数字信号处理（姚天任江太辉）第三版
课后习题答案
第二章
2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos(6
85ππ+n ) （2）x(n)=)8(
π-n
e j
（3）x(n)=Asin(3
43π
π+n )
解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(?ω+n )，得出=ω85π。因此5
16
2=ωπ是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=
)5(165
16
取k k =。 （2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。
（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(?ω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π3
43π
π-n )
＝Acos(6
143-n π)，得出=ω43π。因此38
2=ωπ是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=
)3(83
8
取k k =
2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。
(a)
1
11
1
(b)
(c)
11
111
0 0
-1-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
2
2
2
222 3
3
3
3 34
44
…
…
…n
n
n n
n
n
x(n)x(n)
x(n)
h(n)h(n)
h(n)2
1
u(n)
u(n)
u(n)a n ===2
2
解 利用线性卷积公式
y(n)=
∑∞
-∞
=-k k n h k x )()(
按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。 (a) y(0)=x(O)h(0)=1
y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3
y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)
h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)
y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)=
∑∞
-∞
=--k k
n k n u k u a
)()(=
∑∞
-∞
=-k k
n a
=a
a n --+111
u(n)
2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λ
n
u(n)*u(n)
解：(1) y(n)=
∑∞
-∞=-k k n u k u )()(
=
∑∞
=-0
)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0
即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞
-∞=-k k k n u k u )()(λ
=∑∞
=-0
)()(k k
k n u k u λ
=λ
λ--+111
n ,n ≥0
即
y(n)=λ
λ--+111
n u(n)
2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).
解 ω(n)=x(n)*h 1(n) =
∑∞
-∞
=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]
=u(n)-u(n-4)
y(n)=ω(n)*h 2(n) =
∑∞
-∞=k k
k u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]
=∑∞
-=3
n k k
a
,n ≥3
2.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a
n
-u(-n),0 系统的单位阶跃响应。 2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。 证明（1）交换律 X(n) * y(n) = ∑∞ -∞ =- k k n y k x) ( ) ( 令k=n-t,所以t=n-k,又-∞ ` x(n) * y(n) =∑∞ -∞ = - - - t t n n y t n x)] ( [ ) ( =∑∞ -∞ =- t t y t n x)( ) (=y(n) * x(n) 交换律得证. (2)结合律 [x(n) * y(n)] * z(n) =[∑∞ -∞ =- k k n y k x) ( ) (] * z(n) =∑∞ -∞ =t [∑∞ -∞ = - k k t y k x) ( ) (]z(n-t) =∑∞ -∞ = k x(k) ∑∞ -∞ =t y(t-k)z(n-t) =∑∞ -∞ = k x(k) ∑ m y(m)z(n-k-m) =∑∞ -∞ = k x(k)[y(n-k) * z(n-k)] =x(n) * [y(n) * z(n)] 结合律得证. (3)加法分配律 x(n) * [y(n) + z(n)] = ∑∞ -∞ = k x(k)[y(n - k) +z(n - k)] =∑∞ -∞ = k x(k)y(n-k)+ ∑∞ -∞ = k x(k)z(n - k) =x(n) * y(n) + x(n) *z(n) 加法分配律得证. 2.7 判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明 (1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sin[ 32πn+6 π] (3)y(n)= ∑∞-∞ =k k x )( (4)y(n)= ∑=n n k k x 0 )( (5)y(n)= x(n)g(n) 解 （1）设y 1(n)=2x 1(n)+3,y 2(n)=2x 2(n)+3,由于 y(n)=2[x 1(n)+x 2(n)]+3 ≠y 1(n)+ y 2(n) =2[x 1(n)+x 2(n)]+6 故系统不是线性系统。 由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而 y(n-k) = T[x(n-k)] 故该系统是非移变系统。 设|x(n)|≤M ，则有 |y(n)|=|2x(n)+3|≤|2M+3|<∞ 故该系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （2）设 y 1(n)=ax 1(n)sin[ 3 2π n+6π] y 2(n)=bx 2(n)sin[3 2π n +6π] 由于 y(n)=T[ax 1(n)+ bx 2(n)] =[ax 1(n)+bx 2(n)]sin[3 2π n+6π] =ax 1(n)sin[ 32πn+6π]+bx 2(n)sin[3 2πn+6π ] =ay 1(n)+by 2(n) 故该系统是线性系统。 由于 y(n-k)=x(n-k)sin[ 3 2π (n-k)+6π] T[x(n-k)]=x(n-k)sin[3 2π n+6π] 因而有 T[x(n-k)]≠y(n-k) 帮该系统是移变系统。 设 |x(n)|≤M ，则有 |y(n)|=|x(n)sin[ 3 2π (n-k)+6π]| =|x(n)|| sin[3 2π (n-k)+6π]| ≤M|sin[ 3 2π (n- k)+6π]|≤M 故系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （3）设 y 1(n)= ∑-∞ =n k k x )(1 ，y 2(n)=∑-∞ =n k k x )(2 ，由于 y(n)=T[ax 1(n)+ bx 2(n)]= ∑-∞ =+n k k k )](bx )(ax [2 1 =a ∑-∞ =n k k x )(1 + b ∑-∞ =n k k x )(2 =ay 1(n)+by 2 (n) 故该系统是线性系统。 因 y(n-k)= ∑--∞ =t n k k x )(= ∑-∞ =-n m t m x )( =T[x(n-t)] 所以该系统是非移变系统。 