B
B 3
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
1. 设函数)(x f y =的定义域为A ,则集合}),(),{(A x x f y y x P ∈==与}
),({A x x f y y Q ∈==相等吗?请说明理由。
2. 已知一个函数的解析式为2x y =,它的值域为[]4,1,这样的函数有多少个?试写出其中两个函数。
3. 对于任意的R x x ∈21,,若函数x x f 2)(=,试比较
2
)
()(21x f x f +与)2
(2
1x x f +的大小关系。
4. 已知定义在实数集上的函数)(x f y =满足条件:对于任意的R y x ∈,,)()()(y f x f y x f +=+,
求证: 1) 0)0(=f ; 2)
)(x f 是奇函数。
你能举出几个满足上述条件的函数吗?
(必修2)立体几何初步变式题
1、(必修2 P .60 习题1.3 第9题)
变题 如图是一个几何体的三视图(单位:cm ) (Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积;
(Ⅲ)设异面直线A A '与B C '所成的角为θ,求cos θ.
解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图所示. (Ⅱ)这个几何体是直三棱柱. 由于底面A B C ?的高为1,所以AB =
=
.
故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''?=++
1
A
B
1
1221322382
=?
??+?+??
=+2
(cm ).
这个几何体的体积121332
A B C V S B B ?'=?=
???=3
(cm )
(Ⅲ)因为//AA BB '',所以A A '与B C '所成的角是B B C ''∠. 在R t B B C ''?
中,BC '===
故cos BB BC θ'=
=
='
2、(必修2 P .18 习题1.1 第7题)
变题 如图,已知几何体的三视图(单位:cm ). (Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积;
(Ⅲ)设异面直线1A Q 、P D 所成角为θ,求cos θ. 解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图所示.
(Ⅱ)这个几何体可看成是由正方体1AC 及直三棱柱1111B C Q A D P -的组合体. 由11PA PD ==
112A D AD ==,
可得11PA PD ⊥. 故所求几何体的全面积
2
2
152222222
S =?+??
?
?
=+2
(cm )
所求几何体的体积
2
3
122102
V =+
?
?=3
(cm )
1
D
A
1
A B
C
D
1
B 1
C F
E (Ⅲ)由//PQ CD ,且PQ CD =,可知
//PD QC , 故1A Q C ∠为异面直线1A Q 、P D 所成的角(或其补角). 由题设知2
2
2
2
1
11126A Q A B B Q =+=+
=,12A C =
=
取B C 中点E ,则QE BC ⊥,且3QE =,
22222
3110Q C Q E EC =+=+=.
由余弦定理,得2
2
2
1111cos cos 2A Q Q C A C
A Q C A Q Q C θ+-=∠=
?
115
15=
=
3、(必修2 P .48 习题1.2(3) 第8题)
变题 如图,已知E 、F 分别是正方体1111ABC D A B C D -的棱1A A 和棱1C C 的中点. (Ⅰ)试判断四边形1EBFD 的形状; (Ⅱ)求证:平面1EBFD ⊥平面11BB D .
解(Ⅰ)如图,取1B B 的中点M ,连结1A M 、M F . ∵M 、F 分别是1B B 和1C C 的中点, ∴11//M F B C =,
在正方体1111ABC D A B C D -中,有
1111//A D B C =, ∴11//M F A D =,
∴四边形11A M FD 是平行四边形,
∴11//A M D F =
. 又E 、M 分别是1A A 、1B B 的中点,
∴1//A E BM =
, ∴四边形1A EBM 为平行四边形,
1
D
A
1A B
C
D
1
B 1
C F E
A 1
A B 1
B C
1
C D
1
D F
E ∴1//E B A M =. 故1//EB D
F =
. ∴四边形1EBFD 是平行四边形. 又Rt EAB ?≌R t F C B ?, ∴B E B F =,
故四边形1EBFD 为菱形. (Ⅱ)连结E F 、1BD 、11A C . ∵四边形1EBFD 为菱形,
∴1EF BD ⊥.
在正方体1111ABC D A B C D -中,有
1111B D A C ⊥,
111B D A A ⊥
∴11B D ⊥平面11A AC C . 又E F ?平面11A AC C , ∴11EF B D ⊥. 又111B D BD D = , ∴E F ⊥平面11BB D . 又E F ?平面1EBFD , 故平面1EBFD ⊥平面11BB D 4、(必修2 P .38 习题1.2(2) 第6题)
变题 如图,已知正四棱柱1111ABC D A B C D -中,底面边长2A B =,侧棱1B B 的长为4,过点B 作1B C
的的垂线交侧棱1C C 于点E ,交1B C 于点F .
