圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题
【高考要求】
1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；
3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。
【热点透析】
与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：
① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。
（1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。
（2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。
（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。
（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。
【题型分析】
1. 已知双曲线22
122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，
准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离
心率为（ ）
A B
C
D ．
解：由已知可得抛物线的准线为直线2
a x c =-
，∴ 方程为2
2
4a y x c
=；
由双曲线可知2(,)b P c a ，∴ 2224()b a c a c =?，∴ 222
222b b a a =?=，∴ 212e -=
，e = 2．椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰
好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ B ）
A
B
1- C
．4(2) D
解析：设点P 为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，
由平面几何知识可得2112||:||:||2PF PF F F =，
所以由椭圆的定义及c
e
a
=
得：
1212||212||||F F c e a PF PF =
===+，故选B ． 变式提醒
：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率1e =+．
3. （09
浙江理）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线
的两条渐近线的交点分别为,B C ．若
1
2
AB BC =
，则双曲线的离心率是 ( ) A
B
C
D
【解析】对于
()
,0A a ，则直线方程为
x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，
22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ??- ?++--??
，222222
22(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ??=-=- ?--++??，
因此222,4,AB
BC a b e =∴=∴= C
4. （09江西理）过椭圆22
221x y a b
+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，
若12
60
F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A
B
C ．12
D ．1
3
【解析】因为2
(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有232,b a a =
从而可得c e a == B 5.（08陕西理）双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30
1F 2
F x
O
y
P
的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A
．
B
C
D
6.（08浙江理）若双曲线122
22=-b
y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（D ）
（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5
7.（08全国一理）在ABC △中，AB BC =，7
cos 18
B =-
．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．
38
8.（10辽宁文）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂
直，那么此双曲线的离心率为（ ）
（A
（B
（C
（D
解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22
221(0,0)x y a b a b -=>>，
则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：b c -，()1b b
a c
∴?-=-，
2b ac ∴= 220c a ac --=
，解得c e a =
=
9.（10全国卷1理）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．
解析：答案：
3
3
如图，设椭圆的标准方程为2
2
x a ＋22
y b
＝1(a ＞b ＞0)不妨设B 为上顶点，F 为右焦点，设D (x ，y )．由
BF ＝2FD ，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，
即2()2c x c b y =-??-=?，解得32
2
c x b
y ?=????=-??，D (32c ，－2
b )．
由D 在椭圆上得：22
22
3()()22b c a b -+
＝1， ∴2
2
c a
＝
13，∴e ＝c
a
.
【解析1
如图，||BF a ==, 作1DD y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =uu r uu r ，得 1||||2
||||3
OF BF DD BD ==,所以133||||22DD OF c ==,即32D c x =,由椭圆的第二定义得
22
33||()22a c c FD e a c a
=-=-
又由||2||BF FD =,得232,c a a a =
-e ?=
【解析2】设椭圆方程为第一标准形式
22
22
1x y a b +=，设()22,D x y ，F 分 BD 所成的比为2，
222230223330;122212222
c c c c y b x b y b b
x x x c y y -++?-=
?===?===-++，代入
2222
91144c b a b +=
，e ?=
10. （07全国2理）设
12F F ，分别是双曲线
22
22x y a b
-的左、右焦点，若双曲线上存在点
A ，使
1290
F AF ∠=且
12
3AF AF =，则双曲线的离心率为（ B ） A
B
C
D
解1222221222()()(2)
AF AF AF a a e AF AF c ì-==????í?+=??11. 椭圆22221(0,0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45o
的直线与椭圆交于A 、B 两点
且F 分向量BA 的比为2/3，椭圆的离心率e 为: 。
本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。思路简单，运算繁琐。下面介绍两种简单解法。
解法（一）：设点A
(),A A x y ，B (),B B x y ，由焦半径公式可得
3
2
A B a ex a ex +=+，
则2()3()A B a ex a ex +=+，变形2()A B B a ex a ex a ex +--=+，
所以
2()A B B
e x x a ex -=+因为直线倾斜角为
45o
，所以
有
225
e AB ，所
以
e =
提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。 解法（二）：
112
5BE BF AB e e =
=? 113
5
AD AF AB e e ==?
