1.半圆或直径所对的圆周角是直角. 2.任意一个三角形一定有一个外接圆. 3.在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆. 4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等. 5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6.同圆或等圆的半径相等. 7.过三个点一定可以作一个圆. 8.长度相等的两条弧是等弧. 9.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等. 10.经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1.直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5.垂直于半径的直线必为圆的切线. 6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7.垂直于半径的直线是圆的切线. 8.圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1.两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2.相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3.两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4.两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5.相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1.正六边形的中心角为60°. 2.矩形是正多边形. 3.正多边形都是轴对称图形. 4.正多边形都是中心对称图形.
1.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2.已知:如图,⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 3.已知:如图,⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 4.已知:如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5.半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6.已知:如图,圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° 7.已知:如图,⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° 8. 已知:如图,⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° ° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. .4 C D. 10 10. 已知:如图,⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° ° 12.在半径为5cm 的圆中,有一条弦长为6cm,则圆心到此弦的距离为 . A. 3cm B. 4 cm C.5 cm D.6 cm 点、直线和圆的位置关系 1.已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3.已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . 个 个 个 D.不能确定 5.一个圆的周长为a cm,面积为a cm 2,如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 不能确定 6.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系? D B C A O ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D ? C B A O
圆的相关练习题 1、已知:弦AB 把圆周分成1:5的两部分,这弦AB 所对应的圆心角的度数为 。 2、如图:在⊙O 中,∠AOB 的度数为1200,则的长是圆周的 。 3、已知:⊙O 中的半径为4cm ,弦AB 所对的劣弧为圆的3 1,则弦AB 的长为 cm ,AB 的弦心距为 cm 。 4、如图,在⊙O 中,AB ∥CD ,的度数为450,则∠COD 的度数为 。 5、如图,在三角形ABC 中,∠A=700,⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等,则 ∠BOC=( )。 A .140° B .135° C .130° D .125° (第2题图) (第4题图) (第5题图) 6、下列语句中,正确的有( ) (1)相等的圆心角所对的弧相等; (2)平分弦的直径垂直于弦; (3)长度相等的两条弧是等弧; (4) 圆是轴对称图形,任何一条直径都是对称轴 A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 7、已知:在直径是10的⊙O 中, 的度数是60°,求弦AB 的弦心距。 8、已知:如图,⊙O 中,AB 是直径,CO ⊥AB ,D 是CO 的中点,DE ∥AB , 求证:
600 9. 已知:AB 交圆O 于C 、D ,且AC =BD.你认为OA =OB 吗?为什么? 10. 如图所示,是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面,若油面宽AB=600mm ,求油面的最大深度。 一、选择题 1.(北京市西城区)如图,BC 是⊙O 的直径,P 是CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A ,如果PA =3,PB =1,那么∠APC 等于 () (A )ο15 (B )ο30 (C )ο45 (D )ο60 2.(北京市西城区)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题,“今在圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用 现在的数学语言表述是:“如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E ,CE =1 寸,AB =10寸,求直径CD 的长”.依题意,CD 长为 ( ) (A )2 25寸 (B )13寸 (C )25寸 (D )26寸 5.(北京市朝阳区)如果圆锥的侧面积为20π平方厘米,它的母线长为5厘米,那么此圆锥的底面半径的长等于 ( ) (A )2厘米 (B )22厘米 (C )4厘米 (D )8厘米 6.(天津市)相交两圆的公共弦长为16厘米,若两圆的半径长分别为 10厘米和17厘米,则这两圆的圆心距为 ( ) (A )7厘米 (B )16厘米 (C )21厘米 (D )27厘米 7.(重庆市)如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C =ο 90,AO 的延长线交BC 于点D ,AC =4,DC =1,,则⊙O 的半径等于 ( )
圆与圆的位置关系学案 活动1,请以点o 为起始点,移动你手上的硬币,观察归纳两个圆的位置关系有几种情况?用铅笔刻描画出你得出的情况。 课堂练习:【A 组】 1、右图中有两圆的位置关系有 , 未出现的位置关系是 2、判断对错 1)、若两圆有两个公共点,则两圆相交( ) 2)、如果两圆没有交点,所以这两圆的位置关系是外离。( ) 3)若两圆只有一个交点,则这两圆外切. ( ) 4)、当O 1O 2=0时,两圆是同心圆. ( ) 3、⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和5cm,在下列情况下,分别求出两圆的圆心距d 的取值范围:
(1)外离________ (2)外切________ (3)相交____________(4)内切________ (5)内含___________ 4、⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm,求⊙O1和⊙O2的位置关系.设: (1)O1O2=8cm______ (2)O1O2=7cm _______ (3)O1O2=5cm ______ (4)O1O2=1cm _________ (5)O1O2=0cm _______ 5:如图⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点, OP=8cm。若以P为圆心作⊙P与⊙O相切,求⊙P的半径? 【B组】 6:如图,在网格图中,(每个小正方形的边长均为1个单位)⊙A的半径为1,⊙B的半径为2, 1)、使⊙A与静止的⊙B外切,那么⊙A 由图示位置需向右平移个单位。 2)、使⊙A与静止的⊙B内切,那么⊙A由图示位置需向右平移个单位。 A B 【C组】 7在ABC中,AB=3,BC=5,AC=6,分别以顶点A,B,C为圆心的三个圆两两外切,求这三个圆的半径分别是多少? 8、分别以1厘米、2厘米、4厘米为半径,用圆规画圆,使他们两两外切。如何画最快?
