概率论第3章习题详解

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.

3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=?????

≤

≤≤≤.,

020,20,sin sin 其他ππy x y x

求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域?

??

?

??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ

{0,}(3.2)463

P X Y <≤

<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636

F F F F --+

ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin

4346361).=--+=

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度

f （x ，y ）=???>>+-.,

0,

0,0,)43(其他y x A y x e

求：（1） 常数A ；

（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由

-(34)0

(,)d d e d d 112

x y A

f x y x y A x y +∞+∞

+∞

+∞

+-∞

-∞

==

=??

?

?

得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x

F x y f u v u v -∞-∞

=

??

(34)340012e

d d (1

e )(1e )0,0,

0,0,

y x

u v x y u v y x -+--??-->>?==??

?????其他

(3) {01,02}P X Y ≤<≤<

1

2

(34)3800

{01,02}

12e d d (1e )(1e )0.9499.

x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈?

?

5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=??

?<<<<--.,

0,

42,20),6(其他y x y x k

（1） 确定常数k ；

（2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有

2

4

2

(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞

-∞

-∞

=--==??

?

?

故 18

R =

（2） 13

{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞

<<=??

1

3

0213

(6)d d 88

k x y y x =

--=?? (3) 1

1.5

{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=

????如图

1.5

4

2127d (6)d .832

x x y y =

--=?

?

(4) 2

4

{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=??

??如图b

2

40

2

12d (6)d .83

x x x y y -=

--=?

?

题5图

6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为

f Y （y ）=?

??>-.,0,

0,55其他y y e

求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.

题6图

【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为

1

,00.2,()0.20,

.X x f x ?<

=???其他

而

55e ,0,

()0,

.y Y y f y -?>=??其他

所以

(,),()(

)X Y f x y X Y f x f y 独立 551

5e 25e ,00.20,0.20,0,y y x y --???<<>?

==?????

且其他.

(2) 5()(,)d d 25e d d y y x

D

P Y X f x y x y x y -≤≤=

??

??如图

0.20.2

-550

-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.

x

y

x x y x

-==-+≈???

7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=??

?>>----.

,

0,

0,0),

1)(1(24其他y x y x e e

求（X ，Y ）的联合分布密度.

【解】(42)28e ,0,0,

(,)(,)0,

x y x y F x y f x y x y -+?>>?==????其他.

8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤???

其他

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

?

x

204.8(2)d 2.4(2),01,

=0,.0,

y x y x x x ??--≤≤?=??

????其他 ()(,)d

Y f y f x y x +∞

-∞

=

?

12y 4.8(2)d 2.4(34),01,

=0,.0,

y x x y y y y ?-?-+≤≤?

=??????其他

题8图 题9图

9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=???<<-.,

0,

0,其他e y x y

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

?

e d e ,0,

=0,.0,

y x x y x +∞

--??>?=??

????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞

-∞

=?

0e d e ,0,

=0,.0,

y

y x x y y --??>?=??

????其他

题10图

10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=???≤≤.,

0,

1,22其他y x y cx

（1） 试确定常数c ；

（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）

(,)d d (,)d d D

f x y x y f x y x y +∞+∞

-∞

-∞

??

??如图

21

1

2-1

4

=

d d 1.21

x

x cx y y c =

=?

? 得 214

c =

. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

?

2124

22121(1),11,

d 84

0,0,

.x x x x x y y ??--≤≤??==???????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞

-∞

=?

52

27d ,01,20,0, .x y x y y ??≤≤??==??????

其他 11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=??

?<<<.

,

0,

10,,1其他x x y

求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）

.

题11图

【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

?

1d 2,01,

0,

.x

x y x x -?=<

11

1d 1,10,

()(,)d 1d 1,01,0,

.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞

-∞

?=+-<

???

??

?其他

所以

|1

,||1,

(,)(|)2()0,

.Y X X y x f x y f y x x f x ?<

?其他

|1

, 1,1(,)1

(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y

?<

?=

=-<

其他 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大

的号码为Y .

（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表

(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010

P X P Y P X Y ===

?=≠=== 故X 与Y 不独立

（2） X 与Y 是否相互独立？

(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===? 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.

14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为

f Y （y ）=?????>-.

,

0,0,

2

12/其他y y e

（1）求X 和Y 的联合概率密度；

（2） 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.

【解】（1） 因1,01,()0,X x f x <

1e ,1,

()20,y

Y y f y -?>?==???

其他.