AC ==
AD BE AC
-==
131255AB AB e e ?-?=
e =
12. （10辽宁理）(20)（本小题满分12分）
设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l
的倾斜角为60o
,2AF FB =.椭圆C 的离心率 ；
解：
设
1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.
（Ⅰ）直线l 的方程为
)y x c =-
，其中c =
联立2222),1
y x c x y
a
b ?=-??+=??
得22224
(3)30a b y cy b ++-=
解得12y y == 因为2AF FB =，所以122y y -=.
即
2= 得离心率
2
3
c e a =
=. ……6分 13. A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使
∠OP A =
2
π
,则椭圆离心率的范围是_________. 解析：设椭圆方程为22
22b y a x +=1(a ＞b ＞0),以OA 为直径的圆：x 2－ax +y 2=0,两式联立消y
得222a b a -x 2－ax +b 2=0.即e 2x 2－ax +b 2
=0,该方程有一解x 2,一解为a ,由韦达定理x 2
=2
e a －a ,0＜x 2＜a ，即0＜
2
e
a －a ＜a 22
?＜e ＜1. 答案：
2
2
＜e ＜1 14. 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上有一点
M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若
2212MF MF b ?=，
椭圆的离心率的取值范围是;
解析: 由椭圆的定义，可得 212MF MF a +=又2212MF MF b ?=，所以2
1,MF MF 是方
程2
2220x
ax b -+=的两根，由22(2)420a b ?=--?≥， 可得222a b ≥，即2222()
a c a ≥-
所以c e a =
≥，所以椭圆离心率的取值范围是 15. （08湖南）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32
a
的点到右焦点的距离大于它到左准线的
距离，则双曲线离心率的取值范围是
A.(1,2)
B.(2,+∞)
C.(1,5)
D. (5,+∞)
解析 由题意可知2233()()22a a a e a c c -
>+即331
122e e
->+解得2e >故选B. 16.（07北京）椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，
若
12
MN F F ≤2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
Ａ．1(0]2
，
Ｂ．(0
Ｃ．1[
1)2
，
Ｄ．1)
解析 由题意得2222a c c ≤?∴e ≥
故选D.
17.（07湖南）设12F F ，分别是椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,
P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．(0
B ．(0
C ．1)
D.1)
分析 通过题设条件可得2
2PF c =，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？
解析：∵线段1PF 的中垂线过点2F ， ∴22PF c =，又点P 在右准线上，∴2
2a PF c c ≥-
即22a c c c ≥-∴c a ≥1e ≤<，故选D.
点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.
18. （08福建理）双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1
、F 2
,若P 为其上一点，且|PF 1
|=2|PF 2
|,
则双曲线离心率的取值范围为（B ）
A.(1,3)
B.
(]1,3
C.(3,+∞)
D.
[)3,+∞
分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？利用第二定义及焦半径判断0
x a 3
解析：∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥
所以双曲线离心率的取值范围为13e <≤，故选B.
解2 如图2所示，设
2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，
2
2c
e a ===.
当点P 在右顶点处有θ
π=.∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈.
选B.
小结 本题通过设角和利用余弦定理，将双曲线的离心率用三角函数的形式表示出来，通过求角的余弦值的范围，从而求得离心率的范围.
点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -）则可建立不等关系使问题迎刃而解.
19.（08江西理）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M
总在椭圆内部，则椭圆离
心率的取值范围是（C ）
A ．(0,1)
B ．1
(0,
]2
C
． D
． 解 据题意可知，∠
1
F M
2
F 是直角，则垂足M 的轨迹是以焦距为直径的圆.所以
222221
2
c b c b a c e
.又(0,1)e ∈，所以)22,0(∈e .选C.
小结 本题是最常见的求离心率范围的问题，其方法就是根据已知条件，直接列出关于 a ，b ，c 间的不等量关系，然后利用a ，b ，c 间的平方关系化为关于a ，c 的齐次不等式，除以2
a 即为关于离心率e 的一元二次不等式，解不等式，再结合椭圆或双曲线的离心率的范围，就得到了离心率的取值范围.
