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苏教版教材典型例习题及改编题(共44页word版可编辑)

B

B 3

第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

1. 设函数)(x f y =的定义域为A ,则集合}),(),{(A x x f y y x P ∈==与}

),({A x x f y y Q ∈==相等吗?请说明理由。

2. 已知一个函数的解析式为2x y =,它的值域为[]4,1,这样的函数有多少个?试写出其中两个函数。

3. 对于任意的R x x ∈21,,若函数x x f 2)(=,试比较

2

)

()(21x f x f +与)2

(2

1x x f +的大小关系。

4. 已知定义在实数集上的函数)(x f y =满足条件:对于任意的R y x ∈,,)()()(y f x f y x f +=+,

求证: 1) 0)0(=f ; 2)

)(x f 是奇函数。

你能举出几个满足上述条件的函数吗?

(必修2)立体几何初步变式题

1、(必修2 P .60 习题1.3 第9题)

变题 如图是一个几何体的三视图(单位:cm ) (Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积;

(Ⅲ)设异面直线A A '与B C '所成的角为θ,求cos θ.

解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图所示. (Ⅱ)这个几何体是直三棱柱. 由于底面A B C ?的高为1,所以AB =

=

故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''?=++

1

A

B

1

1221322382

=?

??+?+??

=+2

(cm ).

这个几何体的体积121332

A B C V S B B ?'=?=

???=3

(cm )

(Ⅲ)因为//AA BB '',所以A A '与B C '所成的角是B B C ''∠. 在R t B B C ''?

中,BC '===

故cos BB BC θ'=

=

='

2、(必修2 P .18 习题1.1 第7题)

变题 如图,已知几何体的三视图(单位:cm ). (Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积;

(Ⅲ)设异面直线1A Q 、P D 所成角为θ,求cos θ. 解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图所示.

(Ⅱ)这个几何体可看成是由正方体1AC 及直三棱柱1111B C Q A D P -的组合体. 由11PA PD ==

112A D AD ==,

可得11PA PD ⊥. 故所求几何体的全面积

2

2

152222222

S =?+??

?

?

=+2

(cm )

所求几何体的体积

2

3

122102

V =+

?

?=3

(cm )

1

D

A

1

A B

C

D

1

B 1

C F

E (Ⅲ)由//PQ CD ,且PQ CD =,可知

//PD QC , 故1A Q C ∠为异面直线1A Q 、P D 所成的角(或其补角). 由题设知2

2

2

2

1

11126A Q A B B Q =+=+

=,12A C =

=

取B C 中点E ,则QE BC ⊥,且3QE =,

22222

3110Q C Q E EC =+=+=.

由余弦定理,得2

2

2

1111cos cos 2A Q Q C A C

A Q C A Q Q C θ+-=∠=

?

115

15=

=

3、(必修2 P .48 习题1.2(3) 第8题)

变题 如图,已知E 、F 分别是正方体1111ABC D A B C D -的棱1A A 和棱1C C 的中点. (Ⅰ)试判断四边形1EBFD 的形状; (Ⅱ)求证:平面1EBFD ⊥平面11BB D .

解(Ⅰ)如图,取1B B 的中点M ,连结1A M 、M F . ∵M 、F 分别是1B B 和1C C 的中点, ∴11//M F B C =,

在正方体1111ABC D A B C D -中,有

1111//A D B C =, ∴11//M F A D =,

∴四边形11A M FD 是平行四边形,

∴11//A M D F =

. 又E 、M 分别是1A A 、1B B 的中点,

∴1//A E BM =

, ∴四边形1A EBM 为平行四边形,

1

D

A

1A B

C

D

1

B 1

C F E

A 1

A B 1

B C

1

C D

1

D F

E ∴1//E B A M =. 故1//EB D

F =

. ∴四边形1EBFD 是平行四边形. 又Rt EAB ?≌R t F C B ?, ∴B E B F =,

故四边形1EBFD 为菱形. (Ⅱ)连结E F 、1BD 、11A C . ∵四边形1EBFD 为菱形,

∴1EF BD ⊥.

