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根与系数的关系练习题

根与系数的关系练习题
根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系习题

主编:闫老师

[准备知识回顾]: 1、一元二次方程

)

0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为

)04(2422≥--±-=ac b a

ac b b x 。

2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为:ac b 42-=?

(1) 当0>?时,方程有两个不相等的实数根。 (2) 当0=?时,方程有两个相等的实数根。 (3) 当0

反之:方程有两个不相等的实数根,则 ;方程有两个相等的实数根,则 ;方程没有实数根,则 。 [韦达定理相关知识]

1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和,那么

=+21x x ,=?21x x 。我们把这两个结论称为一元

二次方程根与系数的关系,简称韦达定理。

2、如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和,则=+21x x ,

=?21x x 。

3、以21x x 和为根的一元二次方程(二次项系数为1)是0)(21212=?++-x x x x x x

4、在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,有一根为0,则=c ;有一根为1,则=++c b a ;有一根为1-,则=+-c b a ;若两根互为倒数,则=c ;若两根互为相反数,则=b 。

5、二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时,如果可用公式求出方程

)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和,那么))((212x x x x a c bx ax --=++.如果

方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用]

例1:已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1,则另一个根是 ,

=k 。 解:

变式训练:

1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根,则另一根和k 的值分别是多少?

2、方程062=--kx x 的两个根都是整数,则k 的值是多少?

例2:设21x x 和是方程03422=-+x x ,的两个根,利用根与系数关系求下列各式的值:

(1)2

22

1x x + (2))1)(1(21++x x (3)2

11

1x x + (4)221)(x x -

变式训练:

1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根,求满足下列条件的k 值: (1)有两个实数根。 (2)有两个正实数根。 (3)有一个正数根和一个负数根。 (4)两个根都小于2。

2、已知关于x 的方程022=+-a ax x 。 (1)求证:方程必有两个不相等的实数根。 (2)a 取何值时,方程有两个正根。

(3)a 取何值时,方程有两异号根,且负根绝对值较大。 (4)a 取何值时,方程到少有一根为零?

选用例题:

例3:已知方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之比为1:2,判别式的值为1,则b a 与是多少?

例4、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根,并且这两个根的平方和比两个根的积大16,求m 的值。

例5、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同,求m 的值。

基础训练:

1.关于x 的方程0122=+-x ax 中,如果0

2.设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根,则2

22

1x x +的值是( ) (A )15 (B )12 (C )6 (D )3

3.下列方程中,有两个相等的实数根的是( )

(A ) 2y 2+5=6y (B )x 2+5=2 5 x (C ) 3 x 2- 2 x+2=0(D )3x 2-2 6 x+1=0 4.以方程x 2+2x -3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是( ) (A ) y 2+5y -6=0 (B )y 2+5y +6=0 (C )y 2-5y +6=0 (D )y 2-5y -6=0 5.如果x 1,x 2是两个不相等实数,且满足x 12-2x 1=1,x 22-2x 2=1, 那么x 1·x 2等于( )

(A )2 (B )-2 (C )1 (D )-1

6.关于x 的方程ax 2-2x +1=0中,如果a<0,那么根的情况是( ) (A )有两个相等的实数根 (B )有两个不相等的实数根 (C )没有实数根 (D )不能确定

7.设x 1,x 2是方程2x 2-6x +3=0的两根,则x 12+x 22的值是( ) (A )15 (B )12 (C )6 (D )3

8.如果一元二次方程x 2+4x +k 2=0有两个相等的实数根,那么k = 9.如果关于x 的方程2x 2-(4k+1)x +2 k 2-1=0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是

10.已知x 1,x 2是方程2x 2-7x +4=0的两根,则x 1+x 2= ,x 1·x 2= ,(x 1-x 2)2=

11.若关于x 的方程(m 2-2)x 2-(m -2)x +1=0的两个根互为倒数,则m = .

二、能力训练:

1、不解方程,判别下列方程根的情况:

(1)x2-x=5 (2)9x2-6 2 +2=0 (3)x2-x+2=0

2、当m= 时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根;

当m= 时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根;

3、已知关于x的方程10x2-(m+3)x+m-7=0,若有一个根为0,则m= ,

这时方程的另一个根是;若两根之和为-3

5

,则m= ,这时方程的

两个根为 .

