概率论与数理统计复习题（1）
一．填空.
1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。 2．)()(B A p AB p =且
2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥= =>}0{X P 。 4．1)()(==X D X E 。若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。 5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P 6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。 7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），=XY ρ 。 8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<}82{X P 。 9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的无偏估计量，且)?()?(22 21θθE E >，则其中的统计量 更有效。 10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。 二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求： （1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。 三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。 四．X 的概率密度为?? ?<<=其它 ,0,0 ,)(c x kx x f 且E(X)=32 。（1）求常数k 和c ；(2) 求X 的分布函数F(x)； 五．（X,Y ）的概率密度 ?? ?<<<<+=otherwise ,02 0,42 ),2(),(y x y kx y x f 。求 （1）常数k ； （2）X 与Y 是否独立；（3）XY ρ； 六．.设X ，Y 独立，下表列出了二维随机向量（X ，Y ）的分布，边缘分布的部分概率，试将 其余概率值填入表中空白处. 七．. 某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.006。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于60000元的概率. 概率与数理统计复习题（1） 一、填空 1.P(A-B)=0.28 P(A-B)=0.3 ??? ??????? P(A)=0.4分析: P(B)=0.3 P(AB)=0.28 A,B 独立 P(AB)=P(A)*P(B)=0.12 P(AB)+P(AB)=P(A) ()0.1()0.3()0.4P AB P AB P A =?? ??=??=? ?P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A+B)=0.6 P(A)=0.4 P(B)=0.3 2.()0.8P B = [] )1()1()()()1()()0()0.8 ()0.2P A B P A P B P AB P A P B P B P A =-+=-+-? --=? ?=?=? 分析: P(AB)=P(AB)=P(A+B {}23.0.8μ== P ｘ>0 {}{}{}{}{}{}{}{}{}:2202221x 01(0)1142222240.3(4)(2)0.30.30x 2x 21x 22x 2120.5(2)0.50.50P P P F P x F F P P P P P F μμσσσσσσσμσ-=--=-≤=-=-Φ=-Φ=Φ--<<=?-=?Φ-Φ=?Φ==≥?<=- ?? ?????? ? ? ??????? ?????? ? ? ? ??????分析 x>0ｘ<2 ｘ<2{}00.8 .8P x >=? ?? ????? {}{}4.1 010P P x x e ≠=-≠ =1 {}{}{}{}{}k 11x k e P x=k e k!x , k!x 01x 0x x 111 x 01e P P P E D P λ λλ--?? === ?? ?? ????≠=-===?=?? ≠=- 分析: a. 服从泊松分布则 {}{}{}x x 0x 01x 01P P =?≠=-==ｂ.服从均匀分布,属连续分布,则P =0 {}65.x n 0.4P == {}n n n-n n n :x ~b(n,p)x np n 6p x np(1-p)x~b(n,p)P x=n p q p E(x)=2.4 D(x)=1.44 E D C ?=? ?=??? =????==???? 分析 =0.4 {}6x n 0.4P == 6.(x 2y 1)6D -+= :(x 2y 1)(x 2y)x (2y)cov(x,2y)x 4y 2cov(x,y)x 4y-2(Exy-ExEy)(x 2y 1)6 E(x)=E(y)=0 Dx=Dy=2 Exy=1D D D D D D D D D -+=-=++-=+-=+??-+=?? 分析 {}1 7.2x y 1()0.5xy 05 P P -<-<-=Φ-= {}2 x ~(0,9) x y~N(-1,5)(x y)x y 011:y ~(1,16)(x y)x y 91625x y (1)(2)x,y N E E E N D D D F F ??-=-=-=-???? ??? ????-=+=+==---??? ??? - 分析P -2<-<-1相互独立{ }x y x y cov(x,y)=0xy ρρΦΦΦΦΦ??? ???? -1-(-1)-2-(-1)11 P -2<-<-1=( )-()=(0)-(-)=()-0.55555 ,相互独立 =0 {}x ≥7 8.P 2<<8 9 {}{}{}{}2 2x x x 127x x x 53x 53139x 2D P P D εε?<≥- ??? ?=- ?? =? ?? P -E 分析:由切比雪夫不等式 E =5 P 2<<8^ 29.θ ^^^^ 1222^ ^ ^ ^ ^ ^ 2 2 2 2^^^111111122^ ^ ^ ^ ^ ^ 2 2 2 222222^ ^ 12()()()()()()()(): ()()()()()()()()()() E E E D E E E D E D D D E E E D E E E θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ??==? ?=-?=+? ?>???=-?=+??>? 