圆的基本性质练习 一、看准了再选 1..如图,⊙O中,ABDC是圆内接四边形,∠BOC=110°,则∠BDC的度数是() A.110° B.70° C.55° D.125° 2.如图,⊙O的直径CD过弦EF的中点G且EF⊥CD,若∠EOD=40°,则∠DCF等于() A.80° B. 50° C.40° D. 20° 3.直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径,则直线a与⊙O的位置关系是() A、相离B、相切C、相切或相交D、相交 4.在⊙O中,弦AB垂直并且平分一条半径,则劣弧AB的度数等于() A.30° B.120° C.150° D.60° 5.如图,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B,C?则BC=(). A.32 B.33 C. 3 2 3 D . 33 2 6..如图所示,∠1,∠2,∠3的大小关系是(). A.∠1>∠2>∠3 B.∠3>∠1>∠2 C.∠2>∠1>∠3 D.∠3>∠2>∠1 7..如图,已知∠BAC=45°,一动点O在射线AB上运动(点O?与点A不重合),设OA=x,如果半径为1的圆O与射线AC有公共点,那么x的取值范围是() A.0
A .65° B .115° C .65°或115° D .130°或50° 9如图,PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ,AC 是⊙O 的直径,连结AB 、BC 、OP ,则与∠PAB 相等 的角有( )个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10.边长分别为3,4,5的三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为( ). A .1:5 B .2:5 C .3:5 D .4:5 11.如图所示,圆弧形桥拱的跨度AB=12m ,拱高CD=4m ,则拱桥的直径为( ). A .6.5m B .9m C .13m D .15m 二.想好了再规范的写画 12.如图所示,线段AD 过圆心O 交⊙O 于D ,C 两点,∠EOD=78°,AE 交⊙O 于B ,? 且AB=OC ,求∠A 的度数. O E D C B A 13.如图AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,OD ⊥AB 于O ,交AC 于D ,OD=2,∠A=30°,求CD 。 14.如图,已知在Rt △ABC 中,AC=12,BC=9,D 是AB 上一点,以O 为圆心,BD 为直径的⊙O 切AC 于E ,求AD 的长。 15.如图所示,AB 是⊙O 的直径,AB=AC , D , E 在⊙O 上,说明BD=DE C E A D O B · B A C D O
圆周运动专题总结 知识点一、匀速圆周运动 1、定义:质点沿圆周运动,如果在相等的时间里通过的 相等,这种运动就叫做匀速周圆运 动。 2、运动性质:匀速圆周运动是 运动,而不是匀加速运动。因为线速度方向时刻在变化,向 心加速度方向,时刻沿半径指向圆心,时刻变化 3、特征:匀速圆周运动中,角速度ω、周期T 、转速n 、速率、动能都是恒定不变的;而线速度 v 、加速度a 、合外力、动量是不断变化的。 4、受力提特点: 。 随堂练习题 1.关于匀速圆周运动,下列说法正确的是( ) A .匀速圆周运动是匀速运动 B .匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C .物体做匀速圆周运动是变加速曲线运动 D .做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态 2.关于向心力的说法正确的是( ) A .物体由于作圆周运动而产生一个向心力 B .向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小 C .做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受合外力 D .做匀速圆周运动的物体的向心力是个恒力 3.在光滑的水平桌面上一根细绳拉着一个小球在作匀速圆周运动,关于该运动下列物理量中 不变的是(A )速度 (B )动能 (C )加速度 (D )向心力 知识点二、描述圆周运动的物理量 ⒈线速度 ⑴物理意义:线速度用来描述物体在圆弧上运动的快慢程度。 ⑵定义:圆周运动的物体通过的弧长l ?与所用时间t ?的比值,描述圆周运动的“线速度”, 其本质就是“瞬时速度”。 ⑶方向:沿圆周上该点的 方向 ⑷大小:=v = ⒉角速度 ⑴物理意义:角速度反映了物体绕圆心转动的快慢。 ⑵定义:做圆周运动的物体,围绕圆心转过的角度θ?与所用时间t ?的比值 ⑶大小:=ω = ,单位: (s rad ) ⒊线速度与角速度关系: ⒋周期和转速: ⑴物理意义:都是用来描述圆周运动转动快慢的。 ⑵周期T :表示的是物体沿圆周运动一周所需要的时间,单位是秒;转速n (也叫频率f ): 表示的是物体在单位时间内转过的圈数。n 的单位是 (s r )或 (m in r )f 的单位:
