2008年振动力学期末考试试题 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角：L y /=? 系统动能： m 1动能：2 1121y m T = m 2动能：2222222 22 222)3 1(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====? ω m 3动能：2322 323 33)2 1(21))(21(212 1y m R y R m J T === ω 系统势能： 2 21)21(21)21( y k y g m gy m V + +-= 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： E y k gy m gy m y m m m V T =+ +-++= +2 212 321) 2 1(2 12 1)2 13 1(2 1 上式求导，得系统的微分方程为： E y m m m k y '=+ + +) 2 131(4321 固有频率和周期为： ) 2 131(43210m m m k + + = ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。 物体B 动能：2 212 1x m T = 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x v c 2 1= ，角速度为x R 21=ω，转过的角度为x R 21= θ。轮子动能： )83(21)41)(21(21)4 1( 2 12 1212 122 21212 2 12x m x R R m x m J v m T c =+= + = ω 系统势能： x
习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k δ= 其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k = 3 24EJ h 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 " m x kx =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角 2 a ＝h 2F cos α＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ&& 题1-1图 题1-2图 F sin α 2 θ h mg
其中 12 cos sin ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2304121==?+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为 21211k k k k k += '，212132k k k k k k ++='，4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。 解： 111/l GJ k = （1） 222/l GJ k = （2） 333/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4） ) (/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 ）由（ 题1-3图 题1-4图
车辆悬架系统振动研究概述 关键词：振动悬架 摘要： 本文简单介绍了车辆振动的相关知识，对其做了简明的分析，由于篇幅有限故只重点介绍了与车辆悬架相关的知识。根据不同结构悬架的特点，分别介绍与其相关的振动研究内容和成果。 引言 悬架系统是提高车辆平顺性(乘座舒适性)和安全性(操纵稳定性)、减少动载荷引起零部件损坏的关键,。自70年代以来,工业发达国家开始研究基于振动主动控制的主动/半主动悬架系统。引入主动控制技术后的悬架是一类复杂的非线性机、电、液动力系统,其研究进展和开发应用与机械动力学、流体传动与控制、测控技术、计算机技术、电子技术、材料科学等多个学科的发展紧密相关。为此，关于车辆悬架系统振动的研究比较困难，但是其又具有十分重要的实际意义。一、车辆悬架系统简介 悬架系统的作用主要是连接车桥和车架,传递二者之间的作用力和力矩以及抑制并减少由于路面不平而引起的振动,保持车身和车轮之间正确的运动关系,保证汽车的行驶平顺性和操纵稳定性。 悬架系统一般由弹性元件、减振器和导向装置等组成。其中,弹性元件的作用是承受和传递垂直载荷,缓冲并抑制不平路面所引起的冲击。按弹性元件分类包括钢板弹簧悬架、螺旋弹簧悬架、扭杆弹簧悬架以及气体弹簧悬架。钢板弹簧是1根由若干片等宽但不等长的合金弹簧片组合而成的近似等强度的弹性梁,多数情况下由多片弹簧组成。多片式钢板弹簧可以同时起到缓冲、减振、导向和传力的作用,可以不装减振器而用于货车后悬架。螺旋弹簧用弹簧钢棒料卷制而成,常用于各种独立悬架。其特点是没有减振和导向功能,只能承受垂直载荷。扭杆弹簧本身是1根由弹簧钢制成的杆,一端固定在车架上,另一端固定在悬架的摆臂上。气体弹簧是在1个密封的容器中冲入压缩气体,利用气体可压缩性实现弹簧的作用。气体弹簧具有理想的变刚度特性。气体弹簧有空气弹簧和油气弹簧2种。
