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数学北师大版九年级上册《公式法解一元二次方程》教学案例

数学北师大版九年级上册《公式法解一元二次方程》教学案例
数学北师大版九年级上册《公式法解一元二次方程》教学案例

《公式法解一元二次方程》教学案例

灵璧县高楼中学黄古孝

一、教材分析

一元二次方程作为中考的重要内容,在整个初中数学阶段都占有重要地位,起着承前启后的作用。一方面对以前学习过的各种知识进行综合地应用,另一方面,一元二次方程又是前面所学知识的继续和发展,它还是以后学习其他方程以及数学知识的基础。运用公式法解一元二次方程,是学生在学习了运用配方法解一元二次方程的基础上进行的,是学习一元二次方程的重点内容之一。

二、学生分析

学生刚刚学过运用配方法解一元二次方程,这为本节课求根公式的推导做好了铺垫。九年级的学生逐渐在各个方面变得成熟,独立思考、主动探索的愿望和能力有了明显提高,并能在探索过程中形成自己的观点,能在倾听别人意见的过程中逐渐趋完善自己的想法。

三、教学设计理念

本着人人学有价值的数学,人人都能获得必要的数学,不同的人在数学上能得到不同发展的教育理念,结合本节课具体教学内容,我决定采用“问题情景建立模型解释应用拓展”的模式展开教学。

四、教学目标

1、知识目标:理解一元二次方程求根公式的推导过程,会用b2-4ac的值判断一元二次方程根的情况,会运用公式法解一元二次方程。

2、能力目标:通过对求根公式的发现和探索过程,提高学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力。

3、情感目标:发展学生独立思考,勇于探索的创新精神,向学生渗透转化思想,使其感受数学的内在美。

五、教学重难点:

重点:运用公式法解一元二次方程

难点:一元二次方程求根公式的推导

六、教学方法:

以练为主启发式探索法

七、教学流程设计:

(一)创设情景问题导入

导入语:同学们上午好,本节课我们继续来进行我们共同探索数学奥妙的愉快之旅。

师:出示问题1:用配方法解下列一元二次方程

(1)x2-2x-8=0 (2)3m2-6m+1=0

注:先让学生独立去解决这两个问题,然后同桌互相帮助定正答案,教师引导学生复习回顾用配方法解一元二次方程的一般步骤。

师:出示问题2:请同学们用配方法解下面这个方程

2x2-4x+10=0

师:此一元二次方程配方以后的形式是什么?

生:(x-1)2=-4

师:你们能够求出这个方程的根吗?

生:不能。

师:从这个方程我们能够受到什么启示?

生1:原来有的一元二次方程是没有根的。

生2:我非常想知道没有实数根的原因。

【设计说明】

1。复习巩固旧知识,为本节课一元二次方程求根公式的推导做铺垫。

2。通过让学生对第二个问题的探讨,使学生认识到原来有的一元二次方程是没有实数根的,学生会很自然的产生为什么有的一元二次方程没有实数根的疑问,教师适时引导学生一元二次方程的根与一元二次方的什么有关系问题,从而激发学生的求知欲望。

(二)公式推导探究本质

师:通过刚才同学们的探索,我们不难发现这样一个问题,如果一个一元二次方程没有实数根,而我们却按照我们所学的用配方法去求它的实数根的时候,会做很多的无用功。那么有没有在解一元二次方程之前,先对它根的情况进行判断,然后

再去解一元二次方程的方法呢?这就是我们本节课所要探讨的问题。

师:板书公式法解一元二次方程

出示问题:(x-3)2=a

师问:若此一元二次方程有根,则a应该具备什么条件?若没有根,则a应该具备什么条件?

生:(学生经过简单思考后会很容易回答这两个问题)当a≥0时,一元二次方程有根,当a<0时,没有实数根。

【设计说明】

为公式的推导再次做好铺垫。

出示问题:请同学们写出一元二次方程的一般形式,教师强调不要漏掉(a≠0)这一条件。

师:请同学们默写出一元二次方程的一般形式。

生:在练习本上写出一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

师:对于含有数字系数的特殊一元二次方程,我们已经能够轻松、愉快地运用配方法去求它们的实数根了。那么对一元二次方程的一般形式,我们能够用配方法去求它的实数根吗?

