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第一部分 专题四 第3讲 空间夹角(浙江、湖南、天津文科专用) 专题训练经典化

第一部分   专题四   第3讲    空间夹角(浙江、湖南、天津文科专用)   专题训练经典化
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专题四 第3讲 空间夹角(浙江、湖南、天津文科专用)

(限时60分钟,满分100分)

一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,共36分)

1.(2010·东北三校联考)已知三棱锥底面是边长为1的正三角形,侧棱长均为2,则侧棱与底面所成角的余弦值为( )

A.3

2

B.12

C.3

3

D.

36

解析:画出三棱锥S -ABC (如图),作SO ⊥底面ABC ,连接AO 、SO ,易知侧棱与底面所成的角即为∠SAO ,由题意易得三棱锥S -ABC 为正三棱锥,所以AO =

33

, 因为SA =2,所以cos ∠SAO =36

. 答案:D

2.如图,若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD 1与AD 所成角的正切值等于( )

A .2 5 B. 5 C .2

D .1

解析:因为AD ∥A 1D 1,异面直线BD 1与AD 所成的角就是BD 1与A 1D 1所成的角,即为∠A 1D 1B ,由勾股定理,得A 1B =25,∴tan ∠A 1D 1B = 5.

答案:B

3.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D 是侧面BB 1C 1C 的中心,则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )

A .30°

B .45°

C .60°

D .90°

解析:如图,取BC 中点E ,连接DE 、AE 、AD ,依题意知三棱柱

为正三棱柱,易得AE ⊥平面BB 1C 1C ,故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角.设各棱长为1,则AE =

32,DE =1

2

tan ∠ADE =AE DE =3

2

1

2=3,

∴∠ADE =60°.

答案:C

4.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,E 为AA 1中点,则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为 ( )

A.10

10

B.1

5

C.31010

D.3

5

解析:连结A 1B ,则有A 1B ∥CD 1,

∴∠A 1BE 就是异面直线BE 与CD 1所成角,设AB =1, 则A 1E =AE =1,∴BE =2,A 1B = 5.由余弦定理可知:

cos ∠A 1BE =2+5-122·5

=310

10.

答案:C

5.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等,A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心,则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( )

A.13

B.23

C.33

D.23

解析:可设底面边长与侧棱长为1个单位长度,因为A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心,所以三棱锥A 1-ABC 为正四面体,所以A 1到底面ABC 的距离为

63,所以B 1到底面距离为63

, 易知∠ABB 1=120°,所以AB 1=3,

所以AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为6

33=2

3.

答案:B

6.(2010·宝鸡模拟)已知正四面体A -BCD ,设异面直线AB 与CD 所成的角为α,侧棱AB 与底面BCD 所成的角为β,侧面ABC 与底面BCD 所成的角为γ,则( )

A .α>β>γ

B .α>γ>β

C .β>α>γ

D .γ>β>α

解析:如图,取底面BCD 的中心为点O ,连接AO ,BO ,易知∠ABO =β,取BC 的中点E ,连接AE 、OE ,易知∠AEO =γ,易知0<β<γ<π

2,延长BO 交CD 于F ,则BF ⊥CD ,

又AO ⊥CD ,

∴CD ⊥平面ABF ,∴CD ⊥AB ,即α=π

2,∴α>γ>β.

答案:B

二、填空题(本大题共3个小题,每小题6分,共18分)

7.设C 是∠AOB 所在平面外的一点,若∠AOB =∠BOC =∠AOC =θ,其中θ是锐角,而OC 和平面AOB 所成角的余弦值等于

3

3

,则θ的值为________.

解析:作CC 1⊥平面AOB 于点C 1,CA 1⊥OA 于点A 1,CB 1⊥OB 于点B 1,连接OC 1,则∠COC 1为直线OC 与平面AOB 所成的角,则OC 1是∠AOB 的平分线,

设OA 1=x ,OC =x cos θ

,OC 1=x

cos θ2,

易求得cos ∠COC 1=cos θcos θ2=2cos 2θ2-1

cos θ2

=3

3

, 即2cos 2θ2-33cos θ2-1=0,解之得cos θ2=32或cos θ2=-3

3(舍去),故θ2=30°,所以θ=

60°.

答案:60°

8.等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ,二面角C -AB -D 的余弦值为3

3

,M 、N 分别是AC 、BC 的中点,则EM 、AN 所成角的余弦值等于________.

解析:取CN 中点G ,连接EG ,MG , ∵MG 为△ANC 的中位线, ∴MG ∥AN ,

∴∠EMG (或其补角)为EM 、AN 所成角.由题意知四棱锥C -ABDE 为正四棱锥,在△EBC 中由勾股定理知∠ECB =90°,设AB =1,

∴EG =

174,MG =34,EM =3

2

, 由余弦定理得所求答案为1

6.

答案:1

6

9.已知点O 在二面角α-AB -β的棱上,点P 在α内,且∠POB =45°.若对于β内异于O 的任意一点Q ,都有∠POQ ≥45°,则二面角α-AB -β的大小是________.

解析:由已知∠POB 是PO 和平面β所成角中的最小角. 由最小角定理,∠POB 是PO 和面β所成的角. 即MO 是PO 在β内的射影,故α⊥β. 即二面角α-AB -β大小为90°. 答案:90°

三、解答题(本大题共3个小题,共46分)

10.(本小题满分15分)如图所示,四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点,又CA =CB =CD =BD =2,AB =AD = 2.