4、已知3- 2 是方程x2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m的值。

5、求证:方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1- 5 和1+ 5 。

7、设x 1,x 2是方程2x 2+4x -3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值: (1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1

x 2

(3)x 12+ x 1x 2+2 x 1

8、如果x 2

-2(m+1)x+m 2

+5是一个完全平方式,则m= ;

9、方程2x(mx -4)=x 2-6没有实数根,则最小的整数m= ;

10、已知方程2(x -1)(x -3m)=x(m -4)两根的和与两根的积相等,则m= ;

11、设关于x 的方程x 2-6x+k=0的两根是m 和n ,且3m+2n=20,则k 值为 ;

12、设方程4x 2-7x+3=0的两根为x 1,x 2,不解方程,求下列各式的值: (1) x 12+x 22 (2)x 1-x 2 (3)21x x (4)x 1x 22+1

2

x 1

13、实数s、t分别满足方程19s2+99s+1=0和且19+99t+t2=0求代数式st+4s+1t 的值。

14、已知a 是实数,且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x 2+2ax+1-1

2 (a 2x 2-a 2-1)=0有无实根?

15、求证:不论k 为何实数,关于x 的式子(x -1)(x -2)-k 2都可以分解成两个一次因式的积。

16、实数K 在什么范围取值时,方程0)1()1(22=---+k x k kx 有实数正根?

训练(一)

1、不解方程,请判别下列方程根的情况;

(1)2t2+3t-4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;

(3)5(u2+1)-7u=0, ;

2、若方程x2-(2m-1)x+m2+1=0有实数根,则m的取值范围是 ;

3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2- 3 ,则p= ,q= ;

4、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是,m= ;

5、若方程x2+mx-1=0的两个实数根互为相反数,那么m的值是 ;

6、m,n是关于x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根,则代数式m n= 。

7、已知关于x的方程x2-(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值;

8、如果α和β是方程2x2+3x-1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一

元二次方程,使它的两个根分别等于α+1

β

和β+

1

α

;

9、已知a,b,c是三角形的三边长,且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证:这个三角形是正三角形

10.取什么实数时,二次三项式2x2-(4k+1)x+2k2-1可因式分解.

11.已知关于X的一元二次方程m2x2+2(3-m)x+1=0的两实数根为α,β,

若s=1

α

1

β

,求s的取值范围。

训练(二)

1、已知方程x2-3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;

2、如果关于x的方程x2-4x+m=0与x2-x-2m=0有一个根相同,则m的值为 ;

3、已知方程2x2-3x+k=0的两根之差为21

2

,则k= ;

4、若方程x2+(a2-2)x-3=0的两根是1和-3,则a= ;

5、方程4x2-2(a-b)x-ab=0的根的判别式的值是 ;

6、若关于x的方程x2+2(m-1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为 ;

7、已知p<0,q<0,则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是 ;

8、以方程x2-3x-1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;

9、设x

1,x

2

是方程2x2-6x+3=0的两个根,求下列各式的值:

(1)x

12x

2

+x

1

x

2

2 (2)

1

x

1

1

x

2

10.m 取什么值时,方程2x 2-(4m+1)x+2m 2-1=0

(1)有两个不相等的实数根,(2)有两个相等的实数根,(3)没有实数根;

11.设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值。

12.是否存在实数k ,使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实根21,x x ,满足

21x x =3

2

,如果存在,试求出所有满足条件的k 的值,如果不存在,请说明理由。

一元二次方程根与系数关系专题训练

主编:闫老师

1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2, 那么x 1+x 2= ,x 1·x 2= 。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x -4=0的两个根, 那么:x 1+x 2= ;x 1·x 2= ;

2

11

1x x + ;x 21+x 22= ;(x 1+1)(x 2+1)= ;|x 1-x 2|= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。

4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1-2,那么另一个根是 ,a 的值为 。

5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2,那么k= 。

6、已知方程2x 2+mx -4=0两根的绝对值相等,则m= 。

7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和-1,则q ∶p= 。

8、已知方程x 2-mx+2=0的两根互为相反数,则m= 。

9、已知关于x 的一元二次方程(a 2-1)x 2-(a+1)x+1=0两根互为倒数,则a= 。

10、已知关于x 的一元二次方程mx 2-4x -6=0的两根为x 1和x 2,且x 1+x 2=-2,则

m= ,(x 1+x 2)21x x ?= 。

11、已知方程3x 2+x -1=0,要使方程两根的平方和为9

13

,那么常数项应改

为 。 12、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为 。

13、若α、β为实数且|α+β-3|+(2-αβ)2=0,则以α、β为根的一元二

次方程为 。(其中二次项系数为1)

