几何清理
在进行有限元分析计算时，经常遇到的问题有以下几种：
1. 导入曲面数据时，有时存在缝隙、重叠、错位等缺陷，这会影响网格质量。
2. 因为生产的需要，CAD模型中通常会包含某些细微特征，例如曲面和边的倒圆、小孔，进行分析时如果要准确模拟这些特征，需要用到很多小单元，导致求解时间不必要的加长。
3. 边界错位经常引起网格扭曲，导致单元质量不高，求解精度差。
通过消除错位和小孔，压缩相邻曲面之间的边界，消除不必要的细节，就能够提高整个划分网格的速度和质量，提高计算精度。
曲面边界的拓扑关系显示
在拓扑显示模式下（这是在geom cleanup面板中默认的显示模式），曲面边界的颜色显示是由其与周围曲面边界的连接关系来确定的。
1）红色的边表示单个曲面的自由边。自由边会导致网格的不连续，即自由边上分布的节点不会被相邻曲面上的单元所共享。
2）绿色的边称为共享边，表示这个边被两个相邻曲面所共享，在共享边上的节点同属于相邻的曲面。
3）黄色的边称为非重合边。表示曲面的边界被三个或三个以上的曲面所共享，这通常代表一种T型连接或者重复曲面。（不过关于黄线的问题，要分情况对待。如果是重复曲面，应该设法删除，对可能由此造成的缺面问题，采用补面的方式。如果是T 形连接，则有可能是正常的。）
4）深蓝色的短线段代表被压缩的边。自动网格生成器在划分网格时会忽略被压缩边，不会在上面布置节点。在压缩边上，两个相邻的曲面实际上被缝合到一起形成一个较大的曲面。
几何清理常用面板
1）surface面板的spline/filler子面板用于填充曲面之间较大的间隙和空缺。对任意由三个或更多的线、节点或者点定义组成的有限区域，都可以定义一个曲面；
2）edge edit和defeature面板用于划分网格前的曲面几何清理；
3）edge edit用来改变表面边界之间的连通性状态；
4）defeature 面板用于修剪表面，找到并删除小孔，还可以找到并去除表面和表面边界上的倒角。
1、surface面板的spline/filler子面板
用于从线、节点或固定点生成曲面来填充CAD模型中的孔，通过选择环绕某个区域的三个或更多的线、节点或点，可以创建一个曲面。
另外，可以使用ruled(第一项) 或spline/filler（第二项）进行补面。
2、edge edit面板
用来改变表面边界之间的连通性状态，有四种不同的工具：toggle, replace, (un)suppress 和equivalence。
toggle
toggle菜单可以通过在边界上单击鼠标左键将其从自由边变成共享边，或者从共享边变成压缩边。使用鼠标右键可以取消toggle操作，并将压缩边变为共享边，或将共享边变成自由边。要将一条自由边变成共享边，在这条自由边附近的容差范围内必须有一条对应的自由边。
replace
replace菜单可以将一对自由边合并成共享边，但是合并后的共享边的位置是在设定的被保留的边上，而另一条边则被删除。这一功能实际上扩展了toggle 的控制功能。任何与被删除的边相关连的几何特征被关连到被保留的边上。(un)suppress
(un)suppress菜单允许同时压缩或释放多条边。在这个菜单可以使用扩展的线条选择菜单，可以使用多种线条选择方式。如果需要消除在由对称方式生成曲面时产生的缝隙，该功能非常有用。
equivalence
equivalence菜单可以自动识别并合并多个自由边对。
3、defeature 面板
pinholes功能用于查找和删除曲面内的孔。孔根据孔径来识别。一旦确定，孔可以被删除。孔可以是任何形状。所给定的直径确定孔跨度的最大距离。
duplicates菜单用于识别和删除重合曲面。
surface fillets
surface fillet用于消除曲面倒圆或两个非共面曲面之间的过渡圆滑曲面。曲面倒圆将被一个沿相邻曲面切向延伸的平面替代。通过选择倒圆的轮廓线，或者指定曲面和倒圆半径的范围来确定倒圆曲面。
edge fillets
edge fillet用于删除曲面自由边上的任何倒圆。HyperMesh能确定给定圆角半径和最小圆弧角度范围内的倒圆。边的倒圆将被确定，标明那些投影出方角的切点。一旦确定，边的倒圆在被删除前可以被解除选择。
4、Delete面板
几何清理实例
Step 1: Open and view the model file
Step 2: View the model in topology display toolbar and shaded mode to evaluate its integrity.
