高二数学同步辅导教材（第17讲）
一、 本章主要内容 8.6抛物线的简单几何性质 课本第120页至第123页 二、 本讲主要内容
1、抛物线的简单几何性质及运用
2、直线和抛物线的位置关系 三、学习指导
1、抛物线的简单几何性质 （1）自身固有的几何性质
① 位置关系：焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴；顶点是焦点及焦点在准线上射影的中点；
② 数量关系：焦点到准线距离为p 。 离心率e=1，通径长为2p
（2）解析性质：以抛物线y 2
=2px （p>0）为例
① 范围：x ≥0，y ∈R ② 基本参数：焦点F （
2p ，0），准线x=2
p
-，顶点（0，0） ③ 焦半径：抛物线y 2
=2px （p>0）上点P （x 0，y 0）到焦点F 距离r=x 0+2
p
抛物线y 2
=-2px （p>0）上点P （x 0，y 0）到焦点F 距离r=
2p -x 0 抛物线x 2
=2py （p>0）上点P （x 0，y 0）到焦点F 距离r=y 0+2p
抛物线x 2
=-2py （p>0）上点P （x 0，y 0）到焦点F 距离r=2
p -y 0
2、直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系与直线与椭圆双曲线的位置关系一样，有三种：相离、相交、相切，判断方程仍然是判别式法（△法），其中当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线方程与抛物线方程联立消元后所得方程为一元一次方程。所以在用判别式的符号判断直线与抛物线位置关系时，应注意这一退化情形。
四、典型例题
例1、当k 为何值时，直线y=kx+k-2与抛物线y 2
=4x 有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 解题思路分析：
直线与抛线线位置关系的判断通过它们的方程构成的方程组的解的情况来判断。
由 ???=-+=x
4y 2k kx y 2得：k 2x 2+2(k 2-2k-2)x+(k-2)2
=0
当k=0时，方程退化为一次方程，-4x+4=0，该方程只有一解x=1，原方程组只有一组解?
??-==2y 1
x ，
∴直线y=-2与抛物线只有一个公共点。
当k ≠0时，二次方程的△=4(k 2
-2k-2)2
-4k 2
(k-2)2
=-16(k 2
-2k-1)
当△>0得k 2
-2k-1<0，21k 21+<<-，∴当0k 21<<-，或21k 0+<<时，直线与抛物线
有两个公共点
由△=0得k=21±，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点 由△<0得21k -<，或21k +>，此时直线与抛物线无公共点
注：1、由本题可知，直线与抛物线只有一个公共点的含义有两种位置情形：
?
??直线与抛物线相切称轴此直线平行于抛物线对直线与抛物线相交)
(
2、因抛物线方程不是关于x 、y 的齐次式，故在消元过程中应适当加以选择，如本题，应消去x 较方便。请同学们实践一下。
例2、过抛物线y 2
=2px （p>0)焦点F 的直线与抛物线交于P 、Q 两点，线段PQ 的中垂线交x 轴于R ，求证：|PQ|=2|FR|。
解题思路分析：
引入参数求出|PQ|及|FR|，因PQ 是过F 的旋转直线系，所以将直线PQ 的斜率作为参数。 显然直线PQ 的斜率存在
设直线PQ ：)2
p
x (k y -=
由 ??
??
?
=-=px
2y )2p x (k y 2得：04p k x )2k (p x k 22
22=++- 设P （x 1，y 2），Q （x 2，y 2），则由抛物线定义得：
2
22121k )1k (p 2p x x )2p x ()2p x (|QF ||PF ||PQ |+=++=+++=+=
为求|FR|，下求点k 坐标，设PQ 中点（x 0，y 0） 则 22210k 2)2k (p 2x x x +=+=，k p )2p x (k y 0
0=+= ∴ PQ 中垂线方程：2
2k
2)2k (p x (k 1
k p y +--=-） 令y=0，得：2
2k k )
2k 3(p x +=
∴ |FR|=2
2k k )
1k (p |2p x |+=-
∴ |PQ|=2|FR|
注：1、本题在求弦长|PQ|时，因直线PQ 过焦点，故采用了定义，简化计算。
2、在求PQ 中点M 坐标时，除了用韦达定理法，还可用点差法，而且因为抛物线方程是非次式，用点差法相对来说简单一些。
y 12
=2px 1 ① y 22=2px 2 ②
①-②得：(y 1-y 2)(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2) ∵ x 1≠x 2 ∴
2
12121y y p 2x x y y +=--
∴ 0
y 2p
2k =
∴ k
p y 0=
例3、抛物线C ：y 2
=4x ，过点A （0，-2）的直线 交P 、Q 两点，OP 、OQ 为邻边作平行四边形CPRQ 。 （1）求点R 的轨迹方程；
（2）是否存在直线 ，使四边形OPRQ 为正方形，证明你的结论。
解题思路分析：
本题的关键是如何利用平行四边形的性质找到点R 满足的等量关系。利用对角线互相平分，即相对顶点的中点重合的性质较简单，因P 、Q 为直线与抛物线的中点，故在求PQ 中点时，应考虑利用韦达定理。
设直线PQ ：y=kx-2
由???-==2kx y x 4y 2得：k 2x 2-4(k+1)x+4=0（*） 设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），R （x 0，y 0） ∵ POQR 为平行四边形 ∴ PQ 与OR 互相平分 即 ???=+=+021
021y y y x x x
∴ 2
0k )1k (4x +=
①
k
4
)2kx ()2kx (y 210=
-+-= ② ①、②两式消去k 得：y 2
+4y=4x 又因式（*）的△=16(k+1)2
-16k 2
>0
∴ k>2
1-
∴ y 0>0，或y 0<-8 ∴ 点R 的轨迹方程是y 2
+4y=4x ，y<-8或y>0
（2）平行四边形OPRQ 要成为正方形，需要增加两个条件，所以应在定性（垂直等）及定量（相等等）选择适当的条件。
①由OP ⊥OQ 得：x 1x 2+y 1y 2=0 ∴ x 1x 2+(kx 2-2)(kx 2-2)=0 即 (1+k 2
)x 1x 2-2k(x 1+x 2)+4=0 由韦达定理得：04k )1k (4k 2k 4)k 1(2
2
2=++?