20. （04重庆）已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支
上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( )
A
43 B 53 C 2 D 7
3
∵|PF 1|=4PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=3|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即23a c a ≥-∴5
3
a c ≥
所以双曲线离心率的取值范围为5
13
e <≤，故选B.
21. 已知1F ，2F 分别为22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若
2
12PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A
(1,2] B (1,3] C [2,3] D [3,)+∞
解析
2
22
122222
(2)4448PF a PF a PF a a a PF PF PF +==++≥=，欲使最小值为8a ，需右支上存在一点P ，使
22PF a =，而2PF c a ≥-即2a c a ≥-所以13e <≤.
22. 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂直于PA ，椭圆的
离心率e 的取值范围是; 。
解：设P 点坐标为（00,x y ）,则有22
0022220
0010
x y a b
x ax y ?+=?
??-+=? 消去
20y 得22232200()0a b x a x a b --+=若利用求根公式求0x 运算复杂，应注意到方程的一个根为
a,
由根与系数关系知222
002222
a b ab ax x a b a b
=∴=--由00x a <
<
1e << 23. 椭圆
G
：
22
221(0)x y a b a b
+=>>的两焦点为
12(,0),(,0)
F c F c -，椭圆上存在点
M
使
120F M F M ?=. 求椭圆离心率e 的取值范围 ；
解析 设22212(,),0M x y F M
F M x y c ?=?+=……①
将22
2
22b y b x a =-代入①得2222
2
a b x a =-
220x a ≤≤
1e ≤< . 点评：22
221(0)x y a b a b
+=>>中x a ≤，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经
常使用，应给予重视.
24. （06福建）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60?的直线与
双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞
解析 欲使过点F 且倾斜角为60?的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
b a ，∴ b a
，即b ≥即2223c a a -≥∴224c a ≥即2e ≥故选C. 25. （04全国Ⅰ）设双曲线C ：1:)0(12
22=+>=-y x l a y a
x 与直线相交于两个不同的点A 、B.求双
曲线C 的离心率e 的取值范围：
解析 由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组
??
???=+=-.1,
12
22y x y a
x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2
）x 2
+2a 2
x －2a 2
=0. ①
所以2
42210.48(1)0.
a a a a ?-≠??+->??
解得0 1.a a <<≠
双曲线的离心率：e ==
01,a a <<≠
∴e e >
≠
所以双曲线的离心率取值范围是(2,)+∞ 总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.
26．设12F F ，分别是椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1
PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）
A
．0?
?
B
．0? ?
C
．1?
??
?
D
．1?
??
?
2
2232a c
a c c c e
c
+=?
?27. （09重庆卷文）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆
上存在一点P 使
1221
sin sin a c PF F PF F =
，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】
)1,1
. 解法1，因为在12PF F ?中，由正弦定理得
21
1221
sin sin PF PF PF F PF F =
则由已知，得
1211
a c PF PF =，即12aPF cPF =
设点00(,)x y 由焦点半径公式，得1
020,PF a ex PF a ex =+=-则00()()a a ex c a ex +=-
记得0
()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --=
=-+由椭圆的几何性质知0(1)
(1)
a e x a a e e ->->-+则，整理得
2210,
e e +->解
得
11(0,1)
e e e <--∈或，又，故椭圆的离心
率
1,1)e ∈-
28. （10四川理）椭圆22
221()x y a b a b
+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在
点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是
（A
）? ? （B ）10,2?? ??? （C ）
)1,1 （D ）1,12?????? 解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，
即F 点到P 点与A 点的距离相等
而|FA |＝22
a b c c c
-=
， |PF |∈[a －c ,a ＋c ]，于是
2
b c
∈[a －c ,a ＋c ]
即ac －c 2
≤b 2
≤ac ＋c 2
∴2
2
2
222ac c a c a c ac c ?-≤-??-≤+???11
12c a c c a
a ?≤????≤-≥??或又e ∈(0,1)故e ∈1,12??