生:学生尝试去推导一元二次方程的求根公式,教师巡视指导学生的推导过程,同时让一名基础较好的学生,到黑板上板演推导过程:

ax2+bx+c=0(a≠0)

ax2+bx=-c

∵a≠0

∴x2+x=-

配方得:(x+ )2=

生:当学生探索到(x+ )2= 的时。

师问:我们下一步能否直接去进行开平方运算呢?然后让学生思考讨论开方过程,使学生充分认识到b2-4ac重要性。

当b2-4ac≥0时,∴ x=

当b2-4ac<0时,方程无实数根。(学生们展开了激烈的讨论)【设计说明】让学生通过经历知识形成的全过程,从而提高自身的观察能力、分析问题和解决问题的能力,发展了理性思维。(三)应用新知解决问题

例:用公式法解一元二次方程3x2-2x=1

师:教师板演解题过程,规范学生的做题步骤,根据以往的教学经验,学生在算b2-4ac的值时把结果算成-8,从而得出此方程无实数根的错误结论。此处强调提醒学生,做题要细心。此处学生出错的原因大致有两个,一是把c的值看作是1,二是把b2-4ac=(-2)2-4×3×(-1)结果算成-8。

巩固练习1:用公式法解下列一元二次方程

(1)2x2-x-1=0 (2)x2- x+ =0 (3)4x2-3x+2=0生:三名学生板演解题过程。(选三名中游水平的学生)

生1:解答正确生2:解答步骤不够完整生3:老师这个方程没有实数根

师:你怎么知道的?

生3:因为b2-4ac的值是-23小于0

师:你回答很好,你考虑问题全面而谨慎。

【设计说明】此处选择了有代表性的三个一元二次方程。通过让学生去解决这三个问题使学生认识到,原来一元二次方程的根有三种情况。教师适时提问,一元二次方程的根的情况是由谁确定的,再次让学生感受到b2-4ac的重要性。

巩固练习2:用公式法解下列一元二次方程(要求学生独立完成)

(1)x(2x-4)=5-8x (2)3x2-6x-2=0

(3)4x2-6x=0 (4)x2+4x+8=4x+11

师:生解决完后,学习小组在各自组长带领下订正答案。生:很快订正答案。

【设计说明】能够熟练运用公式法解一元二次方程,让每位学生都有所收获,同时培养学生的团结协作意识。

(四)迁移应用拓展能力

师:出示问题

1。读题并解答:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方可将方程变形为:(x+ )2=

∵a≠0 ∴4a2>0完成下列填空:

(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况取决于的值的符号。

生:口答b2-4ac(还没等老师读完,学生已经集体喊出b2-4ac)(2)某同学判断方程:x2+2(k-2)+k2+4=0的根的情况解答如下:

解:b2-4ac=4(k-2)2-4(k2+4)

=-16k

∵-16k<0

∴b2-4ac<0

∴原方程无实数根,若有错,请指出并说明理由。

生1:没错

生2:有错,因为-16k的值不一定小于0,当k≤0时,-16k ≥0,则原方程是有根的。

师:你回答非常好,同学们掌声鼓励。(学生们热烈鼓掌)

【设计说明】对求根公式作进一步深化,使不同层次的学生都有不同提高,进一步巩固本节课所学知识。

2。等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根,则这个等腰三角形的周长是()

A。8 B。10 C。8或10 D。不能确定

生1:选择了答案C

生2:生1答错了,应该选择B

师:你能说一下为什么选择答案B呢。

生:因为由三角形三边关系定理,排除了2,2,4这种情况。

师:你回答非常好,你是一名善于动脑筋的学生。

师:通过解答这个问题同学们有什么收获呢?

生1:解答问题要审清题意。

生2:解决问题的答案要符合我们已经学过的定理、性质、公式、公理、法则,总之要符合实际的题意。

师:你们回答的都非常好,在刚才同学们求一元二次方程x2-6x+8=0的两根的时候,同学们用的什么解法。

生:有的说公式法,也有说配方法。

师:除了我们已经学过的这两种解法外,同学们有没有其他的解法呢?

生:沉默,突然张磊磊站起来说老师我还有一种解法,不知道行不行。

师:你大胆说,说错了没关系。

生:我是把一元二次方程x2-6x+8=0,的左边分解为(x-2)(x-8),然后再分别令(x-2)和(x-8)等于零,求得的根。

师:你很善于思考,老师为有你这样的学生而自豪,有没有比公式法解一元二次方程更简单的方法呢?其实,张磊磊刚才的解法就是我们下节课所要学习的因式分解法解一元二次

方程,这是我们下一节课所要探讨的问题。

【设计说明】再次巩固新知,提高学生能力。此题既考察学生的解题能力又考察了学生的思维的缜密性,同时为下节课的学习做好铺垫。

(五)课堂小结自主评价

师:通过本节课的学习,同学们有哪些收获呢?(学生抢着回答)