14、已知关于x 的一元二次方程x 2-2(m -1)x+m 2=0。若方程的两根互为倒数,则m= ;若方程两根之和与两根积互为相反数,则m= 。

15、已知方程x 2+4x -2m=0的一个根α比另一个根β小4,则α= ;β

= ;m= 。

16、已知关于x 的方程x 2-3x+k=0的两根立方和为0,则k=

17、已知关于x 的方程x 2-3mx+2(m -1)=0的两根为x 1、x 2,且4

3

x 1x 121-=+

,则m= 。

18、关于x 的方程2x 2-3x+m=0,当 时,方程有两个正数根;当m

时,方程有一个正根,一个负根;当m 时,方程有一个根为0。

19、若方程x 2-4x+m=0与x 2-x -2m=0有一个根相同,则m= 。

20、求作一个方程,使它的两根分别是方程x 2+3x -2=0两根的二倍,则所求的方程为 。

21、一元二次方程2x 2-3x+1=0的两根与x 2-3x+2=0的两根之间的关系是 。

22、已知方程5x 2+mx -10=0的一根是-5,求方程的另一根及m 的值。

23、已知2+3是x 2-4x+k=0的一根,求另一根和k 的值。

24、证明:如果有理系数方程x 2+px+q=0有一个根是形如A+B 的无理数(A 、B 均为有理数),

那么另一个根必是A -B 。

25、不解方程,判断下列方程根的符号,如果两根异号,试确定是正根还是负根的绝对值大?

0362)2(,053)1(22=+-=--x x x

26、已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:

x 31x 2+x 1x 32

27、已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:

2221x 1x 1+

28、已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:

(x 21-x 22)2

29、已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值: x 1-x 2

30、已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:

1

22

x x 31、已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:

x 51·x 22+x 21·x 52

32、求一个一元二次方程,使它的两个根是2+6和2-6。

33、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数。

34、造一个方程,使它的根是方程3x 2-7x+2=0的根;(1)大3;(2)2倍;(3)相反

数;(4)倒数。

35、方程x 2+3x+m=0中的m 是什么数值时,方程的两个实数根满足:(1)一个根比另一个根大2;(2)一个根是另一个根的3倍;(3)两根差的平方是17。 36、已知关于x 的方程2x 2-(m -1)x+m+1=0的两根满足关系式x 1-x 2=1,求m 的值及两个根。

37、α、β是关于x 的方程4x 2-4mx+m 2+4m=0的两个实根,并且满足

100

9

1)1)(1(=

---βα,求m 的值。

38、已知一元二次方程8x 2-(2m+1)x+m -7=0,根据下列条件,分别求出m 的值: (1)两根互为倒数; (2)两根互为相反数; (3)有一根为零; (4)有一根为1;

(5)两根的平方和为64

1

39、已知方程x 2+mx+4=0和x 2-(m -2)x -16=0有一个相同的根,求m 的值及这个相同的根。

40、已知关于x 的二次方程x 2-2(a -2)x+a 2-5=0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍, 求a 的值。

41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根,两根之差等于3,两根的平方和

等于29,求b、c的值。

42、设:3a2-6a-11=0,3b2-6b-11=0且a≠b,求a4-b4的值。

43、试确定使x2+(a-b)x+a=0的根同时为整数的整数a的值。

44、已知一元二次方程(2k-3)x2+4kx+2k-5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形

的底边长,求:当k取何整数时,方程有两个整数根。

45、已知:α、β是关于x的方程x2+(m-2)x+1=0的两根,求(1+mα+α2)(1+m β+β2)的值。

46、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根,x1+1、x2+1是关于x的方程

x2+qx+p=0的两根,求常数p、q的值。

47、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根;y1、y2是关于y的方程

y2+5my+7=0的两个实数根,且x1-y1=2,x2-y2=2,求m、n的值。

48、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根,x2+2(a+m)x+2a-

m2+6m-4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。

49、关于x的一元二次方程3x2-(4m2-1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根

的倒数和,求m的值。

50、已知:α、β是关于x 的二次方程:(m -2)x 2+2(m -4)x+m -4=0的两个不等实根。

(1)若m 为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值; (2)若α2+β2=6时,求m 的值。

51、已知关于x 的方程mx 2-nx+2=0两根相等,方程x 2-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。

求证:方程x 2-(k+n)x+(k -m)=0一定有实数根。

52、关于x 的方程22n 4

1

mx 2x +-=0,其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底

边长。

(1)求证:这个方程有两个不相等的实根;

届中考复习《一元二次方程的根与系数的关系》专题测试含答案

精心整理北京市朝阳区普通中学2018届初三中考数学复习 一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题 1.设α,β是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根,则αβ的值是( ) A.2B.1C.-2D.-1 2 3 4.p,q 5.) 6.2的值为( A.-1B.9C.23D.27 7.已知一元二次方程的两根之和是3,两根之积是-2,则这个方程是( ) A.x2+3x-2=0B.x2+3x+2=0 C.x2-3x-2=0D.x2-3x+2=0 8.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解,若(m-1)(n-1)=-

6,则a的值为( ) A.-10B.4C.-4D.10 9.菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于O点,且AO,BO的长分别是关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的根,则m的值为( ) A.-3B.5C.5或-3D.-5或3 10.2 x1x2 11. 12.+n= 13. 14. 15. 16. 17. (1)求m的取值范围; (2)当x12+x22=6x1x2时,求m的值. 18.关于x的方程kx2+(k+2)x+=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在,求出k的值;若