???? 答案：D
29． 已知梯形ABCD 中，|AB|=2|CD|，点E 满足→
→
=EC AE λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，
当
4
3
32≤≤λ时，双曲线离心率e 的取值范围是： 。 分析：显然，我们只要找到e 与λ的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e 的范围。 解：如图4，建立坐标系，这时CD ⊥y 轴， 因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点， 由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称。
依题意，记A(-C,0)，C(,2C h)，E(x 0,y 0), 其中c=||2
1
AB 为双曲线的半焦距，h 是梯形的高。 由
→→=EC AE λ,即(x 0+c,y 0)= λ(2c
-x 0,h-y 0)得:x 0=
λ
λλλ+=?+-1)1(2)2(0h y c .设双曲线的方程为12
2
22=-b y a x ,则离心率e=
a
c
。由点C 、E 在双曲线上,将点C 、E 的坐标和e=
a
c
代入双曲线的方程得???????----------=+-+--------------------=-)2(1)1()12(4
)1(142
2
22222
2b h e b h e λλλλ
将（1）式代入（2）式,整理得
4
2e (4-4λ)=1+2λ,故λ=12
3
2+-
e
.
依题设
4332≤≤λ得4
32e 3- 1322≤+≤,解得107≤≤e . 所以双曲线的离心率的取值范围是107≤≤e .
30．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，若在双曲线的右支上存在一点
P ，使得2
13PF PF =，则双曲线的离心率e 的取值范围为 ．
（答案：12e <≤
）
解析：方法一：由
2
13PF PF =及双曲线第一定义式
12||||2PF PF a -=，得：
1||3PF a =，2||PF a =，又12||2F F c =．
因为点P 在右支上运动，所以1212||||||PF PF F F +≥，
得42a
c ≥，即
2c
a
≤，又1e >，故填12e <≤． 方法反思：若改变两个焦半径1PF 、2PF 的倍分关系，同理也可得出相应的离心率的范围． 方法二：若思考满足
2
13PF PF =的动点P 的几何意义，将会体现出本试题更大的价值！
（引导学生思考：到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么？同时启动几何画板．） 因1(,0)F c -，2(,0)F c ，根据阿氏圆的定义可得：点P 应在以AB 为直径的圆上，其中(,0)2
c
A 为有向
线段
12F F 的内分点，(2,0)B c 为有向线段12F F 的外分点．所以双曲线上若存在点P 满足题意，必有
2
c
a ≥
，所以2e ≤． 故12e <≤．
方法反思：通过对条件
2
13PF PF =的转化，揭示了本题中动点P 的本质属性，从而转化为圆心在x 轴
上的圆和双曲线有公共点的问题，体现了模拟试题的综合性，同时也提高了同学们分析问题和解决问题的能力．
1、设椭圆22:1221x y E a a +=-，其焦点在x 轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离)3 4 p =，求椭圆的方程. 2、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b +=>>的离心率2e =，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直径)1d =，,12F F 为两焦点，P 是E 上除长轴端点外的任一点，12F PF ∠的角平分线PM 交长轴于(,0)M m ，求m 的取值范围. 3、设椭圆22: 1(0)22 x y E a b a b +=>>的离心率1 2e =，,12F F 为两焦点，椭圆E 与y 轴的交点为(0,3)A ，求三角形的面积?12 S F AF =? 4、如图，设椭圆22 :1(0)22x y E a b a b + =>>，,M N 为长轴顶点，过左焦点F 、斜率为k =l 交椭圆E 于A B 、两点，若2FA FB =，求?S FAM S FBN ?=? 5、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b +=>>，其离心率e =d = 求
椭圆E 的方程.② 两条焦直径(过焦点的弦)AB 与CD 互相垂直.求 11?AB CD += 6、设椭圆22 :13627 x y E +=，左焦点为F ，在椭圆上任取三个不同点123P P P 、、，使得21223313P FP P FP P FP π ∠=∠=∠=，求： 111?123 FP FP FP ++= 7、如图所示，椭圆()221:116 9 x y E ++=，过原点的两条直线交圆于ABCD ， AD 与 CB 的延长线相交于M ，AC 与DB 的延长线相交于N ，求MN 所在的直线方程. 8、设椭圆22 :1(0)22x y E a b a b +=>>，过右焦点的直线:0l x y +=交E 于A B 、两点，P 为AB 中点. ⑴若OP 的斜率为：1 2 k = ，求椭圆E 的方程； ⑵若直线:0m x y --=交E 于C D 、两点，AD 与BC 相交于Q ，求Q 点的坐标. 9、设椭圆22 :1168x y E +=的长轴端点为A B 、， 与y 轴平行的直线交椭圆E 于P Q 、两点，PA QB 、的延长线相交于S 点，求S 点的轨迹. 10、已知抛物线2:2(0)P y px p =>，F 为P 的焦点，M 为P 上任一点，l 为过M 点的切线，求证：FM 与l 的夹角等于l 与x 轴的夹角.