(Ⅰ)求证:1A C ⊥平面BED ;
(Ⅱ)求1A B 与平面BD E 所成的角的正弦值.
x
B
解:(Ⅰ)如图4-2,以D 为原点,D A 、D C 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -.
∴1111(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),(0,2,4),(0,0,4)D A B C A B C D . 设(0,2,)E t ,则1(2,0,),(2,0,4)BE t B C =-=--
. ∵1BE B C ⊥,∴14040BE B C t ?=+-=
.
∴1t =,∴(0,2,1)E ,(2,0,1)B E =-
.
又1(2,2,4),(2,2,0)A C DB =--=
,
∴14040A C BE ?=+-= 且14400A C DB ?=-++=
. ∴1A C DB ⊥ 且1A C BE ⊥ .
∴1A C BD ⊥ 且1A C BE ⊥ .∴1A C ⊥
平面BD E .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知1(2,2,4)A C =-- 是平面BD E 的一个法向量,又1(0,
2,4)A B =-
, ∴111111cos ,6
||||
A C A B
A C A
B A
C A B ?==
.
∴1A B 与平面BD E 6
5、(必修2 P .47 练习 第4题) 变题1如图,已知平面,αβ,
且,,,,AB PC PD C D αβα
β=⊥⊥ 是垂足. (Ⅰ)求证:AB ⊥平面PC D ; (Ⅱ)若1,PC PD C D ===,试判断平面α与平面β的位置关系,并
证明你的结论.
解(Ⅰ)因为,PC AB αα⊥?,所以P C A B ⊥.同理PD AB ⊥又PC PD P = ,故AB ⊥平面PC D .
(Ⅱ)设A B 与平面PC D 的交点为H ,连结C H 、D H . 因为AB ⊥平面PC D ,所以,AB CH AB DH ⊥⊥, 所以C H D ∠是二面角C A B D --的平面角.
B
又1,PC PD C D ===,所以2222CD PC PD =+=,即0
90CPD ∠=.
在平面四边形P C H D 中,090PCH PDH CPD ∠=∠=∠=, 所以090CHD ∠=. 故平面α⊥平面β.
变题2 如图,已知直二面角AB αβ--,,,P Q PQ αβ∈∈与平面α、β所成的角都为0
30,
4PQ =. ,PC AB C ⊥为垂足,,QD AB D ⊥为垂足.
(Ⅰ)求直线PQ 与C D 所成角的大小; (Ⅱ)求四面体PCDQ 的体积.
解:(Ⅰ)如图,在平面β内,作//C E D Q =
,连结P E 、QE .则四边形
C D Q E 为平行四边形,所以//EQ C D =
,即PQE ∠为直线PQ 与C D 所成的角(或其补角). 因为,,AB PC AB αβαβ⊥=⊥ . 所以PC β⊥.同理QD α⊥.
又PQ 与平面α、β所成角为030,所以030PQ
C ∠=,0
30Q PD ∠=,所以
c o s 30232
C Q P Q ==
,0
1sin 30422
D
Q P Q ==?
=.
在
Rt CDQ ?中,
CD ===E Q =.
因为QD AB ⊥,且CDQE 为平行四边形, 所以EQ CE ⊥.
又,PC EQ ββ⊥?,所以EQ PC ⊥. 故EQ ⊥平面PC
E ,从而EQ PE ⊥.
在Rt PEQ ?中,cos 4
2
EQ PQ E PQ
∠===.
所以0
45PQE ∠=,
即直线PQ 与C D 所成角的大小为045.
(Ⅱ)在Rt PCQ ?中,04,30PQ PQ C =∠=,所以2P C =. 三角形CDQ
的面积1122
2
C D Q S C D D Q ?=?=
?=,
故四面体PCDQ 的体积
1123
3
C D Q V S P C ?=
?=
?=
6、(必修2 P .53 练习 第4题)
变题 如图,在矩形A B C D 中,2,1,AB AD E ==是C D 的中点,以A E 为折痕将D AE ?向上折起,使D 为D ',且平面D A E '⊥平面A B C E . (Ⅰ)求证:AD EB '⊥;
(Ⅱ)求直线A C 与平面A B D '所成角的正弦值.
解(Ⅰ)在R t B C E ?
中,BE ==
在R t A D E '?