不存在,说明理由. 19.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积. (1)x2+2x+1=0; (2)3x2-2x-1=0; (3)2x2+3=7x2+x; 2 20. (1) (2) 21. (1) (2) 10. 11. 13.10 14.10-400 15.m>1/2 16.x2-10x+9=0 17.解:(1)∵原方程有两个实数根,∴Δ=(-2)2-4(m-1)≥0,整理得:4-4m+4

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1、韦达定理(根与系数的关系) 韦达定理:对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,如果方程有两个实数根12,x x ,那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明:定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空: 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x = , 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x = ,1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x = ,1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数,那么m = ;如果两根互为倒数,那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和-4,那么m = ,n = . 6、以1x ,2x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 . 7、以13+,13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3,两数积为-4,则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ,2x ,那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-,则另一根是 ,m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数,则k = ,若两根互为倒数,则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3,那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .

初三数学根与系数关系练习题精选

初三数学根与系数关系式习题精选 一、填空题与选择题: 1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____. 3、若α、β为实数且|α+β-3|+(2-αβ)2=0,则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1) 4、已知a a -=12,b b -=12,且b a ≠,则=--)1)(1(b a . 5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6,那么=k ______ 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根,则这个直角三角形的斜边长是( ) A 、、3 C 、6 D 、9 7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 二、解答题: 8、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值: (1))3)(3(21--x x ; (2)2221)1()1(+++x x (3) 112112+++x x x x (4)||21x x -

(5))31)(31(1221x x x x ++ (6)3231x x + (7) 21x x 9、已知1x ,2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根,且满足022 21=-x x ,求m 的值; 10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和,方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ,求m 和n 的值。

中考专题复习课时10.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

﹡课时10.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 【课前热身】 1.一元二次方程2210x x --=的根的情况为( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2. 若方程kx 2-6x +1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 . 3.设x 1、x 2是方程3x 2+4x -5=0的两根,则 =+2 11 1x x ,.x 12+x 22= . 4.关于x 的方程2x 2+(m 2-9)x +m +1=0,当m = 时,两根互为倒数; 当m = 时,两根互为相反数. 5.若x 1 =23-是二次方程x 2+ax +1=0的一个根,则a = ,该方程的另一个根x 2 = . 【考点链接】 1. 一元二次方程根的判别式: 关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 . (1)ac b 42->0?一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根, 即=2,1x . (2)ac b 42-=0?一元二次方程有 相等的实数根,即 ==21x x . (3)ac b 42-<0?一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 2. 一元二次方程根与系数的关系 若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ,2x ,那么 =+21x x ,=?21x x . 3.易错知识辨析:

(1)在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二 次项系数不为零这个限制条件. (2)应用一元二次方程根与系数的关系时,应注意: ① 根的判别式042≥-ac b ; ② 二次项系数0a ≠,即只有在一元二次方程有根的前提下,才能应用根与系数的关系. 【典例精析】 例1 当k 为何值时,方程2610x x k -+-=, (1)两根相等;(2)有一根为0;(3)两根为倒数. 例2 下列命题: ① 若0a b c ++=,则240b ac -≥; ② 若b a c >+,则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根; ③ 若23b a c =+,则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根; ④ 若240b ac ->,则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是( ) A.只有①②③ B.只有①③④ C.只有①④ D.只有②③④. 例3 菱形ABCD 的一条对角线长为6,边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个 根,则菱形ABCD 的周长为 . 【中考演练】 1.设x 1,x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根,则(x 1+1)(x 2+1)= __________,x 12+x 22=_________, 12 11 x x +=__________,(x 1-x 2)2=_______. 2.当c =__________时,关于x 的方程2280x x c ++=有实数根.(填一个符合要

根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系习题 主编:闫老师 [准备知识回顾]: 1、一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为:ac b 42-=? (1) 当0>?时,方程有两个不相等的实数根。 (2) 当0=?时,方程有两个相等的实数根。 (3) 当0

在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时,如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和,那么))((212x x x x a c bx ax --=++.如果 方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用] 例1:已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1,则另一个根是 , =k 。 解: 变式训练: 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根,则另一根和k 的值分别是多少? 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数,则k 的值是多少? 例2:设21x x 和是方程03422=-+x x ,的两个根,利用根与系数关系求下列各式的值: (1)2 22 1x x + (2))1)(1(21++x x (3)2 11 1x x + (4)221)(x x -

一元二次方程根与系数关系中考强化练习题

一元二次方程根与系数关系中考强化练习题 (时间:90分钟) 姓名:_________ 一、填空: 1、 如果一元二次方程c bx ax ++2 =0)(0≠a 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x = , 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x = ,1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x = ,1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数,那么m = ;如果两根互为倒数,那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和-4,那么m = ,n = . 6、以1x ,2x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 . 7、以13+,13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3,两数积为-4,则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ,2x ,那么2221x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-,则另一根是 ,m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数,则k = ,若两根互为倒数,则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3,那么n mx x ++2在实数 范围内可分解为 . 二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ,且1x >2x ,求下列各式的值:

1、1x 2+2x 2= ;2、2 111x x += ; 3、=-221)(x x = ;4、)1)(1(21++x x = . 三、选择题: 1、关于x 的方程p x x --822=0有一个正根,一个负根,则p 的值是( ) (A )0 (B )正数 (C )-8 (D )-4 2、已知方程122-+x x =0的两根是1x ,2x ,那么=++12 21221x x x x ( ) (A )-7 (B) 3 (C ) 7 (D) -3 3、已知方程0322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么2 11 1 x x +=( ) (A )-31 (B) 31 (C )3 (D) -3 4、下列方程中,两个实数根之和为2的一元二次方程是( ) (A )0322=-+x x (B ) 0322=+-x x (C )0322=--x x (D )0322=++x x 5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数,则a 的值是( ) (A )5或-2 (B) 5 (C ) -2 (D) -5或2 6、若方程04322=--x x 的两根是1x ,2x ,那么)1)(1(21++x x 的值是( ) (A )-21 (B) -6 (C ) 21 (D) -25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是( ) (A )0162=++y y (B ) 0162=+-y y (C )0162=--y y (D )0162=-+y y 四、解答题: 1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是-5,求另一个根及m 的值.

初三数学根与系数关系练习题

一元二次方程根的判别式与根与系数的关作业题 一、选择 1、在方程02=++c bx ax (a ≠0)中,若a 与c 异号,则方程 ( ) A 、有两个不等实根 B 、有两个相等实根 C 、没有实根 D 、有实根 2、若方程02=++n mx x 中有一个根为零,另一个根非零,则n m ,的值为 ( ) (A ) 0,0==n m (B ) 0,0≠=n m (C ) 0,0=≠n m (D ) 0≠mn 3、若a x x ++3142为完全平方式,则a 的值为 ( ) A 61 B 121 C 361 D 144 1 4、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数,那么m 的值为 ( ) A 、0 B 、-1 C 、1 D 、±1 5、两根均为负数的一元二次方程是 ( ) A.4x 2+21x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.7x 2-12x+5=0 D.2x 2+15x-8=0 6、已知ab ≠0,方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =??? ??2 2,则方程的两根 之比为 ( )

A 、0∶1 B 、1∶1 C 、1∶2 D 、2∶3 7、菱形ABCD 的边长是5,两条对角线交于O 点,且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程:03)12(22=++-+m x m x 的根,则m 的值为 ( ) A 、-3 B 、5 C 、5或-3 D 、-5或3 二、填空: 8、下列方程①012=+x ;②02=+x x ;③012=-+x x ;④02=-x x 中, 无实根的方程是 。 9、关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是-2,则方程的另一根是 ;k = 。 10、如果关于x 的一元二次方程042=+-kx x 有两个相等的负根,则_____=k ; 11、以1313-和+的根为方程是______________。 12、若两数和为3,积为-4,则这两个数分别为_____________。 三、解答 13、1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根,不解方程,求下列代数式的值: (1)2221x x + (2)21x x - (3)2222133x x x -+

中考数学专题复习 一元二次方程根与系数的关系

中考数学一元二次方程根与系数的关系 精选例题解析 知识考点: 掌握一元二次方程根与系数的关系,并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。 精典例题: 【例1】关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是-2,则方程的另一根是 ;k = 。 分析:设另一根为1x ,由根与系数的关系可建立关于1x 和k 的方程组,解之即得。 答案: 2 5 ,-1 【例2】1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根,不解方程,求下列代数式的值: (1)2 22 1x x + (2)21x x - (3)22 22 133x x x -+ 略解:(1)2 221x x +=212212)(x x x x -+=417 (2)21x x -=212214)(x x x x -+=2 1 3 (3)原式=)32()(22 22221x x x x -++=5417 +=4 112 【例3】已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大16,求m 的值。 分析:有实数根,则△≥0,且16212 22 1+=+x x x x ,联立解得m 的值。 略解:依题意有:

??? ????≥--+=?+=+-=+-=+0)5(4)2(416 5)2(222212 22122 121m m x x x x m x x m x x 由①②③解得:1-=m 或15-=m ,又由④可知m ≥4 9 - ∴15-=m 舍去,故1-=m 探索与创新: 【问题一】已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根,问:1x 与2x 能否同号?若能同号请求出相应的m 的取值范围;若不能同号,请说明理由。 略解:由1632+-=?m ≥0得m ≤ 2 1。121+-=+m x x ,22141 m x x =≥0 ∴1x 与2x 可能同号,分两种情况讨论: (1)若1x >0,2x >0,则???>>+00 2 121x x x x ,解得m <1且m ≠0 ∴m ≤ 2 1 且m ≠0 (2)若1x <0,2x <0,则???><+0 02121x x x x ,解得m >1与m ≤21 相矛盾 综上所述:当m ≤ 2 1 且m ≠0时,方程的两根同号。 【问题二】已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 (1)是否存在实数k ,使2 3 )2)(2(2121-=--x x x x 成立?若存在,求出k 的 值;若不存在,请说明理由。