在正方体1111ABC D A B C D -中,有

1111B D A C ⊥,

111B D A A ⊥

∴11B D ⊥平面11A AC C . 又E F ?平面11A AC C , ∴11EF B D ⊥. 又111B D BD D = , ∴E F ⊥平面11BB D . 又E F ?平面1EBFD , 故平面1EBFD ⊥平面11BB D 4、(必修2 P .38 习题1.2(2) 第6题)

变题 如图,已知正四棱柱1111ABC D A B C D -中,底面边长2A B =,侧棱1B B 的长为4,过点B 作1B C

的的垂线交侧棱1C C 于点E ,交1B C 于点F .

(Ⅰ)求证:1A C ⊥平面BED ;

(Ⅱ)求1A B 与平面BD E 所成的角的正弦值.

x

B

解:(Ⅰ)如图4-2,以D 为原点,D A 、D C 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -.

∴1111(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),(0,2,4),(0,0,4)D A B C A B C D . 设(0,2,)E t ,则1(2,0,),(2,0,4)BE t B C =-=--

. ∵1BE B C ⊥,∴14040BE B C t ?=+-=

∴1t =,∴(0,2,1)E ,(2,0,1)B E =-

又1(2,2,4),(2,2,0)A C DB =--=

∴14040A C BE ?=+-= 且14400A C DB ?=-++=

. ∴1A C DB ⊥ 且1A C BE ⊥ .

∴1A C BD ⊥ 且1A C BE ⊥ .∴1A C ⊥

平面BD E .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知1(2,2,4)A C =-- 是平面BD E 的一个法向量,又1(0,

2,4)A B =-

, ∴111111cos ,6

||||

A C A B

A C A

B A

C A B ?==

∴1A B 与平面BD E 6

5、(必修2 P .47 练习 第4题) 变题1如图,已知平面,αβ,

且,,,,AB PC PD C D αβα

β=⊥⊥ 是垂足. (Ⅰ)求证:AB ⊥平面PC D ; (Ⅱ)若1,PC PD C D ===,试判断平面α与平面β的位置关系,并

证明你的结论.

解(Ⅰ)因为,PC AB αα⊥?,所以P C A B ⊥.同理PD AB ⊥又PC PD P = ,故AB ⊥平面PC D .

(Ⅱ)设A B 与平面PC D 的交点为H ,连结C H 、D H . 因为AB ⊥平面PC D ,所以,AB CH AB DH ⊥⊥, 所以C H D ∠是二面角C A B D --的平面角.

B

又1,PC PD C D ===,所以2222CD PC PD =+=,即0

90CPD ∠=.

在平面四边形P C H D 中,090PCH PDH CPD ∠=∠=∠=, 所以090CHD ∠=. 故平面α⊥平面β.

变题2 如图,已知直二面角AB αβ--,,,P Q PQ αβ∈∈与平面α、β所成的角都为0

30,

4PQ =. ,PC AB C ⊥为垂足,,QD AB D ⊥为垂足.

(Ⅰ)求直线PQ 与C D 所成角的大小; (Ⅱ)求四面体PCDQ 的体积.

解:(Ⅰ)如图,在平面β内,作//C E D Q =

,连结P E 、QE .则四边形

C D Q E 为平行四边形,所以//EQ C D =

,即PQE ∠为直线PQ 与C D 所成的角(或其补角). 因为,,AB PC AB αβαβ⊥=⊥ . 所以PC β⊥.同理QD α⊥.

又PQ 与平面α、β所成角为030,所以030PQ

C ∠=,0

30Q PD ∠=,所以

c o s 30232

C Q P Q ==

,0

1sin 30422

D

Q P Q ==?

=.

Rt CDQ ?中,

CD ===E Q =.

因为QD AB ⊥,且CDQE 为平行四边形, 所以EQ CE ⊥.

又,PC EQ ββ⊥?,所以EQ PC ⊥. 故EQ ⊥平面PC

E ,从而EQ PE ⊥.

在Rt PEQ ?中,cos 4

2

EQ PQ E PQ

∠===.

所以0

45PQE ∠=,

即直线PQ 与C D 所成角的大小为045.