Go to the autocleanup panel或
1、Note that the surface edges are now colored according to their topology status. This
occurs because Geometry Color is set to auto ().
2、Click Visualization () and navigate to the Topology tab
3、Clear all the check boxes except the Free check box
Only the free edges should be displayed at this point.
4、Observe the free edges and make note of where they are
The free (red) edges show where there is incorrect connectivity or gaps.
5、Note the locations where there are closed loops of free edges. These are locations that probably have missing surfaces.
6、Select only the Non-manifold check box.
7、Observe the non-manifold edges and make note of where they are.
The non-manifold edges show where there are more than two surfaces sharing an edge, which might indicate incorrect connectivity. For this part, there are yellow edges completely surrounding two areas. This indicates that there are probably duplicate surfaces in these locations.
8、Select all the check boxes.
9、Click Shaded Geometry and Surface Edges ()
The surfaces should now appear solid rather than having only their edges displayed.
A surface that overhangs a round corner; A missing surface
Step 3: Delete the surface that overhangs the round corner.
1、Enter the Delete panel in one of the following ways:
1） From the Geometry menu, point to Delete and click Surface
2） Press F2
2、In the graphics area, select the overhanging surface shown in the previous figure.
3、Click delete entity and click return.
Step 4: Create surfaces to fill large gaps in the model.
1、Access the surfaces panel.
2、Access the spline/filler sub-panel.
3、Clear the keep tangency check box.
The keep tangency option examines surfaces attached to the selected edges and tries to create a surface tangent to them. This helps to form a smooth transition to the surrounding surfaces.
4、Verify the entity type is set to lines.
5、Verify the auto create (free edges) check box is selected.
The auto create option simplifies the selection of the lines bounding the missing surface. Once a line is selected, HyperMesh automatically selects the remaining free edges that form a closed loop, and then create the filler surface.
6、Pick one of the red lines bounding one of the gaps (missing surfaces).
HyperMesh automatically creates a filler surface to close the hole.
Step 5: Set the global geometry cleanup tolerance to .01.
1、Press O to go to the options panel
2、Go to the geometry sub-panel.
3、In the cleanup tol = field, type 0.01 to stitch the surfaces with a gap less than 0.01. Step6: Combine multiple free edge pairs at one time with the equivalence tool.
1、Enter the edge edit panel in one of the following ways:
From the Menu Bar, select Geometry, then Edit, then edge
From the main menu, select Geom Page, then choose Edge Edit
2、Go to the equivalence sub-panel.
3、Activate the equiv free edges only check box.
4、Select surfs >> all.
5、Verify that the cleanup tol=is set to 0.01, which is the global cleanup tolerance specified in the options panel.
6、Click the green equivalence button to combine any free edge pairs within the specified cleanup tolerance.
Most of the red free edges are combined into green shared edges. The few remaining are caused by gaps larger than the cleanup tolerance.
Step 7: Combine free edge pairs, one pair at a time, using the toggle.
1、Go to the toggle sub-panel.
2、In the cleanup tol = field, type 0.1.
3、In the graphics area, click one of the free edges shown in the following image.
4、Rotate and zoom into the area if needed. When the edge is selected, it will change from red to green, indicating that the free edge pair has been equivalenced.
Step 8: Combine the remaining free edge pair using replace.
1、Go to the replace sub-panel.
2、Click user views ().
3、Click restore1 to bring back the saved view.
4、With the selector under moved edge: active, click the leftmost free edge in the graphics area.
Verify that the selector under retained edge: is now active.
5、Select the rightmost red edge.
6、In the cleanup tol = field, enter 0.1
7、Click replace.
Once the line is selected, HyperMesh posts a message similar to:
"Gap = (.200018). Do you still wish to toggle?"
8、Click Yes to close the gap.
Step 9: Find and delete all duplicate surfaces.
You should still be in the geom cleanup panel.
1、Access the Defeature panel in one of the following ways:
From the Menu Bar, choose Geometry, then Defeature
From the main menu, choose Geom Page, then Defeature
2、Go to the duplicates sub-panel.
3、Select surfaces >> displayed.
4、In the cleanup tol = field, type 0.01.
5、Click find.
