浦东新区初三教学质量检测数学试卷
(2015.4.21)
一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分) 1.下列等式成立的是( )
(A )2222-=-; (B )236222=÷; (C )5232)2(=; (D )120=. 2.下列各整式中,次数为5次的单项式是( )
(A )xy 4; (B )xy 5; (C )x+y 4
;
(D )x+y 5
.
3.如果最简二次根式2+x 与x 3是同类二次根式,那么x 的值是( ) (A )-1; (B )0; (C )1; (D )2. 4.如果正多边形的一个内角等于135度,那么这个正多边形的边数是( ) (A )5; (B )6; (C )7; (D )8. 5.下列说法中,正确的个数有( )
①一组数据的平均数一定是该组数据中的某个数据; ②一组数据的中位数一定是该组数据中的某个数据; ③一组数据的众数一定是该组数据中的某个数据. (A )0个; (B )1个; (C )2个; (D )3个.
6.已知四边形ABCD 是平行四边形,对角线AC 与BD 相交于点O ,那么下列结论中正确
的是( )
(A )当AB =BC 时,四边形ABCD 是矩形; (B )当AC ⊥BD 时,四边形ABCD 是矩形; (C )当OA =OB 时,四边形ABCD 是矩形;
(D )当∠ABD =∠CBD 时,四边形ABCD 是矩形. 二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.计算:23-= . 8.分解因式:x x 43-= . 9.方程43+=x x 的解是 .
10.已知分式方程31
2122=+++x x x x ,如果设x x y 1
2+=,那么原方程可化为关于y 的整式方程是 .
11.如果反比例函数的图像经过点(3,-4),那么这个反比例函数的比例系数是 . 12.如果随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛到桌面上,那 么正面朝上的数字是合数的概率是 .
13.为了解某山区金丝猴的数量,科研人员在该山区不同的地方捕获了15只金丝猴,并在
它们的身上做上标记后放回该山区.过段时间后,在该山区不同的地方又捕获了32只 金丝猴,其中4只身上有上次做的标记,由此可以估计该山区金丝猴的数量约有 只.
14.已知点G 是△ABC 的重心,m AB =,n BC =,那么向量AG 用向量m 、n 表示为 . 15.如图,已知AD ∥EF ∥BC ,AE=3BE ,AD =2,EF =5,那么BC = .
16.如图,已知小岛B 在基地A 的南偏东30°方向上,与基地A 相距10海里,货轮C 在
基地A 的南偏西60°方向、小岛B 的北偏西75°方向上,那么货轮C 与小岛B 的距离
是 海里. A B C D
E F (第15题图)
C
A
D B (第18题图)
17.对于函数()2b ax y +=,我们称[a ,b ]为这个函数的特征数.如果一个函数()2
b ax y +=的特征数为[2,-5],那么这个函数图像与x 轴的交点坐标为 .
18.如图,已知在Rt △ABC 中,D 是斜边AB 的中点,AC =4,BC=2,将△ACD 沿直线CD 折叠,
点A 落在点E 处,联结AE ,那么线段AE 的长度等于 .
三、解答题:(本大题共7题,满分78分) 19.(本题满分10分)
化简并求值:1
2)111(22
+-÷-+x x x x ,其中12+=x . 20.(本题满分10分)
解不等式组:???
??->--≥+,126
2,
6325x x x x 并写出它的非负整数解.
21.(本题满分10分,其中每小题各5分)
已知:如图,在△ABC 中,D 是边BC 上一点,以点D 为圆心、CD 为半径作半圆,分别与边AC 、BC 相交于点E 和点F .如果AB =AC =5,cos B =
5
4
,AE =1. 求:(1)线段CD 的长度;
(2)点A 和点F 之间的距离.
22.(本题满分10分)
小张利用休息日进行登山锻炼,从山脚到山顶的路程为12千米.他上午8时从山脚出发,到达山顶后停留了半小时,再原路返回,下午3时30分回到山脚.假设他上山与下山时都是匀速行走,且下山比上山时的速度每小时快1
千米,求小张上山时的速度.