(1)求二面角A -BC -D 的平面角的正切值; (2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值. 解:(1)连接AO 、OC ,则AO ⊥BD ,OC ⊥BD .

在△AOC 中,有AO 2+CO 2=AC 2,

∴∠AOC =90°,∴AO ⊥CO ,BD ∩CO =O ,∴AO ⊥平面BDC . 过O 作OF ⊥BC ,交BC 于F ,连接AF ,则AF ⊥BC , ∴∠AFO 是二面角A -BC -D 的平面角. 在△BCO 中,BC =2,BO =1,CO =3, ∴OF =

BO ×OC BC =32,tan ∠AFO =23

3

, 即二面角A -BC -D 的平面角的正切值为23

3

.

(2)取AC 的中点M ,连接OM 、ME 、OE ,由E 为BC 的中点,知ME ∥AB ,OE ∥DC . ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角. 在△OME 中,EM =12AB =22,OE =1

2DC =1.

∵OM 是Rt △AOC 斜边AC 上的中线, ∴OM =12AC =1.∴cos ∠OEM =2

4.

∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为

2

4

. 11.(本小题满分15分)(2010·合肥模拟)已知P 在矩形ABCD 的边DC 上,AB =2,BC

=1,F 在AB 上且DF ⊥AP ,垂足为E ,将△ADP 沿AP 折起,使点D 位于D ′位置,连接D ′B 、D ′C 得四棱锥D ′-ABCP .

(1)求D ′F 与AP 所成角的大小;

(2)若二面角D ′-AP -B 和D ′F 与平面ABCP 所成角的大小均为π

3,求四棱锥

D ′-ABCP 的体积.

解:(1)∵AP ⊥D ′E ,AP ⊥EF ,

又∵D ′E ,EF 是平面D ′EF 内的两条相交直线; ∴AP ⊥平面D ′EF ,∴AP ⊥D ′F , ∴D ′F 与AP 所成角的大小为π

2.

(2)由(1)知AP ⊥平面D ′EF ,

∴平面D ′EF ⊥平面ABCP ,并且因为二面角D ′-AP -B 的大小为π

3,所以易知

∠D ′EF =π

3

过D ′作平面ABCP 的垂线,垂足为H ,则H 必在EF 上, ∴∠D ′FE =π

3

∴△D ′EF 是等边三角形,

∴D ′E =EF 即DE =EF ,∴△DAF 是等腰直角三角形, ∴易得DP =1且EF =

22

, ∴四棱锥D ′-ABCP 的高D ′H =

64

, 又∵S 梯形ABCP =12·(CP +AB )·BC =12×(1+2)×1=3

2,

∴V 四棱锥D ′-ABCP =13×D ′H ×S 梯形ABCP =6

8

.

12.(本小题满分16分)(2010·辽宁六校联考)如图,在梯形ABCD 中,

CD ∥AB ,AD =DC =BC =1

2AB =a ,E 是AB 的中点,将△ADE 沿

DE 折起,使点A 折起到点P 的位置,使二面角P -DE -C 的大小为120°.

(1)求证:DE ⊥PC ;

(2)求直线PD 与平面BCDE 所成角的正弦值.

解:(1)证明:在梯形ABCD 中,连接CE ,则易知四边形ADCE 为菱形, 连接AC 交DE 于F ,则AC ⊥DE , 连接PF ,则PF ⊥DE . 又AC ∩PF =F , ∴DE ⊥平面PCF , ∴DE ⊥PC .

(2)过点P 作PO ⊥平面ADE ,则易知点O 在AC 上. 连接OD ,则∠PDO 即为直线PD 与平面BCDE 所成的角.

∵二面角P -DE -C 的大小为120°,且可知∠PFC 即为二面角的平面角, ∴∠PFO =60°.又PF =

32a ,∴OP =3

4

a . ∴sin ∠PDO =OP PD =34a a =

3

4

.

1.如图,正四面体ABCD 中,棱AB 与面BCD 所成角的余弦值是( ) A.12 B.22 C.

33 D.63

解析:作AO ⊥平面BCD ,垂足为O ,则O 在中线BE 上.设棱长为1,则BO =3

3

.从而cos ∠ABO =

33

.

答案:C

2.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点P 是CD 上的动点,则直线B 1P 与直线BC 1所成的角等于( )

A .30°

B .45°

C .60°

D .90°

解析:连接A 1D ,B 1C ,则BC 1⊥B 1C ,BC 1⊥DC ,B 1C ∩DC =C ?BC 1⊥平面A 1B 1CD ,B 1P ?平面A 1B 1CD ,

∴BC 1⊥B 1P ,即B 1P 与BC 1所成的角等于90°. 答案:D

3.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA =90°,D 1,F 1分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,若BC =CA =CC 1,则BD 1与AF 1所成角的正切值为( )

A.21

3 B.3010 C.

3015

D.1510

解析:如图所示,作正方体AEBC -A 1E 1B 1C 1,取AE 中 点M ,连接MD 1,MB .由MD 1∥AF 1可得∠MD 1B 就是BD 1与 AF 1所成的角.

设AC =a ,则MD 1=MB =52a ,BD 1=6

2

a . ∴cos ∠MD 1B =310,tan ∠MD 1B =213

. 答案:A

4.如图,已知矩形ABCD 所在平面外一点P ,PA ⊥平面ABCD , E 、F 分别是AB 、PC 的中点,

(1)求证:EF ∥平面PAD ; (2)求证:EF ⊥CD ;

(3)当PA =AB =AD 时,求二面角F -AB -C 的度数. 解:(1)证明:取PD 中点H ,连接FH 、AH ,则FH 綊1

2CD ,

又CD 綊AB ,E 为AB 中点,∴FH 綊AE . ∴AEFH 为平行四边形,从而EF ∥AH .