5□ 5-1 单自由度系统有阻尼受迫振动 图5－1 单自由度系统有阻尼受迫振动实验原理图
单自由度系统有阻尼受迫振动□ 5-2 图5－2 单自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面 单自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面说明 主菜单 存 盘 ：将测试数据存盘。按提示输入学号作为文件名。 实验指导 ：激活本实验的实验指导文本。 退 出 ：退出本操作界面，回到主界面（图2） 虚拟仪器 量程：指示灯为“绿色”表示信号达到半量程，为“黄色”表示信号
过载。设置量程使信号超过半量程而不过载可以减小量化误差。 示波器 ：选择“显示选择”中的显示内容，可使其单独显示“加速度信号”或“激励信号”的时间历程。也可同时显示“加速度/激励信号”的时间历程。 电压表 ：显示加速度信号的电压值。 频率计 ：显示加速度响应信号的频率。 李萨玉图 ：观察加速度信号和激振信号的李萨玉图。 信号发生器 ：输出一定电压和频率的简谐信号。用“On/Off”开启或关闭信号发生器。 测试数据： 拾取数据 : 拾取电压表和频率计当前的读数到测试数据表格内。若重复拾取某一频率的数据，则当前拾取的数据将覆盖过去拾取的同频率的数据。 重新拾取 : 清除测试数据表格中的全部数据，重新拾取电压表和频率计当前的读数。 数据检验 : 将测试数据表格中的加速度信号数据绘成幅频曲线（图5－3）。 图5－3
一、实验目的 ? 了解和掌握单自由度系统在简谐激振力作用下受迫振动的一般规律及现象。 ? 掌握根据李萨育图获得结构固有频率的方法（即相位共振法）。 ? 了解和掌握机械结构加速度幅频特性曲线的测量方法以及如何由幅频特性曲线得到结构的固有频率。 二、实验仪器 ? 单自由度系统试件 1件 ? 激振器及功率放大器 1套 ? 加速度传感器（ICP式） 1只 ? ICP电源(即ICP信号调节器)4通道 1台 ? 信号发生器 1台 ? 电压表 1台 ? 频率计 1台 ? 示波器 1台 其中：信号发生器、电压表、频率计和示波器由计算机虚拟提供。 三、实验方法及步骤 1、装配实验系统 ? 按图5－1将综合实验台装配成单自由度系统。 ? 按1节所述的方法和要求安装激振器和加速度传感器。 ? 按图5－1连接各测试设备。 2、将功率放大器“输出调节”旋至最小，“信号选择”置“外接”！打开 各设备电源。 3、从“综合振动综合实验系统”对话框（图2），进入“单自由度系统有 阻尼受迫振动”实验操作界面（图5－2）。 4、使信号发生器的输出频率约为30Hz，输出电压约为1V。调节功率放
习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值 1 2 .41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 360 22 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.0360 4)1(02 2220 == +-= λζλ 222 122tg λζλ ωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 === +η 489 .3π 2797 .0ln 8 .1ln ======d d d d d T p T n T nT η η 又 22n p p n d -= 有 579.32 22=+=n d n p n p p 45.51255.1298.0374 .0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045 .0838.0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838.0579 .33 2 222===-??= == ??+-= === == =ααζω λB p n p n n 所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给
