2018年杨浦区初三数学二模卷
(完卷时间 100分钟 满分 150分) 考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列各数中是无理数的是 （A ）cos60°；
（B ） 1.3；
（C ）半径为1cm 的圆周长； （D
2．下列运算正确的是
（A ）2m m m ?=； （B ）23
6
()m m =； （C ）3
3
()mn mn =； （D ）623
m m m ÷=．
3．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是
（A ）0x y +>；
（B ）0x y ->；
（C ）0x y +<；
（D ）0x y -<．
4．某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图1所示.其中阅读时间是8-10小时的组频数和组频率分别是 （A ）15和；
（B ）15和；
（C ）30和； （D ）30和．
5．下列图形是中心对称图形的是
（A
（B ） （C （D ）
6． 如图2，半径为1的圆O 1与半径为3的圆O 2相内切，如果半径为2的圆与圆O 1和圆O 2都相切，那么这样的圆的个数是 （A ）1； （B ）2；
（C ）3； （D ）4.
二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
频率
（图1） （图2）
7．计算：()()a a b b a b +-+= ▲ . 8．当0,0a b <>
= ▲ . 9．
函数11y x
=
+
-x 的取值范围是 ▲ .
10．如果反比例函数k y x
=
的图像经过点A （2，y 1）与B （3，y 2），那么
12
y y 的值等于 ▲ .
11．三人中有两人性别相同的概率是 ▲ . 12．25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表：
那么跳绳次数的中位数是 ▲ .
13．李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如
果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x 分钟，那么可列出的方程是 ▲ . 14．四边形ABCD 中，向量AB BC CD ++= ▲
. 15．若正n 边形的内角为140?，则边数n 为 ▲ .
16．如图3，△ABC 中，∠A =80°，∠B =40°，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，联结DC .
如果AD =2，BD =6，那么△ADC 的周长为 ▲ .
17．如图4，正△ABC 的边长为2，点A 、B 的圆上，点C 在圆内，将正△ABC
绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，旋转角的正切值是 ▲ . 18．当关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，
称之为“倍根方程”. 如果关于x 的一元二次方程x 2+(m -2)x -2m=0是“倍根方程”，那么m 的值为
▲ .
三、 解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
先化简，再求值：1
1
123213222-+++--÷--x x x x x x x ，12+=x ． 20．（本题满分10分）
（图4）
（图3）
A
B
C
D
解方程组：222
23;
2().
x y x y x y ?-=??-=+??
21．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）
已知：如图5，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，BD 平分∠ABC ，∠A ＝60°． 求：（1）求∠CDB 的度数；
（2）当AD ＝2时，求对角线BD 的长和梯形ABCD 的面积．
22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）、（3）各小题4分）
已知A 、B 、C 三地在同一条路上，A 地在B 地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A 、B 两地向正北方向的目的地C 匀速直行，他们分别和A 地的距离s （千米）与所用的时间t （小时）的函数关系如图6所示． （1）图中的线段l 1是 ▲ （填“甲”或“乙”
图像，C 地在B 地的正北方向 ▲ 千米处； （
2）谁先到达C 地？并求出甲乙两人到达C 地的时间差；（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到 者晚1小时到达C 地，求他提速后的速度.
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知：如图7，在□ABCD 中，点G 为对角线AC 的中点，过点G 的直线EF 分别交边AB 、CD 于点E 、F ，过点G 的直线MN 分别交边AD 、BC 于点M 、N ，且∠AGE =∠CGN. （1）求证：四边形ENFM 为平行四边形； （2）当四边形ENFM 为矩形时，求证：BE=BN .
24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
t （小时）
（图6）
（图5） （图7）
A C
D G
E F
M
如图8，在平面直角坐标系中，抛物线21
2
y x bx c =-
++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴
交于点C ，直线y =x +4经过点A 、C ，点P 为抛物线上位于直线AC 上方的一个动点. （1）求抛物线的表达式；
（2）如图（1），当CP
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4 分） （1） 如图9，在梯形ABCD 中，AD 当圆P 过点A 时，求圆P 的半径；
（2） 分别联结EH 和EA ，当△ABE ∽△CEH 时，以点B 为圆心，r 为半径的圆B 与圆P
相交，试求圆B 的半径r 的取值范围； （3） 将劣弧EH 沿直线EH 翻折交BC 于点F ，试通过计算说明线段EH 和EF 的比值为
定值，并求出此定值.
