2.1 引言 连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分方程来描述这类系统，也就是系统的输入输出之间通过他们时间函数及其对时间t的各阶导数的线性组合联系起来。 输入与输出只用一个高阶的微分方程相联系，而且不研究内部其他信号的变化，这种描述系统的方法称为输入——输出法。 此处的分析方法有很多，其中时域分析法不通过任何变换，直接求微分方程，这种方法直观，物理概念清楚，是学习各类变换域分析方法的基础。系统时域分析法包含两方面内容，一是微分方程的求解，另一是已知系统单位冲激响应，将冲激响应与输入激励信号进行卷积，求出系统的输出响应。其中第一种方法在高等数学中有详细的解释，在这里主要是解释其物理含义，并建立零输入响应和零状态响应两个重要的基本概念。虽然卷积只能用于系统的零状态响应，但他的物理概念明确。。。。。。。。。。。主要的是卷积是时域和频域之间的纽带，通过它把变换域分析赋以清晰的物理概念。 2.2 微分方程的建立与求解
激励信号为e(t)，系统响应为r(t)。 由时域经典解法，方程式的完全解由两部分组成：齐次解与特解。齐次解解法： 代入： 化简为： 特征根为：
所以微分方程的齐次解为： 其中常数A由初始条件决定。 如果有重根，即： a1相应于重根部分有k项： 特解解法：特解rp(t)的函数形式与激励函数有关，将激励e(t)代入方程式，求特解方程的待定系数，即可给出特解。 完全解： 一般需要给出初始条件才能求解系数
因此可以求出常数A a值构成的矩阵称为范德蒙德矩阵. 齐次解表示系统的自由响应，特征根表示系统的“固有频率”，特解称为系统的强迫响应，强迫响应只与激励函数的形式有关。 r(t) = rh(t) + rp(t) 2.3 起始点的跳变从0-到0+
2-1 绘出下列各时间函数的波形图。 （1）1()(1)f t tu t =- （2） 2()[()(1)](1) f t t u t u t u t =--+- （3）3()(1)[()(1)]f t t u t u t =---- （4）4()[(2)(3)]f t t u t u t =--- （5）5()(2)[(2)(3)]f t t u t u t =---- （6）6()()2(1)(2)f t u t u t u t =--+- 解： 2-5 已知()f t 波形如图题2-5所示，试画出下列信号的波形图。 t
图 题2-5 （3）3()(36) f t f t =+ （5）51 1()3 6f t f t ??= -- ? ?? 解： t t 2-6 已知()f t 波形如图题2-6所示，试画出下列信号的波形图。 图 题2-6 （4）4()(2)(2)f t f t u t =-- （6）6()(1)[()(2)]f t f t u t u t =--- 解： 2-7 计算下列各式。 （1） 0()() f t t t δ+ （2）00()()d f t t t t t δ∞ -∞ +-? （3）2 4 e (3)d t t t δ-+? （4）0 e sin (1)d t t t t δ∞ -+? （5） d [ e ()] d t t t δ- （6）0()()d f t t t t δ∞ -∞ -? （7）0()()d f t t t t δ∞ -∞ -? （8）00()d 2t t t u t t δ∞ -∞ ??-- ?? ? ? （9）00()(2)d t t u t t t δ∞ -∞ --? （10）(e )(2)d t t t t δ∞ -∞ ++? （11）(sin )d 6t t t t δ∞ -∞ π? ?+- ???? （12） j 0e [()()]d t t t t t Ωδδ∞ --∞ --? 解：(1) 原式0()()f t t δ=
1、判断题 1) 对于不同的物理系统，其输入—输出方程可以相同。 （ ） 2) 单位阶跃函数u (t )在原点有值且为 1。 （ ） 3) 卷积具有交换律和结合律，但不具有分配律。 （ ） 4) 零输入响应就是由输入信号产生的响应。 （ ） 2、一起始储能为0的系统，当输入为)(t ε时，系统响应为)(3t e t ε-，则当输入为)(t δ时，系统的响应为 3、已知某LTI 系统输入为,0),(>-a t e at ε冲激响应为)()(t t h ε=，则输出为（ ） A.)1(1at e a -- B.)()1(1t e a at δ-- C.)()1(1t e a at ε-- D.)()1(1 t e a at ---δ 4、计算下列的卷积。 1）)1()(sin )(1-*?=t t t t s εε 2）)()()(22t e t e t s t t εε--*= 3）)()()(3t t t s εε*= 5、一线性时不变因果系统，其微分方程为r ′(t ) + 2r (t ) =e (t ) +e ′(t )，求系统的单位冲激响应h (t )？ 6、)(1t f 与)(2t f 的波形如图所示。 1）写出)(1t f 与)(2t f 的表达式； 2）求)()()(21t f t f t s *=，并画出)(t s 的波形。 7、已知LTI 系统如图所示，它由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为 ) 2()()()1()(21--=-=t t t h t t h εεδ
