第二部分 大专题综合测
1 函数与导数
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(文)设集合M ＝{－1}，N ＝{1＋cos m π
4
，log 0.2(|m |＋1)}，若M ?N ，则集合N 等于( ) A ．{2} B ．{－2,2} C ．{0} D ．{－1,0}
[答案] D
[解析] 因为M ?N 且1＋cos
m π
4
≥0，log 0.2(|m |＋1)<0，所以log 0.2(|m |＋1)＝－1，
可得|m |＋1＝5，故m ＝±4，N ＝{－1,0}．
(理)(2015·福建理，1)若集合A ＝{i ，i 2
，i 3
，i 4
}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )
A ．{－1}
B ．{1}
C ．{1，－1}
D ．?
[答案] C
[解析] 考查：(1)复数的概念；(2)集合的运算．
由已知得A ＝{i ，－1，－i,1}，故A ∩B ＝{1，－1}，故选C. 2．(文)(2015·福建理，2)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos x D ．y ＝e x
－e －x
[答案] D
[解析] 考查函数的奇偶性．
函数y ＝x 是非奇非偶函数；y ＝|sin x |和y ＝cos x 是偶函数；y ＝e x －e －x
是奇函数，故选D ．
(理)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x
B ．y ＝x 3
C ．y ＝ln x
D ．y ＝|x |
[答案] B
[解析] A 为减函数，C 定义域为(0，＋∞)，D 中函数在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增．
3．(文)已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，当x ≠0时，f ′(x )＋
f x
x
>0，则函数g (x )＝f (x )＋1
x
的零点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．0
D ．0或2
[答案] C
[解析] 由条件知，f ′(x )＋
f x x ＝[xf x ]′
x
>0. 令h (x )＝xf (x )，则当x >0时，h ′(x )>0，当x <0时，h ′(x )<0，∴h (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且h (0)＝0.，则h (x )≥0对任意实数恒成立．函数
g (x )的零点即为y ＝h (x )与y ＝－1的图象的交点个数，所以函数g (x )的零点个数为0.
(理)(2014·浙江理，6)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，且0≤f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )
A ．c ≤3
B ．3 C ．6 D ．c >9 [答案] C [解析] ∵f (－1)＝f (－2)＝f (－3) ????? －1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ， －1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ， 解得??? ?? a ＝6， b ＝11. ∴f (x )＝x 3＋6x 2 ＋11x ＋c ， 又∵0 4．(文)(2015·浙江理，4)命题“?n ∈N * ，f (n )∈N * 且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．?n ∈N *, f (n )?N * 且f (n )>n B ．?n ∈N *, f (n )?N * 或f (n )>n C ．?n 0∈N *, f (n 0)?N * 且f (n 0)>n 0 D ．?n 0∈N *, f (n 0)?N * 或f (n 0)>n 0 [答案] D [解析] 全称命题的否定为特称命题，“≤”的否定为“>”． (理)(2015·浙江理，6)设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数． 命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“ d (A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )． A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立 [答案] A [解析] 考查集合的性质． 命题①显然正确，通过下图亦可知d(A，C)表示的区域不大于d(A，B)＋d(B，C)的区域，故命题②也正确，故选A. 5．