故/2

1e

01,0,(,),()()2

0,

.

y X Y x y f x y X Y f x f y -?<<>?=??? 独立其他

题14图

(2) 方程2

20a Xa Y ++=有实根的条件是

2(2)40X Y ?=-≥

故 X 2≥Y ，

从而方程有实根的概率为：

22{}(,)d d x y

P X Y f x y x y ≥≥=

??

2

1

/2001d e d 2

1(1)(0)]0.1445.

x y x y

-==-Φ-Φ=??

15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服

从同一分布，其概率密度为

f （x ）=?????>.,

0,

1000,10002其他x x

求Z =X /Y 的概率密度.

【解】如图,Z 的分布函数(){}{

}Z X

F z P Z z P z Y

=≤=≤ (1) 当z ≤0时，()0Z F z =

（2） 当0

1000

z

）(如图a) 336

6

102222101010()d d d d yz Z z

x y z

F z x y y x x y x y +∞≥

=

=??

?? 33610231010=d 2z z

y y

zy +∞

??-= ????

题15图

(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）

336

6

222210101010()d d d d zy Z x

y z

F z x y y x x y

x y +∞≥

=

=??

?? 336231010101

=d 12y y zy z +∞

??-=- ???

?

即 11,1,2(),

01,20,

.Z z z z

f z z ?

-≥???=<

???其他 故 21

,1,21

(),01,20,

.Z z z f z z ?≥???=<

???

其他 16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，

求其中没有一只寿命小于180的概率.

【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），

从而

123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥ 之间独立

34{180}{180}P X P X ≥≥

123

4

[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]

P X P X P X P X =-<-<-<-< 4

4144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.

P X ?-?

??=-<=-Φ ???????

=-Φ== 17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，….

证明随机变量Z =X +Y 的分布律为

P {Z =i }=

∑=-i

k k i q k p 0

)()(，i =0，1，2，….

【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，

所以 {}{}Z i X Y i ==+=

{0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-== 于是

{}{,},i

k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立

{}{}i

k P X k P Y i k ===-∑

()()i

k p k q i k ==

-∑

18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参

数为2n ，p 的二项分布.

【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .

{}{,}k

i P X Y k P X i Y k i =+====-∑

00202(){}

2k

i k

i n i k i n k i

i k

k n k

i k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-????= ? ?-????

????= ???-??????= ???

∑∑∑

方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则

X =μ1+μ2+…+μn ，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,

所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布.

(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}； （2） 求V =max （X ，Y ）的分布律； （3） 求U =min （X ，Y ）的分布律； （4） 求W =X +Y 的分布律. 【解】（1）{2,2}

{2|2}{2}P X Y P X Y P Y =====

=

5

{2,2}

0.051

,0.252

{,2}

i P X Y P X i Y ====

=

===∑ {3,0}

{3|0}{0}P Y X P Y X P X =====

=

3

{0,3}

0.011

;0.033

{0,}

j P X Y P X Y j ====

=

===∑ （2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤=

10

{,}{,},i i

k k P X i Y k P X k Y i -===

==+==∑∑ 0,1,2,3,4,

i =

所以V 的分布律为

(3) {}{min(,)}P U i P X Y i ===

3

5

1

{,}{,}

{,}{,}

k i

k i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+

=

=∑∑

0,1,2,3

i = 于是

（1） 求P {Y ＞0｜Y ＞X }；

（2） 设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.

题20图

【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为

22221,,

(,)π0,

.x y R f x y R ?+≤?=???其他

（1）{0,}

{0|}{}

P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=

>

0(,)d (,)d y y x

y x

f x y f x y σσ

>>>=

????

π

2π/405π42π/401

d d π1

d d πR

R r r

R r r

R θθ=??

??

3/83

;1/24

=

= (2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤

00

131{0,0}1(,)d 1.44

x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-

=-

=??

21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？

题21图

【解】区域D 的面积为 2

2e e 01

1

1

d ln 2.S x x x

=

==?

（X ,Y ）的联合密度函数为

2

11,1e ,0,

(,)20,.

x y f x y x ?≤≤<≤?=???其他

（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为

1/20

1

1d ,1e ,()220,

.x X y x f x x

?=≤≤?=????其他 所以1

(2).4

X f =

22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和

【解】因2

1

{}{,}j j i

j

i P Y y P P X x Y y ====

==∑,

故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824

P X x Y y ===

-=

而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y ===== ,

从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =?