质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由 m k p n = ，共振时m k p n ==1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解：列出平衡方程可得： 222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g g W Q x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W ππ-σ+- =+=++=+ 所以：2n kg P W Q h w e W ==， 又因为st st W W k k =σ=σ即 22() st st B w e B W g w =σ-σ将结果代入Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动 t a x s ωco s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题2-4图
1、 方波振动信号的谐波分析，00,02 (),2 T x t x t T x t T ? <
相位频谱图 1tan 0,1,3,5 n n n a n b φ -?? ===?????? ??? 2、 求周期性矩形脉冲波的复数形式的傅立叶级数，绘频谱图。 解： 数学表达式：
计算三要素： 傅立叶级数复数形式： 频谱图 00 00,0sin ,0,n x t n T A x n t n n n T ππ?=??=? ?≠-∞<<∞?? ()???? ?????≤≤≤≤--≤≤-=2 202222000 00 T t t t t t x t t T t x 偶函数 T x t a 0002=2sin 2010t n n x a n ωπ?=0 =n b 2 sin 22010t n n x a ib a X n n n n ωπ?==-=()2sin 1101012/2/02/2/102/2 /02/2/010********t n n x t in e e T x t in e T x dt e x T dt e t x T X t in t in t t t in t in t t t in T T n ωπωωωωωωω?=--?=-?=??=??=-------? ?T t x t n n x X n 0 0010002sin lim =?=→ωπ()∑ ∑ ∞-∞=∞-∞===n t in n t in n e n t n x e X t x 112sin 0 10ωωωπ
第三章两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀
拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。 在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由
1α，小车与斜面之间摩擦力 gk P T π 2=， ?? ? ??+= α2sin 2k P h k P A 2 m 。 ()2 2 34mr a r k n +=ω 3．确定图2-3系统的固有频率。
() r R g n -= 32ω 图2-3 第三章 两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a ）、车床两顶尖间的工件系统（b ）、磨床主轴及砂轮架系统（c ）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在
于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
第5章 两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。 5.1 双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 ? ? ?=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m &&&& (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式 ??? =+-=-+00212211dx cx x bx ax x &&&& (5-2) 显然此时 2 2 1 2 1 2 1,,m k d c m k b m k k a = == += 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 图5-1车辆模型 图5-2两自由度的弹簧质量系统