求复合系统的冲激响应h(t)。 8、 已知)()(t h t f 与的波形图如下，请用图解法求出 )(t y zs 。 9、已知)1()1()(1--+=t t t f εε，)1()1()(2-++=t t t f δδ，)2 1 ()21()(3-++=t t t f δδ 1）分别画出)()(),(321t f t f t f 及的波形 2）求)()()(211t f t f t s *=，并画出)(1t s 的波形 3）求)()()(312t f t f t s *=，并画出)(2t s 的波形 10、某LTI 系统的微分方程为)()('2)(6)('5)("t f t f t y t y t y +=++，初始状态为 2)0(,2)0('==--y y ，试求当)()(t e t f t ε-=时的零输入响应，零状态响应和全响应。 ) (t y zs
信号与系统第2章习题 一、选择题 1、下列信号不能用复指数信号st Ae t x =)(表示的是（ ） A.冲激信号 B.直流信号 C.指数信号 D.正弦信号 2、)22(4t e t --δ等于（ ） A. t e 4- B. )22(t -δ C. )1(214--t e δ D. )1(2 1 4δ-e 3、积分 ? --+6 4 2)8(dt t e t δ等于（ ） A.0 B.16 e C.1 D.)8(+t δ 4、已知信号)(t x 如下图所示，其表达式是（ ） A.)3()2(2)(---+t u t u t u B. )3(2)2()1(---+-t u t u t u C. )3()2()(---+t u t u t u D. )3()2()1(---+-t u t u t u 5、已知信号)(t x 如下图所示，其反转右移的信号)(1t x 是（ ） A. B. C. D.
6、如下图所示：)(t x 为原始信号，)(1t x 为变换信号，则)(1t x 的表达式是（ ） A. )1(+-t x B. )1(+t x C. )12(+-t x D. )12 1 (+-t x 7、若)(t x 是已录制声音的磁带，则下列表述错误的是（ ） A.)(t x -表示将磁带倒转播放产生的信号 B.)2(t x 表示将磁带以二倍速度加快播放 C.)2(t x 表示原磁带放音速度降低一半播放 D.2)(t x 表示将磁带的音量放大一倍播放 8、设)(t x 表示你在山谷喊话的声音，则你耳朵听到的声音可表示为（ ） A.∑∞ =0)(n n t x a ，0>n a B. ∑∞ =+0)(n n n T t x a ，0,0>>n n T a C. ∑∞ =-0 )(n n n T t x a ，0,0>>n n T a D. ∑∞=-0 )(n n T t x ，0>n T 9、如下图所示周期信号)(~ t x ，其直流分量等于（ ） A.0 B.2 C.4 D.6 二、判断题 1、两个奇信号的和还是奇信号（ ） 2、任何信号可分解为直流分量与交流分量之和（ ） 3、任何信号可分解为偶分量与奇分量之和（ ） 4、)cos(t 是功率信号，)]()()[cos(T t u t u t --是能量信号（ ） 5、积分 1)(=? ∞ -t d ττδ（ ） 6、对连续周期信号进行抽样所得离散序列一定还是周期的（ ） 7、设)2()(1k x k x =，则)2/()(1k x k x =（ ） 三、简答题 1、单位冲激信号和单位脉冲序列各有什么特性？ 2、正弦信号)sin(0t ω和正弦序列)sin(0k Ω有什么区别与联系？ 3、信号的时域分解有哪几种方法？
第一章 1.1 选择题（每小题可能有一个或几个正确答案，将正确的题号填入[ ]内） 1．f （5-2t ）是如下运算的结果————————（ 3 ） （1）f （-2t ）右移5 （2）f （-2t ）左移5 （3）f （-2t ）右移 2 5 （4）f （-2t ）左移25 1.2 是非题（下述结论若正确，则在括号内填入√，若错误则填入×） 1．偶函数加上直流后仍为偶函数。 （ √ ） 2. 不同的系统具有不同的数学模型。 （ × ） 3. 任何信号都可以分解为偶分量与奇分量之和。 （ √ ） 4．奇谐函数一定是奇函数。 （ × ） 5．线性系统一定满足微分特性 （ × ） 1.3 填空题 1．=- -)2()cos 1(πδt t ()2t πδ- =--?∞∞-dt t t )2()cos 1(πδ 1 ? ∞-=t d ττωτδ0cos )(()u t ?+∞∞-=+tdt t 0cos )1(ωδ0cos ω ?∞-=+t d ττωτδ0cos )1(0cos (1)u t ω+ 第二章 2.1 选择题（每小题可能有一个或几个正确答案，将正确的题号填入（ ）内） 1．系统微分方程式),()(),(2)(2)(t u t x t x t y dt t dy ==+若 3 4)0(=-y ，解得完全响应y (t )=)0(,13 12≥+-t e t 当 则零输入响应分量为——————————— （ 3 ） （1）t e 23 1- （2）21133t e -- （3）t e 23 4- （4）12+--t e 2．已知)()(),()(21t u e t f t u t f at -==，可以求得=)(*)(21t f t f —————（ 3 ）