(Ⅱ)在Rt PCQ ?中,04,30PQ PQ C =∠=,所以2P C =. 三角形CDQ

的面积1122

2

C D Q S C D D Q ?=?=

?=,

故四面体PCDQ 的体积

1123

3

C D Q V S P C ?=

?=

?=

6、(必修2 P .53 练习 第4题)

变题 如图,在矩形A B C D 中,2,1,AB AD E ==是C D 的中点,以A E 为折痕将D AE ?向上折起,使D 为D ',且平面D A E '⊥平面A B C E . (Ⅰ)求证:AD EB '⊥;

(Ⅱ)求直线A C 与平面A B D '所成角的正弦值.

解(Ⅰ)在R t B C E ?

中,BE ==

在R t A D E '?

中,AE =

=

∵22222AB BE AE ==+,

∴AE BE ⊥.

∵平面AED '⊥平面A B C E ,且交线为A E , ∴BE ⊥平面A E D '. ∵AD '?平面A E D ', ∴AD BE '⊥.

(Ⅱ)设A C 与B E 相交于点F ,由(Ⅰ)知

AD BE '⊥,

∵AD ED ''⊥,

∴AD '⊥平面EBD ', ∵AD '?平面A E D ',

∴平面ABD '⊥平面EBD ',且交线为BD ',

如图,作F G B D '⊥,垂足为G ,则F G ⊥平面A B D ', 连结A G ,则F A G ∠是直线A C 与平面A B D '所成的角.

B A B

C

D 'E

A

B

C

D '

E

F

G

由平面几何的知识可知

12

E F E C F B

A B

=

=

,∴13

3

EF EB =

=

在R t A E F ?

中,3

AF ===

在R t E B D '?中,

F G D E F B

D B

'=

'

,可求得9

FG =

∴sin 15

3

FG FAG AF

∠=

=

=

∴直线A C 与平面A B D '

所成的角的正弦值为

15

7、(必修2 P .38 习题1.2(2) 第5题)

变题 如图,在棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -中,P 是侧棱1C C 上的一点,C P m =。

(Ⅰ)、试确定m ,使直线A P 与平面11BD D B

所成角的正切值为

(Ⅱ)、在线段11A C 上是否存在一个定点Q ,使得对任意的m ,1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于

A P ,并证明你的结论。

解:(1),,AC AC BD O = 连设

1.AP B G O G 1与面BDD 交于点,连

1111//,,PC BD D B BD D B APC O G = 因为面面面

故//O G P C 。所以12

2

m O G P C =

=

又111,,AO D B AO BB AO BD D B ⊥⊥⊥所以面 . 故11AG O AP BD D B ∠即为与面所成的角。

在R t

△2tan 2

AO G AG O m ==中,

,即1

3m =

.

故当13

m =

时,直线AP 11与平面BDD B 所成的角的正切值为

(Ⅱ)依题意,要在11A C 上找一点Q ,使得1D Q A P ⊥. 可推测11A C 的中点1O 即为所求的Q 点。

因为1111.D O A C ⊥111D O A A ⊥,所以111.D Q AC C A ⊥面 又11.AP AC C A ?面,故11D O A P ⊥。 从而111D O AD P AP 在平面上的射影与垂直。 8、(必修2 P .47 习题1.2(3) 第7题)

变题 在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中,底面是等腰三角形,AB =AC ,侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC .

(1)若D 是BC 的中点,求证:AD ⊥CC 1;

(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ,若AM =MA 1,求证:截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ; (3)AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗?请你叙述判断理由. (1)证明:∵AB =AC ,D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC

∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ,∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴AD ⊥CC 1. (2)证明:延长B 1A 1与BM 交于N ,连结C 1N

∵AM =MA 1,∴NA 1=A 1B 1

∵A 1B 1=A 1C 1,∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1 ∴C 1N ⊥C 1B 1 ∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ,∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .

(3)解:结论是肯定的,充分性已由(2)证明,下面证必要性.

过M 作ME ⊥BC 1于E ,∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ,又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C . ∴ME ∥AD ,∴M 、E 、D 、A 共面 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ,∴AM ∥DE

∵CC 1⊥AM ,∴DE ∥CC 1∵D 是BC 的中点,∴E 是BC 1的中点 ∴AM =DE =2

121

1=

CC AA 1,∴AM =MA 1.