2018年杨浦区初三数学二模卷
四、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1． C ； 2． B ； 3． A ； 4． D ； 5． B ； 6． C 五、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．22a b -； 8． b a -； 9． 2x ≥-且1x ≠；
A
B C D
P
H
E
C
A
B
D
P H
E
A
C
D
P H
E
B
F （图9）
x
（图8）
P
A
B C
x
y （备用图）
O
A
B
C
P
y
（图（1））
O
10．
3
2
； 11． 1； 12． 20； 13． 80250(15)2900x x +-=； 14． AD ； 15． 9；
16． 14； 17
．3
； 18． -1或-4. 六、 解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
解:原式=1
1
)1)(3()1()1)(1(32-++-+?-+-x x x x x x x ………………………………………（6分）
=1111-+-x x =1
2-x …………………………………………………（2分） 当12+=x 时， 原式=22
2
= ………………………………（2分） 20．（本题满分10分）
解：由（2）得，0=+y x ，2=-y x ；…………………………………………（3分）
则原方程组转化为223,0.
x y x y ?-=?+=?（Ⅰ）或
223,
2.
x y x y ?-=?
-=? （Ⅱ） …………………（2分）
解（Ⅰ）得2112
3,1,21;3.2x x y y ?=-?=????=-??=??… （2分）解（Ⅱ）得43341,
1,21;5.2
x x y y ?=-?=????
=-??=-?? … （2分） ∴原方程组的解是21123,1,21;3.2x x y y ?=-?=????=-??=??341,25.
2
x y ?=-???
?=-?? ……………………………（1分） 21．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）
解：(1) ∵在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，∠A ＝60°，∴∠CBA =∠A =60o. （1分）
∵BD 平分∠ABC ，∴∠CDB =∠ABD =2
1
∠CBA=30o ，………………………（2分）
（2）在△ACD 中，∵∠ADB =180o –∠A –∠ABD=90o ．………………………………（1分）
∴BD=AD tan ?A =2tan60o=23. .…………………………………………………（1分） 过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ， …………………………………………………（1分） ∴AH =AD sin ?A =2sin60o=3. .…………………………………………………（1分）
∵∠CDB =∠CBD =2
1
∠CBD =30o ，∴DC =BC =AD
=2. ………………………………（1分）
∵AB =2AD =4, …………………………………………………………………………（1分）
∴11
()(422
ABCD S AB CD DH =+?=+梯形……………………………（1分）
22． （本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）、（3）各小题4分） 解：（1）乙；3. ……………………………………………………………………………（2分） （2）甲先到达. ……………………………………………………………………………（1分） 设甲的函数解析式为s =kt ，则有4=t ，即s =4t .
当s =6时，t =
3
2
.……………………………………………………………………………（1分） 设乙的函数解析式为s =nt +3，则有4=n +3，即n =1.所以乙的函数解析式为s =t +3.
当s =6时，t =3. ……………………………………………………………………………（1分） 所以到达目的地的时间差为
32
小时. ………………………………………………………（1分）
（3）设提速后的速度为v 千米/小时，
因为相遇处距离A 地4千米，所以相遇后行2千米. ……………………………………（1分） 又因为原相遇后行2小时，所以提速后2千米应行小时. …………………………（1分） 即
322
v =，所以4
3v =.…………………………………………………………………（1分）
答：速度慢的人提速后的速度为4
3
千米/小时. ……………………………………………（1分）
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ………………………………（1分）
∴∠EAG =∠FCG . …………………………………………………………（1分） ∵点G 为对角线AC 的中点，∴AG =GC .
∵∠AGE =∠FGC ，∴△EAG ≌△FCG . ……………………………………（1分） ∴EG =FG . ………………………………………………………………………（1分） 同理MG =NG . …………………………………………………………………（1分） ∴四边形ENFM 为平行四边形. ………………………………………………（1分）
（2）证明：∵四边形ENFM 为矩形， ∴EF =MN ，且EG =
12EF ,GN =1
2
MN . ∴EG =NG . ……………（1分） ∴∠1=∠2.
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠AGE +∠CGN +∠3=180°，∠AGE =∠CGN ， ∴2∠1=2∠AGE ，即∠1=∠AGE .