第二章 作业答案 2–1 已知描述某LTI 连续系统的微分方程和系统的初始状态如下，试求此系统的零输入响应。 (１))()(2)(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 2)0(=-y ，1)0(-='-y 解: 根据微分方程,可知特征方程为: 0)2)(1(0232=++?=++λλλλ 所以，其特征根为： 1, 221-=-=λλ 所以,零输入响应可设为:0)(221≥+=--t e C e C t y t t zi 又因为 ???=-=??? ?-=--='=+=--31 12)0(2)0(2 1 2121C C C C y C C y 所以,03)(2≥-=--t e e t y t t zi (2))(2)()(6)(5)(t e t e t y t y t y -'=+'+'' ?1)0()0(=='--y y 。 解: 根据微分方程，可知特征方程为： 0)3)(2(0652=++?=++λλλλ 所以，其特征根为： 3, 221-=-=λλ 所以,零输入响应可设为:0)(3221≥+=--t e C e C t y t t zi
又因为 ???-==??? ?=--='=+=--3 4 132)0(1)0(21 2121C C C C y C C y 所以,034)(32≥-=--t e e t y t t zi 2–２ 某L ＴI 连续系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 已知1)0(=-y ,2)0(='-y ,试求： （1） 系统的零输入响应)(t y zi ; （2） 输入)()(t t e ε=时，系统的零状态响应)(t y zs 和全响应)(t y 。 解： （1）根据微分方程,可知特征方程为： 0)2)(1(0232=++?=++λλλλ 所以，其特征根为: 1, 221-=-=λλ 所以，零输入响应可设为：0)(221≥+=--t e C e C t y t t zi 又因为 ???=-=??? ?=--='=+=--43 22)0(1)0(2 12121C C C C y C C y 所以,034)(2≥-=--t e e t y t t zi ? （2) 可设零状态响应为:0)(221>++=--t p e C e C t y t x t x zs 其中p 为特解，由激励信号和系统方程确定。 因为)()(t t e ε= 所以，p 为常数,根据系统方程可知，23=p 。 于是，零状态响应可设为为：02 3)(221>++=--t e C e C t y t x t x zs 将上式代入原方程中,比较方程两边的系数，可得到
第2章 习 题 2-1 求下列齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应 （1）0)(2)(3 )(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,3)0(==--y dt d y ； （2）0)(4)(22=+t y t y dt d ；给定：1)0(,1)0(==--y dt d y ； （3）0)(2)(2 )(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt d y ； （4）0)()(2 )(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt d y ； （5）0)()(2)(2233=+ +t y dt d t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(,1)0(22 ===---y dt d y dt d y 。 （6）0)(4 )(22=+t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt d y 。 解： （1）微分方程的特征方程为：2 320λλ++=，解得特征根：121, 2.λλ=-=- 因此该方程的齐次解为：2()t t h y t Ae Be --=+. 由(0)3, (0)2d y y dt --==得:3,2 2.A B A B +=--=解得:8, 5.A B ==- 所以此齐次方程的零输入响应为:2()85t t y t e e --=-. （2）微分方程的特征方程为：2 40λ+=，解得特征根：1,22i λ=±. 因此该方程的齐次解为：()cos(2)sin(2)h y t A t B t =+. 由(0)1, (0)1d y y dx --==得:1A =,21B =,解得:11,2 A B ==. 所以此齐次方程的零输入响应为:1 ()cos(2)sin(2)2 y t t t =+. （3）微分方程的特征方程为：2 220λλ++=，解得特征根:1,21i λ=-± 因此该方程的齐次解为：()(cos()sin())t h y t e A t B t -=+. 由(0)1, (0)2d y y dx --==得:1,2,A B A =-= 解得:1,3A B ==.