28.2.4《圆与圆的位置关系》 学案 教学目标: 1.使学生了解圆与圆位置关系的定义, 2.掌握用数量关系来识别圆与圆的位置关系。 重点难点: 用数量关系识别圆与圆的位置关系是本节课的教学重点,又是本节课的教学难点。 研讨过程: 一、认识生活中有关圆与圆的位置关系的一些图形 在现实生活中,圆与圆有不同的位置关系,如下图所示: 圆与圆的位置关系除了以上几种外,还有其他的位置关系吗?我们如何判断圆与圆的位置关系呢?这些问题待学习完这节课后就可以得到解决。 二、用公共点的个数阐述两圆的位置关系 请同学们在纸上画一个圆,把一枚硬币当作另一个圆,在纸上移动这枚硬币,观察两圆的位置关系和公共点的个数。 上图(1)、(2)、(3)所示,两个圆没有公共点,那么就说两个圆相离,其中 又叫做外离, 又叫做内含。 中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆。如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,上图(4)、(5)所示.其中 又叫做外切, 又叫做内切。如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图 所示。 (填写序号) 奥运会五环
三、用数量关系识别两圆的位置关系 思考:如果两圆的半径分别为3和5,圆心距(两圆圆心的距离)d 为9,你能确定他们的位置关系吗?若圆心距d 分别为8、6、4、2、1、0时,它们的位置关系又如何呢? 利用以上的思考题让同学们画图或想象,概括出两圆的位置关系与圆心距、两圆的半径具有什么关系。 (1)两圆外离 d R r ?> +; (2)两圆外切d R r ?=+; (3)两圆外离R r d R r ?-<<+; (4)两圆外离d R r ?=-; (5)两圆外离0d R r ?≤<-; (填<、=、>号) 两圆的位置关系可表示成下列数轴的形式。 要判断两圆的位置关系,要牢牢抓住两个特殊点,即外切和内切两点,当圆心距刚好等于两圆的半径和时,两圆 ,等于两圆的半径差时,两圆 。若圆心距处于半径和与半径差之间时,两圆 ,大于两圆半径和时,两圆 ,小于两圆半径差时,两圆 。 四、例题与练习 例1、已知⊙A 、⊙B 相切,圆心距为10 cm ,其中⊙A 的半径为4 cm ,求⊙B 的半径。(提示:分两种情况讨论) 解:设⊙B 的半径为R . (1) 如果两圆外切,那么 (2) 如果两圆内切,那么 所以⊙B 的半径为 cm 或 cm 。 例2、两圆的半径的比为2:3,内切时的圆心距等于8c m ,那么这两圆相交时圆心距的范围是多少? 解: 练习:课本P54 练习1、2、3 五、小结 这节课我们同样也用数量关系来体现圆与圆的位置关系。在识别圆与圆的位置关系时,关系式比较多,也难于忘记,如果同学们能够掌握用数轴来体现圆与圆的位置关系,理解起来就会更深刻,记忆也会更容易。 六、作业 P55 习题8、9 教学反思: 0R-r R+r 外离相交外切内切内含d
8错误!未指定书签。?如图,方格纸中4个小正方形的边长均为 1, 则图中阴影部分三个小 扇形的面积和为 (结果保留n ) 中考数学 圆的基本性质和计算经典练习题 一、填空题 1错误!未指定书签。?如图,在O O 中,已知 OAC 20 ° , OA // CD ,则 AOD ? 圆心,C 是AB 上一点,0C 丄AB ,垂足为D , AB 300m, CD 50m,则这段弯路 的半径是 m 3错误!未指定书签。?如图,AB 为O O 的直径,点 C , D 在O O 上, BAC 50°,则 ADC 4错误!未指定书签。?如图所示,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为 1的O O 的圆 心O 在格点上,则/ AED 的正切值等于 5错误!未指定书签。. 若O 为ABC 的外 心 D C, I ■ ■ BOC 60 ,则 BAC 6错误!未指定书签。? 使吨AB, PC 切 C 如图,AB 为半圆 半圆O 于点C, O 的直径,延长AB 到点P, 点D 是 A C 上和点C 不重 合 的一点,贝y D 的度数为 7错误!未指定书签。 .如图, 在 Rt A ABC 中, BAC 90o , BC 6,点D 为BC 中点, 将厶ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转120° 得到△ ABD ,则点 D 在旋转过程中所经过 的路程为 ?(结果保留 ) 晶,点O 是这段弧的 第1题 2错误!未指定书签。
