □

注　由Schw arz 不等式可知,E Ρ E (Ρ-1)Ε1,故E Ρ和E (Ρ-1)至少有一个大于1.这样有三种情形:(i )E Ρ<1,(ii )E l og (Ρ-1)<1,(iii )E l og ΡΕ1,E l og (Ρ-1)Ε1,又由于E Ρ

E (Ρ-1)Ε1,故E (Ρ-1)Ε(E Ρ)-1.于是有(iii )(E Ρ)-1Φ1ΦE (Ρ-1

).因此定理中的所列的三种情形是两两不相容的,也是完备的.

参　考　文　献

[1]　So l omon F .R andom w alk in a random environm en t .A nn .P rob .1975,3:1～31

[2]　Key E S .R ecurrence and tran sience criteria fo r random w alk in a random environm en t .A nn .P rob ,

1984,12:529～560

[3]　Stone C J .T he grow th of a random W alk .A nn .M ath .Statist ,1969,40:2203～2206[4]　Chung K L .A course in P robability T heo ry .A cade m ic P ress ,N e w Yo rk ,1974

[5]　Chung K L .M akov Chain s w ith Stati onary T ran siti on P robabilities .Sp ringer 2verlag Berlin ,1960[6]　B rei m an L .P robability .A ddis on 2Eesley ,R eading ,M assachusetts ,1968

A Class of Rando m Walks i n Rando m Envi ronmen ts

L iu X iang d ong D ai Y ong long

(Ecnom ic Co llege J inan U n iversity ,Guangzhou 510275)

Abstract In th is paper ,w e describe and analyze a class of random w alk s in random environm en ts w h ich con tain the situati on given by So l omon and have a recurrence 2tran sience criteria .Further mo re ,w e study the h it 2ting ti m e and a li m it theo re m .

Key words random w alk ;random environm en ts ,recurrence ;tran sience ;h itting ti m e

?203?数学研究2002年

马尔可夫过程研究方向

马尔可夫过程研究方向 马尔可夫过程是研究得相当深入，而且还在蓬勃发展的随机过程。随着现代科学技术的发展，很多在应用中出现的马氏过程模型的研究受到越来越多的重视。马氏过程研究组目前从事的研究领域包括测度值过程、分枝过程、仿射过程、随机微分方程、迷向随机流、随机环境模型、随机金融模型等。这些模型来源于物理、生物、金融等学科，既有丰富优美的数学结构，又有广泛深刻的应用背景。马氏过程方向研究的目的是从理论上理解这些模型所描述的自然现象。马氏过程研究方向的学术带头人是王梓坤院士，他的研究组是国内该方向最早的研究集体之一。王梓坤1958年毕业于莫斯科(Moscow)大学数学力学系，获副博士学位。他的导师是著名数学家A.N.Kolmogorov教授和R.L.Dobrushin教授。王梓坤的毕业论文的研究课题是生灭过程的分类，他的工作后来对国内在该领域的研究产生了重要影响。1958年，王梓坤回国后在继续自己研究的同时，积极培育概率论和随机过程的研究队伍，并于1959年开始带研究生。他早期的学生包括施仁杰、杨向群、吴让泉、吴荣、刘文、李志阐等。 50至60年代，王梓坤在生灭过程研究中提出了极限过渡构造方法，以此解决了生灭过程的构造问题。他还将差分和递推方法应用于生灭过程的泛函和首达时分布的研究，得到了一系列结果。苏联数学家https://www.doczj.com/doc/7a16518945.html,hkevich [Transaction 4th Prague Conference on Information Theory, Statistical Decision Function, Random Process. 1965] 写道：“Feller构造了生灭过程在轨道达到 无穷以后的不同延拓…，而王梓坤用极限过 渡法找出了生灭过程的所有延拓”。英国皇 家学会会员D.G.Kendall在美国《数学评论》 上对王梓坤的一篇论文评论道：“我认为， 这篇文章除作者所提到的应用外，还有许多 重要的应用。例如，在传染病研究中…，该 问题是困难的，本文所提出的技巧值得认真 研究”。在马氏过程方面，王梓坤证明某些马氏过程的常返性等价于其有限调和函数为常数，而0-1律等价于其有限过份函数为常数。 1962年，王梓坤翻译的前苏联数学家、后成为美国科学院院士的E.B.Dynkin的著作《马尔可夫过程论基础》由科学出版社出版。该书总结了当时苏联概率学派在马氏过程研究方面的最新成就，推动了我国在该领域的研究。1965年，科学出版社出版了王梓坤的著作《随机过程论》。该书是国内