-?+
∴ 2
1k =
②由OR ⊥PQ 得：2k OR -= ∴
2x y 0
-= ∴ y 0=-6，但y 0<-8，或y 0>0 ∴ 不存在
例4、点A 在第一象限，点B 在第四象限，线段AB 过x 轴上一定点M （m ，0）（m>0），且A 、B 到x 轴的距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过O 、A 、B 三点作抛物线P ，求： （1）P 的方程；
（2）当tan ∠AOB=-1时，m 的取值范围。 解题思路分析： 用待定系数法求P 的方程
（1）设P ：y 2
=2px ，直线AB ：y=k(x-m)（k ≠0）
由???-==)m x (k y px 2y 2得：ky 2-2py-2kmp=0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） ∵ |y 1||y 2|=2m ，y 1y 2<0 ∴ 2mp=2m ，p=1 ∴ P ：y 2
=2x
（2）由条件tan ∠AOB=-1转化为建立关于m 的函数关系，利用函数值域的概念确定m 的取值范围。 （i ）当直线AB 的斜率不存在时
由???==x 2y m x 2得：A （m 2,
m ），B （m 2,m -），m
2k ,m
2k OB OA -
==
代入tan ∠AOB=
OB OA OB OA k k 1k k +-得：
12
m m 22-=-，m 2
-12m+4=0 ∴ 246m ±= 又由
12
m m
22-=-得：m<2 ∴ 246m -=
（ii ）当直线AB 的斜率存在时
由???-==)
m x (k y x 2y 2得：ky 2-2y-2km=0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），（y 1>0，y 2<0） 则 2
OB 111OA y 2
k ,y 2x y k ===
代入tan ∠AOB=OB OA OB OA k k 1k k +-得：14
m 2)
y y (212-=+--
∴ y 2-y 1=m-2
又 (y 2-y 1)2
=(y 2+y 1)2
-4y 1y 2 ∴ )m 2(4k
4)2m (2
2--=
- ∴ 2
2k 44m 12m =+-，将此式看成是m 2
-12m+4关于k 的函数
∵
0k 4
2>
∴ m 2
-12m+4>0
∴ m<6-24，或m>6+24（舍）
综上所述，m ∈(0，6-24]
注：在（1）中化简|y 1y 2|时，通过分析点A 、B 的位置特征，确定y 1y 2<0，体现了数形结合的思想。 五、同步练习 （一）选择题
1、等腰直角△ABO 内接于抛物线y 2
=2px （p>0），O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是
A 、 8p 2
B 、4p 2
C 、2p 2
D 、p 2
2、已知A 、B 是抛物线y 2
=2px （p>0）上两点，O 为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB 的垂心恰好是抛物的焦点，则直线AB 的方程是
A 、x=9
B 、x=3p
C 、x=
23p D 、x=2
5
p 3、过抛物线y 2
=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），如果x 1+x 2=6，则|AB|等于 A 、10 B 、8 C 、6 D 、4
4、已知P （4，-1），F 为抛物线y 2
=8x 的焦点，M 为此抛物线上的点，且使|MP|+|MF|的值最小，则M 点坐标是
A 、（0，0）
B 、（4，24）
C 、（4，24-）
D 、（81，-1）
5、方程x 2y -=所表示的曲线形状是
A B C D 6、过（0，20的直线 与抛物线y 2
=4x 仅有一个公共点，则满足条件的直线 共有 A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条
7、设抛物线y 2
=4x 的焦点弦被焦点分为两部分，它们的长度分别为m 和n ，则m 与n 的关系是 A 、m+n=4 B 、mn=4 C 、m+n=mn D 、m+n=2mn
8、抛物线y 2
=2px （p>0）的动弦A 降为a （a ≥p ），则弦AB 中点M 到y 轴的最短距离为
A 、
2a B 、2p C 、2p 2a + D 、2
p
2a - 9、抛物线y=x 2
上点到直线y=2x-4的距离最短的点的坐标是 A 、（41,21） B 、（1，1） C 、（4
9,23） D 、（2，4）
10、边长为1的正△AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A 、B 两点的抛物线方程是 A 、x 63y 2=
B 、x 63y 2-=
C 、x 63y 2±=
D 、x 3
3
y 2±= （二）填空题
11、抛物线y 2
=-12x 一条弦AB 的中点M （-2，-3），则此弦所在直线方程是________。
12、过抛物线y 2
=4x 的焦点作一条倾斜角为α的弦AB ，若|AB|≤8，则α的取值范围是________。 13、已知直线 ：y=mx-4与抛物线C ：y 2
=8x 只有一个公共点，则实数m=________。
14、已知直线 与抛物线y 2
=8x 交于A 、B 两点，且 经过抛物线的焦点，A 点坐标为（8，8），则线段AB 中点到准线的距离是________。
15、若抛物线y 2
=2ax 与椭圆
116
y 25x 2
2=+有共同的焦点，则a=________。 （三）解答题
16、若抛物线y 2
=2px （p>0）上一点P 到准线及对称轴距离分别是10和6，求P 点横坐标及抛物线方程。
17、求与直线 ：x=-2相切且过点A （2，0），圆心在直线4x-5y+12=0上的圆方程。
18、已知抛物线y 2=4ax （a>0)的焦点为A ，以B （a+4，0）为圆心，|AB|长为半径，在x 轴上方的半圆交抛物线于不同的两点M 、N ，P 是MN 中点。 （1）求|AM|+|AN|的值；
（2）问是否存在这样的a 值，使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列。 19、A 、B 是抛物线y 2=2px （p>0）上两点，OA ⊥OB （O 为原点），求证： （1）A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值； （2）直线AB 经过一定点。
20、已知抛物线y 2
=2px （P>0）上有三点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），且x 1 六、参考答案 （一）选择题 1、B 。 A 、B 关于x 轴对称，OA 、OB 与x 轴夹角为450 ，由???==px 2y x y 2得???==0y o x 或? ??==p 2y p 2x ，∴ |OA|=|OB|=22P ，∴S= 2 1|OA|2=4P 2 2、D 。 A 、B 关于x 轴对称，设直线AB ：x=m ，则A （pm 2,m -），B （pm 2,m ） ，设焦点F （2 p ，0），由AF ⊥OB 得OB AF k k ?=-1，∴ 2 p m pm 2m pm 2- ? -=-1，解之得p 25 m =。 3、B 。 |AB|=|AF|+|BF|=2 p x 2p x 21+++，∴|AB|=x 1+x 2+p=6，∴|AB|=8。 4、D 。 |MF|等于点M 到准线x=2的距离，|MP|+|MF|的最小值为P 到准线距离，由???=-=x 8y 1y 2得?? ???-== 1 y 81x ， 即为此时点M 坐标。 5、D 。 6、C 。 