中,AE =
=
∵22222AB BE AE ==+,
∴AE BE ⊥.
∵平面AED '⊥平面A B C E ,且交线为A E , ∴BE ⊥平面A E D '. ∵AD '?平面A E D ', ∴AD BE '⊥.
(Ⅱ)设A C 与B E 相交于点F ,由(Ⅰ)知
AD BE '⊥,
∵AD ED ''⊥,
∴AD '⊥平面EBD ', ∵AD '?平面A E D ',
∴平面ABD '⊥平面EBD ',且交线为BD ',
如图,作F G B D '⊥,垂足为G ,则F G ⊥平面A B D ', 连结A G ,则F A G ∠是直线A C 与平面A B D '所成的角.
B A B
C
D 'E
A
B
C
D '
E
F
G
由平面几何的知识可知
12
E F E C F B
A B
=
=
,∴13
3
EF EB =
=
在R t A E F ?
中,3
AF ===
在R t E B D '?中,
F G D E F B
D B
'=
'
,可求得9
FG =
.
∴sin 15
3
FG FAG AF
∠=
=
=
.
∴直线A C 与平面A B D '
所成的角的正弦值为
15
.
7、(必修2 P .38 习题1.2(2) 第5题)
变题 如图,在棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -中,P 是侧棱1C C 上的一点,C P m =。
(Ⅰ)、试确定m ,使直线A P 与平面11BD D B
所成角的正切值为
(Ⅱ)、在线段11A C 上是否存在一个定点Q ,使得对任意的m ,1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于
A P ,并证明你的结论。
解:(1),,AC AC BD O = 连设
1.AP B G O G 1与面BDD 交于点,连
1111//,,PC BD D B BD D B APC O G = 因为面面面
故//O G P C 。所以12
2
m O G P C =
=
。
又111,,AO D B AO BB AO BD D B ⊥⊥⊥所以面 . 故11AG O AP BD D B ∠即为与面所成的角。
在R t
△2tan 2
AO G AG O m ==中,
,即1
3m =
.
故当13
m =
时,直线AP 11与平面BDD B 所成的角的正切值为
(Ⅱ)依题意,要在11A C 上找一点Q ,使得1D Q A P ⊥. 可推测11A C 的中点1O 即为所求的Q 点。
因为1111.D O A C ⊥111D O A A ⊥,所以111.D Q AC C A ⊥面 又11.AP AC C A ?面,故11D O A P ⊥。 从而111D O AD P AP 在平面上的射影与垂直。 8、(必修2 P .47 习题1.2(3) 第7题)
变题 在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中,底面是等腰三角形,AB =AC ,侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC .
(1)若D 是BC 的中点,求证:AD ⊥CC 1;
(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ,若AM =MA 1,求证:截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ; (3)AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗?请你叙述判断理由. (1)证明:∵AB =AC ,D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC
∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ,∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴AD ⊥CC 1. (2)证明:延长B 1A 1与BM 交于N ,连结C 1N
∵AM =MA 1,∴NA 1=A 1B 1
∵A 1B 1=A 1C 1,∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1 ∴C 1N ⊥C 1B 1 ∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ,∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .
(3)解:结论是肯定的,充分性已由(2)证明,下面证必要性.
过M 作ME ⊥BC 1于E ,∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ,又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C . ∴ME ∥AD ,∴M 、E 、D 、A 共面 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ,∴AM ∥DE
∵CC 1⊥AM ,∴DE ∥CC 1∵D 是BC 的中点,∴E 是BC 1的中点 ∴AM =DE =2
121
1=
CC AA 1,∴AM =MA 1.
9、(必修2 P .38 习题1.2(2) 第11题)
变题 如图, 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC =3,BC =4,AA 1=4,
点D 是AB 的中点, (I )求证:AC ⊥BC 1; (II )求证:AC 1//平面CDB 1;
(III )求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的余弦值. (I )证明:直三棱柱ABC -A 1B 1C 1,底面三边长AC =3,BC =4AB =5,
∴ AC ⊥BC ,且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ,∴ AC ⊥BC 1;
(II )证明:设CB 1与C 1B 的交点为E ,连结DE ,∵ D 是AB 的中点,E 是BC 1的中点,∴ DE //AC 1,
∵ DE ?平面CDB 1,AC 1?平面CDB 1,∴ AC 1//平面CDB 1; (III )解:∵ DE //AC 1,∴ ∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角, 在△CED 中,ED =2
1AC 1=
2
5,CD =
2
1AB =
2
5,
CE =
2
1CB 1=22,
∴
8cos 55
22
C E
D ∠==
?,
∴ 异面直线 AC 1与 B 1C
所成角的余弦值5
.