7.22 信号()y t 由两个均为带限的信号1()x t 和2()x t 卷积而成，即 12()()()y t x t x t =* 其中 12()0,1000()0,2000X j X j ωωπωωπ =>=> 现对()y t 作冲激串采样，以得到 ()()()p y t y nT t nT δ+∞ -∞=-∑ 请给出()y t 保证能从()p y t 中恢复出来的采样周期T 的围。 解：根据傅立叶变换性质，可得 12()()()Y j X j X j ωωω= 因此，有 当1000ωπ>时，()0Y j ω= 即()y t 的最高频率为1000π，所以()y t 的奈奎施特率为210002000ππ?=，因此最大采样周期3210()2000T s π π -= =，所以当310()T s -<时能保证()y t 从()p y t 中恢复出来。 7.27如图7.27（a ）一采样系统，)(t x 是实信号，且其频谱函数为)(ωj X ，如图7.27（b ）。频率0ω选为()2102 1 ωωω+= ，低通滤波器()ωj H 的截至频率为()122 1 ωωω-= c 。 1. 画出输出()t x 2的频谱()ωj X 2； 2. 确定最大采样周期T ，以使得()t x 可以从()t x p 恢复；
1 () X j ωω 1 021 2 ωω-122ωω-2() X j ωω 1 021 2 ωω-122ωω- 图7.27（a ） 图7.27(b) 解： 1、)(t x 经复指数调制后的01()()j t x t x t e ω-=，其傅立叶变换为 10()(())X j X j ωωω=+ 如图（a ）所示。 图（a ） 图（b ） 经低通滤波器()H j ω的输出2()x t 的频谱2()X j ω如图（b ）所示。 2、由图（b ）可见，2()X j ω的带宽为21ωω- ，所以最大采样周期为
第2章 线性时不变连续系统的时域分析 2.6本章习题全解 2.1如题图2-1所示机械位移系统，质量为m 的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上，弹簧的刚度系数为k 。刚体与地面间的摩擦系数为f ，外加牵引力为)(t F S ，求外加牵引力)(t F S 与刚体运动速度)(t v 间的关系。 题图2-1 解：由机械系统元件特性，拉力k F 与位移x 成正比，即k F kx = 又()()t x t v d ττ-∞ = ? 所以，()()()t k F t kx t k v d ττ-∞ ==? 刚体在光滑表面滑动，摩擦力与速度成正比，即()()f F t fv t = 根据牛顿第二定律以及整个系统力平衡的达朗贝尔原理，可得 ()()()()t s d F t fv t k v d m v t dt ττ-∞ --=? 整理得22()()()()s d d d m v t f v t kv t F t dt dt dt --= 2.2题图2-2所示电路，输入激励是电流源)(t i s ，试列出电流)(t i L 及1R 上电压)(1t u 为输出响应变量的方程式。
题图2-2 解：由电路的基尔霍夫电流定律可得：()()()C L S i t i t i t += （1） 根据电容特性，()()C C d i t C u t dt = （2） 由电路的基尔霍夫电压定律可得：12()()()()C C L L d u t R i t L i t R i t dt +=+ （3） 将21()()()()C L L C d u t L i t R i t R i t dt =+-代入（2）得 2212()()()()C L L C d d d i t LC i t R C i t R C i t dt dt dt =+-（4） ()()()C S L i t i t i t =-代入（4）得， 22112()()()()()()S L L L S L d d d d i t i t LC i t R C i t R C i t R C i t dt dt dt dt -=+-+ 整理得，21 212()11 ()()()()()L L L S S R R R d d d i t i t i t i t i t dt L dt LC L dt LC +++=+ （5） 将111()()(()())C S L u t i t R i t i t R ==-，即11 () ()()L S u t i t i t R =- 代入（5）得 21121112111()()()()11(())(())(())()()S S S S S u t R R u t u t R d d d i t i t i t i t i t dt R L dt R LC R L dt LC +-+-+-=+ 整理得，22 1211211122()()()()()()S S R R u t R R d d d u t u t R i t i t dt L LC dt L dt ++ +=-- 2.3某连续系统的输入输出方程为 )(')(4)('3)("2t x t y t y t y =++已知)()(t u t x =，1)0(=-y ,1)0('=-y ，试计算)0(+y 和)0('+y 值。 解：将输入代入系统方程可得()t t y t y t y δ=++)(4)('3)("2 采用冲激函数匹配法求)0(+y 和)0(' +y 方程右端的冲激函数项最高阶数为()t δ，设