5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 ?? ? ??+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x (5-3) 或写成以下的矩阵形式 )sin(2121α+?? ? ???????=??????????pt A A x x (5-4) 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 ? ?? ???=????????????----002122 A A p d c b p a (5-5) 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 0)(2 2 2 =----= ?p d c b p a p 展开后为 0)(24=-++-bc ad p d a p (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是2p 的二次代数方程，它的两个特征根为 )(222 22 ,1bc ad d a d a p --??? ??++=μ bc d a d a +?? ? ??-+=2 22μ (5-7) 由于式(5-7)确定的2p 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率p 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比
1-2单自由度体系的受迫振动 主要问题1-2-1简谐激励作用的受迫振动响应1-2-2周期激励作用的受迫振动响应1-3-3任意激励作用的受迫振动响应 1-3-5 隔振 1-3-4 等效阻尼 激励 响应 系统
1-2-1简谐激励作用的受迫振动响应 单自由度系统振动方程 t F kx x c x m ωsin 0=++ 非自治系统 t f x x x n n ωω?ωsin 202=++
t k F t k F t x t x x n n n n ωλ ωλλωωωsin 11 sin 1sin cos 2 02000-+--+= 无阻尼系统 ???? ?====+0002 )0(,)0(,0sin x x x x t t f x x n ωω方程之解 无阻尼自由振动 无阻尼受迫振动 自由伴随振动 瞬态过程 稳态过程
实际系统中，阻尼的客观存在，随着时间的推移，瞬态响应逐渐衰减，系统进入稳态振动过程 系统的瞬态振动过程是复杂的运动形式?ε λ21+=?0 →εt t f x n n ωεωε cos sin 20 -≈t t f x n n ωωcos 2 1 0-≈“拍”
无阻尼系统的稳态响应 t k F x ωλ sin 112 0-=k F st 0 = δ静变形 2 11λβ-= 动力放大因子 1<<λ?1 >>λ?1 =λ?1 →β系统表现为静态特征0 →β系统表现为动态特征∞ →β系统出现“共振”现象
θ βi e k -=1θβ 阻尼系统的稳态响应 t f x x x n n ωω?ωsin 202 =++ t i n n e f x x x ωω?ω02 2=++ 设系统的稳态响应为 t i Be x ω=B 为复振幅 )(F H B ω=H (ω)称为复频响应函数 2 2 2) 2()1(1?λλ+-= 2 12arctan λ?λ -=动力放大因子响应与激励的相位差！系统的幅频特性 ！系统的相频特性 ??????+---=2222 )2()1(211)(?λλ?λλωi k H
利用Adams 和Matlab 对二自由度系统振动进行仿真与分析 一、实验思想 Adams 是一种可以对一些典型运动进行高效仿真的软件，本实验是利用Adams 对二自由度系统振动进行仿真及分析，再和理论公式对比，并用另外一种常见的仿真软件Matlab 的仿真结果进行对比，观察两者的差异，分析软件仿真产生差异的原因，加深对二自由度系统振动的理解。 二、二自由度系统振动分析 固有频率取决于系统本身物理性质，而与初始条件无关。对于二 自由度的振动系统是有两种频率的简谐波组成的复合运动，这两个频率都是系统的固有频率。 主振型是当系统按固有频率作自由振动时，称为主振动。系统作 主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。 强迫振动是振动系统在周期性的外力作用下，其所发生的振动称 为强迫振动，这个周期性的外力称为驱动力。 三、二自由度系统自由振动 1.建立二自由度系统振动模型 1）创建底座：先生成一个尺寸合适的长方体基体，再使用add to part 指令创建底座的侧壁。 2）使用new part 指令分别创建两个滑块，创建滑块时应注意滑
块与滑块、滑块与侧壁之间的尺寸适当。 3）弹簧连接：分别用弹簧链接滑块、侧壁的中心点。弹簧生成后，依次选中弹簧，在modify 选项中的stiffness and damping 下拉菜单中将damping coefficient 设置成no damping，即弹簧无阻尼。 添加约束：底座和地面固定，滑块和底座用滑动副连接。 弹簧刚度分别改为1、1、2(newton/mm) 滑块质量分别为1.0 2.0 滑块与机体滑动副的阻尼改为1.0E-007 2.模型展示 3.运动仿真结果 设置x10=12 经过Adams 运算后，滑块1、2 运动状态如图所示：