与均是未知参数的无偏估计分析更有效 10.,,高小变大 12:()0.10.20.030.27()0.030.3P B P A A ?? ???????=+-=?? ?=?? ????=????? 121212*********二.解:A 甲河流泛滥 A :乙河流泛滥 B:某地区受灾 P(B)=P(A +A )=P(A )+P(A )-P(A A ) P(A )=0.1(1)P(A )=0.2A P(A A ) P()=0.3A P(A ) 120.03(2)( )0.150.2 A P A ===122P(A A )P(A ) i 123 3 3 i i 3i i 3i 1i 1 i i 22 2 .:( )0.2,()0.6,()1()()*()*(0.3)(0.7)*()0.2286()*( )( )0.496 () A B B B B P P P A A A B B P B P A P C P A A B P A P A A P B P B -============∑∑三解设敌机中了弹 敌机被击落 四、解：由密度函数的性质及数学期望的定义，有 ① ?????==?c c x f x f x 00 1)(32 )( 即 ?????==c c kxdx dx kx 00 21 32 }?{ 1 2 ==c k ②由①知x 的密度函数为{ 1020)(<<=x x x f 其他 当x 时0≤ ()0=x F ； 当10< 2x tdt dt t f x F x x == =? ? ∞ - 当1≥x 时 ()()? ? == = ∞ -1 12xdx dt t f x F x () 11010 2≥<<∞≤?? ? ??=∴x x x x x F 五、由（x 、y ）联合密度的性质有： ①． ()??+∞∞-+∞ ∞-=1,dxdy y x 即()36 1 124 22 0= ?=+??k dxdy y kx ②． 由①可求出（x ，y ）的联合密度：()()其他2 0,,4202361,<<< ???+=y x y x y x f ()()()x dy y x dy y x f x f X 6 1 2361,2 0=+==?? ()20< ∞-26 1 2361,4 2 ()42< ()?????∴061 x x f X 其他2 0< ???+= 026 1 y y f Y 其他4 2< ③． 由②知()y x ,相互独立。 0=∴xy ρ 六、略 七、解：令x 为一年内死亡人数，题中10000人投标，每人每年死亡率0.006且每人每年死亡相互独立，故x~ N （10000*0.006，10000*0.006*0.994）即x~ N （60，59.64） 设A ：保险公司一年内的利润不少于60000元。即A ：10000*12-1000x ≥6000060≤?x ()()()5.0064.59606060}60{000=Φ=??? ? ??-Φ=Φ=≤=x P A P 5.060000元的概率为不少于该保险公司一年的利润∴ 概率论与数理统计复习题（2） 一.选择题（18分，每题3分） 1．设B A ,为随机事件，且1)|(=A B P ，则必有 )(A A 是必然事件；)(B 0)|(=A B P ；)(C B A ?； )(D B A ?. 2．口袋中有6只红球，4只白球，任取1球，记住颜色后再放入口袋。共进 行4次，记X 为红球出现的次数，则X 的数学期望=)(X E )(A 1016； )(B 1024； )(C 104； )(D 10 642?. 3．设随机变量X 的分布密度函数和分布函数为)(x f 和)(x F , 且)(x f 为偶函数, 则对任意实数a ,有 )(A ?-= -a dx x f a F 0 )(21 )( )(B ?-=-a dx x f a F 0)(1)( )(C )()(a F a F =- )(D 1)(2)(-=-a F a F 4．设随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从)1,0(区间上的均匀分布, 则仍服从 均匀分布的随机变量是 )(A Y X Z += )(B Y X Z -= )(C ),(Y X )(D ),(2Y X 5．已知随机变量X 和Y 都服从正态分布:)3,(~,)4,(~2 2 μμN Y N X , 设 )4(1+≥=μX p ,)3(2-≤=μY P p , 则 )(A 只对μ的某些值,有21p p = )(B 对任意实数μ,有21p p < )(C 对任意实数μ,有21p p > )(D 对任意实数μ,有21p p = 6．设2 2 ,),(~σσμN X 未知，则μ的置信度为%95的置信区间为 )(A )(025.0t n X σ ± )(B )(025.0t n S X ± )(C )(05.0t n X σ ± )(D )(05.0t n S X ± 二. 填空题（21分，每题3分） 1． 已知随机事件A ，B 有概率7.0)(=A P ，8.0)(=B P ，条件概率6.0)|(=A B P ，则 =?)(B A P ． 2. 已知随机变量),(Y X 的联合分布密度函数如下, 则常数=K =),(y x f ? ? ?≤≤≤≤-其它。,0; 0,10),1(x y x x y K 3 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数 学期望与方差分别为)(X E = ,)(X D 4. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率 =>>),(b Y a X P . 5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，3211)22(3?X k X kX -++=μ 是μ的无偏 估计量则常数=k 6．设（621,,,X X X ）是来自正态分布)1,0(N 的样本， 26 4 2 31 )()(∑∑==+=i i i i X X Y 当c ＝ 时， cY 服从2χ分布，)(2 χE ＝ . 7．设离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为 ),(Y X )0,1( )1,1( )0,2( )1,2( P 4.0 2.0 a b 若8.0)(=XY E ，则=),cov(Y X . 三. 计算题 （54分，每题9分） 1．某种产品分正品和次品，次品不许出厂。出厂的产品n 件装一箱，并以箱为单位出售。由于疏忽，有一批产品未经检验就直接装箱出厂，某客户打开其中的一箱，从中任意取出一件，求： （1）取出的是件正品的概率； （2）这一箱里没有次品的概率 2．设二维随机变量（X,Y ）在区域 }||,10|),({x y x y x G ≤≤≤= 上服从 均匀分布。求：边缘密度函数(),()X Y f x f y . 3．已知随机变量）；，；，091.045.0(~),(N Y X ，Y X Z -=2， 试求：方差)(Z D ，协方差)(Z X COV ，，相关系数Z X ρ 4．