9、(必修2 P .38 习题1.2(2) 第11题)

变题 如图, 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC =3,BC =4,AA 1=4,

点D 是AB 的中点, (I )求证:AC ⊥BC 1; (II )求证:AC 1//平面CDB 1;

(III )求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的余弦值. (I )证明:直三棱柱ABC -A 1B 1C 1,底面三边长AC =3,BC =4AB =5,

∴ AC ⊥BC ,且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ,∴ AC ⊥BC 1;

(II )证明:设CB 1与C 1B 的交点为E ,连结DE ,∵ D 是AB 的中点,E 是BC 1的中点,∴ DE //AC 1,

∵ DE ?平面CDB 1,AC 1?平面CDB 1,∴ AC 1//平面CDB 1; (III )解:∵ DE //AC 1,∴ ∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角, 在△CED 中,ED =2

1AC 1=

2

5,CD =

2

1AB =

2

5,

CE =

2

1CB 1=22,

8cos 55

22

C E

D ∠==

?,

∴ 异面直线 AC 1与 B 1C

所成角的余弦值5

.

10、(必修2 P .65 复习题 第14题)

变题 如图,O ,P 分别是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1底面中心,E 是AB 的中点,AB =kAA 1, (Ⅰ)求证:A 1E ∥平面PBC ;

(Ⅱ)当k =2时,求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ) 当k 取何值时,O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心?

(Ⅰ) 过P 作MN ∥B 1C 1

N A 1B 1、D 1C 1的中点,连MB ,NC 由四边形BCNM ∵E 、M 分别为AB 、

A 1

B 1B

E

A 1

C 1

又MB ?平面PBC ,∴A 1E ∥平面PBC 。 (Ⅱ) 过A 作AF ⊥MB ,垂足为F ,连PF , ∵BC ⊥平面ABB 1A 1,AF ?平面ABB 1A 1, ∴AF ⊥BC , BC ∩MB =B ,∴AF ⊥平面PBC , ∴∠APF 就是直线AP 与平面PBC 所成的角,

设AA 1=a ,则AB =2a ,AF =a 3

32,AP =a 2,sin ∠APF =3

6=AP

AF

所以,直线AP 与平面PBC 所成的角正弦值是sin

3

6。

(Ⅲ)连O P 、O B 、O C ,则O P ⊥BC ,由三垂线定理易得O B ⊥PC ,O C ⊥PB ,所以O 在平面PBC 中的射影是△PBC 的垂心,又O 在平面PBC 中的射影是△PBC 的重心,则△PBC 为正三角形。即PB =PC =BC 所以k =2。

反之,当k =2时,PA =AB =PB =PC =BC ,所以三棱锥O P B C -为正三棱锥, ∴O 在平面PBC 内的射影为P B C ?的重心

(必修2)平面解析几何初步变式题

1.(必修2 P .72 练习 第1题)

变式1:已知点)33,1(),3,1(-B A ,则直线AB 的倾斜角是( ) A .3

π

B .

6

π

C .

3

2π D .

6

5π 解:∵31

13

33-=---=

AB k ,∴3t a n -=α,∵0απ≤≤,∴3

23

ππ

πα=-

=,故选(C ).

变式2:(2006年北京卷)若三点)0)(,0(),0,(),2,2(≠ab b C a B A 共线,则b

a

11+

的值等于 .

解:∵A 、B 、C 三点共线,∴AC AB k k =,∴

2

022

20--=--b a ,∴)(2b a ab +=,∴2

111=+b a .

变式3:已知点)2,5(),1,1(B A -,直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半,求直线l 的斜率. 解:设直线l 的倾斜角为α,则直线AB 的倾斜角为α2,依题意有4

31

5)1(22tan =

---=

α,∴4

3tan 1tan 22

=

α,∴03t a n 8t a n 32=-+αα,∴3

1t a n =

α或3tan -=α.由

02180α??

≤≤,得

090α??≤≤,∴tan 0α≥,∴3

1tan =α,∴直线l 的斜率为3

1.

2.(必修2 P .77 练习 第3题)

变式1:直线0632=--y x 在x 轴上的截距为a ,在y 轴上的截距为b ,则( ) A .2,3==b a B .2,3-==b a C .2,3=-=b a D .2,3-=-=b a

解:令0=x 得2-=y ,∴直线在y 轴上的截距为2-=b ;令0=y 得3=x ,∴直线在x 轴上的截距为3=a ,故选(B ).