9错误!未指定书签。?矩形ABCD 勺边 AB=8, AD=6,现将矩形 ABCD 放在直线l 上且沿着I 向右作无滑动地翻滚,当它翻滚至类似开始 的 位置 A 1 B 1 C 1 D 1时(如图所示),则顶点A 所经过的路线长是 __________ . 二、选择题 10错误!未指定书签。?如图,O O 内切于 △ ABC ,切点分别为D , E , F .已 知 B 50° , C 60° ,连结 C,则AB 的长为 O 的位置关系是 为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目, 她打算剪去部分扇形纸片后, 利用剩下的 纸片制作成一个底面半径为 10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠),那么剪去的扇形纸片 的圆心角为( ). A 9° B 、18° C 63° D 72 三、解答题 第10题 第11题 12题 第13题 11错误!未指定书签。 .如图,两个同心圆的半径分别为 3cm 和 5cm, 弦AB 与小圆相切于点 40cm Ax -A 1 1 x V 1 OE, OF , DE , DF ,那么 EDF 等于 ( ) A. 40° B. 55° C. 65 D. 70° A. 4cm .5cm C. 6cm .8cm 12错误!未指定书签。 ?如图,在直角坐标系中,O O 的半径为 1,则直线 A.相离 E.相交 C.相切 D. 以上三种情形都有 可能 13错误!未指定书签。 ?现有30%圆周的一个扇形彩纸片,该扇形的半径为 40cm 小红同学
教学过程 一、课堂导入 问题:观察上面太阳升起的图片,思考直线和圆有怎样的位置关系?
二、复习预习 1、圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半 2、圆周角定理的推论: (1)同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. (2)半圆(或直径)所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径 3、其它推论:①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. ②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半. ③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等. ④圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角. 三、知识讲解 考点1 点与圆的位置三种位置关系 如图1所示,设⊙O 的半径为r , A 点在圆内,OA <r B 点在圆上,OB = r 图 1
C点在圆外,OC>r 反之,在同一平面上,已知的半径为r⊙O,和A,B,C三点: 若OA<r,则A点在圆内 若OB= r,则B点在圆上 若OC>r,则C点在圆外 考点2 直线和圆的位置关系(设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.) 1、当d>r时,直线与圆相离(如图所示) 2、当d<r时,直线与圆相交(如图所示) 3、当d=r时,直线与圆相切(如图所示),此时直线即为圆的切线. 考点3 切线的判定和性质 1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径 2、推论:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点,经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 3、切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 考点4切线长定理1、切线长定义:从圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长,叫做这点到圆的切线长(如图AB长度即为切线长).
