第13讲植树问题
内容概述
几何图形的设计与构造，本讲讲解一些有关的植树问题．
典型问题
1．今有10盆花要在平地上摆成5行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．
【分析与解】如下图所示：
2．今有9盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一
种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．
【分析与解】如下图所示：
3．今有10盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一种设计方
案，画图时用点表示花，用直线表示行·
【分析与解】如下图所示：
4．今有20盆花要在平地上摆成18行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计
方案，画图时用点表示花，用直线表示行．
【分析与解】如下图所示：
5．今有20盆花要在平地上摆成20行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计
方案，画图时用点表示花，用直线表示行．
【分析与解】如下图所示：
第七讲：小数意义与性质、简便计算、植树问题 一.情感交流、作业检查并对作业进行指导分析 二.新课讲解 知识点一：运算定律与简便计算 1、任意两个相乘，交换两个因数，积不变，这叫。 2、任意三个数相加，先把相加或先把相加，和不变，这叫加法结合律。 3、两个数的与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数，再相，结果 不变，这叫。 4、一个数连续减去两个减数，等于用这个数减去这两个减数的。 5、一个数连续除以几个数，任意除数的位置，商不变。即ɑ÷b÷c= . 6、45×（20×39）＝（45×20）×39 这是应用了（）律。 运算定律与简便计算 第一种：利用分配律a×(b+c)= a×b+a×c (400+8)×15 125×(4+8) 第二种：分配律的进一步应用，把一些大于但接近整百整十的数拆开后再用分配律 85×101 504×25 78×102 25×204 第三种：分配律的进一步应用，把一些小于但接近整百整十的数凑整后再用分配律。 99×75 97×29 638×99 98×25 第四种：分配律的进一步应用，a×b+ a×c =a×（b+c），特点：加号前后有相同的数字99×87+87 45+199×45 29+399×29
合律进一步运用，注意125或25等特殊数字，记住125X8=1000，25X4=100，的规律，从题目数字中分解出125或25需要的8或4来。 125×89×8 25×32×125 88×25 36×125 第六种：一个数连续除以两个数，等于这个数除以两个数的积：公式：a÷b÷c= a÷(b×c) 8900÷25÷4 3000÷4÷75 7000÷125÷8 1250÷25÷5 第七种:一个数连续减去两个数，等于这个数减去两个数的和：公式：a-b-c= a-（b + c）1200-624-76 2100-728-772 273-73-27 847-527-273 第八种：加法交换律与结合律综合运用，注意凑整数法 278+463+22+37 732+580+268 1034+98+166+102 425+14+186 第九种：分配律的减法应用 178×101-178 83×102-83×2 17×23-23×7 35×127-35×27 容易出错类型(共五种类型)看似能用简便计算，但实际不能用，主要是运算顺序的错误。如：120×4÷120×4容易计算为（120×4）÷（120×4）=1，实际错误。
第10讲植树问题 绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。还有许多应用题可以化为“植树问题”来解，或借助解“植树问题”的思考方法来解。 先介绍四类最简单、最基本的植树问题。 为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。 显然，只有下面四种情形： (1)非封闭线的两端都有“点”时， “点数”＝“段数”＋1。 (2)非封闭线只有一端有“点”时， “点数”=“段数”。
(3)非封闭线的两端都没有“点”时， “点数”＝“段数”-1。 (4)封闭线上，“点数”=“段数”。 最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。 例如，一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？这是第(1)种情形，所以要栽树420÷3＋1＝141(棵)。 又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树40÷2＝20(棵)。 再如，两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树30÷2-1＝14(棵)。
再例如，一个圆形水池的围台圈长60米。如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？这属于第(4)种情形，共能放花60÷3＝20(盆)。 许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。 例1在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。这段路长多少米？ 解：这是第(1)种情形，所以，“段数”＝10－1＝9。这段路长为50×(10-1)＝450(米)。 答：这段路长450米。 例2小明要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？ 分析：因为1层不用走楼梯，走到5层走了4段楼梯，由此可求出走每段楼梯用100÷(5－1)＝25(秒)。走到11层要走10段楼梯，还要走6段楼梯，所以还需 25×6＝150(秒)。 解：［100÷(5-1)］×(11-5)＝150(秒)。 答：还需150秒。
