2.6 平面向量数量积的坐标表示
整体设计
教学分析
平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.
前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.
教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.
三维目标
1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.
2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.
重点难点
教学重点:平面向量数量积的坐标表示.
教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.
思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.
推进新课
新知探究
提出问题
①平面向量的数量积能否用坐标表示?
②已知两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示a 2b 呢? ③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？
④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？
活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:
∵a =x 1ｉ+y 1j ,b =x 2ｉ+y 2j ,
∴a 2b =(x 1ｉ+y 1j )2(x 2ｉ+y 2j )=x 1x 2ｉ2+x 1y 2ｉ2j +x 2y 1ｉ2j +y 1y 2j 2
. 又∵ｉ2ｉ=1,j 2j =1,ｉ2j =j 2ｉ0, ∴a 2b =x 1x 2+y 1y 2.
教师给出结论性的总结,由此可归纳如下: 1°平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和, 即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 则a .2b =x 1x 2+y 1y 2. 2°向量模的坐标表示
若a =(x,y),则|a |2
=x 2
+y 2
,或|a |=2
2y x +.
如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么
a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=2
12212)()(y y x x -+-.
3°两向量垂直的坐标表示 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则 a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0.
4°两向量夹角的坐标表示 设a .、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cos θ=
2
2
2
22
12
12
111|
|||y x y x y y x x b a b
a +?++=?
讨论结果:略. 应用示例
思路1
例1 已知A.(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△A.BC 的形状,并给出证明.
活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为
零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.
解:在平面直角坐标系中标出A.(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△A.BC 是直角三角形.下面给出证明.
∵=(2-1,3-2)=(1,1),
AC =(-2-1,5-2)=(-3,3),
∴AB 2AC =13(-3)+133=0. ∴AB ⊥.
∴△ABC 是直角三角形.
点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明. 变式训练
在△ABC 中,=(2,3),=(1,k),且△A.BC 的一个内角为直角,求k 的值. 解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论. 若∠A=90°,则AB ⊥,所以AB 2=0. 于是231+3k=0.故k=-
3
2. 同理可求,若∠B=90°时,k 的值为3
11; 若∠C=90°时,k 的值为
2
13
3±. 故所求k 的值为-2
13
331132±或或.
例2 已知a =(3,2),b =(1,-1),求向量a 与b 的夹角的余弦值. 解:设向量a 与b 的夹角为θ,
则Cos θ=
26
26)1(123)1(2132
222=
-+?+-?+?, 即向量A 与b 夹角的余弦值为
26
26. 例3 求以点C(a.,b)为圆心,r 为半径的圆的方程(如图1).
图1
解:设M(x,y)是圆C 上一点,则||=r,即2=r 2
. 因为CM =(x-a.,y-b),
所以(x-a.)2
+(y-b)2
=r 2
,即为圆的标准方程.
如果圆心在坐标原点上,这时a.=0,b=0,那么圆的标准方程就是x 2+y 2=r 2
. 例4 (1)已知三点A.(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BA.C 的余弦值; (2)a =(3,0),b =(-5,5),求a 与b 的夹角.
活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)的数量积a 2b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +,|b |=2222y x +的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cos θ=
2
2
2
22
12
12
121|
|||y x y x y y x x b a b
a +?++=?.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量
的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.
解:(1)=(5,1)-(2,-2)=(3,3),AC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴2=33(-1)+336=15.
又∵||=233322=+,||=376)1(2
2=
+-,
∴c 74
74
537
2315=
?=
. (2)a 2b =33(-5)+035=-15,|a |=3,|b |=52. 设a 与b 的夹角为θ,则Cos θ=
2225315||||-=?-=?b a b a 又∵0≤θ≤π,∴θ=4
3π
. 点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解
主要是对基础知识的巩固与提高. 变式训练
已知向量a =(1,1),b =(2,-3),若k a -b 与a 垂直,则实数k 等于_______________. 解析:由题意，知(k a -b )2a =(k-2,k+3)2(1,1)=0, 解得k=-2
1 答案:-
2
1 思路2
例1 已知|a .|=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题: (1)若a .⊥b ,求a ; (2)若a ∥b ,求a .
活动:对平面中的两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向
量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a 2b =0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练. 解:(1)设a =(x,y),由|a .|=3且a ⊥b , 得?
??=+==+,032,9||222y x a y x
解得???
???
?-==???????=-=.13136,1313913136,13139y x y x 或 ∴a =(或)13136,13139-
a=)1313
6
,13139(- (2)设a =(x,y),由|a |=3且a ∥b ,得???=-==+,
023,
9||222y x a y x
解得???
