开放性中学数学教学
（李贤军北京师范大学附中100052）
摘要：。针对传统的封闭式的教学而言，出现了开放性的教学模式。开放性数学
教学有利于培养学生的创造性人格和创造性思维。开放性数学教学的必要性和可行性。开放性数学教学所选择的内容和形式应遵循一定的原则。开放性数学教学的设计应是多方面的。开放性数学教学还有许多亟待解决问题。
ABSTRACT：How does mathematics teaching meet to the needs of
competence education ?This is one of the questions of most attention .Reforming era makes open approach teaching as the goal of mathematics education ,which needs deep reseach in both theory and practice .The article tells us something about open approach teaching based on his own teaching practice . Describe general theories by contrasting open approach teaching with tradition teaching . Give detailed description on open approach teaching through some substantial examples .The possibilities and feasibilkity of open-minded teaching ,the contents and organizational forms chosen ,the educational goal and management desigin are all mentioned Some other qestions are also given which are not fully discussed in this article.
关键词：开放性，创造性。
第一部分开放性数学教学的涵义
教育改革进行以来，以培养人的能力为核心的问题解决、数学建模等教学模式受到越来越多的数学教育工作者的重视。教师的教学观与学生的学习观都发生了很大的变化。教师不再是教学的“主角”而是“导演”，教师的作用是主导而不是主宰，学生不是知识的被动接受者，而是教学活动的中心和主体，学生的学习是一个“建构”的过程，是一个创造或再创造的过程。所有这些观念已成为共识，为人们普遍接受。但是，教育观念的转变并不等于教学实践也随之立即变化。
受到各种因素的制约，目前的数学教学模式并没有发生根本性的变化，主要存在以下几个方面的问题：数学问题的类型过于单一，问题的模仿性太大，教学模式过于单一。“精讲多练”受到许多老师、领导的欢迎。先讲概念、法则、定理，再做习题，而且重头戏在后头，注重题型的变化。前者只是象征性的一带而过，很少涉及概念的背景与形成过程。学生获得的只是一个概念、法则、定理的结论，然后就模仿老师做题。因而造成一个不太好的现象，公开课几乎清一色的解题教学，而概念课很少有人问津。
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在这种传统式的教学中形成了三个封闭式的怪圈。一个是教师自身的封闭圈。教师凭借已有的经验，总结了一套针对某个章节的教学程序，终生享用。二是学生的封闭系统。学生被迫进入老师为他们设计的封闭圈中，被动性的接受知识，模仿性的做题，没有任何歧义。三是封闭式的习题系统。教师精心选编、设计习题，学生没有选择的余地。而且，习题多是巩固当堂所学，方法唯一，条件结论也是固定不变。
开放性教学是相对封闭式的教学而言，是一种新的教学思想指导下的新的教学模式。教师不再主宰课堂，而是让学生充当主角。教师的注意力集中到创设情景,设计问题，为学生思考、探索、发现和创新提供最大的空间，不对学生预先设置任何框框。学生既有独立思考的个体活动，又有学生之间、师生之间的合作，讨论、交流的群体活动，在宽松、民主的教学环境中促进学生主体精神、创新意识和创新能力的健康
一．开放性数学教学及其教育功能
1．开放性数学教学
自70年代出现“开放性问题”以来，“数学开放题”与“数学开放教学方法（open-ended teaching approach）在国际数学教育界已成为热门话题”（可参阅[23]），开放性的数学教学模式也成为世界性的数学教学新趋势。但是，自第一届东亚会议提出数学教育的“全球化”，“开放化”，“信息化”以来，对开放性的数学教学至今也没有一个明确的定义。2000年７月1日至8月6日在东京召开第九届国际数学教育大会，日本学者桥本吉彦提出“开放式数学教学——思维开放，题目开放，过程开放”，这是对开放性教学的明确解释。结合众多关于开放题的研究探讨，本文认为开放性的数学教学应该包括以下几个方面：
（1）以开放性问题作为教学的切入点。
开放性数学教学是针对封闭式的教学而言的，问题又是数学的心脏，因此应该以开放性问题来启动开放性的数学教学。综合大家对开放题的研究，开放题是指问题结构的开放和解决问题策略的开放。问题结构的开放包括条件开放和结论开放。条件开放是指问题的条件可以不断变化，结论开放是指一个问题允许有多个结论或无固定结论。策略开放是指可以采取多种方法或途径去解决问题。更为重要的是，开放题本身也具有开放性，能够由这个问题引伸、变化出新的问题。
（2）开放的意识
教师和学生都应具有开放的意识。教师首先应该转变教育观念，把课堂的主体地位还给学生，充当学生的“导演”，放下师道尊严的架子，允许学生提出不同的意见；学生要敢于质疑，不盲从老师、书本，用自己的观点和方法来看待分析问题，发挥自己的主观能动性，真正参与到教学活动中来。
（3）。允许多向交流
包括学生之间的交流，师生之间的交流，学生与书本之间的交流。除了学生独立思考的个体活动之外，还需要学生之间的合作、讨论、交流的群体活动，教
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师对学生进行启发和引导，可以提出与书本不同的看法。
（4）。开放的评价方法
开放性数学教学重在问题的提出、探索、解惑的过程，而不是问题的结论。因此必须采用开放性的评价方式，使不同层次的学生都有所收获。
总之，开放性数学教学既是一种新型的教学模式，更是一种新的教学思想，使教学活动真正建立在学生自主活动和独立探索的基础上，为学生思考、探索、发现和创新提供最大的空间。
2．开放性数学教学的教育功能
（1）．开放性教学能真正体现建构观的教学思想