新初中数学圆的经典测试题含答案 一、选择题 1.中国科学技术馆有“圆与非圆”展品,涉及了“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的,所以圆是“等宽曲线”.除了例以外,还有一些几何图形也是“等宽曲线”,如勒洛只角形(图1),它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间画一段圆弧.三段圆弧围成的曲边三角形.图2是等宽的勒洛三角形和圆. 下列说法中错误的是( ) A .勒洛三角形是轴对称图形 B .图1中,点A 到?BC 上任意一点的距离都相等 C .图2中,勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都相等 D .图2中,勒洛三角形的周长与圆的周长相等 【答案】C 【解析】 【分析】 根据轴对称形的定义,可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合,则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°,半径为DE 的扇形的重叠,根据其特点可以进行判断选项的正误. 【详解】 鲁列斯曲边三角形有三条对称轴,就是等边三角形的各边中线所在的直线,故正确; 点A 到?BC 上任意一点的距离都是DE ,故正确; 勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都不相等,1O 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍,故错误; 鲁列斯曲边三角形的周长=3×60180DE DE ππ?=? ,圆的周长=22 DE DE ππ?=? ,故说法正确. 故选C. 【点睛】 主要考察轴对称图形,弧长的求法即对于新概念的理解. 2.如图,在ABC ?中,90ABC ∠=?,6AB =,点P 是AB 边上的一个动点,以BP 为
必修2 第四章 §4-3 圆与圆的位置关系 【课前预习】阅读教材P 129-132完成下面填空 1. 两圆的的位置关系 (1)设两圆半径分别为12,r r ,圆心距为d 若两圆相外离,则 ,公切线条数为 若两圆相外切,则 ,公切线条数为 若两圆相交,则 , 公切线条数为 若两圆内切,则 ,公切线条数为 若两圆内含,则 ,公切线条数为 (2) 设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ,0:222222=++++F y E x D y x C ,若两圆相交,则两圆的公共弦所在的直线方程是 2.圆系方程 ①以点),(00y x C 为圆心的圆系方程为 ②过圆0:22=++++F Ey Dx y x C 和直线0:=++c by ax l 的交点的圆系方程为 ③过两圆0:111221=++++F y E x D y x C ,0:222222=++++F y E x D y x C 的交点的圆系方程为 (不表示圆2C ) 【课初5分钟】课前完成下列练习,课前5分钟回答下列问题
1. 已知圆1C :2(1)x ++2(1)y -=1,圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称,则圆2C 的方程为( ) A.2(2)x ++2(2)y -=1 B.2(2)x -+2(2)y +=1 C.2(2)x ++2(2)y +=1 D.2(2)x -+2(2)y -=1 2.两个圆1C :2222x y x y +++-2=0与2C :2242x y x y +--+1=0的公切线有 且仅有( ). A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 3.圆1C :22()(2)x m y -++=9与圆2C :2(1)x ++2()y m -=4外切,则m 的值 为( ). A. 2 B. -5 C. 2或-5 D. 不确定 4.两圆:x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0及x 2+y 2 + 4x + 2y – 4 =0的公共弦所在直线方程为 强调(笔记): 【课中35分钟】边听边练边落实 5. 已知圆1C :22660x y x +--=①,圆2C :22460x y y +--=②(1)试判 断两圆的位置关系;(2)求公共弦所在的直线方程.
1、(2017黄冈)已知:如图,在⊙O 中,0 ,70OA BC AOB ⊥∠=,则A D C ∠的度数为( ) A . 30° B . 35° C. 45° D .70° 解:∵OA ⊥BC ∴⌒BC =⌒AC ∵∠AOB=70° ∴∠ADC=∠AOB=35° 故选:B . 2、(2017毕节)如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,∠ACD=30°,则∠BAD 为( ) A .30° B .50° C .60° D .70° 解:连接BD , ∵∠ACD=30°, ∴∠ABD=30°, ∵AB 为直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°. 故选C .
3、如图,O 为原点,点A 的坐标为(3,0),点B 的坐标为(0,4),⊙D 过A 、B 、O 三点,点C 为⌒ABO 上一点(不与O 、A 两点重合),则cosC 的值为( ) A .43 B .53 C .34 D .54 如图,连接AB , ∵∠AOB=90°,∴AB 为圆的直径, 由圆周角定理,得∠C=∠ABO , 在Rt △ABO 中,OA=3,OB=4,由勾股定理,得AB=5, 5 4 . 故选D . 4、(2016南宁)如图,点A ,B ,C ,P 在⊙O 上,CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,∠DCE =40°,则∠P 的度数为( ) A .140° B.70° C.60° D.40° 解:∵CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,∠DCE=40°, ∴∠DOE=180°﹣40°=140°, ∴∠P=∠DOE=70°.故选B .