The status bar displays the following message, "2 surfaces are duplicated."
6、Click delete to remove any duplicate surfaces
Step 10: Observe the model again to identify any remaining free edges, or missing or duplicate surfaces.
Use the topology display and shaded modes to perform this task. All of the edges in the model should be displayed as green shared edges, indicating that we have a completely enclosed thin solid part.
Step 11 (Optional): Save your work.
§1曲面的概念 1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r ρ =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r ρ=}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × ) ('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ 'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方 向平行；当λ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①
微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0
二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式 为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率
1、geometry clean中出现的黄色边界线表示什么意思？ 表示共享边，三个或者三个以上的面共同的边界 2、HM中有什么工具可以补面的？ edit surface->surface filler 除了edit surface->surface filler外，还可以用spline,drag,sweep 等命令补面，只要选surface only选项就可以了． 3、划好2d网格之后，用tool->edges->tolerance=0.01->equivalence->find edges, 最后发现220个free surfaces,我记得有一个快捷键保存这些自由面到内存中，然后可以删除刚刚保存的面，大侠，帮忙 用你的操作发现的是free edges，它会自动保存在一个叫做^edges的component里，然后隐藏掉其他的部分，再点击右侧 QA-->Find Attached 找到相邻单元,再进行处理。 4、出现黄线怎么几何清除？ GEOM CLEAN—SURFACE—FIND DUPLICATES试试 出现黄线大多是有重合面出现，结合隐藏（F5）仔细观察一下，找到重合的面（有的及其微小）删掉就是5、2d单元划分完毕，在Tool->check elems->connectivity中发现有这样的提示：”574 elements were found with questionable connectivity“,这时有些单元高亮，怎么解决这个问题，使得没有单元有连接问题，大侠们指教！ connectivity表示有重合单元存在，把重合单元删了就可以了。 具体操作如下：在Tool->check elems先点击duplicates,接着点击save failed;然后，按F2在elems下选retrieve,最后点击delete entity 6、体单元有什么优劣的评判指标； check elems/3-d面板中 QI/Tool>.. 7、两个同心圆之间怎么生成填充曲面呢，两个圆都是红色的自由边界。 2D->spline 8、建模完后, find edges 检查没有通过,如何处理. 谢谢.请大家帮忙,方法是不是很多? disp里面隐掉其他comp，只显示free edge,在macro菜单里，选QA,选find attached,找到与此相关的失效单元，手工修改之。 另外生成四面体还有检查T-connection ，是不是不检查三维单元的free edges 和T-connection？ 不用检查三维单元的T－connection，可以检查free edges 9、节点合并是哪个命令，在哪？ 单元的连续性是用这个吗？ 可以用F3合并节点，注：当你选中equivalence的时候，是将两个节点合并为一个，没选的话，它们只是位置
第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。
4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。
《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则
§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只 有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条
几何清理 geometry cleanup子面 板的菜单选 择： cleanup tol 设置在几何清理操作时需要的容差。 visual options 设置曲面显示方式，选择不同类型＂edge＂和固定点的显示状态。 Geometry Cleanup面板的功能 Edges Toggle 用鼠标器将单个的边从一种类型转化成另一种类型。 Replace 将两条明确定义的自由边合并成一条共用边。 (un)suppress 同时压缩或释放一系列所选的边。 equivalence 将自由边对合并成共用边。 Surfaces find duplicates 查找并删除重合曲面。 organize by feature 按特徵组织曲面。 move faces 移动曲面到另一个曲面（合并曲面）。 Fixed Points add 在曲面上从已经存在的自由点或节点上生成固定点。 replace 将两个明确选定的自由点合并成一个。 suppress 从一个曲面上删除一个固定点。 Defeature 面板的 功能: trim lines 取消曲面的裁剪操作。 pinholes 从曲面内查找并消除孔。 surf fillets 识别和删除相邻曲面的倒角。 edge fillets 识别和删除自由曲面边界的倒圆。 trim intersect 识别和删除自由曲面边界的倒圆，但可手工指定切点。Geom页面>geom cleanup 合并自由边
用equivalence功能合并自由边 Edges>equivalence>surfs(操作物件选择窗口中选择all) >cleanup tol输入值>点击equivalence 用replace功能合并自由边 Edges>replace>retained edge>line(选取模型中同一边里有两条红线的) >cleanup tol输入值>replace 删除曲面倒角 用于选择要删除的倒角曲面。 defeature面板 >surf fillet> surfs >菜单上选 择displayed>输入 min radius，max radius>find fillets(选曲面上 搜索设置范围内的 倒角)> 显示出 fillets to remove，ignore edge assoc和 fillet ends>remove(用尖 角取代圆形的倒角 曲面) Fillets to remove Ignore edge assoc 用于确定那些计算相切时不考虑其相邻曲面的边。Fillet ends 确认倒角端部的选择。 生成填充曲面 同时按下SHIFT键和F9键，进入surf edit>filler surface>点击lines>retrieve(选辄要填充面周围的线)> create 压缩(Suppress)不必要的细节特徵 1.选择edges子面板。 2.选择toggle子菜单。 3.沿模型的中心缝隙选取多条共用边。 4.压缩其中一些边后，通过再次点击将它们改回共用边。