C
(第21题图)
23.(本题满分12分,其中每小题各6分)
如图,已知在平行四边形ABCD 中,AE ⊥BC ,垂足为点E ,AF ⊥CD ,垂足为点F . (1)如果AB =AD ,求证:EF ∥BD ;
(2)如果EF ∥BD ,求证:AB =AD .
24.(本题满分12分,其中第(1)小题3分,第(2)小题4分,第(3)小题5分)
已知:如图,直线y =kx +2与x 轴的正半轴相交于点A (t ,0)、与y 轴相交于点B ,抛物线c bx x y ++-=2经过点A 和点B ,点C 在第三象限内,且
AC ⊥AB ,tan ∠ACB =
2
1
. (1)当t =1时,求抛物线的表达式; (2)试用含t 的代数式表示点C 的坐标;
(3)如果点C 在这条抛物线的对称轴上,求t 的值.
(第24题图)
A B C D
E F
(第23题图)
25.(本题满分14分,其中第(1)小题3分,第(2)小题6分,第(3)小题5分)
如图,已知在△ABC 中,射线AM ∥BC ,P 是边BC 上一动点,∠APD =∠B ,PD 交射线AM 于点D ,联结CD .AB =4,BC =6,∠B =60°. (1)求证:BP AD AP ?=2;
(2)如果以AD 为半径的圆A 与以BP 为半径的圆B 相切,求线段BP 的长度;
(3)将△ACD 绕点A 旋转,如果点D 恰好与点B 重合,点C 落在点E 的位置上,求此时∠BEP 的余切值.
A B C P D (第25题图) M A
B C (第25题备用图)
M
浦东新区初三教学质量检测数学试卷
参考答案及评分说明
一、选择题
1.D ; 2.A ; 3.C ; 4.D ; 5.B ; 6.C . 二、填空题
7.32-; 8.)2)(2(-+x x x ; 9.4=x ; 10.0232=+-y y ; 11.12-;
12.31; 13.120; 14.n m 3132+; 15.6; 16.210; 17.)(0,25; 18.5
58.
三、解答题
19.解:原式=1
2122
+-÷-x x x x x …………………………………………………………(2分) =2
2
)1(1x x x x -?-………………………………………………………………(2分) =
x
x 1
-.………………………………………………………………………(2分) 把12+=x 代入,得 原式=
)
12)(12()12(21
22-+-=
+………………………………………………(2分)
=22-.……………………………………………………………………(2分) 20.解:由6325-≥+x x ,得4-≥x .…………………………………………………(3分)
由
12
62->-x
x ,得2 ∴不等式组的解集是24<≤-x .………………………………………………(2分) ∴此不等式组的非负整数解是0、1.…………………………………………(2分) 21.解:(1)作DH ⊥CE ,垂足为点H . ∵D 为半圆的圆心,AC =5,AE =1,∴22 1 == EC CH .……………………(2分) ∵AC AB =,∴C B ∠=∠.……………………………………………………(1分) ∴5 4 cos cos = =B C . 在Rt △CDH 中,∵5 4cos ==CD CH C ,CH =2,∴25 =CD . …………………(2分) (2)作AM ⊥BC ,垂足为点M ,联结AF . ∵2 5 =CD ,∴5=CF .…………………………………………………………(1分) 在Rt △ACM 中,∵5 4 cos ==AC CM C ,5=AC ,∴4=CM .………………(1分) ∴3452222=-=-= CM AC AM .…………………………………………(1分) ∵CF =5,CM =4,∴1=FM .……………………………………………………(1分) ∴10132222=+=+= FM AM AF .………………………………………(1分) 22.解:设小张上山时的速度为每小时x 千米.…………………………………………(1分) 根据题意,得 71 12 12=++x x .…………………………………………………(4分) 化简,得 0121772=--x x .…………………………………………………(2分) 解得 31=x ,74 2- =x .…………………………………………………………(1分) 经检验:3=x ,742-=x 都是原方程的解,但7 4 2-=x 不符合题意,舍去.(1分) 答:小张上山时的速度为每小时3千米.……………………………………………(1分) 23.证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠ABE=∠ADF .…………………(1分) ∵AE ⊥BC ,AF ⊥CD ,∴∠AEB=∠AFD=90o. ……………………(1分) ∵AB =AD ,∴△ABE ≌△ADF . ………………………………………(1分) ∴BE =DF .