初三数学第二轮复习专题 代数综合题 一、典型题例：
1、如图，抛物线2
3y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．求抛物线对应的函数表达式；
（1） 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P A C N ，，，为顶点
的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（2） 设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重合），经过A B E ，，三
点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由；
（3） 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．
2、如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．
3、如图，二次函数的图象经过点D(0，39
7)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
4、如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式； （4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：12
3
S S =
？若存在，求点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．
二、能力提升：
1、如图，已知抛物线2
y x bx c =++经过(1
0)A ，，(02)B ，，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；
（2）将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ，若点N 在平移后的抛物线上，且满足1
NBB △的面积是1NDD △面积的2倍，求点N 的坐标．
y x
O
C D
B
A
3
3
6
y
O x y A B C
4 1 2- O B
x y A M
C 1 3-
2、如图，抛物线2
4y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；
（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．
3、如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F 处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，
使CM ＝｜CF —EO ｜，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO(1)试比较EO 、EC 的大小，并说明理由 (2)令；
四边形四边形CNMN CFGH
S S m =
，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由
(3)在(2)的条件下，若CO ＝1，CE ＝
31，Q 为AE 上一点且QF ＝3
2
，抛物线y ＝mx 2+bx+c 经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式.
(4)在(3)的条件下，若抛物线y ＝mx 2+bx+c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC 上是否存在点K ，使得以P 、B 、
K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标?若不存在，请说明理由。
4、如图，点P 是双曲线11(00)k y k x x
=
<<，上一动点，过点P 作x 轴、
y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y =
x
k 2
（0＜k 2＜|k 1|）于点E 、F ． （1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1= ▲ (用含k 1、k 2的式子表示)；（3分） （2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）．
①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；（4分）
②记2PEF OEF S S S ??=-，S 2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）
代数综合题答案：
1、解：（1）根据题意，得34231.2a a b b a
-=+-??
?-=??，
解得12.a b =??=-?，
∴抛物线对应的函数表达式为2
23y x x =--．
y x
O A B C
y E
D
N
（2）存在．在2
23y x x =--中，令0x =，得3y =-．
令0y =，得2
230x x --=，121
3x x ∴=-=，． (10)A ∴-，，(30)B ，，(03)C -，．
又2
(1)4y x =--，∴顶点(14)M -，．容易求得直线CM 的表达式是3y x =--．
在3y x =--中，令0y =，得3x =-．(30)N ∴-，，2AN ∴=．在2
23y x x =--中，令3y =-，得
1202x x ==，．2CP AN CP ∴=∴=，．AN CP ∥，∴四边形ANCP 为平行四边形，此时(23)P -，
． （3）AEF △是等腰直角三角形．理由：在3y x =-+中，令0x =，得3y =，令0y =，得3x =．∴直线3y x =-+与坐标轴的交点是(03)D ，，(30)B ，．OD OB ∴=，45OBD ∴∠=°．又 点(03)C -，，
OB OC ∴=．45OBC ∴∠=°．由图知45AEF ABF ∠=∠=°，45AFE ABE ∠=∠=°． 90EAF ∴∠=°，且AE AF =．AEF ∴
△是等腰直角三角形．（4）当点E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论成立． 2．解：（1） 该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为2
2y ax bx =+-．
将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020a b a b .+-=??
+-=?，解得12
52
a b .
?
=-????=??，
∴此抛物线的解析式为215
222
y x x =-+-．
（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215
222
m m -
+-， 当14m <<时，4AM m =-，215
222
PM m m =-+-．
又90COA PMA ∠=∠= °，∴①当
21
AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△， 即21542222m m m ??
-=-
+- ???
．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，．②当12A M O C P M O A ==时，A P M C A O △∽△，即215
2(4)222
m m m -=-+-．解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）
∴当14m <<时，(21)P ，
．类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，
或(52)-，或(314)--，． （3）如图，设D 点的横坐标为(04)t t <<，则D 点的纵坐标为215
222
t t -
+-． 过D 作y 轴的平行线交AC 于E ．由题意可求得直线AC 的解析式为1
22
y x =
-． E
∴点的坐标为
122t t ??
- ???
，．
2215112222222DE t t t t t ??
∴=-+---=-+ ???
22211244(2)422DAC S t t t t t ??
∴=?-+?=-+=--+ ???