第一章 1-1 判断下面的信号是否为周期信号，如果是，确定其基本周期。 ) 5cos(2)2cos()4()()4 2sin(4)2(t t t u t +- ππ π解： (2) ?? ?><=0 100)(t t t u ?? ? ??>-<=-0 )42sin(400 )()42sin(4t t t t u t π πππ不符合周期信号的定义， 所以) ()42sin(4t u t π π-不是周期信号。 (4) 52,12221πππ= ==T T ，π2521=T T 为无理数， 所以)5cos(2)2cos(t t +π不是周期信号。
1-2 判断下面的序列是否为周期序列，如果是，确定其基本周期。 ) 6 ( cos )6(2 k π 解： ? ?? ???+=)3cos(121)6(cos 2 k k ππ m N ==?=Ω= Ω6322, 3 00ππππ 为有理数， 所以 ) 6( cos 2 k π 是周期序列，周期为 6 20 =Ω=π m N 。 1-6 判断下列信号是能量信号、还是功率信号或者都不是。 t e 32)3(- 解： (3) 非周期信号
[] ∞ ==-=-====∞→-∞ →--∞→--∞ →--∞→-∞→? ??T m i l T T T m i l T T T t m i l T T T t m i l T T T t m i l T T T m i l T e e e e dt e dt e dt t f E 666662 32 3 2)(3 2)64(42)(∞ =====∞→∞→∞→-∞ →? 3 6321)(21662 T m i l T T m i l T m i l T T T m i l T e T e E T dt t f T P 由于能量E 和功率P 都不是有限值，所以 信号2e -3t 为非能量非功率信号。 一般来说，周期信号是功率信号，其平均功率可以在一个周期内计算。属于能量信号的非周期信号称为脉冲信号，它在有限时
第一章 习 题 1-1 试分别指出以下波形是属于哪种信号？ 题图1-1 1-2 试写出题1-1图中信号的函数表达式。 1-3 已知信号)(1t x 与)(2t x 波形如题图1-3中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以 标注。 题图1-3 ⑴ )2(1-t x ⑵ )1(1t x - ⑶ )22(1+t x ⑷ )3(2+t x ⑸ )22 ( 2-t x ⑹ )21(2t x - t )(a t ) (b t ) (c n t ) (b t )(a
⑺ )(1t x )(2t x - ⑻ )1(1t x -)1(2-t x ⑼ )2 2(1t x - )4(2+t x 1-4 已知信号)(1n x 与)(2n x 波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以 标注。 题图1-4 ⑴ )12(1+n x ⑵ )4(1n x - ⑶ )2 (1n x ⑷ )2(2n x - ⑸ )2(2+n x ⑹ )1()2(22--++n x n x ⑺)2(1+n x )21(2n x - ⑻ )1(1n x -)4(2+n x ⑼ )1(1-n x )3(2-n x 1-5 已知信号)25(t x -的波形如题图1-5所示，试作出信号)(t x 的波形图，并加以标注。 题图1-5 1-6 试画出下列信号的波形图： ⑴ )8sin()sin()(t t t x ΩΩ= ⑵ )8sin()]sin(2 11[)(t t t x ΩΩ+= ⑶ )8sin()]sin(1[)(t t t x ΩΩ+= ⑷ )2sin(1)(t t t x = n n )(a t
《信号与系统》课程习题与解答 第二章习题 (教材上册第二章p81-p87) 2-1,2-4～2-10,2-12～2-15,2-17～2-21,2-23,2-24 第二章习题解答2-1 对下图所示电路图分别列写求电压的微分方程表示。
图(a)：微分方程： 11 222 012()2()1()()()2()() ()()2()()() c c c di t i t u t e t dt di t i t u t dt di t u t dt du t i t i t dt ? +*+=?? ?+=??? ?=???=-? 图（b ）：微分方程：?????????-==+++=+++??2 021' 2'21' 2'11)(01)(1Ri t v Ri Mi Li dt i C t e Ri Mi Li dt i C ) ()(1)(2)() 2()(2)() (3 302 002 22 03 304 42 2t e dt d MR t v C t v dt d C R t v dt d C L R t v dt d RL t v dt d M L =+ + + ++-? 图(c)微分方程： dt i C i L t v ?= =2 1 1 ' 101)( ?????????