∴EN …………………………………（1分）
∵EG =NG ，又∵AG =CG ，∠AGE =∠CGN.
∴△EAG ≌△NCG . ………………………（1分） ∴∠BAC =∠ACB ，AE =CN . …………（1分）
∴AB =BC . …………………………………（1分） ∴BE=BN . …………………………………（1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
A B C D
G E F M N 1 2
3
解：（1）∵直线y =x +4经过点A 、C ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上 ∴A 点坐标是（﹣4，0），点C 坐标是（0，4），…………………………………………（1分）
又∵抛物线过A ，C 两点，∴2
1(4)40,
24.
b c c -?--+==?????.………………………………（1分）
解得14b c =-??=?
.∴抛物线的表达式为21
42y x x =--+.…………………………………（2分）
（2）作PH ⊥AC 于H ， ∵2
142
y x x =-
-+对称轴为直线1x =-， 又∵点C 、P 在抛物线上，CP ∴PC =2. ………………（1分）
∵AC PH PC CO ?=?，∴PH
（1分） ∵A （﹣4，0），C （0，4），∴∠CAO =45°.
∵CP ………………………………………………………（1分） ∵PH ⊥AC , ∴CH =PH
∴AH ==.
∴1
tan 3PH
PAC AH ∠=
=
.…………………………………………………………………（1分）
（3）∵21
42
y x x =--+对称轴为直线1x =-，
∵以AP ，AO 为邻边的平行四边形的第四个顶点Q 恰好也在抛物线上，
∴PQ ∥AO ，且PQ =AO =4．………………………………………………………………（1分） ∵P ，Q 都在抛物线上，∴P ，Q 关于直线x =﹣1对称， ………………………………（1分） ∴P 点的横坐标是﹣3， …………………………………………………………………（1分）
∵当x =﹣3时，215
(3)(3)422y =-?---+=，
∴P 点的坐标是5
(3,)2
-.……………………………………………………………………（1分）
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4 分） 解：（1）作AM ⊥BC 于M ，联结AP ， 由题意可求得AM =3，BM =4，tan B = tan C =
3
4
.……………………………………………（1分） ∵PH ⊥DC ，∴设PH =3k ，HC =4k ，CP =5k .
∵BC =9，∴MP =5-5k . ∴2
2
2
2
9(55)AP AM MP k =+=+-. ∵圆P 过点A ，且圆P 的半径= PH =3k ，∴AP =PH .
∴22
9(55)9k k +-=，即2
1650340k k -+=.…………………………………………（1分）
解得12171,8
k k ==. 当2178k =
时，CP =1705916k =>,∴2178
k =舍，∴1k =.……………………………（1分）
∴圆P 的半径长为3. …………………………………………………………………（1分）
（2）∵PH ⊥DC ，∴设PH =3k ，HC =4k ，CP =5k . ∵点E 在圆P 上，∴PE=3k ，CE=8k. ∴BE=9-8k ∵△ABE ∽△CEH ，∠B =∠C ，∴AB CH BE CE =或AB CE
BE CH
=
.……………………………（2分）
即
54988k k k =-或58984k k k =
-. 解得18k =-（舍）或13
16
k =.…………………（1分） ∴3916PH =.即圆P 的半径为39
16
. …………………………………………………（1分）
∵圆B 与圆P 相交，又BE=9-8k=52，∴559
28
r <<. ………………………………（2分）
（3）在圆P 上取点F 关于EH 对称的点G ，联结EG ，作PQ ⊥EG 于G ，HN ⊥BC 于N ，
则EG =EF ，∠1=∠3. ∴∠GEP =2∠1
∵PE =PH ，∴∠1=∠2. ∴∠4=2∠1. ∴∠GEP =∠4.
∴△EPQ ≌△PHN . ∴EQ =PN. ………………………………………………………………（1分）
∵P 为圆心，PQ ⊥EG ，∴EQ =QG ，∴EF =EG =2EQ . ∵PH =3k ，HC =4k ，tan C =34
， ∴416455k NC k =?
=，312455k NH k =?=. ∴169
555
k PN k k =-=.
∴18
225
EF EG EQ PN k ====.………………………………………………………
（1分）
EH ====.……（1分）
∴5185
EH EF k == .………………………………………………………………
（1分） 即线段EH 和EF 的比值为定值.