生1:我知道了一元二次方程根的情况能用b2-4ac的值去判断。

生2:我学到了求一元二次方程根的一种万能方法公式法。

生3:生2回答不够准确应该在保证a≠0,b2-4ac≥0的情况下求一元二方程根的一种万能方法公式法。

师:你学习知识非常扎实,善于观察问题,同学们应该向你学习。

生4:我知道了原来并不是所有的一元二次方程都有实数根。

……

师:同学们说的都非常好!只要我们用数学的眼光研究问题,就一定会有很多收获。如果我们把有根的一元二次方程比作型号各异的锁的话,那么公式法就是打开这型号各异锁的万能钥匙,请同学们齐声颂读一元二次方程的求根公式。

作业:必做P45第4题,选作:阅读黄金分割数。

【设计说明】分层次布置作业,体现不同的学生在数学上得到不同的发展得教学理念。通过让学生课后自学黄金分割数,向学生渗透数学的内在美,同时也是教学目标在课后的延伸。教学反思:

本节课我以问题导入,激发学生的探知兴趣,在复习旧知的基础上引出对新知识的学习。教学过程中,充分发挥了学生的自主学习的积极性,探索、发现、总结并通过课堂训练予以巩固。学生活动的充分保障了课堂教学的效果。通过本节课的教学,我发现学生能够掌握本节课的学习内容。实现了学生的均衡提高,组织互助与合作。通过小组学习的方式给学生创造一个小范围的展示机会,避免学生因基础差而可能存在的羞于表达的心理因素。

北师大版九年级数学上册知识点总结

北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等,对应角也相等 判定:SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”) 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 (1)勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。 (2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。 (3)直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 5、线段的垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 (1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。

北师大版数学九年级上册知识点归纳

北师大版《数学》(九年级上册)知识点归纳 第一章 证明(二) 一、公理(1)三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。 (2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS ”)。 (3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA ”)。 (4)全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS ”)。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) (2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。 等腰三角形的其他性质: ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。 ③等腰三角形的三边关系:设腰长为a ,底边长为b ,则2 b

最新北师大版九年级数学上册知识点总结

最新北师大版九年级数学上册知识点总结 第一章证明(一) 1、你能证明它吗? (1)三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等,对应角也相等 判定:SSS、SAS、ASA、AAS、 (2)等腰三角形的判定、性质及推论 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)(3)等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴. 判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.或者三个角都相等的三角形是等边三角形. (4)含30度的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2、直角三角形 (1)勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. (2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理. (3)直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 3、线段的垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. (3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 4、角平分线 (1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上. (2)三角形三条角平分线的性质定理 性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. (3)如何用尺规作图法作出角平分线

北师大版小学数学三年级(上册)知识点

北师大版小学数学三年级(上册)知识点一、本册知识点 一级知识点二级知识点三级知识点 数与代数数的运算 1、百以内一位数乘(除)两位数的口算 2、一位数乘两、三位数的乘法和连乘;结合具体情况 进行估算 3、一位数除两、三位数的除法和连除;乘除混合两步 运算 4、解决生活中简单的乘、除应用题 常见的量 1、质量单位千克、克、吨 2、千克、克、吨之间的换算,简单的实际问题 3、年、月、日与24时计时法 空间与图形图形的认识 从三个方向观察用小正方体搭成的立体图形形状测量 1.周长的认识 2.长方形、正方形的周长计算 统计与概率不确定现象 用“一定,经常,偶尔,不可能”等描述事件发生 的可能性。 二、单元课时知识点 第一单元乘除法 整十、整百数乘一位数 口算乘法 两位数乘一位数 乘除法 整十、整百数除以一位数 口算除法 两位数除以一位数