当k 不存在时， 方程为x=0（y 轴），与抛物线只有一个公共点；当k 存在时，由???=+=x 4y 2 kx y 2 得k 2x 2 +4(k-1)x+4=0，当k=0时，方程的解为x=1，直线 与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，由△=16(k-1)2 -16k 2 =0得k=2 1 时，方程只有一解，直线 与抛物线只有一个公共点。所以直线共有三条，本题也可直接画图求解。 7、C 。 当m=n 时，焦点弦垂直x 轴，在y 2 =4x 中，令x=1，得y 2 =4，y=±3，m=n=2，m+n=4=mn ；当 m ≠n 时，设焦点弦所在直线方程为y=k(x-1)，由???=-=x 4y )1x (k y 2得k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2 =0，设焦点弦的两端点 横坐标分别为x 1，x 2，则x 1+x 2= 2 2k )2k (2+,x 1x 2=1，∴m+n=x 1+1+x 2+1=x 1+x 2+2， mn=(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=x 1+x 2+2，∴m+n=mn 。 8、D 。 当AB 过焦点时，其中点到y 轴距离最短，大小为 2 p a -。 9、C 。 设抛物线上任一点P （x 0，y 0），则P 到直线y=2x-4的距离为5 | 3)1x (|5 | 4y x 2|d 2000+-= --=≥ 5 3，当且仅当x 0=1，y 0=1时等号成立。 10、C 。 A （21,23），或)21,23(-代入y 2 =2mx （m ≠0）得m=±12 3. （二）填空题 11、 2x-y+1=0 。设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 12=-12x ，y 22 =-12x 2，两式相减得2 12121y y 12 x x y y +-=--， ∴k=2，又AB 过点M （-2，-3），∴AB 所在直线方程为y+3=2(x+2)。 12、]43 ,4[ππ。由弦长公式得|AB|=α=α22sin 4sin p 2，∴α 2sin 4≤8，sin α≤22-（舍），或sin α≥ 22，又α∈[0，π），∴4 π≤α≤π43 。 13、21,0-。由???=-=x 8y 4m x y 2得my 2 -8y-32=0，当m=0时，y=-4，x=2；当m ≠0时，由△=0得21m -=， y=-8，x=8。 14、425。由?? ??? =-=x 8y )2x (34y 2得2x 2 -17x+8=0，∴4252p x x d 21= ++=。 15、 ±6 。椭圆焦点（±3，0），∴32 | a |=，∴a=±6。 （三）解答题 16、解：设P （x 0，y 0） 则 ?? ???=+=102p x px 260 2 ∴ ? ??==2p 9x 0 ∴ P 点横坐标为9，抛物线方程为y 2 =4x 17、解：圆心到 的距离与到点A 距离相等 ∴ 圆心在抛物线y 2 =8x 上 由???=+-=012y 5x 4x 8y 2得?????==2y 21x ,或?? ?==12y 18x ∴ 圆心坐标为( 2 1 ，-2),(18，12) ∴ 半径r= 2 5 221=+，或r=20 ∴ 所求圆的方程为4 25)2y ()21x (22=++-，或(x-18)2+(y-12)2 =400。 18、解：（1）|AB|=4，圆方程为[x-(a+4)]2+y 2 =16 由?????==++-ax 4y 16y )]4a (x [222得：x 2+2(a-4)x+8a+a 2=0 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），P （x 0，y 0） 则 x 1+x 2=-2(a-4)，x 1x 2=a 2 +8a ∴ 当△=4(a-4)2 -4(a 2 +8a)>0，0 x x x 2 10-=+= ， a 8a 2a 28a x x 2x x a )x x (a 2 ax 4ax 42 y y y 221212 212 12 10++-=++=+=+=+= ∴ P （4-a ，a 8a 2a 28a 2++-） ∵ 2|AP|=|AM|+|AN|=8 ∴ |AP|=4 ∵ A （a ，0） ∴ 4)a 8a a 2)a 28(a ()4a 2(222=++-+- ∴ 16a 8a a 2)a 28(a )4a 2(22=++-+- 解之得a=1 ∴ a ?(0，1) ∴这样的a 不存在。 19、解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 则 y 12 =2px 1，y 22 =2px 2 ∵ OA ⊥OB ∴ 1x y x y 2 2 11-=? ∴ x 1x 2+y 1y 2=0 ∴ 0p 4y y y y 2 2 22121=+ ∴ y 1y 2=-4p 2 ，x 1x 2=4p 2 （3）由?????==2 221 21px 2y px 2y ，相减得212121y y p 2x x y y +=-- ∴ 2 1AB y y p 2k += ∴ 直线AB ：)x x (y y p 2y y 12 11-+= - ∴ )p 2y x (y y p 2y y 2 1211-+= - ∴ )p 2x (y y p 2y 2 1-+= ∴ 直线AB 过定点（2P ，0）。 20、由已知，x 2-x 1=x 3-x 2 ∴ 2x 2=x 1+x 3 又 |AF|+|CF|=)2 p x (2p x 22p x 2p x 2231+=+=+++ =2|BF| ∴ |AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 七、附录 例1的解：由 ???=-+=x 4y 2k kx y 2得：k 2x 2+2(k 2-2k-2)x+(k-2)2 =0 （1）当k=0时，x=1，y=-2，直线x=1与抛物线只有一个公共点； （2）当k ≠0时，△=4(k 2 -2k-2)2 -4k 2 (k-2)2 =-16(k 2 -2k-1) ①由△>0得：21k 21+<<-，∴0k 21<<-，或21k 0+<<时，直线与抛物线有两个公共点 ②由△=0得：k=21±，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点 ③由△<0得：21k -<，或21k +>，此时直线与抛物线无公共点 综上所述，当k=0，或k=21±时，直线与抛物线只有一个公共点； 当21- 例2的解：设直线PQ ：)2 p x (k y -= 由 ?? ?? ? =-=px 2y )2p x (k y 2得：04p k x )2k (p x k 22 22=++- 设P （x 1，y 2），Q （x 2，y 2），则由抛物线定义得： 2 22121k )1k (p 2p x x )2p x ()2p x (|QF ||PF ||PQ |+=++=+++=+= 设PQ 中点（x 0，y 0） 则 22210k 2)2k (p 2x x x +=+=，k p )2p x (k y 0 0=+= ∴ PQ 中垂线方程：2 2k 2)2k (p x (k 1 k p y +--=-） 令y=0，得：2 2k k ) 2k 3(p x += ∴ |FR|=2 2k k ) 1k (p |2p x |+=- ∴ |PQ|=2|FR| 例3的解：设直线PQ ：y=kx-2 由???