学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不 合格者得1分。根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占20％、70％、10％。现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率。 （9680.0)856.1(=Φ） 5．设12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本，总体 ~X ??????∈=-) 1,0(, 0)1,0(,),(1 x x x x f θθθ ，)0(>θ。 试求：(1) 未知参数θ的矩估计量θ ；(2) 未知参数θ的极大似然估计量L θ ； (3) )(2 X E 的极大似然估计量. 6．某种产品的一项质量指标)(~2σμ，N X ，在5次独立的测试中，测得数 据（单位：cm ） 1.23 1.22 1.20 1.26 1.23试检验（0.05α=） （1） 可否认为该指标的数学期望μ=1.23cm ？ （2） 若指标的标准差015.0≤σ，是否可认为这次测试的标准差显著偏大？ 附 分布数值表 99.0)33.2(,9032.0)30.1(,9474.0)62.1(,926.0)45.1(=Φ=Φ=Φ=Φ 0150 .2)5(,1318.2)4(,5706.2)5(,7764.2)4(05.005.0025.0025.0====t t t t 711.0)4(,488.9)4(,484.0)4(,143.11)4(295.0205.02975.02025.0====χχχχ 概率论与数理统计复习题（2）答案 一. 选择题（18分，每题3分） c b a c d b 二. 填空题（21分，每题3分） 1． 62.0； 2． 24； 3． 4/3 9/4 4． ),(),(),(1b F a F b a F +∞-∞+-+； 5． 4 ； 6． 1/3 2； 7． 0,1 三. 计算题（54分，每题9分） 1． 解：令 A={取出为正品}， t B ={箱子中有t 个正品}，n t ,,2,1,0 = . 由已知条件，11)(+= n B P t ，n t B A P t =)(,n t ,,2,1,0 =， （1）由全概率公式，∑∑===+==n t t t n t t n n B A P B P A P 00 21 111)()()(, （2）由Bayes 公式，) 1(21 ) () ()()(+= = n A P B A P B P A B P n n n . 2. 解： ?? ?<<=其他 1 02)(x x x f X ?? ? ??<<-<<-+=其他 01010 11)(y y y y y f Y 3．解：9.0)(=Z E 25)(=Z D 8),cov(=Z X 5 4 = XZ ρ 4．解：设i X 为第I 位学生的得分)100,2,1( =i ，则总得分∑== 100 1 i i X X 9.1)(=i X E 29.0)(=i X D 199.1100)(=?=X E 29.0100)(?=X D )29 190 180()29190200( )200180(-Φ--Φ=< 5．解：（1） 矩估计量 2 1??? ? ? ?-=X X θ （2） 极大似然估计量 2 12 ln ?? ? ??= ∑-n i i L X n θ （3） )(2 X E 的极大似然估计量 ∑=+=+=n i i L L X n n X E 12 22 2)ln (22 )(?θθ 7. 解：（1）假设 01: 1.23;: 1.23H H μμ=≠. 当0H 为真，检验统计量 )1(~/0--= n t n S X T μ 0.0252 (1)(4) 2.7764t n t α-== ， 拒绝域 (, 2.7764][2.7764,)W =-∞-?+∞ 221.246,0.0288x s ==， [ 221.23,0.0224x s == ] 0 1.242T W =?，接受0H . [ W T ∈=571.30，拒绝0H ] （2）假设 222201:0.015;:0.015H H σσ=>. 当0H 为真，检验统计量 )1(~)1(22 2 2 --= n S n χσχ 220.05(1)(4)9.488n αχχ-==， 拒绝域 [9.488,)W =+∞. 2014.86W χ=∈，拒绝0H . 概率论与数理统计复习题（3） 一．判断题（10分，每题2分） 1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望 )(X E 未必存在( ) 5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第 二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分） 1. 设每次试验成功的概率为)10(< 得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 . (a) r n r r n p p C ----)1(1 1； (b) r n r r n p p C --) 1(； (c) 111 1)1(+-----r n r r n p p C ； (d) r n r p p --)1(. 2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P . (ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； (ｂ) )()(11-+-k k x F x F ； (ｃ) )(11+-< 3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003 ,(max X Y =的分布函 数 . (ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点. 4. 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则 方差=-)23(Y X D . (ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.6 5. 设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2 N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正 确的是 . (ａ) )(~/21 n t n X -； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X n i i ∑=-； (ｃ) )1,0(~/21 N n X -； (ｄ) )(~)1(41212n X n i i χ∑=-. 