根与系数的关系练习题 (1)

一元二次方程根与系数的关系练习题 一.选择题(共14小题) 1.下列一元二次方程中,两根之和为2的是() A.x2﹣x+2=0 B.x2﹣2x+2=0 C.x2﹣x﹣2=0 D.2x2﹣4x+1=0 2.小明和小华解同一个一元二次方程时,小明看错一次项系数,解得两根为2,﹣3,而小华看错常数项,解错两根为﹣2,5,那么原方程为() A.x2﹣3x+6=0 B.x2﹣3x﹣6=0 C.x2+3x﹣6=0 D.x2+3x+6=0 3.(2011?锦江区模拟)若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2,则(x1+2)(x2+2)的值为()A.﹣4 B.6C.8D.12 4.(2007?泰安)若x1,x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根,则2x12﹣2x1+x22+3的值是()A.19 B.15 C.11 D.3 5.(2006?贺州)已知a,b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根,则a2﹣ab+4a的值是()A.6B.0C.7D.﹣1 6.(1997?天津)若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3,则两根之积为()A.2B.﹣2 C.﹣6或2 D.6或﹣2 7.已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍.则() A.3n2=16m2B.3m2=16n C.m=3n D.n=3m2 8.a、b是方程x2+(m﹣5)x+7=0的两个根,则(a2+ma+7)(b2+mb+7)=() A.365 B.245 C.210 D.175 9.在斜边AB为5的Rt△ABC中,∠C=90°,两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣(m﹣1)x+m+4=0 的两个实数根,则m的值为() A.﹣4 B.4C.8或﹣4 D.8 10.设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根,则m2+2m+n的值为() A.2008 B.2009 C.2010 D.2011

一元二次方程的根与系数的关系教学案(一)

一元二次方程的根与系数的关系教学案(一) 一、素质教育目标 (一)知识教学点: 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用. (二)能力训练点: 培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力. (三)德育渗透点: 1.渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律; 2.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神. 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1.教学重点:根与系数的关系及其推导. 2.教学难点:正确理解根与系数的关系. 3.教学疑点:一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和,两根的积与系数的关系. 三、教学步骤 (一)明确目标 一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2,x2=3,可以发现x1+x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数,x1x2=6恰是方程的常数项.其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗?这就是本节课所研究的问题,利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系.(二)整体感知

一元二次方程的求根公式是由系数表达的,研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和,两根的积与系数的关系.它是以一元二次方程的求根公式为基础.学了这部分内容,在处理有关一元二次方程的问题时,就会多一些思想和方法,同时,也为今后进一步学习方程理论打下基础. 本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系,到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用.向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般,再由一般到特殊,培养学生勇于探索、积极思维的精神.(三)重点、难点的学习及目标完成过程 1.复习提问 (1)写出一元二次方程的一般式和求根公式. (2)解方程①x2-5x+6=0,②2x2+x-3=0. 观察、思考两根和、两根积与系数的关系. 在教师的引导和点拨下,由学生得出结论,教师提问:所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗? 2.推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系. 设x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根.

一元二次方程根与系数的关系演示教学

12.4一元二次方程的根与系数的关系 中考考点 1.理解一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)。 2.会运用根与系数的关系,由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。 3.会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。 考点讲解 1.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则 x1+x2=-, x1·x2=。 2.以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0,展开代入两根和与两根积,仍得到方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。

3.对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时,那么x1+x2=-p,x1·x2=q。反之,以x1,x2为根的一元二次方程是:(x-x1)(x-x2)=0,展开代入两根和与两根积,仍得到方程: x2+px+q=0。 4.一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面: (1)已知一元二次方程的一个根,求另一个根,可用两根和或两根积的关系求另一个根。 (2)已知含有字母系数的一元二次方程的一个根,求另一个根及字母系数的值。可用根与系数关系式,一个关系式求得另一个根,再用另一个关系式求得字母系数的值。 (3)已知一元二次方程,不解方程,可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。如,方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2,不解方程,求x12+x22的值。 [∵x1+x2=, x1·x2=,∴

x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2× = ] (4)验根、求根、确定根的符号。 (5)已知两根,求作一元二次方程(注意最后结果要化为整系数方程)。