????-=-=???????==.13139,1313
613139,13136y x y x 或 ∴a .)13139,13136(
或=a )1313
9
,13136(--= 点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标. 变式训练
求证:一次函数y=2x-3的图像(直线l 1)与一次函数y=-2
1
x 的图像(直线l 2)互相垂直. 证明:在l 1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l 1上取两点A.(1,-1),B(2,1). 同理,在直线l 2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是 =(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2), =(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).
由向量的数量积的坐标表示,可得AB 2CD =13(-2)+132=0, ∴AB ⊥,即l 1⊥l 2.
例2 已知圆C:(x-a.)2
+(y-b)2
=r 2
,求与圆C 相切于点P 0(x 0,y 0)的切线方程(如图
2).
图2
解:设P(x,y)为所求直线l 上一点.
根据圆的切线性质,有0CP ⊥l,即0CP 2P P 0=0. 因为0CP =(x 0-a.,y 0-b),P P 0=(x-x 0,y-y 0),
所以(x 0-a)(x-x 0)+(y 0-b)(y-y 0)=0.
特别地,当圆心在坐标原点时,圆的标准方程为x 2+y 2=r 2
,与它相切于P 0(x 0,y 0)的切线方程为x 0(x-x 0)+y 0(y-y 0)=0,
由于x 02+y 02=r 2,故此方程可化为x 0x+y 0y=r 2
.
由解析几何,知给定斜率为k 的直线l,则向量m =(1,k)与直线l 共线,我们把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量.
例3 已知直线l 1:3x+4y-12=0和l 2:7x+y-28=0,求直线l 1和l 2的夹角.
解:任取直线l 1和l 2的方向向量m =(1,-4
3
)和n =(1,-7). 设向量m 与n 的夹角为θ,因为m 2n =|m ||n |cos θ, 从而cos θ=22)7(1)4
3
(1)
7()43
(112
222=-+?-+-?-+? 所以θ=45°,即直线l 1和l 2的夹角为45°. 知能训练
课本本节练习1、2. 课堂小结
1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.
2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等. 作业
课本习题2—6A.组2、4、6.
设计感想
由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用,是对平面向量几何意义的综合研究提高,因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高,这符合新课程理念,符合新课标要求.我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容,也是高考中的重点,既有选择题、填空题,也有解答题(大多同立体几何、解析几何综合考查),故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用.而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容,用坐标表示直角坐标平面内点的位置,是解析几何的一个基本特征,从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系.以三角函数表示点的坐标,又可以沟通向量与三角函数的相互关系,由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题.
平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便,也拓宽了向量应用的途径.通过学习本节的内容,要更加加深对向量数量积概念的理解,同时善于运用坐标形式运算解决数量问题,尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等,往往可以使问题简单化.灵活使用坐标形式,综合处理向量的线性运算、数量积、平行等,综合地解决向量综合题,体现数形结合的思想.在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知
识解决问题的意识与能力.
备课资料
一、|a 2b |≤|a ||b |的应用
若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则平面向量的数量积的性质|a 2b |≤|a ||b |的坐标表示为x 1x 2+y 1y 2≤2212122222121)(y y x x y x y x +?++≤(x 12
+y 12
)(x 22
+y 22
).
不等式(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 12+y 12)(x 22+y 22
)有着非常广泛的应用,由此还可以推广到一般(柯西不等式):
(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2
≤(a 1+a 2+…+a n )(b 1+b 2+…+b n ).
例1 (1)已知实数x,y 满足x+y-4=0,则x 2+y 2
的最小值是__________;
(2)已知实数x,y 满足(x+2)2+y 2
=1,则2x-y 的最大值是__________. 解析:(1)令m =(x,y),n =(1,1).
∵|m 2n |≤|m ||n |,∴|x+y|≤222?+y x ,
即2(x 2
+y 2
)≥(x+y)2
=16.∴x 2
+y 2
≥8,故x 2
+y 2
的最小值是8. (2)令m =(x+2,y),n =(2,-1),2x-y=t.
由|m 2n |≤|m ||n |,得|2(x+2)-y|≤5)2(22?++y x =5,即|t+4|≤5. 解得-4-5≤t≤5-4.故所求的最大值是5-4. 答案:(1)8 (2)5-4
例2 已知a .,b∈R ,θ∈(0,2
π
),试比较θθ2
2
22sin cos b a +的大小. 解:构造向量m =(θ
θsin ,
cos b
a ),n =(cos θ,sin θ),由|m 2n |≤|m ||n |,得 (θθθθsin sin cos cos
b a +)2≤(θ
θ2
222sin cos b a +)(cos 2θ+sin 2
θ), ∴(a+b)2
≤θ
θ2
222sin cos b a +. 同类变式:已知a .,b∈R ,m,n∈R ,且mn≠0,m 2n 2＞a 2m 2+b 2n 2
,令M=22n m +,N=a+b,比较M 、N 的大小. 解:构造向量p=(
m
b
n a ,),q =(n,m),由|p 2q |≤|p ||q |,得 (m m b n n a ?+?)2≤(2222m b n a +)(m 2+n 2)=222222m n n b m a +(m 2+n 2)＜m 2+n 2
, ∴M ＞N. 例 3 设
a .,b∈R ,A={(x,y)|x=n,y=na +b,n∈Z },B={(x,y)|x=m,y=3m 2+15,m∈Z },C={(x,y)|x 2+y
2
≤144}是直角坐标平面xOy 内的点集,讨论是否存在a 和b,使得A∩B=?与(a ,b)∈C 能同时成立.