第一节小树有多少棵 知识点:1、掌握口算一位数乘(除)整十、整百、整千数以及百以内一位数乘(除)两位数的口算方法,有一定的口算速度和技巧,体验算法多样化。 2、能正确、熟练地口算乘、除法,口算速度约为每分种6-8道,正确率达90% 以上。 3、着重引导学生理解20×3的算理,即先计算2×3=6,再在积的末尾添上一 个0,从而得到20×3=60。 4、进一步把题目扩展到整百数乘一位数,由学生自己去类推。 5、给学生适当的练习,用于巩固学生所学的知识。 第二节需要多少钱 知识点:1、一位数乘两、三位数的乘法和连乘,结合具体情况进行估算 2、两位数乘一位数的口算,学会两位数乘一位数的方法。掌握0和任何数相 乘都得0这一规律; 3、能正确计算两、三位数乘一位数及一个数连续乘两个一位数的乘法,5分钟 2-3道,正确率达90%以上。 4、使学生理解计算的过程,主要需要解决两个问题,一是如何把两位数转化 成整十数和一位数的和,二是分别求乘积再相加的问题。 5、通过实力引入两位数乘一位数的计算问题,先让学生自己想办法解决。 6、讲解两位数乘一位数的计算方法,并演示计算的过程。10×3=30,2×3=6, 30+6=36,即先将12拆成10和2,再分别与3相乘,然后将乘积相加。 7、出几个练习题让学生用所讲的方法来解答,在解答过程中发现问题并及时 解决。 第三节参加科技馆 知识点:1、掌握计算两、三位数除以一位数除法的方法,5分钟约2-3道,正确率达到90%以上。掌握0除以任何不是0的数都得0这一规律;掌握用估算进行 试商的方法;能用乘法验算除法。 2、通过实例实例引入两位数除以一位数的计算问题,先让学生自己想办法解 决。 3、讲解两位数除以一位数的计算方法,并演示计算的过程:30÷3=10,6÷3=2, 10+2=12(这种方法用了上节课的整十数除以一位数的知识。) 4、出几道练习题让学生用所讲的方法来解答,在解答的过程中发现问题并及 时解决。 第二单元观察物体 按照要求正确搭建图形 搭建图形

(完整版)北师大九年级数学知识点

北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册) 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”:顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形,作一条等边三角形的三线合一线,将等边三角形分成两个全等的 直角三角形,其中一个锐角等于30o,这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有: ①勾股定理:2 22c b a =+(注意区分斜边与直角边) ②在直角三角形中,如有一个内角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(此定理将在第三章出现) ※垂直平分线.....是垂直于一条线段..并且平分这条线段的直线..。(注意着重号的意义) <直线与射线有垂线,但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理:到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等。(如图1所示, AO=BO=CO ) ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理:在角内部的,如果一点到角两边的距离相等,则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点,并且交点到三边距离相等,交点即为三角形的内心。 (如图2所示,OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为02 =++c bx ax (a 、b 、c 为 常数,a ≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程...... 。 ※把02 =++c bx ax (a 、b 、c 为常数,a ≠0)称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数;b 为一次项系数;c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法:①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= (注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式) ③分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 (主要包括“提公因式”和“十字相乘”) A C B O 图1 图2 O A C B D E F

北师大版数学九年级上册知识点总结

九年级上册数学知识点总结 第一章 证明(二) 一、全等三角形的判定:SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL 二、等腰三角形 1、等腰三角形“三线合一”顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 2、等腰三角形:等边对等角,等角对等边。 三、等边三角形 (1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。 (2)“三线合一” 四、直角三角形 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理:直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 2 2 c b a =+ 5、常用关系式: 由三角形面积公式可得:两直角边的积=斜边与斜边上的高的积 五、角的平分线及其性质与判定 1、角的平分线:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。 2、角的平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。 (如图1所示,AO=BO=CO ) 3、角的平分线的判定定理: 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 六、线段垂直平分线的性质与判定 1、线段的垂直平分线:垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 2、线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 3、定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 (如图2所示,OD=OE=OF) 线段垂直平分线的判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 A C B O 图1 图2 O A C B D E F

北师大版九年级数学上册知识点归纳总结

九年级数学上册知识点归纳(北师大版) 第一章特殊平行四边形 第二章一元二次方程 第三章概率的进一步认识 第四章图形的相似 第五章投影与视图 第六章反比例函数 (八下前情回顾)※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .....,平行四边形不相邻的 两顶点连成的线段叫做它的对角线 ...。 ※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形

1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ..。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形是轴对称图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 一个内角为直角 菱形 一组邻边相等

北师大版九年级数学上册知识点总结

九(上)数学知识点答案 第一章证明(一) 1、你能证明它吗? (1)三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等,对应角也相等 判定:SSS、SAS、ASA、AAS、 (2)等腰三角形的判定、性质及推论 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)(3)等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。 判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 (4)含30度的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 (1)勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。(2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。 (3)直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 3、线段的垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 (3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 (1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。 (2)三角形三条角平分线的性质定理 性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。 (3)如何用尺规作图法作出角平分线

最新北师大版九年级数学上册教案

最新北师大版九年级数学上册教案 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题。一起看看最新北师大版九年级数学上册教案!欢迎查阅! 最新北师大版九年级数学上册教案1 学习目标 1.了解圆周角的概念. 2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用. 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题学习过程

一、温故知新: (学生活动)同学们口答下面两个问题. 1.什么叫圆心角? 2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢? 二、自主学习: 自学教材P90---P93,思考下列问题: 1、什么叫圆周角?圆周角的两个特征: 。 2、在下面空里作一个圆,在同一弧上作一些圆心角及圆周角。通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题. (1)一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? (2).同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? (3).同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? 3、默写圆周角定理及推论并证明。 4、能去掉"同圆或等圆"吗?若把"同弧或等弧"改成"同弦或等弦"性质成立吗? 5、教材92页思考?在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么?