===??dt t v L i t v L i dt d t v L i dt d )(1) (1)(10110'1 122 01 1 ∵ )(1 22111213t i dt d L C i i i i +=+= ) (0(1] 1 [ ] [ 101 011 02 211 03 31 t e dt d R t v RL v dt d RR L C v dt d R C R C v dt d CC μ= + + ++ +? 图(d)微分方程：?? ??? +-=++=?)()()()()(1)()(11111t e t Ri t v t v dt t i C t Ri t e μ RC v dt d 1 ) 1(1+ -?μ)(11t e V CR = ∵ ) ()(10t v t v μ=) ()(1)1(0'0 t e R v t v R Cv v = + -? 2-4 已知系统相应的其次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应。
第二章 2、1 已知描述系统得微分方程与初始状态如下，试求其零输入相应（1）y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t), y(0-)=1, y’(0-)=-1 解：微分方程对应得特征方程为λ2+5λ+6=0 其特征根为λ1=-2，λ2=-3,系统得零输入响应可写为 y zi (t)=C1e-2t+C2e-3t 又(0-)=y(0-)=1, ()=()=-1,则有 1=+ -1=-2-3 由以上两式联立，解得=2=-1 即系统得零输入响应为(t)=2-,t (2) 微分方程得特征方程为 其特征根系统得零输入响应可写为 又()=()=-2,则有 )= 以上两式联立，解得 因此系统得零输入响应为， (3) 微分方程对应得特征方程为
其特征根为=-1，系统得零输入响应可写为 又)=()=则有)=，()=-=1 以上两式联立，解得 因此系统得零输入响应为 , (4) 微分方程对应得特征方程为 其特征根为系统得零输入响应可写为 又)=()=则有)=()==0 因此系统得零输入响应为 (5) 微分方程对应得特征方程为
其特征根为, 系统得零输入响应可写为 + 又)=()= 则有 )= () = 以上三式联立，解得 ， 因此系统得零输入响应为 ,t 2、2已知描述系统得微分方程与初始态度如下，试求其 (1) 输入则方程右端不含冲激函数项，则f(t)及其导数在t=0处均不发生跃变，即 (2) 将代入微分方程，有 ○1
由于方程右端含有项，则，设 (t)+ ○2 其中不含及其导数项。 对○2式两边从-到t积分，得 (t)+b+○3 其中(t)，而(t)=(故不含及其导数项。 同理，对○3式两边从-到t积分，得 ○4 其中及其导数项。 将○2○3○4式代入○1式，整理得 a(t)+(8a+6b+c)+ 比较上式两端及其各阶导数前得系数，有 a=1 6a+b=0 8a+6b+c=0 以上三式联立，解得 a=1,b=-6,c=28 对○2○3两式两端从积分，得
第二章习题 2-1 激光是一种时间相干光束，也即对于任意的两个时刻t1和t2，当t2-t1不是很大时，激光器的发射光场U(t1)和U(t2)是统计相关的。令X=U(t1)，Y=U(t2)，t2-t1>0；且假设随机变量X和Y联合高斯的，即 22 2 2 (,)],(0,1) 2(1) x y xy p x y ρ ρ ρ +- =-≠ - 试求随机变量X和Y的边缘密度函数。如果在时刻t1测得激光的照度X=x，那么在此条件下，随机变量Y的密度函数是否服从零均值高斯分布？ 解：随机变量X和Y是联合高斯的，则其边缘概率密度函数都是一元高斯密度函数，且若N x×1和N y×1维实随机向量X和Y的二元联合高斯密度函数的表达形式为 ()/21/2 T T1 1 (,) (2π)(det) 1 exp{()()} 2 x y N N x x y y p + - = - ?? ?? ?---?? ??- ?? x y C xμ xμyμC yμ 其中，μx和μy分别是随机向量X和Y的期望值；C是X和Y的联合协方差函数，即 x xy yx y ?? =?? ?? C C C C C 则随机向量X和Y的边缘概率密度函数为 T1 /21/2 T1 /21/2 11 ()exp[()()] (2π)(det)2 11 ()exp[()()] 2 (2π)(det) x y x N x y y y N y p p - - ? =--- ? ? ? ?=--- ?? x x x xμC xμ C y yμC yμ C 题中X和Y 是一维变量， 22 2 2 (,)],(0,1) 2(1) x y xy p x y ρ ρ ρ +- =-≠ - ，所以N x=N y=1，μx=μy=0， 1 1 ρ ρ ?? =?? ?? C，则可得随机变量X和Y的边缘密度函数为 2 2 1 ()) 2 1 ()) 2 p x x p y y ? =- ?? ? ?=- ?? . 若随机向量x和y分别是N x×1和N y×1维实高斯向量，并且是联合高斯的，则在给定x 的条件下，随机向量y的条件密度函数p(y|x)是高斯的，即
《信号与系统》复习题 1．已知f(t)如图所示，求f(-3t-2)。 2．已知f(t)，为求f(t0-at)，应按下列哪种运算求得正确结果？（t0和a都为正值）
