SCALE5.1程序简介初稿
作者：周波
中科院上海应用物理研究所
2017年
前言
编写内容主要是方便新手对程序的了解和认识，部分内容也是根据自己的理解进行编写，由于时间原因以及认识或多或少可能存在的不足，有些地方肯定写的不周全甚至会有一些个人理解上的错误，对于引用文献的内容已标注相应的参考文献，读者可以参阅原文进行理解，希望大家多批评指正。
目录
SCALE5.1程序简介V0.1 (1)
前言 (2)
1简介 (4)
2主要功能模块、控制模块 (4)
3多群截面的处理 (7)
3.1共振能群截面处理 (7)
3.1.1共振截面处理的由来： (7)
3.1.2共振处理方法 (8)
3.1.3等价理论 (9)
3.1.4子群方法 (10)
3.1.5超细能群与连续能量 (10)
3.1.6共振处理在不同堆型中的影响 (11)
3.2S CALE中共振截面处理模块及多群截面库生成过程 (13)
3.3S CALE程序共振处理方法的发展史 (14)
3.4双重不均匀处理现状 (15)
6 SCALE功能改进及现状 (16)
6.1SCALE6.0的新模块及功能 (16)
6.1.1连续点截面模式 (16)
6.1.2三维屏蔽计算模块MAVRIC的添加 (16)
6.1.3新的三维JAVA用户界面 (18)
6.1.4 Triton/NEWT模块的改进 (19)
6.1.5 可视化界面（GeeWiz）的拓展 (20)
6.1.6 TSUNAMI-3D的改进 (20)
6.1.7 HTML格式输出拓展 (20)
6.1.8 临界事故报警系统（CAAS）分析 (21)
6.1.9其他方面的改进 (21)
6.2 SCALE6.1程序功能及改进 (21)
6.2.1临界安全 (21)
6.2.2屏蔽分析 (22)
6.2.3燃耗、衰变计算 (22)
6.2.4反应堆物理 (23)
6.2.5灵敏度及不确定分析 (23)
6.2.6核数据 (23)
6.2.7图形化界面 (24)
6.2.8 Scale6.1目前的不足之处 (24)
1简介
SCALE ( Standardized Computer Analyses for Licensing Evaluation)是由橡树岭实验室Oak Ridge National Laboratory (ORNL)开发的一个模块化的程序系统，具有自动处理数据，自动进行模块之间耦合的优点。可以直接对具体模型及问题进行截面处理、临界安全分析、屏蔽计算、燃耗计算/衰变等。程序最初开发于1976年，发布于1980年，目前最新版本为SCALE6.1（2008年12月发布）。SCALE6.2及SCALE7已经在开发中。
2主要功能模块、控制模块
目前TMSR项目中使用的版本是SACLE5.1（2006年11月发布）。SCALE 5.1包含多个控制模块和功能模块，在SCALE程序系统中, 控制模块按照既定顺序调用功能模块完成某项特定计算任务。图1图2分别为SCALE5.1 软件包中的主要功能模块和主要控制模块。其中在功能模块中，BONAMI、CENTRM、PMC 及NITAWL 为共振处理模块，可生成与具体问题相关的共振能群参数，KENO 为三维多群蒙特卡罗临界安全分析程序，NEWT 为二维SN 输运计算程序，ORIGEN‐S （三群）为燃耗计算程序，COUPLE是输运与燃耗之间的耦合程序，MONACO 为固定源问题多群蒙特卡罗屏蔽程序，XSDOSE 为计量计算程序，QAD‐CGGP 用于计算伽玛泄漏的三维点程序。在控制模块中，CSAS5 和CSAS6 为临界计算模块。其中，CSAS5 在三维输运计算中调用KENO V.a 程序，而CSAS6 则调用KENO-VI 程序。STARBUCS为燃耗信任制分析模块，TSUNAMI 为核数据灵敏性分析模块。TRITON 为堆芯物理分析模块，可以进行输运和燃耗的耦合计算。MAVRIC
是辐射输运计算控制模块。QADS为调用QAD-CGGP开展伽玛输运模块的三维点堆计算模块。SAS1用于开展数据处理、辐射屏蔽分析和剂量估算。
图 1.SCALE 软件中的主要功能模块
图 2SCALE 软件中的主要控制模块
表 1SCALE5.1 控制模块分析能力摘要
模块 功能 用到的功能模块
BONAMI
CENTRM
PMC
NITAWL
NEWT
KENO ORIGEN-S COUPLE SAS1 SAS2 SAS3 SAS4 QADS MAVRIC CSAS5 CSAS6
STARBUCS
149SMORES
TSUNAM TRITON
COUPLE SAS1 SAS2
SAS3 SAS4 QADS MAVRIC
CSAS 一维确定论方法有效增值系数计算
三维蒙卡方法有效增值系数计算
具体问题的截面处理、临界搜索
BONAMI NITAWL XSDRNPM KENO V.a
ICE
CSAS6 三维蒙卡方法有效增值系数计算BONAMI
NITAWL
XSDRNPM
KENO-VI SMORES 一维材料分布最优化计算BONAMI
NITAWL
CENTRM/PMC
ICE
XSDRNPM
SWIF TSUNAMI-1D 一维灵敏度/不确定性分析程序BONAMIST
NITAWLST
XSDRNPM
SAMS TSUNAMI-3D 三维灵敏度/不确定性分析程序BONAMIST
NITAWLST
XSDRNPM
KENO V.a
SAMS
STARBUCS 燃耗信任制分析（耦合ORIGEN-ARP
及KENO V.a 或 KENO-VI）
BONAMI
NITAWL CENTRM/PMC
XSDRNPM
COUPLE ORIGEN-S
ARP KENO V.a or KENO-VI
ORIGEN-ARP 点燃耗衰变计算ARP
ORIGEN-S
OPUS SAS1 一维辐射屏蔽剂量分析BONAMI
NITAWL
XSDRNPM
XSDOSE
SAS2 核燃料点燃耗计算
圆柱几何一维辐射屏蔽计算
BONAMI NITAWL XSDRNPM COUPLE
ORIGEN-S
XSDOSE SAS3、SAS4 剂量估算程序BONAMI
NITAWL
XSDRNPM
MORSE-SGC QADS 三维伽马屏蔽分析QAD-CGGP
TRITON 二维燃耗计算（耦合离散纵标法输运
程序）
BONAMI
NITAWL CENTRM/PMC NEWT
COUPLE ORIGEN-S
OPUS
表1列出了SCALE5.1 中控制模块的主要功能及其使用到的功能模块，关于功能模块的具体功能及方法可参考说明书
3多群截面的处理
3.1共振能群截面处理
很多人都理解什么是共振自屏效应，这里简单介绍一下共振截面处理问题的由来、处理方法以及共振截面对中子输运的影响。
3.1.1共振截面处理的由来：
核数据是一切反应堆物理设计计算的基础，核数据的质量直接影响后续的分析结果的准确性。最原始的核数据主要来自实验测量，经过分析、评价后，形成工程计算所用的评价核数据库。例如：ENDF/B（美国），JEF（欧洲），JENDL（日本），CENDL（中国）。这些数据库中包含了几乎所有计算时使用到的核数据，但是堆物理计算者所用的核数据并非是基础评价核数据，而是通过专门的截面处理程序制作成的多群截面库，即对能量进行离散化处理，也就是所谓的分群近似处理。
在分群近似的情况下，必须依照反应率守恒原则得到每一个能群等效平均截面。但是在求解中子分群截面时，需要事先知道中子通量，但是中子通量又是我们计算中所要求的量，因此，理论上不能直接通过通量加权得到所要的分群截面。根据中子截面本身的特征，除共振能群之外的能量段，如热能区及快中子区，中子截面的变化都是比较光滑的，因此，即使采用与问题无关的典型
中子能谱作为权重函数进行有效截面的计算也不会有较大的误差。言外之意，使用和问题无关的权重谱进行多群截面的计算，从而得到通用的多群常数。
但是，对于共振核素的共振区截面来讲，和下图U235截面（ENDF ）类似，截面再共振区的变化非常强烈，通用权重谱对于共振区也不再通用，而是依赖具体问题的条件，如燃料的排布方式、燃料与慢化剂比例、燃料及慢化剂尺寸。因此，对于共振区所有核截面必须根据具体问题进行在线计算得到等效的多群截面。这就是共振计算的由来，也是经常提到的共振自屏问题的计算。
10-310-210-1100101102103104105106107
1
10
100
1000
10000
s i g (b a r n s )B1
