2009年
一、选择题： 1. 10i
2-i
=
A. -2+4i
B. -2-4i
C. 2+4i
D. 2-4i
解：原式10i(2+i)
24(2-i)(2+i)
i =
=-+.故选A.
2. 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -??
=>=
，则A B =
A. ?
B. ()3,4
C.()2,1-
D. ()4.+∞
解：{}{}1|
0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -?
?
=<=--<=<
.(3,4)A B ∴= .故选B. 3. 已知ABC ?中，12
cot 5
A =-
， 则cos A = A. 1213 B.513 C.5
13
-
D. 12
13
-
解：已知ABC ?中，12cot 5A =-，(,)2
A π
π∴∈
.
12
cos 13
A ===-
故选D. 4.曲线21
x
y x =-在点()1,1处的切线方程为
A. 20x y --=
B. 20x y +-=
C.450x y +-=
D. 450x y --=
解：111
222121
||[]|1(21)(21)
x x x x x y x x ===--'=
=-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.
5. 已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB
=，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为
A.
B.
15
C.
D.
35
解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线
BE 与1CD 所成的角即1A B
与BE 所成的角。在1A BE ?中由余弦定理易得1cos A BE ∠=故选C
6. 已知向量()2,1,10,||a a b a b =?=+=，则||b =
A.
B.
C.5
D. 25
解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++ ||5b ∴=
。故选C
7. 设323log ,log log a b c π===
A. a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. b c a >>
解：322log log log b c <>
2
23
3l o l o g 2
l o g 3l o
g a b a b c π<
=<∴>∴>> .故选A. 8. 若将函数()t a n 0
4y x πωω?
?
=+
> ??
?
的图像向右平移6
π
个单位长度后，与函数tan 6y x πω?
?=+ ??
?的图像重合，则ω的最小值为
A ．
1
6
B.
1
4
C.
13
D.
12
解：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x π
ππππωωω???
?=+??????→=-=+ ?
+? ????向右平移个单位
1
64
()6
62k k k Z π
π
ωπωπ
+=
∴=+∈∴
-
， 又min
1
02
ωω>∴= .故选D 9. 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =
A.
13 C. 23 D. 解：设抛物线2
:8C y x =的准线为:2l x =-直线
()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- .如图过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l
⊥
于N , 由||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结OB ,则
1
||||2
OB AF =
, ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为
1(2)3
k ∴=
=
--故选D 10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
A. 6种
B. 12种
C. 30种
D. 36种
解：用间接法即可.222
44430C C C ?-=种. 故选C
11. 已知双曲线()22
2210,0x y C a b a b
-=>>：的右焦点为F ,过F 的直线交C
于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为
A ．
65 B. 75 C. 58 D. 95
解：设双曲线22
221x y C a b
-=：的右准线为l ,过A B 、分 别
作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , BD AM D ⊥于,由
直线AB 的斜率为
,知直线AB 的倾斜角为
1
6060,||||2
BAD AD AB ?∴∠=?=
, 由
双
曲
线
的
第
二
定
义
有
1||||||(||||)
AM BN AD AF FB e -==-
11||(||||)22
AB AF FB ==+
. 又156
43||||25
AF FB FB FB e e =∴?=∴= 故选A
12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“?”的面的方位是 A. 南 B. 北
C. 西
D. 下
解：展、折问题。易判断选B
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。
13. (4
的展开式中33
x y 的系数为 6 。
解
：(
4
224x y =
，只需求4
展开式中的含xy 项的系数：
246C =
14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则
9
5
S S = 9 . 解：{}n a 为等差数列，95
53
995S a S a ∴
== 15.设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面
得到圆C 。若圆C 的面积等于74
π
，则球O 的表面积等于 8π. 解：设球半径为R ，圆C 的半径为r ，22
77.44
4r r ππ==,得由
因为2R OC =
=
。由222217()484R R r R =+=+得22R =.故球O 的表面积等于8π.
16. 已知AC BD 、为圆O :224x y +=
的两条相互垂直的弦，垂足为(M ,则四边形
ABCD 的面积的最大值为 。
解：设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+. 四边形ABCD
的面积22121
||||8()52
S AB CD d d =
?=≤-+= 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分10分）
设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2
A C
B -+=
，2b ac =，求B 。
分析：由3
c o s ()c o s 2
A
C B -+=，易想到先将()B A C π=-+代入
3cos()cos 2A C B -+=
得3cos()cos()2A C A C --+=。
然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sin sin 4
A C =
；又由2b ac =，利用正弦定理进行边角互化，得2sin sin sin B A C =，
进而得sin 2
B =
.故233B ππ=或。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当23B π=
时，由1cos cos()2B A C =-+=-，进而得3
cos()cos()212
A C A C -=++=>，矛盾，应舍去。
也可利用若2
b a
c =则b a b c ≤≤或从而舍去23
B π
=。不过这种方法学生不易想到。 评析：本小题考生得分易，但得满分难。
18（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC （I ）证明：AB AC =
（II ）设二面角A BD C --为60°，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小。 （I ）分析一：连结BE ，111ABC A B C - 为直三棱柱， 190,B BC ∴∠=?