北师大版小学数学五年级上册全册教案完整版

五年级第一学期数学教案 教学工作计划 一、教材分析 1、教材简析 数与代数 (1)第一单元“倍数与因数”,主要是自然数的认识,倍数与因数,2,5,3倍数的特征,质数与合数,奇数与偶数。 (2)第三单元“分数”,主要学习分数的意义,能认、读、写简单的分数,会进行简单的同分母分数加减运算,能运用分数表示一些事物,解决一些简单的实际问题。 (3)第四单元“分数加减法”,主要学习异分母分数加减法以及实际应用、分数的混合运算、分数与小数的相互转化。 空间与图形 (1)第二单元“图形的面积(一)”,主要学习平面图形大小的比较,平行四边形、三角形与梯形的底和高的认识以及相关的面积计算。 (2)第五单元“图形的面积(二)”,主要学习组合图形的面积计算以及一些有趣的简单不规则图形的面积计算。 统计与概率 第六单元“可能性的大小”,主要学习用分数表示可能性的大小,运用所学知识设计方案。 综合应用 进一步整合“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”三个领域的内容,加强数学知识与生活中的问题相结合,提高学生的综合应用能力。 2、教学目标 (1)会进行数的分类,理解自然数与整数的概念。理解掌握倍数与因数,2,5,3倍数的特征,知道什么是质数与合数,奇数与偶数。 (2)认识平行四边形、三角形和梯形的底、高,理解掌握相关的面积计算;会计算组合图形的面积及简单的不规则图形面积。 (3)认识真分数、假分数,理解分数与除法的关系,能正确进行假分数与带分数或整数的互化;探索分数的基本性质,正确进行分数大小的比较;运用分数解决一些简单的实际问题;体会分数与现实生活的联系,初步了解分数在现实生活中的应用。 (4)理解分数四则混合运算的运算顺序,并能正确计算;正确进行分数与有限小数的互化。 (5)能用分数表示可能性的大小,运用所学知识设计方案。 3、教学重点 (1)倍数与因数;2,5,3倍数的特征;奇数与偶数;质数与合数。

2020年北师大版九年级数学上册全册教案

课题 1、你能证明它们吗(一) 课型新授课教学目标 1、了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 教学重点了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。 教学难点能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 教学方法观察法教学后记教学内容及过程学生活动一、复习 1、什么是等腰三角形? 2、你会画一个等腰三角形吗?并把你画的等腰三角形栽剪下来。 3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质?二、新课讲解 在《证明(一)》一章中,我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论。 同学们和我一起来回忆上学期学过的公理 w 本套教材选用如下命题作为公理 : w 两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; w 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; w 两边夹角对应相等的两个三角形全等; (SAS) w 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; (ASA) w 三边对应相等的两个三角形全等; (SSS) w 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)证明过程 已知∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证△ABC≌△DEF 证明∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知)∵∠A+∠B+∠C=18°,∠D+∠E+∠F=18°(三角形内角和等于18°)∠C=18°-(∠A+∠B) ∠F=18°-(∠D+∠E) ∠C=∠F(等量代换) BC=EF(已知)△ABC≌△DEF(ASA)这个推论虽然简单,但也应让学生进行证明,以熟悉的基本要求和步骤,为下面的推理证明做准备。 三、议一议 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?等腰三角形(包括等边三角形)的性质学生已经探索过,这里先让学生尽可能回忆出来,然后再考虑哪些能够立即证明。 定理等腰三角形的两个底角相等。 这一定理可以简单叙述为等边对等角。 已知如图,在ABC中,AB=AC。