高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的 取值范围 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围 求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点，也是一个难点，求离心率的难点在于如何建立不等关系定离心率的取值范围. 一、直接根据题意建立,a c 不等关系求解. 例1：（08湖南）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 备选（07北京）椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F ≤2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） Ａ．1(0]2， Ｂ．2(02， Ｃ．1[1)2， Ｄ．21) 二、借助平面几何关系建立,a c 不等关系求解 例2：（07湖南）设12F F ，分别是椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．2(0， B ．3(0]， C ．21) D.31) 三、利用圆锥曲线相关性质建立,a c 不等关系求解. 例3：（2008福建）双曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为
圆锥曲线专题 求离心率的值 师生互动环节 讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一：根据定义式求离心率的值 在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到c a 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221a b a c e -==；双曲线中22 1a b a c e +==.所以只 要求出 a b 值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()22 22100x y a b a b -=＞，＞相交于 D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率. 解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则 12 2 1221=-b y a x ① 1222 222=-b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③ 又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得
13222121==--=a b x x y y k BD ，解得322 =a b ，所以231122=+=+=a b e . 方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22 a b 的值，从而整体代入求出离 心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ?=+， 2),(=b a ?或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22 a b 的值，最后求得离心率. 【同类题型强化训练】 1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（ ）. 313. A 213. B 315. C 2 10.D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于 B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率2 1 -=k ，求椭圆的离心率. 3.（母题）已知双曲线)0(1:22 >=-m y m x C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21， 求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】 1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为 032=±y x ，比较可得32=a b ，则3 13 941122=+=+=a b e . 2.答案：设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则 1221221=+b y a x ① 122 2 222=+b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③ 因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠
圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的 离心率为（ ） A B C D ．解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；
圆锥曲线的离心率问题 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。 一、基础知识： 1、离心率公式：c e a = （其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞ 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：2 2 2 a b c =+， ① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：2 2 2 c b a =+ ① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a -= ② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向： （1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题： 例1：设12,F F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线 段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=o ，则椭圆的离心率为 （ ） A ． 33 B ．36 C ．13 D ．16 思路：本题存在焦点三角形12PF F V ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得 2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=o ，则直角三角形12PF F V 中， 1212::2:1:3 PF PF F F =，且 1212 2,2a PF PF c F F =+=，所以 12122323 F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A 小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。 例2：椭圆 () 22 2 102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=o ,则椭圆的离心率为________ 思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中， '''' 1 ::2:1:52 b a b c a =?=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：
. . .. . 圆锥曲线离心率专题训练 1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值围是（） A． [，1）B． [，1） C． （0，] D． （0，] 2．二次曲线时，该曲线离心率e的围是（） A．B．C．D． 3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的围是（） A． [，1）B． （，1） C． [，） D． （0，） 4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值围是（） A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12） 5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值围是（）A．B．C．D． 6．已知椭圆的接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值围（）A．B．C．D． 7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值围是（） A．B．C．D． 8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值围是（） A． （0，）B． （，） C． （，） D． （，1） 9．椭圆的接矩形的最大面积的取值围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值围是（）A．B．C．D．
10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值围为（） A．[2，+∞）B．（，+∞）C． [，+∞） D．（，+∞）11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线 的距离之和为S，且S，则离心率e的取值围是（） A．B．C．D． 12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭 圆离心率e的取值围是（） A．B．C．D． 13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则 的取值围是（） A．B．C．D． 14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值围为（）A．B．C．D． 15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离 心率的取值围是（） A．B．C．（1，2）D． 16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值围是（） A． （1，]B． （1，） C． （2，] D．（，2]
圆锥曲线离心率专题训练 1．已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点Ｐ,使得ＰF１⊥PF２,则椭圆离心率的取值范围是（） A. [,1）B. ［，１） Ｃ. （０，] Ｄ. (０，] 2.二次曲线时,该曲线离心率e的范围是（) Ａ. Ｂ． C. D． 3.椭圆焦点在ｘ轴上，A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（) A． [,1) Ｂ. (，1) C. ［，) D. （0，） 4．双曲线的离心率e∈(1，２）,则k的取值范围是（) A．(﹣∞,0）Ｂ．（﹣３,0) C. （﹣１2，0）Ｄ. (﹣60,﹣12) 5.设F１,F2为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2＝120°,则椭圆的离心率的取值范围是（） A． B. C．D． 6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率ｅ的取值范围( ) A． B. C． D. 7.已知椭圆x2+my２＝1的离心率,则实数m的取值范围是（) Ａ. B．Ｃ．Ｄ. 8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为Ｐ,△PF１F２是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（） A. （0，) B. （,） C． （，） D． （，1) ９.椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3ｂ2，4b2］，则该椭圆的离心率e的取值范围 是（） A． B. C. D.