10、(必修2 P .65 复习题 第14题)
变题 如图,O ,P 分别是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1底面中心,E 是AB 的中点,AB =kAA 1, (Ⅰ)求证:A 1E ∥平面PBC ;
(Ⅱ)当k =2时,求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ) 当k 取何值时,O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心?
(Ⅰ) 过P 作MN ∥B 1C 1
N A 1B 1、D 1C 1的中点,连MB ,NC 由四边形BCNM ∵E 、M 分别为AB 、
A 1
B 1B
E
A 1
C 1
又MB ?平面PBC ,∴A 1E ∥平面PBC 。 (Ⅱ) 过A 作AF ⊥MB ,垂足为F ,连PF , ∵BC ⊥平面ABB 1A 1,AF ?平面ABB 1A 1, ∴AF ⊥BC , BC ∩MB =B ,∴AF ⊥平面PBC , ∴∠APF 就是直线AP 与平面PBC 所成的角,
设AA 1=a ,则AB =2a ,AF =a 3
32,AP =a 2,sin ∠APF =3
6=AP
AF
所以,直线AP 与平面PBC 所成的角正弦值是sin
3
6。
(Ⅲ)连O P 、O B 、O C ,则O P ⊥BC ,由三垂线定理易得O B ⊥PC ,O C ⊥PB ,所以O 在平面PBC 中的射影是△PBC 的垂心,又O 在平面PBC 中的射影是△PBC 的重心,则△PBC 为正三角形。即PB =PC =BC 所以k =2。
反之,当k =2时,PA =AB =PB =PC =BC ,所以三棱锥O P B C -为正三棱锥, ∴O 在平面PBC 内的射影为P B C ?的重心
(必修2)平面解析几何初步变式题
1.(必修2 P .72 练习 第1题)
变式1:已知点)33,1(),3,1(-B A ,则直线AB 的倾斜角是( ) A .3
π
B .
6
π
C .
3
2π D .
6
5π 解:∵31
13
33-=---=
AB k ,∴3t a n -=α,∵0απ≤≤,∴3
23
ππ
πα=-
=,故选(C ).
变式2:(2006年北京卷)若三点)0)(,0(),0,(),2,2(≠ab b C a B A 共线,则b
a
11+
的值等于 .
解:∵A 、B 、C 三点共线,∴AC AB k k =,∴
2
022
20--=--b a ,∴)(2b a ab +=,∴2
111=+b a .
变式3:已知点)2,5(),1,1(B A -,直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半,求直线l 的斜率. 解:设直线l 的倾斜角为α,则直线AB 的倾斜角为α2,依题意有4
31
5)1(22tan =
---=
α,∴4
3tan 1tan 22
=
-α
α,∴03t a n 8t a n 32=-+αα,∴3
1t a n =
α或3tan -=α.由
02180α??
≤≤,得
090α??≤≤,∴tan 0α≥,∴3
1tan =α,∴直线l 的斜率为3
1.
2.(必修2 P .77 练习 第3题)
变式1:直线0632=--y x 在x 轴上的截距为a ,在y 轴上的截距为b ,则( ) A .2,3==b a B .2,3-==b a C .2,3=-=b a D .2,3-=-=b a
解:令0=x 得2-=y ,∴直线在y 轴上的截距为2-=b ;令0=y 得3=x ,∴直线在x 轴上的截距为3=a ,故选(B ).
变式2:过点)3,2(P ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 解:依题意,直线的斜率为1或直线经过原点,∴直线的方程为23-=-x y 或x y 23=
,即
01=+-y x 或023=-y x .
变式3:直线l 经过点)3,2(P ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,求直线l 的方程.
解:依题意,直线l 的斜率为±1,∴直线l 的方程为23-=-x y 或)2(3--=-x y ,即01=+-y x 或05=-+y x .
3.(必修2 P .97 第11题)
变式1:过点(-5,-4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 . 解:设所求直线方程为)5(4+=+x k y ,依题意有
5)45)(54(21=--k k
,
∴01630252=+-k k (无解)或01650252
=+-k k ,解得5
2=
k 或5
8=k .
∴直线的方程是01052=--y x 或02058=+-y x .