For personal use only in study and research; not for comme rcial use For personal use only in study and research; not for comme rcial use 数学问题全集 牛吃草问题 例1牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供1 5头牛吃10天，那么，供25头吃几天？ 设每天长出的草可供X 头牛吃，利用原草量是相等的关系有 （10-X）×20 = （15-X）×10 =（25-X）×t 在这里，我们还是要紧紧抓住“牛吃的草可以分成两部分”来思考。我们可以将25头牛分成两部分：一部分去吃新生的草；另一部分去吃原有的草。因为草的生长速度是5头/天，所以新生的草恰好够5头牛吃，那么吃原有的草的牛应该有25－5＝20（头）。当这20头牛将草地原有的草量吃完时，草地上也就没有草了。 100÷（25－5）＝5（天） 例2：一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人？ 分析：这道题看起来与“牛吃草”毫不相关，其实题目中也蕴含着两个不变的量：“每小时漏水量”（相当于草的生长速度）与“船内原有的水量”（相当于草地上原有的草量）。 设x人在一小时内可掏尽匀速进入船内的水,y为2小时淘完要安排人数,则 (10-x)*3=(5-x)*8=(y-x)*2 x=2,y=14 牛吃草问题［综合练习］ （１）牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？ （２）有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？ （３）有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？
第七讲行程问题 基础班 1. 邮递员早晨 9 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走一段上坡路长 13 千米，一段下坡路长11 千米。他上坡时每小时走6千米，下坡时每小时走8千米，到达目的地停留1.5 小时以后，又从原路 返回，邮递员来回共用多少小时? 解：24÷6+24÷8+1.5=7.5（小时） 2. 已知铁路桥长1000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120 秒，整列火车 完全在桥上的时间为80 秒。求火车的速度和长度。 解：10 米/秒；200 米。 3. 一个车队以５米/秒的速度缓缓通过一座长200 米的大桥，共用１４５秒。已知每辆车长5米，两车间 隔８米。问：这个车队共有多少辆车？ 解：分析：由“路程=时间×速度”可求出车队１４５秒行的路程为５×１４５=７２５（米）。 故车队长度为７２５-２００=５２５（米）。 再由植树问题可得车队共有车（５２５-５）÷（５+８）+１=４１（辆）。 4.快、慢两列火车相向而行，快车的车长是50 米，慢车的车长是80 米，如果坐在慢车的人见快车驶过窗 口的时间是5秒，那么，坐在快车的人见慢车驶过窗口的时间是多少秒？ 解：.两车相向而行慢车上的人看到快车的速度是两车速度之和，即每秒50÷5＝10（米），快车上的人看 到慢车的速度也是每秒10 米，因此坐在快车的人见慢车驶过窗口的时间是80÷10=8（秒）。 5. 小明从甲地向乙地走，小华同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，又迅速返回，行走过程中，各自速度不变，两人第1次相遇在距甲地40 米处，第2次相遇在距乙地15 米处。甲、乙两地之间相距多少 米? 解：根据题意，可画出如下线段图： 从图中我们看出，小明、小华两人第1次相遇，合行了1个全程，这时小明行了40 米；第2次相遇，小 明、小华共合行了3个全程，小明应行120(40×3)米，比1个全程多15 米，由此可求出甲、乙两地的距 离。解40×3—15=105(米) 答：甲、乙两地之间相距105 米。 提高班 1. 邮递员早晨 9 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走一段上坡路长 13 千米，一段下坡路长11 千米。他上坡时每小时走6千米，下坡时每小时走8千米，到达目的地停留1.5 小时以后，又从原路 返回，邮递员来回共用多少小时? 解：24÷6+24÷8+1.5=7.5（小时） 2. 已知铁路桥长1000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120 秒，整列火车 完全在桥上的时间为80 秒。求火车的速度和长度。 解：10 米/秒；200 米。
植树问题 先介绍四类最简单、最基本的植树问题。 树木的株数、株距与总路长之间有如下基本关系： 株数=总路长÷株距＋1 对于一条有端点的线路，其基本关系如下： 总路长=株距×（株数－1） 对于一条没有端点的封闭路线，其基本关系如下： 总路长=株距×株数 为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。 显然，只有下面四种情形： (1)非封闭线的两端都有“点”时， “点数”＝“段数”＋1。 (2)非封闭线只有一端有“点”时， “点数”=“段数”。 (3)非封闭线的两端都没有“点”时， “点数”＝“段数”-1。 (4)封闭线上，“点数”=“段数”。 最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。 题库： 1.一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树