E 为1B C 的中点，BE EC ∴=。又DE ⊥平面1BCC ，
BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC ， AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）。
分析二：取BC 的中点F ，证四边形AFED 为平行四边形，进而证AF ∥DE ，
AF BC ⊥，得AB AC =也可。
分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。 （II ）分析一：求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需
求点1B 到面BDC 的距离即可。
作AG BD ⊥于G ，连GC ，则G C B D ⊥，
AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，60AGC ∠=?.不
妨设AC =2,4AG GC ==.在RT ABD ?中，由AD AB BD AG ?=?，易
得AD .
设点1B 到面B D C 的距离为h ，1B C 与平面BCD 所成的角为α。利用
111
33
B B
C BC
D S D
E S h ???=?，可求得h
=，又可求
得1BC = 11
s i n 30.2
h B C αα=
=∴=? 即1B C 与平面BCD 所成的角为30.?
分析二：作出1B C 与平面BCD 所成的角再行求解。如图可证得BC AFED ⊥面，所以面AFED BDC ⊥面。由分析一易知：四边形AFED 为正方形，连AE DF 、，并设
交点为O ，则E O B D C ⊥面，OC ∴为EC 在面B D C 内的射影。ECO ∴∠即为所求。以下略。
分析三：利用空间向量的方法求出面BDC 的法向量n
，则1B C 与平面BCD 所成的角即为1BC
与法向量n 的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。
总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。
19（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。
解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=
由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-
又12n n n b a a +=- ，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．
（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=?，113
224
n n n n a a ++∴-= ∴数列{
}2
n n
a 是首项为12，公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444
n n a n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-? 评析：第（I ）问思路明确，只需利用已知条件寻找1n n b b -与的关系即可．
第（II ）问中由（I ）易得11232n n n a a -+-=?，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,n n n a pa q p q +=+为常数)，主要的处理手段是两边除以1n q +．
总体来说，09年高考理科数学全国I 、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I 还考查了利用错位相减法求前n 项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
20（本小题满分12分）
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。
（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望。
分析：（I ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分
层抽样与性别无关。
（II ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。
从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率11
462
108
15
C C P C ?== （III ）ξ的可能取值为0，1，2，3
1234211056(0)75C C P C C ξ==?=，11121
46342212110510528
(1)75
C C C C C P C C C C ξ==?+?=
，
21
622110510
(3)75
C C P C C ξ==?=，31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==
分布列及期望略。
评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算(2)P ξ=时，采用分类的方法，
用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。
21（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
F 的直线l 与C 相交
于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l
（I ）求a ，b 的值；
（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+
成立？
若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。 解:(I ）设(,0)F c ，直线:0l x y c --=，由坐标原点O 到l
=
1c =.
又c e a b a ==∴==（II ）由(I ）知椭圆的方程为22
:132
x y C +=.设11(,)A x y 、B 22(,)x y 由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设 :1l x my =+
代入椭圆的方程中整理得22
(23)440m y my ++-=，显然0?>。
由韦达定理有：1224,23m y y m +=-
+122
4
,23
y y m =-+．．．．．．．．① .假设存在点P ，使OP OA OB =+
成立，则其充要条件为：
点1212P (,)x x y y ++的坐标为，点P 在椭圆上，即
22
1212()()132
x x y y +++=。 整理得2
2
2
2
112212122323466x y x y x x y y +++++=。
又A B 、在椭圆上，即22221122236,236x y x y +=+=.
故12122330x x y y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得2
1
2
m =
1222y y ∴+=-,12x x +=22
432232m m -+=+,即3(,22
P ±.