圆的相关练习题(含答案) 1、已知:弦AB 把圆周分成1:5的两部分,这弦AB 所对应的圆心角的度数为 。 2、如图:在⊙O 中,∠AOB 的度数为1200,则 的长是圆周的 。 3、已知:⊙O 中的半径为4cm ,弦AB 所对的劣弧为圆的3 1,则弦AB 的长为 cm , AB 的弦心距为 cm 。 4、如图,在⊙O 中,AB ∥CD , 的度数为450,则∠COD 的度数为 。 5、如图,在三角形ABC 中,∠A=700,⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等,则 ∠BOC=( )。 A .140° B .135° C .130° D .125° (第2题图) (第4题图) (第5题图) 6、下列语句中,正确的有( ) (1)相等的圆心角所对的弧相等; (2)平分弦的直径垂直于弦; (3)长度相等的两条弧是等弧; (4) 圆是轴对称图形,任何一条直径都是对称轴 A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 7、已知:在直径是10的⊙O 中, 的度数是60°,求弦AB 的弦心距。 8、已知:如图,⊙O 中,AB 是直径,CO ⊥AB ,D 是CO 的中点,DE ∥AB , 求证:
600 9. 已知:AB 交圆O 于C 、D ,且AC =BD.你认为OA =OB 吗?为什么? 10. 如图所示,是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面,若油面宽AB=600mm ,求油面的最大深度。 11. 如图所示,AB 是圆O 的直径,以OA 为直径的圆C 与圆O 的弦AD 相交于点E 。你认为图中有哪些相等的线段?为什么? 答案:1.60度 2. 3 2 3. 1 3 4 4.90度 5.D 6.A 7.2.5 8.提示:连接OE ,求出角COE 的度数为60度即可 9.略 10.100毫米 11.AC=OC , OA=OB , AE=ED B
4.2.2 圆与圆的位置关系(学案) 姓名: 一、复习引入:圆与圆的位置关系 设两圆1C 与2C 的半径分别为R r ,,圆心距为12=C C d 。 (二)自主探究:如何根据圆的方程,判断它们之间的位置关系? 类比回顾:
典例(教材P129页例3)已知圆2212880C x y x y +++-=:, 2224420C x y x y +---=:,试判断圆1C 与圆2C 的位置关系? (三)形成方法: 典例变式1:判定圆221210240C x y x y ++--=:,222440C x y x y +--=:的位置关系?
(四)问题再探: 思考1:在典例中,设两圆相交于A 、B 两点,如何求相交弦AB 的直线方程?你有什么发现? 思考2:在典例中,怎么求公共弦AB 的长? (五)提升练习: 典例变式2:已知圆2212880C x y x y +++-=:, 2222108410(0)C x y x y r r +---+=>:,当r 为何值时,两圆的位置关系为外切? 相交?内含?
(六)课堂小结: 绵中精品小练习及两个思考探究题: 探究1:对比直线的交点系方程,当圆2211110C x y D x E y F ++++=:与圆 2222220C x y D x E y F ++++=:相交时,方程 ()2222111222+0x y D x E y F x y D x E y F λ++++++++=可以表示什么曲线? 探究2:已知两圆2211110C x y D x E y F ++++=:与2222220C x y D x E y F ++++=: 当1C 与2C 相交时,直线()()()1212120l D D x E E y F F -+-+-=:表示两圆的公共弦方程。那么,当两圆相切或是相离时,直线l 是否有一定的几何特征呢?
1 / 3 圆的基本性质 〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质 〖大纲要求〗 1. 正确理解和应用圆的点集定义,掌握点和圆的位置关系; 2. 熟练地掌握确定一个圆的条件,即圆心、半径;直径;不在同一直线上三点。一个 圆的圆心只确定圆的位置,而半径也只能确定圆的大小,两个条件确定一条直线,三个条件确定一个圆,过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一; 3. 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质:同(等)圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍;直径是 最大的弦;圆是轴对称图形,经过圆心的任一条直线都是对称轴;圆是中心对称图形,圆心是对称中心;圆具有旋转不变性;垂径定理及其推论;圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系; 4. 掌握和圆有关的角:圆心角、圆周角的定义及其度量;圆心角等于同(等)弧上的 圆周角的2倍;同(等)弧上的圆周角相等;直径(半圆)上的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 5. 掌握圆内接四边形的性质定理:它沟通了圆内外图形的关系,并能应用它解决有关 问题; 6. 注意:(1)垂径定理及其推论是指:一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦” ③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件,则必具有另外三个结论(当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制),条理性的记忆,不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用,垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据;(2)有弦可作弦心距组成垂径定理图形;见到直径要想到它所对的圆周角是直角,想垂径定理;想到过它的端点若有切线,则与它垂直,反之,若有垂线则是切线,想到它被圆心所平分;(3)见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角,要想到应用圆内接四边形的性质。 典型例题 1.一个点到圆的最大距离为11cm ,最小距离为5cm,则圆的半径为( ) (A)16cm 或6cm, (B)3cm 或8cm (C)3cm (D )8cm 2.P ∠与⊙O 交于A ,B ,C ,D 四点,AQ ,CQ 为圆的两条弦,弧BQ 的度数为,42? 弧QD 的度数为,38?求__________=∠+∠Q P 3.如图,⊙O 中直径AB 垂直于弦CD ,若AB=10,CD=6,则BE 的长为________[1] 4.如图,正方形CDEF 的边CD 在半圆O 的直径上,正方形的过长为1,AC=a, BC=b, 在 5)4(;1)3(;5)2(;1)1(22=+==+=-b a ab b a b a ,各式中成立的个数为_______[3] 5。如图,四过形内接于⊙O, AD 为直径, 若?=∠60CBE , 则圆心角=∠AOC ________]120[? 6.BC 为半圆O 的直径, A 、D 为半圆上的两点, AB=3, BC=2, 则∠ D=___________ ]150[?