2.在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。这段路长多少米 3.小明要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒 4.下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少十个这样的铁环连在一起有多长 5.一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。这列车队共排列了多长如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间 .学校有一条长60米的走道，计划在道路一旁栽树。每隔3米栽一棵。 (1)如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树苗 (2)如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗 (3)如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗 7.一个长100米，宽20米的长方形游泳池，在离池边3米的外围圈(仍为长方形)上每隔2米种一棵树。共种了多少棵树 8.一根90厘米长的钢条，要锯成9厘米长的小段，一共要锯几次 9.测量人员测量一条路的长度。先立了一个标杆，然后每隔40米立一根标杆。当立杆10根时，第1根与第10根相距多少米 10.学校举行运动会。参加入场式的仪仗队共180人，每6人一行，前后两行间隔120厘米。这个仪仗队共排了多长 11.在一条长1200米的河堤边等距离植树(两端都要植树)。已挖好每隔6米植一棵树的坑，后要改成每隔4米植一棵树。还要挖多少个坑需要填上多少个坑12.一个车队以5米/秒的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒。已知每辆车长5米，两车之间相隔10米，那么这个车队共有多少辆车 13.在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了10面。这条道路有多长 14.在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了18盆。
三年级数学思维训练试题集 三年级思维训练 目录 第一讲数图形 2 第二讲找规律 4 第三讲加减巧算 6 第四讲填数游戏 8 第五讲有余数除法 10 第六讲周期问题 12 第七讲配对求和 14 第八讲乘法速算 16 第九讲乘除巧算 18 第十讲应用题（一） 20 第十一讲应用题（二） 22 第十二讲植树问题 24 第十三讲重叠问题 26 第十四讲简单枚举 28 第十五讲等量代换 30 期末综合练习 32 第1讲数图形 专题分析： 同学们，你们会数图形吗？要想正确地数出线段、角、三角形……的个数，就必须要有次序、有条理地按照规律去数。 要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个；然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。 例1：数出下面图中有多少条线段？ A B C D 【思路导航】我们可以采用以线段左端点分类数的方法。 以A为左端点的线段有：AB、AC、AD3条；以B为左端点的线段有：BC、BD2条；以C 为左端点的线段有：CD1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。 我们还可以这样想：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD3条；由2条基本线段构成的线段有：AC、BD2条；又3条基本线段构成的线段有：AD1条。所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。 例2：数出下图中有几个角？ A D
【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。以AO为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD3个；以BO为一边的角有：∠BOC、∠BOD2个；以CO为一边的角有：∠COD1个。所以图中共有3+2+1=6（个）角。 当然，也可以把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角，那该怎样数呢？ 例3：数出下图中共有多少个三角形？ A B C D E 【思路导航】数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。以AB为边的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE3个；以AC为边的三角形有：△ACD、△ACE2个；以AD为边的三角形有：△ADE1个。所以图中共有三角形3+2+1=6（个）。我们还发现，要数出图中三角形的个数，只需数出△ABE的底边中包含几条线段就可以了，即3+2+1=6（个）。所以图中共有6个三角形。 拓展训练： 1、数一数，一共有几条线段、几个角？ 共（）条线段共（）条线段 ③④ 共（）个角共（）个角 2、按要求数图形。 ①② 共（）个三角形共（）个三角形 ③④ 共（）个长方形共（）个长方形 3、填空。 ?有6个小朋友，每2人握一次手，一共要握（）次。 ?从青岛到上海的直达列车，中途停靠5个站，这次列车共有（）种不同票价。 4、解决问题。 ?三年级有6个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要组织多少场比赛？ ?有红、黄、蓝、白四只气球，如果每两只气球扎成一束，共有多少种不同的扎法？