U235微观裂变截面
3.1.2共振处理方法
在堆内中子学设计中,由于堆芯内存在大量的像铀-238这样的共振吸收剂，共振区有效截面的确定是中子输运计算之前必不可少、十分关键的缓解。共振截面的处理得当与否，直接影响计算的准确度。在堆芯中子输运过程中，除非采用像MCNP 一样连续的点截面，否则对共振区截面的描述无法很精确，因此，对共振区截面的处理不可避免的要进行近似处理。实际共振计算的目的或任务也就成为如何以较小的代价，针对具体问题获得尽可能准确的近似空间能谱分布及共振能区有效截面。长期以来，人们普遍采用基于等价理论
[1](Equivalence Theory)的方法来进行共振计算。
近年来，有关先进共振计算方法的研究是国际上反应堆物理方法研究的一个热点，其中以子群(Sub-group)或多邦（Multi-band ）方法以及超细能群(Ultra-Fine Group) 与连续能量(ContinuousEnergy)方法最受人关注。
3.1.3等价理论
所谓等价理论是指在一定的假设条件下，定义的有效共振积分，建立起一个燃料/慢化剂非均匀布置系统和一个均匀系统间数值上的等效关系如下式。
Σa（E）为共振吸收剂的微观截面，由基础评价核数据库提供，φ(E)为共振区的近似中子能谱。
我们知道，对于无吸收体的纯慢化介质，如纯H慢化介质，中能区的中子慢化能谱为严格的1/E谱[谢仲生，吴宏春，张少泓。核反应堆物理分析（修订本），西安交通大学出版社，西安，2004。]，但是由于共振核素的纯在，中能区中子能谱则呈现出明显的凹陷，即所谓的能量自屏现象，因此，中子通量偏离了1/E规律。从基础的反应堆物理理论可知，对一个吸收剂和慢化剂均匀混合的无限介质，系统慢化能谱偏离1/E的程度由系统内单位共振吸收剂核子密度下的宏观势散射截面决定，即由所谓的背景截面决定。
非均匀系统和均匀系统间存在的等价关系为人们处理实际问题提供了极大的便利。这样，人们就避免了如何对变化繁多的复杂非均匀系统事先制作共振积分表的困难，而只需对共振吸收剂与慢化剂均匀混合的系统，事先计算产生不同背景截面、不同燃料温度下的有效共振积分，即可以预制共振积分表。在实际计算非均匀问题时，只需计算与该系统等价的背景截面，就可以通过背景截面插值，从预制的共振积分表中获得燃料/慢化剂非均匀布置情况下，共振核的有效共振积分，进而依据平均截面的定义，产生共振能群的平均微观截面。
基于等价理论的共振计算方法由于处理简便，计算速度快，因此，自上世纪
50-60 年代提出以来，就在反应堆物理分析中广为应用。国际上一些知名的核燃料组件计算程序，如WIMS[J. R. Askew, et al. A General Description of Lattice Code WIMS. Journal of Brit.Nucl. Energy Soc. , 5,4,564,1966]，CASMO[K. S. Smith, Mannals of CASMO, RF-76-4158]等都曾采用该方法来进行共振处理。然而，正如本文第三章中即将详细指出的，等价理论虽然简便，但为了得到这样简便的等价关系，必须引入一系列的近似，如对共振峰本身的近似（窄共振近似[谢仲生，吴宏春，张少泓。核反应堆物理分析（修订本），西安交通大学出版社，西安，2004。]或宽共振无限质量近似[谢仲生，吴宏春，张少泓。核反应堆物理分析（修订本），西安交通大学出版社，西安，2004。]）、对孤立棒系统中子首次逃脱概率的有理近似[谢仲生。压水堆核电厂堆芯燃料管理计算及优化，原子能出本社，北京，2001。86~95]等，因此，严格地说，等价理论自身是不够严密和完善的。同时，从功能角度来说，基于等价理论的共振处
理方法，在处理复杂非规则、强烈非均匀核燃料组件方面的能力也十分有限，因此，这样的处理方法在处理部分问题时，其误差不容忽略。然而长期以来，由于基础评价核数据的质量尚存在问题，其数据本身还不够准确，因此，人们为了获得可以和堆物理实验数据相比较的理论计算值，普遍的做法是在制作多群常数库的过程中人为地对部分核数据进行调节，如调节铀-238 的有效共振积分值。这种非科学的调节掩盖了整个多群常数库制作与应用过程各个环节（包括共振处理）存在的不足，因此，在过去的几十年中，共振计算方法主要就是采用等价理论的思想，而未曾有大的理论改进。
然而，随着现代反应堆设计的日趋复杂，要通过多群常数制作过程非科学的
调整来使理论计算值和测量值相符正变得越来越困难，另一方面，基础评价核数据的质量在过去几十年中有了很大的提高，评价截面数据本身不够准确的问题随着2006 年12 月ENDF/B-VII.0 库的正式发布有了根本性的改善，长期存在的跟轻水堆应用相关的基础评价截面数据问题，在这一版本中都得到了较好的解决。再加上目前在下游堆芯分析计算方法领域，一批高精度方法的出现，都要求彻底摒弃目前多群常数库制作与应用领域一些经验性的做法，而其中大家普遍认同的就是亟待改进传统的共振处理方法。因此，近年来，有关先进共振计算方法的研究是国际上反应堆物理方法研究的一个热点，其中以子群(Sub-group)或多邦（Multi-band）方法以及超细能群(Ultra-Fine Group) 与连续能量(Continuous Energy)方法最受人关注。
3.1.4子群方法
子群方法按照总截面的大小将共振群划分为若干子群，各子群有不同的总截面范围和权重（分别称为子群总截面、子群概率）。已有不少研究人员利用该方法做过共振区截面的处理[9-12]，日本大阪大学的Toshihisa Yamamoto等人对子群方法的研究[13-15]，和中国核动力研究设计院黄世恩等人利用子群方法对共振自屏的计算[16]。子群方法利用子群总截面和子群概率，可以较好的描述共振区截面随能量剧烈变化的信息。子群方程与中子输运方程在形式上相似，可以借助现有的中子输运算法进行求解。子群法能够与各种输运方法相结合，几何适用性好，可以很好的解决空间效应，而且计算速度较快，这些都是子群方法的优点。然而，子群方法仅能解决空间效应而不能很好的处理共振核素之间的共振干涉效应，这在一定程度上会影响计算精度。
3.1.5超细能群与连续能量
超细能群与连续能量方法具有相同的思路，超细能群将中子能量在整个范围
内划分为足够多的能群，以提高计算的精度。运用较密集的能群划分或连续能量点截面，能够精细描述共振区截面随能量的变化，可以达到较高的计算精度。日本名古屋大学Naoki Sugimura 等人曾利用超细能群的方法进行共振处理[17]。但是由于超细能群的方法能量点过多，对于计算机的内存和计算速度要求很高，导致计算的速度太慢，由于其计算效率太低的缺陷造成现阶段还难以推广到工程设计中，而仅作为研究共振能区共振截面的一种方法。
除此之外，还有利用蒙特卡洛的方法进行研究[18]等。但需指出的是，这些新方法虽然在一定程度上可以改进传统基于等价理论处理方法的不足，但也绝非可以一揽子地解决所有问题。并且一个共同的缺陷就是为准备共振能区等效截面所花费的计算代价都大大增加。因此，到目前为止，在国际上尚没有一种大家都普遍认可、既有较完善的理论基础又方便实用的共振计算好方法。这就是本文选择共振计算方法进行研究的科学和工程背景。
3.1.6共振处理在不同堆型中的影响
如果忽略共振自屏效应,将导致对中子在堆内的各种反应率产生错误的估计,从而不能有效地进行准确的堆内中子学设计,对混合堆和快堆,这一现象就尤为明显。因此,无论对混合堆,快堆或热裂变堆,在对其进行中子学计算和析时,考虑共振自屏效应是提高中子学设计精度的一个必不可少的环节。
对混合堆和快堆,由于其主要目的是生产易裂变燃料,因而没法提高堆内转换材料对中子的吸收是中子学设计的主要目标,而最有利于转换材料对中子吸收的能区就是转换材料的共振能区,所以共振自屏效应必需考虑。特别是对于混合堆,由于中子通量在包层中的强烈各向异性,必需采用较精确的输运理论,为此需要有相应的能计及共振自屏效应的截面库以及有关的处理程序。
自从1984年steatn Taczanowski提出在混合堆中子学计算中考虑共振自屏效应的重要性以来
【】,对这方面问题在国际上已经做了许多工作
【
】,其中绝大多数这方面的工作是针对聚变一裂变混合堆所作的。所有工作的结果显示,在混合堆中子学计算中,如果忽略堆内核素的共振自屏效应,将过高估计堆内易裂变燃料核素的增殖率,过低估计了堆内核素的慢裂变率,而最大偏差可达40%至60 %.