建构观认为学习不是消极被动地接受外界信息，而是一个积极主动的“建构”的过程。在学习过程中，学生不是去发现一个独立于他们之外的知识世界，而是重新组织自己的经验世界，去建构一个新的认知结构，学生需要投入全部思维和经验，组织起相应的原材料，去接受问题的挑战，自己提出问题，选择方法和探索经验，并进行表达、交流、修正，从而有效地建构起新的认知结构。由于学生个体的认知结构不同，从而决定了数学学习过程中思维方式以及学习结果也具有多样性和个体差异。
在开放性数学教学中，宽松、民主的课堂气氛有助于激励学生主动参与教学活动；开放性问题具有一定的挑战性，有较强的刺激因素，能形成强烈的认知冲突，诱发学生的学习兴趣和学习动力。开放性问题涉及的知识是学生已经具备的，但解题策略是非常规的，没有固定的模式可循，要求学生构建他们自己的思路与策略，而不是选择一个简单的答案。在解决问题过程中要求学生把原来的知识、技能重新组合，以形成解决目前问题的一种整体技能，或者对原来的技能进行修正以解决目前的问题。这样可提高学生的建构能力，形成良好的认知结构。在整个教学活动中侧重于解决问题的思路和策略，侧重于思考的过程而不是简单的答案，学生就能充分地展现自我，人人都得到不同程度的发展。
（2）．培养学生的非智力因素
开放性教学打破师道尊严，讲究师生平等，教师对学生的思维预先设置的限制减少了，符合中学生的自我意识的心理特征，便于学生充分发挥自己的个性，为学生提供了具有开放性和选择性的发展空间，有利于促进学生的兴趣、动机、情感、意志、性格等非智力因素的健康发展。
（3）．促进学生全面发展
当前素质教育的核心是以人为本的教育，要促进学生全面和谐的健康发展。开放性教学给学生提供了更多的数学交流的机会，不仅鼓励学生读书，写作业，而且让学生去听去讲，去倾听别人的想法，说出自己的想法，把自己的数学认识以动作、实物、口头语或书面语、儿童语言或数学符号化的形式表达出来，并进行交流。有利于促进学生思维、语言、个性全面发展。
二．以开放性数学教学实施创新教育
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1，素质教育是教育改革的核心。
数学教育改革的目的就是要提高全民族的数学素质，发展学生的思维能力，促进学生个性的和谐发展（可参阅[20]）。
素质，不同的人有不同的见解，往往把素质教育与应试教育相区分。认为素质教育不仅仅是让学生得高分，也不仅仅是记住一些概念、法则和定理，会解一些习题，而是要发展学生的进一步学习和工作的能力；不是教学生学会，而是教学生会学。96年，柳斌在《实施素质教育，深化教育改革》一文中指出：“素质教育就是落实全面发展的教育方针”（可参阅[24]）。什么是中学生应该具备的素质？我们的素质教育的目标是什么？也没有一个统一的规范的说法，只是仁者见仁，智者见智。有人认为高中教育要达到的素质目标是（可参阅[22]）；社会文化素质（包括政治思想观念，道德行为规范，文化科学知识，劳动技能，审美观念情趣），心理素质（包括抽象思维，形象思维，想象，创造，注意力，适应能力，交往，分析，解决问题的一般能力和特殊能力，科学精神，科学态度及其他），生理身体素质（包括体态、体型、体质）。
可见素质是一个全方位的概念，素质教育就是要促进学生人格的全面发展。不仅要让学生掌握知识，发展能力，还要培养学生的信念和习惯，发展学生的个性，形成伦理、道德、心智、身体的全面发展。99年6月，《中共中央国务院关于深化教育改革，全面推进素质教育的决定》指出：“实施素质教育就是全面贯彻党的教育方针，以提高国民素质为根本宗旨，以培养学生的创新精神和实践能力为重点，造就‘有理想，有道德，有文化，有纪律’的德智体美等全面发展的社会主义事业建设者和接班人”，“要面向现代化，面向世界，面向未来”，“坚持面向全体学生”，“要让学生感受、理解知识产生和发展过程；培养学生的科学精神和创新思维习惯，重视培养学生收集、处理信息的能力，获取知识的能力，分析问题和解决问题的能力，语言文字表达能力以及团结协作和社会活动的能力。”
虽然课外活动、文体活动和社会实践等是学生长知识、增才干.提高素质的好形式，但是素质教育的主渠道仍然是学科的教学，是课堂教学。这是因为对中学生的教育中，课堂教学占据了时间空间的主要地位。一般说来，课外活动和社会实践有利于培养学生某些方面的素质，但是有极大的随意性和偶然性，缺乏系统性。学科教学是在教师的指导下有计划、有步骤、有组织地实施的教育活动，不仅培养了学生的科学文化素质，而且还能提高学生的思想政治素质，促进心理健康，全面引导社会道德、家庭、伦理的健康发展。
数学教育就是要培养学生的“数学素质”，“数学素质是一个包括数学知识、数学方法、数学思想和数学能力、数学意识、科学精神、科学价值观以及使用计算机的技能和能力”（可参阅[22]）。
2．创新是素质教育的关键
在当今时代，知识的更替速度明显加快，知识转化为生产力的周期也越来越短，在信息技术的某些领域，知识的投入产出基本上是现在进行时。今天的高新技术明天也许就会被淘汰。掌握知识的多少已不再是衡量人才的唯一标准，重要
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的是要看是否具有迅速学习、掌握知识的本领和创新的能力。一个国家拥有创新人才的多少和质量，将决定其经济发展速度的快慢，也决定其科技进步的大小。
创新教育是以培养人的创新精神和创新能力为基本价值取向的教育，其核心是如何培养中小学生的创新意识、创新精神和创新能力。中小学生的“创新”是指他们作为一个独立的个体，能善于发现和认识有意义的新知识、新事物、新方法，掌握其中蕴涵的基本规律，并具备相应的能力。这是一个系统工程，不同的教育阶段应有不同的侧重点。小学初中教育阶段应侧重于“好奇心”、“求知欲”、“认识的独立性”、“自由思考”、“怀疑态度”等“创新素质”的培养。高中教育阶段应侧重于“创新方法和技术的培养与训练”。高等教育阶段应侧重于“创新能力和创新精神”的培养。把培养创造性人格贯穿于整个教育的始终。为此，必须推行一种重视人的主体性，弘扬人的主体精神的以人的发展为本的教育模式。学生的创新能力虽然有一定先天的成份，但主要是后天培养的，而且是通过知识、方法、技巧策略的传授，以及在解决问题的过程中得以培养和训练的。
课堂教学是中学教学的主要组成部分。因此，创新教育也离不开课堂教学。课堂教学是创新教育的主战场。在课堂的学科教学中，通过知识的传授，培养学生的创新意识和创造性的思维。只有有了创新的意识，才会积极主动地、有意识地进行创新活动。个人的创造性一般与个体的智力、个性以及知识有关。因此创新教育也该从提高个体的智力，培养个体的个性以及增加个体的知识入手。课堂教学的中心任务是发展学生的智力，培养学生的创造性思维习惯，以“为创造性而教”为宗旨。