第七讲行程问题（一） 知识点拨： 发车问题 （1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答； 汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔 汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔 汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 （2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。 标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。 （3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡 火车过桥 火车过桥问题常用方法 ⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和. ⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和. ⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度. 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行. 接送问题 根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型： （1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见） （2）车速不变-班速不变-班数多个 （3）车速不变-班速变-班数2个 （4）车速变-班速不变-班数2个
标准解法：画图＋列3个式子 1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间； 2、班车走的总路程； 3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。 时钟问题： 时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分 针和时针。 时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。 流水行船问题中的相遇与追及 ①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 ②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关. 甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速 也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系. 例题精讲： 模块一发车问题 【例 1】某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出 租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？ 【例 2】某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电车的 速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？
人教版小学数学四年级下册《植树问题》教学设计
植树问题 教学目标： 知识技能目标： 1、利用学生熟悉的生活情境，通过动手操作的实践活动，使他们发现间隔数与植树棵数之间的关系； 2、通过小组合作、交流，在理解间隔数与棵数之间规律的基础上解决简单的植树问题。 过程目标： 1、使学生经历感知、理解知识的过程，培养学生从实际问题中发现规律，并应用规律来解决问题的能力； 2、渗透数形结合的思想，培养学生借助图形解决问题的意识； 3、培养学生的合作意识，养成良好的交流习惯。 情感目标： 1、通过实践活动激发热爱数学的情感； 2、感受日常生活中处处有数学，体验学习成功的喜悦。 教学重点：理解“植树问题（两端要种）”的特征，应用规律解决问题 教学难点：理解“间距数+1=棵数，棵数－1=间距数” 教学准备：课件 教学过程： 一、谈话引入，明确课题 母亲节刚过，我们马上又要迎来一个快乐的节日──“六·一儿童节”，这也是全世界少年儿童共同的节日。其实，一年中有意义的日子还有很多，你还知道哪些？能说几个吗？（生说） 大家知道3月12日是什么日子吗？（植树节）你参加过植树活动吗？植树不仅能美化环境，净化空气，而且植树中还有很多数学问题。今天这节课，我们就一起来研究“植树问题”。（板书课题：植树问题） 二、引导探究，发现“两端要种”的规律
1．创设情境，提出问题。 ①课件出示图片。 介绍：这是我县新修的一条公路。公路中间有一条绿化带，现在要在绿化带中种一行树，怎么种呢？ 出示题目：这条公路全长1000米，每隔5米种一棵树（两端要种）。一共需要多少棵树苗？ ②理解题意。 a. 指名读题，从题中你了解到了哪些信息？ b. 理解“两端”是什么意思？ 指名说一说，然后师实物演示：指一指哪里是这根小棒的两端？ 说明：如果把这根小棒看作是这条绿化带，在绿化带的两端要种就是在绿化带的两头要种。 ③算一算，一共需要多少棵树苗？ ④反馈答案。 方法一：1000÷5=200（棵） 方法二：1000÷5=200（棵） 200 +2=202（棵） 方法三：1000÷5=200（棵） 200 +1=201（棵） 师：现在出现了三种答案，而且每种答案都有不少的支持者，到底哪种答案是正确的呢？咱们可不可以画图模拟实际种一种？如果从图上一棵一棵种到1000米，数一数，是不是就能知道到底谁的答案是正确的了呢？ 2. 简单验证，发现规律。