变式2:过点)3,2(P ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 解:依题意,直线的斜率为1或直线经过原点,∴直线的方程为23-=-x y 或x y 23=

,即

01=+-y x 或023=-y x .

变式3:直线l 经过点)3,2(P ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,求直线l 的方程.

解:依题意,直线l 的斜率为±1,∴直线l 的方程为23-=-x y 或)2(3--=-x y ,即01=+-y x 或05=-+y x .

3.(必修2 P .97 第11题)

变式1:过点(-5,-4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 . 解:设所求直线方程为)5(4+=+x k y ,依题意有

5)45)(54(21=--k k

∴01630252=+-k k (无解)或01650252

=+-k k ,解得5

2=

k 或5

8=k .

∴直线的方程是01052=--y x 或02058=+-y x .

变式2:(2006年上海春季卷)已知直线l 过点)1,2(P ,且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 面积的最小值为 . 解:设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ,

则1111111(2)(12)44[4(4)()][442

2

2

2

O AB S k k k k

k

k

?=--=--=+-+-+=≥,当且仅当

k

k 14-

=-即2

1-

=k 时取等号,∴当2

1-

=k 时,OAB S ?有最小值4.

变式3:已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ,在射线l 上求一点N ,使直线MN 与l 及x 轴围成的三角形面积S 最小.

解:设)1)(4,(000>x x x N ,则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x .令0=y 得

1

500-=

x x x ,∴]21

1)1[(101

]

1)1[(101

104)1

5(

2

10002

002

000+-+

-=-+-=

-=

?-=

x x x x x x x x x S

2]40=≥,当且仅当1

1100-=

-x x 即20=x 时取等号,∴当N 为(2,8)时,三

角形面积S 最小.

4.(必修2 P .81例题2)

变式1:(2005年全国卷)已知过点),2(m A -和)4,(m B 的直线与直线012=-+y x 平行,则m 的值为( )

A .0

B .-8

C .2

D .10 解:依题意有

22

4-=+-m m ,解得8-=m ,故选(B ).

变式2:与直线0532=++y x 平行,且距离等于13的直线方程是 .

解:设所求直线方程为032=++m y x ,则133

252

2

=+-m ,解得18=m 或8-=m ,∴直线方程

为01832=++y x 或0832=-+y x .

变式3:已知三条直线0,0134,0532=-=+-=++y mx y x y x 不能构成三角形,求实数m 的取值集合.

解:依题意,当三条直线中有两条平行或重合,或三条直线交于一点时,三条直线不能构成三角形,故23

m =-或3

4=

m 或1=m ,∴实数m 的取值集合是24,,133?

?

-

???

?

.

5.(必修2 P .87习题2.1(2)第6题)

变式1:(1987年上海卷)若直线062:1=++y ax l 与直线0)1()1(:2

2=-+-+a y a x l 平行但不重合,则a 等于( )

A .-1或2

B .-1

C .2

D .

3

2

解:∵21//l l ,∴21k k =且21b b ≠,∴112

--=-

a a 且1

132

---

≠-a a ,解得1-=a ,故选(B ).

变式2:(2005年北京春季卷)“2

1=m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线

03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直”的( )

A .充分必要条件

B .充分而不必要条件

C .必要而不充分条件

D .既不充分也不必要条件

解:由20)2(3)2)(2(0212121-=?=++-+?=+?⊥m m m m m B B A A l l 或2

1=m ,知由2

1=

m 可推出21l l ⊥,但由21l l ⊥推不出2

1=

m ,故2

1=

m 是21l l ⊥的充分不必要条件,故选(B ).

变式3:设直线062=++y ax 与圆04222=+-+y x y x 相交于点P 、Q 两点,O 为坐标原点,且OQ OP ⊥,求m 的值.

解:∵圆04222=+-+y x y x 经过原点O ,且OQ OP ⊥,∴PQ 是圆的直径,∴圆心(1,-2)在直线062=++y ax 上,∴2-=m .