创造性思维是可以培养的。对创造性的本质，心理学各派有自己的看法，对影响创造性思维的因素也做了大量的研究。研究表明（可参阅[1]），中等智力的人可能较有创造性；储存的信息越多，创造性思维的可能性就越大；中等强度的动机有利于创造性的发挥；有创造性的人自信、自重与胸襟开阔，有见识，有洞察力，好独立判断，善于吸收经验教训，言语流利，兴趣广泛，勇于进取。众多教育家和心理学家经过长期研究和大量的实验，提出了许多培养创造性思维的策略。吉尔福特(P.GUIFORD)的拓宽问题，分析问题，常打问号，快速联想与中止判断，延长努力，列举属性，形成联系，尝试灵感的前后有序的策略。弗里德里森（Frederidksen）（可参阅[1]）的酝酿，中止判断，适当气氛，分析，思维技能，反馈的教学策略。托兰斯(E.P..Torrance)总结了一套鼓励创造性思维的原则：①尊重与众不同的疑问，②尊重与众不同的观念，③向学生证明他们的观念是有价值的，④给予不计其数的学习机会，⑤使评价与前因后果联系起来。（可参阅[5]）
由此可见，他们的观念和方法虽然有所不同，但却有许多相同之处。尽管对训练创造性的可能性的问题存在一些分歧，但一致认为学校教育是可以有目的、有计划地培养与发展学生的各种创造性能力、特性或品质。在实际课堂教学中应“激发学生独立思考和创新的意识，让学生感受理解知识产生和发展的过程”，“培养学生的科学精神和创新思维习惯，重视培养学生收集处理信息的能力，获
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取知识的能力，分析和解决问题的能力，语言文字表达能力以及团结协作和社会活动的能力”（可参阅[14]）。改革教师讲学生听的传统授课方式，创设宽松民主的课堂气氛，能容忍学生的不同见解，甚至要包容“唱反调”的学生，接受并鼓励学生的发散思维，鼓励他们用不同寻常的方法解决问题，鼓励他们相信自己的判断，用自己的语言和思维方式来表述问题，经常采用班组讨论的方式来解决问题，不把考试的分数作为唯一评价学生学习的标准，重视平时的学习过程。这些措施都有利于培养学生的创新意识、创新精神与创新能力。
2．开放性教学是实施创新教育的首选模式
数学教学中的创新具有层次性，可分为“信息、表达、概念（形成概念，并合适地运用概念）、猜想、变式（有意识地向一个方向变化，使问题得以转化）、证明、推广、应用、反思、意识存在。”张奠宙教授曾给出了数学创新的几种教学模式：开放性教学方式；建构主义指导下的教学；活动式教学；把问题解决作为课堂教学的常用环节；探究专题的教学方式；实行少量“发现式”的问题解决教学；改变某些公开课的“八股式”趋向，以创新为重要导向。（可参阅[20]）。把开放性教学作为创新教学的首要模式。本文不把开放性教学作为一种教学模式来研究，而是探讨开放性教学的理论与实践。
（1）开放性教学给学生提供了一个创新的环境
教师的教学观开放，学生会成为课堂的主角，课堂不再是教师的一言堂。消除了教师思维对学生的限制，给学生提供了进行思考并应用他们自己的数学观念表达的机会，允许学生提出不同的见解，听任学生各种思维各种方法自由发展，更不对其数学化的过程预设任何圈套。在这样一个宽松，民主的气氛中，学生的创造性必将得以充分发挥。
（2）培养学生的多种思维品质
在开放性教学中，常常提出一些开放性的问题，这些问题往往没有固定的唯一的答案，解题策略也是非常规的，没有固定模式可循，具有一定挑战性和多样性，学生在探索多种结果和解题策略的过程中，培养了思维的广阔性；所提出的开放性问题大多有进一步引伸、拓广的可能性，学生在探索出一些结论之后，还须进一步进行推理演算和深层分析，发现更隐含的结论，发现更一般的、内在的规律。这样一来，学生思维的深刻性就得到了发展。在解决问题的过程中，独立思考和相互讨论，培养了思维的灵活性和批判性。可见开放性的问题有助于培养学生良好的思维品质。
（3）能利用“脑激励法（Brain stroming）”鼓励学生创造
“脑激励法”又称思潮冲击法或大脑风暴法，就是对各种想法不做评价，只有当所有可能性建议都已提完，才开始对这些想法进行评价、讨论和批评。（可参阅[1]）。运用这种方法，不会扼杀看起来似乎荒谬而又真正体现创造性的想法。
在开放性教学中，教师不对学生的思维预设任何框框，学生可以从不同的角度，以不同的方式进行思考、表达，畅所欲言。不仅有独立思考的个体活动，还需要学生之间的合作、讨论、交流的群体活动。每个学生通过听觉，视觉，触觉
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等方式来接受他人的想法；同时又将自己的数学认识，解题策略以动作的、直观的、口头的或书面的语言或数学语言符号化的形式表达出来。学生之间相互启迪，就能寻求好的解题方法，甚至于创造性地解决问题。另外，在相互讨论之中，还会产生心理上的“社会促进（Social facilition）”现象，激励学生积极发言，积极思考。
（4）作出有利于学生创新的评价
在开放性的教学中，首先由教师提出问题或引导学生发现问题，然后让学生主动地去解决问题。学生的思维由问题开始到问题的深化，始终处于积极主动的状态。它强调问题的解决过程，侧重于学生解决问题的思路和策略，侧重于思考的过程而不是简单的答案，使人人都能参与到问题解决的过程中，充分发挥个人的聪明才智，使每个人都能获得各种不同水平的解答。
第二部分开放性数学教学的实践
一．实行开放性数学教学的必要性
1．社会现实的需要
当今社会是一个开放性的社会。通讯技术的飞速发展，使“世界正成为一个巨大的信息交流场”（可参阅[11]），世界经济逐步趋向一体化，跨国经营日益增多，人们不再终生从事一种职业，需要不断变化工作方式。我们今天知道的东西，也许到明天就会过时，学习并不随获得最后一张文凭而中止，“学习即生活”。学校也进一步向社会开放，学历教育、非学历教育、继续教育、职业技术教育同时并存。家庭电脑的普及和网络化发展使家庭教育、学校教育和社会教育的联系更加紧密，形成一个网络化的教育体系和开放式的教育环境。今天的时代是一个“终生学习的时代”（可参阅[11]）。要求学校的教育必须培养勇于进取、善于创造的开拓型人才，要培养有独立学习能力，能主动吸收新信息的外向型人才。社会发展还提出了一些诸如人口、经济、环境等问题，也期待教育来解决。教育不再仅仅传授知识技能，更要培养能承担社会责任和义务的人，还要促进经济繁荣，提高综合国力，增强竞争力。
“数字化”的概念已经渗透到政治、军事、生活等社会的各个方面，投资和公众政策讨论中广泛使用图表、统计数字，经济活动中的成本、利润、投入、产出、贷款、效益、股份、市场预测、风险评估等都与数学密切相关，对绝大多数学生来说，都需要数学能力为普通职业做准备。