植树问题 姓名：得分： 随堂练 1.在一条路的一边种树,从头到尾一共种了50棵,相邻两棵树之间距离为3米,问:这条路的全长是多少米? 2.植树队计划在一条长100米的道路两旁各栽一行树,共有52棵树,路的两端都栽,平均每相邻的两棵树中间应隔多少米? 3.一个圆形水池周围每隔2米栽一棵杨树,共栽了50棵,水池的周长是多少米? 4.一座15层高的大楼,每层的台阶数都相等。小红从1层到3层共走了48个台阶,小红从1层走到15层共需要走多少个台阶？ 5.一个环湖风光带长3000米,每隔15米种一棵柳树,每两棵柳树中间每隔5米种一棵桃树,这个环湖周围共种了多少棵柳树?多少棵桃树?
课后习题 1.植树节到了,同学们在一条长100米的路边植树,从头到尾每隔4米植树一棵,共要植树多少棵? 2.园林工人在河两边的堤岸上从头至尾植树,已知河堤长2800米，工人们每隔7米植一棵树,那么一共要准备多少棵树? 3.永东小学的操场是一个长方形,长400米,宽250米,操场的四周等距离地栽种了260棵树,请你算一算,每相邻两棵树相距多少米? 4.小强以不变的速度在小路上散步,他从第一棵树走到第7棵树用了24分钟,如果他走40分钟,应该走到第几棵树?(相邻两棵树之间的距离相等) 5.一座长150米的桥,在桥两边插彩旗,两端各插一面红旗,每隔6米插一面红旗,红旗与红旗之间又插两面绿旗,红旗和绿旗各插多少面? 思考题 1.爷爷每天晚饭后都要到路边散步,他用相同的速度在马路旁散步,从第一棵树到第6棵树走了5分钟,他要求自己每天散步30分钟,爷爷应走到第几棵树就往回走? 2.学校操场长62.5米,沿操场停放了5辆相同的公共汽车,已知两端各留2米空位,两车之间相距1.5米,每辆公共汽车长多少米?
第五讲数数与计数（三） 例1小朋友，张开手，五个手指人人有。 手指之间几个“空”，请你仔细瞅一瞅？解：见右图看一看、数一数可知：5个手指间有4个“空”。“空”又叫“间隔”，也就是，人的一只手有5个手指4个间隔。 例2 小朋友在一段马路的一边种树。每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多长？ 解：画示意图如下： 由图可见，这段马路的11棵树之间有（）个“空”，也就是10个间隔。每个间隔长1米，
10个间隔长10米。也就是说这段马路长（）米。像这类问题一般叫做“植树问题”。可以得出一个公式：当两头都种树时： 例3 把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟。 ①如果把这根木头锯成10段，需要几分钟？ ②如果把这根木头锯成100段，需要几分钟？解：画出示意图： 由图可见，把木头锯成5段，只需锯（）次。 所以锯一次需1分钟。 ①同样道理，把这根木头锯成10段，只需锯（）次，所以需（）分钟。 ②同理，把这根木头锯成100段，只需锯（）次，所以需（）分钟。 例4 鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟。问中午12点时打12下需要几秒钟？
解：画示意图。钟打一下用一个点代表，打5下画5个点。 由图可见，钟打5下中间有4个时间间隔，4个间隔是4秒钟，每个间隔就是1秒钟。 由此推理钟打12下时有（）个时间间隔，所以用（）秒钟。
习题五 1．一队男生8人。老师要求在2名男生中间插进1名女生，问可插进多少女生？ 2．小冬用12张纸订成一个本子。从头数起，每隔3纸夹进一片树叶，问这个本子内共放进多少片树叶？ 3．在一条20米长的小路两旁种小松树，如果每隔5米种一棵，而且两头都种树，问这段小路上共种多少棵？ 4．一根钢管长6米，每分钟锯下1米，几分钟锯完？
第七讲：植树问题 【知识要点】： 确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。还有许多应用题可以化为“植树问题”来解，或借助解“植树问题”的思考方法来解。 先介绍四类最简单、最基本的植树问题。 为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。 显然，只有下面四种情形： ①非封闭线的两端都有“点”时，“点数”＝“段数”＋1。 ②非封闭线只有一端有“点”时，“点数”=“段数”。 ③非封闭线的两端都没有“点”时，“点数”＝“段数”-1。 ④封闭线上，“点数”=“段数”。 【例1】在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。这段路长多少米？ 【思路导航】这是【知识要点】中的第______种情形，所以“段数＝______ ”，这段路长为：______ 【课堂反馈1】 1、在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了10面。这条道路有多长？ 2、在学校走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了18盆。这条走廊长多少米？【例2】在一条20米长的绳子上挂气球，从一端起，每隔5米挂一个气球，一共可以挂多少个气球？ 【思路导航】这是【知识要点】中的第______种情形，每隔______米挂一个气球，则一共有[ ]÷[ ]＝[ ]段，因为两端都有“点”，所以“点数＝______ ”，一共可以挂气球数为：______ 答：一共可挂气球______个。 【课堂反馈2】
1、有一条2000米的公路，每相隔50米埋设一根路灯杆，从头到尾需要埋设路灯杆多少根？ 2、某大学从校门口的门柱到教学楼墙根，有一条1000米的甬路，每边相隔8米栽一棵白杨，可以栽白杨多少棵？ 【例3】在公园一条长25米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相邻两把椅子距离相等。相邻两把椅子之间相距多少米？ 【思路导航】根据“在路的两侧从起点到终点共放了______把椅子”这个条件，我们可以先求出一侧放了[ ]÷[ ]＝[ ]把椅子，那么从第______把椅子到第______把椅子之间有[ ]－[ ]＝[ ]个间隔。______米长的路平均分成______段，每段是[ ]÷[ ]＝[ ]米。 答：相邻两把椅子之间相距______米 【课堂反馈3】 1、街心公园一条路长200米,在路的两旁从头到尾等距离栽种美人蕉,共栽种美人蕉82棵,每两棵美人蕉相距多少米？ 2、在一条长50米的跑道两旁,从头到尾每隔5米插一面彩旗,一共插多少面彩旗? 