⑴ 1+8=?
1+8+16=?
⑵ ⑶ 1+8+16+24=?
(3)
(2)
(1)C 3B 3
A 3A 2C 1
B 1A 1
C B A C 2
B 2B 2
C 2A B C 1B 1C 1A 2C 1B 11C B A … 中考数学规律探索型（几何类）问题解决2011、4、24
一、 规律明显 数数看看定有发现
1、如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n 幅图中共有 个。
2、观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+……+8n （n 是正
整数）的结果为 （ ）。
3、用正三角形、正四边形和正六四边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．则第n 个图案中正三角形的个数为 。
4、如图9，在锐角AOB 内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得
6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；……照此规律，画n 条不同射线，可得锐角 个．
5、在图（1）中，A 1、B 1、C 1分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，在图（2）中，A 2、B 2、C 2分别是△A 1B 1C 1的边B 1C 1、C 1 A 1、 A 1B 1的中点，…，按此规律，则第n 个图形中平行四边形的个数共有 个。
…
第一个图案
第二个图案
第三个图案
… … 第1幅 第2幅 第3幅 第n 幅
B
A C
D
A 1 A 2
A B
C A 1 A 2
A 3
B 1 B 2 B 3 6、如图，△AB
C 的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形A 1ABB 1的面积为3
4，再分别取A 1C 、B 1C 的中点A 2、B 2，A 2C 、B 2C 的中点A 3、B 3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出3 4＋3 42＋3 43＋…＋3
4
n ＝________．
7、在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某学生
在研究这一问题时，发现了如下的事实：
(1)当
11121+==AC AE 时，有122
32+==AD AO (如图1)； (2)当21131+==AC AE 时，有2
22
42+
==
AD AO
(如图2)；
图1 图2 图3 图4 (3)当
31141+==AC AE 时，有3
22
52+==AD AO (如图3)； 在图4中，当n
AC AE +=11
时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AD AO 的一般结
论，并给出证明(其中n 是正整数)。
说明：证明时按照几何的探究思路和方法。
二、 规律隐含 算算数量待发现
8、如图，在△ABC 中，∠A ＝α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； ……；∠A 2009BC 与∠A 2009CD 的平分线相交于点
A 2010，得∠A 2010，则∠A 2010＝ ．
9．如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P 1M 1N 1N 2面积为S 1，四边形P 2M 2N 2N 3的面积为S 2，……，四边形P n M n N n N n+1的面积记为S n ，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn = .
10、如图，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，A 2C 2，…，A n C n ，则A n C n ＝ 。
11、如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形 ACEF ，再以对角线AE
为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积1s 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为2s ，3s …
n s （n 为正整数），那么第8个正方形的面积
＝ .
12、如图，30AOB =?∠，过OA 上到点O 的距离为1，3，5，7，…的点作OA 的垂线，分别与OB 相交，得到图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为123S S S ，，，…．则2009S =
三、 坐标规律 数形贯穿 庞杂难发现
13、如图，P 1是反比例函数)0(＞k x k
y =
在第一象限图像上
的一点，点A 1 的坐标为(2，0)，若△P 1O A 1 、△P 2 A 1 A 2 △P n A n-1 A n 均为等边三角形，则A n 点的坐标是 ．
14、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0） 根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为 。
N 1
N 2
N 3
N 4
N 5
A B
A
B C
A A A A A C C C C C
（图
15、如图，在直角坐标系中，四边形ABCD
是正方形，A （1，-1）、B （-1，-1）、C （-1，1）、D （1， 1）.曲线AA 1A 2A 3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA 1、A 1A 2、A 2A 3…的圆心依次是点B 、C 、D 、A 循环，则点A 2010的坐标是 。
16、如图15，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……△P n A n －1A n 都是等腰直角三角形，点P 1、P 2、
P 3……P n 都在函数x
y 4
=
(x > 0)的图象上，斜边OA 1、A 1A 2、A 2A 3……A n －1A n 都在x 轴上。则点A n 的坐标是 。
17、如图7所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），……P n （x n ，y n ）在函数y=
x
9
（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……△P n A n －1A n
……都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2……A n-1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2+…y n = 。
18、如图11，若第一个正方形OABC 的顶点B ，第二个正方形ADEF 的顶点E ，都在函数
1y x
=
（
0x >）的图象上，则点E 的坐标是（ ， ）.
8．（2010 贵州贵阳）如图12，在直角坐标系中，已知点0M 的坐标为（1,0），将线段0OM 绕原点O 沿逆时针方向旋转45
，再将其延长到1M ，使得001OM M M ⊥，得到线段1OM ；
又将线段1OM 绕原点O 沿逆时针方向旋转45
，再将其延长到2M ，使得112OM M M ⊥，
得到线段2OM ，如此下去，得到线段3OM ，4OM ，…，n OM ． （1）写出点M 5的坐标；（4分）（2）求65OM M ?的周长；（4分）
（3）我们规定：把点)(n n n y x M ，（=n 0,1,2,3…）的横坐标n x ，纵坐标n y 都取绝对值后得到的新坐标()
n n y x ,称之为点n M 的“绝对坐标”．根据图中点n M 的分布规律，请你猜想点n M 的“绝对坐标”，并写出来．（4分）
图 15