当3,(,:12m P l x y =
=+;
当3,(:12m P l x y ==+. 评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理
和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。
22.(本小题满分12分)
设函数()()2
1f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <
（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）证明：()2122
4
In f x ->
解: （I ）()2222(1)11a x x a f x x x x x
++'=+=>-++ 令2
()22g x x x a =++，其对称轴为1
2
x =-
。由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根，其充要条件为480(1)0
a g a ?=->??-=>?，得1
02a <<
⑴当1(1,)x x ∈-时，()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数； ⑵当12(,)x x x ∈时，()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数；
⑶当2,()x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数； （II ）由（I ）21
(0)0,02
g a x =>∴-
<<，222(2)a x x =-+2 ()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2
设()()2
2
1(22)1()2
h x x x x ln x x =-++>-，
则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ ⑴当1(,0)2x ∈-
时，()0,()h x h x '>∴在1
[,0)2
-单调递增； ⑵当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞单调递减。
()1112ln 2
(,0),()224x h x h -∴∈->-=当时
故()22122
()4
In f x h x -=>．
2010
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1） 集合
2{03},{9}
P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤，则P M I =
(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3} （2）在等比数列
{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m=
（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 （3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视
图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为
（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）
8287A C （5）极坐标方程（ρ-1）（θπ-）=0（ρ≥0）表示的图形是
（A ）两个圆 （B ）两条直线
（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线
（6）若a ,b 是非零向量，“a ⊥b
”是“函数()()()f x xa b xb a =+?- 为一次函数”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（7）设不等式组
110330530x y x y x y 9+-≥??
-+≥??-+≤?
表示的平面区域为D ，若指数函数y=x
a 的图像上
存在区域D 上的点，则a 的取值范围是
（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞] (8)如图，正方体ABCD-
1111A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在
棱AD ，CD 上，若EF=1，
1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零）
，则四面体PE
ＦＱ的体积 （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 （Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 （Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关
第II 卷（共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html,
（9）在复平面内，复数21i
i -对应的点的坐标为 。
（10）在△ABC 中，若b = 1，
23C π
∠=
，则a = 。
（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a ＝ 。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。
（12）如图，O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A 。若
BD ⊥AE ，AB ＝4, BC ＝2, AD ＝3,则DE ＝ ；CE ＝ 。
（13）已知双曲线222
21x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆
22
1259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
（14）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。
设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴
所围区域的面积为 。 说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方
向滚动。沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC 可以沿x 轴负方向滚动。 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html, （15）（本小题共13分）www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html,
已知函数(x)f 2
2cos 2sin 4cos x x x =+-。
（Ⅰ）求
()
3f π
的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值。
（16）（本小题共14分）
如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC,EF ∥
CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ； （Ⅲ）求二面角A-BE-D 的大小。
(17)(本小题共13分) www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html,
某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为4
5，第二、第
三门课程取得优秀成绩的概率分别为
p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求
p，q的值；
(Ⅲ)求数学期望Eξ。
(18)(本小题共13分)
已知函数
2
()ln(1)(0)
2
k
f x x x x k
=+-+≥
(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，(1)
f)处的切线方程；
(Ⅱ)求
f(x)的单调区间。
（19）（本小题共14分）www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html,
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与
BP的斜率之积等于
1 3 -
.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
（20）（本小题共13分）
已知集合
121
{|(,,),
{0,1},
1,2,
n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，
…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…
A 与
B 之间的距离为1
(,)||
n
i i i d A B a b ==-∑
（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ?∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ?∈三个数中至少有一个是偶数
(Ⅲ) 设P
n S ?，P 中有m(m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()d P .
证明：()d P ≤2(1)mn
m -.
参考答案
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html, （1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）B （7）A （8）D
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html, （9）（-1,1） （10）1
（11）0.030 3 （12）5
（13）（4±，0）
0y = （14）4 1π+
三、解答题（本大题共6小题，共80分）www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html, （15）www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html, （共13分）
解：（I ）
2239()2cos sin 4cos 1333344f ππππ=+-=-+=- （II ）
22()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+-- =
2
3cos 4cos 1x x --
=
2273(cos )33x --
,x R ∈ 因为cos x ∈[1,1]-，
所以，当cos 1x =-时，()f x 取最大值6；当2cos 3x =
时，()f x 取最小值7
3-
（16）（共14分）www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html, 证明：（I ） 设AC 与BD 交与点G 。
因为EF//AG ，且EF=1，AG=1
2AC=1.
所以四边形AGEF 为平行四边形. 所以AF//平面EG ，
因为EG ?平面BDE ，AF ?平面BDE ， 所以AF//平面BDE.
（II ）因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面 相互垂直，且CE ⊥AC ， 所以CE ⊥平面ABCD.
如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C-
xyz .
则C （0，0，0），A
0），B （0
0）.
所以CF =
，(0,BE =
，()DE = .
所以0110CF BE =-+= ,1010CF DE =-++=
所以CF BE ⊥,CF DE ⊥. 所以CF ⊥BDE.
(III) 由（II
）知，(22CF = 是平面BDE 的一个法向量.
设平面ABE 的法向量(,,)n x y z =,则0n BA = ，0n BE =
.
即(,,)0
(,,)(0,0x y z x y z ==???