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案) 一.选择题(共22小题) 1.(2014?宜宾)若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1,x2=2,则这个方程是() A.x2+3x﹣2=0 B.x2﹣3x+2=0 C.x2﹣2x+3=0 D.x2+3x+2=0 2.(2014?昆明)已知x1,x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根,则x1?x2等于() A.﹣4 B.﹣1 C.1D.4 3.(2014?玉林)x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根,是否存在实数m使+=0成立?则正确的结论是() A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在 4.(2014?南昌)若α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2+β2的值为() A.10 B.9C.7D.5 5.(2014?贵港)若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,则b+c的值是()A.﹣10 B.10 C.﹣6 D.﹣1 6.(2014?烟台)关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是() A.﹣1或5 B.1C.5D.﹣1 7.(2014?攀枝花)若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β,那么下列说法不正确的是()

A.α+β=﹣1 B.αβ=﹣1 C.α2+β2=3 D.+=﹣1 8.(2014?威海)方程x2﹣(m+6)x+m2=0有两个相等的实数根,且满足x1+x2=x1x2,则m的值是()A.﹣2或3 B.3C.﹣2 D.﹣3或2 9.(2014?长沙模拟)若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+2=0的一个根是﹣2,则另一个根是()A.2B.1C.﹣1 D.0 10.(2014?黄冈样卷)设a,b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为()A.2012 B.2013 C.2014 D.2015 11.(2014?江西模拟)一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于() A.﹣6 B.6C.3D.﹣3 12.(2014?峨眉山市二模)已知x1、x2是方程x2﹣(k﹣2)x+k2+3k+5=0的两个实数根,则的最大值是() A.19 B.18 C.15 D.13 13.(2014?陵县模拟)已知:x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a、b的值分别是() A.a=﹣3,b=1 B.a=3,b=1 C.a=﹣,b=﹣1 D.a=﹣,b=1 14.(2013?湖北)已知α,β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α2+αβ+β2的值为()A.﹣1 B.9C.23 D.27

2009年中考数学试题汇编之9-根的判别式及根与系数关系试题及答案

全国免费客户服务电话:400-715-6688 地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A 座10层 2009年中考试题专题之9-根的判别式及根与系数关系试题及答案 一、选择题 1. (2009年台湾)若a 、b 为方程式x 2 -4(x +1)=1的两根,且a >b ,则b a =? A.-5 B.-4 C.1 D. 3 2. (2009年株洲市)定义:如果一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=,那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知2 0(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是 A .a c = B .a b = C .b c = D . a b c == 3.(2009成都)若关于x 的一元二次方程2 210kx x --=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 A.1k >- B.1k >-且0k ≠ C.1k < D. 1k <且0k ≠ 6.(2009烟台市)设a b ,是方程2 20090x x +-=的两个实数根,则2 2a a b ++的值为( ) A .2006 B .2007 C .2008 D .2009 【关键词】根与系数的关系,根的定义 【答案】C 7. (2009年烟台市)设a b ,是方程2 20090x x +-=的两个实数根,则2 2a a b ++的值为( ) A .2006 B .2007 C .2008 D .2009 8.(2009年包头)关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、, 且22127x x +=,则2 12()x x -的值是( ) A .1 B .12 C .13 D .25 9. (2009年台湾)若a 、b 为方程式x 2 -4(x +1)=1的两根,且a >b ,则 b a =? (A) -5 (B) -4 (C) 1 (D) 3 。 11.(09湖北宜昌)设方程x 2 -4x -1=0的两个根为x 1与x 2,则x 1x 2的值是( ). A .-4 B .-1 C .1 D . 0 12.(2009年湖北十堰市)下列方程中,有两个不相等实数根的是( ). A .0122=--x x B .0322 =+-x x C .3322 -=x x D .0442 =+-x x

根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系习题 朱发栋 [准备知识回顾]: 1、一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为:ac b 42-=? (1) 当0>?时,方程有两个不相等的实数根。 (2) 当0=?时,方程有两个相等的实数根。 (3) 当0

变式训练: 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根,则另一根和k 的值分别是多少? 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数,则k 的值是多少? 例2:设21x x 和是方程03422=-+x x ,的两个根,利用根与系数关系求下列各式的值: (1)2 22 1x x + (2))1)(1(21++x x (3)2 11 1x x + (4)221)(x x - 变式训练: 1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根,求满足下列条件的k 值: (1)有两个实数根。 (2)有两个正实数根。 (3)有一个正数根和一个负数根。 (4)两个根都小于2。

一元二次方程根与系数关系(附答案)解析

一元二次方程根与系数的关系(附答案) 评卷人得分 一.选择题(共6小题) 1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法正确的是() A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根D.无法确定 2.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,则m的取值范围是()A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1 D.m<﹣1 3.关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.没有实数根D.不能确定 4.设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,则x12+x22的值是()A.2 B.4 C.5 D.6 5.若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α+β的值为()A.﹣5 B.5 C.﹣2 D. 6.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为()A.﹣1 B.0 C.1 D.3 评卷人得分 二.填空题(共1小题) 7.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p,q,且p2﹣pq+q2=18,则的值为. 评卷人得分