二. 填空题（28分，每题4分） 1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取 一个, 则第二次才取到正品的概率为 2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数 为=)(y f Y 3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则 )51(<<-X P ＝ . 4. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ? ??<<<=他其,0; 10,,1),(x x y y x f 则条件密度函数为,当 时 ,=)(x y f X Y 5. 设)(~m t X ,则随机变量2 X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 ) 6. 设某种保险丝熔化时间),(~2 σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得 样本均值和方差分别为36.0,152 ==S X ，则μ的置信度为95%的单侧 置信区间上限为 7. 设X 的分布律为 X 1 2 3 P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ- 已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值 为 三. 计算题（40分，每题8分） 1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的 概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率 2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数 分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z . 3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4. 总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X 为总体X 的一个样本. 求常数 k , 使∑=-n i i X X k 1 为σ 的无偏估计量. 5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X （单位：kg ）. 已知8=σ kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5=α） （2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN . 某日抽取 5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验. 四. 证明题（7分） 设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B . 试证明随机变量 Y X +与Z 相互独立. 附表： 标准正态分布数值表 2 χ分布数值表 t 分布数值表 6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(2 05.0=χ 1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ 711.0)4(295.0=χ 7531.1)15(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ 1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ 145.1)5(295.0=χ 7459.1)16(05.0=t 概率论与数理统计复习题（3）参考答案 一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分） 1.1/22 ； 2. ? ??≤>=0 00 )])3/[ln()(1 y y y f y f y Y ； 3.0.9772 ； 4. 当10< 其0 )2/(1)(x y x x x y f X Y ； 5. ),1(m F 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 . 四. 计算题（40分，每题8分） 1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分) 9428.005.004.098.096.0)()()()()(=?+?=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分) .998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分) 2. ?? ?>=-其他0 )(x e x f x X λλ ???>=-其他 0)(y e y f y Y μμ (1 分) 0≤z 时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ； (1分) 0≤z 时， ? ∞+-∞-= dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(2 1 (2分) )(232/3/3/0 ]2/)[(2 1z z z x z x e e dx e μλμλλ μλμ λμ-------= = ? (2分) 所以 ??? ??≤>--=--0, 00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ [ ??? ??≤>--=--0, 00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμ ] (2分) 3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1 =i i X )1(~P (1分) 则一年的销售量为 ∑== 52 1 i i X Y ，52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分) 由独立同分布的中心极限定理，所求概率为 1522521852185252522)7050(-? ?? ? ??Φ+???? ??Φ≈???? ??<-<-=< 6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=. (1分) 4. 