1０．如图，等腰梯形ＡBCＤ中,AB∥CD且ＡB=2，ＡＤ=１，ＤＣ＝2x（x∈（0,1)）.以A,B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e１;以Ｃ，D为焦点，且过点Ａ的椭圆的离心率为ｅ2,则e1+e２的取值范围为(） A. [2,+∞) B．（,+∞）Ｃ. [，+∞) D．(,+∞) 1１.已知双曲线的焦距为2c，离心率为ｅ,若点（﹣1，0)与点(１，0)到直线 的距离之和为S,且S，则离心率e的取值范围是() Ａ． B. C. D. １2.已知F１,F２是椭圆的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得∠F１PＦ２=60°,则椭圆离 心率e的取值范围是() A．B． C. D． 1３．已知方程x3+2ax２+３ｂx+c=0（a,b,ｃ∈R)的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是( ） A. Ｂ. Ｃ. D. 14.已知椭圆上到点A(0,b）距离最远的点是B（0，﹣b)，则椭圆的离心率的取值范围为（) A．B．C． D. １5.已知双曲线的中心在原点,焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是(） A. B. C. (1,2) D． 1６．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点Ｐ在双曲线上,∠F1PF2的平分线分线段Ｆ１F2的比为5:1，则双曲线离心率的取值范围是（) A. （1,]Ｂ． (1,) Ｃ. (２,] D．(，２]
求解圆锥曲线离心率的常用方法 曾安雄 离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。 一、根据离心率的范围，估算e 利用圆锥曲线的离心率的范围来解题，有时可利用椭圆的离心率e∈（0，1），双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1来解决。 例1. 设，则二次曲线的离心率的取值范围为（） A. B. C. D. （） 解：由，知， 故所给的二次曲线是双曲线，由双曲线的离心率e>1，排除A、B、C，故选D。 二、直接求出a、c，求解e 已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式来解决。 例2. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（） A. B. C. D. 解：抛物线的准线是， 即双曲线的右准线， 则，解得， 故选D。
例3. 点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 解：由题意知，入射光线为， 关于的反射光线（对称关系）为 则解得 则。故选A。 三、构造a、c的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。 例4. 已知F 1、F 2 是双曲线的两焦点，以线段F 1 F 2 为边作正三角 形MF 1F 2 ，若边MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A. B. C. D. 解：如图，设MF 1 的中点为P，则P的横坐标为。 由焦半径公式，
即，得， 解得，故选D。 练习： 1. 过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点A，则双曲线的离心率等于_______。 （答案：2） 2. 设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2 ，过F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F 1 PF 2 为等 腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。（答案：）
1．（福建卷）已知双曲线(a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2] C.[2,+∞) D.(2,+∞) 2．（湖南卷）过双曲线M:的左顶点A 作斜率为1的直线,若与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( ) A. B. C. D. 3．（辽宁卷）方程的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率 4．（全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 5．(陕西卷)已知双曲线x2a2－y22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为 A.2 B. 3 C.263 D.233 6.(全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） （A ）（B ）（C ）（D ） 7.（广东卷）若焦点在x 轴上的椭圆的离心率为，则m=() （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 8.（福建卷）已知F 1、F 2是双曲线 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A．B．C．D． 9．[全国]设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（）A．B．C．D． 10．（福建理）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（） A．