三.解答题(共8小题) 8.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围; (2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L 的长. 9.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0. (1)若该方程的一个根为1,求a的值; (2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根. 10.已知关于x的一元二次方程(x﹣m)2﹣2(x﹣m)=0(m为常数). (1)求证:不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)若该方程一个根为3,求m的值. 11.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程; (2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值范围; (3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值. 12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由; (2)求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值; (3)若k=﹣2,λ=,试求λ的值. 13.已知关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2. (1)求k的取值范围; (2)若x1+x2=x1x2+2,求k的值. 14.已知关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2﹣3=0. (1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根? (2)设x1、x2是方程的两根,且x12+x22=22+x1x2,求实数m的值.

根与系数关系中考题

根与系数关系 一.选择题(共12小题) 1.(2014?包头)关于x的一元二次方程x2+2(m﹣1)x+m2=0的两个实数根分别为x1,x2,且x1+x2>0,x1x2>0,则m的取值范围是() A .m≤ B . m≤且m≠0 C . m<1 D . m<1且m≠0 2.(2014?玉林)x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根,是否存在实数m使+=0成立?则正确的是结论是() A .m=0时成立B . m=2时成立C . m=0或2时成立D . 不存在 3.(2014?威海)方程x2﹣(m+6)x+m2=0有两个相等的实数根,且满足x1+x2=x1x2,则m的值是() A .﹣2或3 B . 3 C . ﹣2 D . ﹣3或2 4.(2014?日照)关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x1,x2,满足x1+x2﹣x1x2<﹣1,则k的取值范围在数轴上表示为() A .B . C . D . 5.(2014?黄冈样卷)设a,b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为() A .2012 B . 2013 C . 2014 D . 2015 6.(2014?甘谷县模拟)若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2﹣3=0的两个实数根分别是x1,x2,且满足x1+x2=x1?x2,则k的值为() A .B . ﹣1 C . ﹣1或 D . 不存在 7.(2013?呼和浩特)(非课改)已知α,β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=﹣1,则m的值是() A .3或﹣1 B . 3 C . 1 D . ﹣3或1 8.(2013?桂林)已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2,且x12﹣x1x2=0,则a的值是() A .a=1 B . a=1或a=﹣2 C . a=2 D . a=1或a=2 9.(2013?烟台)已知实数a,b分别满足a2﹣6a+4=0,b2﹣6b+4=0,且a≠b,则的值是() A .7 B . ﹣7 C . 11 D . ﹣11 10.(2012?包头)关于x的一元二次方程x2﹣mx+5(m﹣5)=0的两个正实数根分别为x1,x2,且2x1+x2=7,则m的值是() A .2 B . 6 C . 2或6 D . 7 11.(2012?中山区一模)已知x1、x2是方程x2+3x+1=0的两实根,则x12﹣3x2+1的值是() A .0 B . 1 C . ﹣9 D . 9

初中数学拔高九年级 专题04 根与系数关系(含答案)

专题04 根与系数关系 阅读与思考 根与系数的关系称为韦达定理,其逆定理也成立,是由16世纪的法国数学家韦达所发现的.韦达定 理形式简单而内涵丰富,在数学解题中有着广泛的应用,主要体现在: 1.求方程中字母系数的值或取值范围; 2.求代数式的值; 3.结合根的判别式,判断根的符号特征; 4.构造一元二次方程; 5.证明代数等式、不等式. 当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时,可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系,然后再结合已知条件进行求解或求证,这是利用根与系数的关系解题的基本思路, 需要注意的是,应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根,所以,应用根与系数的 关系解题时,必须满足判别式△≥0. 例题与求解 【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为 s ,则s 的取值范围是_________. 【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长,那么,实数m 的取 值范围是_________. A .01m ≤≤ B .34m ≥ C .314m <≤ D .314 m ≤≤ 【例3】已知α,β是方程2780x x -+=的两根,且αβ>.不解方程,求 223βα+的值.

【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠,求 41st s t ++的值. 【例5】(1)若实数,a b 满足258a a +=,258b b +=,求代数式 1111b a a b --+--的值; (2)关于,,x y z 的方程组32236 x y z a xy yz zx ++=??++=?有实数解(,,)x y z ,求正实数a 的最小值; (3)已知,x y 均为实数,且满足17xy x y ++=,2266x y xy +=,求432234x x y x y xy y ++++的值. 【例6】 ,,a b c 为实数,0ac <,且2350a b c ++=,证明一元二次方程2 0ax bx c ++=有大于35 而小于1的根. 能力训练 A 级 1.已知m ,n 为有理数,且方程20x mx n ++=有一个根是52-,那么m n += . 2.已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍,则m 的值为 . 3.当m = 时,关于x 的方程22 8(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数; 当 时,关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数;当 时,关于m

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