又EF ?平面PAD ,AH ?平面PAD ,∴EF ∥平面PAD . (2)证明:∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥CD . 又CD ⊥AD ,PA ∩AD =A ,∴CD ⊥平面PAD .

又AH ?平面PAD ,∴CD ⊥AH .而AH ∥EF ,∴CD ⊥EF . (3)由CD ⊥平面PAD ,CD ∥AB , ∴BA ⊥平面PAD . ∴BA ⊥AH ,BA ⊥DA .

∴∠HAD 即为二面角F -AB -C 的平面角,由PA =AB =AD 易知∠HAD =45°,即二

面角F -AB -C 的度数是45°.

5.如图,三棱锥P -ABC 中,D 为AC 的中点,PA =PB =PC =5,

AC =22,AB =2,BC = 6.

(1)求证:PD ⊥平面ABC ;

(2)求二面角P -AB -C 的正切值大小. 解:(1)证明:连接BD , ∵D 是AC 的中点,

PA =PC =5,∴PD ⊥AC . ∵AC =22,AB =2,BC =6, ∴AB 2+BC 2=AC 2.

∴∠ABC =90°,即AB ⊥BC . ∴BD =1

2

AC = 2.

∵PD 2=PA 2-AD 2=3,PB =5, ∴PD 2+BD 2=PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD =D ,∴PD ⊥平面ABC . (2)取AB 的中点E ,连接DE 、PE , 由E 为AB 的中点知DE ∥BC , ∵AB ⊥BC ,∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ,∴PD ⊥AB . 又AB ⊥DE ,DE ∩PD =D , ∴AB ⊥平面PDE ,∴PE ⊥AB .

∴∠PED 是二面角P -AB -C 的平面角.

在△PED 中,DE =12BC =6

2,PD =3,∠PDE =90°,

∴tan ∠PED =PD

DE = 2.

∴二面角P -AB -C 的正切值为 2.

6.已知在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面

ABCD ,PA =AD =1,AB =2,E 、F 分别是AB 、PD 的中点.

(1)求证:AF ∥平面PEC ;

(2)求PC 与平面ABCD 所成角的正切值. 解:(1)证明:取PC 的中点O ,连结OF 、OE . ∴FO ∥DC ,且FO =1

2

DC .∴FO ∥AE .

又E 是AB 的中点,且AB =DC ,∴FO =AE . ∴四边形AEOF 是平行四边形.∴AF ∥OE . 又OE ?平面PEC ,AF ?平面PEC , ∴AF ∥平面PEC . (2)连结AC .

∵PA ⊥平面ABCD ,

∴∠PCA 是直线PC 与平面ABCD 所成的角. 在Rt △PAC 中,

tan ∠PCA =PA AC =15=5

5

即直线PC 与平面ABCD 所成角的正切值为

55

.

空间向量及其运算

§8.5 空间向量及其运算 1. 空间向量的概念 (1)定义:空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量. (2)向量的夹角:过空间任意一点O 作向量a ,b 的相等向量OA →和OB → ,则∠AOB 叫作向量a ,b 的夹角,记作〈a ,b 〉,0≤〈a ,b 〉≤π. 2. 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使得a =λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1,e 2,e 3是空间三个不共面的向量,a 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3使得a =λ1e 1+λ2e 2+λ3e 3,其中e 1,e 2,e 3叫作空间的一个基底. 3. 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数,等于|a ||b |cos 〈a ,b 〉,记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa )·b =λ(a·b ); ②交换律:a·b =b·a ; ③分配律:a·(b +c )=a·b +a·c . 4. 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3), 则a·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3), 则a ∥b ?a =λb ?a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3 (λ∈R ), a ⊥b ?a·b =0?a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0(a ,b 均为非零向量). (3)模、夹角公式 设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3), 则|a |=a·a =a 21+a 22+a 23,

普通二本大学名单

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空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题-详细答案

【巩固练习】 一、选择题 1. 设平面内两个向量的坐标分别为(1,2,1),(-1,1,2),则下列向量中是平面的法向量的是( ) A. (-1,-2,5) B. (-1,1,-1) C. (1, 1,1) D. (1,-1,-1) 2. 如图,1111—ABCD A B C D 是正方体,11 11114 A B B E =D F =,则1BE 与1DF 所成角的余弦值是( ) A . 1715 B . 2 1 C .17 8 D . 2 3 3. 如图,111—A B C ABC 是直三棱柱,90BCA ∠=?,点11D F 、分别是1111A B AC 、的中点,若 1BC CA CC ==,则1BD 与1AF 所成角的余弦值是( ) A . 1030 B . 2 1 C .15 30 D . 10 15 4. 若向量(12)λ=a ,,与(212)=-b ,,的夹角的余弦值为8 9 ,则λ=( ) A .2 B .2- C .2-或 255 D .2或255 - 5. 在三棱锥P ABC -中,AB BC ⊥,1 2 AB=BC=PA ,点O D 、分别是AC PC 、的中点,OP ⊥ 底面ABC ,则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值( ) A . 621 B . 33 8 C .60 210 D . 30210 6.(2015秋 湛江校级期末)在正四棱锥S —ABCD 中,O 为顶点在底面内的投影,P 为侧棱SD 的中点,且SO=OD ,则直线BC 与平面PAC 的夹角是( ) A .30° B .45° C .60° D .75° 7. 在三棱锥P ABC -中,AB BC ⊥,1 ==2 AB BC PA ,点O D 、分别是AC PC 、的中点,OP ⊥ 底面ABC ,则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是( )