==== 即：1111

{}/.2464

P X x ===

又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==

即1,3111{},4248

P X x Y y =++== 从而131

{,}.12P X x Y y ===

同理21{},2P Y y == 223

{,}8

P X x Y y ===

又

3

1

{}1j j P Y y ===∑,故3

111

{}1623P Y y ==--=. 同理23

{}.4

P X x == 从而

23313111

{,}{}{,}.3124

P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=

故

23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率

为p （0

,0,0,1,2,m

m

n m

n P Y m X n p p m n n -===-≤≤= .

(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======

e C (1)

,,0,1,2,.!

m m n m

n

n

p p n m n n n λλ--=-≤≤= 24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~???

?

??7.03.021

，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).

【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为

(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=

0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=

由于X 和Y 独立，可见

()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-

0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-

由此，得U 的概率密度为

()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-

0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-

25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}.

解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有

1, 03,()30, 0,3;x f x x x ?≤≤?=??<>? 1, 03,()30, 0, 3.

y f y y y ?≤≤?=??<>?

因为X ，Y 相互独立，所以

1

, 03,03,

(,)90, 0,0,3, 3.

x y f x y x y x y ?≤≤≤≤?=??<<>>?

推得 1{max{,}1}9

P X Y ≤=

. 26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为

其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E (X )= -0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5，记Z =X +Y .求：

（1） a ,b ,c 的值； （2） Z 的概率分布； （3） P {X =Z }.

解 (1) 由概率分布的性质知，

a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =-，可得

0.1a c -+=-.

再由 {0,0}0.1

{00}0.5{0}0.5

P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤=

==≤++,

得 0.3a b +=.

解以上关于a ，b ，c 的三个方程得

0.2,0.1,0.1a b c ===.

(2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，

{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=，

{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，

{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=，

{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，

{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，

即Z

(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有

概率论习题第三章答案

第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。 ）（解：)0(1)()4(); (1)()3(); 0()(P 2); ()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 211 F(x)+=就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果 在其它场合恰当定义。 在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在） ，（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ???≥<<∞=01 0)()(~x x X F x F － 则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为 []。，）；（，）；（，）（?? ??????????πππ230302201 解:(1)当?? ????∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=?πxdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分布密度; (2) 因为12sin 0≠=?πxdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ?????? ∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有

概率论与数理统计习题及答案第三章

习题3-1 1. 而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12 {0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律

(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1和X 2 不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解 从7只球中取4球只有354 7 =C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红 球有j 只(余下为白球4i j -- 只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1{0,2}35 35 P X Y C C C ====,111322 6{1,1}35 35 P X Y C C C ====, 121322 6 {1,2}35 35 P X Y C C C ====,202322 3 {2,0}35 35 P X Y C C C ==== , 211 322 12{2,1}35 35P X Y C C C ==== ,220 322 3{2,2}35 35P X Y C C C === = , 301 322 2 {3,0}3535P X Y C C C === =, 310 322 2 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<<

概率统计第三章答案

概率统计第三章答案 概率论与数理统计作业8 (§ 3.1?§ 3.3 ) 一、填空题 1.X,Y 独立同分布X L03 2：3，则P(X+YW1)=?E(XY)=4? 2.设X的密度函数为5= 2(10x) 0其它1，则 2 E(X) = 1/3,E(X ) = 1/6 . 3.随机变量X的分布率为P|0；00303，则E(X) = -0.2 ________ , 2 E(3X 5)= 13.4 ________________ 。 4.已知随机变量X的分布列为P ( X=m )= 1 , m = 2,4,…,18,20 ”则 E( X ) = ___________

5.对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为P I，第二台仪器发生故障的概率为P2 ?令X表示测试中发生故障的仪器数，则 E x A P1 P2 二、计算题 1.连续型随机变量X的概率密度为 a f(x)= kx穿",「0)又知 E(X)=0.75 ，求k 和 a 的值。 0 其它 解：由［3 (x dx = Jkx a dx = 1,得_^=1, . o a 1 又E(X)匚0.75，则有xf xdx 二：x kx a dx =0?75,得—= 0.75, 0 a 2 故由上两式解得k=3,a=2?