6.(必修2 P .91 例题2)

变式1:已知)4,7(-A 关于直线l 的对称点为)6,5(-B ,则直线l 的方程是( )

A .01165=-+y x

B .0156=--y x

C .01156=-+y x

D .0165=+-y x

解:依题意得,直线l 是线段AB 的垂直平分线.∵6

5-

=AB k ,∴5

61=

-

=AB

l k k ,∵AB 的中点为

(1,1),∴直线l 的方程是)1(5

61-=

-x y 即0156=--y x ,故选(B ).

变式2:已知圆16)4()7(2

2

=++-y x 与圆16)6()5(2

2

=-++y x 关于直线l 对称 ,则直线l 的方程是 .

解:依题意得,两圆的圆心)4,7(-A 与)6,5(-B 关于直线l 对称,故直线l 是线段AB 的垂直平分线,由变式1可得直线l 的方程为0156=--y x .

变式3:求点)4,7(-A 关于直线0156:=--y x l 的对称点B 的坐标.

解:设),(y x B .由l AB ⊥,且AB 的中点在直线l 上,得???

????=--?-+?-=?-+0

124527615

6

74y x x y ,解得???=-=65y x ,

∴)6,5(-B .

7.(必修2 P .97习题2.1(3)第14题)

光线自点)3,2(M 射到点)0,1(N 后被x 轴反射,求反射光线所在直线的方程.

变式1:一条光线从点)3,2(P 射出,经x 轴反射,与圆1)2()3(22=-++y x 相切,则反射光线所在直线的方程是 .

解:依题意得,点P 关于x 轴的对称点)3,2('-P 在反射光线所在的直线上,故可设反射光线所在直线

的方程为)2(3-=+x k y ,即032=---k y kx .由反射光线与圆相切得

11

552

=++k k ,

解得3

4-=k 或4

3-=k ,∴反射光线所在直线的方程是)2(3

43--=+x y 或)2(4

33--=+x y ,即

0134=++y x 或0643=++y x .

变式2:(2003年全国卷)已知长方形的四个顶点)0,0(A 、)0,2(B 、)1,2(C 和)1,0(D ,一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P (入射角等于反射角).设4P 的坐标为)0,(4x .若204<

1

( B .)3

2

,31( C .)2

1

,52( D .)3

2

,52(

解:用特例法,取14=x ,则1P 、2P 、3P 、4P 分别为BC 、CD 、DA 、AB 的中点,此时2

1tan =θ.

依题意,包含2

1tan =

θ的选项(A )(B )(D )应排除,故选(C ).

变式3:已知点)15,2(),5,3(B A -,在直线0443:=+-y x l 上求一点P ,使PB PA +最小. 解:由题意知,点A 、B 在直线l 的同一侧.由平面几何性质可知,先作出点A 关于直线l 的对称点'A ,然后连结B A ',则直线B A '与l 的交点P 为所求.事实上,设点'P 是l 上异于P 的点,则PB PA B A B P A P B P A P +=>+=+''''''.

设),('y x A ,则???

????=++?--?-=?+-0

425423314

3

35y x x y ,解得???-==33y x ,∴)3,3('-A ,∴直线B A '的方程

为05118=-+y x .由???=-+=+-051180443y x y x ,解得??

?

??==3

3

8y x ,∴)3,38(P .

8.(必修2 P .104例题2)

变式1:(2006年重庆卷)过坐标原点且与圆02

52422=++-+y x y x 相切的直线的方程为( ) A .x y 3-=或x y 3

1=

B .x y 3=或x y 3

1-=

C .x y 3-=或x y 3

1-= D .x y 3=或x y 3

1=

解:设直线方程为kx y =,即0=-y kx .∵圆方程可化为2

5)1()2(22=

++-y x ,∴圆心为(2,-1),

半径为2

10.依题意有

2

101

122

=

++k

k ,解得3-=k 或3

1=

k ,∴直线方程为x y 3-=或x y 3

1=,

故选(A ).

变式2:(2006年湖北卷)已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切,则a 的值为 . 解:∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为(1,0),半径为1,∴

112

552

2

=++a ,解得8=a 或18-=a .

变式3:求经过点)5,0(A ,且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.

解:设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-,则?

?

?

??=+=-=-+r b

a b a r b a 5252)5(2

22, 解得?????===531r b a 或?????===5

5155

r b a ,∴圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(2

2=-+-y x .