【例4】在一条长36米的走廊一侧摆上花盆,每隔4米摆一盆,若走廊两端都不摆,共需多少盆花？ 【思路导航】这是【知识要点】中的第______种情形，每隔______米摆一盆花，则一共有[ ]÷[ ]＝[ ]段，因为两端都没有“点”，所以“点数＝______ ”，一共需要花盆数为：______ 答：一共要______盆花。 【课堂反馈4】 1、学校的教学楼和图书馆相距60米，现在要在教学楼和图书馆之间种一排树，每隔6米种一棵，一共要种几棵树？ 2、一条公路上每隔6米架设一根电线杆,不算路的两端共用电线杆15根,这条公路长多少米？【例5】小明要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？ 【思路导航】因为1层不用走楼梯，从1层走到5层走了[ ]－[ ]＝[ ]段楼梯，由此可求出走每段楼梯用[ ]÷[ ]＝[ ] (秒)。 从5层走到11层还要走[ ]－[ ]＝[ ]段楼梯。 所以还需[ ]－[ ]＝[ ] (秒)。 答：还需______秒。
小学数学植树问题公式及练习题 植树问题为使其更直观，用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。 一、植树问题公式 单边植树（两端都植）：距离÷间隔数+1=棵数 单边植树（只植一端）：距离÷间隔数=棵数 单边植树（两端都不植）：距离÷间隔数－1=棵数 双边植树（两端都植）：（距离÷间隔数+1）×2=棵数 双边植树（只植一端）：（距离÷间隔数）×2=棵数 双边植树（两端都不植）：（距离÷间隔数-1）×2=棵数 循环植树：距离÷间隔数=棵数 解释：1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数=段数+1=全长÷株距+1 全长=株距×(株数－1) 株距=全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数－1=全长÷株距－1 全长=株距×(株数+1) 株距=全长÷(株数+1) 2封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数 二、植树问题练习题 例1长方形场地：一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2米，行距是3米．这个苹果园共种苹果树多少棵？ 解法一： ①一行能种多少棵？84÷2=42(棵)．| ②这块地能种苹果树多少行？54÷3=18(行)． ③这块地共种苹果树多少棵？42×18=756(棵)． 如果株距、行距的方向互换，结果相同： (84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵)． 解法二： ①这块地的面积是多少平方米呢？ 84×54=4536(平方米)． ②一棵苹果树占地多少平方米呢？ 2×3=6(平方米)． ③这块地能种苹果树多少棵呢？
第五讲圆周植树问题 【例题求解】 例一一个圆形花圃周长30米，沿外围每隔3米插一面红旗，花圃外围插了多少面旗？ 例二人民公园内有一个湖泊，周长168米，现在沿边长等距离做8个9米的花坛，花坛间隔多少米？ 例三体育课上老师在操场上画了4个大圆圈，每个圆圈周长18米，每隔2米站一个同学做“打水鸭子游戏”，游戏规定：每个圆圈内有1个同学拿竹竿打“水鸭子”。一共可以有多少个同学参加游戏？ 例四一个长方形的长是50米，宽是30米，在这个长方形四周每隔5米植一棵树，一共可以植树多少棵？例五“六一”儿童节，学校要用气球布置一个边长为20米的正方形礼堂，每个一米挂一个气球，四个角上都要挂气球。那么每条边上挂了几个气球？一共需要多少个气球？ 【学力训练】 1、有一个等边三角形的花坛，边长是20米，每个顶点都要栽一棵月季花，每间隔2米再栽一棵月季花， 这个花坛一周能栽多少棵月季花？ 2、一个新村里的人们造了一个周长888米的圆形大花园，准备在花园的四周等距离造一些小花坛，每个 小花坛长2米，每两个小花坛的间隔为6米，那么需要造多少个小花坛？ 3、40个小朋友玩丢手绢的游戏，分两组玩，其中每组有一个小朋友丢手绢，其他小朋友围成圈，每相邻 两个人之间间隔了1米，那么，每个圈的周长是多少？ 4、一个湖泊的周长是1800米，沿湖泊周围每隔3米栽1棵柳树，每两棵柳树中间栽1棵桃树。这个湖泊 的周围栽了柳树和桃树各多少棵？ 5、有一个正方形果园，每个角都要种一棵树，每边都要种上11棵树，四条边一共种了多少棵树？ 6、一块正方形花圃，在每条边上栽21株丁香，在每个角上都栽了1株丁香。问：这块正方形花圃四周共 栽了多少株丁香？ 7、一块三角形的每边上钉着8根钉子，每个顶点处都钉有钉子，每两根钉子之间的距离是2厘米，求这 块三角形木板的周长是多多少厘米？ 8、东西两村之间原有电线杆166根，相邻两根之间相距40米，现在用121根新电线杆换旧电线杆，两根 新电线杆之间应隔多少米？ 9、在周长为4800米的湖泊边上种100棵柳树，每两棵柳树间又种杨树，杨树的间距为8米，那么，一共 要种多少棵杨树？ 10、用九个棋子“○”，摆成3行，每行4颗，想一想，画出你摆的图案？ 【课后作业】 1、一个湖泊周围长1800米，沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树，这个湖泊的周围一共可以在多少棵柳树？ 2、建筑工程队盖一栋楼，要在长90米，宽15米的地基上打桩。每隔3米打一根桩，这栋楼地基的四周 要打多少根桩？ 3、小朋友们做游戏，围成一个正方形，每个角上站一个小朋友，每边站12个小朋友。问：共有多少个小 朋友在做游戏？ 4、一个湖泊周围长1800米，沿湖泊周围每隔6米栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽一棵桃树，问湖泊周围 一共栽了多少棵柳树，多少棵桃树？ 5、把12名队员安排在一个正方形操场的四边上维持秩序要求每边上的人数都相等，那么每边应安排几 人？