…………………………………………………………………(1分) ∵BC =AD =AB =CD ,∴ CD DF BC BE = .……………………………………(1分) ∴EF ∥BD .………………………………………………………………(1分) (2)∵∠ABE=∠ADF ,∠AEB=∠AFD ,∴△ABE ∽△ADF .…………(1分) ∴ AD AB DF BE = .……………………………………………………………(1分) ∵EF ∥BD ,∴CD DF BC BE = .……………………………………………(1分) ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD ,AD=BC . ∴AB DF AD BE = .……………………………………………………………(1分) ∴AB AD DF BE = . ∴AB AD AD AB = ,即22AD AB =.…………………………………………(1分) ∴AB =AD .…………………………………………………………………(1分) 24.解:(1)∵t =1,y =kx +2,∴A (1,0),B (0,2).………………………………………(1分) 把点A (1,0)、B (0,2)分别代入抛物线的表达式,得 ???=++-=.2, 10c c b …………………………………………………………(1分) 解得???=-=. 2, 1c b ∴所求抛物线的表达式为y =-x 2 -x +2.……………………………………(1分) (2)作CH ⊥x 轴,垂足为点H ,得∠AHC =∠AOB =90°. ∵AC ⊥AB ,∴∠OAB +∠CAH =90°. 又∵∠CAH +∠ACH =90°,∴∠OAB =∠ACH . ∴△AOB ∽△CHA .…………………………………………(1分) ∴ AC AB AH OB CH OA = =. ∵tan ∠ACB = 21=AC AB ,∴2 1 ==AH OB CH OA .…………………(1分) ∵OA =t ,OB =2,∴CH =2t ,AH =4.…………………………(1分) ∴点C 的坐标为(t -4,-2t ).…………………………(1分) (3)∵点C (t -4,-2t )在抛物线y =-x 2 +bx +c 的对称轴上, ∴2 4b t =-,即82-=t b .………………………………………(1分) 把点A (t ,0)、B (0,2)代入抛物线的表达式,得-t 2 +bt +2=0. …………(1分) ∴02)82(2=+-+-t t t ,即0282=+-t t . ………………(1分) 解得t =144±.………………………………………………(1分) ∵点C (t -4,-2t )在第三象限,∴t =144+不符合题意,舍去. ∴t =144-.……………………………………………………(1分) 25.解:(1)∵AM ∥BC ,∴∠PAD =∠APB . ∵∠APD =∠B ,∴△APD ∽△PBA .…………………………(1分) ∴ BP AP AP AD = .………………………………………………………(1分) ∴BP AD AP ?=2.………………………………………………(1分) (2)过点A 作AH ⊥BC ,垂足为点H . ∵∠B =60°,AB =4,∴BH =2,32=AH .………………(1分) 设BP =x ,那么2-=x PH . ∴164)32()2(2222+-=+-=x x x AP .………………………(1分) ∴x x x BP AP AD 16 422+-= =.…………………………(1分) 而AB =4,BP =x ,因此 (i )如果两圆外切,那么416 42=++-x x x x . 整理,得0842=+-x x . ∵08442-=?,∴此方程无实数解.…………………(1分) (ii )如果两圆内切,那么416 42=-+-x x x x . 解得x =2.…………………………………………………………(1分) 或416 42=+--x x x x . 此方程无解.………………………………………………(1分) 综上所述,如果两圆相切,那么BP =2. (3)过点A 作AH ⊥BC ,垂足为点H . 由题意,可知AD =AB =4,即416 42=+-x x x .…………………(1分) ∴x =4.………………………………………………………(1分) 又∵BC =6,BH =2,∴CH =4. ∴AD =CH . ∵AD ∥CH ,∴四边形AHCD 是平行四边形. ∵∠AHC =90°,∴平行四边形AHCD 是矩形. ∴∠ABE =∠ADC =90°,…………………………………(1分) EB =CD =32.……………………………(1分) 过点P 作PK ⊥BE ,垂足为点K . ∵∠ABC =60°,∴∠PBK =30°. 又∵BP =4,∴PK =2,BK =32. ∴EK =34. ∴cot ∠BEP =32.………………………………(1分) (注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)