空间向量的夹角、距离计算

空间向量的夹角、距离计算 1.已知A (2,-5,1),B (2,-2,4),C (1,-4,1),则直线AC 与AB 的夹角为( ) A.300 B.450 C.600 D.900 2.已知向量a =(0,2,1),b =(-1,1,-2),则a 与b 的夹角为( ) A .0° B .45° C .90° D .180° 3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是a =(0,2,1),b =(, , ),那么这条直线与平面的夹角为( ) A. 900 B. 600 C.450 D. 300 4. 边长为a 的正六边形ABCDEF 所在平面为α,PA ⊥α且PA =a ,则PC 与α所成的角为 ( ) A. 30° B. 60° C. 45° D. 90° 5.在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是AA 1的中点,则点A 1到平面MBD 的距离是( ) A.66a B.306a C.34a D.63 a 6. 已知向量n =(1,0,-1)与平面α垂直,且α经过点A (2,3,1),则点P (4,3,2)到α的距离为( ) A. 1 B. C. D. 2 7.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( ) A .120° B .60° C .30° D .60°或30° 8.设ABCD ,ABEF 都是边长为1的正方形,FA ⊥面ABCD ,则异面直线AC 与BF 所成的角等于( ) A .45° B .30° C .90° D .60° 9.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =2,BC =2,DD 1=3,则AC 与BD 1所成角的余弦值为( ) A .0 B.37070 C .-37070 D.7070 10.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是C 1C 的中点,则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为( ) A .-105 B.105 C .-155 D.155 11.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点,则sin 〈CM ,1D N 〉的值为 ( ) A.19 B.49 5 C.29 5 D.23 12. 已知a ,b 是直线,α,β是平面,a ⊥α,b ⊥β,向量a 1在a 上,向量b 1在b 上,a 1=(1,0,1), b 1=(-1,2,1),则α,β所成二面角的大小为________.

(完整版)空间向量的夹角、距离计算同步练习题(教师版).doc

空间向量的夹角、距离计算同步练习题 一、选择题 1. 已知 (2 , -5,1) , (2 , -2,4) , (1 ,-4,1) ,则直线 与 AB 的夹角为( C ) A B C AC A.30 0 B.45 0 C.600 D.90 0 2. 已知向量 a = (0 ,2, 1) , b = ( - 1, 1,- 2) ,则 a 与 b 的夹角为 ( ) A . 0° B . 45° C .90° D . 180° 解析:选 C.已知 a =(0 , 2, 1) , b = ( -1, 1,- 2) ,则 cos 〈 a , b 〉= 0,从而得出 a 与 b 的夹角为 90° . 3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是 a =( 0,2,1 ),b =( , , ),那么这条 直线与平面的夹角为 ( D ) A.90 0 B. 60 0 C.45 0 D. 30 4. 边长为 a 的正六边形 ABCDEF 所在平面为 α, PA ⊥ α 且 PA = a ,则 PC 与 α 所成的角为 ( A ) A.30° B.60° C.45° D.90° 5.在棱长为 a 的正方体 -1111中,是 1 的中点,则点 1 到平面 的距离是 ( ) ABCD A B CD M AA A MBD 6 30 3 6 A. B. a C. D. a 6 a 6 4 a 3 D a A ( a, 0 a ) A ( a, 0,0) M 1 B ( a a, 0) 解析: 以 为原点建立空间直角坐标系, 正方体棱长为 a , 0, a , ,则1 , , , , , 2 → → → 0,- 1 → 1 D (0,0,0) ,设 n = ( x ,y ,z ) 为平面 BMD 的法向量,则 n · BM =0,且 n ·DM = 0,而 BM = a , ,DM = a , 0, 2a 2a . 1 1 - y + 2z = 0, y = 2z , 令 z = 2,则 n = ( - 1,1,2) → ,a ) ,则 A 到平面 所以 所以 ,DA =( a, 0 1 1 1 1 x +2z = 0, x =- 2z , 的距离是 → = 6 . 答案: A = | DA ·n | BDM d 1 6 a | n | 6. 已知向量 n =( 1,0 , -1 )与平面 α垂直,且 α经过点 A ( 2,3,1 ),则点 P (4,3,2 )到 α的距离为 ( B ) A. 1 B. C. D. 2 7. 正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1, O 是 A 1C 1 的中点,则 O 到平面 ABC 1D 1 的距离为( A ) A. B. C. D. 8.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°,则直线 l 与平面 α 所成的角等于 ( ) A .120° B .60° C .30° D .60°或 30° 解析:选 C. 由题意得直线 l 与平面 α 的法向量所在直线的夹角为 60°,∴直线 l 与平面 α 所成的角为 90°- 60°= 30°. 9.设 , 都是边长为 1 的正方形,⊥面 ,则异面直线 与 BF 所成的角等于 ( ) ABCD ABEF FA ABCD AC A .45° B .30° C .90° D .60° 解析:选 D.以 B 为原点, BA 所在直线为 x 轴, 所在直线为 y 轴, BE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 ( 图 BC → → → → 1 → → 略 ) ,则 A (1,0,0) ,C (0,1,0) ,F (1,0,1) ,∴ AC = ( - 1,1,0) ,BF = (1,0,1) .∴ cos 〈 AC ,BF 〉=- 2. ∴〈 AC ,BF 〉 1