2.对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。如果发现次品，则立即停止检查而认为这批产品不合格；如果连续检查5个产品，都是合格品，则也停止检查而认为这批产品合格。设每批产品的次品率为p,求每批产品抽查样品的平均数。解：设随机变量X表示每批产品抽查的样品数，则：P( X =m ) = pq m」(m =1,2,3,4); P( X = 5) = pq4 q5二q4 ( p q = 1) ???X的概率分布表如下: EX = p 2pq 3pq2 4 pq3 5q4 = 5 TO p 10 p2_5p3 p4 3 ?设二维随机变量X, Y的联合密度函数为I 21 2 2 . f(x，y)J匸x y X —y —1 [0其它 1)求EX，EY 及EXY ；

概率论与数理统计修订版第三章练习答案郝志峰,谢国瑞

概率论与数理统计第三章习题 率分布。 ，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1 。 出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2

11880 54 99101112123)3(132054 109112123)2(132 27 119123)1(12 9 )0(3 210191911011111121121311019111121121311119112131121 9= ???=???=== ??=??=== ?=?=== ==C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ，，，可能取值为：代表废品数，则解：令 .1188054132054132271293210 ??? ? ??的分布列为 所以，ξ 废品数的概率分布。 况，求出取得）取后放回两种不同情）取后不放回；（个，试分别就（件，每次取个废品，现从中任取混有个同类型的一堆产品内设在2113210.3 .008.0096.0384.0512.03210 008.0)3(096.0)2(384.0)1(512.0)0(32102210)2()1()0(2 1013 1101 22 1101211018231101 22 1101 8133 1101831022183101228310383 10 2 2 18310122831038??? ? ??=??? ? ??===???? ?????? ??===??? ? ????? ? ??===???? ??==???? ? ?????==?====的分布列为 所以，，，，有 ，，，，则可能取值有：）设废品数为（的分布列为 所以，，，，，的可能值有：代表废品数，则）令解：（ηηηηηηξξξξξξC C P C C C C C P C C C C C P C C P C C C C C C C C C C C P C C C P C C P

概率统计第三章答案

概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第三章 多维随机变量及其分布 教学要求： 一、了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的分布函数； 二、了解二维离散型随机变量分布律的概念，理解二维连续型随机变量概率密度的概念； 三、理解二维随机变量的边缘概率分布； 四、理解随机变量的独立性概念； 五、会求两个独立随机变量的简单函数的分布（和、极大、极小）. 重点：二维离散型随机变量的联合分布律及二维连续型随机变量的边缘概率密度，随机变 量的独立性. 难点：边缘分布，随机变量的独立性，随机变量的函数的分布. 练习一 二维随机变量及其分布 1．填空题 (1)设二维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则 =≤}{a X P ()+∞,a F ； =≥}{d Y P ()d F ,1∞+-； =≤<≤<},{d Y c b X a P ),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--. (2)设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则其分布函数),(y x F = ?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ),(；若G 是xoy 平面上的区域，则点),(Y X 落在G 内的概率，即 }),{(G Y X P ∈??=G dxdy y x f ),( （3）若二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ) 1)(1(),(22y x A y x f ++= )0,0(>>y x ， 则系数A = ,4 2 π= <}1{X P 2 1. （4）设二维随机变量),(Y X 的分布函数(),3arctan 2arctan ,?? ? ??+??? ? ?+=y C x B A y x F

概率论第三章习题答案

第三章练习题 一、单项选择题 1．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 Y X 1 2 3 1 2 101 103 102 101 102 101 则P{XY=2}=（ C ）A ．5 B ．10 C ．2 D ．5 2．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ? ??≤≤≤≤=,,0; 10,10,4),(其他y x xy y x f 则当0≤y ≤1时，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度为f Y ( y ) 1 =(,)4f x y dx xydx +∞ -∞ ==? ?= （ D ） A ．x 21 B ．2x C ．y 21 D ．2y 3．设随机变量X ，Y 相互独立，其联合分布为 1+9 α 12 1 +9 α 1+18β 116=+9918 α?? ??? 则有（ B ） A ．92 ,91==βα B ．91,92==βαC ．32,31==βα D ．3 1,32==βα 二、填空题 1.设随机变量X ，Y 相互独立，且P{X ≤1}=21，P{Y ≤1}=3 1 ， 则P{X ≤1,Y ≤1}=_ 1 6 __. 2.已知二维随机变量(X ,Y )的分布律为 0 2 5 0 0.1 0.1 0.3 Y X