1、有阻尼自由振动 ... 220x p x p x +ζ+= 特征方程为 2220s ps p +ζ+= 解得特征根为 1,2s p =-ζ± 微分方程的通解为 ()()12p t p t x C e C e -ζ-ζ=+ 12()pt e C C e -ζ=+ （1）当1ζ>（即n p >）时，称为过阻尼 这是特征方程的两根1,2s p =-ζ±为不相同的负实数，微分方程的解式中两个指数均为负数，它所表示的运动是按指数规律衰减的非周期性蠕动。根据不同的初始条件，运动曲线如图所示 t x 过阻尼 t=0:0.01:100; x=10*exp(-0.02*t)-5*exp(-0.05*t); plot(t,x) hold on y1=10*exp(-0.02*t); plot(t,y1,'--') hold on y2=-5*exp(-0.05*t); plot(t,y2,'--') hold on plot(t,0,'-') xlabel('t'); ylabel('x');
title('过阻尼') （2）当1ζ=（即n p =）时，为临界阻尼 特征方程具有相等的两个实根12s s n p ==-=-，此时 12()pt x C C t e -=+ 显然，这个方程所表示的运动是非周期性的。根据不同的初始条件，可画出曲线 t x t=0:0.1:100; x=(5-0.01*t).*exp(-0.05*t);plot(t,x) hold on x=(5+0.5*t).*exp(-0.05*t);plot(t,x) x=(5+0.1*t).*exp(-0.05*t);plot(t,x) x=(5+0.3*t).*exp(-0.05*t);plot(t,x) x=(5-0.5*t).*exp(-0.05*t);plot(t,x) xlabel('t'); ylabel('x') （3）当1ζ<（即n p <）时，称为弱阻尼 此时，特征方程的根为共轭复根1,2s p =-ζ±，其中i =，又令， 'p =，'p 的实际意义为有阻尼衰减振动时的固有圆频率，它的值比p 小。从而微 分方程的解为 ()()12p t p t x C e C e -ζ+-ζ-=+ ''12()pt ip t ip t e C e C e -ζ-=+ 应用欧拉公式将上式展开为 ''(cos sin )pt x e a p t b p t -ζ=+ 式中，a 和 b 为待定系数，它们可由初始条件确定。设0t =时，0x x =，. . 0x x =，代入式
1. 圆筒质量m 。质量惯性矩o J ，在平面上在弹簧k 的限制下作纯滚动，如下图所示，求 其固有频率。 2. 下图示的弹簧质量系统，两个弹簧的连接处有一激振力t P t P ωsin )(0=的作用，求质量 m 稳态响应的幅值。 3. 建立如下图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。 )(t 2 x x m 11x k (t P 22x k
4. 如下图所示等截面悬臂梁，梁长度为L ，弹性模量为E ，横截面对中性轴的惯性矩为I ，梁材料密度为ρ。在梁的a 位置作用有集中载荷)(t F 。已知梁的初始条件为零。求解梁的响应。（假定已知第i 阶固有频率为i ω，相应的模态函数为)(x i φ，∞=~1i ） 5. 两个均匀刚性杆如图所示，具有相同长度但不同质量，使用影响系数法求系统运动方程。 t A ωsin 1=
6. 如下图所示量自由度系统。（1）求系统固有频率和模态矩阵，并画出各阶主振型图形；（2）当系统存在初始条件??????=??????0210)0()0(x x x 和?? ????=??????00)0()0(21x x 时，试采用模态叠加法求解系统响应。 7. 如下图所示等截面梁，长度为l ，弹性模量为E ，横截面对中性轴的惯性矩为I ，梁材料密度为ρ。集中质量m ，卷簧刚度1k ，直线弹簧刚度2k 。写出系统的动能和势能表达式，系统质量阵和刚度阵表达式。
8 物块M质量为m1。滑轮A与滚子B的半径相等，可看作 质量均为m2、半径均为r的匀质圆盘。斜面和弹簧的轴线均 与水平面夹角为，弹簧的刚度系数为k。又m1 g>m2 g sin滚子B作纯滚动。试用能量法求：（1）系统的微分方程；（2）系统的振动周期。 9 在右图示系统中，质量为m1、半径为R的匀质圆盘，可沿水 平面作纯滚动。质量不计的水平直杆AB用铰链A、B分别与圆 盘A、匀质直杆BC连接。杆BC长为L，质量为m2，在B连接 一刚度系数为k的水平弹簧。在图示的系统平衡位置时，弹簧 具有原长。试用能量法求：（1）系统的微振动的运动微分方程；（2）系统的微振动周期。