所以0,x =
且,z = 令1,y =
则z =
所以n =.
从而
cos ,||||n CF n CF n CF ??=
=
。 因为二面角A BE D --为锐角，
所以二面角A BE D --的大小为6π
.
（17）（共13分）www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html, 解：事件
i A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”
，i =1,2,3，由题意知
14
()5P A =
，2()P A p =，3()P A q =
（I ）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“0ξ=”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
61191(0)1125125P ξ-==-
=
，
（II ）由题意知
12316
(0)()(1)(1)5125P P A A A p q ξ===--=
123424
(3)()5125P P A A A pq ξ====
整理得 6125pq =
，1p q += 由
p q >，可得
35p =
，2
5q =.
（III ）由题意知
123123123(1)()()()a P P A A A P A A A P A A A ξ===++
=411
(1)(1)(1)(1)555p q p q p q
--+-+-
37
125=
(2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-=
=58
125
0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=?=+?=+=+=
=9
5
（18）（共13分）www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html,
解：（I ）当2k =时，2
()ln(1)f x x x x =+-+，
1
'()121f x x x =
-++
由于(1)ln 2f =，
3
'(1)2f =
，
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为
3
ln 2(1)2y x -=
-
即 322l n 230
x y -+-= （II ）
(1)'()1x kx k f x x +-=
+，(1,)x ∈-+∞.
当0k =时，
'()1x
f x x =-
+.
所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.
当01k <<时，由
(1)'()01x kx k f x x +-=
=+，得10x =，210
k
x k -=>
所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)
k
k -上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是
1(0,)
k
k -. 当1k =时，
2
'()1x f x x =
+ 故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞.
当1k >时，
(1)'()01x kx k f x x +-=
=+，得11(1,0)
k
x k -=∈-，2
0x =.
所以没在区间
1(1,
)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k
k -上，
'()0f x <
故()f x 得单调递增区间是
1(1,
)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)
k
k -
（19）（共14分）www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html,
（I ）解：因为点B 与A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B 得坐标为(1,1)-. 设点P 的坐标为(,)x y
由题意得111
11
3y y x x -+=-
+- 化简得
22
34(1)x y x +=≠±. 故动点P 的轨迹方程为22
34(1)x y x +=≠± （II ）解法一：设点P 的坐标为
00(,)x y ，点M ，N 得坐标分别为(3,)M y ,(3,)N y .
则直线AP 的方程为
0011(1)1y y x x --=
++，直线BP 的方程为001
1(1)1y y x x ++=--
令3x =得
000431M y x y x +-=
+，00
0231N y x y x -+=-.
于是PMN 得面积
200002
0||(3)1
||(3)2|1|P M N M N x y x S y y x x +-=--=-
又直线AB 的方程为0x y +=
，||AB =
点P 到直线AB
的距离d =
.
于是PAB 的面积
001
||||2PAB S AB d x y =
=+
当PAB
PMN S S = 时，得2
0000020||(3)|||1|x y x x y x +-+=
-
又
00||0x y +≠，
所以20(3)x -=
20|1|x -，解得05
|3x =
。
因为
22
0034x y +=
，所以
09y =±
故存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，此时点P
的坐标为5(,3.
解法二：若存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，设点P 的坐标为
00(,)x y
则11
||||sin ||||sin 22PA PB APB PM PN MPN ∠=∠ .
因为sin sin APB MPN ∠=∠,
所以||||
||||PA PN PM PB =
所以
000|1||3|
|3||1|x x x x +-=
-- 即
22
00(3)|1|x x -=-，解得0
x 5
3=
因为
2
2
0034x y +=
，所以
0y =
故存在点P S 使得PAB 与PMN 的面积相等，此时点P
的坐标为5(,39±.
（20）（共13分）www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html, 证明：（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈
因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html, 从而
1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈
又
1
(,)||||||
n
i i i i i d A C B C a c b c =--=---∑
由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =.
当
0i c =时，|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;
当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-
所以
1
(,)||(,)
n
i i i d A C B C a b d A B =--=-=∑
(II)设
12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈
(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =.
记
(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知
(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-= (,)(,)d B C d B A C A h =--= 所以
||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的
个数为l 。 设t 是使
||||1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+-
由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，
即(,)d A B ,(,)d A C ,(,)d B C 三个数中至少有一个是偶数。
（III ）
2,1
()(,)
A B P
m
d P d A B C ∈=
∑,其中,(,)
A B P
d A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距离的总和，
www.@ks@https://www.doczj.com/doc/7815920549.html,
设P 种所有元素的第i 个位置的数字中共有i t
个1，
i m t -个0
则
,(,)A B P
d A B ∈∑=
1
()
n
i
i
i t m t =-∑