1 0.25 0 0.25 则P (X ≤0,Y =2)＝___0.1___. 3．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 Y X 1 2 3 1 2 61 121 81 81 41 4 1 则P{Y=2}=____ 4 _______. 4．设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=? ??≤≤≤≤其他02 y 0,1x 0xy ， 则X 的边缘概率密度f x (x)= 2 (,)f x y dy xydy +∞ -∞ ==? ?_____2x___________． 三、计算题 1．设二维随机变量(X ，Y )只能取下列数组中的值：(0，0)，（-1，1），（-1，3 1 ），（2，0）， 且取这些值的概率依次为61，31，121，12 5 .（1）写出(X ，Y )的分布律； （2）分别求(X ，Y )关于X ，Y 的边缘分布律. (1) {} {} 1351112 3 121166551212 71112 12 3 01-10 00020 1 j i X Y P Y y P X x == (2) 13711 12 12 3 1 X P 5 5112 6 12 10 2 Y P - 2．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为?? ???>>=+.,0;0,0,e ),()-(其他y x y x f y x （1）分别求（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度； f x (x)= ()0 (,),0x y x f x y dy e dy e x +∞ ∞ -+--∞ ==>? ? f Y ( y ) ()0 = (,),0x y y f x y dx e dx e y +∞ ∞ -+--∞ ==>? ? （2） 问：X 与Y 是否相互独立，为什么？ () ()()(,)x y x y X Y f x y e e e f x f y -+--==?=?,因此相互独立 3.设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 0.7 0.4 0.2 0.4 （1）求(X ，Y )分别关于X ,Y 的边缘分布律；(2)试问X 与Y 是否相互独立，为什么？

概率论答案第三章测试题

第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律； （2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。 解 （2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他 （1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。 解 （1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为： 求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律 （2）

4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度； （2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。 解 （1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x

概率论第三章练习题

习 题 三 1．（１）盒子中装有３只黑球，２只红球，２只白球，在其中任取４只球．以Ｘ表示取到黑球的只数，以Ｙ表示取到红球的只数．求Ｘ和Ｙ的联合分布律．（２）在（１）中求Y}-3P{X 3},Y P{X 2X},P{Y Y},P{X <=+=>． ２．设随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<<<--=其他,0,42,20),6(),(y x y x k y x f （１） 确定常数k ． （２）求3}Y 1,P{X <<． （３）求 1.5}P{X <． （４）求4}Y P{X ≤+． ３．设随机变量)Y X,(具有分布函数 ?? ?>>+--=----其他,0,0,0,1),(F y x e e e y x y x y x 求边缘概率密度． ４．将一枚硬币掷３次，以Ｘ表示前２次出现Ｈ的次数，以Ｙ表示３次出现Ｈ的次数．求Ｘ，Ｙ的联合分布律以及)Y X,(的边缘分布律． ５．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤≤≤-=其他,0,0,10), 2(8.4),(x y x x y y x f 求边缘概率密度． ６．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤=其他,0,1,),(22y x y cx y x f (1)确定常数C. (2)求边缘概率密度.

7.设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<=-其他,0,0,),(y x e y x f y 求边缘概率密度. 8.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在区间)1,0(上服从均匀分布,Y 的概率密度为 ?????≤>=-.0,0,0,2 1)(2Y y y e y f y 求X 和Y 的联合概率密度. 9.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 ?? ?≤≤=.,0,10,1)(X 其他x x f ???>=-.,0,0,)(Y 其他y e y f y 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 10. 设随机变量X 和Y 相互独立,且具有相同的分布,它们的概率密度均为 ?? ?>=-.,0,1,)(1其他x e x f x 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 11. 设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?????>>+=+-其他,0,0,0,)(2 1),()(y x e y x y x f y x (1) 问X 和Y 是否相互独立? (2) 求Y X Z +=的概率密度. 12. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为 ?? ?≤>=-.0,0,0,)(t t e t t f t 设各周的需求量是相互独立的．求 （１） 两周的需求量的概率密度． （２） 三周的需求量的概率密度．

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布 习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律. （X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= 35147 2222=C C C P {X=1, Y=1 }=356 47 221213=C C C C P {X=1, Y=2 }= 3564 7 1 2 2213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353 472 223=C C C P {X=2, Y=1 }= 35124 712 1223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353 47 2 223=C C C P {X=3, Y=0 }= 35247 1233=C C C P {X=3, Y=1 }=352 47 1233=C C C P {X=3, Y=2 }=0 习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为 ?? ?<<<<--=其它 , 0, 42,20), 6(),(y x y x k y x f （1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<

?? ????????<<<<=42,20),(y x y x D o 解：（1）∵??? ? +∞∞-+∞ ∞ ---= = 20 12 )6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8 1= k （2）8 3 )6(8 1)3,1(32 1 ? ?= --= <