注意到 5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分) 检验用的统计量 )1,0(~/0 N n X U σμ-= ， 拒绝域为 96.1)1(025.0==-≥z n z U α. (2分) 96.106.21065.010 /85702.5750>==-= U ，落在拒绝域内， 故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg . [ 96.1632.0102.010 /92.5695710<==-= U , 落在拒绝域外， ()n i i X X n X X n X X ---+--= - )1(1 21) 2(1)(,0)(2 分σ n n X X D X X E i i -=-=-) 1(1,0~2分??? ??--σn n N X X i dz e n n z X X E n z i 2 2 2121|||)(|σσ π-∞+∞ -?-=-dz e n n z n n z 22 120 121 2σσ π-- ∞ +? -=) 3(122分σ πn n -=?? ? ??-=??? ??-∑∑==n i i n i i X X E k X X k E 11||||σπ n n kn 122 -=σ 令=） 分（2) 1(2-= n n k π 故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分) (2) 要检验的假设为 221220048.0:,048.0:≠=σσH H (1分) [22122079.0:,79.0:≠=σσH H ] 检验用的统计量 )1(~)(220 2 5 1 2 --= ∑=n X X i i χσχ， 拒绝域为 488.9)4()1(2 05.022==->χχχαn 或 711.0)4()1(2 95.02122 ==-<-χχχαn (2分) 41.1=x [49.1=x ] 488.9739.150023.0/0362.02 0>==χ, 落在拒绝域内， [711.0086.06241.0/0538.020<==χ,落在拒绝域内，] 故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分) 五、证明题 (7分) 由题设知 X 0 1 Y X + 0 1 2 P p q P 2q pq 2 2p (2分) )0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ； )1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ； )0()1(2)0,1(2 ==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ； )1()1(2)1,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ； )0()2()0,2(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ； )1()2()1,2(3==+====+Z P Y X P p Z Y X P . 所以 Y X +与Z 相互独立. (5分) 概率论与数理统计复习题（4）及参考答案 1： 6,,另44,1人.___________种. 个毕业生两个留校人分配到个不同单位每单位则分配方法有 答.360)3456(=??? 2： 3： 4： 5： 6： 7： 8： 9 ： 10： . _______,,,那么只有和为了同时减少的概率为犯第二类取伪错误设假设检验中犯第一类弃真错误的概率为βαβα 答：增大样本容量 二： 11： 12： 13： 14： 全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布， 一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥= 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 习题二 3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为 分布函数 5.（1） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 7.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间 隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32 (0)e P X -== (2) 52 (1)1(0)1e P X P X - ≥=-==- 11.设P {X =k }=k k k p p --22) 1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44) 1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5 9 ，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥= ，故4(1)9 P X <=. 而 2 (1)(0)(1)P X P X p <===- 华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、 A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X , 模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为 5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下： 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤ （1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量 probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000 ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； 概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数:全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案
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