△．∴当2t =时，DAC △面积最大．(21)D ∴，．）
3、⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2
+k ∵顶点C 的横坐标为4，且过点(0，39
7)
∴y=a(x-4)2
+k k a +=1639
7①又∵对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6∴A(1，0)，B(7，0)
∴0=9a+k ②由①②解得a=93，k=3－∴二次函数的解析式为：y=93(x-4)2－3
⑵∵点A 、B 关于直线x=4对称∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD ≥DB
∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值∴DB 与对称轴的交点即为所求点P
设直线x=4与x 轴交于点M ∵PM ∥OD ，∴∠BPM=∠BDO ，又∠PBM=∠DBO
∴△BPM ∽△BDO ∴BO BM DO PM = ∴3
373
397
=
?=PM ∴点P 的坐标为(4，33) ⑶由⑴知点C(4，3-)，又∵AM=3，∴在Rt △AMC 中，cot ∠ACM=3
3，∴∠ACM=60o ，∵AC=BC ，∴∠ACB=120o
①当
点Q 在x 轴上方时，过Q 作QN ⊥x 轴于N 如果AB=BQ ，由△ABC ∽△ABQ 有BQ=6，∠ABQ=120o ，则∠QBN=60o
∴QN=33，BN=3，ON=10，此时点Q (10，33)，如果AB=AQ ，由对称性知Q(-2，33)
②当点Q 在x 轴下方时，△QAB 就是△ACB ，此时点Q 的坐标是(4，3-)， 经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q ，使△QAB ∽△ABC 点Q 的 坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，3-)．
4、解：（1）设正比例函数的解析式为11(0)y k x k =≠，
因为1y k x =的图象过点(33)A ，
，所以133k =，解得11k =． 这个正比例函数的解析式为y x =． 设反比例函数的解析式为22(0)k y k x
=
≠．因为2k
y x =的图象过点(33)A ，
，所O x
y A B
C
4
1
2-
D P
M E
以233k =，解得29k =．这个反比例函数的解析式为9y x
=．
（2）因为点(6)B m ，在9y x =
的图象上，所以9362m ==，则点362B ??
???
，设一次函数解析式为33(0)y k x b k =+≠．因为3y k x b =+的图象是由y x =平移得到的，所以31k =，即y x b =+．又因为y x b =+的
图象过点362B ??
???
，，所以362b =+，解得92b =-，∴一次函数的解析式为92y x =-．
（3）因为92y x =-
的图象交y 轴于点D ，所以D 的坐标为902?
?- ??
?，．
设二次函数的解析式为2
(0)y a x b x c a =++≠．因为过点(33)
A ，、362
B ?
? ???，、和D 902??
- ???，，所以933336629.2a b c a b c c ??++=?
?
++=?
??
=-??，， 解得1249
.2a b c ?=-??=???=-?，，这个二次函数的解析式为219422y x x =-+-． （4）92y x =-
交x 轴于点C ，∴点C 的坐标是902??
???
，
， 15113166633322222
S =
?-??-??-??99451842=---81
4=．
假设存在点00()E x y ，，使12812273432
S S =
=?=
． 四边形CDOE 的顶点E 只能在x 轴上方，∴00y >，
1OCD OCE S S S ∴=+△△ 01991922222y =??+? 081984y =+．081927842y ∴+=，03
2
y ∴=．00()E x y ，在二次函
数的图象上，2001934222x x ∴-
+-=．解得02x =或06x =．当06x =时，点362E ??
???
，与点B 重合，这时CDOE 不是四边形，故06x =舍去，∴点E 的坐标为322?
? ???
，．
5、解：（1）已知抛物线2
y x bx c =++经过(10)(02)A B ，，，，01200b c c =++?∴?=++? 解得3
2b c =-??=?
∴所求抛物线的解
析式为2
32y x x =-+．
（2）(10)A ，，(02)B ，，12OA OB ∴==，可得旋转后C 点的坐标为(31)，当3x =时，由2
32y x x =-+得2y =，可知抛物线2
32y x x =-+过点(32)，∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C ．
∴平移后的抛物线解析式为：231y x x =-+．
（3） 点N 在2
31y x x =-+上，可设N 点坐标为2
000(31)x x x -+，
将2
31y x x =-+配方得2
3524y x ??=-- ???
，∴其对称轴为32x =． ································ 6分
①当03
02
x <<
时，如图①，112NBB NDD S S = △△ 00113121222x x ??
∴??=???- ???
01x = 此时2
00311x x -+=-N ∴点的坐标为(11)-， ②当032
x >
时，如图②同理可得0011312222x x ??
??=??- ???
03x ∴=此时2
00311x x -+=∴点N 的坐标为(31)，．
综上，点N 的坐标为(11)-，或(31)
，． 6、解：（1） 抛物线2
4y ax bx a =+-经过(10)A -，，(04)C ，两点，
404 4.a b a a --=?∴?-=?，解得13.a b =-??=?，∴抛物线的解析式为234y x x =-++．
（2） 点(1)D m m +，在抛物线上，2
134m m m ∴+=-++，
即2
230m m --=，1m ∴=-或3m =． 点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(34)，． 由（1）知45OA OB CBA =∴∠=，°．设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．
(04)C ，，CD AB ∴∥，且3CD =，
45ECB DCB ∴∠=∠=°，E ∴点在y 轴上，且3CE CD ==．1OE ∴=，(01)E ∴，
． 即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为（0，1）．
（3）方法一：作PF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．由（1）有：445OB OC OBC ==∴∠=，°，
45DBP CBD PBA ∠=∴∠=∠ °，．
(04)(34)C D ，，，，CD OB ∴∥且3CD =．
45DCE CBO ∴∠=∠=°，32
2
DE CE ∴==
． y
x
O
C D
B A 3
3
6
E y
x
C
B A O
N D B 1
D 1
图①
y
x
C
B A
O D B 1
D 1 图②
N y
A
B
C
D
E
P
y
x
O A B
C
D
E
4OB OC == ，42BC ∴=，52
2
BE BC CE ∴=-=， 3
tan tan 5
DE PBF CBD BE ∴∠=∠=
=．设3PF t =，则5BF t =，54OF t ∴=-， (543)P t t ∴-+，．P 点在抛物线上，∴2
3(54)3(54)4t t t =--++-++，
0t ∴=（舍去）或2225t =，266525P ??