设 x(n)=M<∞ y(n)= ∑-∞ =n k M =∞，所以该系统是不稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （4）设 y 1(n)= ∑=n n k k x 0 1 )( ，y 2(n)=∑=n n k k x 0 2 )(，由于 y(n)=T[ax 1(n)+ bx 2(n)]= ∑=+n n k k k 0 2 1 )](bx )(ax [ = a ∑=n n k k x 0 1 )(+b ∑=n n k k x 0 2 )(=ay 1(n)+by 2 (n) 故该系统是线性系统。 因 y(n-k)= ∑-=t n n k k x 0 )(= ∑+=-n t n m t m x 0)( ≠T[x(n-t)]= ∑=-n n k t m x 0 )( 所以该系统是移变系统。 设x(n)=M,则lim n →∞ y(n)= lim n →∞ (n-n 0)M=∞,所以该系统不是稳定系统。 显而易见，若n ≥n 0。则该系统是因果系统；若n y(n)=T[ax 1(n)+bx 2(n)]=(ax 1(n)+bx 2(n))g(n) =ax 1(n)g(n)+b 2(n)=ay 1(n)+by 2(n) 故系统是线性系统。 因y(n-k)=x(n-k),而 T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)≠y(n-k) 所以系统是移变系统。 设|x(n)|≤M<∞,则有 |y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)| 所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。 2.8 讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性 （1）h(n)=2n u(-n) (4) h(n)=(12 )n u(n) (2) h(n)=-a n u(-n-1) (5) h(n)= 1 n u(n) (3) h(n)=δ(n+n 0), n 0≥0 (6) h(n)= 2n R n u(n) 解 （1）因为在n<0时，h(n)= 2n ≠0,故该系统不是因果系统。 因为S= n ∞ =-∞ ∑ |h(n)|= n ∞ =∑ |2n |=1<∞，故该系统是稳定系统。 (2) 因为在n n ∞ =-∞ ∑|h(n)|= 1 n -=-∞ ∑| a n |= n ∞ =∞ ∑ a n -，故该系统只有在|a|>1时才是稳定系统。 (3) 因为在n n ∞ =-∞∑|h(n)|= n ∞ =-∞ ∑ |δ(n+n 0)|=1<∞，故该系统是稳定系统。 (4) 因为在n n ∞=-∞ ∑ |h(n)|= n ∞=∑ |( 12 )n |<∞，故该系统是稳定系统。 (5) 因为在n 1 n u(n)=0，故该系统是因果系统 。 因为S= n ∞ =-∞ ∑ |h(n)|= n ∞ =-∞ ∑ |1n u(n)|= 0 n ∞ =∑1n =∞，故该系统不是稳定系统。 (6) 因为在n 因为S=n ∞ =-∞ ∑ |h(n)|= 1 N n -=∑ |2n |=2N -1<∞，故该系统是稳定系统。 2.9 已知y(n)-2cos βy(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)=sin() sin n ββ 证明 题给齐次差分方程的特征方程为 α2-2cos β·α+1=0 由特征方程求得特征根 α1=cos β+jsin β=e j β,α 2 =cos β-jsin β= e j β- 齐次差分方程的通解为 y(n)=c 1α 1 n +c 2α 2 n =c 1e j n β+c 2e j n β- 代入初始条件得 y(0)=c 1+c 2=0 y(1)= c 1e j n β+c 2e j n β-=1 由上两式得到 c 1= 1 j n j n e e ββ--=12sin β，c 2=- c 1=-12sin β 将c 1和c 2代入通解公式，最后得到 y(n) =c 1e j n β+c 2e j n β-= 12sin β( e j n β+ e j n β-)=sin()sin n ββ 2.10 已知y(n)+2αy(n-1)+β(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n) 解 首先由初始条件求出方程中得系数a 和b 由 (2)2(1)(0)660 (3)2(2)(1)361230y ay by a y ay by a b ++=+=?? ++=++=? 可求出 a=-1,b=-8 于是原方程为 y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0 由特征方程α2 －2α－8＝0求得特征根 α1＝4 ，α2＝-2 齐次差分方程得通解为 y(n)=c 1α 1n +c 2α 2n = c 14n +c 2(-2n ) 代入初始条件得 y(n)= c 1α1+c 2α 2 = 4α1+2α 2 =3 由上二式得到 c 1＝ 12，c 2＝－12 将c 1和c 2代入通解公式，最后得到 y(n)=c 1α 1 n +c 2α 2 n ＝ 12 [4n -(-2) n ] 2.11 用特征根法和递推法求解下列差分方程： y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y(1)=1 解 由特征方程α 2 －α－1＝0求得特征根 α1＝ 15 2 +，α2＝ 15 2 - 通解为y(n)=c 1α1 n +c 2α 2 n ＝c 1（ 152+）n ＋c 2（152 -）n 代入初始条件得 12121 1515 ( )()122 c c c c +=?? ?+-+=?? 求出 c 1= 1525+，c 2=15 25 - 最后得到通解 y(n)= c 1( 1525+)n + c 2(1525 -)n = 15[(1525+)1n +-(1525 -)1n +] 2.12 一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应 解 由图可知 ＋ x -1 ? x(n) y(n)=x(n)+ βy(n-1) 为求单位取样响应，令x(n)=δ(n),于是有 h(n)= δ(n)+ βh(n-1) 由此得到 h(n)= () 1n D δβ-=βn u(n) 阶跃响应为 y(n)=h(n)*u(n)= n k =∑ βk y(k)u(n-k) =111n ββ +--u(n) 2.13 设序列x(n)的傅立叶变换为X(e jw ),求下列各序列的傅立叶变换 解 （1）F[ax 1(n)+bx 2(n)]=aX 1(e jw )+bX 2(e jw ) (2)F[x(n-k)]=e jwk -X(e jw ) (3)F[e 0jw n x(n)]=X[e 0() j w w -] (4)F[x(-n)]=X(e jw -) (5)F[x * (n)]=X * (e jw -) (6)F[x * (-n)]= X * (e jw ) (7) (8)jIm[x(n)]=1 2 [X(e jw )-X *(e jw -)] (9) 1 2π X(e j θ)*X(e jw ) (10)j ()jw dx e dw 2.14 设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述 y(n)-12y(n-1)=x(n)+ 1 2 x(n-1) (1) 求该系统的单位取样响应h(n) (2) 用（1）得到的结果求输入为x(n)＝e jwn 时系统的响应 (3) 求系统的频率响应 (4) 求系统对输入x(n)=cos(2πn+4 π )的响应 解 （1）令X （n ）=δ(n),得到 h(n)-h(n-1)/2=δ(n)+ δ(n-1)/2 由于是因果的线性非移变系统，故由上式得出 h(n)=h(n-1)/2+δ(n)+ δ(n-1)/2 ,n ≥0 递推计算出 h(-1)=0 h(0)=h(-1)/2+δ(0)=1 h(1)=h(0)/2+1/2=1 h(2)=h(1)/2=1/2 h(3)=21h(2)=(2 1)2 h(4)= 21h(2)=(2 1)3 ． ． ． h(n)=δ(n)+ (2 1)n-1u(n-1) 或 h(n)= (2 1)n [u(n)-u(n-1)] 也可将差分方程用单位延迟算子表示成 (1-D)h(n)=(1+D)δ(n) 由此得到 h(n)=[(1+2 1D)/(1-2 1D)]δ(n) =[1+D+2 1D 2+ (2 1)2 D 3+…+(2 1)k-1 D 3+…] δ(n) =δ(n)+ δ(n-1)+ 2 1δ(n-2)+2 1δ(n-3)+... +(2 1)k-1δ(n-1)+… =δ(n)+ (2 1)n u(n-1) 2）将jwn e n X =)(代入)(*)()(n h n x n y =得到 [ ] ()jw jw jwn jw n jw jwn n n jwn jwn e e e e e e D D D D e D D n D D e n y ------+=-+ =?? ??????????