-==2 kx y x 4y 2得：k 2x 2 -4(k+1)x+4=0（*） 设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），R （x 0，y 0） 则2 21k ) 1k (4x x += +，k 44)x x (k y y 2121= -+=+ ∵ POQR 为平行四边形 ∴ PQ 与OR 互相平分 ∴ 2 210k )1k (4x x x +=+= k 4 y y y 210= += 消去k 得：y 2 +4y=4x ∵ 式（*）的△=16(k+1)2 -16k 2 >0 ∴ k>2 1- ∴ y 0>0，或y 0<-8 ∴ 点R 的轨迹方程是y 2 +4y=4x （y<-8或y>0） （2）①由OP ⊥OQ 得：x 1x 2+y 1y 2=0 ∴ (1+k 2 )x 1x 2-2k(x 1+x 2)+4=0 ∴ 04k )1k (4k 2k 4)k 1(2 2 2=++? -?+ ∴ 2 1k = ②由OR ⊥PQ 得：2k OR -= ∴ 2x y 0 -= ∴ 2y x 0 0-= 代入y 02+4y 0=4x 0得：y 02 +6y 0=0 ∴ y 0=0，或y 0=-6 但y 0<-8，或y 0<0 ∴ 舍去 ∴ 满足条件的直线 不存在 例4的解：（1）设P ：y 2 =2px ，直线AB ：y=k(x-m)（k ≠0） 由???-==)m x (k y px 2y 2得：ky 2-2py-2kmp=0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 则 |y 1||y 2|=2m ，又y 1y 2<0 ∴ 2mp=2m ，p=1 ∴ P ：y 2 =2x （2）当直线AB 的斜率不存在时 设直线AB ：x=m 则A （m 2,m ），B （m 2,m -） ∴ m 2k ,m 2k OB OA - == 代入tan ∠AOB= OB OA OB OA k k 1k k +-得： 12 m m 22-=- 化简得：m 2 -12m+4=0 ∴ 246m ±= ∵ m<2 ∴ 246m -= 当直线AB 的斜率存在时 设AB ：y=k(x-m) 由???-==)m x (k y x 2y 2得：ky 2 -2y-2km=0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），（y 1>0，y 2<0） 则 2 OB 111OA y 2 k ,y 2x y k === 代入tan ∠AOB= OB OA OB OA k k 1k k +-得：14 m 2) y y (212-=+-- ∴ y 2-y 1=m-2 又 (y 2-y 1)2 =(y 2+y 1)2 -4y 1y 2 ∴ )m 2(4)k 2 ()2m (22--=- ∴ 22k 44m 12m =+-，将此式看成是m 2 -12m+4关于k 的函数 ∵ 0k 4 2> ∴ m 2 -12m+4>0 ∴ m<6-24，或m>6+24（舍） 综上所述，m 的取值范围是(0，6-24) （人教B版）高中数学必修一（全册）同步练习汇总 1．下列所给对象不能构成集合的是()． A．平面内的所宥点 B．直角坐标系中第一、三象限的角平分线上的所宥点 C．清华大学附中高三年级全体学生 D．所宥高大的树 2．下列语句中正确的个数是()． ①0∈N＋；②π∈Q；③由3,4,4,5,5,6构成的集合含宥6个元素；④数轴上1到1.01间的线段包括端点的点集是宥限集；⑤某时刻地球上所宥人的集合是无限集．A．0B．1C．2D．3 3．(易错题)由a2,2－a,4组成一个集合A, A中含宥3个元素, 则实数a的取值可以是()． A．1 B．－2 C．6 D．2 -.其中正确的个数是4．给出以下关系式: 2∈R, ②2.5∈Q, ③0∈?, ④3N ()． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．以实数x , － x , 2x , |x |, －|x |, 2x -, 33x -, 3 3x 爲元素所构成的集合中最多 含宥( )． A ．2个元素 B ．7个元素 C ．4个元素 D ．5个元素 6．已知x , y , z 是非零实数, 代数式xyz x y z x y z xyz +++ 的值所组成的集合爲M , 则M 中宥________个元素． 7．对于集合A ＝{2,4,6}, 若a ∈A , 则6－a ∈A , 那么a 的值是________． 8．用符号∈和?填空． (1)设集合A 是正整数的集合, 则0________A , 2________A , (－1)0________A ； (2)设集合B 是小于11的所宥实数的集合, 则23________B,1＋2________B ； (3)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 爲正整数)的实数x 的集合, 则3________C,5________C ； (4)设集合D 是满足方程y ＝x 2的宥序实数对(x , y )的集合, 则－1________D , (－1,1)________D . 9．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0且a , b , c ∈R ), 当a , b , c 满足什么条件时, 以实数解构成的集合分别爲空集、含一个元素、含两个元素? 10.数集M 满足条件: 若a ∈M , 则11a M a +∈-(a ≠± 1, 且a ≠0), 已知3∈M , 试把由此确定的M 的元素求出来． 第一节 乘法公式、因式分解 重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分解法，试根法 难点：公式的灵活运用，因式分解 教学过程： 一、 乘法公式 引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式，（从项的角度变化）那三数和的平方公式呢？ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ （从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如?)(3=+b a ， 能用学过的公式推导吗？（平方―――立方） 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++==++=+ · ··················① 那?)(3=-b a 呢，同理可推。那能否不重复推导，直接从①式看出结果？将3)(b a +中的b 换成－b 即可。（R b ∈ ）▲这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候才可以代换 3223333)(b ab b a a b a -+-=-············符号的记忆，和――差 从代换的角度看 问：能推导立方和、立方差公式吗？即（ ）（ ）＝33b a ± 由①可知，))(()33()(2222333b ab a b a ab b a b a b a +-+==+-+=+ ······② 立方差呢？②中的b 代换成－b 得出：))((2233b ab a b a b a ++-=- ▲符号的记忆，系数的区别 例1：化简)1)(1)(1)(1(22+++--+x x x x x x 法1：平方差――立方差 法2：立方和――立方差 （2）已知,012=-+x x 求证：x x x 68)1()1(33-=--+ ▲注意观察结构特征，及整体的把握 二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、立方差等） （1）十字相乘法 试分解因式：)2)(1(232++=++x x x x 要将二次三项式x 2 + px + q 因式分解，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即 x 2 + px + q = x 2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 用十字交叉线表示: 1 a 1 b a + b （交叉相乘后相加） 若二次项的系数不为1呢？)