下面我们对热堆和混合堆快堆对中子学计算起重要作用的各项内容进行一个比较。
以生产热能为主要目的的热裂变堆与以生产燃料为目的的混合堆相比,由于两者的用途不同,两者的堆芯设置就有很大的区别。对热裂变堆,由于其主要的目的是利用热中子引起堆内裂变材料的慢裂变,因此慢化过程中中子的吸收应尽力避免,这样才有利于反应堆达临界状态。中子源为平均能量为2MeV的内部裂变源，燃料通常是被冷却剂和慢化剂包围，计算的重点区域为热能区。
较混合堆的源中子平均能量14Mev低得多。而绝大多数裂变瞬发中子在引起下次裂变反应之前,首先是先进人慢化剂中慢化。又因裂变堆内慢化剂的慢化能力一般很强,因此,在慢化剂中,中子只要经过几次碰撞就能被慢化至包括裂变材料共振能区在内的慢化能能区之下。然而慢化剂的共振吸收中子的能力比较小。
由上述分析可知,对热裂变堆可得出如下结论：
热裂变堆内的中子，在U235和U238内停留时间很短，中子的共振能时期主要在无显著共振吸收的慢化中度过，因此，在对热裂变堆进行多群中子输运计算时,忽略共振自屏效应所带来的误差不会很大。图3为不同类型反应堆对中子计算考虑的主要差别。
对混合堆,尤其对抑制裂变混合堆共振自屏效应的情况就大不相同。对抑制裂变混合堆包层,由于进行了快慢中子通量的抑制,使得中子主要集结于共振能区,以利用转换材料的对燃料增殖最为有效的共振吸收。另外由于抑制裂变混合堆包层中以中子倍增剂取代了慢化剂的位置,而绝大多数倍增中子的能量一般位于共振能区内或者之上,这也加强了转换材料的共振吸收。对快裂变包层混合堆,由于没有实拭快通量抑制,因此;包层中的中子能谱比较硬,所以共振自屏效应对快裂变包层中子学计算的影响较抑制裂变包层的小。
与裂变堆的情况相反,对混合堆不难得出如下结论：
由于混合堆内的中子主要是高能的外聚变源中子,且混合堆包层中介质的中子慢化能力又很弱,因此绝大多数中子的消失是由于介质中共振核素的共振吸收引起的,所以在对混合堆包层作中子学计算时应考虑共振自屏效应这一重要因素。
快堆与快裂变包层混合堆有许多相似之处,但快堆的中子能谱却比较软,因此在对快堆进行中子输运计算时也应考虑共振自屏效应。
混合堆考虑的重点区域和热堆则相反,由于转换材料的共振吸收最有利于裂变材料的增殖,因此在混合堆中子学设计中,应尽量设法使中子通量位于转换材料的共振能区之内,这就要求抑制包层内快中子通量和慢中子通量的形成。
图3不同类型反应堆主要区别
3.2 Scale中共振截面处理模块及多群截面库生成过程
临界计算程序首先利用BONAMI基于Bondarenko数据来处理核素，BONAMI输出的主要数据库作为NITAWL的输入数据，在NITAWL程序内，共振数据将通过Nordheim 积分处理或CENTRM执行一维连续能量计算然后通过PMC合并成多群截面，即所谓的并群，最终形成AMPX工作格式数据库，被KENO使用，其中PMC为碰撞概率法的确定论程序。注意：CENTRM是必须使用的模块，用来处理ENDF/B-Ⅵ截面库。图4为多群截面获取过程，通过该流程图就能很清楚地知道多群截面的处理过程以及使用到的模块及各模块的功能。
图4产生具体问题多群截面流程
Scale5.1主要依赖点精度输运计算（PW）来进行共振自屏计算，与此方法相对应，Scale5.1版本对CENTRM/PMC进行了一些重要的改进，包括物理近似的改进、数值程序、更精确地处理不均匀的（nonuniform）栅元和双重不均匀燃料栅元，还有一种新的双区（two-region）近似，允许许多常规类型问题更快地进行自屏计算【M. L. Williams, S. Goluoglu, and L. M. Petrie Recent Enhancements to the SCALE 5 Re sonance Self-Shiel ding Methodology. Oak Ridge National Laboratory】。
3.3 Scale程序共振处理方法的发展史
对于现在的5.1版本来讲，和以前的scale5.0、scale4相比有很多改进。
在scale5发布之前的所有版本中，均采用同样的两个计算模块来进行共振自屏计算。BONAMI【N. M. GREENE, “ BONAMI: Resonance Self-Shielding by the Bondaren ko Metho d,” NUREG/CR-0200, Rev. 7, Vol. 2, Sec. F1, U.S. Nuclear Regulatory Commission (May 2004).】：基于Bondarenko’s自屏因子法，对不可分辨区进行自屏修正。NITAWL【N. M. GREENE, “ NITA W L-II: Scale Sy stem Module for Perform ing Resonance Self-Shielding and W orking Library
Production,” NUREG/CR- 020 0, Rev. 7, Vol. 2, Sec. F1, U.S. Nuclear Regulator y Co mmission (May 2004).】对可分辨区进行诺德海姆（Nordheim）处理。这两个程序再过去的20年里几乎没有做过任何改变。尽管这种历史性的方法在scale5中依然保留，但是新的一种处理可分辨区共振屏蔽能力的程序已经被包含在内：CENTRM【M .L. WILL IAMS , M . ASGAR I , D. F. HOLLENBA CH, “CENTR M: A One-Dimens ion Neuron Transport Code for Computi ng Pointwise Energy Spectra,” NUR EG/ CR- 0200, Rev. 7, Vol. 2, Sec. F18, U.S. Nuclear Regula t ory Co mmi ssio n (May 2004).】和PMC【M. L. WILL IAMS , D. F. HOL LENB ACH, “P MC: A Progra m to Pro duce Multigrou p Cross Sections Using Pointwise Energy Spectra,” N UREG/CR-0200, Rev. 7, Vol. 2, Sec. F19, U.S. Nuclear Regulat ory Comm i s sion (May 2004).】。
3.4双重不均匀处理现状
最初目的为了满足高温气冷堆以及含Triso粒子的棱柱堆的计算需求，双重不均匀共振截面处理模型得到了重视。在scale5.1中，对应于双重不均匀处理模型提供了DoubleHet选项，该选项根据用户设定的Triso尺寸，包层厚度以及Trisopacking因子通过连续能量截面进行确定论输运计算，从而进行截面修正，再利用生成的截面，进行燃料球与燃料球之间的共振截面处理，最终得到修正后用于KENO5或KENO6的输运计算。
3.4.1双重不均匀具体设置
使用时对于trisopacking因子的描述有三种选项，第一个是属于triso粒子数目，第二个是属于体积百分比，第三个是输入Triso的间距或者半间距。三种设置对计算结果有一定的影响，需要用户自己去和标准程序验证，如MCNP。根据UCB单球计算结果来看，输入Triso粒子数目更接近MCNP的结果，否则结果会差几百PCM。Scale5.1版本中的临界计算可以使用DoubleHet 选项。
图左为不适用DoubleHet，右边为使用了DoubleHet的结果。其中mcnp计算结果是keff=1.418.
