第五期：平面直角坐标系和一次函数
张春秀
对于这一部分知识中考中主要以选择和填空的形式出现，主要考查不同坐标系中点的特点及函数的图象、性质与函数的解析式，在解答题中经常出现用函数知识解决实际问题，在中考中一般占到6-10分左右。
知识梳理
知识点1：平面直角坐标系及函数图象
例1：已知点P （a ＋1，2a －1）关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围． 解体思路：本题根据点的坐标特征建立起不等式组是解题的关键．对称点在第一象限，则点P 在第四象限．根据各象限内点的坐标特征，可以建立关于a 的不等式组，求出a 的取值范围．依题意P 点在第四象限，则有??
?<->+0
1201a a ，解得－1＜a ＜1
2．
答案：a 的取值范围是－1＜a ＜
1
2
．
例2：函数y=
1
x -中，自变量x 的取值范围是 ．
21010
x x +≥??-≠?，解得x≥－1
2 且x≠1．
答案：x≥－1
2
且x≠1．
例3 ：三军受命，我解放军各部奋力抗战在救灾一线.现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到该小镇只有唯一通道，且路程为24km ．如图是他们行走的路程关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息,其中正确的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
解题思路：结合题意、图象看出，甲队出发2小时后乙队出发，他们同时到达目的地，路程都是24 km ，甲队用了6小时，乙队用了4小时．可以求得，乙队行驶的平均速度是24÷4=6 km/h ．所以，第二、第三个同学的叙述正确．又观察图象，甲、乙两队行走的路程、时间的函数图象相交，交点的横坐标是4.5，这说明两个队在行驶途中有一次相遇，是在乙队出发2.5小时后追上甲队，所以，第一个同学的叙述正确．在甲队行走的路程、时间的函数图象中，在3～4小时之间的一段是水平的，意味着这段时间甲队在途中停留，所以第四个同学的叙述是正确的．综上所述，四个同学的叙述都正确。
答案：选D ．
练习1．在平面直角坐标系中，点P （－1，2）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 练习2．下列图形不能体现y 是x 的函数关系的是（ ）
练习3．在平面直角坐标系中，若点()13-+，m m P 在第四象限，则m 的取值范围为（ ）
A 、－3＜m ＜1
B 、m ＞1
C 、m ＜－3
D 、m ＞－3 练习4． 2008年奥运火炬于6月3日至5日在我省传递
（传递路线为：岳阳—汩罗—长沙—湘潭—韶山）．如图，学生小华在地图上设定汩罗市位置点的坐标为（0，－2），长沙市位置点的坐标为（0，－4），请帮助小华确定韶山市位置点的坐标为 ．
答案：练习1．B 2．C 3．A 4．（－1，－5） 最新考题
考题1：（2009湖南邵阳）在平面直角坐标系中，函数1y x =-+的图象经过（ ） A ．一、二、三象限 B ．二、三、四象限 C ．一、三、四象限 D ．一、二、四象限
考题2：（2009仙桃）如图，把图①中的⊙A 经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A
上一点P 的坐标为(m ，n)，那么平移后在图②中的对应点P’的坐标为（ ）．
A ．(m ＋2，n ＋1)
B ．(m －2，n －1)
C ．(m －2，n ＋1)
D ．(m ＋2，n －1) 考题3：（2009年莆田）如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿
N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，
MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x 时，点R 应运动到（ ）
A ．N 处
B ．P 处
C ．Q 处
D ．M 处
答案：
1. D
2. D
3. C
知识点2：一次函数的概念、图象和性质 例1：一次函数y=3x －4的图象不经过（ ）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
解题思路：由于3＞0，－4＜0，一次函数y=3x －4的图象经过第一、三、四象限，所以图象不经过第二象限．故选B ．
例2：已知一次函数的图象过点（0，3）与（2，1），则这个一次函数y 随x 的增大而 ．
解题思路：由于图象经过的两个点（0，3）与（2，1），所以在平面直角坐标系中过这两个点作直线（如图），就得到该函数的图象．观察图象，直线从左向右呈“下降”趋势，则y 随x 的增大而减小．
例3：已知平面上四点A （0，0），B （10，0），C （10，6），D （0，6），直线y=mx －3m ＋2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为
（图1）
．
解题思路：在平面直角坐标系中描点，可知四边形ABCD是矩形．由于矩形是中心对称图形，所以将它面积二等分的直线一定经过矩形的中心点．找出矩形中心点的坐标，
代入直线的关系式可以求出m的值．
解：根据题意，在平面直角坐标系中描出各点，可知四边形ABCD是矩形．由图形知，矩形的中心点E（5，3）．
由题意知，直线y=mx－3m＋2必过中心点E，所以有
3=m×5－3m＋2，解得m=
1
2
．
练习1．若一次函数y=x+（2m－2）的图象经过原点，则m的值为______．
练习2．在计算器上，按照下面的程序进行操作：
下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果