当然，未来的数学不再是传统意义上的传授知识和做习题，而是以激励学生的学习为特征，发展学生的数学能力，为学生提供今天和将来所需要的课程，帮助他们树立进一步学习的信心，掌握一套独自、快速获取知识、信息的科学方法，培养他们勇于探索，勇于创新的意识和能力，以面向未来为宗旨，着眼于人的可
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持续发展。
时代的开放性迫切需要改变封闭式的教学，建立新的开放性的教学模式。国际数学教育委员会（ICMI）的一个文件也指出：“也许在数学课堂更多地进行没有固定答案的研讨的趋势，将会使更多的学生首次体验到科学女皇赋予该学科的美感”。（可参阅[16]）
2.数学教育改革的需要
由于我们教育的实际情况，目前的高考制度虽然存在一些人所共知的弊端，但是它仍然是现在行之有效的选拔人才的方式，是中学教学的最终评价手段，对我们的教学有极强的导向作用。自1998年的高考题首次出现开放性试题以来，开放性试题的趋势有增无减。
1999年全国高考理科试题的（18）“α，β是两个不同的平面，m、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断（1）m⊥n,（2）α⊥β(3)n⊥β(4)m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题。”这是一道条件、结论均开放的开放性试题，要求考生自己去探索，也没有现成的公式可套。答案是m⊥α,n⊥β,α⊥β=>m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β=>α⊥β。受此影响，开放题就成了中学数学教育界普遍关注的焦点。许多教师已开始大量研究了开放题的编制方法，解答开放题的一些策略、方法以及开放题的教育价值。然而，仅仅掌握一些解答开放题的方法、策略，没有开放的意识和开放的思想，只能就题论题，只能解答比较简单、熟练的“开放题”。要真正适应教育改革的需要，只能进行开放性教学，以开放性的数学题作为切入点，概念、定理、公式讲授的全过程都应进行开放式的教学，真正做到“思维开放，题目开放，过程开放”。
3．教育学原理的启示
近年来，中学数学教学不断出现新的教学方法、教学模式，但是都没有离开学生的主体参与与教师的主导作用这一根本宗旨。现代教育理论认为，教学不是要学生学，而是促使学生要学；不是教学生学会而是教学生会学。要让学生积极主动地参与教学的全过程。知识只是在与认知的主体在建构活动中的行为相冲突或相顺应时才被建构起来。在教学中促使学生全部投入思维与经验，去接受新问题的挑战。开放性数学教学说到底是一种数学活动，能真正体现学生的主体参与，教师充当活动的设计者、组织者、指导者和评价者。
以布鲁纳和奥苏贝尔为代表的现代认知心理学家认为，学习是认知结构的组织和重新组织，学习变化的实质是有内在逻辑性结构的教材与学生原有认知结构相关联，新旧知识相互作用，新材料在学习者头脑中获得新的意义。布鲁纳提倡发现学习，奥苏贝尔的认知结构同化理论强调接受学习。虽然二者有所不同，但是都强调学生的内部的认知过程。认知主义发展到建构主义，强调学习的主动性、社会性和情景性，提出了随机通达教学，自上而下的教学及知识结构的网络概念、情景教学([1])。尽管这些理论和教学方法还有许多争议，但却给我们的教学带来了一些新的启示，不能搞数学结论的教学，而应进行数学过程教学。
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4．数学学科自身的需要
众多科学家在谈到数学的本质时，都觉得数学不只是枯燥的定理、公式、法则的计算与证明，还包括合情推理，不应是一幅古板生硬的面孔，而应使人感到幸福。“和把数学看作一门学科相比，我几乎更喜欢把它看作一门艺术”，“数学不但给了人类利用自然的技术工具，不仅提供了一个伟大的无与伦比的智慧与享受的宝库，而且它还使人类对其自身及其命运充满信心，给人类以希望，鼓励其进一步斗争，争取更好的、更高尚的和更加美的生活”（可参阅[19]）。许多数学家并不把数学看作一成不变的东西，而主张数学的本质是发展变化的，“我们必须留心数学明天会是什么，以及对它的今日有什么不满足之处”（可参阅[19]）。随时间的推移，对数学也有了一些新的认识，“数学是模式的科学”，“数学是关于客观世界的数学化过程”，“数学是一种交流形式，它是自然语言的补充”。（可参阅[18]）日本数学家和数学教育家米山国藏说：“学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会之后，几乎没有什么机会应用。因而这种作为知识的数学，通常在出校门不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想文化，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用”（可参阅[18]）。数学教育不应局限于知识的传授，而是数学精神和数学方法的教育。2000年教育部制定的《高中数学新大纲》中提出了高中数学教育的目的是培养学生“会数学地提出，分析和解决带有实际意义的或在相关学科，生产和日常生活的数学问题；会使用数学语言表达问题，进行交流，形成用数学的意识”。1989年全美数学教师协会发表的《中小学数学课程与评估标准》提出了培养“有数学素养”的人，并提出了“有数学素养”的五项条件：①“懂得数学的价值”，②“有解决数学课题的能力”，③“对自己的数学能力有信心”，④“学会数学交流”，⑤“学会数学的思想方法”。（可参阅[17]）
由此可见，虽然使用的语言略有不同，但是世界各国都强调数学思想方法的教育，数学教学不应以传授数学的结果为目的，而应让学生参与“发现，创造，犯错误，丢弃和继承”的数学化过程，逐步培养学生应用数学解决带有实际意义的数学问题的意识和能力。要实现这些目标，开放性教学有独到的优越性。开放性的课堂为学生提供了一个发展自我思维能力的空间；开放性的教学方法提供了发现数学，创造数学的机会；开放性的应用问题培养了学生应用数学的意识和能力。
二．开放性数学教学的可能性
首先，除了上面谈到的高考新趋势，试题内容和形式逐步开放，不局限于书本的内容，注重学科之间的联系，联系社会生产和生活实际的开放性应用题也日益增多，要求我们的教学将封闭的书本知识拓宽到书本外，增强学生的应用意识和应用能力，使学生成为学习的开放者。另外，“３＋x”的高考方案已在许多省市试点,将逐步推广到全国。实行这种“开放性考试”，“x”在数量上可以变化；从科目来看,可以是除语数外以外的任何一门学科，或者是它们的综合，这样就给学生,
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学校留下了自由选择的空间(可参阅[24]).