概率论第三章习题解答

第三章习题解 1 在一箱子中装有12只开关,其中 2 只就是次品,在其中任取两次,每次任取一只,考虑两种试验:(1)放回抽样;(2)不放回抽样。定义随机变量X ,Y 如下: 0,1X ?=??若第一次取出的是正品，，若第一次取出的是次品。 0,Y 1?=?? 若第二次取出的是正品，，若第二次取出的是次品。 试分别就(1),(2)两种情况写出X ,Y 的联合分布律。 解 (1)放回抽样 由于每次抽取时都就是12只开关,第一次取到正品有10种可能,即第一次取到正品的概率为 105{0}126 P X ===, 第一次取出的就是次品的概率为 21{1}126 P X === 同理,第二次取到正品的概率105{0}126 P Y === 第二次取到次品的概率为21{1}126 P Y === 由乘法公式得X ,Y 的联合分布率为 {,}{|}{}{}{}P X i Y j P Y j X i P X i P X i P Y j =========,0,1i =,0,1j =。 具体地有 5525{0,0}6636P X Y ===?=,515{0,1}6636 P X Y ===?=, 155{1,0}6636P X Y ===?=,111{1,1}6636 P X Y ===?= 用表格的形式表示为 (2)不放回抽样 5{0}6P X ==,1{1}6 P X == 因为第二次抽取时,箱子里只有11只开关,当第一次抽取的就是正品,则箱子中有9只正品)。所以 9{0|0}11P Y X === , 2{1|0}11 P Y X === 10{0|1}11P Y X ===, 1{1|1}11P Y X ===

概率论与数理统计习题及答案 第三章

《概率论与数理统计》习题及答案 第 三 章 1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。 解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 1 1()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=L 2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个 数X 的分布列。 解 从a b +个球中任取r 个球共有r a b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k r k b a C C -，所以X 的分布列为 ()k r k b a r a b C C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+L ， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。 3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1 (1,2,3)1 i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。 解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。则 1231111 (0)()23424 P X P A A A === ??= ， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1111211136 23423423424 = ??+??+??= ， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424 = ??+???+??=，

概率统计第三章答案

概率论与数理统计作业8（§3.1～§3.3） 一、填空题 1. Y X ,独立同分布 323110//P X ，则()().XY E ,Y X P 9 4 951==≤+ 2. 设X 的密度函数为2(1)01 ()0 x x f x -<=? ?其它 又知()0.75E X =， 求k 和a 的值。 解：由 (),dx kx dx x f a 11 ==?? +∞ ∞ -得 ,a k 11 =+ 又 ()0.75E X =，则有 (),.dx kx x dx x xf a 75010 =?=?? +∞ ∞ -得 ,.a k 7502 =+ 故由上两式解得k =3,a =2.

2. 对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。如果发现次品，则立即停止检查而认为这批产品不合格；如果连续检查5个产品，都是合格品，则也停止检查而认为这批产品合格。设每批产品的次品率为p ，求每批产品抽查样品的平均数。 解：设随机变量X 表示每批产品抽查的样品数，则: ∴X 的概率分布表如下： 3．设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为 ()?????≤≤=其它，0 1 42122 y x y x y x f 1）求()X E ，()Y E 及()XY E ； 2）求X 与Y 的边缘密度函数； 解：1）()() ;dx x x dy y x x dx dxdy y ,x xf EX x 08214 2111731 2 112=-=? == ???? ?--+∞ ∞ -+∞∞ - ()() ;dx x x dy y x y dx dxdy y ,x yf EY x 9 7 4742111821 21 1 2=-=? ==???? ? --+∞ ∞ -+∞ ∞ - ()()() ;dx x x dy y x xy dx dxdy y ,x xyf XY E x 0474 2111931 2 11 2=-=? ==???? ? --+∞ ∞ -+∞ ∞ - 2）当时，1≤x ()()() ;x x ydy x dy y ,x f x f x X 62 21 8 214212 -=== ? ? +∞ ∞ - 当时，1≥x ().x f X 0= 当时，10≤≤y ()();y ydx x dx y ,x f y f y y Y 25 22 7 421=== ? ? - ∞ +∞ - 当时，或01<>y y ().y f Y 0= X ) m X (P =4 q 5 21p pq 4 3 2 pq 3 pq ；),,,m (pq )m X (P m 43211===-) q p (1=+4 545q q pq )X (P =+==4 324325101055432p p p p q pq pq pq p EX +-+-=++++=∴()() ?? ? ??>≤-=∴. x ,;x ,x x x f X 10182162

中北大学概率统计习题册第三章完整答案(详解)