上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是．
练习3．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含
正方形边界），其中(11)(21)(22)(12)
A B C D
，，，，，，，，用信号枪沿直线y=－2x
＋b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区
域变白的b的取值范围为．
答案：1．1 2．1
+3．36
b
≤≤
最新考题
考题1：(2009年陕西省)若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（）
A．(1，2) B．(－1，－2) C．(2，－1) D．(1，－2)
考题2：（2009年重庆市江津区）已知一次函数3
2-
=x
y）
A B C D
考题3：（2009年衢州）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y= -x图象上的两点，则下列判断正确的是（）
A．y1>y2B．y1 C．当x1 答案：1.D 2.C 3.C 解：（1）符合条件的点D有3个（如图），坐标分别是：D1（2，1），D2（－2，1），D3（0，－1）． （2）若选择点D1（2，1）时，设直线BD1的的关系式为y=kx＋b， 由题意得 21 k b k b -+= ? ? += ? ， ，解得 1 3 1 3 k b ? = ?? ? ?= ?? ， ． ∴直线BD1的的关系式为y=1 3 x＋ 1 3 ． 若选择点D2（－2，1），同上可得直线BD2的的关系式为y=－x－1． 若选择点D3（0，－1）时，同上可得直线BD3的的关系式为y=－x－1． 例2：在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分． （1）s与t之间的函数关系式是：； （2）与图③相对应的P点的运动路径是：；P点出发秒首次到达点B； （3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象． 解题思路：（1）由图②知，s与t是正比例函数关系，用“待定系数法”可求的关系式；（2）结合题意和图③的函数图象，P点的运动路径是：M→D→A→N；从（1）中知点P的运动速度，可以求出点P运动到点B需要的时间；（3）对3≤s≤8的范围，又需要分三个时间段分别求解． 解：(1)设S=kt，代入（2，1），求得k=1 2 ．所以S=t 2 1(t≥0) ． (2) 图③中，P点的运动路径是：M→D→A→N．由（1）知，点P运动的速度是 1 2个单位/秒，所以P点从出发到首次达点B需要5÷ 1 2 =10秒． (3)当3≤s＜5时，，点P从A到B运动，此时y=4－s； 当5≤s＜7时，点P从B到C运动，此时y=－1； 当7≤s≤8时，点P从C到M运动，此时y=s－8．补全图象如图． 练习 练习1．在图，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的的关系式是． 练习2．⑴点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是，直线y=2x＋1向下平移2个单位后的的关系式是； ⑵直线y=2x＋1向右平移2个单位后的的关系式是． 练习3．如图是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的图象，由图象解答下列问题： （1）此蜡烛燃烧1小时后，高度为cm；经过小时燃烧完毕； （2）求这个蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的的关系式． 答案：练习1．y=2x＋1 2．解：⑴（0，－1），y=2x－1；⑵y=2x－3． 3．解：（1）7，15 8 ；（2）y=－8x＋15 (0≤x≤ 15 8 ) ． 最新考题 考题1：（2009年湘西自治州）一次函数3y x b =+的图像过坐标原点，则b 的值为 ． 考题2：（2009年桂林市、百色市）如图，是一个正比例函数的图像，把该图像 向左平移一个单位长度，得到的函数图像的 解析式为 ． 22y x =--或2(1)y x =-+ 考题3：（2009年枣庄市）如图，把直线2y x =-向上平移后得到直线AB ， 直线AB 经过点()a b ，，且26a b +=，则直线AB 的解析式是（ ） A ．23y x =-- B ．26y x =-- C ．23y x =-+ D ．26y x =-+ 答案：1. 0 2. 22y x =--或2(1)y x =-+ 3. D 知识点4：一次函数的应用 例1：已知直线l 1：y 1=－4x ＋5和直线l 2：y 2= 1 2 x －4． （1）求两条直线l 1和l 2的交点坐标，并判断交点落在哪一个象限内； （2）在同一个坐标系内画出两条直线的大致位置，然后利用图象求出不等式－4x ＋5＞ 1 2 x －4的解集． 解题思路：（1）只需要建立关于两个函数关系式的方程组，其解就是交点坐标；（2）作 出图象，找出直线l 1高于l 2的部分，其自变量的取值范围就是不等式的解集． x x 2y =- 解：（1）解方程组 45, 1 4. 2 y x y x =-+ ? ? ? =- ?? ，得 2, 3. x y = ? ? =- ?． ∴直线l1和l2的交点是（2，－3），在第四象限． （2）直线l1高于l2的部分在交点（2，－3）的左侧，其自变量 取值范围是x＜2．所以，不等式－4x＋5＞1 2 x－4的解集为x＜2． 