变式2:(2006年上海春季卷)已知直线l 过点)1,2(P ,且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 面积的最小值为 . 解:设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ,
则1111111(2)(12)44[4(4)()][442
2
2
2
O AB S k k k k
k
k
?=--=--=+-+-+=≥,当且仅当
k
k 14-
=-即2
1-
=k 时取等号,∴当2
1-
=k 时,OAB S ?有最小值4.
变式3:已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ,在射线l 上求一点N ,使直线MN 与l 及x 轴围成的三角形面积S 最小.
解:设)1)(4,(000>x x x N ,则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x .令0=y 得
1
500-=
x x x ,∴]21
1)1[(101
]
1)1[(101
104)1
5(
2
10002
002
000+-+
-=-+-=
-=
?-=
x x x x x x x x x S
2]40=≥,当且仅当1
1100-=
-x x 即20=x 时取等号,∴当N 为(2,8)时,三
角形面积S 最小.
4.(必修2 P .81例题2)
变式1:(2005年全国卷)已知过点),2(m A -和)4,(m B 的直线与直线012=-+y x 平行,则m 的值为( )
A .0
B .-8
C .2
D .10 解:依题意有
22
4-=+-m m ,解得8-=m ,故选(B ).
变式2:与直线0532=++y x 平行,且距离等于13的直线方程是 .
解:设所求直线方程为032=++m y x ,则133
252
2
=+-m ,解得18=m 或8-=m ,∴直线方程
为01832=++y x 或0832=-+y x .
变式3:已知三条直线0,0134,0532=-=+-=++y mx y x y x 不能构成三角形,求实数m 的取值集合.
解:依题意,当三条直线中有两条平行或重合,或三条直线交于一点时,三条直线不能构成三角形,故23
m =-或3
4=
m 或1=m ,∴实数m 的取值集合是24,,133?
?
-
???
?
.
5.(必修2 P .87习题2.1(2)第6题)
变式1:(1987年上海卷)若直线062:1=++y ax l 与直线0)1()1(:2
2=-+-+a y a x l 平行但不重合,则a 等于( )
A .-1或2
B .-1
C .2
D .
3
2
解:∵21//l l ,∴21k k =且21b b ≠,∴112
--=-
a a 且1
132
---
≠-a a ,解得1-=a ,故选(B ).
变式2:(2005年北京春季卷)“2
1=m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线
03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直”的( )
A .充分必要条件
B .充分而不必要条件
C .必要而不充分条件
D .既不充分也不必要条件
解:由20)2(3)2)(2(0212121-=?=++-+?=+?⊥m m m m m B B A A l l 或2
1=m ,知由2
1=
m 可推出21l l ⊥,但由21l l ⊥推不出2
1=
m ,故2
1=
m 是21l l ⊥的充分不必要条件,故选(B ).
变式3:设直线062=++y ax 与圆04222=+-+y x y x 相交于点P 、Q 两点,O 为坐标原点,且OQ OP ⊥,求m 的值.
解:∵圆04222=+-+y x y x 经过原点O ,且OQ OP ⊥,∴PQ 是圆的直径,∴圆心(1,-2)在直线062=++y ax 上,∴2-=m .
6.(必修2 P .91 例题2)
变式1:已知)4,7(-A 关于直线l 的对称点为)6,5(-B ,则直线l 的方程是( )
A .01165=-+y x
B .0156=--y x
C .01156=-+y x
D .0165=+-y x
解:依题意得,直线l 是线段AB 的垂直平分线.∵6
5-
=AB k ,∴5
61=
-
=AB
l k k ,∵AB 的中点为
(1,1),∴直线l 的方程是)1(5
61-=
-x y 即0156=--y x ,故选(B ).
变式2:已知圆16)4()7(2
2
=++-y x 与圆16)6()5(2
2
=-++y x 关于直线l 对称 ,则直线l 的方程是 .
解:依题意得,两圆的圆心)4,7(-A 与)6,5(-B 关于直线l 对称,故直线l 是线段AB 的垂直平分线,由变式1可得直线l 的方程为0156=--y x .
变式3:求点)4,7(-A 关于直线0156:=--y x l 的对称点B 的坐标.
解:设),(y x B .由l AB ⊥,且AB 的中点在直线l 上,得???
????=--?-+?-=?-+0
124527615
6
74y x x y ,解得???=-=65y x ,
∴)6,5(-B .
7.(必修2 P .97习题2.1(3)第14题)
光线自点)3,2(M 射到点)0,1(N 后被x 轴反射,求反射光线所在直线的方程.
变式1:一条光线从点)3,2(P 射出,经x 轴反射,与圆1)2()3(22=-++y x 相切,则反射光线所在直线的方程是 .