随机环境中多型分枝过程研究概述及一类鞅收敛

第29卷第4期 湖南文理学院学报(自然科学版) V ol. 29 No. 4 2017年12月 Journal of Hunan University of Arts and Science(Science and Technology) Dec. 2017 doi : 10.3969/j.issn.1672–6146.2017.04.003 随机环境中多型分枝过程研究概述及一类鞅收敛 张影1, 彭雪莲1, 王月娇2 (1. 长沙理工大学 数学与计算科学学院, 湖南 长沙, 410000; 2. 中南大学 数学与统计学院, 湖南 长沙, 410083) 摘要: 随机环境多型分枝过程(MBPRE)在描述类似于突变基因的出现及生存、分析排队论中队伍变化的波动 现象等问题时, 比局限于用经典多型分枝过程处理方法能够得到更精确、更深刻的结论。通过整理MBPRE 的相关文献, 发现其发展现状可归纳为5个问题, 即灭绝问题、灭绝时间的渐近性、上临界极限问题、大数 指数率及关于MBPRE 的拓展问题; 给出了一些作者对于某些问题研究的见解及疑问; 构造了一个经过正规 化的随机环境多型分枝过程的鞅过程()m n W , 对其鞅性进行了证明, 讨论了()m n W 的极限问题。 关键词: 随机环境; 多型分枝过程; 鞅 中图分类号: O 211.65 文献标志码: A 文章编号: 1672–6146(2017)04–0008–04 Summary of research and a class of martingale convergence for multi-type branching process in random environments Zhang Ying 1, Peng Xuelian 1, Wang Yuejiao 2 (1. School of Mathematics, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410000, China; 2. School of Mathematics and Statistics of CSU, Changsha 410083, China) Abstract: Multi-type branching process in random environments (MBPRE) about describing the occurrence and survival of mutant genes, analyzing the fluctuation of team changes in queuing theory, and so on, which can be more precise and deeper than the traditional multi-type branching process.Through the arranging of random environment multi-type branch of the related articles, and reunification of conclusion symbols, its development status is divided into the following five parts: extinction Problem: the extinction time asymptotic, the super critical limit problem, the large exponential rate and the expansion of problem about MBPRE, and some authors' opinions and questions about some problems are given. On this basis, the martingale process ()m n W of a regularized random environment is studied, and the martingale process is proved and discussing the limit of martingale ()m n W . Key words: random environment; multi-type branching process; martingale MBPRE 是经典多型分枝过程从确定环境[1]到随机环境的一种推广。具有p 型粒子的MBPRE: 令{},0,1,2,n n ζζ==L 为定义在概率空间(,,)Ω?P 独立同分布的随机变量序列, 取值于Θ, 其中Θ是R 的一个可数子集。用P N 来定义所有1 × p 向量的非负整数坐标, 令1{(,,):01,0,1,p i s s s s i ′===L ≤≤S ,}p L 。利用概率母函数来定义: θΘ∈,有相应的p 维列向量1(;)((;),,(;))p s s s θ?θ?θ′=L ?, 其中(;),i s ?θ 1,2,,i p =L 表示一个p 维概率母函数。1(;)(,,),i p p i i i N s p i s αα?θθα=∈= ∑∏ 12(,,,),p s αααα=∈L S 。其中 通信作者: 张影, 1102573750@https://www.doczj.com/doc/7a16518945.html, 。收稿日期: 2017–01–20 基金项目: 国家自然科学基金(11571052, 11171044); 湖南省研究生科研创新项目(CX2016B417)。

随机游动学术讲座记录表

学术讲座记录表 姓名班级学号 时间地点主讲 人 题目随机游动的常返与相遇问题 10月18日，一个晴朗的日子，在数学院341传来阵阵抑扬顿挫的声音。来自北京大学数学科学学院教授陈大岳与数学院师生畅谈“随机游动的常返与相遇问题”。 陈大岳先生远道而来，给我们带来了不一般的感觉，原来数学是如此博大，如此有滋有味，一改此前对数学的印象。 陈大岳先生首先带大家回顾了随机游动的两个基本定义——简单随机游动(马氏链)和图上随机运动。随后，陈老师为大家讲解了随机游动常返与电阻的关系，图上随机游动与其子图上随机游动的关系；关于相遇问题的已知结论、应用背景和尚待研究的几个命题。讲座内容思路清晰，事例丰富，通俗易懂，同学们收获颇丰。提问环节，大家围绕讲座内容与陈大岳探讨更深入的理论问题。 随机游动是最常见的马氏链，而常返性是其最基本的性质。人们发现随机游动的常返性质与相应电网络有很好的对应关系，从而可以借助电网络的概念和技巧，给出了常返性的一个清晰解释。如果同时考虑两个独立的随机游动，它们是否一定相遇？陈大岳先生在一小时的演讲报告中阐述这方面的进展和存在的问题。 陈大岳教授的研究领域为随机过程，其研究工作集中在如下三个方面。（1）研究马氏过程的亚稳态性，刻画了随机伊辛模型和Majority Vote Process的亚稳态性, 并推广为一族带指数扰动的马尔可夫链；引入了大偏差理论使处理方法统一而简洁,适用面更宽。(2) 研究随机环境中的随机游动，得到关于GW树上随机游动的速度的上下界估计；证明随机游动的速度为零(或者为正)在随机扰动下不变；考察Scherk图上的渗流模型，发现在临界点以上的另一类相变。(3) 研究树和图上的无穷粒子系统的相变问题和临界现象。 虽然理解起来特别困难，但仍旧听得有滋有味。讲座结束以后，特别回去上网查了一下资料。随机游动是Karl Pearsonl20)于1905年引入的数学模型,用于描述醉汉漫行.假设6,&,…,G,…是一列独立同分布随机变量或随机向量,sn=6+6+--.+&,我们称随机变量序列{5?}为随机游动(random walk).更一般地,^的取值范围相当宽泛,只要能进行某种叠加运算就可以，还有什么半直线上独立随机环境中随机游动的常返性。随机环境中的随机过程是概率论的一个新的分枝,其问题的提出可追溯到物理学中的不均匀介质的传输问题,它在众多的领域有着广泛的应用,而随机环境中的随机游动(简记RWIRE)是它的特例。 此次学术讲座开拓学生的视野，进入一个新的天地，在研究数学路上还有很长的路要走，真正的获益匪浅。 考核意见考核教师签名