其次，积累了开放性教学的一些经验。随着教育改革的逐步深入，广大教育工作者从理论和实践两方面进行教学模式、方法的探索。从报纸、新闻中可以获悉,国内的一些高校已经在尝试开放性的教学模式，并出台了一些相应的规章制度。我国的整个教育系统正逐步转化为一个开放性的系统。在中小学教学中,开放题教学的研究已进行了许多年,在开放题的编制方法、特点和功能、分类等方面取
得了一些共识，“开放题一数学教学的新模式”被列入全国教育科学“九五”规划重点课题（可参阅[26]）。既给我们实施开放性的数学教学提供了经验和思路，其中的一些具体案例也解决了开放性问题的实际需要。
再次，学生的认知水平也为开放性教学提供了可能。中学生特别是高中生已具有了较高水平的思维能力，他们能够理性地思考一些问题和现象，寻求事物的本质和规律，人与人之间的交往合作的能力也有很大提高，人格、个性开始走向独立，不再唯命是从，表现出自我认识、自我体验、自我控制、自我管理等心理特征。如果把学生进行封闭管理，硬塞给他们知识，不但扼杀了他们的自我创造空间，还会使他们反感。为此必须进行开放性教学，给学生提供自我学习、自我表现、自我创新的机会。
三．开放性数学教学内容选择的依据和原则
数学课程的内容是指学习过程中接触的具体事实、具体思想、具体原则、具体问题等（可参阅[2]）。所选择的内容应该有助于完成教学目标。总的说来，“数学教学是思维活动为核心的教学”，开放性教学中所选择的内容，必须是思维活动具有极大的开放性，让学生能从不同的角度，以不同的方式来思考问题，培养学生的创造力。选择的教学内容要考虑到学生的实际情况。既要考虑学生的年龄特征，又要适合学生的心理、认知水平；还要为学生所熟悉而且感兴趣，是学生所愿意研究的，通过学生的现有知识能够解决的可行问题。初中生的认知水平比较低，通常对感性的、直观的、具体的内容比较感兴趣，可选择一些动手操作，趣味性强的东西，以培养学生学习数学的兴趣，培养他们的探索精神和创新意识。高中生的认知水平相对比较高，对理性抽象的东西比较感兴趣，能够认识事物的本质，所选择的内容应注重科学性和思想性，问题的解答要有层次性，有进一步引伸拓广的可能，以培养学生的元认知能力,提高学生的“建构”能力，并形成良好的认知结构，以发展学生的创造能力为主要目标。总的说来，开放性数学教学的内容的选择应该遵循以下原则：
1．开放性原则
所选择的教学内容能创设一种开放性的问题情景，具有较强的刺激因素，所涉及的解题策略要具有多样性和较高的方法论价值。学生可以从不同的角度，运用不同的方法来理解、解答问题。通过问题的解决，体验到探索与发现的乐趣，领悟到数学的真缔；问题的结果也应具有多样性，问题本身要具有普遍性，有进
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一步引伸拓广的可能，使学生在解决问题的过程中，发现更一般的内在的规律。
2．科学性原则
数学的特征，第一是它的抽象性，第二是它的精确性，或者说逻辑严密性，以及结论的精确性，第三是应用的广泛性。所选择的内容应避免盲目性和随意性，开放性不等于随意，所选择的教学内容也应具有时代性和正面教育的积极作用。解答问题的方法应具有科学性。虽然结论是多种多样的，但是一定要从开放性中找出确定性来，不能给学生一个模棱两可的感觉。
3．循序渐进的原则
开放性教学并不完全排斥传统封闭式教学，而是针对封闭式教学的缺陷与不足的一种补充。这两种教学形式是相互补充，缺一不可的。在实际教学中，开放性教学应适当穿插在教学中，不宜集中训练。同时开放性教学所涉及的知识、问题情景应是多方面的，有些是学生不熟悉或根本不知道的，解决问题的策略也多种多样，具有极大的综合性，所以也应该从某个知识的开放性教学到整节课的开放性教学，由小的，局部的开放到大的、全面的开放，而不应该一步到位。我们可以就某个概念的引出、产生的教学进行开放，也可以就某个定理法则的形成进行开放性教学，也可以进行开放题教学。
4．综合评价原则
教师对学生的评价必将影响学生的学习活动和教师的教学活动。对学生的评价不应仅仅评价学习的结果，而应是学习过程的评价；不仅仅是对学生学习活动评价，也是对教师教学活动的评价；应全面考核学生的学习效果，全面考核学生的知识、技能、技巧、一般智力和特殊能力；同时兼用传统题与现代化试题，兼有论述题，选择题，填空题，判断题等，也兼用口试、笔试、操作考试；把绝对评分与相对评分结合起来。总的说来，要将学习的结果与学习活动的过程结合起来，既评价学生的现有学习水平，又评价学生进一步学习潜力；不但评价学生的智力，还要评价学生的性格和个性。
开放性教学的目的是为了弥补传统教学的不足，所选择的内容不能脱离学生已有的知识基础，不能脱离教材、大纲另起炉灶，而应遵循大纲，与课本相协调。教材上的内容是经过长期实践总结出来的精华，我们不能随意舍弃。教师应深入钻研大纲与教材，精心设计教学程序，将封闭的概念、公式、法则进行逐层分解,设计出一些开放性问题让学生来探索。对课本中的一些习题，可变换问题形式,改变或增减题目的条件，探求新的结论。但是，并不是说开放性教学的内容都必须来源于课本。在学生已有知识的基础上,，学生能够理解的范围内，可以适当拓宽和发展。人们普遍关注的与人民生活息息相关的一些问题，诸如银行利息、股票、贷款买房、环保、信息等一些具有时代气息的话题，都可以以适当的形式引入到开放性教学中，但不一定提供给学生真正符合实际的情景，这是不可能也没有这个必要。应用数学不是一定叫学生把数学直接运用于现实，而是培养学生的应用意识，使学生感受数学与现实世界相联系，并在一定意义下，使所学的数学合理化.。另外，可注意学科之间相互渗透，其他学科中的一些新概念、新的提法、
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新的动机也可以引入到数学教学中来。
四.开放性数学教学的组织形式.
开放性数学教学的组织形式与其内容是一致的，是服务于教学目标的。开放性数学教学与其说是一种教学形式，倒不如说是一种教学思想。可以以发现法、问题解决、数学建模甚至是教师讲授的形式展现出来。它的宗旨是要有一定的开放性，减少预先给学生设置的种种限制，尽可能地提供给学生足够大的自主活动和探索的空间。无论采取什么样的具体形式，必须遵循以下几条原则:
1.过程性原则.
开放性数学教学重在问题发生、解惑的过程，而不是一个简单的答案。在开放性教学中，教师不预先对某一事物作出判断，不直接定义概念，更不直接给出某一问题的解法，需要学生运用自己已有的知识和经验去理解问题，不断修正自己的策略；还需要学生之间相互讨论，交流达成共识。在此过程中，认清事物的本质，发展自己理解和运用数学方法的能力。
2.主体性原则.
开放性数学教学从本质上说是一种数学活动。教师的注意力集中在设计问题情景,启发和引导学生建构；学生是课堂的主角，在教师的指导和帮助下，积极主动参与数学活动，以他们自己的方式来理解问题并解决问题，学生的主体性得到充分发挥，学生选择自己的学习方式，对学习活动进行自我支配，自我调节和自我控制，有利于对知识进行再创造。
3.合作性原则.
在开放性数学教学中，没有教师的权威性结论作为参考，学生就会仁者见仁,智者见智，在理解和表达方式上就有可能出现偏差或不足，需要学生与学生、教师与学生之间彼此合作来去粗取精、去伪存真；许多开放性问题的解题策略和结果都是开放的，一个人很难穷尽所有的答案和解题策略，缺乏现成可套用的解题模式，需要学生创造性地解决问题。因此,除了个人的独立思考和积极探索以外,还必需有学生之间,师生之间的群体活动。
实施开放性教学，首先必须提高学生的兴趣和求知欲，吸引学生积极主动参与，教师启发引导学生，并调控学生的学习活动。本文给出以下几种具体教学形式，仅供大家参考。
(1).布置开放性应用问题的作业.