解:依题意得,点P 关于x 轴的对称点)3,2('-P 在反射光线所在的直线上,故可设反射光线所在直线
的方程为)2(3-=+x k y ,即032=---k y kx .由反射光线与圆相切得
11
552
=++k k ,
解得3
4-=k 或4
3-=k ,∴反射光线所在直线的方程是)2(3
43--=+x y 或)2(4
33--=+x y ,即
0134=++y x 或0643=++y x .
变式2:(2003年全国卷)已知长方形的四个顶点)0,0(A 、)0,2(B 、)1,2(C 和)1,0(D ,一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P (入射角等于反射角).设4P 的坐标为)0,(4x .若204< 1 ( B .)3 2 ,31( C .)2 1 ,52( D .)3 2 ,52( 解:用特例法,取14=x ,则1P 、2P 、3P 、4P 分别为BC 、CD 、DA 、AB 的中点,此时2 1tan =θ. 依题意,包含2 1tan = θ的选项(A )(B )(D )应排除,故选(C ). 变式3:已知点)15,2(),5,3(B A -,在直线0443:=+-y x l 上求一点P ,使PB PA +最小. 解:由题意知,点A 、B 在直线l 的同一侧.由平面几何性质可知,先作出点A 关于直线l 的对称点'A ,然后连结B A ',则直线B A '与l 的交点P 为所求.事实上,设点'P 是l 上异于P 的点,则PB PA B A B P A P B P A P +=>+=+''''''. 设),('y x A ,则??? ????=++?--?-=?+-0 425423314 3 35y x x y ,解得???-==33y x ,∴)3,3('-A ,∴直线B A '的方程 为05118=-+y x .由???=-+=+-051180443y x y x ,解得?? ? ??==3 3 8y x ,∴)3,38(P . 8.(必修2 P .104例题2) 变式1:(2006年重庆卷)过坐标原点且与圆02 52422=++-+y x y x 相切的直线的方程为( ) A .x y 3-=或x y 3 1= B .x y 3=或x y 3 1-= C .x y 3-=或x y 3 1-= D .x y 3=或x y 3 1= 解:设直线方程为kx y =,即0=-y kx .∵圆方程可化为2 5)1()2(22= ++-y x ,∴圆心为(2,-1), 半径为2 10.依题意有 2 101 122 = ++k k ,解得3-=k 或3 1= k ,∴直线方程为x y 3-=或x y 3 1=, 故选(A ). 变式2:(2006年湖北卷)已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切,则a 的值为 . 解:∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为(1,0),半径为1,∴ 112 552 2 =++a ,解得8=a 或18-=a . 变式3:求经过点)5,0(A ,且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程. 解:设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-,则? ? ? ??=+=-=-+r b a b a r b a 5252)5(2 22, 解得?????===531r b a 或?????===5 5155 r b a ,∴圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(2 2=-+-y x . 9.(必修2 P .105例题3) 变式1:(1999年全国卷)直线0323=-+y x 截圆42 2 =+y x 得的劣弧所对的圆心角为( ) A .6 π B . 4 π C . 3 π D . 2 π 解:依题意得,弦心距3=d ,故弦长222 2 =-=d r AB ,从而△OAB 是等边三角形,故截得 的劣弧所对的圆心角为3 π = ∠AOB ,故选(C ). 变式2:(2006年天津卷)设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(2 2 =-+-y x 相交于A 、B 两点,且弦AB 的长为32,则=a . 解:由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,得2 222 2)3()1 1( =+++a a ,解得0=a . 变式3:已知圆6)2()1(:22=-++y x C ,直线01:=-+-m y mx l . (1)求证:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒交于两点; (2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 解:(1)∵直线)1(1:-=-x m y l 恒过定点)1,1(P ,且65=<=r PC ,∴点P 在圆内,∴直 线l 与圆C 恒交于两点. (2)由平面几何性质可知,当过圆内的定点P 的直线l 垂直于PC 时,直线l 被圆C 截得的弦长最小,此时21=-=PC l k k ,∴所求直线l 的方程为)1(21-=-x y 即012=--y x . 10.(必修2 P .106练习 第2题) 变式1:(2006年安徽卷)直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点,则a 的取值范围是( ) A .)12,0(- B .)12,12(+- C .)12,12(--- D .)12,0(+ 解:依题意有 a a >-2 1,解得1212-< <-- a .∵0>a ,∴120-<