+??? ??+????+??? ??+++=-+ = -+ =21121121121212112 11211)(2 11211*)(11 322δ （3）由（2）得出 () jw jw jw e e e H ---+= 2 11211 （4）由（3）可知 12 112112121 2=-+=???? ??--w j w j w j e e e H ? ? ? ??-=??????--??????+=???????????? ??--21arctan 2211arctan 211arctan arg 222ππj j w j e e e H 故： ()()()[] ? ?? ?????? ??-+=? ? ? ???++=21arctan 242 cos arg 42cos ππππn e H n e H n y jw jw 2.15 某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述 y(n)-ay(n-1)=x(n)-bx(n-1) 试确定能使系统成为全通系统的b 值（b ≠a ），所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率ω无关的常数的系统。 解：令 x(n)= (n),则 h(n)=ah(n-1)=(n)-b8(n-1) 或 h(n)=ah(n-1)+ (n)- (n-1),n ≥0 由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出： h(-1)=0 h(0)=1 h(1)=ah(0)-b (0)=a-b h(2)=ah(1)=-ab h(3)=ah(2)= - b h(n)=ah(n-1)= -b,n ≥0 h(n)= u(n)- bu(n-1) 或系统的频率特性为 H( )= = = = 振幅的特性平方 = = = = 若选取a ＝*1b 或b ＝*1a ，则有|H(e jw )|2=|b|2 ,即幅度响应等于与频率响应无关的常数，故该 系统为全通系统。 2.16 (1)一个线性非移变系统的单位冲激响应为h(n)=a n u(n),其中a 为实数，且0 β n u(n), β为实数，且0<β<1.试利用线性卷积计算系统的输出y(n),并将结果写成下列形式 y(n)=(k 1a n +k 2β n )u(n) (2)分别计算x(n)、h(n)和（1）中求得的y(n)的傅立叶变换X(e jw )、H(e jw )、Y(e jw )，并证明 Y(e jw )=H(e jw )X(e jw ) 解 (1)y(n)= ∑∞ -∞=-k k n x k h )()( = ∑∞ -∞ =--k k k n u k u a )()(1β =∑∞ -∞ =--k k a )(11 ββ=1 1111] )(1[-+----αβαββn =-1111+---n ααββ+1 1 11----βαβ β，n ≥0 y(n)=( n αβα-1-n ββ β -1)u(n) (2)X(iw e )=ωγβi n e -∞ =∑0=-ω βj e --11 H(e ω j )=ωγαi n e -∞ =∑0= ω αj e --11 Y(e ω j )=∑∞ =--- -0 )( n j n n e ωββ αβαβ αα = βα-1(ω ααj e --1-n j e ββαβω--) 由于 βα-1(ωααj e --1-ω ββj e --1) = ) 1)(1(1 ωωβαj j e e ----=X(e ωj )H(e ωj ) 故得出 Y(e jw )=H(e jw )X(e jw ) 2.17 令x(n)和X(e jw )分别表示一个序号及其傅立叶变换，证明： **1()()()()2n jw jw n n x n x n X e X e dx π +∞ -=-∞ = ∑ ? 此式是帕塞瓦尔（Parseval ）定理的一种形式。 证明：证法一 ??∑?∑?∑∑∑???∑∑?∑ ∑?∑ ∑∑- - ∞ -∞ =--∞ -∞=- -∞ -∞=∞ -∞ =∞ -∞ =----- - -∞ -∞ =∞ -∞ =- ∞ -∞ =∞ -∞ =--∞ -∞ =-∞ =-∞ =-= = ===? ? ? ??≠=--==--=-= = = ==π π π π π π π π πππ π π π π π π π π ππππ ππππ ππ dw e X e X dw e n x e X dw e e X n x dw e e X n x n x n x n x n x dw e X e X m n m n e e m n dw m n ejw dw e n x m x dw e n x e m x dw e X e X e n x e N x e X e n x e X jw jw n jwn jw jwn jw n jwn jw n n n jw jw m n jw m n jw m n jw n m m n jw jwn jw jw n jwn n jwn jw n jwn jwn )(*)(21)() (*21 ])(*21 [ )(] )(21 [ )() (*)() (*)()(*)(21,....0,.... 2)(21) (*) (])(*][)([ 21 )(*)(21)(**))(*( )(*)()() ()()(证法二： 其中 2.18 当需要对带限模拟信号滤波时，经常采用数字滤波器，如图P2.18所示，图中T 表示取样周期，假设T 很小，足以防止混叠失真，把从x α(t)到y α(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。 （1）如果数字滤波器h （n ）的截止频率ω等于8πrad ，1 T ＝10kHz ，求整个系统的截止频率ac f ，并求出理想低通滤波器的截止频率c f （2）对 1 T ＝20kHz ，重复（1）的计算 解 理想低通滤波器的截止频率T π （弧度/秒）折合成数字域频率为π（弧度），它比数字滤波器h （n ）的截止频率8π（弧度）要大，故整个系统的截止频率由数字滤波器h(n)的截止频率8 π （弧度）来决定。将 其换算成实际频率，即将s f ＝ 1 T ＝10000Hz 带入28ac s f f ππ=，便得到 ac f ＝625 Hz 理想低通滤波器的截止频率 T π（弧度/秒）换算成实际频率使得到c f ，即由T π ＝2πc f ，得到 ac f ＝12T =100002 =500 Hz 2.19 求下列序列的Z 变换和收敛域 （1）δ（n －m ） （2）1()()2 n u n （3）a n u(-n-1) （4）1()[()(10)]2 n u n u n -- （5）cos(0n ω)u(n) 解：（1）X(z)＝∑∞ z m n )(-δn =z -nm 当m>0时，x(n)是因果序列，收敛域为0<｜z ｜≤∞，无零点，极点为0(m 阶); 当m<0时，x(n)是逆因果序列，收敛域为0≤｜z ｜≤∞，零点为0(m 阶)，无极点; 当m=0, X(z)＝1，收敛域为0≤｜z ｜≤∞，既无零点，也无极点 （2）X(z)＝∑∞ ∞=-n n ? ? ? ??21u(n)z -n =∑∞=0 n n z ??? ??-121=12 111--z X(n)是右边序列，它的Z 变换的收敛域是半径为R -x 的圆的外部区域，这里 R -x ＝lim ∞ →n ) () 1(n x n x +＝21 τ（n ）还是因果序列，可以有｜z ｜＝∞，故收敛域为 2 1 <｜z ｜≤∞。零点为0，极点 为 2 1。 X(n)还是因果序列，可以有｜z ｜＝∞，故收敛域为21<｜z ｜≤∞。零点为0，极点为2 1。