教育部公布20XX年全国高校名单xls表格下载_高等教育排名_中国高校

教育部公布20XX年全国高校名单xls表格下载_高等 教育排名_中国高校 篇一:教育部公布20XX最新全国高校名单(共2879所) 教育部公布20XX最新全国高校名单(共2879所) 篇二:教育部公布的20XX年全国普通高等公办本科学校名单 前言 随着上大学网前后5批公布400多所野鸡大学,很多挂羊头卖狗肉的大学被查封,野鸡大学的名单公布了,但仍然有很多家长和孩子对高考志愿填报一知半解,在此我查询了教育部网站,对教育部公布的《20XX年全国普通高等学校名单》的2553所学校进行了整理,希望对各位高三学子以及家长有帮助。 我将《20XX年全国普通高等学校名单》分为四个板块,分别是公办本科院校、民办本科院校、公办专科院校公、民办专科院校,分为四个文档上传,题目为:《教育部公布的20XX年全国普通高等公办本科学校名单》、《教育部公布的20XX年全国普通高等民办本科学校名单》、《教育部公布的20XX年全国普通高等公办专科学校名单》、《教育部公布的20XX年全国普通高等民办专科学校名单》请各位有需要的自行搜索下载。 -----湖北第二师范学院全日制本科助学班招生办白老师友情整理 20XX.05.20

教育部公布的20XX年全国普通高等公办本科学校名单北京市公办本科院校(59所): 北京大学 中国人民大学 清华大学 北京交通大学 北京工业大学 北京航空航天大学 北京理工大学 北京科技大学 北方工业大学 北京化工大学 北京工商大学 北京服装学院 北京邮电大学 北京印刷学院 北京建筑大学 北京石油化工学院 北京电子科技学院 中国农业大学 北京农学院 北京林业大学

北京协和医学院 首都医科大学 北京中医药大学 北京师范大学 首都师范大学 首都体育学院 北京外国语大学 北京第二外国语学院北京语言大学 中国传媒大学 中央财经大学 对外经济贸易大学北京物资学院 首都经济贸易大学外交学院 中国人民公安大学国际关系学院 北京体育大学 中央音乐学院 中国音乐学院 中央美术学院 中央戏剧学院

数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教案

第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师:这节课我们学习空间向量及其加减运算,请看学习目标。 学习目标:⒈理解空间向量的概念,掌握其表示方法; ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律; ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 师:在必修四第二章《平面向量》中,我们学习了平面向量的一些知识,现在我们一起来复习。(不要翻书) (在黑板或背投上呈现或边说边写) 1、在平面中,我们把具有__________________的量叫做平面向量; 2、平面向量的表示方法:

① 几何表示法:_________________________ ② 字母表示法:_________________________ (注意:向量手写体一定要带箭头) 3、平面向量的模表示_________________,记作____________ 4、一些特殊的平面向量: ① 零向量:__________________________,记作___(零向量的方向具有任意性) ② 单位向量:______________________________ (强调:都只限制了大小,不确定方向) ③ 相等向量:____________________________ ④ 相反向量:____________________________ 5、平面向量的加法: 6、平面向量的减法: 7、平面向量的数乘:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,其长度和方向规定如下: (1)|λa |=|λ||a | (2)当λ>0时,λa 与a 同向; 当λ<0时,λa 与a 反向; 当λ=0时,λa =0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律:a +b =b +a 加法结合律:(a +b )+c =a +(b +c ) 数乘分配律:λ(a +b )=λa +λb 数乘结合律:λ(a μ)=a )(λμ [师]:刚才我们复习了平面向量,那空间向量会是怎样,与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.(5分钟) [师]:对比平面向量,我们得到空间向量的相关概念。(在刚复习的黑板或幻灯片上,只需将平面改成空间) [师]:空间向量与平面向量有什么联系? [生]:向量在空间中是可以平移的.空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示.因此我们说空间任意两个向量是共面的.所以凡涉及 空间两个向量的问题,平面向量中有关结论仍适用于它们。

天津市普通高校名单

天津市普通高校名单(84所) 截至2014年7月9日,全国高等学校(不含独立学院)共计2542所,其中:普通高等学校2246所(包括民办普通高校444所);成人高等学校296所(包括民办成人高校1所)。 以下为天津地区普通高校名单 序号学校名称主管部门所在地办学层次备注 天津市(45所) 1 南开大学教育部天津市本科 2 天津大学教育部天津市本科 3 天津科技大学天津市天津市本科 4 天津工业大学天津市天津市本科 5 中国民航大学交通运输部天津市本科 6 天津理工大学天津市天津市本科 7 天津农学院天津市天津市本科 8 天津医科大学天津市天津市本科 9 天津中医药大学天津市天津市本科 10 天津师范大学天津市天津市本科 11 天津职业技术师范大学天津市天津市本科 12 天津外国语大学天津市天津市本科 13 天津商业大学天津市天津市本科 14 天津财经大学天津市天津市本科 15 天津体育学院天津市天津市本科 16 天津音乐学院天津市天津市本科 17 天津美术学院天津市天津市本科 18 天津城建大学天津市天津市本科 19 天津天狮学院天津市教委天津市本科民办 20 天津市职业大学天津市天津市专科 21 天津中德职业技术学院天津市天津市专科 22 天津滨海职业学院天津市天津市专科 23 天津工程职业技术学院天津市天津市专科