∴- ???
，． 方法二：过点D 作BD 的垂线交直线PB 于点Q ，过点D 作DH x ⊥轴于H ．过Q 点作QG DH ⊥于
G ．45PBD QD DB ∠=∴= °，．
QDG BDH ∴∠+∠90=°，
又90DQG QDG ∠+∠=°，DQG BDH ∴∠=∠．
QDG DBH ∴△≌△，4QG DH ∴==，1DG BH ==．
由（2）知(34)D ，，(13)Q ∴-，．(40)B ，，
∴直线BP 的解析式为312
55
y x =-+．
解方程组23431255y x x y x ?=-++??=-+??，，得1140x y =??
=?，；2225
66.
25x y ?
=-????=??
，∴点P 的坐标为266525??- ???，． 7、（1）EO ＞EC ，理由如下：
由折叠知，EO=EF ，在Rt △EFC 中，EF 为斜边，∴EF ＞EC ， 故EO ＞EC …2分
（2）m 为定值∵S 四边形CFGH =CF 2=EF 2－EC 2=EO 2－EC 2=(EO+EC)(EO ―EC)=CO ·(EO ―EC) S 四边形CMNO =CM ·CO=|CE ―EO|·CO=(EO ―EC) ·CO ∴1
==
CMNO CFGH
S S m 四边形四边形
（3）∵CO=1，3231==QF CE ， ∴EF=EO=QF ==-32
311∴cos ∠FEC=
21
∴∠FEC=60°，∴?=∠∠=?=?
-?=
∠30602
60180EAO OEA FEA ， ∴△EFQ 为等边三角形，32=
EQ 作QI ⊥EO 于I ，EI=3
1
21=EQ ，IQ=3323=EQ ∴IO=
31
3132=-
∴Q 点坐标为)31,33(
∵抛物线y=mx 2+bx+c 过点C(0，1)， Q )31,33( ，m=1∴可求得3-=b ，c=1∴抛物线解析式为1
32+-=x x y
（4）由（3），3323=
=
EO AO 当332=x 时，3
113323)332(2=+?-=y ＜AB
∴P 点坐标为)31,332(
∴BP=3
2
311=-AO 方法1：若△PBK 与△AEF 相似，而△AEF ≌△AEO ，则分情况如下：
①3
3
232
32=BK 时，932=BK ∴K 点坐标为)1,934(
或)1,93
8( ②32
32
3
32=BK 时，332=
BK ∴K 点坐标为)1,33
4(
或)1,0(
故直线KP 与y 轴交点T 的坐标为)
1,0()3
1,0()37,0()35
,0(或或或--
方法2：若△BPK 与△AEF 相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P 作PR ⊥y 轴于R ，则∠RTP=60°或30°
①当∠RTP=30°时，2333
2=?=
RT
②当∠RTP=60°时，323332=÷=
RT ∴)1,0()31
,0()35,0()37,0(4321T T T T ，，，--
8、解：（1）21k k -； （2）①EF ∥AB ．
证明：如图，由题意可得A （–4，0），B （0，3），2(4,)4
k E --
，2(
,3)3
k F ．
∴PA =3，PE =2
34
k +
，PB =4，PF =243k +．
∴22
3121234
PA k PE
k =
=
++
，
22
4121243
PB k PF
k =
=
++
∴
PA PB
PE PF
=
． 又∵∠APB =∠EPF ．∴△APB ∽△EPF ，∴∠PAB =∠PEF ． ∴EF ∥AB ． ②S 2没有最小值，理由如下：
过E 作EM ⊥y 轴于点M ，过F 作FN ⊥x 轴于点N ，两线交于点Q ．
由上知M （0，24
k -
），N （
23
k ，0），Q （
23
k ，24
k -
）．
而S △EFQ = S △PEF ，∴S 2＝S △PEF －S △OEF ＝S △EFQ －S △OEF ＝S △EOM ＋S △FON ＋S 矩形OMQN
y
x
O
A
B
C D
P
Q G
H
＝4321212222k
k k k ?++＝222112k k +=221(6)312
k +-． 当26k >-时，S 2的值随k 2的增大而增大，而0＜k 2＜12．∴0＜S 2＜24，s 2没有最小值．