6 Scale功能改进及现状
6.1 SCALE6.0 的新模块及功能
6.1.1连续点截面模式
SCALE5.1为多群截面模式处理输运，SCALE6中添加了点截面模式输运计算的能力，适用于KENO-5及KENO-6，温度点分别为293, 600, 900,
1200,2400 K.相应的热散射库也添加在了相应温度点的ENDF/B评价文件中。在SCALE6版本中，温度点较少，且目前KENO模块不具有截面插值的能力，因此目前对特定的温度点可能具有一定的局限性。图5为Pu240的（n，γ）多群截面及连续截面示例。
Scale6中添加了一个新的模块CRAWDAD，是将更庞大的截面数据进行整合和筛选，保留用户所需要的材料的截面库，从而对数据的读取等操作更高效，更节省内存空间。CRAWDAD同时还会对用户需要的温度点截面进行插值，
图 5 Pu240的连续及多群（n，γ）截面
6.1.2三维屏蔽计算模块MAVRIC的添加
MAVRIC为屏蔽和临界事故警报系统分析工具，属于三维混合输运程序(Monte Carlo/deterministic)，能够自动进行粗网格划分，图6为MAVRIC 的一个算例.具体方法、功能、例子讲解可以参考文献[John C. Wagner .Monaco / MAVRIC Shielding in SCALE.2008].
软件的目的是，即使对一些深穿透的问题也能以较低的不确定度和合理的时间来计算通量和剂量率。根据重要性的计算进行自动减方差功能的Monaco 程序。用来执行相对标准的无偏的蒙卡方法具有挑战性的问题。基于CADIS （一致伴随驱动重要性抽样[2,3,4]）方法，使用推出的重要性图和偏倚源进行同时工作。MAVRIC使用CSAS/ICE来产生输入材料的截面库。MAVRIC会进行自动粗网格划分，使用Denovo确定和位置能量有关的伴随通量进行三维离散纵标计算。伴随通量的信息然后被MAVRIC使用，来建立和空间能量有关的重要性图（例如权重窗）用来中子输运过程的偏倚和基于网格偏倚源分布。MAVRIC将重要性图以及偏倚源分布传递给Monaco（三维，固定源多群屏蔽程序）。另外，除了材料输入，用户可以通过SGGP提供几何描描述。位置，能量以及方向有关的源的描述；计数统计描述（指定区域的通量统计，在任意点的点探测器，或者任何网格内的）；响应函数（能量的函数）；用于网格的平面；作为Denovo伴随源的统计；输出文件包含详细的区域和点探测器通量（以及相应的响应），以及mesh统计的文件。
蒙卡输运对于深穿透问题如果想要的得到可接受的统计不确定度水平，需要很长的运行时间。离散纵标法可以很快，但是对于详细的几何描述受限。如果一个近似问题或者一些额外的信息是已知的，那么蒙卡方法可以通过偏倚实现同样误差下较短的时间。
源偏倚和重要性图是减方差最基本的方法，为了充分发挥重要性图的作用，重要性图必须和源偏倚一致，如果源偏倚和权重窗不一致，源粒子就会接受轮盘赌或者立即分裂，这样就会浪费时间，偏倚意图就会失效。CADIS方法的作用就在于此。
图6一临界事故报警系统实验及整个设施网格剂量统计
6.1.3新的三维JAVA用户界面
在TSUNAMI-3D分析和临界报警系统分析中，更灵活的网格间隔定义，更好的网格体积计算，网格跟踪和输出文件编辑，网格裂变源数据可以使用KENO产生多群和连续能量两种格式，裂变分布可以使用MeshView工具，如图7所示，为某堆型沿轴向横截面裂变源分布情况.对数据的编辑和显示很方便，还可以显示二维数据曲线，如图8所示，为二维绘图界面选项。
图7裂变源分布
图8二维图形显示选项6.1.4 Triton/NEWT模块的改进
双重不均匀栅元的处理（球床堆、棱柱堆）
燃耗计算的自动并群功能
燃耗材料数目及燃耗步数的限制的拓展
通过通量及带功率燃耗及零功率燃耗的的相关性改进的燃耗处理
完全支持固定源计算
改进了临界计算的精度（支持临界曲率）
新的快堆燃耗计算ORIGEN-s数据库
Triton实现了跟踪微量元素燃耗的计算
提供XSDRNPM一维燃耗能力；另外，TRITON提供组件平均少群截面的计算，为堆芯模拟使用。改进了共振自屏处理，对不均匀的栅元，可以使用MCDANCOFF程序产生用于三维几何的Dancoff因子。
6.1.5 可视化界面（GeeWiz）的拓展
添加了包括新程序MAVRIC相关的参数设置截面，采用了更高交互性的可视化工具，更容易编写，修改，定义各种计算相关参数。
6.1.6 TSUNAMI-3D的改进
可用于KENO-6（scale5.1版本只适用于KENO-5）。
6.1.7 HTML格式输出拓展
可用于HTML格式输出KENO-6的结果，scale5.1版本只适用于KENO-5。
文献综述 信息与计算科学 蒙特卡罗方法的应用 在解决实际问题的时候, 为了模拟某一过程, 产生各种概率分布的随机变量和对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题, 我们应该怎么办? 蒙特·卡罗是一种十分有效的求出数值解的方法. 蒙特卡罗法（ monte-carlo method ）简称M -C 法 通过构造概率模型并对它进行随机试验来解算数学问题的方法. 以计算函数的定积分()()1 0I f x d x =?, ()01f x ≤≤为例, 首先构造一个概率模型: 取一个边长分别为和-的矩形, 并在矩形内随机投点M , 假设随机点均匀地落在整个矩形之内, 当点的掷点数N 充分大时, 则落在图中阴影区内的随机点数与投点总数N 之比M N 就近似等于积分值I . 蒙特卡罗法历史悠久. 1773年法国G.-L.L.von 布丰曾通过随机投针试验来确定圆周率π的近似值, 这就是应用这个方法的最早例子. 蒙特卡罗是摩纳哥著名赌城, 1945年 J.von 诺伊曼等人用它来命名此法, 沿用至今. 数字计算机的发展为大规模的随机试验提供了有效工具, 遂使蒙特卡罗法得到广泛应用. 在连续系统和离散事件系统的仿真中, 通常构造一个和系统特性相近似的概率模型, 并对它进行随机试验, 因此蒙特卡罗法也是系统仿真方法之一. 蒙特卡罗法的步骤是: 构造实际问题的概率模型; ②根据概率模型的特点, 设计和使用降低方差的各类方法, 加速试验的收敛; ③给出概率模型中各种不同分布随机变量的抽样方法; ④统计试验结果, 给出问题的解和精度估计. 概率模型用概率统计的方法对实际问题或系统作出的一种数学描述. 例如对离散事件系统中临时实体的到达时间、永久实体的服务时间的描述（见离散事件系统仿真方法）就是采用概率模型. 虽然由这些模型所确定的到达时间、服务时间可能与具体某一段时间内实际到达时间、服务时间有出入, 但它是通过多次统计获得的结果, 所以从概率分布的规律来说还是相符的. 概率模型不仅可用来描述本身就具有随机特性的问题或系统, 也可用来描述一个确定型问题. 例如参数寻优中的随机搜索法（见动力学系统参数寻优）就是将参数最优化问题构造为一个概率模型, 然后用随机投点、统计分析的方法来进行搜索.