24 天津青年职业学院天津市天津市专科 25 天津渤海职业技术学院天津市天津市专科 26 天津电子信息职业技术学院天津市天津市专科 27 天津机电职业技术学院天津市天津市专科 28 天津现代职业技术学院天津市天津市专科 29 天津公安警官职业学院天津市天津市专科 30 天津轻工职业技术学院天津市天津市专科 31 天津商务职业学院天津市天津市专科 32 天津国土资源和房屋职业学 院 天津市天津市专科 33 天津医学高等专科学校天津市天津市专科 34 天津开发区职业技术学院天津市天津市专科 35 天津艺术职业学院天津市天津市专科 36 天津交通职业学院天津市天津市专科 37 天津冶金职业技术学院天津市天津市专科 38 天津石油职业技术学院天津市天津市专科 39 天津城市职业学院天津市天津市专科 40 天津铁道职业技术学院天津市天津市专科 41 天津工艺美术职业学院天津市天津市专科 42 天津城市建设管理职业技术 学院 天津市天津市专科 43 天津生物工程职业技术学院天津市天津市专科 44 天津海运职业学院天津市天津市专科 45 天津广播影视职业学院天津市天津市专科

空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题详细答案

【巩固练习】 一、选择题 1. 设平面两个向量的坐标分别为(1,2,1),(-1,1,2),则下列向量中是平面的法向量的是( ) A. (-1,-2,5) B. (-1,1,-1) C. (1, 1,1) D. (1,-1,-1) 2. 如图,1111—ABCD A B C D 是正方体,11 11114 A B B E =D F =,则1BE 与1DF 所成角的余弦值是( ) A . 1715 B . 2 1 C .17 8 D . 2 3 3. 如图,111—A B C ABC 是直三棱柱,90BCA ∠=?,点11D F 、分别是1111A B AC 、的中点,若 1BC CA CC ==,则1BD 与1AF 所成角的余弦值是( ) A . 1030 B . 2 1 C .15 30 D . 10 15 4. 若向量(12)λ=a ,,与(212)=-b ,,的夹角的余弦值为8 9 ,则λ=( ) A .2 B .2- C .2-或 255 D .2或255 - 5. 在三棱锥P ABC -中,AB BC ⊥,1 2 AB=BC=PA , 点O D 、分别是AC PC 、的中点,OP ⊥底面ABC ,则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值( ) A . 621 B . 33 8 C .60 210 D . 30210 6.(2015秋 校级期末)在正四棱锥S —ABCD 中,O 为顶点在底面的投影,P 为侧棱SD 的中点,且SO=OD ,则直线BC 与平面PAC 的夹角是( ) A .30° B .45° C .60° D .75° 7. 在三棱锥P ABC -中,AB BC ⊥,1 ==2 AB BC PA ,点O D 、分别是AC PC 、的中点,OP ⊥ 底面ABC ,则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是( )

天津市年高考个考点名单公布.doc

天津市2010年高考71个考点名单公布(2)红桥区 民族中学:驾车接送考生不要把车随意停在校门前,应按交通标志指示行驶,严禁违法掉头,如交通拥阻可绕行芥园道。 三中:接送考生车辆可停在红桥医院、向东道停车场;如遇交通拥阻可绕行向东道周边丁字沽零号路、一号路和咸阳北路。 复兴中学:该校门前道路狭窄不具备停车条件,考生应尽量选择公共交通工具,驾车接送考生车辆应即停即离,如遇交通拥阻可绕行芥园道。 五中:接送考生车辆请按停车场人员指挥停放,如停车泊位饱和,尽量把车靠路边停放,不要双排停车,如遇交通拥阻可绕行五中后大道。 河北区 第二中学、五十七中学、汇森中学:请考生提前出行,三校门前没有停车泊位,请接送考生车辆即停即离,如确需停车,请将车辆靠路边停放,不要双排停车,停车时车内留人。 扶轮中学:车辆可绕行中山路、右转律纬路,直行南口路。 求真中学:该校门前百米内禁止机动车通行,过往车辆可绕行井冈山路、真理道、正义道等道路,接送考生车辆可按交警指挥停在真理道和井冈山路非机动车道。 十四中学:尽量不要驾车前往该校,遇交通拥阻可绕行中山北路、中纺前街、万柳村大街等道路。

河西区 四十二中学:车辆行至爱国道门前应注意行人;如大沽南路发生交通拥阻,可绕行广东路等道路;机动车可停在重华大街或大沽南路爱国道交口以西,大沽南路、爱国道两校门门前禁止停车。 北师大天津附中:如大沽南路主道发生交通拥阻,由大沽南路微山路交口驶入车辆请提前选择由大沽南路绿化隔离带旁辅道行驶;车辆可在学校两侧学苑路或曲江路停车,学校门前禁止停车。 四中:过往机动车应注意不要压越校门前黄网状线停车,若隆昌路发生交通拥阻,车辆可绕行广东路、尖山路等道路;接送考生车辆可停在隆昌路乐园道交口以南,学校门前禁止停车。 新华中学:由河西区去往和平区机动车可选择河北路通行,而由和平区去往河西区机动车可选择香港路通行;机动车沿九龙路行至新华中学门前路段应注意九龙路有右转及直行两条车道并按规定车道行驶;校门两侧百米内及马场道沿线禁止停车。 实验中学:7时至9时、16时30分至19时30分,平山道的贵州路至气象台路段为机动车由东向西单行,接送考生车辆可从气象台路右转吴家窑大街、右转贵州路、右转平山道到达该校;学校门前平山道两侧禁止停车,平山道的紫金山路至气象台路段及平泉道有停车位。 四十一中学:因桂林路、云南路均为单行路,机动车由河西区去往和平区可选择桂林路,由和平区去往河西区可选择云南路,过往车辆遇马场道交通拥阻可选择绕行绍兴道、永安道、友谊路等道路;因该校周边道路狭窄停车位紧张,建议考生尽量选择乘坐公交车前往考点。 河东区