（3）x(z)= n n n z u u a -∞ ∞ =--∑)1(= n n az )(1 1 ∑-∞ -=- = n n z a )(1 1 ∑-∞ -=-=n n az )(1 1∑∞=-=z a z a 111---=1 11---az X(n)是左边序列，它的Z 变换的收敛域是半径围x R +的圆的内部区域，这里 x R +=|))1(()(|lim +--∞ →n x n x n = ||) 1(lim +--∞ →n n n a a =||a )(n x 还是逆因果序列，可以有0||=z ，故收敛域为||||0a z ≤≤零点为0，极点为a 。 (4)X(z)＝ ∑ ∞ ∞=-n n ?? ? ??21[]10)-u(n -u(n)z -n =∑ =9 n n ?? ? ??21 z -n =110 )2(1)2(1----z z X(n)是有限长序列，且它的Z 变换只有负幂项，故收敛域为0<｜z ｜≤∞.零点为0和2 1 （10 阶），极点为2 1 。 （5）z z e e z n u n w z X n n jw n jw n n ∑∑∞ ∞ =--∞ -∞ =+== 00)()cos()(0 ＝n jw n z e )(21100-∞ =∑＋)(2 11 00--∞=∑z e jw n ＝ )1111(211100----+-z e z e jw jw ＝2 010 1cos 21cos 1---+--z w z w z )(n x 是右边序列，它的Z 变换的收敛域是半径为-x R 的圆的外部区域，这里 -x R ＝|)() 1(|lim n x n x n +→∞ ＝|)cos()]1(cos[|00lim n w n w n +→∞＝1 )(n x 还是因果序列，可以有∞=||z ，故收敛域为∞≤≤||1z ，零点为0和0cos w ， 极点为0 jw e 和 jw e -。 2.20求下列序列的Z 变换和收敛域和零极点分布图 (1) x(n)=a ||n ,0 0()a jw n +u(n) (3) x(n)=Ar n cos(0ω?+)u(n),0 1 ! n u(n) (5) x(n)=sin(0ω?+)u(n) （1）X(z)= n n n a z ∞ -=-∞ ∑ = 1 n n n n n n a z a z -∞ ---=-∞ =+∑ ∑ = 1 1 111n n n n n n ax a z a z ax ax ∞ ∞--=-=+=+ --∑∑ = 2(1) (1)()z a az z a --- X(n)是双边序列，可看成是由一个因果序列（收敛域a z <≤∞）和一个因果序列（收敛域1 0z a ≤< ）相加组成，故X(z)的收敛域是这两个收敛域的重叠部分，即圆环区域1 a z a << 。零点为0和∞，极点为a 和 1a 。 (2) 0() ()()()j j n n n n X z e u n z e z ?θω?ω? ∞ ∞ ++=-∞ == =∑ ∑ 填空题(每空2分，共20分) 信号与系统的时域分析与处理 1.序列x(n)的能量定义为__________。 2.线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是__________。 3.设两个有限长序列的长度分别为N 和M ，则它们线性卷积的结果序列长度为__________。 4.线性系统同时满足_____和_____两个性质。 5.某线性移不变系统当输入x(n) =δ(n-1)时输出y(n) =δ(n -2) + δ(n -3)，则该系统的单位冲激响应h(n) =__________。 6.序列x(n) = cos (3πn)的周期等于__________。 7.线性移不变系统的性质有______、______和分配律。 8. 已知系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是__________。 9.线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是________。 10．序列x(n) = nR 4(n -1)，则其能量等于 _______ 。 11.两序列间的卷积运算满足_______，_______与分配率。 12信号处理有两种形式;其中一种是（ASP 模拟信号处理）;另一种是（DSP ：数字信号处理）。 13数字信号处理可以分为两类：信号(分析)和信号 (过滤) . 14数字信号是指 (时间) 和 (幅度)都离散的信号. 15．一个离散LTI 系统稳定的充要条件是系统的脉冲响应 h(n)满足关系式: ( ()h n ∞-∞<∞∑).LTI 离散系 统因果的充要条件是当且仅当 (h(n)=0,n<0). 16．互相关 ryx(l) 可以用卷积运算表示为（ryx(l)=y(l)*x(-l)）, 自相关 rxx(l)可写为 (rxx(l)=x(l)*x(-l) ) 17．若 LTI 系统的脉冲响应是有限长的,则该系统可称为(FIR:有限长脉冲响应) 滤波器, 否则称为 (IIR ：无 限长脉冲响应) 滤波器. 18．2n u(n)*δ(n-1)=( ). 0.8 n u(n)* 0.8 n u(n)=( ) 离散时间傅里叶变换（DTFT ） 1. 输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x(n)cos(4 πn)中包含的频率为__________。 2．输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x 2(n)中包含的频率为__________。 3．系统差分方程为y(n)=x(n)-x(n-1) 的系统被称为 (数字微分器). 4．实序列的DTFT 有两个重要属性:(周期性)和 (对称性), 根据这两个性质,我们只需要考虑[0,π]频率范围上的X(ejw) . 5．若DTFT[x(n)]= X(ejw), 则 DTFT[x*(n)]=(X*(e-jw)), DTFT[x(-n)]=( X(e-jw)); DTFT[x(n-k)]=( X(ejw) e-jwk). 6．DTFT[ (0.5)n u(n)]=（1 10.5jw e --）; 7．x(n)={ 1,2,3,4},DTFT[x(n)]=(1+2 e-jw+3 e-j2w+4 e-j3w ) . 数字信号处理习题及答案1 一、填空题（每空1分, 共10分） 1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。 2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。 3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。 5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出 y(n)= 。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。 二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z 变换是 （ ）A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ） 的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换 DFT 的是 （ ） A.时域为离散序列，频域为连续信号 B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即 可完全不失真恢复原信号 （ ）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理 想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统 （ ）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n) 第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。 在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处 理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频 率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 采样（T） () n h () n x () t x () n y D/A 理想低通T c πω=() t y 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π 1. 