北师大版小学数学一年级上册知识点归纳

北师大版小学数学一年级(上册)知识点 一生活中的数 各课知识点: 可爱的校园(数数) 知识点: 1、按一定顺序手口一致地数出每种物体的个数。 2、能用1-10各数正确地表述物体的数量。 快乐的家园(10以内数的认识) 知识点: 1、能形象理解数“1”既可以表示单个物体,也可以表示一个集合。 2、在数数过程中认识1-10数的符号表示方法。 3、理解1~10各数除了表示几个,还可以表示第几个,从而认识基数与序数的联系与区别:基数表示数量的多少,序数表示数量的顺序。 玩具(1~5的认识与书写) 知识点: 1、能正确数出5以内物体的个数。 2、会正确书写1-5的数字。 小猫钓鱼(0的认识) 知识点: 1、认识“0”的产生,理解“0”的含义,0即可以表示一个物体也没有,也可以表示起点和分界

点。 2、学会读、写“0”。 文具(6~10的认识与书写) 知识点: 1、能正确数出数量是6-10的物体的个数。 2、会读写6—10的数字。 二比较 各课知识点: 动物乐园(比大小与比多少) 知识点: 1、比较动物谁多谁少有两种策略:一是基于“数数”,二是进行“配对”,从而体验“一一对应”的数学思想。 2、通过比较具体数量多少的数学活动,获得对“>”、“<”、“=”等符号意义的理解,学会写法,并会用这些符号表示10以内的数的大小。 3、体验“同样多”、“多”、“少”、“最多”、“最少”的含义。 高矮(比高矮、比长短) 知识点: 1、长短、高矮、厚薄都属于物体长度的比较的问题,只是在实际生活中,人们习惯把水平放的物体的长度比较叫比长短,把垂直摆放的物体达到长度的比较叫比高矮。把扁平的物体上下距离的比较叫比厚薄。它们的比较方法是相通的。 2、认识高矮的区别,知道比较高矮、长短、厚薄时要在起点相同的情况下才能正确比较。 3、知道高矮比较的相对性 轻重(比轻重) 知识点: 1、经历比较轻重的过程,体验一些具体的比较方法及轻重的相对性。 2.初步体会借助工具确定轻重的必要性和解决问题方法的多样性。 3.间接比较轻重,渗透了等量对换的思想,对学生说具有一定的难度,不要求所有的学生都能独立完成。 三加减法(一) 各课知识点: 有几枝铅笔(加法的认识) 知识点: 1、初步了解加法的含义,会读、写加法算式,感悟把两个数合并在一起求一共是多少,用加法计算; 2、初步尝试选择恰当的方法进行5以内的加法口算。 3、第一次出现了图形应用题,要让学生学会看图形应用型题目,理解题目的意思。 有几辆车(初步认识加法的交换律) 知识点: 1、初步感知从不同的观察角度出发,会列出不同的算式,从而形象直观的说明两个数相加,交换加数位置,得数不变。 2、鼓励学生根据图意提出问题。解决问题时,可以出现两个不同的算式,并比较两个算式的异同。 摘果子(减法的认识)

新版九年级数学上册知识点归纳(北师大版)

2014年(新版)九年级数学上册知识点归纳(北师大版) (八下前情回顾)※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .....,平行四边形不相邻的两顶点连成 的线段叫做它的对角线 ...。 ※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ..。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形是轴对称图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

最新北师大版小学数学一年级上册教案(全册)

北师大版数学一年级上册教学计划 一、学生情况分析及改进措施。 1、由于一年级学生刚入学,年龄比较小,对学校的学习生活有一定的陌生感,但同时也具有很强的好奇心,教师在教学中应多鼓励学生参与学习活动,鼓励良好行为,让他们喜欢上课,喜欢数学。 2、刚入学学生个体差异相对较大,可能有些学生已经不同程度地掌握一些简单数学知识,教师根据班中学生的具体情况出发,适时调整教学进度,采用多种教学方法组织教学。 二、教材分析。 本册教材以实践新课标的理念、要求为出发点,以学生为主体的课堂教学过程。教材从实际出发,提供了大量的观察、操作、实验及独立思考的机会,让学生从生活实际出发和客观事实发展,为确立学习者的主体地位创设了良好的课程环境。教材注重为题的探索性,例如:比较、分类、等部分内容,重点在于经历探索,获取有关知识的体验。 三、教学要求。 第一单元“生活中的数”。经历从实际情境中抽象出数的过程,能用10以内的数表示物体的个数或事物的顺序,并能认、读、会写 0到10各数。在一一对应的活动中比较物体数量的多少,认识“=”、“<”、“>”,能比较10以内数的大小。能用数表示日常生活中的一些事物,能用一一对应等方法解决简单的实际问题。在教师的引导和示范下,开始学习认真倾听、思考、表达、书写,并逐步养成良好的学习习惯。 第二单元“比较”。在具体情境中,能够比较两个物体的大小、多少、长短、高矮、轻重,体验并积累一些简单的比较方法。经历“比一比”的过程,同时与他人交流比较的方法,并尝试解释自己的思考