例2：某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表： （1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围； （2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来； （3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 解题思路：（1）利用“总利润=甲、乙店销售各型商品的利润和”建立函数关系式，然后建立关于x的不等式组，求出x的取值范围；（2）根据“总利润不低于17560元”建立不等式，结合（1）确定出x的正整数解，每一个正整数解对应不同的分配方案；（3）建立一个含有常数a的关于W、x的函数关系式，然后对a的不同取值范围分别讨论，确定出总利润最大的分配方案． 解：（1）W=200x＋170（70－x）＋160（40－x）＋150（x－10）=20x＋16800． 由题意得 700 400 100 x x x x ? ?- ? ? - ? ?- ? ≥ ≥ ≥ ≥ ，解得10≤x≤40． （2）由w=20x＋16800≥17560，解得x≥38． ∴38≤x≤40，∴x=38，39，40，∴有三种不同的分配方案： ①x=38时，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件． ②x=39时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件． ③x=40时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件． （3）W=（200－a）x＋170（70－x）＋160（40－x）＋150（x－10） =（20－a）x＋16800． ①当0＜a＜20时，x=40，即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使总利润达到最大． ②当a=20时，10≤x≤40，符合题意的各种方案，使总利润都一样． ③当20＜a＜30时，x=10，即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30 件，B型0件，能使总利润达到最大． 练习1．一次函数y=kx＋b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 （） A．x＞0 B．x＜0 C．x＞2 D．x＜2 练习2．如图，直线l1和l2的交点坐标为（） A．(4，－2) B．(2，－4) C．(－4，2) D．(3，－1) 练习3．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元） 与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误 ．．的是（） A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元 B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元 C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多 D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分 答案：练习1．C 2．A 3．D 最新考题 考题1：(2009年上海市)已知函数 1 () 1 f x x = - ，那么(3) f=． 考题2：(2009成都)某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（） A.20kg B.25kg C.28kg D.30kg 考题3：（2009年宁波市）如图，点A.B.C 在一次函数2y x m =-+的图象上，它们的横坐标依次为1-，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ） A ．1 B ．3 C ．3(1)m - D ．3 (2)2 m - 答案：1.2 1 - 2. B 3. B 过关检测 一、选择题 1．直角坐标系中，点A （－3，6）位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．甲、乙两地相距S 千米，某人行完全程所用的时间t （时）与他的速度v （千米/时）满足vt=S ，在这个变化过程中，下列判断中错误的是（ ） A ．S 是变量 B ．t 是变量 C ．v 是变量 D ．S 是常量 3．下面所给点在直线y=－2x 上的是（ ） A ．（2，－1） B ．（－1，2） C ．（1，2） D ．（2，1） 4．函数y= x x 5 +中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥－5 B ．x≠0 C ．x≥－5且x≠0 D ．x≥－5或x≠0 5．一次函数y=－x ＋2的大致图象是（ ） 6．均匀地向一个如图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h 随 时间t 变化的函数图象大致是（ ） 7．直线y=kx ＋b 经过点A （0，3），B （－2，0），则k 的值为（ ） A ． 3 2 B ．32- C ．23 D ． 3 8．如图，直线y 1= 2 x 与y 2=-x+3相交于点A ，若y 1＜y 2，那么（ ） A ．x ＞3 B ．x ＜3 C ．x ＞1 D ．x ＜1 9．丽丽买了一张30元的租碟卡，每租一张碟后剩下的余额如表表示，若丽丽租碟25张，则卡中还剩下（ ） Ａ．5元 Ｂ．10元 Ｃ．20元 Ｄ．14元 10．