振 动 与 冲 击 第20卷第2期 JOURNA L OF VI BRATION AND SHOCK V ol.20N o.22001 工程应用 车辆系统振动的理论模态分析 Ξ 陶泽光 李润方 林腾蛟 (重庆大学机械传动国家重点实验室,重庆 400044) 摘 要 将车体和转向架看成弹性体,采用有限元方法,建立用空间梁单元描述的具有50个自由度的车辆系统力 学模型,并以客车为例研究其垂向振动的固有特性,所得结果既反映系统动力学性能,又为动态响应计算和分析打下基础。 关键词:车辆动力学,模态分析,有限元法中图分类号:TH132.41 0 引 言 高速铁路运输以快速、节能、经济、安全和污染小 等优势,在与高速公路和航空等运输形式的竞争中迅速发展起来。列车运行速度的提高给机车车辆提出了许多新要求,带来了新的课题,如大的牵引动力、大的制动功率、剧烈的横向动力作用和更加明显的垂向越轨动力作用、复杂的高速气流、振动和噪声等。其中,振动和噪声是高速列车一个非常重要的问题,它既关系到高速列车运行的安全性,又关系到列车高速运行时的乘坐舒适度。 车辆系统是由车体、转向架构架、轮对,通过悬挂 元件联接起来的机械系统。通常,把车体及装载、转 向架构架及安装部件、轮对及装备视为刚体,作为刚体动力学系统,研究其动力特性[1,2],这方面的技术已比较成熟,有商品化的通用软件可供使用[3]。 本文将车体和转向架看成弹性体,采用有限元法,建立了用六自由度节点空间梁单元描述的车辆系统动力学模型,由于包括车辆的浮沉、点头垂向振动,车辆的横摆、侧滚和摇头横向振动的研究。在建立车辆系统离散化模型的基础上,计算车辆垂向振动的各阶固有频率和振型,为车辆系统的动态响应计算和分析打下基础 。 图1 车辆振动系统的有限元模型 1 车辆的动力学模型 将车辆振动系统简化为图1所示的分析模型,即 由车体、转向架和轮对通过弹簧与阻尼器连接起来的振动系统。其中,将车体和转向架看成空间弹性梁,每 Ξ西南交通大学牵引动力国家重点实验室开放课题基金资助项目 收稿日期:2000-10-10 修改稿收到日期:2000-11-20 第一作者 陶泽光 男,博士,副教授1963年12月生
汽车的振动测试技术 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
汽车的振动测试技术 前言 狭义地说，振动测试在于通过传感器、放大仪器以及显示或记录仪表，测量运动机械或工程结构在外界激励（包括环境激励）或运行工况中其重要部位的位移、速度、加速度等运动量，从而了解机械或结构的工作状态。广义地说，通过运动量的测量，我们希望了解机械或结构的动特性，如固有频率、固有振型、阻尼以及动刚度等特性参数，为机械或工程结构的动力设计服务。 无论是生产机械、运输机械或工程结构，均日益高速、高效、高精度和大型化发展。在许多情况下，限制其振动效应或提高其抗振性能成为设计成功与否的关键。在这种情况下，振动测试和设计计算是相辅相成的两种手段。在设计过程中，往往要通过模型试验或对已有相近设备的试验来考验计算方法的可靠性或改进计算方法。某些参数，只能通过试验来提供。 运动机械在运行中必然会产生振动。即使是那些我们视为不运动的工程结构，在环境激励的影响下，也会产生振动。 ·振动现象对产品的主要影响： 结构性损坏（包括组成产品的各构件产生变形、弯曲裂纹、断裂以及疲劳损坏等），工作性能失灵（指在振动的影响下，系统造成不稳定性能越差，有些系统甚至不能工作），工艺性能破坏（这种破坏一般指产品的连接件松动，焊点脱焊，螺钉松动，印刷板插脚接触不良等）。无论那种破坏都将导致产品的工作不稳定，甚至损坏。为了提高产品的可靠性，需要通过振动试验来暴露产品的薄弱环节，改进产品设计，使产品在运行、使用过程中不出或者少出故障。这是振动试验的最终目的。目前在实验室中进行振动试验的形式最常用的是正弦振动和随机振动试验。振动信号可以反映机械的运行状态和结构的损伤。运行监测和故障诊断已逐渐成为由振动理论、振动测试和信号分析相结合而生成出来的一门重要的学科。其中，振动测试分析起着关键的作用。 ·振动测试重要性： 许多情况下，机械振动会造成危害。它影响精密仪器设备的功能；降低加工零件的精度和表面质量；加剧构件的疲劳破坏和磨损，导致构件损坏造成事故。但也利用振动来作有益的事情，如钟表、清洗、超声振动切削等。振动问题在生产实践中一直占有相当重