过程。积极参与数学活动,养成仔细观察、认真思考的良好学习习惯。第三单元“加与减(一)”。经历自主探究算法并与同伴合作交流计算方法的过程。在具体情境中,通过操作活动,初步理解加减法的意义,探究并掌握10以内数的加减法的计算方法。能正确计算得数是10以内的加与减及连加、连减和加减混合,并能解决生活中有关的简单实际问题。在各种活动中,不断养成仔细观察、独立思考、认真倾听、有条理地表达的良好习惯。 第四单元“分类”。在动手操作的活动中,经历分类的过程,初步体会分类的含义和方法,感受分类在生活中的作用。能按给定标准或自己选定的标准进行分类,体会分类标准的多样性。运用分类的方法,解决生活中相关的实际问题。初步养成有条理地整理物品的习惯,体会分类在生活中的必要性。 第五单元“位置与顺序”。结合具体情境,体会前后、上下、左右的位置关系,会用前后、上下、左右描述物体的相对位置。能比较准确地确定物体的前后、上下、左右的位置,体会具体位置的相对性。逐步养成按一定顺序进行观察的习惯,体会到生活中有数学,初步感受用数学的乐趣。 第六单元“认识图形”。在丰富的操作活动中,经历观察、想象和交流的过程,积累认识几何体的数学活动经验。知道长方体、正方体、圆柱和球的名称,并能识别这些几何体。在分类、观察等学习活动中,形成对长方体、正方体、圆柱和球的直观认识,发展语言表达能力。感受数学与生活有密切关系,培养探索精神和与人合作的意识。 第七单元“加与减(二)”。结合数数、操作直观模型等活动,认识11-20各数。初步了解数的十进制,认识个位和十位,会比较 20以内数的大小。在教师指导下,能从日常生活中发现和提出简单的数

北师大版九年级数学下册全套教案1

第一章直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起(第一课时) 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义,并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗?你有哪些办法? 2、生活问题数学化: ⑴如图:梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的? ⑵以下三组中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的? 二、直角三角形的边与角的关系(如图,回答下列问题)

⑴Rt △A B1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系? ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题: 例1、如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自动 扶梯比较陡? 例2、在△ABC 中,∠C=90°,BC=12cm ,AB=20cm ,求tan A和tanB 的值. 四、随堂练习: 1、如图,△ABC 是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC 吗? 2、如图,某人从山脚下的点A 走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为55m ,求山的坡度.(结果精确到0.001)

3、若某人沿坡度i=3:4的斜坡前进10米,则他所在的位置 比原来的位置升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边 的夹角为θ,则tanθ=______. 5、如图,Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图,斜坡AB的 长为12 m,它的坡角为45°,为了提高该堤的防洪能力,现将背 水坡改造成坡比为1:1.5的斜坡AD,求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习: 1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______. 3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______. 4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值. 5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.

2017北师大版小学数学五年级上册知识点总结

2017年北师大版小学数学五年级(上册)知识点 第一单元小数除法 1、除数是整数的小数除法计算法则:除数是整数的小数除法,按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添0再继续除。 2、除数是小数的小数除法计算法则:除数是小数的除法,先移动除数的小数点,使它变成整数;除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的,在被除数末尾用0补足),然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 3、连除的算式可以写成被除数除以几个数的积,但除以几个数的积时,必须给这个相乘的式子加上小括号。 4、在小数除法中的发现: ①当除数不为0时,除数大于1时,商小于被除数。如:3.5÷5=0.7 ②当除数不为0时,除数小于1时,商大于被除数。如:3.5÷0.5=7 当除数不为0时,除数等于1时,商等于被除数。如:3.5÷1=3.5 5、小数除法的验算方法: ①商×除数=被除数(通用) ②被除数÷商=除数 6、商的近似数:根据要求要保留的小数位数,决定商要除出几位小数,再根据“四舍五入”法保留一定的小数位数,求出商的近似数。例如:要求保留一位小数的,商除到第二位小数可停下来;要求保留两位小数的,商除到第三位小数停下来……如此类推。 7、循环小数: A、小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。如,0.37、1.4135等。 B、小数部分的位数是无限的小数,叫做无限小数。如5.3…7.145145…等。 C、一个数的小数部分,从某位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数。(如5.3… 3.12323… 5.7171…) D、一个循环小数的小数部分,依次不断重复的数字,叫做小数的循环节。(如5.333…的循环节是3, 4.6767…的循环节是67, 6.9258258…的循环节是258) E、用简便方法写循环小数的方法: ①只写一个循环节,并在这个循环节的首位和末位上面记一个小圆点 ②例如:只有一个数字循环节的,就在这个数字上面记一个小圆点,5.333…写作 5.3 ;有两位小数循环的,就在这两位数字上面,记上小圆点,7.4343…写作7.4 3 ;有三位或以上小数循环的,在首位和末位记上小数点,10.732732…写作10.732 8、除法中的变化规律:①商不变性质:被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数( 0除外),商不变。②除数不变,被除数扩大,商随着扩大。③被除数不变,除数缩小,商扩大。 9、小数的四则混合运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。