0(2≠++a c bx ax ，如：3722+-x x 如何处理二次项的系数？类似分解：1 －3 2 －1 -6 + -1 = -7 )12)(3(3722--=+-x x x x 整理：对于二次三项式ax 2+bx+c （a ≠0），如果二次项系数a 可以分解成两个因 第五讲绝对值不等式的解法 一.理解性概念 b?cax?b??c(cx??0ax)a?(a?0)ax型不等式的解法与型不等式与与解集 ??a?a?x(a?0)x?x?a; 的解集是不等式??a??xa,或xx??a(a?0)x不等式的解集是??)0(c?cax?b?)(c?0bx|?c?ax??c; 的解集为不等式??)?0?ax?bc(c)0c或 ax?b?c?(?x|ax?b?c,不等式的解集为三、讲解范例：5500?x??5. 1例12 解不等式解不等式< | 2x-1 | . 例 不等式：例4 解例3 解不等式：|4x-3|>2x+1. |x-3|-|x+1|<1. x)(?)aa?Rxa?xa(?R , 解关于5. 的不等式①②例 x)R?(???2x31aa. 6.例解关于的不等式 1 课堂练习卷分满分100建议用时40分钟一、选择题2a?6a得( ) ＜-61.已知，化简aaaa-6 D. +6 B. - -6 A. 6- C. x( ) 8-3｜≤0的解集是2.不等式｜8?? D. C. {(1,-1)} R B. ?? 3??3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是( ) A. 3 B. 2 C. -2 D. -5 AxxBxxAB等于( ) | || |∩-2|＜3}，-4.设={={1|≥1}，则xxxxx≥2} 5} B. {≤０或|A. { |-1＜＜xxxxx＜≤0或2≤|-1C. {＜|-1＜5} ≤0} D. {A B}??1?10?x A?{x x?Z且}x?5 x?Z且B?{x 中的元素个设集合，则，5.数是( ) A. 11 B. 10 C. 16 D. 15 23??x?R2yyy?x?2x?3,NMMN）︱}，则集合={y（6.已知集合∩={ }, 1???4?yy1??y?5yyy??4 } C. {} B. {A. { 5??x3x）或7.的否定是（语句 5x?x?或x?35?3或x A. B. 5x3且?x3x?且x?5? C. D. 二、填空题xx . 2 ，不等式｜｜≥3的解集是-1的解集是1.不等式｜+2｜＜31x??11的解集是不等式_________________. 2.2 cab三数的点的位置，化简3.根据数轴表示,,2 cacbab|= ___ . +-|+|||-|+三、解答题x?21解不等式1.??0xx｜-3 ＞0 1.- 2｜ 2.解不等式22x2 2 x Bx AUxxx+3｜＜2},｜｜- 2求：- 8＞3.已知全集,= R0},={ ｜={ ABABABAB））∩（C,（,C（∪C） (2) C,C(1)∪uuuuu 高二数学课本电子版 一、变量间的相关关系 1.常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系;与函数关系不同，相关关系 是一种非确定性关系. 2.从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分 布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关. 二、两个变量的线性相关 1.从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之 间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线. 当r>0时，表明两个变量正相关; 当r<0时，表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几 乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性. 三、解题方法 1.相关关系的判断方法一是利用散点图直观判断，二是利用相关系数作出判断. 2.对于由散点图作出相关性判断时，若散点图呈带状且区域较窄，说 明两个变量有一定的线性相关 性，若呈曲线型也是有相关性. 3.由相关系数r判断时|r|越趋近于1相关性越强. 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径. 2、圆的方程 (1)标准方程,圆心,半径为r; (2)一般方程 当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为 当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形. (3)求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置. 3、高中数学必修二知识点总结：直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况： (1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;; (2)过圆外一点的切线：k不存在,验证是否成立k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k, 得到方程【一定两解】 高中数学必修一同步练习 1.1.1 集合的含义与表示 课后作业· 练习案 【基础过关】 1．若集合中只含一个元素1，则下列格式正确的是 A.1= B.0 C.1 D.1 2．集合的另一种表示形式是 A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 3．下列说法正确的有 ①集合，用列举法表示为{1,0,l}； ②实数集可以表示为或; ③方程组的解集为. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 4．直角坐标系中，坐标轴上点的集合可表示为 A. B. C. D. 5．若集合含有两个元素1，2，集合含有两个元素1，，且，相等，则____. 6．已知集合，，且，则为 . 7．设方程的根组成的集合为，若只含有一个元素，求的值. 8．用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数； (2)满足方程的所有x的值构成的集合B. 【能力提升】 集合，，，设，则与集合有什么关系？ 详细答案 【基础过关】 1．D 【解析】元素与集合之间只存在“∈”与“?”的关系，故1∈A正确. 2．B 【解析】由x－2＜3得x＜5，又，所以x＝1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1，2，3，4}. 3．D 【解析】对于①，由于x∈N，而－1?N，故①错误；对于②，由于“{ }”本身就具有“全部”、“所有”的意思，而且实数集不能表示为{R}，故②错误；对于③，方程组的解集是点集而非数集，故③错误. 4．C 【解析】坐标轴上的点分为x轴、y轴上的点，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0. 5． 【解析】由于P，Q相等，故，从而. 6．(2，5) 【解析】∵a∈A且a∈B， ∴a是方程组的解， 解方程组，得∴a为(2，5). 