解:此问题等价于探求a 、b 是否存在的问题,它满足?????≤++=+)
2(144
)1(,
1532
2
2
b a n b na
设存在a 和b 满足①②两式,构造向量m =(a.,b),n =(n,1).
由|m 2n |2≤|m |2|n |2,得(na+b)2≤(n 2+1)(a 2+b 2
),
∴(3n 2+15)2≤144(n 2+1)n 4-6n 2
+9≤0.
解得n=±3,这与n∈Z 矛盾,故不存在a.和b 满足条件. 二、备用习题
1.若a =(2,-3),b =(x,2x),且a 2b =
3
4
,则x 等于( ) A.3 B.31 C.-3
1
D.-3
2.设a =(1,2),b =(1,m),若a 与b 的夹角为钝角,则m 的取值范围是( )
A.m ＞21
B.m ＜21
C.m ＞-21
D.m ＜-21 3.若a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),则( )
A.a ⊥b
B.a ∥b
C.(a +b )⊥(a .-b )
D.(a +b )∥(a -b )
4.与a =(u,v)垂直的单位向量是( ) A.(2
2
2
2
,
υ
υ
υ
++-
u u u ) B.(
2
2
2
2
,υ
υ
υ
+-
+u u u )
C.(
2
2
2
2
,υ
υυ
++u u
u ) D.(2
2
2
2
,
υ
υ
υ
++-
u u u )或
(
2
2
2
2
,υ
υ
υ
+-
+u u u )
5.已知向量a =(c os23°,c os67°),b =(c os68°,c os22°),u =B+t b (t∈R ),求u 的模的最小值.
6.已知a ,b 都是非零向量,且a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,求a 与b 的夹角.
7.已知△ABC 的三个顶点为A(1,1),B(3,1),C(4,5),求△ABC 的面积. 参考答案:
1.C
2.D
3.C
4.D
5.解：|a |= 23sin 23cos 67cos 23cos 2222+=+=1,同理|b |=1. 又a 2b =c os23°c os68°+c os67°c os22° =c os23°c os68°+sin23°sin68°=c os45°=
2
2, ∴|u |2
=(a +t b )2
=a 2
+2t a 2b +t 2b 2
=t 2
+2t+1=(t+22)2+21≥2
1. 当t=-22时,|u |min =2
2
.
6.解：由已知(a +3b )⊥(7a .-5b )?(a +3b ）?(7a -5b )=0?7a 2
+16a 2b -15b 2
=0.①
又(a -4b )⊥(7a -2b )?(a -4b )2(7a .-2b )=0?7a 2-30a 2b +8b 2
=0.②
①-②，得46a 2b =23b 2
,即a 2b =2
||22
2b b =.③ 将③代入①,可得7|a .|2+8|b |2-15|b |2=0,即|a |2=|b |2
,有|a |=|b |,
∴若记a 与b 的夹角为θ,则cos θ=21
||||2||||||2
==?b b b b a b a .
又θ∈[0°,180°],∴θ=60°,即a 与b 的夹角为60°. 7.分析:S △A.BC =
||||2
1
AC AB sin ∠BAC ,而||,|AC |易求,要求sin∠BAC 可先求出c os∠BAC. 解:∵=(2,1),=(3,4),||=2,||=5, ∴c |
|||AC AB =
524032??+?=53∴sin∠BAC=5
4
.
∴S △ABC =
21|||AC |sin∠BAC=21323535
4
=4. 三、新教材新教法的二十四个“化”字诀
新课导入新颖化,揭示概念美丽化;纵横相联过程化,探索讨论热烈化; 探究例题多变化,引导思路发散化;学生活动主体化,一石激浪点拨化; 大胆猜想多样化,论证应用规律化;变式训练探究化,课堂教学艺术化; 学法指导个性化,对待学生情感化;作业抛砖引玉化,选题质量层次化; 学生学习研究化,知识方法思想化;抓住闪光激励化,教学相长平等化; 教学意识超前化,与时俱进媒体化;灵活创新智慧化,学生素质国际化.