第6讲植树问题例题练习及答案 (1)在一段距离中,两端都植树,棵数=段数+1; (2)在一段距离中,两端都不植树,棵数=段数-1; (3)在一段距离中,一端不植树,棵数=段数. 3.在封闭曲线上植树,棵数=段数. 例题精讲: 例1 有一条长1000米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵树苗,一共需要准备多少棵树苗? 分析:先将全长1000米的公路每25米分成一段,一共分成多少段?种树的总棵树和分成的段数的关系是棵数=段数+1. 解1000÷25+1=41(棵).
答:一共需要准备41棵树苗. 例2 公路的一旁每隔40米有木电杆一根(两端都有).共121根.现改为水泥电杆51根(包括两端),求两根相邻水泥电杆之间的距离. 分析:公路全长为40×(121-1) 解40×(121-1)÷(51-1)=40×120÷50=96(米). 答:两根相邻水泥杆之间的距离是96米. 例3 两幢大楼相隔115米,在其间以等距离的要求埋设22根电杆,从第1根到第15根电杆之间相隔多少米? 分析:在相距115米的两幢大楼之间埋设电杆,是两端都不埋电杆的情况,115米应该分成22+1=23段,那么每段长是115÷23=5米,而第1根到第15根电杆间有15-1=14段,所以第1根到第15根电杆之间相隔(5×14)米. 解115÷(22+1)×(15-1)=115÷23×14=70(米) 答:从第1根到第15根之间相隔70米. 例4 工程队打算在长96米,宽36米的长方形工地的四周打水泥桩,要求四角各打一根,并且每相邻两根的距离是4米,共要打水泥桩多少根? 分析:先求出长方形的周长是(96+36)×2=264米,每4米打一根桩,因为是沿着长方形四周打桩,所以段数和根数相等,可用264÷4来计算. 解 (96+36)×2÷4=132×2÷4=66(根). 答:共要打水泥桩66根. 例 5 一个圆形水库,周长是2430米,每隔9米种柳树一棵.又在相邻两棵柳树之间每3米种杨树1棵,要种杨树多少棵? 分析:沿着封闭的圆形水库四周植树,段数与棵数相等,沿着2430米的四周,每隔9米种柳树一棵,共可种2430÷9=270棵,也就是把水库四周平分成270段.又在相邻两棵柳树之间,每隔3米种杨树一棵,每段可种9÷3-1=2棵,总共可种杨树2×270=540棵. 解 (9÷3-1)×(2430÷9)=2×270=540(棵) 答:水库四周要种杨树540棵. 例 6 红星小学有125人参加运动会的入场式,他们每5人为一行,前后两行的距离为2米,主席台长32米.他们以每分钟40米的速度通过主席台,需要多少分钟? 分析:这是一道与植树问题有关的应用题.利用"有125人,每5人为一行"可求出一共有125÷5=25行,行数相当于植树问题中的棵数,"前后两行距离是2米"相当于每两棵树之间的距离,这样可求出队伍的长度是2×(25-1)米.再加上主席台的长度,就是队伍所要走的距离.用队伍所要走的距离,除以队伍行走的速度,可求出所需行走的时间了. 解 [2×(125÷5-1)+32]÷40=[2×24+32]÷40=80÷40=2(分钟). 答:队伍通过主席台要2分钟. 水平测试 4 A 卷 一、填空题 1.学校有一条长80米的走道,计划在走道的一旁栽树,每隔4米栽一棵. (1)如果两端都栽树,那么共需要______棵树. (2)如果两端栽柳树,中间栽杨树,那么共需要______杨树. (3)如果只有一端栽树,那么共需要______棵树. 2.一个圆形水池的周长是60米,如果在水池的四周每隔3米放一盆花,那么一共能放______盆花.
四年级语文培优记录四年级下册数学试题-专题培优：第五讲植树问题（无答案）全国通用 第五讲 植树问题 线段上的植树问题可以分为以下3种情形： 1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=段数+1。 2）如果一端植数，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：棵数=段数。 3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1即：棵数=段数-1。 在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=段数。 学习探究： 例1、一条路长35米，在路的一边从头到尾每隔5米种一棵树，一共可以种多少棵树？ 练一练：一条路长72米，在路的一边从头到尾每隔8米种一棵树，一共可以种多少棵树？例2、学校门口到公路边有一条长56米的小路，小红要在小路两旁每隔7米栽一棵树，一共要栽多少棵树？
例3、湖滨花苑两座楼房之间相距36米，物业管理公司每隔2米载一株花，一共要栽多少株花？例4、一个湖泊周围长320米，沿湖泊周围每隔4米载一棵杨树，一共栽了多少棵杨树？ 练一练：一个环形赛车道长500米，周围每隔5米载一棵树，一共栽了多少棵树？例5、某学校在道路的一侧栽树，每隔6米栽一棵，从起点到终点共栽了12棵，求这条路长多少米？ 例6、为迎接国庆节，园林部门在一条长100米的道路两旁放置花盆，一共放置了22盆，问两个花盆间间距多少米？ 能力训练： 1、 有一条长72米的公路，在公路的一侧从头到尾每隔8米种一棵树，一共需要多少棵树苗？ 2、 从小刚家门口到公路边有一条长40米的小路，小刚要在小路一旁每隔4米栽一棵数，一共要载多少棵树？ 3、 两栋楼房间有一条长80米的小路，园林叔叔每隔8米种一棵树，一共需要种多少棵树？ 4、 一个圆形花圃周长36米，每隔3米放一盆花，一共放了多少盆花？
第7讲 数学广角-植树问题 (1)两端都种：棵数=间隔数+1 (2)两端不种：棵数 = 间隔数－1 (4)封闭图形 :棵树 = 间隔数 (3)一端种 一端不种 :棵数 = 间隔数 知识点一：两端都栽的植树问题 植树问题基本解决思路：间隔数=总长÷间隔距离 两端都栽：棵数=间隔数＋1 知识点二：两端都不栽的植树问题 两端不栽：棵数=间隔数－1 知识点三：封闭图形的植树问题 一端栽一端不栽：棵数=间隔数 在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于线段上一端栽一端不栽的情况。 考点一：两端都栽的植树问题 【例1】在相距140米的两楼之间的道路两旁植树，每隔20米植1棵，共植了（ ）