浅析蒙特卡洛方法原理及应用 于希明 （英才学院1236103班测控技术与仪器专业6120110304） 摘要：本文概述了蒙特卡洛方法产生的历史及基本原理，介绍了蒙特卡洛方法的最初应用——蒲丰投针问题求圆周率，并介绍了蒙特卡洛方法在数学及生活中的一些简单应用，最后总结了蒙特卡洛方法的特点。 关键词：蒙特卡洛方法蒲丰投针生活应用 蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。它是以概率统计理论为基础, 依据大数定律( 样本均值代替总体均值) , 利用电子计算机数字模拟技术, 解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。 一、蒙特卡洛方法的产生及原理 蒙特卡洛方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡洛方法就已经存在。1777年，法国数学家蒲丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡洛方法的起源。 其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡洛法正是基于此思路进行分析的。 设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。 二、蒲丰投针问题 作为蒙特卡洛方法的最初应用, 是解决蒲丰投针问题。1777 年, 法国数学家蒲丰提出利用投针实验求解圆周率的问题。设平面上等距离( 如为2a) 画有一些平行线, 将一根长度为2l( l< a) 的针任意投掷到平面上, 针与任一平行线相交的频率为p 。针的位置可以用针的中心坐标x 和针与平行线的夹角θ来决定。任意方向投针, 便意味着x与θ可以任意取一值, 只是0≤x ≤a, 0≤θ≤π。那么, 投针与任意平行线相交的条件为x ≤ l sinθ。相交频率p 便可用下式求
一、蒙特卡洛算法 1、含义的理解 以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。也称统计模拟方法，是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法，它是将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。 2、算法实例 在数值积分法中，利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi 。单位圆的1/4面积是一个扇形，它是边长为1单位正方形的一部分。只要能求出扇形面积S1在正方形面积S 中占的比例K=S1/S 就立即能得到S1，从而得到Pi 的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K 呢？一个办法是在正方形中随机投入很多点，使所投的点落在正方形中每一个位置的机会相等看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点数m 与所投点的总数n 的比m/n 作为k 的近似值。P 落在扇形内的充要条件是 221x y +≤ 。 已知：K= 1s s ，K ≈m n ，s=1，s1=4P i ，求Pi 。 由1 s m s n ≈，知s1≈*m s n =m n ， 而s1=4P i ，则Pi=*4m n 程序： /* 利用蒙特卡洛算法近似求圆周率Pi*/ /*程序使用：VC++6.0 */ #include x=rand()*1.0/RAND_MAX;/*RAND_MAX=32767，包含在 蒙特卡罗方法（MC） 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法： 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。 传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。这也是我们采用该方法的原因。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下： 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并 用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗解题三个主要步骤： 构造或描述概率过程： 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 实现从已知概率分布抽样： 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 建立各种估计量： 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。 例如：检验产品的正品率问题，我们可以用1表示正品，0表示次品，于是对每个产品检验可以定义如下的随机变数Ti，作为正品率的估计量： 于是，在N次实验后，正品个数为： 第三章蒙特卡罗方法简介 3.1 Monte Carlo方法简介 Monte Carlo方法是诺斯阿拉莫斯实验室在总结其二战期间工作（曼哈顿计划）的基础上提出来的。Monte Carlo的发明，主要归功于Enrico Fermi、Von Neumann和Stanislaw Ulam等。自二战以来，Monte Carlo方法由于其在解决粒子输运问题上特有的优势而得到了迅速发展，并在核物理、辐射物理、数学、电子学等方面得到了广泛的应用。Monte Carlo的基本思想就是基于随机数选择的统计抽样，这和赌博中掷色子很类似，故取名Monte Carlo。 Monte Carlo方法非常适于解决复杂的三维问题，对于不能用确定性方法解决的问题尤其有用，可以用来模拟核子与物质的相互作用。在粒子输运中，Monte Carlo技术就是跟踪来自源的每个粒子，从粒子产生开始，直到其消亡（吸收或逃逸等）。在跟踪过程中，利用有关传输数据经随机抽样来决定粒子每一步的结果[6]。 3.2 Monte Carlo发展历程 MCNP程序全名为Monte Carlo Neutron and Photon Transport Code (蒙特卡罗中子-光子输运程序)。Monte Carlo模拟程序是在1940年美国实施“发展核武器计划”时，由洛斯阿拉莫斯实验室（LANL）提出的，为其所投入的研究、发展、程序编写及参数制作超过了500人年。1950年Monte Carlo方法的机器语言出现, 1963年通用性的Monte Carlo方法语言推出，在此基础上，20世纪70年代中期由中子程序和光子程序合并,形成了最初的MCNP程序。自那时起，每2—3年MCNP更新一次, 版本不断发展，功能不断增加，适应面也越来越广。已知的MCNP程序研制版本的更新时间表如下：MCNP-3：1983年写成，为标准的FORTRAN-77版本，截面采用ENDF /B2III。 MCNP-3A：1986年写成，加进了多种标准源，截面采用ENDF /B2I V[20]。 1、蒙特卡罗定位 足球机器人中自定位方法是由Fox提出的蒙特卡罗定位。这是一种概率方法，把足球机器人当前位置看成许多粒子的密度模型。每个粒子可以看成机器人在此位置定位的假设。在多数应用中，蒙特卡罗定位用在带有距离传感器的机器人设备上，如激光扫描声纳传感器。只有一些方法，视觉用于自定位。在足球机器人自定位有些不同，因为机器人占的面积相对比较小，但是机器人所在位置的面积必须相当准确的确定，以便允许同组不同机器人交流有关场地物体信息和遵守比赛规则。这种定位方法分为如下步骤，首先所有粒子按照一起那机器人的活动的运动模型移动。概率pi取决于在感知模型的基础上所有粒子在当前传感器上的读数。基于这些概率，就提出了所谓的重采样，将更多粒子移向很高概率的采样位置。概率平均分布的确定用来表示当前机器人的位置的最优估计。最后返回开始。 2、蒙塔卡罗 基本思想 当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。 工作过程 蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤： （1）构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 2）实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 （3）建立各种估计量 蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤： （1）构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 （2）实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 （3）建立各种估计量 图1-1 蒙特卡罗方法学习总结 核工程与核技术2014级3班张振华20144530317 一、蒙特卡罗方法概述 1.1蒙特卡罗方法的基本思想 1.1.1基本思想 蒙特卡罗方的基本思想就是，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 1.1.2计算机模拟打靶游戏 为了能更为深刻地理解蒙特卡罗方法的基本思想，我们学习了蒲丰氏问题和打靶游戏两大经典例子。