B．C．D． 11．（重庆理）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：（） A．B．C．D． 12.（福建卷11)又曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3)B. C.(3,+)D. 13.（江西卷7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D． 14.（全国二9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（） A．B．C．D． 15.（陕西卷8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为 的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）
圆锥曲线离心率专题训练 1.已知F1,F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2,则椭圆离心率的取值范围是() Ａ. [，1) B. [，1） Ｃ． (0，] D. (0，] ２．二次曲线时,该曲线离心率ｅ的范围是( ) A．B．Ｃ. Ｄ. 3.椭圆焦点在x轴上，Ａ为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点，∠OPA=９0°，则该椭圆的离心率e的范围是（) A. ［,1) B． （，１) C. [,) Ｄ. (0,) 4．双曲线的离心率ｅ∈(1，2），则k的取值范围是（) A. (﹣∞,0）Ｂ．（﹣3,０) C. (﹣１2,0) D. （﹣60，﹣12） 5.设F1，Ｆ2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1ＰF2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是() A. B. C．D． ６．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率e的取值范围() A．B．C．Ｄ. 7．已知椭圆x２＋ｍy2=1的离心率，则实数m的取值范围是( ) A． B. C. Ｄ. 8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为Ｆ1,F2且它们在第一象限的交点为P,△ＰF1Ｆ2是以ＰF1为底边的等腰三角形,双曲线的离心率的取值范围为(1，２),则该椭圆的离心率的取值范围是(） A. (0,) B. （，） C. （，) D. (,１) 9.椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是［3b2,4b2］，则该椭圆的离心率e的取值范围是 ( ） A．B．C．D． １0.如图,等腰梯形AＢCD中，AB∥CＤ且AＢ=2，ＡＤ=1，DC＝2x（ｘ∈（０，1)）.以A,B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，Ｄ为焦点,且过点A的椭圆的离心率为e２，则ｅ1＋e2的取值范围为( ) A．［2,+∞）Ｂ．（，+∞）Ｃ． ［,+∞） D. (,+∞)
专题五 第二讲 离心率专题 离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心 率，只需要由条件得到一个关于基本量a 与b 或a 与c 的其次式，从而根据221c b e a a ==-（这是椭圆）2 21c b e a a ==+（这是双曲线），就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！ 一、求椭圆与双曲线离心率的值： （一）、用定义求离心率问题： 122121(05,, 221A. B. C. 2 2 D. 21F F F P F PF ?例、全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） －－－ 【强化训练】1.在ABC △中，AB BC =，7cos 18 B =- ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =． 2、已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________； 3、已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为。
4.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A ．324+ B ．13- C ．213+ D ．13+ 5、如图，1F 和2F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点， A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交 点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3（B ）5（C ） 2 5（D ）31+ （二）、列方程求离心率问题：构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 例2、如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为. 变式：设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6 【点评】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.