(文)(2014·福建理，4)若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( ) [答案] B [解析] 由图可知y＝log a x图象过(3,1)，∴log a3＝1，∴a＝3，∵y＝3－x为减函数，∴排除A；∵y＝(－x)3当x>0时，y<0，∴排除C；∵y＝log3(－x)中，当x＝－3时，y＝1，∴排除D，∴选B． (理)函数f(x)＝2e－x 2－x 的图象大致是( ) [答案] B [解析] f ′(x )＝2e －x x －1 2－x (x ≠2)，令f ′(x )<0，得x <1.故f (x )的减区间是(－∞，1)，增区间为(1,2)，(2，＋∞)，f (x )在x ＝1处取得极小值，且极小值为f (1)＝2 e >0， 故排除C 、D 两项；当x >2时，f (x )<0，排除A 项，故选B 项． 6．(2015·北京海淀期末)设a ＝0.23 ，b ＝log 20.3，c ＝20.3 ，则( ) A ．b [答案] D [解析] 因为0 <1，b ＝log 20.3<0，c ＝20.3 >1，所以b A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞) [答案] D [解析] 由条件知f ′(x )＝k －1 x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k ≥1. 把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键． (理)若函数f (x )在(0，＋∞)上可导，且满足f (x )>xf ′(x )，则一定有( ) A ．函数F (x )＝ f x x 在(0，＋∞)上为增函数 B ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为增函数 C ．函数F (x )＝ f x x 在(0，＋∞)上为减函数 D ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为减函数 [答案] C [解析] 对于F (x )＝f x x ，F ′(x )＝xf ′ x －f x x 2 <0，故F (x )在(0，＋∞)上为减函数． 8．(文)若函数f (x )＝ln x ＋a x 在区间[1，e]上的最小值为3 2 ，则实数a 的值为( ) A.3 2 B ． e C.e 2 D ．非上述答案 [答案] B [解析] f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝a ， 若a <1，则f (x )min ＝f (1)＝a ＝3 2 >1，不合题意． 若a >e ，则f (x )min ＝f (e)＝1＋a e ＝3 2 ， 则a ＝e 2 所以1≤a ≤e，f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋1＝3 2 ，则a ＝ e. (理)(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] D [解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义． 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a － 1 x ＋1. ∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D ． 9．(文)(2015·北京西城区二模)设命题p ：函数f (x )＝e x －1 在R 上为增函数；命题q ： 函数f (x )＝cos(x ＋π)为奇函数，则下列命题中真命题是( ) A ．p ∧q B ．(?p )∨q C ．(?p )∧(?q ) D ．p ∧(?q ) [答案] D [解析] p 为真命题；∵cos(x ＋π)＝－cos x ， ∴f (x )为偶函数，∴q 为假命题．故选D ． (理)(2015·杭州市质检)已知函数f (x )(x ∈R )是以4为周期的奇函数，当x ∈(0,2)时， f (x )＝ln(x 2－x ＋b )．若函数f (x )在区间[－2,2]上有5个零点，则实数b 的取值范围是 ( ) A ．－1 B ．14≤b ≤54 C ．－1 D ．14 [答案] D [解析] 本题考查函数的性质，考查数形结合与转化思想，难度较大． 由周期性f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，又由奇偶性可得f (－2)＝－f (2)，∴－f (2)＝ f (2)，∴f (2)＝0，f (－2)＝0，又f (0)＝0，故若函数在区间[－2,2]内存在5个零点，只 需x ∈(0,2)时，f (x )＝ln(x 2 －x ＋b )只有一个零点即可，即方程x 2 －x ＋b ＝1在区间(0,2)内只有一根，可转化为y ＝b ，y ＝－x 2 ＋x ＋1在x ∈(0,2)上只有一个交点，结合图形可得－1 －x ＋b >0恒成立得b >14，综上可得b 的取值范围是14 4 ，故选D ． [易错警示] 本题易忽视函数f (x )＝ln(x 2 －x ＋b )在区间(0,2)上有意义而错选C. 10．