有一个线性移不变的系统，其系统函数为： 2z 2 1 )21)(2 11(2 3)(11 1<<-- - = ---z z z z H 1）用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 4．试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统函数： H(s)= 3) 1)(s (s 2 ++其中抽样周期T=1s 。 三、有一个线性移不变的因果系统，其系统函数为： ) 21)(2 1 1(2 3)(111------= z z z z H 1用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 七、用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通虑波器，采样频率为kHz f s 4=（即采样周期为s T μ250=）,其3dB 截止频率为kHz f c 1=。三阶模拟巴特沃思滤波器为： 3 2 ) ()(2)(211)(c c c a s s s s H Ω+Ω+Ω+= 解1)2 111112 5 12 3) 21)(2 1 1(2 3)(------+-- = --- = z z z z z z z H …………………………….. 2分 当2 1 2> >z 时： 收敛域包括单位圆……………………………6分 系统稳定系统。……………………………….10分 1111 1211 2 111)21)(2 11(2 3)(------- -= -- - = z z z z z z H ………………………………..12分 )1(2)()2 1 ()(--+=n u n u n h n n ………………………………….15分 4.（10分）解： 3 1 11)3)(1(1)(+- +=++= s s s s s H ………………1分 1 311)(------ -= Z e s T Z e T z H T T ……………………3分 实验6 数字滤波器的网络结构 一、实验目的： 1、加深对数字滤波器分类与结构的了解。 2、明确数字滤波器的基本结构及其相互间的转换方法。 3、掌握用MA TLAB 语言进行数字滤波器结构间相互转换的子函数及程序编写方法。 二、实验原理： 1、数字滤波器的分类 离散LSI 系统对信号的响应过程实际上就是对信号进行滤波的过程。因此，离散LSI 系统又称为数字滤波器。 数字滤波器从滤波功能上可以分为低通、高通、带通、带阻以及全通滤波器；根据单位脉冲响应的特性，又可以分为有限长单位脉冲响应滤波器（FIR ）和无限长单位脉冲响应滤波器（IIR ）。 一个离散LSI 系统可以用系统函数来表示： M -m -1-2-m m m=0 012m N -1-2-k -k 12k k k=1 b z b +b z +b z ++b z Y(z)b(z)H(z)=== =X(z)a(z) 1+a z +a z ++a z 1+a z ∑∑ 也可以用差分方程来表示： N M k m k=1 m=0 y(n)+a y(n-k)=b x(n-m)∑∑ 以上两个公式中，当a k 至少有一个不为0时，则在有限Z 平面上存在极点，表达的是以一个IIR 数字滤波器；当a k 全都为0时，系统不存在极点，表达的是一个FIR 数字滤波器。FIR 数字滤波器可以看成是IIR 数字滤波器的a k 全都为0时的一个特例。 IIR 数字滤波器的基本结构分为直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、直接Ⅲ型、级联型和并联型。 FIR 数字滤波器的基本结构分为横截型（又称直接型或卷积型）、级联型、线性相位型及频率采样型等。本实验对线性相位型及频率采样型不做讨论，见实验10、12。 另外，滤波器的一种新型结构——格型结构也逐步投入应用，有全零点FIR 系统格型结构、全极点IIR 系统格型结构以及全零极点IIR 系统格型结构。 2、IIR 数字滤波器的基本结构与实现 （1）直接型与级联型、并联型的转换 例6-1 已知一个系统的传递函数为 -1-2-3 -1-2-3 8-4z +11z -2z H(z)=1-1.25z +0.75z -0.125z 将其从直接型（其信号流图如图6-1所示）转换为级联型和并联型。 1、一线性时不变系统，输入为x (n)时，输出为y (n);则输入为2x (n)时，输出为2y(n) ;输入为x (n-3)时，输出为y(n-3) ________________________________ 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最咼频率f max关系为：fS> = 2f max 。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X(e jw)，它的N点 离散傅立叶变换X ( K是关于X (e jw)的_N ________ 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X ( K),则X (K) = _________ 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠 所产生的混叠_________ 现象。 6、若数字滤波器的单位脉冲响应h(n)是奇对称的，长度为N,贝陀的对称中心是(N-1)/2_______ 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波 器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应(IIR )滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30n n /120)是周期的，则周期是N二8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11、DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12、对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用Xn(n)表示，其数学表达式为x m(n)= x((n-m)) N R(n)。 13、对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基 2-FFT流图。 14、线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。 1.4 习题与上机题解答 1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 题1图 解：x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n －1)+2δ(n －2)+4δ(n －3)+0.5δ(n －4)+2δ(n －6) 2． 给定信号： ?? ? ??≤≤-≤≤-+=其它04 061 452)(n n n n x (1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； (3) 令x 1(n)=2x(n －2)，试画出x 1(n)波形； (4) 令x 2(n)=2x(n+2)，试画出x 2(n)波形； (5) 令x 3(n)=x(2－n)，试画出x 3(n)波形。 解：(1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n －1)+6δ(n －2)+6δ(n －3)+6δ(n －4) （3）x 1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 (4) x 2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 (5) 画x 3(n)时，先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)，然后再右移 2位， x 3(n)波形如题2解图（四）所示。 3．判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 (1)是常数 A n A n x 8π73 cos )(??? ??