如图2，直线4 43 y x =- +与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB △绕点A 顺时针旋转90°后得到AO B ''△，则点B '的坐标是（ ） A ． （3，4） B ． （4，5） C ． （7，4） D ． （7，3） 二、填空题 11．如图3，已知棋子“卒”的坐标为(－2，3)，棋子“马”的坐标为(1，3)，则棋子“炮”的坐标为 ． 12．若一次函数y=x+（2m －2）的图象经过原点，则m 的值为______． 13．如图4，当输入数x=2时，输出的数y= ． 14．若点P （a ，4－a ）是第二象限的点，则a 的取值范围是 ． 15．某一次函数的图象经过点（0，－2），且函数值随自变量值增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式： ． 16．HJ 牌小轿车的油箱可装汽油30L ．原来装有汽油10L ，现在再加汽油xL ．如果每升汽油2.95元，油箱内汽油的总价y(元)与x （L ）之间的关系式是______． 三、解答题 17.一个菱形的边长为5，一条对角线为6．请以菱形的较长对角线所在的直线为x 轴，另一条对角线所在的直线为y 轴建立直角坐标系，然后写出菱形各顶点的坐标． 18.已知正比例函数y=kx 、一次函数y=2x+b 的图象都经过点A （－2，4）． （1）求k 和b 的值； （2）判断点B （－2，22），C （2，12）分别在哪个函数的图象上？ （3）x 在什么范围取值时kx ＞2x+b ？ 19.定义[]p q ，为一次函数y px q =+的特征数． （1）若特征数是[]22k -，的一次函数为正比例函数，求k 的值； （2）设点A 为x 轴上的一点，B 点的坐标为（0，2），且OAB △的面积为4，O 为原点，求过A ，B 两点的一次函数的特征数． 20.赵明暑假到光雾山旅游，从地理课上知道山区气温会随着海拔高度的增加而下降，沿途他利用随身所带的登山表，测得以下数据： （1）现以海拔高度为x 轴，气温为y 轴建立平面直角坐标系（如图8），根据上表中提供的数据描出各点． （2）已知y 与x 之间是一次函数关系，求出这个关系式． （3）若赵明到达光雾山山巅时，测得当时气温为19.4℃，请求出这里的海拔高度． 21.如图9，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，动点P 自A 点起，由 A B C D →→→匀速运动，直线MP 扫过正方形所形成的面积为y ，点P 运动的路程为 x ，请解答下列问题： （1）当1x =时，求y 的值； （2）就下列各种情况，求y 与x 之间的函数关系式； ①04x ≤≤；②48x <≤；③812x <≤； （3）在给出的直角坐标系（图2）中，画出（2）中函数的图象． 22.抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A 、B 两仓库．已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A 库的容量为70吨，B 库的容量为110吨．从甲、乙两库到A 、B 两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币） （1）若甲库运往A 库粮食x 吨，请写出将粮食运往A 、B 两库的总运费y （元）与x （吨） 的函数关系式 （2）当甲、乙两库各运往A 、B 两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？ 参考答案 一、1～5．BABCD 6～10．AABBD 二、11．(3，2) 12．1 13．1 14．a＜0 15．答案不唯一，如y=－x－2 16．y=2.95x+29.5 三、 2 k ∴=． （2）设A点的坐标为（x，0），则||2 2 x? =4，解得x=±4． 当A点为（4，0）时，一次函数为y=－1 2 x＋2；当A点为（－4，0）时，一次函数为 y=1 2 x＋2． ∴特征数为[－ 1 2 ，2] 或[ 1 2 ，2]． 20．解：（1）描点略； （2）设y=kx+b（k≠0），将x=400、y=32和x=500、y=31.4代入得 40032 50031.4 k b k b += ? ? += ? ，解得 0.006 34.4 k b =- ? ? = ? ．∴函数关系式为y=-0.006x+34.4 （3）将气温为19.4℃代入（2）中的关系式得-0.006x +34.4=19.4，解得x =2500． 21．解：（1）由题意，1x =时，1AP =，∴12y AM AP = 1 2112 =??=． （2）①当04x ≤≤时，点P 由A B →在AB 线段上运动，AP x =， 直线MP 扫过正方形所形成的图形为Rt MAP △，其面积为： 111 222 y AM AP x x = =??= ； ②当48x <≤时，点P 由B C →在BC 线段上运动，4BP x =-， 直线MP 扫过正方形所形成的图形为梯形MABP ，其面积为： []211 ()2(4)42422 y AM BP AB x x = +=+-?=- ； ③当812x <≤时，点P 由C D →在CD 线段上运动，12DP x =-．直线MP 扫过正方形所形成的图形为五边形MABCP ，其面积为： 22．解：（1）依题意有： )]100(110[208)70(1512)100(25102012x x x x y --??+-?+-?+?= ＝3920030+-x ，其中700≤≤x （2）上述一次函数中030<-=k ， ∴y 随x 的增大而减小. ∴当x ＝70吨时，总运 费最省，最省的总运费为：元）(37100392007030=+?-． 答：从甲库运往A 库70吨粮食，往B 库运送30吨粮食，从乙库运往B 库80吨粮食时，总运费最省为37100元．
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