现实世界的许多问题大多数是开放的,不仅解题策略需要探索,就是问题本身的结论也是多种多样的,问题的已知条件并不是显然和完备的,需要人们去发现或假定;甚至问题不一定有答案。可以给学生留一些开放性应用问题的作业,不必限制时间,也不必要求个人独立完成,允许请教别人或查阅资料。例如在进行完初一列方程解应用题的教学之后,可以让学生利用假期到工厂、商场、银行、彩票发售地去调查了解有关成本、利率、物价、打折等经济活动的意义,并编拟出应用题或写出相应的调查报告、小论文。这样，一方面培养学生开放意识,领悟问题的本质,另一
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方面把解决问题的方法与数学联系起来,培养学生应用数学的意识。
（2）.让学生来主讲
在学完某一章或某一个内容之后，可以专题研究的形式让学生来主讲。可在课前指定或由学生自荐，也可以学习小组合作准备，推举一名代表来主讲；还可以让每一个学生准备，逐个讲解，后面的学生纠正前面同学的错误或补充内容。例如,高一学生学完“幂函数，指数函数，对数函数”这一章后，可以让学生来主讲一节复习课,要求复习函数的概念、性质和图象，并配备相应的例题习题。当然，为了使课上更精彩一些,教师可以在课前帮助学生准备。
(3).问题解决的形式
对问题有不同的解释,其中美国学者纽欧尔（Newell&.Siomn）认为：问题是这样一种情景，个体想做某件事，但不能马上知道做这件事所需采取的一系列活动。可见，问题强调一种情景，能激发个体想要做某件事，但又不是靠熟练模仿就能完成的，需要进一步探索。“问题—解决”是学生无法把已知命题直接转换到新情景中去，必须通过一些策略，使一系列转换前后有序。（以上可参阅[1]）在实际教学中，首先创设一种问题情景，“启其心扉”，使学生处在“心求通而未得，口欲言而不能”的境界，然后启发学生回忆、联想，从已经掌握的知识或经验积累中，寻找可借鉴的方法或思路来进行尝试，使问题得以顺利解决，例如，利用轴对称解决最短距离的问题时，可设计下面三个问题：
问题1 点A,B在直线l两侧，在直线l上求一点C，使AC+BC最短？
问题2 点A,B在直线l的同侧，在直线l上求一点C，使AC+BC最段？
问题3 如图，当C点在∠AOB内，在上OA,OB分别求一点E,F，使CE+EF+CF最段？ A
. C
O
B
这三个问题逐步深入其中问题2，3的解决分别要受前一个问题的启示，借用前面的方法，问题1的答案显然，问题2也不太难，而且课本上有答案，问题3就需要学生独立探索、尝试。
(4)发现法的形式。
布鲁纳提倡发现学习，“发现并不限于寻求人类尚未知晓的事物。确切地说，它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切方法”（可参阅[6]）
在实际教学中，教师提出课题和提供一定的材料，引导学生自己分析、综合、抽象、概括得出原理。更为重要的是发展一种态度，即探索新情景的态度，作出假设、推测关系、应用自己的能力，以解决新问题或发现新事物的态度。
开放性教学的核心是具有开放性，不是指某一具体教学形式，也不仅仅限于课堂教学，应贯穿于课前、课上和课后。施良方在《智育》（[15]）一书中给出了
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利用开放性来促进学生成熟的一些策略，现摘录部分，供大家参考：
1.通过类比把熟悉的事物变成陌生的，把陌生的事物变成熟悉的。
2.要求利用有限的信息来推测结果。
3.鼓励进一步超越已知的东西。
4.鼓励创造性和建设性，不要嘲笑和限制。
5.探索缺失的成分和几种可能性，使之系统而周到。
6.保留开放性的结尾。
7.鼓励把事物、地点或任务形象化。8．仔细玩味歧义的或不明确的问题。9.鼓励突破表面，深入探索。10.通过制图，绘画，编故事，编戏剧等来阐明某一原理。11.鼓励寻求一些较佳的解决问题的方法（即尽可能考虑到更多的解决方法）。12.鼓励设计未来。6.鼓励做多样的假设。13.要对信息重新组织或重新概念化。14.鼓励对不同类型的以及从表面看来不相关的因素进行综合评价。
五．开放性数学教学的设计
开放性教学没有固定不变的环节，具有一定的不确定性，教师在设计开放性教学时，既要设计教师的活动，还要设计学生的活动，还要设计知识、技能、认知、情感等方面的教学目标。
１．教师活动的设计
（1）．教师应具有开放的意识
在数学教育“全球化，开放化，信息化”的时代，作为数学教育的执行者----数学教师，首先应是一个开放性的教师，要具有开放的意识。要转变教学观念，要改变那种教师给出条件学生求解结论的刺激反应式的教学方式，要创设一种伙伴式的师生关系，与学生共同经历教学的全过程，真正让学生登台亮相，教师对学生的活动起启发、引导、组织、调控和评判的作用，并设身处地地想象学生的思想和情感，尽可能地给予学生最清晰最敏锐的指导。放下师道尊严，听任学生的各种思维，各种方法自由发展，听取并接纳反对意见，不对学生数学化的过程预先设置任何框框，给学生一个充分展示自己的机会。当然，为了达到好的教学效果，教师在课前认真备好学生，尽可能多地猜测出学生的想法，以备即时之需，偶尔遇到意料之外的问题与想法，一时解决不了，也可坦诚相告，对其创造性大加赞赏，并邀请学生共同解决。
教师应具有不断进取的精神。什么样的老师教出什么样的学生。开放性教学并不是放任自流的放羊式的教学，而是为了培养学生的探索精神，提高学生的高层次思维能力，培养他们的创造精神和创造能力。不仅要求教师具有较强的调控组织能力和高超的教学艺术，还要求教师具有更加精深和广博的知识。安于现状，不思进取的教师不仅培养不出创造性的学生，而且也搞不好开放性教学。教师除了要不断更新自己的教学方法之外，还要不断学习来充实自己。不仅要学习与本行业有关的东西，还要学习本行业之外的知识，学习一些电脑、外语、法律甚至车本等，随时关注学生中的时尚话题。
（2）．教学方法的开放性
教师应树立积极探索创新的精神，不能一本教案，一个讲法终生享用，更不
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应该照本宣科，应对旧有的知识不断挖掘，重新体会教材内容结构，自觉接受教学思想的更新与教学方法的改革等。以开拓进取的观念抛弃那种封闭的，因循守旧的思维模式，善于吸收、分辨和运用新的信息，较快地认识和接受新的教学理论和方法，在实践中不断探索和总结教学规律。
例如，对初一代数中的“同类项”这个概念，一般采用启发式的方法,给出一个类似于7a2b-5a2b+8a2b+7a2b的多项式，然后让学生观察这个多项式各项具有什么特点，从而归纳出“同类项”的概念。这种给出几个同类项，让学生归纳它们的系数，字母，字母的指数的特点的教学方法在一定程度上限制了学生的思维。我尝试了开放性引入的方法，让学生在分类中学习“同类项”的概念，下面是本人教学实例中的一段：