A．10B．12C．14D．16 【思路分析】树的间隔数为：140÷20＝7个，由于两端都不栽，所以一旁一共植树7﹣1＝6棵；然后再乘2即可． 【规范解答】解：140÷20﹣1 ＝7﹣1 ＝6（棵） 6×2＝12（棵） 答：共植树了12棵． 故选：B． 【名师点评】如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数＝间隔数﹣1． 1．在一条长300米的公路两边种树，每隔5米种一棵（两端都种）．一共种（）棵树．A．61B．121C．122 【思路分析】利用植树问题公式：如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再乘2，即：棵数＝（段数+1）×2．根据植树棵数先求段数：300÷5＝60（段），然后求植树棵数：（60+1）×2计算即可． 【规范解答】解：（300÷5+1）×2 ＝（60+1）×2 ＝61×2 ＝122（棵） 答：一共种树122棵． 故选：C． 【名师点评】本题主要考查植树问题，关键是分清段数和植树棵数的关系做题． 2．（2018秋?黄冈期末）21路公交车的起点每5分钟就要发一辆车，40分钟共要发（）辆车．A．7B．8C．9 【思路分析】每5分钟就要发一辆车，先用除法求出40分钟里面有多少个5分钟，再加上第一辆出发的车即可求出40分钟共要发多少辆车． 【规范解答】解：40÷5+1 ＝8+1
人教版小学数学五年级上册 《植树问题》 教学目标： 1、通过探究发现一条线段上“两端都种”植树问题的规律。 2、经历和体验“复杂问题简单化”的解题策略和方法。 教学重、难点： 1、在探究活动中发现规律，并能够用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。 2、理解“两端都种”情况下棵数和间隔数之间的规律。 教学内容： 一、知识网络 1、不封闭路线植树问题分为以下三种情况： （1）如果在植树的两端都植树： 棵树=总距离÷间隔长+1 总距离=间隔长×（棵树-1） 间隔长=总距离÷（棵树-1） （2）如果植树路线的一端植树，另一端不要植树： 棵树=总距离÷间隔长 总距离=间隔长×棵树 间隔长=总距离÷棵树 （3）如果植树路线的两端都不要植树： 棵树=总距离÷间隔长-1 总距离=间隔长×（棵树+1） 间隔长=总距离÷（棵树+1） 2、封闭路线的植树问题：（长方形、正方形、三角形和圆等）： 棵树=总距离÷间隔长； 总距离=间隔长×棵树； 间隔长=总距离÷棵树。
二、课堂达标 1.学校有一条长60米的走道，计划在道路旁栽树。每隔3米栽一棵。 （1）如果两端都各栽一棵树，那么共需______棵树苗； （2）如果两端都不栽树，那么共需______棵树苗； （3）如果只有一端栽树，那么共需______棵树苗； 2.先选择所属类型，再列式解答。 （1）小学生广播操队列中，其中一列纵队26米，相邻两个学生之间的距离是2米。这列纵队一共有几个学生？属于（） ①两端种②一端种③两端不种 （2）为迎接六一儿童节，学校准备在教学楼前60米的道路两旁摆放鲜花（靠墙一端不放），相邻两盆花之间的距离3米。一共需要几盆花？属于（） ①两端种②一端种③两端不种 3.两根栏杆之间，每隔5米放一个广告牌，一共放了19个。这两根栏杆之间相距多少米？ 三、知识拓展 小明要到高层建筑第12层，他走到第4层用了60秒，照这样计算，他还需要走多少秒才能到达第12层楼。
第五讲植树问题【精品】 线段上的植树问题可以分为以下3种情形： 1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=段数+1。 2）如果一端植数，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：棵数=段数。 3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1即：棵数=段数-1。 在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=段数。 学习探究： 例1、一条路长35米，在路的一边从头到尾每隔5米种一棵树，一共可以种多少棵树？ 练一练：一条路长72米，在路的一边从头到尾每隔8米种一棵树，一共可以种多少棵树？ 例2、学校门口到公路边有一条长56米的小路，小红要在小路两旁每隔7米栽一棵树，一共要栽多少棵树？ 例3、湖滨花苑两座楼房之间相距36米，物业管理公司每隔2米载一株花，一共要栽多少株花？ 例4、一个湖泊周围长320米，沿湖泊周围每隔4米载一棵杨树，一共栽了多少
棵杨树？ 练一练：一个环形赛车道长500米，周围每隔5米载一棵树，一共栽了多少棵树？ 例5、某学校在道路的一侧栽树，每隔6米栽一棵，从起点到终点共栽了12棵，求这条路长多少米？ 例6、为迎接国庆节，园林部门在一条长100米的道路两旁放置花盆，一共放置了22盆，问两个花盆间间距多少米？ 能力训练： 1、有一条长72米的公路，在公路的一侧从头到尾每隔8米种一棵树，一共需要 多少棵树苗？ 2、从小刚家门口到公路边有一条长40米的小路，小刚要在小路一旁每隔4米栽 一棵数，一共要载多少棵树？
3、两栋楼房间有一条长80米的小路，园林叔叔每隔8米种一棵树，一共需要种 多少棵树？ 4、一个圆形花圃周长36米，每隔3米放一盆花，一共放了多少盆花？ 5、一个400米长的环形跑道，每隔50米插一面小旗，一共需要插几面小旗？ 6、公园路边的一侧放了一些椅子，从起点到终点一共有68把，每两把椅子之间 都相距10米，求这条路长多少米？ 7、在600米长的公路两边从头到尾一共栽122棵树，每两棵数之间距离相等， 每两棵数之间相距多少米？ 8、花工在一块正方形场地四周种花，每边都种20株，并且四个顶点都种有一株 花，求这个场地四周共种了多少株花？ 9、两棵大树之间相距120米，园林部门计划在两棵大树中间补栽14棵小树，每 两棵树的间隔距离相等，求树的间隔是多少米？