下面主要对打靶游戏进行剖析、计算机模拟（MATLAB 程序）。 设某射击运动员的弹着点分布如表1-1 所示， 首先用一维数轴刻画出已知该运动员的弹 着点的分布如图1-1所示。研究打靶游戏，我 们不用考察子弹的运动轨迹，只需研究每次“扣动扳机”后的子弹弹着点。每一环数对应唯一确定的概率，且注意到概率分布函数有单调不减和归一化的性质。首先我们产生一个在(0,1)上均匀分布的随机数（模拟扣动扳机），然后将该随机数代表的点投到P 轴上（模拟子弹射向靶上的一个确定点），得到对应的环数（即子弹的弹着点），模拟打靶完成。反复进行N 次试验，统计出试验结果的样本均值。样本均值应当等于数学期望值，但允许存在一定的偏差，即理论计算值应该约等于模拟试验结果。 clear all;clc; N=100000;s=0; for n=1:N %step 4.重复N 次打靶游戏试验 x=rand(); %step 1.产生在(0,1)上均匀分布的随机数if(x<=0.1) %step 2.若随机数落在(0.0,0.1)上，则代表弹着点在7环g=7; s=s+g; %step 3.统计总环数elseif(x<=0.2) %step 2.若随机数落在(0.1,0.2)上，则代表弹着点在8环g=8;s=s+g; elseif(x<=0.5) %step 2.若随机数落在(0.2,0.5)上，则代表弹着点在9环g=9;s=s+g; else %step 2.若随机数落在(0.5,1.0)上，则代表弹着点在10环 g=10;s=s+g; end end gn_th=7*0.1+8*0.1+9*0.3+10*0.5; %step 5.计算、输出理论值fprintf('理论值：%f\n',gn_th); gn=s/N; %step 6.计算、输出试验结果 fprintf('试验结果：%f\n',gn);1.2蒙特卡罗方法的收敛性与误差 1.2.1收敛性 由大数定律可知，应用蒙特卡罗方法求近似解，当随机变量Z 的简单子样数N 趋向于无穷大（N 充分大）时，其均值依概率收敛于它的数学期望。 1.2.2误差 由中心极限定理可知，近似值与真值的误差为N Z E Z N αλ<-)(?。式中的αλ的值可以根据给出的置信水平，查阅标准正态分布表来确定。 1.2.3收敛性与误差的关系 在一般情况下，求具有有限r 阶原点矩()∞ 蒙特卡罗方法及应用 实验讲义 东华理工大学核工系 2016.8 实验一 蒙特卡罗方法基本思想 一、实验目的 1、了解蒙特卡罗方法方法的基本思想； 2、掌握蒙特卡罗方法计算面积、体积的方法； 3、掌握由已知分布的随机抽样方法。 二、实验原理 Monte Carlo 方法，又称统计模拟方法或计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”进行数值模拟的方法，一种采用统计抽样理论近似求解物理或数学问题的方法。 如待求量可以表述成某些特征量的期望值、某些事件出现的概率或两者的函数形式，那么可采用蒙特卡罗方法求解。在求解某些特征量的期望值或某些事件出现的概率时，必须构建合符实际的数学模型。例如采用蒙特卡罗方法计算某函数所围面积时，构建的数学模型是构造一已知面积的可均匀抽样区域，在该区域投点，由伯努利定理大数定理可知，进入待求区域投点的频率依概率1收敛于该事件出现的概率（面积之比）。 由已知分布的随机抽样方法指的是由已知分布的总体中抽取简单子样。具体方法很多，详见教材第三章。 三、实验内容 1、安装所需计算工具（MATLAB 、fortran 、C++等）； 2、学习使用rand(m,n)、unifrnd(a,b,m,n)函数 3、求解下列问题： 3.0、蒲丰氏投针求圆周率。 3.1、给定曲线y =2 – x 2 和曲线y 3 = x 2，曲线的交点为：P 1( – 1，1 )、P 2( 1，1 )。曲线围成平面有限区域，用蒙特卡罗方法计算区域面积； 3.2 、计算1z z ?≥??≤??所围体积 其中{(,,)|11,11,02}x y z x y z Ω=-≤≤-≤≤≤≤。 4、对以下已知分布进行随机抽样： 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称为计算机随机模拟方法，是一种基于"随机数"的计算方法。 一起源 这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的"曼哈顿计划"。Monte Carlo方法创始人主要是这四位：Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann（学计算机的肯定都认识这个牛人吧）和Nicholas Metropolis。 Stanislaw Marcin Ulam是波兰裔美籍数学家，早年是研究拓扑的，后因参与曼哈顿工程，兴趣遂转向应用数学，他首先提出用Monte Carlo方法解决计算数学中的一些问题，然后又将其应用到解决链式反应的理论中去，可以说是MC方法的奠基人；Enrico Fermi是个物理大牛，理论和实验同时都是大牛，这在物理界很少见，在“物理大牛的八卦”那篇文章里提到这个人很多次，对于这么牛的人只能是英年早逝了（别说我嘴损啊，上帝都嫉妒！）；John von Neumann可以说是计算机界的牛顿吧，太牛了，结果和Fermi一样，被上帝嫉妒了；Nicholas Metropolis，希腊裔美籍数学家，物理学家，计算机科学家，这个人对Monte Carlo方法做的贡献相当大，正式由于他提出的一种什么算法（名字忘了），才使得Monte Carlo方法能够得到如此广泛的应用，这人现在还活着，与前几位牛人不同，Metropolis很专一，他一生主要的贡献就是Monte Carlo方法。 蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特?罗方法正是以概率为基础的方法。与它对应的是确定性算法。 二解决问题的基本思路 Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的"频率"来决定事件的"概率"。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特 蒙特卡罗方法及其在中子输运问题中得应用 目录 蒙特卡罗方法及其在中子输运问题中得应用 (1) 1蒙特卡罗方法简介 (3) 1.1蒙特卡罗方法的基本原理 (3) 1.2 蒙特卡罗方法的误差 (4) 2 随机变量的抽样方法 (4) 2.1 直接抽样方法 (5) 2.1.1 离散型随机变量的抽样 (5) 2.1.2 连续型随机变量的抽样 (5) 2.2 挑选抽样法 (5) 2.3 复合抽样法 (6) 3 蒙特卡罗方法模拟中子输运过程 (6) 3.1 源抽样 (6) 3.2 输运距离的抽样 (7) 3.3 碰撞核素的抽样值 (7) 3.4 反应类型的抽样值 (7) 3.5 反应后中子状态的确定 (7) 3.5.1 弹性散射 (7) 3.5.2 非弹性散射 (8) 3.5.3 裂变反应 (8) 4 蒙特卡罗方法的减方差技巧 (8) 4.1 权 (8) 4.2 统计估计法 (9) 4.3 权窗 (10) 5 蒙特卡罗方法求解通量 (10) 5.1 通量的定义 (10) 5.2 点通量的计算 (11) 5.3 面通量的计算 (11) 5.3.1 统计估计法 (11) 5.3.2 加权法 (12) 5.4 体通量的计算 (12) 5.4.1 统计估计法 (12) 5.4.2 径迹长度法 (13) 5.4.3 碰撞密度法 (13) 5.4.4 几种体通量计算方法的比较 (14) 5.5 最终结果的统计 (14) 6 蒙特卡罗方法求解k eff (15) 6.1 有效增值因子k eff的定义 (15) 6.2 蒙特卡罗方法求解k eff (15) 6.2.1 吸收估计法 (15) 6.2.2 碰撞估计法 (15) 6.2.3 径迹长度估计法 (16) 蒙特卡洛方法及其应用 1风险评估及蒙特卡洛方法概述 １.１蒙特卡洛方法。 蒙特卡洛方法，又称随机模拟方法或统计模拟方法，是在20世纪40年代随着电子计算机的发明而提出的。它是以统计抽样理论为基础，利用随机数，经过对随机变量已有数据的统计进行抽样实验或随机模拟，以求得统计量的某个数字特征并将其作为待解决问题的数值解。 蒙特卡洛模拟方法的基本原理是：假定随机变量X1、X2、X3……X n、Y，其中X1、X2、X3……X n 的概率分布已知，且X1、X2、X3……X n、Y有函数关系：Y=F（X1、X2、X3……X n），希望求得随机变量Y的近似分布情况及数字特征。