(文)(2015·东北三省四市联考)定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x )称为M 函数：①对任意的x ∈[0,1]，恒有f (x )≥0；②当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则下列函数不是M 函数的是( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝2x －1 C ．f (x )＝ln(x 2＋1) D ．f (x )＝x 2 ＋1 [答案] D [解析] 利用排除法求解．函数f (x )＝x 2 ≥0，x ∈[0,1]，且x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1时，f (x 1＋x 2)－f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋x 2)2 －x 2 1－x 2 2＝2x 1x 2≥0，所以f (x )＝x 2 是M 函数，A 选项正确；函数f (x )＝2x －1≥0，x ∈[0,1]，且x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1时，f (x 1＋x 2)－f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2－1)≥0，所以f (x )＝2x －1是M 函数，B 选项正确；函数f (x )＝ln(x 2 ＋1)≥0，x ∈[0,1]，且x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1时，x 1x 2≤( x 1＋x 2 2)2 ≤14 ，所以[(x 1＋x 2)2 ＋1]－(x 2 1＋1)(x 2 2＋1)＝x 1x 2(2－x 1x 2)≥0，则f (x 1＋x 2)－f (x 1)－f (x 2)＝ln[(x 1＋x 2)2 ＋1]－ln(x 21 ＋1)－ln(x 22 ＋1)＝ln x 1＋x 2 2 ＋1 x 21＋1 x 2 2＋1 ≥0，所以f (x )＝ln(x 2 ＋1)是M 函数，C 选项正确；对于函数f (x )＝x 2 ＋1，x 1＝x 2＝12满足条件，此时f (x 1＋x 2)＝f (1) ＝2 ，所以f (x )＝x 2 ＋1不是M 函数，D 选项错误，故选D ． (理)(2015·福州市质检)若函数f (x )满足：?x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤|x 1 －x 2|成立，则称f (x )∈Ψ.对于函数g (x )＝x 3 －x ，h (x )＝? ?? ?? 1＋x ，x <0，cos x ，x ≥0有( ) A ．g (x )∈Ψ且h (x )∈Ψ B ．g (x )∈Ψ且h (x )?Ψ C ．g (x )?Ψ且h (x )∈Ψ D ．g (x )?Ψ且h (x )?Ψ [答案] C [解析] 对于函数g (x )＝x 3－x ，因为g ′(x )＝3x 2 －1，故x ∈[－1,1]时，g ′(x )∈[－1,2]，即?x 1，x 2∈[－1,1]，使得|g (x 1)－g (x 2)|>|x 1－x 2|，故g (x )?Ψ.在同一直角坐标系 中分别作出y ＝h (x )，y ＝x ，y ＝－x 的图象如图所示，观察可知?x 1，x 2∈[－1,1]，|h x 1 －h x 2 | |x 1－x 2| ≤1，即|h (x 1)－h (x 2)|≤|x 1－x 2|，故h (x )∈Ψ.综上所述，故选C. 11．(文)(2015·济南模拟)若至少存在一个x (x ≥0)，使得关于x 的不等式x 2 ≤4－|2x －m |成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－4,5] B ．[－5,5] C ．[4,5] D ．[－5,4] [答案] A [解析] 本题考查函数的图象与性质、数形结合思想． 至少存在一个x ≥0，使得不等式|x －m 2|≤2－12x 2成立，即函数f (x )＝|x －m 2 |与g (x )＝ 2－12x 2的图象存在横坐标是非负数的公共点．在同一坐标系下画出函数g (x )＝2－12x 2 与y ＝|x |的图象，结合图象可知将y ＝|x |的图象向左平移到经过点(0,2)这个过程中的相应曲线 均满足题意，即－4≤m ≤0；将y ＝|x |的图象向左平移到直线y ＝－x ＋m 2与抛物线y ＝2－12 x 2相切的过程中的相应曲线均满足题意，设相应的切点横坐标是x 0，则有－x 0＝－1，x 0＝1，切点坐标是(1，32)，于是有32＝－1＋m 2，得m ＝5，所以0≤m ≤5.因此满足题意的实数m 的取 值范围是[－4，5]，故选A. (理)(2015·东北三省四市联考)若对于?x ，y ∈[0，＋∞)，不等式4ax ≤e x ＋y －2 ＋e x －y － 2 ＋2恒成立，则实数a 的最大值是( ) A.1 4 B ．1 C ．2 D ．12 [答案] D [解析] 利用分离参数法求解．