汽车振动噪声（ＮＶＨ）＠制——汽车工业面临的新问题 黄遵国，王 彦 （东风汽车有限公司商用车技术中心，湖北武汉４３００５６） 摘要：汽车ＮＶＨ（Ｎｏｉｓｅ，Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，Ｈａｒｓｈｎｅｓｓ）特性是汽车五大重要性能之一，是汽车行业与相关汽车零部件行业关注的综合性问题。本文分析了车内振动、噪声的产生原因及传递路径，并给出了汽车主要的减振、降噪、密封零部件（如动力总成悬置、底盘村套、悬架系统、筒式减振器等）的结构形式，工作原理、发展趋势等，并展望了汽车ＮＶＨ控制技术的发展前景。 关键词：汽车ＮＶＨ；汽车ＮＶＨ零部件；汽车密封件中图分类号：ＴＱ １５３ 文献标志码：Ａ ＩｍｐｒｏｖｉｎｇＶｅｈｉｃｌｅＮＶＨＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ－－ＡＮｅｗＰｒｏｂｌｅｍＥｎｃｏｕｎｔｅｒｅｄｂｙＡｕｔｏｍｏｂｉｌｅＩｎｄｕｓｔｒｙ ＨＵＡＮＧ Ｚｕｎｇｕｏ，ＷＡＮＧＹａｎ （ＣｏｍｍｅｒｃｉａｌＶｅｈｉｃｌｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｅｎｔｅｒ，Ｄｏｎｇｆｅｎｇ ＭｏｔｏｒＣｏ．，Ｌｔｄ，Ｗｕｈａｎ４３００５６，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＮＶＨ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆｔｈｅｆｉｖｅｍｏｓｔｉｍｐｏｒｔａｎｔｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｖｅｈｉｃｌｅｗｈｉｃｈｈａｓｂｅｅｎｇｏｔ ｍｕｃｈａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｂｙａｕｔｏ‘ ｍｏｂｉｌｅｉｎｄｕｓｔｒｙ．Ｔｈｅ ｒｅａｓｏｎ ａｎｄｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｐａｔｈｏｆｖｅｈｉｃｌｅＮＶＨｗａｓａｎａｌｙｚｅｄ ｉｎ ｔｈｅｐａｐｅｒ．Ａｌｓｏｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｎｄ ｏｐｅｒ— ａｔｉｎｇ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆｓｏｍｅｓｕｂｓｙｓｔｅｍｆｏｒｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇｖｅｈｉｃｌｅＮＶＨｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｗｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ｓｕｃｈ ａｓ ｐｏｗｅｒ ｔｒａｉｎｍｏｕｎｔ， ｃｈａｓｓｉｓｂｕｓｈ，ａｎｄ ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｅｔｃ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｆｕｔｕｒｅｏｆｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇＮＶＨｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｗａｓｃｏｍｍｅｎｔｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＶｅｈｉｃｌｅＮＶＨ，ＮＶＨｓｕｂｓｙｓｔｅｍ。Ｓｅａｌｉｎｇｕｎｉｔ 汽车ＮＶＨ是指在汽车驾乘过程中，驾乘人员感受到的噪声（Ｎｏｉｓｅ）、振动（Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ）和声振粗糙度（Ｈａｒｓｈｎｅｓｓ）。由于以上三者是同时出现且密不可分的，因此常把它们放在一起进行研究，其中噪声的频率范围为３０Ｈｚ一－４０ｋＨｚ，主要指驾乘人员听到的车内噪声。振动的频率范围为１～２００ Ｈｚ， 主要是驾乘人员感受到的来自于转向盘、地板和座椅的振动。声振粗糙度是指噪声和振动的品质，是描述人体对振动和噪声的主观感受的指标，不能直接用客观测量方法来度量。由于声振粗糙度描述的是振动和噪声使人不舒适的感觉，因此又称Ｈａｒｓｈ－ｎｅｓｓ为不平顺性，又因为声振粗糙度经常用来描述冲击激励产生的使人极不舒适的瞬态响应，因此也称Ｈａｒｓｈｎｅｓｓ为冲击特性。 车内振动主要来自于２个方面，其一是由动力总成振动向车内的传递；其二是由路面激励通过轮胎向车内的传递。 车内噪声通常也来自２个方面，其一是由动力总成及附件噪声、轮胎噪声、风噪声等空气噪声向车内的传递；其二是由底盘、车身等结构件振动传递到车厢而引起的结构噪声。如图１所示，由车内振动和噪声的传递路径可知，振动问题和噪声问题往往是耦合在一起的。 由于振动和噪声源往往无法改变或很难在短时间内进行优化改进，因此在一款新车型的开发过程中，工程人员往往通过设计优化ＮＶＨ零部件来控 发动机激动｝ｒ．１动力总成振动卜————叫悬Ｊ霞系统 五亟卜——趣圃Ｉ 孰挫 ｋ——＿叫主塑些！ｌ Ｉ！