初高中数学衔接教材 典型试题举一反三 理解记忆成功衔接 第一部分如何做好初高中衔接 1-3页 第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节” 4页 第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 5-9页 第四部分分章节讲解 10-66页 第五部分衔接知识点的专题强化训练 67-100页 第一部分，如何做好高、初中数学的衔接 ● 第一讲如何学好高中数学● 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自 班级姓名 1.从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地，不同的乘车法有（） A.12种 B.19种 C.32种 D.60种 2.若x∈｛1，2，3｝，ｙ∈｛５，7，9｝，则x·y的不同值有（） A.2个 B.6个 C.9个 D.3个 3.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有（） A.34 B.43 C.A3 D.44 4 4. 5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（） A.54 B.45 C.5×4×3×2 D.5×4 5.集合M={}3,2,1的子集共有（） A.8 B.7 C.6 D.5 6.设集合A={}4,3,2,1，B={}7,6,5，则从A集到B集所有不同映射的个数是（） A.81 B.64 C.12 D.以上都不正确 7.某班三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一名学生去领奖，共有________种不同的选派方法；从中选一名男生一名女生去领奖，则共有_________种不同的选派方法. 8.从1到10的所有自然数中任取两个相加，所得的和为奇数的不同情形有___种. 9. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法. 10. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有种可能的结果. 11. 乘积（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有项. 12．某校信息中心大楼共5层，一楼和二楼都有4条通道上楼，三楼有3条通道上楼，四楼有2条通道上楼，那么一人从一楼去五楼，共有种不同的走法. 13．某车间生产一个零件，该零件需经车、钳、铣三道工序。该车间有车工5人，钳工8人，铣工6人，加工这个零件有种不同的派工方式；技术改造后，生产这种零件只需冲压一道工序，且任何一人均可加工，这时不同的派工方式有种。 初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。仙桃市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下： 1．代数部分： 高一升高二英语衔接班课程安排及课时计划一、课程说明 课程名称高一升高二暑期英语衔接课程 课程定位 高一升高二英语知识衔接，对学习起到承前启后的作用。使学生们英语知识更 系统化、搞好衔接、平稳过渡，为高三的学习打好基础。 课程对象新高二学生 课程目标1. 通过本课程的训练使即将升入高二的学生做好相关英语知识与技能的准备，使他们的英语知识更加系统化，熟练掌握考高题型及应对方法。 2. 为学生的即将到来的高三学习打好更坚实的语言知识基础。从语言知识的巩固入手，最终目标是提高学生的英语综合能力从而提高成绩。 课程理念1.课程的编写适应高一升高二学生的暑期使用，共十讲内容，每讲建议2课时。 2.所讲知识为高中阶段的重要知识点（高一的难点、重点以及高二英语学习的 方向和要求）。 3. 课程的编写以学习基础为主，使知识更加系统化、条理化。 4. 按层次设置练习，满足各层次学生需要。让学生在复习中学有所得。 5. 由于学生基础层次不一，因此各个学生所学习需课时根据学生已有基础而定。 二、课程结构 内容教学目标课时安排 （总计） 核心语法 第一讲 冠词 1.掌握冠词的基本用法 2. 不用冠词的情况（零冠 词） 3. 习语中的冠词用法 4.特指与泛指 2小时 第二讲 代词、介词 1.掌握代词的基本用法及活用复习 2.掌握介词的基本用法及固定搭配 2小时 第三讲 名词和数 1.加深对转化词的理解 2.有些名词在不同的情境中可数和不可数可能发生 2小时 词变化 3.复合名词和合成名词的认识 4,。增加对数词的认识：小数、倍数、分数、百分数等 第四讲形容词和副词1.掌握形容词、副词的原级、比较级和最高级修饰语及 倍数的比较表达2.掌握形容词副词考点2小时 第五讲时态、语态1.掌握基本时态语态、结构，能识别并正确运用时间 状语2。能联系语境正确使用时态语态 2.了解复合句中时态的呼应及特殊用法 6小时 第六讲非谓语动词1.掌握非谓语动词的结构 2.熟练运用非谓语动词2小时 第七讲情态动词1.了解和掌握情态动词的功能和意义 2.了解和掌握情态动词表示猜测的用法 2小时 第八讲 虚拟语气 掌握虚拟语气及做题方法2小时 第九讲定语从句1.了解定语从句的语法功能。能识别定语从句并正确 使用关系词 2.了解关系代词、介词+关系代词、关系副词的用法 3.能造含有定语从句的复合句，在书面表达中增加语 言的丰富性 2小时 第十讲状语从句及名词性从句1.了解状语从句及名词性从句的语法功能，掌握各类 从句 2.了解更多的从属连词，掌握它们的含义 3.学会用名词性从句及状语从句表达信息4小时 第十一主谓一致、倒装句1.掌握主谓一致及倒装句的概念及高考题型 2.熟练运用及灵活解题 2小时 核心 词汇 高一教材中的词汇，特别是对一些重难点词汇的运用进行巩固。8-10小时 第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时集合的含义 A级基础巩固 一、选择题 1．已知集合A中的元素x满足－5≤x≤5，且x∈N*，则必有( ) A．－1∈A B．0∈A C.3∈A D．1∈A 解析：－5≤x≤5，且x∈N*， 所以x＝1，2，所以1∈A. 答案：D 2．下列各对象可以组成集合的是( ) A．中国著名的科学家 B．2017感动中国十大人物 C．高速公路上接近限速速度行驶的车辆 D．中国最美的乡村 解析：看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标准，只有B选项判断标准明确，可以构成集合． 答案：B 3．由x2，2|x|组成一个集合A中含有两个元素，则实数x的取值可以是( ) A．0 B．－2 C．8 D．2 解析：根据集合中元素的互异性，验证可知a的取值可以是8. 答案：C 4．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是( ) A．1 B．0 C．－2 D．2 解析：因为a∈M，且2a∈M，又－1∈M， 所以－1×2＝－2∈M. 答案：C 5．由a2，2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( ) A．1 B．－2 C．6 D．2 解析：因A中含有3个元素，即a2，2－a，4互不相等，将选项中的数值代入验证可知答案选C. 答案：C 二、填空题 6．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)． ①不超过10的所有正整数； ②高一(6)班中成绩优秀的同学； ③中央一套播出的好看的电视剧； 前言 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。 1 数学语言在抽象程度上突变。初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、函数语言以及以后要学习到的逻辑运算语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。 3现有初高中数学知识存在“脱节”。