24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 1.如图,⊙O的半径为r. (1)点A在⊙O外,则OA__>___r;点B在⊙O上,则OB__=___r;点C在⊙O内,则OC__<___r. (2)若OA>r,则点A在⊙O__外___;若OB=r,则点B在⊙O__上___;若OC<r,则点C在⊙O__内___. 2.在同一平面内,经过一个点能作__无数___个圆;经过两个点可作__无数___个圆;经过__不在同一直线上___的三个点只能作一个圆. 3.三角形的外心是三角形外接圆的圆心,此点是__三边垂直平分线的交点___. 4.反证法首先假设命题的__结论___不成立,经过推理得出矛盾,由此判定假设__错误___,从而得到原命题成立. 知识点1:点与圆的位置关系 1.已知点A在直径为8 cm的⊙O内,则OA的长可能是( D) A.8 cm B.6 cm C.4 cm D.2 cm 2.已知圆的半径为6 cm,点P在圆外,则线段OP的长度的取值范围是__OP>6_cm___.3.已知⊙O的半径为7 cm,点A为线段OP的中点,当OP满足下列条件时,分别指出点A与⊙O的位置关系: (1)OP=8 cm;(2)OP=14 cm;(3)OP=16 cm. 解:(1)在圆内(2)在圆上(3)在圆外 知识点2:三角形的外接圆 4.如图,点O是△ABC的外心,∠BAC=55°,则∠BOC=__110°___. 5.直角三角形外接圆的圆心在__斜边的中点___上.若直角三角形两直角边长为6和8,则该直角三角形外接圆的面积为__25π___. 6.一个三角形的外心在其内部,则这个三角形是( C) A.任意三角形B.直角三角形
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,△ABC的内接三角形,P为BC延长线上一点,∠PAC=∠B,AD为⊙O的直径,过C作CG⊥AD于E,交AB于F,交⊙O于G. (1)判断直线PA与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)求证:AG2=AF·AB; (3)若⊙O的直径为10,AC=25,AB=45,求△AFG的面积. 【答案】(1)PA与⊙O相切,理由见解析;(2)证明见解析;(3)3. 【解析】 试题分析:(1)连接CD,由AD为⊙O的直径,可得∠ACD=90°,由圆周角定理,证得∠B=∠D,由已知∠PAC=∠B,可证得DA⊥PA,继而可证得PA与⊙O相切. (2)连接BG,易证得△AFG∽△AGB,由相似三角形的对应边成比例,证得结论. (3)连接BD,由AG2=AF?AB,可求得AF的长,易证得△AEF∽△ABD,即可求得AE的长,继而可求得EF与EG的长,则可求得答案. 试题解析:解:(1)PA与⊙O相切.理由如下: 如答图1,连接CD, ∵AD为⊙O的直径,∴∠ACD=90°. ∴∠D+∠CAD=90°. ∵∠B=∠D,∠PAC=∠B,∴∠PAC=∠D. ∴∠PAC+∠CAD=90°,即DA⊥PA. ∵点A在圆上, ∴PA与⊙O相切.
(2)证明:如答图2,连接BG , ∵AD 为⊙O 的直径,CG ⊥AD ,∴AC AD =.∴∠AGF=∠ABG. ∵∠GAF=∠BAG ,∴△AGF ∽△ABG. ∴AG :AB=AF :AG. ∴AG 2=AF?AB. (3)如答图3,连接BD , ∵AD 是直径,∴∠ABD=90°. ∵AG 2=AF?AB ,55∴5 ∵CG ⊥AD ,∴∠AEF=∠ABD=90°. ∵∠EAF=∠BAD ,∴△AEF ∽△ABD. ∴ AE AF AB AD =545=,解得:AE=2. ∴221EF AF AE = -=. ∵224EG AG AE = -=,∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322 AFG S FG AE ?=??=??=.