-=π (2))8 1 (j e )(π-= n n x 解：（1） 因为ω=7 3 π, 所以314 π 2= ω , 这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。 （2） 因为ω=81 , 所以ωπ2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 4． 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(－n)的波形； (2) 计算x e (n)=1/2［x(n)+x(－n)］， 并画出x e (n)波形； (3) 计算x o (n)=1/2［x(n)－x(－n)］， 并画出x o (n)波形; (4) 令x 1(n)=x e (n)+x o (n), 将x 1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？ 解：（1）x(－n)的波形如题4解图（一）所示。 (2) 将x(n)与x(－n)的波形对应相加，再除以2，得到x e (n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。x e (n)的波形如题4解图（二）所示。 (3) 画出x o (n)的波形如题4解图（三）所示。 (4) 很容易证明：x(n)=x 1(n)=x e (n)+x o (n) 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5．设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 实验5 抽样定理 一、实验目的： 1、了解用MA TLAB 语言进行时域、频域抽样及信号重建的方法。 2、进一步加深对时域、频域抽样定理的基本原理的理解。 3、观察信号抽样与恢复的图形，掌握采样频率的确定方法和插公式的编程方法。 二、实验原理： 1、时域抽样与信号的重建 （1）对连续信号进行采样 例5-1 已知一个连续时间信号sin sin(),1Hz 3 ππ=0001f(t)=(2f t)+6f t f ，取最高有限带宽频率f m =5f 0，分别显示原连续时间信号波形和F s >2f m 、F s =2f m 、F s <2f m 三情况下抽样信号的波形。 程序清单如下： %分别取Fs=fm ，Fs=2fm ，Fs=3fm 来研究问题 dt=0.1; f0=1; T0=1/f0; m=5*f0; Tm=1/fm; t=-2:dt:2; f=sin(2*pi*f0*t)+1/3*sin(6*pi*f0*t); subplot(4,1,1); plot(t,f); axis([min(t),max(t),1.1*min(f),1.1*max(f)]); title('原连续信号和抽样信号'); for i=1:3; fs=i*fm;Ts=1/fs; n=-2:Ts:2; f=sin(2*pi*f0*n)+1/3*sin(6*pi*f0*n); subplot(4,1,i+1);stem(n,f,'filled'); axis([min(n),max(n),1.1*min(f),1.1*max(f)]); end 程序运行结果如图5-1所示： 原连续信号和抽样信号 图5-1 （2）连续信号和抽样信号的频谱 由理论分析可知，信号的频谱图可以很直观地反映出抽样信号能否恢复原模拟信号。因此，我们对上述三种情况下的时域信号求幅度谱，来进一步分析和验证时域抽样定理。 例5-2编程求解例5-1中连续信号及其三种抽样频率（F s>2f m、F s=2f m、F s<2f m）下的抽样信号的幅度谱。 程序清单如下： dt=0.1;f0=1;T0=1/f0;fm=5*f0;Tm=1/fm; t=-2:dt:2;N=length(t); f=sin(2*pi*f0*t)+1/3*sin(6*pi*f0*t); wm=2*pi*fm;k=0:N-1;w1=k*wm/N; F1=f*exp(-j*t'*w1)*dt;subplot(4,1,1);plot(w1/(2*pi),abs(F1)); axis([0,max(4*fm),1.1*min(abs(F1)),1.1*max(abs(F1))]); for i=1:3; if i<=2 c=0;else c=1;end fs=(i+c)*fm;Ts=1/fs; n=-2:Ts:2;N=length(n); f=sin(2*pi*f0*n)+1/3*sin(6*pi*f0*n); wm=2*pi*fs;k=0:N-1; w=k*wm/N;F=f*exp(-j*n'*w)*Ts; subplot(4,1,i+1);plot(w/(2*pi),abs(F)); axis([0,max(4*fm),1.1*min(abs(F)),1.1*max(abs(F))]); end 程序运行结果如图5-2所示。 由图可见，当满足F s≥2f m条件时，抽样信号的频谱没有混叠现象；当不满足F s≥2f m 条件时，抽样信号的频谱发生了混叠，即图5-2的第二行F s＜2f m的频谱图，，在f m=5f0的围，频谱出现了镜像对称的部分。 第1章选择题 1．信号通常是时间的函数，数字信号的主要特征是：信号幅度取 ；时间取 B 。 A.离散值；连续值 B.离散值；离散值 C.连续值；离散值 D.连续值；连续值 2．数字信号的特征是（ B ） A ．时间离散、幅值连续 B ．时间离散、幅值量化 C ．时间连续、幅值量化 D ．时间连续、幅值连续 3．下列序列中属周期序列的为（ D ） A ．x(n) = δ(n) B ．x(n) = u(n) C ．x(n) = R 4(n) D ．x(n) = 1 4．序列x(n)=sin ??? ??n 311的周期为（ D ） A ．3 B ．6 C ．11 D ．∞ 5. 离散时间序列x (n )=cos(n 73π-8π )的周期是 ( C ) A. 7 B. 14/3 C. 14 D. 非周期 6．以下序列中（ D ）的周期为5。 A ．)853cos( )(ππ+=n n x B. )853sin()(ππ+=n n x C. )852()(π+=n j e n x D. )852()(ππ+=n j e n x 7．下列四个离散信号中，是周期信号的是（ C ）。 A ．sin100n B. n j e 2 C. n n ππ30sin cos + D. n j n j e e 5431 π - 8．以下序列中 D 的周期为5。 A.)853cos( )(π+=n n x B.)853sin()(π+=n n x C.)852 ()(π +=n j e n x D.)852 ()(ππ+ =n j e n x 9．离散时间序列x (n )=cos ??? ??+353ππ n 的周期是( C ) A.5 B.10/3 C.10 D.非周期 10.离散时间序列x(n)=sin （ 5n 31π+）的周期是( D ) A.3 B.6 C.6π D.非周期 11.序列x (n )=cos ? ?? ??n 5π3的周期为( C ) A.3 B.5 C.10 D.∞ 12．下列关系正确的为（ C ） A ．u(n)=∑=n k 0 δ (n) B ．u(n)=∑∞=0k δ (n) C ．u(n)=∑-∞=n k δ (n) D ．u(n)=∞-∞=k δ (n) 第一章 第二章 11-=--m/2 m=-m -/2 12 m=--/2 -/21 2 m=-m=-()121.7DTFT[x(2n)]=(2n)e m=2n DTFT[x(2n)]=(m)e =[()(1) ()]e [()e e ()e ] [()()] j n n j m j m j m j m j m j j x x x m x m x m x m X e X e ωωωωπ ωωωπ∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞-+-=+ =+∑∑ ∑∑∑，为偶数 求下列序列的傅里叶变换（）x(2n) 令，于是 -n 1 1 121 z (1) 2u(n)()2 ()2 1,|(2)|11(2),||n n n n n n X z u n z z z z z z z +∞ --=-∞+∞ --=-∞ --=== <-=>-∑∑14.求出下列序列的变换及收敛域 3.3(1).()cos(),781() 8 (2).()5.25n 640() (5)()x n A n A j n x n e x n y n e πππω=--==判断下面的序列是否周期的是常数 试判断系统是否为线性时不变的（）y(n)=x (n)(7) y(n)=x(n)sin() .