由题意可得4ax ≤e x －2 (e y ＋e －y )＋2，y ∈[0，＋∞)恒成 立，所以4ax －2e x －2≤(e y ＋e －y )min ＝2，则2ax ≤e x －2 ＋1，x ∈[0，＋∞)恒成立，x ＝0时显然成 立，所以2ax ≤e x －2 ＋1，x ∈(0，＋∞)恒成立，即2a ≤( e x －2 ＋1 x )min 在x ∈(0，＋∞)上恒成 立，令f (x )＝ e x －2 ＋1x ，x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝ e x －2 x －1 －1 x 2 ，x ∈(0，＋∞)，由f ′(x )＝0得x ＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )>0，f (x )在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (2)＝1，则2a ≤1，a ≤12 ，所以实 数a 的最大值是1 2 ，故选D ． 12．(文)(2015·四川理，9)如果函数f (x )＝12 (m －2)x 2 ＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区 间???? ??12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16 B ．18 C ．25 D ．812 [答案] B [解析] 考查函数与不等式的综合应用． 当m ＝2时，∵f (x )＝(n －8)x ＋1在[1 2，2]上单调递减，∴n <8，又n ≥0，∴mn ＝2n <16. 当m ≠2时，抛物线的对称轴为x ＝－ n －8m －2.据题意，当m >2时，－n －8 m －2 ≥2即2m ＋n ≤12.∵2m ·n ≤2m ＋n 2 ≤6，∴mn ≤18.由2m ＝n 且2m ＋n ＝12得m ＝3，n ＝6.∴当m ＝3，n ＝6时， mn 取到最大值18.当m <2时，抛物线开口向下，据题意得，－n －8m －2≤1 2 ，即m ＋2n ≤18.∵n ≤9 －12m ，∵0≤m <2，n ≥0，∴mn ≤9m －12m 2＝－12(m －9)2＋812<－12(2－9)2 ＋812＝16.综上可知mn 的最大值为18.选B ． (理)(2015·新课标Ⅰ理，12)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A.???? ??－32e ，1 B ．??????－32e ，34 C.?? ?? ??32e ，34 D ．???? ??32e ，1 [答案] D [解析] 解法1：设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得(x 0，g (x 0))在直线h (x )＝ax －a 的下方．因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，所以当x ＜－12 时，g ′(x ) ＜0，当x ＞－12时，g ′(x )＞0，所以当x ＝－12时，[g (x )]min ＝－2e －1 2 ，∵f (1)＝e>0， ∴? ??? ? f 0 ＝a －1<0，f －1 ＝－3 e ＋2a ≥0.，解得3 2e ≤a ＜1，故选D . 解法2：∵a <1，∴f (0)＝－1＋a <0，∴x 0＝0是符合题意的唯一的整数x 0，从而 ? ?? ?? f －1 ≥0，f 1 ≥0，∴a ≥3 2e ， 又a <1，∴3 2e ≤a <1，故选D ． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．已知命p ：?x ∈R ，ax 2 ＋2x ＋1≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________． [答案] (1，＋∞) [解析] 根据原命题是假命题，则其否定是真命题，结合二次函数图象求解．命题p 的否定?p ：?x ∈R ，ax 2 ＋2x ＋1>0是真命题，故??? ? ? a >0，Δ＝4－4a <0， 解得a >1. 14．(文)若曲线y ＝x －12在点(m ，m －1 2)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18， 则m ＝________. [答案] 64 [解析] ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴切线的斜率为－12m －32，切线方程为y －m － 1 2＝－12m －32(x －m )，令x ＝0，得y ＝32m －12，令y ＝0，得x ＝3m ，∵m >0，∴12×3m ×32m －1 2＝ 18，∴m 1 2 ＝8，∴m ＝64. (理)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2 －bx ＋b －1在x ＝1处的切线与x 轴平行，若函数f (x ) 的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________． [答案] (316，6 5 ) [解析] 依题意得，f ′(1)＝0，又f ′(x )＝ax 2 ＋ax －b ， ∴b ＝2a ， ∴f ′(x )＝ax 2 ＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1， ①当a ＝0时，不合题意； ②当a >0时，要使图象过四个象限， 只需????? f －2 ＝16 3a －1>0，f 1 ＝5 6 a －1<0，结合a >0，解得a ∈(316，6 5 )； ③当a <0时，要使图象过四个象限， 只需????? f －2 ＝16 3a －1<0，f 1 ＝5 6 a －1>0，结合a <0.