1. 设随机变量X 的分布列为 解：()2E X +10.100.220.4=?+?+? 30.140.22+?+?= ()E X 10.120.200.4=?+?+? 10.120.21+?+?= ()22E X +30.160.220.4=?+?+? 30.160.2 3.8+?+?= 2. 设随机变量X 的分布列为： {}Λ3,2,1,1===-k pq k X P k ,其中p 为常 数，01p <<，1q p =-。 求(),()E X D X 。 解：1 1()k k E X kpq +∞ -== ∑()1 11k k k q q +∞ -==-∑ 11 1 k k k k kq kq +∞+∞ -===-∑∑ ()01 1k k k k k q kq +∞+∞ ===+-∑∑ 01111k k q q p +∞ == = =-∑ 2 2 1 1()k k E X k pq +∞ -==∑ ()112 1 1k k k k k k pq kpq +∞ +∞ --===-+∑∑ ()()1 2 2 111k k k k k k q k k q p +∞ +∞ -===---+ ∑∑ ()()1 2 111k k k k k k q k k q p +∞+∞ === +--+ ∑∑ 1 12k k kq p +∞ ==+ ∑ 1121k k q kpq p p +∞-==+∑221q p p =+ 所以，() ()22()D X E X E X =- 222 211q q p p p p = +-= 3.设随机变量X 的概率密度函数为 1 ()exp{}2x f x μλλ -= -，其中0λ>为常数，求()E X 。 解：1e d 2x EX x x μ λ λ --+∞ -∞ = ? ()11e d e d 2211e d e d 22x x t t x x x t t x μ μ λ λ λλμμλ λ μμλλ --- - +∞ +∞ -∞-∞ - -+∞ +∞-∞-∞=-+=+=?? ??注：关于绝对收敛性 01e d 211e d e d 2211e d e d 22x x x t t x x x x x t x t x μ λ μ μ λ λ λλ λ μμ λ λ μμ λλ --+∞ -∞ --- -+∞ +∞ -∞-∞ --+∞ +∞-∞ ≤-+=+=+? ? ? ? ? λμ=+ 或 1e d 2x x x μ λ λ -- +∞ -∞ ? ||1e d ()2t x t t t μ λμλ +∞ --∞ -=+= ? 当0μ≥时 ()|| e d e d t t t t t t μλ λμλμ+∞ - --∞ -∞ +=-+? ? ()()00 e d e d t t t t t t μλ λμλμ+∞-- ++++? ?

概率论第三章课后习题答案

第三章 离散型随机变量 率分布。 ，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1 .343.0441.0189.0027.03210 027.0)7.01()()0()0(189 .0)7.01()7.01(7.03) (3)1()1()1()1(441 .0)7.01(7.07.03) (3)2()2()2()2(343.0)7.0()()3()3()(0 )(1 )()()(2)()()(3)(} ,,,{)},,(),,,(),,,(), ,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(3 ,2,1332183217653214323321187654321821321321321321321321321321??? ? ??=-======-?-??===+=+====-???===+=+===================Ω==的分布列为 所以，，则 简记为将，，则 代表击中目标的次数，令则次射中”，“第解：设ξξξξξξξξξξξξξξωξωξωξωξωξωξωξωξωξξωωωA A A P P P A A A P P P P P A A A P P P P P A A A P P P A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A i i A i i i Λ 。 出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2

概率统计第三章答案(3)

概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第三章 多维随机变量及其分布 教学要求： 一、了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的分布函数； 二、了解二维离散型随机变量分布律的概念，理解二维连续型随机变量概率密度的概念； 三、理解二维随机变量的边缘概率分布； 四、理解随机变量的独立性概念； 五、会求两个独立随机变量的简单函数的分布（和、极大、极小）. 重点：二维离散型随机变量的联合分布律及二维连续型随机变量的边缘概率密度，随机变 量的独立性. 难点：边缘分布，随机变量的独立性，随机变量的函数的分布. 练习一 二维随机变量及其分布 1．填空题 (1)设二维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则 =≤}{a X P ()+∞,a F ； =≥}{d Y P ()d F ,1∞+-； =≤<≤<},{d Y c b X a P ),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--. (2)设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则其分布函数),(y x F = ?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ),(；若G 是xoy 平面上的区域，则点),(Y X 落在G 内的概率，即 }),{(G Y X P ∈??=G dxdy y x f ),( （3）若二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ) 1)(1(),(2 2y x A y x f ++= )0,0(>>y x ， 则系数A = ,4 2 π= <}1{X P 2 1. （4）设二维随机变量),(Y X 的分布函数(),3arctan 2arctan ,?? ? ??+??? ? ?+=y C x B A y x F 则常数 A = 2 1 π， B = 2π， C =2 π .