立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用；因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等；二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧；二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 为了有效搞好初高中数学衔接，本篇讲义共28课时初高中课时比例约为1:5，并分为两部分：第一部分：方程与不等式；第二部分：集合与函数的概念。旨在为高中数学学习提供一个优良的基础。 １ 2019年编·人教版高中数学 第1章 1.1.1 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列语句中命题的个数是( ) ①－5∈Z；②π不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④2是无理数． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①②③④都是命题． 答案： D 2．下列说法正确的是( ) A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D. 答案： D 3．下列语句中假命题的个数是( ) ①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？④3小于2；⑤矩形的对角线相等；⑥9的平方根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是自然数，也是偶数． A．2 B．3 C．4 D．5 解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题． 答案： A 4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中为真命题的是( ) A．①②B．①③ C ．③④ D ．②④ 解析： 显然①是正确的，结论选项可以排除C ，D ，然后在剩余的②③中选一个来判断，即可得出结果，①③为真命题．故选B. 答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．给出下列命题： ①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3 在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点； ④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是________． 解析： ①∠A ＞∠B ?a ＞b ?sin A ＞sin B ．②③易知正确． ④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4 个单位， 得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π2的图象． 答案： ①②③ 6．命题“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题． 答案： 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此方程有两个不相等的实数根 假 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．指出下列命题的条件p 和结论q ： (1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数； (2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数． 解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数． (2)条件p ：一个函数的图象是一条直线，结论q ：这个函数为一次函数． 8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0 数学 亲爱的2019届平冈学子： ?恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了,做好了充分的准备吗?其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题,善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。 从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大,选拔性很明显,难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子,是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性,能有效地克服知识和方法上的跳跃,利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。 这里给大家几个学数学的建议： １、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 ３、熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 ４、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。 6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。 初高中数学衔接呼应版块 １.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容， 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念（如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 ９．角度问题,三角函数问题。在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时,度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。 10．高中阶段特别注重数学思维,数学思想方法的培养。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。 高一升高二数学测试 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分, 共40分，在每个小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的1.函数33log y x 的定义域为（ ） A 、(,9] B 、(0,27] C 、(0,9] D 、( ,27] 2．设集合 },51|R x x x A ，},41|{R x x x x B 或， 则B A 是（ ） A ．} 54|{x x B ．} 4|{x x C ．}2|{x x D ．R 3. 三个数2 0.6 0.6,ln0.6,2 a b c 之间的大小关系是（ ）A.a c b B. a b c C.b a c D ．b c a 4．已知等比数列{a n }的公比为2, 它的前4项和是1, 则它的前8项和为( ) A.15 B.17 C. 19 D. 21 5. 执行如图的程序框图，输出 y 的值是( ） A ．15 B ．