堕堡垫ｌ 圈１车辆振动噪声传递路径 制振动和噪声的传递路径，从而实现对整车ＮＶＨ目标的控制。 ＮＶＨ零部件通常分为减振产品和降噪产品两大类。减振产品主要包括橡胶减振产品、弹簧阻尼减振产品，其中，橡胶减振产品在车内的分布最为广泛，用于动力总成、车身、底盘等各类结构件之间的弹性连接和缓冲。弹簧阻尼减振器主要包括各类悬架弹簧及液压筒式减振器，轮胎和车身的弹性连接起到阻尼的作用。 降噪产品主要包括隔音吸音产品（通常简称为隔音产品）和密封产品，隔音产品涵盖范围很广，主要分布于发动机舱、乘员厢、行李厢和底盘，其中顶棚、主地毯等在内的大部分内饰件同时也是车内噪声控制的重要零部件。因此，在ＮＶＨ领域往往被作为隔音产品进行考虑。密封产品主要是指各类门、窗密封条，其目的是通过密封来隔绝空气噪声的 传递。如图２所示。 《新技术新工艺》?数字技术与机械加工工艺装备 ２０１１年 第７期 ?７３? ；墓Ｉｋ 塑丽
汽车噪声与振动 概述：随着汽车发动机功率的不断提高，噪声与振动的问题日渐突现出来，开始成为汽车开发工程中的主要问题之一。在汽车界，人们在讨论噪声与振动时，常用的一个词就是NVH，即是噪声（Noise）、振动（Vibration）和不舒适（Harshness）三个英文单词首字母的简写。汽车噪声振动有两个特点，一是与发动机转速与汽车行驶速度有关，二是不同的噪声振动源有不同的频率范围。在低速时，发动机是主要的噪声和振动源，在中速时，轮胎与路面的摩擦是主要的噪声和振动源，而在高速时，车身与空气之间的摩擦变成了最主要的噪声和振动源。 近年来汽车噪声振动问题研究现状 行驶汽车的噪声包括发动机、底盘、车身以及汽车附件和电气系统噪声。发动机噪声是汽车的主要噪声源。在我国，车外噪声中发动机噪声约占60%左右。 1.发动机噪声 发动机噪声按其机理可分为结构振动噪声和空气动力性噪声。 1.1结构振动噪声 通过发动机外表面以及与发动机外表面刚性连接件的振动向大气辐射的噪声称为结构振动噪声或者称为表面辐射噪声。根据发动机表面噪声产生机理，结构振动噪声又可分为燃烧噪声、机械噪声以及液体动力噪声。燃烧噪声的发生机理相当复杂，主要是由于气缸内周期性变化的压力作用而产生的，与发动机的燃烧方式和燃烧速度密切相关。机械噪声是发动机工作时各运动件之间及运动件与
固定件之间作用的周期力、冲击力、撞击力所引起的，它与激发力的大小和发动机结构动态特性等因素有关。一般在低速时，燃烧噪声占主导地位；在高转速时，由于机械结构的冲击振动加剧而使机械噪声上升到主导地位。车用发动机的辐射噪声频率范围主要在500～3000Hz内，而其主要噪声辐射部件的临界频率大致在500—800Hz范围内。发动机中液体流动产生的力对发动机结构激振产生的噪声称为液体流动噪声，如冷却系中水流循环对水套冲击产生的噪声。 1.2空气动力性噪声 空气动力性噪声直接向大气辐射噪声源，即由于空气动力学的原因使空气质点振动产生的噪声。空气动力噪声包括进、排气噪声和风扇或风机噪声。排气噪声是发动机的最大声源，进气噪声次之。风扇噪声也是发动机的主要噪声源之一。排气噪声由周期性排气、涡流和空气柱共鸣噪声组成。周期性排气噪声是排气门开启时一定压力的气体急速排出而产生；涡流噪声是高速气流通过排气门和排气管道时产生的；空气柱共鸣噪声是管道中空气柱在周期性排气噪声的激发下发生共鸣而产生。 对于发动机噪声的评价，除考虑其辐射噪声能量总水平外，还应考察以下噪声特性：噪声级及其随发动机工作状态的变化关系、发动机周围空间各点噪声级数值的分布状态、空间各点的噪声频谱以及发动机工作过程各阶段的瞬时声压级。通过这些信息，不但可以比较和评价发动机辐射噪声的大小，还可以深入研究辐射声能频率的分布情况，判断发动机工作循环中辐射声最大的阶段，以便分析产生高噪声的原因，提高噪声控制措施并比较和评价这些措施的有效性和经济上的合理性。 2.底盘噪声 汽车底盘结构固体声源产生噪声主要是传动系噪声和轮胎噪声。传动系噪声频率为400—2000Hz。其中齿轮传动的机械噪声是主要部分。齿轮噪声以声波向空间传出的仅是一小部分，大部分则是变速器驱动桥的激振使各部分产生振动而变为噪声。 按声源的激励性质不同，轮胎噪声主要产生机理可分三大类： (1)气流声机理。随着轮胎的滚动，在与路面接触区，花纹沟内空气不断被吸入与挤出，由此形成“空气泵”噪声，这是横向花纹的一种主要噪声机理。此声源为起伏变化的气体，属气流噪声。 (2)机械声机理。由胎面花纹块撞击路面、轮胎结构的不均匀性以及路面的不平性等因素激发机械噪声，是光面胎及纵向花纹的主要噪声源。 (3)滤波放大机理。轮胎与路面接触处形成喇叭口几何体，对上述噪声起着滤波放大作用。另外，胎面花纹沟与路面所围管道内的空气共振以及轮胎花纹块离开路面处形成的赫姆霍兹共振效应主要为袋状沟的噪声机理。 3.车身噪声 车身噪声主要是由于汽车加速行驶时空气流过汽车表面和孑L道时产生的噪声。该噪声主要来源于气流有明显折弯的地方，在该区域内气流分离，分离区内旋涡脱落，形成噪声。