概率论第三章习题参考答案与提示

第三章 随机变量的数字特征习题参考答案与提示 1．设随机变量X 的概率分布为 X －3 0 1 5 0.1 0.2 0.3 0.4 k p 试求EX 。 答案与提示：2EX =。 2．已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 0.1 k P p 0.4 0.2 求：（1）常数p ；（2）数学期望EX ；（3）方差。 DX 答案与提示：（1）由归一性，3.0=p ； （2）； 1.7EX =（3） 0.81DX = 3．已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 0.3 0.5 k p p 求：（1）数学期望；（2）方差。 2)1(?X E 2)1(?X D 答案与提示：由归一性，2.0=p ； （1）； 2(1)0.E X ?=8 （2） 2(1)0.16D X ?=4．已知连续型随机变量X 的概率分布为 ???<<=其它,08 0,8/1)(x x f 求X 的数学期望。 答案与提示：4EX = 5．设随机变量X 服从拉普拉斯分布，其分布密度为 α β α /21)(??= x e x f ，0>α（+∞<<∞?x ）。 求X 的数学期望。 答案与提示：该题要求熟练掌握计算连续型随机变量的数学期望的公式。 EX β=。

6．设随机变量X 的概率密度为 ?? ? ??≤，可见A 仪器的测量误差要比B 仪器的测量误差大，故B 仪器要优良些。 10．设X 的概率分布为 ???≤>=?0 ,00 ,)(x x e x f x

《概率论》数学3章课后习题详解

概率论第三章习题参考解答 1. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 求ξ的期望值 解：由习题二第2题算出ξ的分布率为 ξ 0 1 P 1/3 2/3 因此有E ξ=0×P (ξ=0)+1×P (ξ=1)=2/3 2. 矩形土地的长与宽为随机变量ξ和η, 周长ζ=2ξ+2η, ξ与η的分布律如下表所 求周长的期望值, 用两种方法计算, 一种是利用矩形长与宽的期望计算, 另一种是利用周长的分布计算. 解: 由长和宽的分布率可以算得 E ξ=29×P (ξ=29)+30×P (ξ=30)+31×P (ξ=31) =29×+30×+31×= E η=19×P (η=19)+20×P (η=20)+21×P (η=21) =19×+20×+21×=20 由期望的性质可得 E ζ=2(E ξ+E η)=2×+20)= 而如果按ζ的分布律计算它的期望值, 也可以得 E ζ=96×+98×+100×+102×+104×= 验证了期望的性质. 4. 连续型随机变量ξ的概率密度为 ?? ?><<=其它 ) 0,(10)(a k x kx x a ? 又知Eξ=, 求k 和a 的值。 解: 由性质 ?+∞ ∞ -=1)(dx x ? 得 11 1)(|10110 =+=+= =++∞ ∞ -??a k x a k dx kx dx x a a ? 即k =a +1 (1) 又知

75.02 2)(|1021 1 =+=+= == +++∞∞ -??a k x a k dx kx dx x x E a a ?ξ 得k =+ (2) 由(1)与(2)解得 =, 即a =2, k =3 6. 下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表. 从188辆汽车中, 任意抽选15辆, 得出下列数字: 90, 50, 150, 110, 90, 90, 110, 90, 50, 110, 90, 70, 50, 70, 150. (1)求这15个数字的平均数; (2) 计算表3-9中的期望并与(1)相比较. 解: (1) 15个数的平均数为 (90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150)/15 = (2) 按上表计算期望值为 (10×5+30×11+50×16+70×25+90×34+110×46+130×33+150×16+170×2)/188 = 7. 两种种子各播种300公顷地, 调查其收获量, 如下表所示, 分别求出它们产量的平均值(计算时以组中值为代表). E ξ=(4500×12+4800×38+5100×40+5400×10)/100=4944 E η=(4500×23+4800×24+5100×30+5400×23)/100=4959 8. 一个螺丝钉的重量是随机变量, 期望值为10g , 标准差为1g . 100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立) 解: 假设这100个螺丝钉的重量分别为ξ1, ξ2,…, ξ100, 因此有 E ξi =10, Dξi =102=12=1, (i =1,2,…,100), 设ξ为这100个螺丝钉的总重量，因此 ∑==100 1 i i ξξ，则ξ的数学期望和标准差为