可知不存在符合条件的实数a ； 综上得，a 的取值范围是(316，65 )． 15．(文)函数f (x )＝ax 3 －2ax 2 ＋(a ＋1)x －log 2(a 2 －1)不存在极值点，则实数a 的取值范围是________． [答案] 1 [解析] 因为a 2 －1>0，∴a >1或a <－1； f ′(x )＝3ax 2－4ax ＋a ＋1， ∵函数f (x )不存在极值点， ∴f ′(x )＝0不存在两不等实根， ∴Δ＝16a 2 －4×3a (a ＋1)＝4a (a －3)≤0， 所以0≤a ≤3，综上可知：1 (理)已知函数f (x )＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________． ①当x ＝3 2时函数取得极小值； ②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时函数取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值． [答案] ① [解析] 从图象上可以看到：当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极 小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确． 16．(文)(2015·长沙市模拟)若关于x 的方程x 4 ＋ax 3 ＋ax 2 ＋ax ＋1＝0有实根，则实数 a 的取值范围是________． [答案] (－∞，－2 3 ]∪[2，＋∞) [解析] 利用分离参数法求解．因为关于x 的方程x 4 ＋ax 3 ＋ax 2 ＋ax ＋1＝0有实根，易 知实根不为0，则－a ＝x 4＋1 x 3＋x 2＋x ＝ x 2＋ 1 x 2 x ＋1＋ 1x ，令x ＋1 x ＝t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，则－a ＝t 2－2t ＋1，t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．因为(t 2－2t ＋1)′＝t 2＋2t ＋2 t ＋1 >0，所以t 2－2t ＋1≤－2或t 2－2t ＋1 ≥23，即－a ≤－2或－a ≥23，解得a ≥2或a ≤－23 . (理)(2015·福州市质检)已知函数f (x )＝x ·sin x ，有下列四个结论： ①函数f (x )的图象关于y 轴对称； ②存在常数T >0，对任意的实数x ，恒有f (x ＋T )＝f (x )成立； ③对于任意给定的正数M ，都存在实数x 0，使得|f (x 0)|≥M ； ④函数f (x )的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合． 其中正确结论的序号是________(请把所有正确结论的序号都填上)． [答案] ①③④ [解析] 因为函数的定义域为R ，且f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，故函数 f (x )＝x sin x 为偶函数，图象关于y 轴对称，①正确；作出函数y ＝x sin x 的图象如图所示， 观察可知，该函数没有周期性，②错误；因为当x →∞，x ≠k π时，|f (x )|→＋∞，故对于任意给定的正数M ，都存在实数x 0，使得|f (x 0)|≥M ，对于任意正数M ，在同一坐标系中作出函数y ＝sin x 与y ＝M x 的图象，易知当x >0时，总存在x 0>0，使sin x 0≥M x 0 >0，∴x 0sin x 0≥M ， ∴|x 0sin x 0|≥M ，可知③正确；作出y ＝±x 的图象如图所示，观察可知，或由直线y ＝ x 与曲线切于点(π2＋2k π，π2 ＋2k π)，k ∈Z 知④正确．综上所述，正确命题的序号为①③ ④. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(文)已知命题p ：A ＝{a |关于x 的不等式x 2 ＋2ax ＋4>0在R 上恒成立}，命题q ：B ＝{a |1< a ＋k 2 <2}． (1)若k ＝1，求A ∩(?R B )； (2)若“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围． [解析] 依题意，可得A ＝{a |4a 2 －16<0}＝{x |－2