(完整版)全国本科院校名单

普通本科院校(共844所)北京市(59所) 北京大学 中国人民大学 清华大学 北京交通大学 北京航空航天大学 北京理工大学 北京科技大学 北京化工大学 北京邮电大学 华北电力大学 中国石油大学(北京) 中国矿业大学(北京) 中国地质大学(北京) 中国农业大学 北京林业大学 北京中医药大学 北京师范大学 北京外国语大学 北京语言大学 中国传媒大学 中央财经大学 对外经济贸易大学 中国人民公安大学 中国政法大学 北京体育大学 中央民族大学 北京电子科技学院 北京协和医学院 外交学院 中华女子学院 国际关系学院 中国青年政治学院 中国劳动关系学院 中央音乐学院 中央美术学院 中央戏剧学院 北京联合大学 北京工业大学 北方工业大学 北京信息科技大学 首都医科大学 首都师范大学北京工商大学 首都经济贸易大学 北京城市学院 北京服装学院 北京印刷学院 北京建筑工程学院 北京石油化工学院 首钢工学院 北京农学院 北京第二外国语学院 北京物资学院 首都体育学院 中国音乐学院 中国戏曲学院 北京电影学院 北京舞蹈学院 北京警察学院 天津市(19所) 南开大学 天津大学 中国民航大学 天津工业大学 天津科技大学 天津理工大学 天津医科大学 天津中医药大学 天津师范大学 天津职业技术师范大学 天津外国语大学 天津财经大学 天津商业大学 天津天狮学院 天津城市建设学院 天津农学院 天津体育学院 天津音乐学院 天津美术学院 河北省(37所) 华北科技学院 防灾科技学院 中国人民武装警察部队学院中央司法警官学院 河北大学 河北工业大学

燕山大学 河北联合大学 河北科技大学 河北工程大学 石家庄铁道大学河北农业大学 河北医科大学 河北师范大学 河北经贸大学 石家庄经济学院河北建筑工程学院北华航天工业学院承德医学院 廊坊师范学院 河北民族师范学院唐山师范学院 河北科技师范学院沧州师范学院 邢台学院 河北金融学院 河北体育学院 河北传媒学院 保定学院 河北北方学院 衡水学院 邯郸学院 唐山学院 石家庄学院 河北科技学院 河北美术学院 河北外国语学院山西省(19所) 山西大学 太原理工大学 中北大学 太原科技大学 山西农业大学 山西医科大学 山西师范大学 山西大同大学 山西财经大学 太原工业学院 长治医学院 山西中医学院太原师范学院 长治学院 吕梁学院 晋中学院 忻州师范学院 运城学院 山西工商学院 内蒙古自治区(13所)内蒙古大学 内蒙古科技大学 内蒙古民族大学 内蒙古工业大学 内蒙古农业大学 内蒙古师范大学 内蒙古医科大学 赤峰学院 呼和浩特民族学院 集宁师范学院 呼伦贝尔学院 内蒙古财经大学 河套学院 辽宁省(45所) 大连理工大学 东北大学 大连海事大学 中国刑事警察学院 大连民族学院 辽宁大学 沈阳大学 大连大学 沈阳理工大学 辽宁工程技术大学 沈阳工业大学 沈阳建筑大学 辽宁石油化工大学 大连交通大学 沈阳化工大学 辽宁科技大学 大连工业大学 辽宁工业大学 沈阳航空航天大学 沈阳农业大学 大连海洋大学 中国医科大学

空间向量计算距离与角度

【例1】 在正方体1111ABCD A B C D -中,1111111 44 A B B E D F == =,求1BE 与1DF 所成角的余弦值. 【例2】 直三棱柱111ABC A B C -中,1111BC AC BC AB ⊥⊥,.求证:11 AB AC =. 【例3】 如图所示,在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中,90ABC ∠=°,SA ⊥平面 ABCD ,1 12 SA AB BC AD ==== ,.求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值. C 1 B 1 A 1 C B A D C B A S 典例分析 板块四.用空间向量计算距离 与角度

【例4】 已知(023)A ,,,(216)B -,,,(115)C -,,,求方向向量为(001)j =,,直线与平 面ABC 所成角的余弦值. 【例5】 已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中,4AB =,3AD =,5AA '=, 60BAA DAA ''∠=∠=°,90BAD ∠=°,求AC '的长 【例6】 如图直角梯形OABC 中,π 2 COA OAB ∠=∠= ,2OC =,1OA AB ==,SO ⊥平面OABC ,1SO =,以OC 、OA 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O xyz -. ⑴求SC 与OB 的夹角α的大小(用反三角函数表示); ⑵设(1)n p q =,,,满足n ⊥平面SBC ,求 ①n 的坐标; ②OA 与平面SBC 的夹角β(用反三角函数表示); ③O 到平面SBC 的距离. 【例7】 如图四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,PG ⊥平面ABCD ,垂足为G , G 在AD 上,且4PG =,1 3 AG GD =,BG GC ⊥,2GB GC ==,E 是BC 的中点. ⑴求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值; ⑵求点D 到平面PBG 的距离; ⑶若F 点是棱PC 上一点,且DF GC ⊥,求 PF FC 的值. D ' C ' B 'A 'D C B A C B A O S