试判断系统是否为因果稳定系统（）y(n)=x(n-n ) -1 -1-2 -1 -1112 1-317.X(z)=,2-5+2105< | z | < 2x(n)(2) | z | > 2x(n) 11 X(z)= -1-z 1-2z 05< | z | < 2(n)=2(-n-1)+()(n) | z | > 2(n)=()(n)-2(n)n n n n z z z u u u u 已知分别求：（）收敛域.对应的原序列收敛域对应的原序列解：收敛域.时： x 收敛域时： x -1-1 -1 -1-1 -1 21.(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)(1)h(n)(2)H(e )1+0.9(1)H(z)=,|z|>0.91-0.91+0.9F(z)=H(z)z =z 1-0.9n 1z=0.9(n j n n z z z z h ω≥已知线性因果网络用下面差分方程表示： y 求网络的系统函数及单位脉冲响应写出网络频率响应函数的表达式，并定性画出其幅频特性曲线解： 令当时，有极点-1-1=0.9-112-1-1-1-1=0=0.9-1-1)=Res[F(z),0.9]1+0.9=z (z-0.9)|1-0.9=20.9(n)=0,n<0 n=0z =0,=0.9(n)=Res[F(z),0]+Res[F(z),0.9]1+0.91+0.9=z z|+z (z-0.9)|1-0.91-0.9=-1+2=1 h(n)=n z n z z z z z h z z z z ?∴因为系统是因果系统，所以有h 当时，有极点00000000=0n-m =0n -m =0 n n 20.9(n-1)+(n)+0.9 (2)H(e )=-0.9 (3)y(n)=h(n)*x(n) =(m)x(n-m) =(m)e =(m)e e =e H(e )+0.9=e -0.9 n j j j m j m j j m j j j j j u e e h h h e e ωω ω ωωωωωωωωδ∞ ∞ ∞ ?∑∑∑（ ） 实验1认识实验-MATLAB语言上机操作实践 一、实验目的 ㈠了解MATLAB语言的主要特点、作用。 ㈡学会MATLAB主界面简单的操作使用方法。 ㈢学习简单的数组赋值、运算、绘图、流程控制编程。 二、实验原理 ㈠简单的数组赋值方法 MATLAB中的变量和常量都可以是数组（或矩阵）,且每个元素都可以是复数。 在MATLAB指令窗口输入数组A=[1 2 3；4 5 6；7 8 9]，观察输出结果。然后，键入：A（4，2）= 11 键入：A (5，：) = [-13 -14 -15] 键入：A（4，3）= abs (A(5，1)) 键入：A ([2，5]，：) = [ ] 键入：A/2 键入：A (4，：) = [sqrt(3) (4+5)/6*2 –7] 观察以上各输出结果。将A式中分号改为空格或逗号，情况又如何？请在每式的后面标注其含义。 2．在MATLAB指令窗口输入B=[1+2i，3+4i；5+6i ，7+8i], 观察输出结果。 键入：C=[1，3；5，7]+[2，4；6，8]*i，观察输出结果。 如果C式中i前的*号省略，结果如何？ 键入：D = sqrt (2+3i) 键入：D*D 键入：E = C’, F = conj(C), G = conj(C)’ 观察以上各输出结果, 请在每式的后面标注其含义。 3．在MATLAB指令窗口输入H1=ones(3,2)，H2=zeros(2,3)，H3=eye(4)，观察输出结果。 ㈡、数组的基本运算 1．输入A=[1 3 5]，B= [2 4 6]，求C=A+B，D=A-2，E=B-A 2．求F1=A*3，F2=A.*B，F3=A./B，F4=A.\B, F5=B.\A, F6=B.^A, F7=2./B, F8=B.\2 *3．求B'，Z1=A*B’，Z2=B’*A 观察以上各输出结果,比较各种运算的区别，理解其含义。 ㈢、常用函数及相应的信号波形显示 例1：显示曲线f(t)=2sin(2πt)，（t>0） ⅰ点击空白文档图标（New M-file），打开文本编辑器。 ⅱ键入：t=0:0.01:3; (1) f=2*sin(2*pi*t); (2) plot(t,f); title(‘f（t）-t曲线’)； xlabel（‘t’），ylabel（‘f（t）’）； ==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)??? ? ??-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω= 73π, 所以314 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ω π2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2 n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转) 西安电子 ( 高西全丁美玉第三版 ) 数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列 (n) 及其加权和表示 题 1 图所示的序列。 解： x( n)(n 4) 2 (n 2) ( n 1) 2 (n)(n 1) 2 (n 2) 4 ( n 3) 0.5 (n 4) 2 (n 6) 2n 5, 4 n 1 2. 给定信号： x( n) 6,0 n 4 0, 其它 （1）画出 x( n) 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 x(n) 序列； （3）令 x 1( n) 2x(n 2) ，试画出 x 1( n) 波形； （4）令 x 2 (n) 2x(n 2) ，试画出 x 2 (n) 波形； （5）令 x 3 (n) 2x(2 n) ，试画出 x 3 (n) 波形。 解： （ 1） x(n) 的波形如 题 2 解图（一） 所示。 （ 2） x(n)3 ( n 4) (n 3) (n 2) 3 ( n 1) 6 (n) 6 (n 1) 6 ( n 2) 6 (n 3) 6 (n 4) （ 3） x 1 (n) 的波形是 x(n) 的波形右移 2 位，在乘以 2，画出图形如 题 2 解图（二） 所示。 （ 4） x 2 (n) 的波形是 x(n) 的波形左移 2 位，在乘以 2，画出图形如 题 2 解图（三） 所示。 （ 5）画 x 3 (n) 时，先画 x(-n) 的波形，然后再右移 2 位， x 3 ( n) 波形如 题 2 解图（四） 所 示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1） x( n) Acos( 3 n ) ，A 是常数； 7 8 （2） x(n) j ( 1 n ) e 8 。 解： 数字信号处理复习题 一、选择题 1、某系统)(),()()(n g n x n g n y =有界，则该系统（ A ）。 A.因果稳定 B.非因果稳定 C.因果不稳定 D. 非因果不稳定 2、一个离散系统（ D ）。 A.若因果必稳定 B.若稳定必因果 C.因果与稳定有关 D.因果与稳定无关 3、某系统),()(n nx n y =则该系统（ A ）。 A.线性时变 B. 线性非时变 C. 非线性非时变 D. 非线性时变 4.因果稳定系统的系统函数)(z H 的收敛域是（ D ）。 A.9.0 三、计算题 1、已知10),()(<<=a n u a n x n ,求)(n x 的Z 变换及收敛域。 （10分） 解：∑∑∞ =-∞ -∞=-= = )()(n n n n n n z a z n u a z X 1 111 )(-∞=--== ∑ az z a n n ||||a z > 2、设)()(n u a n x n = )1()()(1--=-n u ab n u b n h n n 求 )()()(n h n x n y *=。（10分） 解：[]a z z n x z X -=? =)()(， ||||a z > []b z a z b z a b z z n h z H --=---= ?=)()(， ||||b z > b z z z H z X z Y -= =)()()( ， |||| b z > 其z 反变换为 [])()()()()(1n u b z Y n h n x n y n =?=*=- 3、写出图中流图的系统函数。