北师大版初三数学知识点总结

北师大版初三数学上册知识点汇总 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”:顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形,作一条等边三角形的三线合一线,将等边三角形分成两个全等的 直角三角形,其中一个锐角等于30o,这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有: ①勾股定理:2 2 2 c b a =+(注意区分斜边与直角边) ②在直角三角形中,如有一个内角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(此定理将在第三章出现) ※垂直平分线.....是垂直于一条线段..并且平分这条线段的直线..。(注意着重号的意义) <直线与射线有垂线,但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理:到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等。(如图1所示, AO=BO=CO ) ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理:在角内部的,如果一点到角两边的距离相等,则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点,并且交点到三边距离相等,交点即为三角形的内心。 (如图2所示,OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为02 =++c bx ax (a 、b 、c 为 常数,a ≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程...... 。 ※把02 =++c bx ax (a 、b 、c 为常数,a ≠0)称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数;b 为一次项系数;c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法:①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= (注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式) ③分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 A C B O 图1 图2 O A C B D E F

北师大版数学九年级上

一、填空题 1.一个矩形的面积是48平方厘米,它的长比宽多8厘米,则矩形的宽x (厘米),应满足方程__________. 2.有一张长40厘米、宽30厘米的桌面,桌面正中间铺有一块垫布,垫布的面积是桌面的面积的21,而桌面四边露出部分宽度相同,如果设四周宽度为x 厘米,则所列一元二次方程是__________. 3.在一块长40 cm ,宽30cm 的矩形的四个角上各剪去一个完全相同的正方形,剩下部分的面积刚好是矩形面积的3 2,则剪下的每个小正方形的边长是__________厘米. 4.一个两位数,十位上的数字是a ,个位上的数字是b ,则这个两位数可以表示为__________. 5.两个连续整数,设其中一个数为n ,则另一个数为__________. 6.两个数之差为5,之积是84,设较小的数是x ,则所列方程为__________. 7.增长率问题经常用的基本关系式: 增长量=原量×__________ 新量=原量×(1+__________) 8.产量由a 千克增长20%,就达到_______千克. 二、选择题 1.用10米长的铁丝围成面积是3平方米的矩形,则其长和宽分别是 A.3米和1米 B.2米和1.5米 C.(5+3)米和(5-3)米 D.米米和21352135-+ 2.如果半径为R 的圆和边长为R +1的正方形的面积相等,则 A.11--=ππR B.1 1-+=ππR §2.5.1 一元二次方程

C.112--+=ππR D.1 12-++=ππR 3.一个两位数,个位上的数比十位上的数小4,且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4,设个位数是x ,则所列方程为 A.x 2+(x +4)2=10(x -4)+x -4 B.x 2+(x +4)2=10x +x +4 C.x 2+(x +4)2=10(x +4)+x -4 D.x 2+(x -4)2=10x +(x -4)-4 4.三个连续偶数,其中两个数的平方和等于第三个数的平方,则这三个数是 A.-2,0,2或6,8,10 B.-2,0,2或-8,-8,-6 C.6,8,10或-8,-8,-6 D.-2,0,2或-8,-8,-6或6,8,10 5.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季度总产值175亿元,问二、三月份平均每月增长率是多少?设平均每月增长率为百分之x ,则 A.50(1+x )2=175 B.50+50(1+x )2=175 C.50(1+x )+50(1+x )2=175 D.50+50(1+x )+50(1+x )2=175 6.一项工程,甲队做完需要m 天,乙队做完需要n 天,若甲乙两队合做,完成这项工程需要天数为 A.m +n B.21(m +n ) C.mn n m + D.n m mn + 三、请简要说出列方程解应用题的一般步骤。 四、列方程解应用题 如右图,某小区规划 在长32米,宽20米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的3 条小路,使其中两条与AD 平行,一条与AB 平行,其余部分 种草,若使草坪的面积为566米2,问小 路应为多宽?

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