通过抽取符合其概率分布的随机数列X1、X2、X3……X n带入其函数关系式计算获得Y的值。当模拟的次数足够多的时候，我们就可以得到与实际情况相近的函数Y的概率分布和数字特征。 蒙特卡洛法的特点是预测结果给出了预测值的最大值,最小值和最可能值，给出了预测值的区间范围及分布规律。 １.２风险评估概述。 风险表现为损损益的不确定性，说明风险产生的结果可能带来损失、获利或是无损失也无获利，属于广义风险。正是因为未来的不确定性使得每一个项目都存在风险。对于一个公司而言，各种投资项目通常会具有不同程度的风险，这些风险对于一个公司的影响不可小视，小到一个项目投资资本的按时回收，大到公司的总风险、公司正常运营。因此，对于风险的测量以及控制是非常重要的一个环节。 风险评估就是量化测评某一事件或事物带来的影响的可能程度。根据“经济人”假设，收益最大化是投资者的主要追求目标，面对不可避免的风险时，降低风险，防止或减少损失，以实现预期最佳是投资的目标。 当评价风险大小时，常有两种评价方式：定性分析与定量分析法。定性分析一般是根据风险度或风险大小等指标对风险因素进行优先级排序，为进一步分析或处理风险提供参考。这种方法适用于对比不同项目的风险程度，但这种方法最大的缺陷是在于，在多个项目中风险最小者也有可能亏损。而定量分析法则是将一些风险指标量化得到一系列的量化指标。通过这些简单易懂的指标，才能使公司的经营者、投资者对于项目分风险有正确的评估与判断， 蒙特卡洛模拟法简介 蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。 这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。 蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。 蒙特卡洛模拟法的应用领域 蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有： 1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统，得到某些参数或重要指标。 2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分，维数越高，积分效率越高。 3.MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广，该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。 蒙特卡洛模拟法的概念 （也叫随机模拟法）当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用则可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值。随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。由于需要大量反复的计算，一般均用计算机来完成。 蒙特卡洛模拟法求解步骤 应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。解题步骤如下： 1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致 2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。 3. 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。 4.按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。 5. 统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。 在可靠性分析和设计中，用蒙特卡洛模拟法可以确定复杂随机变量的概率分布和数字特征，可以通过随机模拟估算系统和零件的可靠度，也可以模拟随机过程、寻求系统最优参数等。 蒙特卡洛模拟法的实例 资产组合模拟： 假设有五种资产，其日收益率(%)分别为 0.02460.0189 0.0273 0.0141 0.0311 标准差分别为 0.95091.4259, 1.5227, 1.1062, 1.0877 相关系数矩阵为 1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855 0.4403 1.00000.7597 0.7809 0.4343 0.4735 0.75971.0000 0.6978 0.4926 0.4334 0.78090.6978 1.0000 0.4289 0.6855 0.43430.4926 0.4289 1.0000 假设初始价格都为100，模拟天数为504天，模拟线程为2，程序如下%run.m 蒙特卡罗 模拟风险因素，评估项目风险 什么是蒙特卡罗 蒙特卡罗（Monte Carlo）得名于摩洛哥的一个着名赌城，它实质上是利用服从某种分布的随机变量来模拟现实系统中可能出现的随机现象。在项目管理中，可以用来模拟计算不确定性很强的项目收益、进度和成本，以及评估不确定因素对项目结果的影响。 蒙特卡罗的作用 计算在众多不确定性因素影响下，项目可能的收益、进度和成本； 分析在众多不确定性因素影响下，达到项目目标的概率； 分析各种不确定性因素对项目的影响程度； 找出关键性的影响因素。 怎么做 1.确定要分析的不确定因素 例：三项项目活动的时间估计T1，T2，T3。 T1 ①T2② T3 2.确定目标函数 例：项目活动总时间＝Max(T1,T2,T) 3．找出不确定因素的概率分布 例：三项项目活动的时间T1，T2，T符合β分布。 项目管理中常用的概率分布： 4.利用随机数表或计算机在其概率区间内产生随机数 例：设项目活动的最短时间为8天，最长为12天，在8-12的区间内随机产生三个变量，分别模拟三项项目活动的时间。 5.进行大量次数的模拟实验 例：产生随量的过程重复300次（或以上）。 6.计算目标函数值 7.对实验结果进行统计 例：分别统计项目总时间分别落在“项目开始－第8天”、“第9天－第10天”、“第11天－第2天”的频率。 8.对影响项目结果的因素做出敏感性分析 例：分别计算T1，T2，T3落在关键路径上的次数，从而算出三条路径对项目总时间的影响程度。适用范围： 1.蒙特卡罗的特点是模拟次数越多，计算结果的可靠性越大。特别适用于在计算机上对大型项 目、新产品项目和其他含有大量不确定因素的复杂决策系统进行风险模拟分析； 2.蒙特卡罗模拟法不可能使计算结果发生实质性变化，但是可以给算结果的概率分布，便于预 测达到预期目标的可能性。 例：用蒙特卡罗做敏感性分析的流程图： 《中子输运理论与数值方法》课程作业 ——蒙特卡洛方法 目录 1. 前言 (3) 2. 蒙特卡洛方法概述 (3) 2.1 蒙特卡洛方法的基本思想 (4) 2.2 蒙特卡洛方法的收敛性、误差 (4) 2.2.1 蒙特卡洛方法的收敛性 (4) 2.2.2 蒙特卡洛方法的误差 (5) 2.3 蒙特卡洛方法的特点 (6) 2.4 蒙特卡洛方法的主要应用范围 (7) 3. 随机数 (7) 3.1 线性乘同余方法 (9) 3.2 伪随机数序列的均匀性和独立性 (9) 3.2.1 伪随机数的均匀性 (9) 3.2.2 伪随机数的独立性 (10) 4. 蒙特卡洛方法在粒子输运上的应用 (10) 4.1 屏蔽问题模型 (10) 4.2 直接模拟方法 (11) 4.2.1 状态参数与状态序列 (11) 4.2.2 模拟运动过程 (12) 4.2.3 记录结果 (15) 4.3 蒙特卡洛方法的效率 (16) 5. 蒙特卡洛方法应用程序—MCNP (17) 5.1 MCNP简述 (17) 5.2 MCNP误差的估计 (18) 5.3 MCNP效率因素 (19) 6. 结论 (19) 参考文献 (20) 1.前言 半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡洛(Monte Carlo)方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡洛方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡洛方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。蒙特卡洛模拟计算是解决中子在介质中输运较为成熟、有效的方法，对于原子能、辐射防护、剂量学和辐射生物物理学等研究领域实际问题的计算，都可以利用蒙特卡洛方法予以实现。 粒子输运过程可以用玻耳兹曼方程加以描述，然而，以此基础上发展起来的近似数值方法如扩散近似法、离散坐标方法在处理截面与能量相关以及散射各向异性介质、复杂几何条件问题时碰到了较大困难。而蒙特卡洛方法在处理这类问题时得心应手，有很强的解题能力，并且近似较少，接近于真实情况。 