9.(必修2 P .105例题3)

变式1:(1999年全国卷)直线0323=-+y x 截圆42

2

=+y x 得的劣弧所对的圆心角为( ) A .6

π

B .

4

π

C .

3

π

D .

2

π

解:依题意得,弦心距3=d ,故弦长222

2

=-=d r AB ,从而△OAB 是等边三角形,故截得

的劣弧所对的圆心角为3

π

=

∠AOB ,故选(C ).

变式2:(2006年天津卷)设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(2

2

=-+-y x 相交于A 、B 两点,且弦AB 的长为32,则=a .

解:由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,得2

222

2)3()1

1(

=+++a a ,解得0=a .

变式3:已知圆6)2()1(:22=-++y x C ,直线01:=-+-m y mx l . (1)求证:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒交于两点; (2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.

解:(1)∵直线)1(1:-=-x m y l 恒过定点)1,1(P ,且65=<=r PC ,∴点P 在圆内,∴直

线l 与圆C 恒交于两点.

(2)由平面几何性质可知,当过圆内的定点P 的直线l 垂直于PC 时,直线l 被圆C 截得的弦长最小,此时21=-=PC

l k k ,∴所求直线l 的方程为)1(21-=-x y 即012=--y x .

10.(必修2 P .106练习 第2题)

变式1:(2006年安徽卷)直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点,则a 的取值范围是( )

A .)12,0(-

B .)12,12(+-

C .)12,12(---

D .)12,0(+ 解:依题意有

a a >-2

1,解得1212-<

<--

a .∵0>a ,∴120-<

变式2:(2006年湖北卷)若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点,则k 的取值范围是 . 解:依题意有

11

122

<+-k

k ,解得3

40<

4,

0(.

变式3:若直线m x y +=与曲线2

4x y -=有且只有一个公共点,求实数m 的取值范围.

解:∵曲线2

4x y -=

表示半圆2

2

4(0)x y y +=≥,∴利用数形结合法,可得实数m 的取值范围

是22m -<≤或22=m .

11.(必修2 P .107练习1)

变式1:(1995年全国卷)圆022

2

=-+x y x 和圆042

2

=++y y x 的位置关系是( ) A .相离 B .外切 C .相交 D .内切

解:∵圆1)1(2

2

=+-y x 的圆心为)0,1(1O ,半径11=r ,圆4)2(2

2

=++y x 的圆心为)2,0(2-O ,半径22=r ,∴1,3,5122121=-=+=r r r r O O .∵212112r r O O r r +<<-,∴两圆相交,故选

(C ).

变式2:若圆0422

2

2

=-+-+m mx y x 与圆084422

2

2

=-+-++m my x y x 相切,则实数m 的

取值集合是 .

解:∵圆4)(22=+-y m x 的圆心为)0,(1m O ,半径21=r ,圆9)2()1(22=-++m y x 的圆心为)2,1(2m O -,半径32=r ,且两圆相切,∴2121r r O O +=或1221r r O O -=,∴

5)

2()1(2

2

=++m m 或1)

2()1(2

2=++m m ,解得5

12-

=m 或2=m ,或0=m 或2

5-

=m ,

∴实数m 的取值集合是}2,0,2

5,512{-

-

.

变式3:求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ,且半径为52的圆的方程.

解:设所求圆的圆心为),(1b a O ,则所求圆的方程为20)()(22=-+-b y a x .∵两圆外切于点P ,∴13

1OO OP =

,∴),(3

1)2,1(b a =

-,∴6,3=-=b a ,∴所求圆的方程为20)6()3(2

2=-++y x .

12.(必修2 P .108习题2.2(2)第8题)

变式1:(2006年湖南卷)圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是( )

A .36

B .18

C .26

D .25

解:∵圆18)2()2(22=-+-y x 的圆心为(2,2),半径23=r ,∴圆心到直线的距离r d >==

252

10,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

262)()(==--+r r d r d ,故选(C ).

变式2:已知)0,2(-A ,)0,2(B ,点P 在圆4)4()3(2

2=-+-y x 上运动,则2

2

PB

PA

+的最小

值是 . 解:设),(y x P ,则828)(2)2()2(2

2

22

2222

2

+=++=+-+++=+OP

y x y

x y x PB

PA

.设圆心为

)4,3(C ,则325min

=-=-=r OC OP

,∴2

2

PB

PA

+的最小值为268322=+?.