(10分) 解：2 1)(--++=cz bz a z H 2 1124132)(----++= z z z z H ４、利用共轭对称性，可以用一次DFT 运算来计算两个实数序列的DFT ，因而可以减少计算量。设都是N 点实数序列，试用一次DFT 来计算它们各自的DFT ： [])()(11k X n x DFT = []) ()(22k X n x DFT =（10分）。 解:先利用这两个序列构成一个复序列，即 )()()(21n jx n x n w += 即 [][])()()()(21n jx n x DFT k W n w DFT +== []()[]n x jDFT n x DFT 21)(+= )()(21k jX k X += 又[])(Re )(1n w n x = 得 [])(})({Re )(1k W n w DFT k X ep == [] )())(()(2 1*k R k N W k W N N -+= 同样 [])(1 })({Im )(2k W j n w DFT k X op == [] )())(()(21*k R k N W k W j N N --= 所以用DFT 求出)(k W 后，再按以上公式即可求得)(1k X 与)(2k X 。 5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5n R n h n =求出系统函数，并画出其直接型 结构。（10分） 解： ｘ（ｎ） 1-z 1-z 1-z 1-z １ 9.0 2 9.0 3 9.0 4 9.0 ｙ（ｎ） ６、略。 ７、设模拟滤波器的系统函数为 31 11342)(2+-+=++=s s s s s H a 试利用冲激响应不变法，设计IIR 数字滤波器。（10分） 解 T T e z T e z T z H 31111)(-------= 数字信号处理作业实验题报告 第一章16.(1) 实验目的： 求解差分方程所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。 实验要求： 运用matlab求出y(n)=0.6y(n-1)-0.08y(n-2)+x(n)的单位脉冲响应和单位阶跃响应的示意图。 源程序： B1=1;A1=[1, -0.6, 0.08]; ys=2; %设差分方程 xn=[1, zeros(1, 20)]; %xn=单位脉冲序列，长度N=31 xi=filtic(B1, A1, ys); hn1=filter(B1, A1, xn, xi); %求系统输出信号hn1 n=0:length(hn1)-1; subplot(2, 1, 1);stem(n, hn1, '.') title('单位脉冲响应'); xlabel('n');ylabel('h(n)') xn=ones(1, 20); sn1=filter(B1, A1, xn, xi); %求系统输出信号sn1 n=0:length(sn1)-1; Subplot(2, 1, 2); stem(n, sn1, '.') title('单位阶跃响应'); xlabel('n'); ylabel('s(n)') 运行结果： 实验分析： 单位脉冲响应逐渐趋于0，阶跃响应保持不变，由此可见，是个稳定系统。 第二章31题 实验目的： 用matlab判断系统是否稳定。 实验要求： 用matlab画出系统的极，零点分布图，输入单位阶跃序列u(n)检查系统是否稳定。 源程序： A=[2, -2.98, 0.17, 2.3418, -1.5147]; B=[0, 0, 1, 5, -50]; subplot(2,1,1); zplane(B,A); %求H(z)的极点 p=roots(A); %求H(z)的模 pm=abs(p); if max(pm)<1 disp('系统因果稳定'), else,disp('系统因果不稳定'),end un=ones(1,800); sn=filter(B, A, un); n=0:length(sn)-1; subplot(2, 1, 2);plot(n, sn) xlabel('n');ylabel('s(n)') 、填空题 1．序列x(n) sin(3 n / 5)的周期为10 。2．线性时不变系统的性质有交换律律结合律分配律。 3．从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率 f 与信号最高频率fs 关系为：f>=2fs 4．若正弦序列x(n)=sin(30n π/120) 是周期的，则周期是N= 8 。 5．序列x(n) sin(3 n / 5)的周期为10 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 7．因果序列x(n) ，在Z→∞时，X(Z)= x(0) 。二、单项选择题 1．δ (n)的傅里叶变换是( A ) A. 1 B.δ (ω ) C.2πδ (ω) D.2π 2．序列x1(n)的长度为4，序列x2( n)的长度为3，则它们线性卷积的长度是( C ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x(n)时，输出y( n)；输入为3x (n-2)，输出为( B ) A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n） D.y(n) 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT 的是(D ) A. 时域为离散序列，频域为连续信号 B. 时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C. 时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D. 时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为( C ) A．当n>0 时，h(n)=0 B．当n>0时，h(n) ≠0 6．下列哪一个系统是因果系统( 5．所谓采样，就是利用采样脉冲序列 p(t) 从连续时间信号 x a (t)中抽取一系列的离散样值。 ( 6．数字信号处理只有硬件方式实现。 ( × ) 7．对正弦信号进行采样得到的正弦序列一定是周期序列。 ( × ) 8．数字信号处理仅仅指的是数字处理器。 ( × ) 9．信号处理的两种基本方法：一是放大信号，二是变换信号。 ( × 10．在时域对连续信号进行抽样，在频域中，所得频谱是原信号频谱的周期延拓。 ( × ) 四、简答题 1．用 DFT 对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？ 答：混叠失真；截断效应(频谱泄漏) ；栅栏效应 2．画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。 1 2 3 部分：按照预制要 求对数字信号处理加工； 第 4部分：数字信号变为模拟信号； 第 5 部分：滤除高频部分， 平滑模拟信号。 A.N ≥M B.N ≤M C.N ≤ 2M D.N ≥ 2M 10 ．设因果稳定的 LTI 系统的单位抽样响应 h(n) ， 在 n<0 时， h(n)= ( A ) A.0 B.∞ C. - ∞ D.1 三、 判断题 1． 序列的傅立叶变换是频率ω的周期函数，周期是 2π。 ( √ ) 2 ． x(n)= sin (ω ( √ ) 0n) 所代表的序列不一定是周期 3． 卷积的计算过程包括翻转，移位，相乘，求和四个过程 ( √ ) 4． y(n)=cos[x(n)] 所代表的系统是非线性系统。 ( √ ) ) 则频域抽样点数 N 需满足的条件是 ( A C ．当 n<0 时， h(n)=0 D ．当 n<0 时， h(n) ≠0 A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n) 7． A. x(n)= δ (n-3)的傅里叶变换为( A e 3jw B. e 3jw C.1 D.0 x(n) a n u(n),0 a 1 的傅里叶变换为 11 A. jw B. jw 1 ae 1-ae 8． C ) 1 C. -jw 1-ae 1 D.1 ae - jw 9．若序列的长度为 M ，要能够由频域抽样信号 X(k) 恢复原序列，而不发生时域混叠现象， √)数字信号处理填空题库
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