微分几何 一、判断题 1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.（?） 3、若4 ()s t 的微商与()s t 平行（5、等距变换一定是保角变换678910、曲线上的正常点的切向量是存在的（1112131415二、16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,. 18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --，β={sin ,cos ,0}x x ，
γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.242526.27.28.29第二基本形式为 21236 u -+:du 30同或对称。3132.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络 三、综合题 33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。 解：},,cos ,sin {t te t t t t r = 在原点处0=t 在原点处切平面的方程为:
Hypermesh知识总结 1.如何从体单元提取面单元 TOOL->faces->find faces 2.在Hypermesh中使用OptiStruct求解器的重力、离心力、旋转惯性力施加方法 在HyperMesh中采用定义loadcols组件（colletors）的方式定义重力、离心力以及惯性力。 （1）重力 重力的施加方式在的card image中选择GRAV，然后create/edit，在CID中输入重力参考的坐标系，在G中输入重力加速度，在N1、N2、N3中输入重力方向向量在重力参考坐标系中的单位分量，然后返回即可。 （2）离心力 离心力的施加方式在的card image中选择RFROCE，然后create/edit，在G 中输入旋转中所在节点编号，在CID中输入离心力所参考的坐标系，在A中输入旋转速度，在N1、N2、N3中输入离心 力方向向量在离心力所参考坐标系中的单位分量，返回即可创建离心力；如果需要定义旋转惯性力，在RACC中输入旋转加速度即可，二者可以同时创建，也可单独创建。 如果在一个结构分析中，需要同时考虑结构自身的重力和外界施加的外载荷，那么可以建立重力load collector，但是外部载荷的load collector怎么建立？是同时建立在重力的load collector中吗？如果是，那边有一个十分混淆的问题：在你建立重力的load collector的时候，你选择了GRAV卡片，那么你凡是建立的该重力load collector之中的力都带有GRAV卡片属性，这显然是不对的。但是，如果你重新建立一个新的load collecotr，然后把外部载荷建立在其中，那么就有重力和外部载荷两个load collectors，但是在你建立subcase 的时候你只能选择一个load collector，那么你无论选择哪一个都必将失去另外一个，这就与我们的本意相矛盾了，我们是希望同时考虑结构自重和外部载荷的联合作用下进行分析的，这个时候应该怎么办？怎么获得结构同时在自身重力和外部载荷作用下的变形和应力？ 方法1：工况组合；使用"LOAD"卡片叠加重力载荷和其他载荷；创建一个 load collector;card image选LOAD；点击create/edit;把下面的load_num_set 改成你所要组合的载荷的数目；然后在
习题答案2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2 221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222 u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222221 (,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v 22222222 221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2 (,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ，
《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(< 二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k 微分几何答案 第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线; v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。 3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。 解 = ，= 任意点的切平面方程为 即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ； 法线方程为。 4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程为： ，即x bcos + y asin － a b = 0 此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 证，。切平面方程为：。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为： 是常数。 §２曲面的第一基本形式 1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式. 解 , ∴ I = 2。 ２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。 解，，，，∴I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。 ３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。 微分几何第四版习题答 案梅向明 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个 切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 § 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数）， 其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、 证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲 线）之间的夹角。 证明 易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -， 而1sin cos dv ds a u θθ ==， 故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-， 其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-， 并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。 证明 设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s == 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意 方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因 为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固 定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，' 'r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 > 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．最新微分几何答案
微分几何第四版习题答案梅向明
(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.
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