变式3:已知点),(y x P 在圆1)1(2

2

=-+y x 上运动. (1)求

2

1--x y 的最大值与最小值;(2)求y x +2的最大值与最小值.

解:(1)设

k x y =--2

1,则k 表示点),(y x P 与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时,k 取得

最大值与最小值.由

11

22

=+k k ,解得3

=k ,∴

2

1--x y 的最大值为

3

3,最小值为3

3-

.

(2)设m y x =+2,则m 表示直线m y x =+2在y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时,m 取得最

大值与最小值.由15

1=-m ,解得51±=m ,∴y x +2的最大值为51+,最小值为51-.

13.(必修2 P .117 复习题15)

变式1:(2006年四川卷)已知两定点)0,2(-A ,)0,1(B ,如果动点P 满足PB PA 2=,则点P 的轨迹所包围的面积等于( )

A .π

B .π4

C .π8

D .π9 解:设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=,得

2

22

2)1(2)2(y

x y

x +-=++,化简得

4)2(2

2

=+-y

x ,∴点P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,∴所求面积为π4,故选(B ).

变式2:(2004年全国卷)由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,

APB ∠=600

,则动点P 的轨迹方程是 .

解:设),(y x P .∵APB ∠=600,∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥,∴22==OA OP ,∴222=+y x ,化简得422=+y x ,∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .

变式3:(2003年北京春季卷)设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点,动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ,求P 点的轨迹.

解:设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PB

PA ,得a y

c x y c x =+-++2

222

)()(,

化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .

当1≠a 时,化简得01)1(22

22

22

=+-++

+c x a

a c y x ,整理得2

2

2

22

2

)1

2(

)1

1(-=+-+-

a ac y

c a a

x ;

当1=a 时,化简得0=x . 所以当1≠a 时,P 点的轨迹是以)0,1

1(

2

2

c a a

-+为圆心,

1

22

-a ac 为半径的圆;

当1=a 时,P 点的轨迹是y 轴.

14.(必修2 P .118 复习题 第25题)

已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆4)1(2

2

=++y x 上运动,求线段AB 的中点M

的轨迹方程.

变式1:已知定点)0,3(B ,点A 在圆122=+y x 上运动,M 是线段AB 上的一点,且MB AM 3

1=,

则点M 的轨迹方程是( )

A .9)1(22=+-y x

B .1)3(22=+-y x

C .16

9)43(2

2

=

+-

y

x D .916)1(22=

++y x

解:设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 3

1=,∴),3(3

1),(11y x y y x x --=

--,

∴???

????

-=--=-y y y x x x 31)3(311

1,∴

???

???

?

=-=y y x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动,∴12

121=+y x ,∴1)

3

4(

)13

4(2

2

=+-y x ,

即16

9)43(2

2

=

+-y

x ,∴点M 的轨迹方程是16

9)4

3(2

2=

+-

y

x ,故选(C ).

变式2:已知定点)0,3(B ,点A 在圆122=+y x 上运动,AOB ∠的平分线交AB 于点M ,则点M 的轨迹方程是 .

解:设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线,∴

3

1==OB

OA MB

AM , ∴MB AM 3

1=.由变式1

可得点M 的轨迹方程是16

9)4

3(2

2=

+-

y

x .

变式3:已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点,以OA 、OB 为邻边作平行四边形

OAPB ,求点P 的轨迹方程.

解:设),(y x P ,AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形,∴M 是OP 的中点,∴点M 的坐标为

)2

,2(y

x ,且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ,∴CM

OM ⊥,∴

0)12

(2)2()12,2(

)2

,2(

2=-+=-?=?y y x y

x y x CM OM ,化简得1)1(2

2=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(2

2

=-+y x .

15.(必修2 P .99 例题1)

变式1:某圆拱桥的水面跨度是20m ,拱高为4m .现有一船宽9m ,在水面以上部分高3m ,故通行无阻.近日水位暴涨了1.5m ,为此,必须加重船载,降低船身.当船身至少应降低 m 时,船才能通过桥洞.(结果精确到0.01m ) 解:建立直角坐标系,设圆拱所在圆的方程为2

2

2

)(r b y x =-+.

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