3．已知f(5-2t)的波形如图，试画出f(t)的波形。 解题思路：f(5-2t)?? ???→?=倍 展宽乘22/1a f(5-2×2t)= f(5-t)
??→?反转f(5+t)??→?5 右移f(5+t-5)= f(t) 4．计算下列函数值。 （1） dt t t u t t )2(0 0--?+∞ ∞-） （δ （2） dt t t u t t )2(0 --?+∞ ∞-） （δ （3） dt t t e t ?+∞ ∞ --++） （2)(δ 5．已知离散系统框图，写出差分方程。 解：2个延迟单元为二阶系统，设左边延迟单元输入为x(k) 左○ ∑:x(k)=f(k)-a 0*x(k-2)- a 1*x(k-1)→ x(k)+ a 1*x(k-1)+ a 0*x(k-2)=f(k) (1) 右○ ∑: y(k)= b 2*x(k)- b 0*x(k-2) (2) 为消去x(k)，将y(k)按（1）式移位。 a 1*y(k-1)= b 2* a 1*x(k-1)+ b 0* a 1*x(k-3) (3) a 0*y(k-2)= b 2* a 0*x(k-2)-b 0* a 0*x(k-4) (4) (2)、（3）、（4）三式相加：y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b 2*[x(k)+ a 1*x(k-1)+a 0*x(k-2)]- b 0*[x(k-2)+a 1*x(k-3)+a 0*x(k-4)] ∴ y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b 2*f(k)- b 0*f(k-2)═>差分方程
52页例2-13 >> %program2-8 >> t=-3:0.001:3; >> ft=tripuls(2*t,4,0.5); >> ft1=tripuls(2*t,4,0.5); >> subplot(2,1,1) >> plot(t,ft1) >> title('f(2t)') >> ft2=tripuls((2-2*t),4,0.5); >> subplot(2,1,2) >> plot(t,ft2) >> title('f(2-2*t)') 53页例2-14 >> %program2_9 the energy of exponential sequence >> k=0:10; >> A=1;a=-0.6; >> fk=A*a.^k; >> W=sum(abs(fk).^2) W = 1.5625
54页例2-15 function yt = f2_2(t) yt=tripuls(t,4,0.5); %program2_10 differentiation h=0.001;t=-3:h:3; y1=diff(f2_2(t))*1/h; plot(t(1:length(t)-1),y1) title('df(t)/dt') -3-2-10123 -1.2-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 df(t)/dt
%program2_11 integration t=-3:0.1:3; for x =1:length(t) y2(x)=quad('f2_2',-3,t(x)); end plot(t,y2) title('integral of f(t)')
1-1 试分别指出以下波形是属于哪种信号 题图1-1 1-2 试写出题1-1图中信号的函数表达式。 1-3 已知信号)(1t x 与)(2t x 波形如题图1-3中所示，试作出下列各信号的波形图，并 加以标注。 题图1-3 ⑴ )2(1-t x ⑵ )1(1t x - ⑶ )22(1+t x ⑷ )3(2+t x ⑸ )22 (2-t x ⑹ )21(2t x - ⑺ )(1t x )(2t x - ⑻ )1(1t x -)1(2-t x ⑼ )2 2(1t x -)4(2+t x 1-4 已知信号)(1n x 与)(2n x 波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以 标注。 题图1-4 ⑴ )12(1+n x ⑵ )4(1n x - ⑶ )2 (1n x ⑷ )2(2n x - ⑸ )2(2+n x ⑹ )1()2(22--++n x n x ⑺)2(1+n x )21(2n x - ⑻ )1(1n x -)4(2+n x ⑼ )1(1-n x )3(2-n x 1-5 已知信号)25(t x -的波形如题图1-5所示，试作出信号)(t x 的波形图，并加以标注。 题图1-5 1-6 试画出下列信号的波形图： ⑴ )8sin()sin()(t t t x ΩΩ= ⑵ )8sin()]sin(2 1 1[)(t t t x ΩΩ+ =