粒子辐射问题计算通常有输运方程法、蒙特卡洛法(MC法)、实验测量法以及经验法等几种方法。蒙特卡洛计算法又称随机抽样法或统计试验法，是基于计算机模拟的思想，抓住物理过程的数量和几何特征，进行数字模拟试验，该方法是求解辐射输运问题的一种相当成熟和有效的方法，而且它对于各种复杂问题，具有良好的通用性，实用性相当广泛，几乎涉及核科学的各个领域。本文主要介绍蒙特卡洛的概念、原理和应用及研究现状。 2. 蒙特卡洛方法概述 蒙特卡洛方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡洛方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡洛方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。 蒙特卡洛方法的主要组成部分有： 第一章：Monte Carlo方法概述 讲课人：Xaero Chang | 课程主页: https://www.doczj.com/doc/7913148853.html,/notes/intro2mc 本章主要概述Monte Carlo的一些基础知识，另外包括一个最简单的用Monte Carlo方法计算数值积分的例子。 一、Monte Carlo历史渊源 Monte Carlo方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似性。它和Simulation有细微区别。单独的Simulation只是模拟一些随机的运动，其结果是不确定的；Monte Carlo 在计算的中间过程中出现的数是随机的，但是它要解决的问题的结果却是确定的。 历史上有记载的Monte Carlo试验始于十八世纪末期（约1777年），当时布丰（Buffon）为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”。（后文会给出一个更加简单的计算圆周率的例子）。虽然方法已经存在了200多年，此方法命名为Monte Carlo则是在二十世纪四十年，美国原子弹计划的一个子项目需要使用Monte Carlo方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。出于保密缘故，每个项目都要一个代号，传闻命名代号时，项目负责人之一von Neumann灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称，自此这种方法也就被命名为Monte Carlo方法广为流传。 十一、Monte Carlo方法适用用途 （一）数值积分 计算一个定积分，如，如果我们能够得到f(x)的原函数F(x)，那么直接由表达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。但是，很多情况下，由于f(x)太复杂，我们无法计算得到原函数F(x)的显示解，这时我们就只能用数值积分的办法。如下是一个简单的数值积分的例子。 数值积分简单示例 如图，数值积分的基本原理是在自变量x的区间上取多个离散的点，用单个点的值来代替该小段上函数f(x)值。 常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的柱子（粉红色方块）的面积全部加起来，用这个面积来近似函数f(x)（蓝色曲线）与x轴围成的面积。这样做 第7章附录 7.2.1 均匀分布随机数 例题7.2.1计算程序 ! rand1.for program rand1 implicit none real r integer n,c,x,i open(5,file='rand1.txt') n = 32768 c = 889 x = 13 do i = 1,1000 x = c*x-n*int(c*x/n) r = real(x)/(n-1) write(5,'(f8.5)') r end do end !!!!!!rand2.for!!!!! program rand2 implicit none integer, parameter :: n=1000 integer ix,i real r open(5,file='rand2.txt') ix=32765 do i=1,n call rand(ix,r) write(5,'(f8.6)') r end do end program rand2 subroutine rand(ix,r) i=ix*259 ix=i-i/32768*32768 r=float(ix)/32768 return end 7.2.3 随机抽样 例题7.2.2计算程序 % 例题7_2_2.m figure(1); set(gca,'FontSize',16); t = rand(1000,1); y = -log(t); z = exp(-y); plot(y,z,'.'); xlabel('图7.2-2 例题7.2.2-指数分布抽样') ==================================================== 例题7.2.5计算程序 ! 例题7.2.5 program scores parameter(nmax=10,mmax=13) real(8) x(nmax),y(nmax),l(0:nmax),z(mmax),ys(mmax),r integer i,j,k data x/5.0,15.0,25.0,35.0,45.0,55.0,65.0,75.0,85.0,95.0/ data y/0,0,0,0,0.08,0.19,0.31,0.27,0.11,0.04/ open(2,file='scores_old.txt') open(5,file='scores_new.txt') ! mmax个抽样学生成绩 open(7,file='scores_sample.txt') write(2,'(2f15.5)') (x(i),y(i),i=1,nmax) ix=32765 l(0)=0 do i=1,nmax l(i)=l(i-1)+y(i) end do do j=1,mmax call rand(ix,r) do k=1,nmax if(r.le.l(k)) goto 11 end do 11 z(j)=x(k) end do write(5,*) (z(i),i=1,mmax) ys=0 do i=1,mmax k=z(i)/float(nmax) ! 确定抽样学生所在的分数段 计算机处理之蒙特卡罗方 法及其应用 【标题】蒙特卡罗方法及其应用 【摘要】 蒙特卡罗方法是一种随即抽样方法，建立一个与求解有关的概率模型或随即现象来求得所要研究的问题的解。这种利用计算机进行模拟的抽样方法以其精度高，受限少等优点广泛应用于数理计算，工程技术，医药卫生等领域。本文介绍蒙特卡罗方法的简要内容，起源，基本思路及应用优点，并简要介绍了一些蒙塔卡罗方法在相关医学方面的应用，并提出了一些今后发展与应用上的展望。 【关键词】 蒙特卡罗方法基本内容应用 【正文】 一蒙特卡罗方法简介 1 概述 蒙特卡罗(Monte Carlo) 方法, 又称随机抽样法，统计试验法或随机模拟法。是一种用计算机模拟随机现象,通过仿真试验,得到实验数据,再进行分析推断,得到某些现象的规律或某些问题的求解的方法。蒙特卡罗方法的基本思想是,为了求解数学、物理、工程技术或生产管理等方面的问题,首先建立一个与求解有关的概率模型或随机 过程,使它的参数等于所求问题的解,然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征,最后给出所求解的近似值。 概率统计是蒙特卡罗方法的理论基础,其手段是随机抽样或随机变量抽样。对于那些难以进行的或条件不满足的试验而言,是一种极好的替代方法。蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，很少受几何条件限制，收敛速度与问题的维数无关。 例如在许多工程、通讯、金融等技术问题中,所研究的控制过程往往不可避免地伴有随机因素,若要从理论上很好地揭示实际规律,必须把这些因素考虑进去。理想化的方法是在相同条件下进行大量重复试验,采集试验数据,再对数据进行统计分析,得出其规律。但是这样需要耗费大量的人力、物力、财力,尤其当一个试验周期很长,或是一个破坏性的试验时,通过试验采集数据几乎无法进行,此时蒙特卡罗方法就是最简单、经济、实用的方法。因此它广泛应用在粒子输运问题，统计物理，典型数学问题，真空技术，激光技术以及医学，生物，探矿等方面。 蒙特卡罗方法研究的问题大致可分为两种类型,一种是问题本身是随机的;另一种本身属于确定性问题,但可以建立它的解与特定随机变量或随机过程的数字特征或分布函数之间的联系,因而也可用随机模拟方法解决,如计算多重积分,求解积分方程、微分方程、非线性方程组,求矩阵的逆等。蒙特卡罗方法(MC)
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