新苏科版九年级数学上册:2.5 直线与圆的位置关系(1)学案 时间 学习目标1.经历探索直线与圆的位置关系的过程; 2.理解直线与圆的三种位置关系——相交、相切、相离;3.能利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系判别直线与圆的位置关系. 学习重点用“圆心到直线的距离与圆半径之间的数量关系”来描述“直线与圆的位置关系”的方法. 学习难点直线和圆相切:“直线和圆有唯一公共点”的含义. 学习过程: 【预习·导学】 我们已经学习过点和圆的位置关系,请同学们回忆: (1)点和圆有哪几种位置关系? (2)怎样判定点和圆的位置关系?(数量关系——位置关系) 【预习检测】 【教学内容】 实践探索一:直线和圆的位置关系 在纸上画一个圆,上下移动直尺.把直尺看作直线,在移动的过程中观察直线与圆的位置关系发生了怎样的变化? 直线与圆的三种不同位置关系与直线与圆的公共点个数有关.(1)直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交. (2)直线和圆有唯一公共点,叫做直线和圆相切,这条直线叫圆的切线,这个公共点叫切点.
(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. 【小组合作探究】 实践探索二:探究直线与圆的位置关系的数量特征 1.直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样,也可以用数量关系来刻画它们的三种位置关系呢?1.学生自己画图探究,并进行全班交流研讨. (1)直线与圆相交 d <r ; (2)直线与圆相切 d =r ; (3)直线与圆相离 d >r . 【大班交流,师生互动】 例1 在△ABC 中,∠A =45°,AC =4,以C 为圆心,r 为半径的圆与直线AB 有怎样的位置关系?为什么? (1)r =2;(2)r =22;(3)r =3. d O (1)相交 r d .(2)相切 r d .(3)相离 r O O
与圆的基本性质有关的计算与证明 专题练习题 1.如图,BD 是⊙O 的直径,点A ,C 在⊙O 上,AB ︵=BC ︵,∠AOB =60°,则∠BDC 的度数是( ) A .60° B .45° C .35° D .30° 2.如图,已知AC 是⊙O 的直径,点B 在圆周上(不与A ,C 重合),点D 在AC 的延长线上,连接BD 交⊙O 于点E ,若∠AOB=3∠ADB ,则( ) A .DE =E B B.2DE =EB C.3DE =DO D .DE =OB 3.如图,线段AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,∠CAB =40°,则∠ABD 与∠AOD 分别等于( ) A .40°,80° B .50°,100° C .50°,80° D .40°,100° 4.如图,C ,D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点,若CA =CD ,且∠ACD =40°,则∠CAB =( ) A .10° B .20° C .30° D .40° 5.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,若四边形ABCO 是平行四边形,则∠ADC 的大小为( ) A .45° B .50° C .60° D .75° 6.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,F 是CD ︵上一点,且DF ︵=BC ︵,连接CF 并延长交AD 的延长线于点E , 连接AC.若∠ABC=105°,∠BAC =25°,则∠E 的度数为( )
A.45° B.50° C.55° D.60° 7.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则∠BOC的度数是( ) A.120°B.135°C.150°D.165° 8.如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,则BD的长为________. 9.如图,在⊙O中,A,B是圆上的两点,已知∠AOB=40°,直径CD∥AB,连接AC,则∠BAC=_______度. 10.如图,在△ABC中,AB=AC=10,以AB为直径的⊙O与BC交于点D,与AC交于点E,连接OD交BE于点M,且MD=2,则BE长为_______. 11.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠C=∠D,则AB与CD的位置关系是_________.12.如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且AB=26 m,OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD=5∶24.
点、直线与圆的位置关系(中考复习教案) 一、复习目标: 1、探索并了解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系; 2、理解不在同一直线上的三点确定一个圆; 3、掌握切线的判定定理及切线的性质定理,熟练运用它们解决一些具体的问题; 二、复习重点和难点: 复习重点: 1、熟练运用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题; 2、掌握点、直线与圆的位置关系及其性质和判定方法。 复习难点: 1、利用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题; 2、利用切线的性质和判定进行证明或计算时如何正确添加辅助线。 三、复习过程: (一)知识梳理: 1.点与圆的位置关系: 有三种:点在圆外,点在圆上,点在圆内. 设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则 点在圆外?d>r.点在圆上?d=r.点在圆内?d<r. 2.直线和圆的位置关系有三种:相交、相切、相离. 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则 直线与圆相交?d<r;直线与圆相切?d=r;直线与圆相离?d>r 3.切线的性质和判定 (1)切线的定义:直线和圆有唯一公共点时,这条直线叫做圆的切线. (2)切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径. (3)切线的判定方法一:经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (4)切线的判定方法二:到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 注意:证明一条直线是圆的切线的方法有两种:(1)当直线与圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连结起来,然后证明直线垂直于这条半径,简称“作半径,证垂直”;(2)当直线和圆的公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,?再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂线,证半径.”