T：请把多项式7a2b+6ab2-8a2bc-5ba2中的四项分成两类，并简要说明你的理由。
S1：7a2b,6ab2,-5ba2为一类，-8a2bc单独为一类。按字母不同分类。
T：还有其它分类的方法吗？（暂停）既然没有，就请将第一类再细分成两类。
S2：7a2b、6ab2为同一类，-5ba2为另一类。按字母顺序不同分类。
S3：7a2b、-5ba2为同一类，6ab2为另一类。7a2b、-5ba2除了数字不同以外，其余的均相同。
T：请把你说的“数字”，“其余的均相同”作进一步解释。
S3：不对，应叫“系数”，“其余的均相同”是指字母和系数都相同。
S4：我认为“其余的均相同”的准确意思是相同字母的指数也相同。
T：以上两位同学的分类你赞成谁的？
S4：我赞成s2的分类法。比较好判断。
S5：我赞成s3的分类法。根据乘法交换律，-5ba2就等于-5a2b。单项式中的字母的顺序可以交换，而不能交换指数的位置把6ab2写成6a2b。
T：我也赞成s3同学的分类，因为除了系数不同以外，所含字母与相同字母的指数均相同，而这个多项式中其余任何两项都不具有这种特殊关系，具有这种特殊关系的项就叫“同类项”。
再举一个例子，初一《几何》（北京市实验教材）“1.23线段”一节，一般直接给出线段的定义，或启发学生仿照射线的定义给线段下定义，前者抹杀了运用已知定义未知的思想方法，后者不够深入。在教学中，我让学生运用已经学过的直线或射线来定义线段。学生除了得出书中的定义“直线上的两点与两点之间的部分叫做线段”。还得出了利用射线的端点与射线上的一点来定义线段，如图⑴。还有同学利用射线的端点与射线外一点来定义线段，如图⑵。然后再引导学生比较三种定义的优劣，得出一致意见，最后一种定义太繁琐，而且包含于第一种定义之中，不可取；前两种定义差不多。
A
O A O
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(1) (2)
（3）．教师的点评
在开放性教学中教师不仅要组织、促进、调节学生的活动，还要参与到学生的活动中去，及时解决学生的疑难问题，最后还要对典型问题进行集中点评。在开放性教学中，缺少了老师权威性的结论，学生就会产生各种不同的答案和解法。如果没有教师的集中点评，学生就会获得一个模棱两可的结论，甚至是一个错误的或不科学的东西。如上面的第二个例子，教师最后应说明，虽然前两种定义都对，但是第一种定义与课本一致，所以我们应该使用第一种定义。当然，在集中点评时，除了肯定正确的结果和方法，纠正错误的方法以外，还要比较各种策略方法的优劣。不仅让学生获得一个确定性的答案，而且获得比较好的解决方法。有时侯，还可留有余地，给学生留下进一步探索的空间，并尽量延伸课题，鼓励学生进一步超越已知的东西。
２．学生活动的设计
为了设计好学生的活动，就必须真正了解学生。要了解学生现有的知识背景和思维水平，还要了解学生个体之间的智力、个性差异以及他们之间的伙伴关系，这样就便于搭配学生，并及时帮助困难的学生解决疑难问题。
另外，教师还要根据课的具体内容，选择一种或多种学生活动的方式。一些理解性的内容，可以让学生观察、思考、讨论后口答，学生自由发言，相互补充修正；对一些比较直观的内容，可以让学生来动手操作体会之后，再要求学生用数学语言来描述。例如，讲授二面角时，为了让学生体会二面角的形状、大小，可以让学生动手折纸，折出尽可能多的二面角，并让学生自己估计自己所折二面角的大小，思考如何来定义二面角的平面角。对一些智力综合性较强的内容，可先让学生独立探索，然后小组讨论，最后各组推选一名代表在全班汇报讲解。另外，对一些大型调查之类的活动，可留给学生课后或假期完成。
３．教学目标的设计
“教学目标是教育者在教育教学的过程中，在完成某一阶段（如一节课，一个单元或一个学期）工作时，希望受教育者达到的要求或产生的变化结果”，包括“学生在认知、情感、行为和身体诸方面需要达到的具体目标”。1996年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲（供实验用）》提出，“数学教学是以数学思维活动为核心的教学”，“要揭示获取知识的思维过程，要让学生积极参与教学活动”，要求学生“会提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科、生产和日常生活中的数学问题；会使用数学语言表达问题，进行交流，形成应用数学的意识”。这是中学数学总的教学目标，每节课都应在这个大的前提下设置小的、具体的教学目标。
课程内容、大纲、社会发展与学生的发展水平等各方面都影响到教学目标的确定。开放性的教学应设置综合的不同层次的教学目标。既要设置具体的可供观察的行为技能与认知技能目标，又要设置促进学生认知策略发展的目标，还要设
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置情感、兴趣、价值观念个性化的目标。既要设置本节课、本单元、本学科的当前目标，还要设置学生未来发展所需要的目标。当前的时代是终生学习的时代，需要学校教育也改变那种以学生毕业为标志的封闭式教育，应着重进行为学生的生存和发展打好基础的开放性教育。数学教育不仅要加深学生对基本知识和基本技能的掌握，还要培养学生的数学观，让学生在数学活动中提高数学化的能力，掌握一定的数学方法；不仅要让学生接受前人的经验，还要形成应用数学的意识，应用数学的能力；不仅要培养学生的逻辑思维能力，还要培养学生的一般思维能力；不仅要发展学生的智力，还要培养学生学习数学的兴趣和良好的个性品质，以及积极探索的科学态度和勇于创新的精神，充分发挥学生的创造性。
４．课堂管理的设计
“课堂管理（Classroom management）是指鼓励课堂学习的教师行为和活动。换句话说，教师为了有效利用时间，创造愉快的和富有建设性的（Productive）学习环境以及减少行为问题，而采取某些方法来组织课堂活动、教学、自然环境等诸方面因素”（可参阅[1]）。可见课堂管理的目的是为学生争取更多的时间，让更多的人投入到学习中来。
身处教学第一线的教师普遍感觉到学生会越来越不好管理，开放性教学与传统讲授式教学相比，课堂管理更有难度。在开放性教学中如果没有有效的管理方式，无异于放羊，教学效果可能连传统教学都不如。如果以维持课堂秩序为目标，使学生保持安静和驯服，又没有开放性教学的气氛，妨碍学生的主体参与而最终回到传统教学中来。怎样才能使课堂教学活而不乱，是值得广大教育工作者共同研究的问题。本文认为开放性教学应从以下几方面来抓：
（1）日常管理的开放性