31 C ．63 D ．127 6. 在平面内，已知3 2,4||,1||AOB OB OA ，则 | |OB OA （ ）A ．3 B ． 13 C ． 19 D ． 21 7．满足A ＝60°，c ＝1，a=3的△ABC 的个数记为m ，则m a 的值为( ) A ．3 B ． 3 C ．1 D ．不确定 8.在数列n a 中，n a =3n-19,则使数列 n a 的前n 项和n S 最小时n=（ ） Ａ.４Ｂ.５ Ｃ.６ Ｄ.７ 9.如果 ,} 01 |{2 ax ax x A 则实数a 的取值范围为（ ） A . 4 0a B.4 a C.4 a D.4 a （第5题） 是 否 x=0,y=1 x=x+1 y=2y+1 x>4? 输出y 高二数学：高考数学成绩的决定阶段。 和高一数学相比，高二数学的内容更多，抽象性、理论性更强，因此不少同学进入高二之后很不适应。代数里首先遇到的是理论性很强的曲线方程，再加上立体几何，空间概念、空间想象能力又不可能一下子就建立起来，这就使一些高一数学学得还不错的同学不能很快地适应而感到困难，以下就怎样学好高二数学谈几点意见和建议。 培养浓厚的兴趣： 高中数学的学习其实不会很难,关键是你是否愿意去尝试.当你 敢于猜想,说明你拥有数学的思维能力;而当你能验证猜想,则说明你已具备了学习数学的天赋!认真地学好高二数学,你能领悟到的还有:怎么用最少的材料做满足要求的物件;如何配置资源并投入生产才能获得最多利润;优美的曲线为什么可以和代数方程建立起关系;为什 么出车祸比体育彩票中奖容易得多;为什么一个年段的各个班级常常出现生日相同的同学…… 当你陷入数学魅力的"圈套"后,你已经开始走上学好数学的第一步! 培养分析,推断能力： 其实,数学不是知识性,经验性的学科,而是思维性的学科,高中 数学就充分体现了这一特点.所以,数学的学习重在培养观察,分析和推断能力,开发学习者的创造能力和创新思维.因此,在学习数学的过程中,要有意识地培养这些能力. 关于学习方法和效果的关系,可以这样描述:当你愿意去看懂大 部分题目的答案时,你的考试成绩应该可以轻松及格;当你热衷于研 究各种题型,定期做出小结的时候,你一定是班级数学方面的优等生;而当你习惯根据数学定义自己出题,并解决它,你的数学水平已经可 以和你的老师并驾齐驱了! 学习程度不同的学生需要不同的学习方法： 如果你正因为数学的学习状态低迷而苦恼,请按如下要求去做: 预习后,带着问题走进课堂,能让你的学习事半功倍;想要做出完美的作业是无知的,出错并认真订正才更合理;老师要求的练习并不是"题海",请认真完成,少动笔而能学好数学的天才即使有,也不是你;考试时,正确率和做题的速度一样重要,但是合理地放弃某些题目的想法 能帮助你发挥正常水平. 如果你正因为数学的学习成绩进步缓慢而郁闷,请接受如下建议:收集你自己做过的错题,订正并写清错误的原因,这些材料是属于你 个人的财富;对于考试成绩,给自己定一个能接受的底线,定一个力所能及的奋斗目标;合理的作息时间和良好的学习习惯将有助你获得稳定的学习成绩,所以,请制定好学习计划并努力坚持;把很多时间投入到一个科目中去,不如把学习精力合理分配给各个学科.人对于某一 知识领域的学习常出现"高原现象",就是说当达到一定程度,再努力时,进步开始不明显. 下列学习方法比较经典： 高二数学课本电子版 一、基础知识 必修2涉及到的概念与定理有： (1)空间几何体：典型多面体（棱柱、棱锥、棱台）与典型旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的结构特征以及表面积体积公式、球面距离、点面距离、中心投影与平行投影、三视图、直观图； (2)点、线、面的位置关系：平面的三个公理、平行的传递性、等角定理、异面直线的概念、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、线面平行的概念、判定定理、性质定理；面面平行的概念、判定定理、性质定理；线面垂直的概念、判定定理、性质定理；面面垂直的概念、判定定理与性质定理；异面垂直、异面直线所成角、线面角与二面角的概念（不同版本出现时间略有不同）． (3)直线与圆：直线的倾斜角与斜率、斜率公式、直线的方程（点斜式、斜截式、一般式、两点式、截距式）、直线与直线的位置关系（平行、垂直）、平面直角坐标系中的一些公式（两点间距离公式、中点坐标公式、点到直线的距离公式、平行线间的距离公式）；圆的标准方程与一般方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系． 常用的拓展知识与结论有：截距坐标公式、面积坐标公式、圆上一点的切线方程；圆外一点的切点弦方程；直线系与圆系的相关知识等． 想不起来，或者不太清楚这些概念与定理的，赶快翻翻教材和笔记吧． 二、重难点与易错点 重难点与易错点部分配合必考题型使用，做完必考题型后会对重难点与易错部分部分有更深入的理解． (1)多面体的体积转化及点面距离的求法； (2)较复杂的三视图； (3)球与其它几何体的组合； (4)平行与垂直的证明； (5)立体几何中的动态问题． (6)直线方程的选择与求解，特别要注意斜率不存在的直线； (7)直线与圆的位置关系问题； (8)直线系相关的问题． （数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A > 则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0 60， 则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．0 6030或 B ．0 6045或 C ．0 60120或 D ．0 15030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．0 90 B ．0 120 C ．0 135 D ．0 150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，0 90C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 22_________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 初高中数学衔接教材 1.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 解法一：原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? =242(1)(1)x x x -++ =61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -． 例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 1．填空： （1）221111 ()9423 a b b a -=+（ ） ； （2）(4m + 22 )164(m m =++ )； (3 ) 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题： （1）若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2 m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22 248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 2．因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．【人教B版】高中数学必修一(全册)同步练习全集 (含本书所有课时)
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