圆锥曲线中离心率及其围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；
圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；
文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=
圆锥曲线离心率的求法 学习目标 1、 掌握求解椭圆、双曲线离心率及其取值范围的几类方法； 2、 培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力； 学习重难点 重点：椭圆、双曲线离心率的求法； 难点：通过回归定义，结合几何图形，建立目标函数以及观察图形、设参数、转化等途径确 定离心率 教学过程： 复习回顾：圆锥曲线离心率的概念 一、求离心率 探究一：利用定义直接求a ,c 例1.已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于 率等于 _____________________________ . 练习1:在正三角形 ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则以B 、C 为焦点，且过 D 、 B. 探究二：构造关于e 的(a,b,c 的齐次)方程 2 2 例2.已知椭圆 打 X 2 1(a b 0)的上焦点为F ，左、右顶点分别为B,B 2，下顶点为A , a b uuu uuuu 直线AB 2与直线B 1F 交于点P ，若AP 2AB 2，则椭圆的离心率为 __________________ 直线交双曲线右支于 M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 A. . 6 C. 2 探究三：以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，设而不求确定 e 的方程 9,则椭圆E 的离心 E 的双曲线的离心率为 A. B. ,3 — 1 C. 2 + 1 () D. . 3 + 1 练习2、双曲线 羊一y 2= 1(a>0， b>0)的左、右焦点分别是 F 1、F 2,过F 1作倾斜角为30 °的 B. 3 .3
二、求离心率的范围(构造不等式或函数关系式求离心率的范围) 1、直接根据题意建立a,c不等关系求解.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 X 例4、已知双曲线2 a 2 爲1 ( a 0,b 0 )的半焦距为c,若 b2 b24ac 0 , 则双曲线的离心率范围是( ) A. 1 e 2 ..5 B 2 e 2 . 5 C. 2 ,5 e 2、5D. - e 2 2 2、借助平面几何关系建立a,c不等关系求解 2 2 X y 例5、设％F2分别是椭圆—2 1 ( a b 0)的左、右焦点，若在直线x a b 线段PF i的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是 (0, 3、利用圆锥曲线相关性质建立a,c不等关系求解. X2 V2 例6、已知双曲线x2-y2= 1(a>0, b>0) , F1是左焦点，O为坐标原点，若双曲线上存在点P,使|PO| a b =|PF1|,则此双曲线的离心率的取值范围是() A. (1,2] B. (1 ,+s ) C. (1,3) D. [2 ,+^ ) 2 =—上存在P,使 c
关于椭圆离心率 设椭圆得左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P,使,求离心率e 得取值范围。 解法1:利用曲线范围 设P(x,y ）,又知,则 将这个方程与椭圆方程联立,消去ｙ,可解得 解法2:利用二次方程有实根 由椭圆定义知 又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此 ∠=?+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||() ||||() 解法３:利用三角函数有界性 记
||sin ||sin || sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222 122 βααβ αβαβαβαβ == ??++=+====+=+-= -又，，则有 解法4:利用焦半径 由焦半径公式得 ||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 1212221222222222 2 2 2 2 2 22 2 22224220=+=-+=+++-+=+== -≠±≤<，又由，所以有 即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即 解法5:利用基本不等式 由椭圆定义,有 平方后得 42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++?≤+==||||||||(||||)|| 解法6:巧用图形得几何特性 由，知点Ｐ在以为直径得圆上。 又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点Ｐ 故有
圆锥曲线的离心率题型解析 华中师大一附中博乐分校 833400 刘族刚 朱新婉 圆锥曲线的的离心率e 是反映圆锥曲线几何特征（扁平或开阔程度）的一个数量，是圆锥曲线的重要几何性质，也是圆锥曲线“统一定义”的纽带，在全国各地历年高考命题中，有关圆锥曲线离心率的试题屡见不鲜，因而掌握圆锥曲线离心率的概念、题型与求解方法，不仅是巩固基础知识、领悟数形结合思想及学好解析几何的需要，也完全符合“备考从高一高二开始抓”的教育理念.本文以离心率的内容为主体，以题型解析为载体，小结出求解离心率问题的策略和方法，希望对大家的解题有所帮助. 类型一：离心率的定义 例 1 （2014湖北卷） 已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且02160=∠PF F ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) 334.A B .3 32 C ．3 D ．2 分析：21F PF ?既是椭圆的焦点三角形，也是双曲线的焦点三角形，因为焦点三角形中的边长蕴含离心率所需的“c a 2,2”，所以利用圆锥曲线定义、离心率的定义是解答本题的切入点. 解析：不妨设)(,,21n m n PF m PF >==，椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，椭圆、双曲线的离心率分别为21,e e ，则由椭圆、双曲线的定义，得12a n m =+，22a n m =-， 平方得212242a n mn m =++-------①， 2 22242a n mn m =+-------②， 又由余弦定理得2224c n mn m =+----------③， 由①②③消去mn 得2222143c a a =+，即4312221=+e e . 再据平面向量不等式2 22)(?≤?的坐标表示得 221221)33111()11(e e e e ?+?=+316)31)(311(2221=++≤e e