课堂管理不应仅仅局限于课堂内部，应与日常管理相结合。在日常的教育教学中实行开放性管理。中学生具有强烈的自我表现意识，特别是高中生，他们有主见，有理想，会分析问题和思考问题。作为班级管理者的教师如果采取专制式的高压政策，学生只能是口服心不服，怎能在这样的教师的课堂上主动参与？教师应采取民主、开放性的管理，创造一个宽松民主的气氛，班集体的一些诸如值日、卫生、作业收发之类的日常工作应让学生自我管理，并尽可能地让每一位学生都参与到班集体管理中来，培养学生的主动参与意识；可以让全体同学来讨论班级管理的思想，目标。尽可能给学生自主管理的权利，甚至允许学生犯错误。教师应勇于承担责任，起指导、协调、评价与督促的作用。
（2）课堂管理应有整体性
课堂管理是一个动态的开放性的系统，应保持这个系统的整体性和前后一致性。教师应制定出学期、学年计划，并逐步实施。教师把所期望的学生行为告诉学生，并以具体的程序和规则来推进维持教师的期望，并始终如一地予以强化，避免前后采用不同的标准。
（3）给学生以适当的自由
课堂管理的目的不是为了压制学生，体现教师的尊严，而是为了鼓励和维持
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教学有效地进行。课堂气氛搞得死气沉沉，就会压制学生的积极性，违背了开放性的原则。教师要给学生一定的自由空间，只要是与学习有关的东西，随时可以质疑，即使偶尔有个别不经意的出格之举，也不要抓住不放，可以“视而不见”或以笑料略过，也可以用非言语的线索传递教师的信息，还可以表扬其他同学。
（4）建立必要的课堂行为规则
俗话说：“没有规矩不成方圆”。开放性教学中，学生也必须遵守一定的规则，没有课堂规则，课堂将变成菜市场。在设立课堂规则之前，应与学生一起讨论它的合理性与必要性，针对课堂自习、小组讨论、全班教学等各种不同的教学活动制定相应的规则。例如。在他人讲话时安静倾听，尊重别人，不嘲笑他人；不打断别人的发言等。在以后的教学中教师应一贯以这些规则管理课堂。另外，在制定规则的同时，也可制定一些奖励措施，运用小组或个人评分从正面激励学生。
在班级授课制的情况下，一个老师要面对几十个学生，不可能时时刻刻监督每个学生的行为，也没有这个必要。课堂管理必须维持团体的注意力，吸引更多的学生更好地参与学习活动，以实现学生自我管理为最终目标。
第三部分开放性数学教学的其它问题
开放性数学教学还是一个新生事物，有关理论与实践上的探讨才刚刚开始，本文前面探讨了开放性数学教学的几个问题。重点探讨了开放性数学教学与传统封闭式教学的区别、开放性数学教学的教学功能、进行开放性数学教学的必要性与可行性、开放性数学教学的教学设计等，对于目前研究比较多的数学开放题没有进行论述。由于篇幅和本人的能力所限，还有许多相关的问题也未涉及到，比如启发式教学与开放性教学的关系问题也很值得研究。另外，要搞好开放性数学教学还应解决好以下一些问题：比较国际上的开放性数学教学，学习国外的先进经验；开放性数学教学的心理机制；开放性数学教学的课堂评价体系；如何防止学生的两极分化等等。下面就其中几个问题略加论述。
一．开放性数学教学与差生及优生
学生间的个体差异是永远存在的，除了知识与认知水平的差异，还有个性、人格等方面的差异。教师的教学一方面要尽力消除这些差异，力求学生共同发展，另一方面要利用学生个体的差异，促进学生个性发展。在开放性数学教学中的差生与优生也有别于传统上的意义。差生不仅仅是学习成绩差，还表现在认知水平低，缺乏参与意识，语言表达能力差以及缺乏团结协作精神。学习成绩差的学生也许有良好的认知策略或强烈的参与意识，而学习成绩好的学生的认知水平反而不高，缺乏参与意识或团结协作精神。这就要求教师真正了解每一个学生各方面的情况，针对每一个学生进行“优”中选“差”，“差”中选“优”，转化差生，并防止优生变成差生。
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二．开放性数学教学的课堂评价体系
每一位教师要做不同层次的公开课，主管教育的领导要了解教学情况，也必须听课。同一堂课，由于听课人的观念和评价标准不同，会得出不同的结论。开放性数学教学无论是教学方法还是教学形式都具有极大的开放性和选择性，这就给教学评价带来了难度。如果评价标准制定得过于具体和程序化，就会流于形式，必将演变为另外一种封闭式的教学。如果评价标准过于模糊，过于宽松，缺乏必要的可供观测的具体标准，就起不到监督、促进的作用。因此，仔细研究开放性数学教学的课堂评价体系，是十分必要与迫切的。
三．是开放性数学的教学，还是数学教学的开放性。
纵观对开放性数学教学的研究探讨，有开放性数学的教学与数学教学的开放性两种分歧。前者强调数学教学内容的开放性，注重数学在生产、生活及相关学科中的应用，主张对教材内容进行改编，删去过时的封闭的内容，增补富有时代气息的开放性的内容，也就是数学应用的开放性。后者强调教学方法、教学形式的开放性，主张尽量立足于教材，教师利用灵活多样的教学方法来调动学生积极主动参与数学活动，减少对学生思维的限制，尽量拓宽学生的学习空间，让学生以自己的方式去重新获得概念、法则和定理，实现再创造。
四．处理好“虚”与“实”的关系
在数学教学中，基本知识和基本技能是可供观测的实实在在的东西，而思想方法就不那么具体，学生的个性、人格就更难反映在纸上，是比较“虚”的东西。不可否认，现在对教学效果的检测，主要是阶段性检测，主要是对具体知识、技能的检测，而且是以试卷的形式进行检测。只要是以试卷的形式进行检测，无论试题如何变化，对于影响学生终生的“那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想文化”很难检测，而对学生的个性、人格、情感的检测就更谈不上了，进行开放性教学有利于培养学生的认知策略、创新意识和良好的个性，但由于重复性的练习较少，不利于基本知识的巩固落实。因此在进行开放性教学的同时也应注意基本知识、基本技能的落实。
结束语
开放性数学教学不应该排斥传统教学，是传统教学的一种补充。通过教学实践体会到，开放性数学教学只是为学生高层次思维的发展提供了一种可能性；开放性数学教学对学生的要求很高，不仅要求学生有较高认知水平，还要有较强的主动参与意识，才能有开放的气氛；不仅要求教师能放开，还要求教师收得回来，
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这样才能收放自如。只有在教学实践中逐步摸索经验，才能真正有效地进行开放性教学。
开放性数学教学是一种新的教学趋势，本人主要进行了理论上的探讨，尝试了针对个别知识点与个别教学环节的开放性教学。在今后工作中本人还将深入进行开放性数学教学的实践与探究，力争以开放性教学贯穿于数学教学的全过程。另外，还将探讨计算机、网络与开放性数学教学的关系。
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