⑶ )8sin()]sin(1[)(t t t x ΩΩ+= ⑷ )2sin(1)(t t t x = 1-7 试画出下列信号的波形图： ⑴ )(1)(t u e t x t -+= ⑵ )]2()1([10cos )(---=-t u t u t e t x t π ⑶ )()2()(t u e t x t --= ⑷ )()() 1(t u e t x t --= ⑸ )9()(2 -=t u t x ⑹ )4()(2 -=t t x δ 1-8试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图。 ⑴ )1(1)(2Ω-Ω= Ωj e j X ⑵ )(1 )(Ω-Ω-Ω =Ωj j e e j X ⑶ Ω -Ω---=Ωj j e e j X 11)(4 ⑷ 21 )(+Ω=Ωj j X 1-9 已知信号)]()([sin )(π--=t u t u t t x ，求出下列信号，并画出它们的波形图。 ⑴ )() ()(221t x dt t x d t x += ⑵ ττd x t x t ?∞-=)()(2 1-10 试作出下列波形的奇分量、偶分量和非零区间上的平均分量与交流分量。 题图1-10 1-11 试求下列积分： ⑴ ?∞ ∞--dt t t t x )()(0δ ⑵ ? ∞ ∞ ---dt t t u t t )2()(00δ ⑶ ? ∞ ∞---dt t t t e t j )]()([0δδω ⑷ ?∞ ∞--dt t t )2(sin π δ ⑸ ? ∞ ∞ --++dt t t t )1()2(3δ ⑹ ? --11 2)4(dt t δ 1-12试求下列积分： ⑴ ? ∞ -'-=t d t x ττδτ)()1()(1 ⑵ ?∞ --=t d t x ττδτ)()1()(2 ⑶ ? ∞ ---= t d u u t x ττττ)]1()([)(3
第二章 习题 1.(b) 由微分算子 1212021 ()()()()1()()()0()()Lp R i t Mpi t e t pC Mpi t Lp R i t pC u t Ri t ?+++=?? ? +++=?? ?=-?? 322243222 1 () () ()221 1 ()2()1 e t Lp R pC Mp Mp e t i t L R M L p LRp R p p Mp Lp R C C C pC Lp R Mp pC ++= = ---+--++++ 224322302()221 [()2()]()u t L R M L p LRp R p p Mp e t R C C C ----+--= 所以 224322302221 [()2()]()()L R L M p LRp R p p u t MRp e t C C C -+++ ++= 即 43232 2 2 0000043223221()()2()()()()()()d d L d R d d L M u t LR u t R u t u t u t MR e t dt dt C dt C dt C dt -+++++= 2. 求汽车底盘的位移量)(t y 和路面不平度)(t x 之间的微分方程 解：弹簧和减震器的位移量为：()()y t x t - 弹簧的弹力为：1[()()]F k y t x t =- 减震器的阻力：2[()()] d y t x t F f dt -= 汽车底盘的惯性力：232() d y t F m dt = 根据达朗贝尔原理得到：3210F F F ++=，将上述表达式代入得到 ( t e ) (0t + -
2.1引言 连续时间系统处理通常用微分方程描述的连续时间信号，即系统的输入和输出通过其时间函数及其导数与时间t连接。 输入和输出仅通过一个高阶微分方程连接，并且未研究其他内部信号的变化。这种描述系统的方法称为输入输出方法。 这里有很多分析方法，其中时域分析方法无需任何变换即可直接求解微分方程。该方法直观，物理概念清晰，是学习各种变换域分析方法的基础。系统时域分析方法包括两个方面：一是求解微分方程。另一种方法是通过将脉冲响应与输入激励信号进行卷积来获得系统的输出响应。第一种方法在高等数学中有详细的解释。在此主要说明其物理含义并建立两个重要的基本概念：零输入响应和零状态响应。尽管卷积只能用于系统的零状态响应，但其物理概念很清楚……主要是卷积是时域和频域之间的链接，通过该链接变换域分析给出了明确的物理概念。 2.2微分方程的建立与求解 激励信号为e（T），系统响应为R（T）。 该方程的完整解包括两部分：齐次解和特殊解。 均质溶液法： 插： 简化如下： 特征根如下 因此，微分方程的齐次解为：
常数a由初始条件确定。 如果存在多个根，则为： A1的K项对应于重根部分 特殊解：特殊解RP（T）的函数形式与激励函数有关。可以通过将激励e（T）代入方程并找到特殊解方程的待定系数来获得特殊解。 完整的解决方案： 通常，需要给出初始条件来求解系数 因此，可以得到常数a A值矩阵称为Vandermonde矩阵 齐次解表示系统的自由响应，特征值表示系统的“固有频率”，特殊解称为系统的强制响应。强制响应仅与激励函数的形式有关。 r（t）= rh（t）+ rp（t） 2.3起点从0-跳到0+ 在系统分析中，响应间隔定义为添加激励信号e（T）后系统的状态变化间隔。通常，激励e（T）从T = 0的时间开始加上，因此系统的响应间隔设置为0 + <= T <无限 这组状态称为系统的初始状态（称为0状态）。它包含所有“过去”信息以计算将来的响应。在添加激励信号e（T）后，由于激励的影响，状态组可能会从0-变为0 +。a的值由响应间隔中t = 0 +处的一组状态确定 因此，这组状态称为初始状态（称为0 +状态，也称为“派生的起始状态”）