空间向量的坐标运算-夹角和距离公式(教案说明)

空间向量的坐标运算-夹角和距离公式 教案说明 江西省宜丰中学熊星飞 一、教材在本章节中的地位及作用 1.向量的坐标运算是在空间向量的运算(加减法运算、实数与向量的积,空间向量的基本定理的基础上,用坐标对几何图形进行量化,通过对运算来掌握向量的关系和性质; 2.向量的运夹角和距离公式是在空间向量的坐标及坐标运算的基础上,对向量的夹角和距离进行的一种运算,是空间解析几何的基础; 3.本节内容渗透了转化、化归、数形结合数学思想,是向学生进行数学思想方法教学的好教材,也是培养学生观察、作图等能力的好教材; 4.本节内容与实际问题联系紧密,有利于培养学生抽象思维及空间想象的能力。 5.课时安排 空间向量的坐标运算共分4个课时(第一课时:空间直角坐标系;第二课时:空间向 量的直角坐标运算;第三课时:空间向量夹角与距离公式的掌握及简单运用;第四课时:空间向量的坐标运算综合运用。 本节课是第三课时(夹角与距离公式的掌握及简单运用) 二、教学目标 1.知识目标:能把实际问题转化为立体几何的问题,立体几何问题再用坐标运算进行解决; 2.能力目标:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力. 3.情感目标:结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生勇于创新. 4.知识教学点 (1).掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式; (2).会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直; (3).会运用向量的夹角公式求异面直线所成的角。 三、教学重点与难点

1.教学重点:模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用。 2.教学难点:异面直线所成的角与空间两向量夹角的关系。 四、教学方法与手段 1.教学方法 为了激发学生学习的主体意识,面向全体学生,使学生在获取知识的同时,各方面的能力得到进一步的培养.根据本节课的内容特点,本节课采用对比学习、启发引导、讲练结合的教学方法,着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质。本节课主要让学生自己动手推导出公式,同时自己根据公式解决实际问题,自己提出问题自己解决问题。 2.教学手段 新大纲明确指出:要积极创造条件,采用现代化的教学手段进行教学.根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性,为突出重点、突破难点,增加教学容量,激发学生的学习兴趣,增强教学的条理性、形象性,本节课采用计算机辅助教学,以直观、生动地揭示空间两直线所成角及两点间的距离,把抽象问题数量化。 3.学生课前准备 坐标纸、三角板、铅笔和彩色水笔 五、教学过程设计 (一)创设情境,新课导入 (教师活动)通过多媒体创设情境 (学生活动) 思考、并根据分析,尝试用坐标纸作图、解答.

普通二本大学名单

普通二本大学名单 北京市 北京联合大学北方工业大学北京工商大学北京建筑工程学院 北京电子科技学院中华女子学院中国劳动关系学院北京农学院 北京城市学院北京建工学院北京物资学院北京石油化工学院 北京印刷学院北京服装学院北京信息技术大学北京电子科技学院 北京协和医学院首都经济贸易大学首钢工学院北京第二外国语学院 首都体育学院中国戏曲学院北京舞蹈学院 上海市 上海对外贸易学院上海海事大学上海理工大学上海师范大学 上海电力学院上海海洋大学上海中医药大学上海应用技术学院 上海杉达学院上海工程技术大学上海海关学院上海大学 华东政法大学上海政法学院上海建桥学院上海第二工业大学上海应用技术学院上海电机学院上海对外贸易学院上海金融学院上海立信会计学院上海体育学院上海音乐学院上海戏剧学院上海商学院 天津市 天津工业大学天津商业大学天津师范大学天津外国语大学 天津科技大学天津城建学院中国民航大学天津理工大学 天津医科大学天津中医药大学天津职业技术师范大学天津财经大学 天津天狮学院天津城市建设学院天津农学院天津体育学院 天津音乐学院天津美术学院 重庆市 重庆工商大学重庆医科大学重庆交通大学西南石油大学 重庆三峡学院长江师范学院四川外语学院重庆师范大学 重庆科技学院重庆文理学院重庆理工大学重庆师范大学 西南政法大学四川美术学院 广东省 广东工业大学广东商学院广州大学华侨大学 东莞理工学院广东海洋大学广州医学院广东医学院 广东技术师范学院广东石油化工学院广州体育学院广东嘉应学院 广东肇庆学院湛江师范学院韩山师范学院惠州学院 深圳大学广东金融学院广东警官学院深圳大学五邑大学华南农业大学广州中医药大学南方医科大学华南师范大学广东外语外贸大学北师大-浸会大学联合国际学院仲恺农业工程学院韶关学院广东第二师范学院广东警官学院广州美术学院 星海音乐学院广东技术师范学院广东白云学院佛山科学技术学院广东培正学院广东科技学院 江苏省 南京邮电大学南京工业大学江苏科技大学盐城工学院 徐州师范大学淮阴师范学院江苏广播电视大学南京中医药大学 南通大学南京工程学院南京财经大学南京晓庄学院 盐城师范学院常州大学江苏技术师范学院金陵科技学院 中国药科大学南京森林警察学院苏州大学扬州大学江苏

全国普通高校名单

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