黄冈中学
高考数学典型例题详解
函数综合问题
每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释;
积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁?
体会绝妙解题思路
建立强大数学模型
感受数学思想魅力
品味学习数学快乐
函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,掌握基本解题技巧和方法,并培养考生的思维和创新能力.
[学法指导]怎样学好函数
学习函数要重点解决好四个问题:准确深刻地理解函数的有关概念;揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系;把握数形结合的特征和方法;认识函数思想的实质,强化应用意识.
(一)准确、深刻理解函数的有关概念
概念是数学的基础,而函数是数学中最主要的概念之一,函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来,高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.
(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中,动与静、变量与常量如此生动的辩证统一,函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.
所谓函数观点,实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面:(1)原始意义上的函数问题;(2)方程、不等式作为函数性质解决;(3)数列作为特殊的函数成为高考热点;(4)辅助函数法;(5)集合与映射,作为基本语言和工具出现在试题中.
(三)把握数形结合的特征和方法
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.
(四)认识函数思想的实质,强化应用意识
函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建立函数关系,求得问题的解决.纵观近几年高考题,考查函数思想方法尤其是应用题力度加大,因此一定要认识函数思想实质,强化应用意识.
●难点磁场
(★★★★★)设函数f(x)的定义域为R,对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=-4.
(1) 求证:f(x)为奇函数;
(2) 在区间[-9,9]上,求f(x)的最值.
●案例探究
[例1]设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意
x 1、x 2∈[0,21],都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0.
(1)求f (21)、f (4
1
);
(2)证明f (x )是周期函数; (3)记a n =f (n +
n
21
),求).(ln lim n n a ∞→
命题意图:本题主要考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识,还考查运算能力和逻辑思维能力.
知识依托:认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口.
错解分析:不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形.
技巧与方法:由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为)2
()2()2()22()(x f x f x f x x f x f ??=+=是解决问题的关键.
(1) 解:因为对x 1,x 2∈[0,2
1
],都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=)2
()22(x f x x f =+≥0, x ∈[0,1]
又因为f (1)=f (2
1+21)=f (21)·f (21)=[f (2
1)]2
f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=[f (4
1)]2 又f (1)=a >0
∴f (21)=a 2
1
,f (4
1)=a 41
(2)证明:依题意设y =f (x )关于直线x =1对称,故f (x )=f (1+1-x ),即f (x )=f (2-x ),x ∈R .
又由f (x )是偶函数知f (-x )=f (x ),x ∈R ∴f (-x )=f (2-x ),x ∈R .
将上式中-x 以x 代换得f (x )=f (x +2),这表明f (x )是R 上的周期函数,且2是它的一个 周期.
(3)解:由(1)知f (x )≥0,x ∈[0,1]
∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21+(n -1) n 21)=f (n 21)·f ((n -1)·n
21) =…… =f (
n 21)·f (n 21)·……·f (n
21
) =[f (n 21
)]n =a 21
∴f (n
21
)=a n 21
.
又∵f (x )的一个周期是2
∴f (2n +n 21)=f (n
21
),因此a n =a n 21
∴.0)ln 21
(
lim )(ln lim ==∞
→∞
→a n
a n n n [例2]甲、乙两地相距S 千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过c 千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v (km/h)的平方成正比,比例系数为
b ,固定部分为a 元.
(1)把全程运输成本y (元)表示为v (km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
命题意图:本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识,还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.
知识依托:运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.
错解分析:不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题,易忽略对参变量的限制条件.
技巧与方法:四步法:(1)读题;(2)建模;(3)求解;(4)评价. 解法一:(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v
S
,全程运输成本为y =a ·
v S +bv 2·v S =S (v
a
+bv ) ∴所求函数及其定义域为y =S (
v
a
+bv ),v ∈(0,c ]. (2)依题意知,S 、a 、b 、v 均为正数
∴S (v
a +bv )≥2S a
b ①
当且仅当v
a
=bv ,即v =b a 时,①式中等号成立.若b a ≤c 则当v =b a 时,有
y min ;
若
b a >
c ,则当v ∈(0,c ]时,有S (v a +bv )-S (c
a
+bc ) =S [(
v a -c a )+(bv -bc )]=vc
S
(c -v )(a -bcv ) ∵c -v ≥0,且c >bc 2,∴a -bcv ≥a -bc 2>0 ∴S (v
a
+bv )≥S (
c
a
+bc ),当且仅当v =c 时等号成立,也即当v =c 时,有y min ; 综上可知,为使全程运输成本y 最小,当b ab ≤c 时,行驶速度应为v =b
ab ,当
b
ab
>c 时行驶速度应为v =c . 解法二:(1)同解法一. (2)∵函数y =x +
x
k
(k >0),x ∈(0,+∞),当x ∈(0,k )时,y 单调减小,当x ∈(k ,+∞)时y 单调增加,当x =k 时y 取得最小值,而全程运输成本函数为y =Sb (v +v
b a
),v
∈(0,c ].
∴当b a ≤c 时,则当v =b a 时,y 最小,若b
a >c 时,则当v =c 时,y 最小.结论同上.
●锦囊妙计
在解决函数综合问题时,要认真分析、处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决,尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此,必须全面掌握有关的函数知识,并且严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件.
●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★)函数y =x +a 与y =log a x 的图象可能是( )
2.(★★★★★)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f (x )为增函数,偶函数g (x )在区间[0,+∞)的图象与f (x )的图象重合,设a >b >0,给出下列不等式:
①f (b )-f (-a )>g (a )-g (-b ) ②f (b )-f (-a ) 其中成立的是( ) A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④ 二、填空题 3.(★★★★)若关于x 的方程22x +2x a +a +1=0有实根,则实数a 的取值范围是_________. 三、解答题 4.(★★★★)设a 为实数,函数f (x )=x 2+|x -a |+1,x ∈R . (1)讨论f (x )的奇偶性; (2)求f (x )的最小值. 5.(★★★★★)设f (x )= x x x +-++11lg 11. (1)证明:f (x )在其定义域上的单调性; (2)证明:方程f -1(x )=0有惟一解; (3)解不等式f [x (x -21)]<2 1. 6.(★★★★★)定义在(-1,1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(-1,1),都有f (x )+f (y )=f ( xy y x ++1);②当x ∈(-1,0)时,有f (x )>0. 求证:)21 ()1 31()111()51(2f n n f f f >+++++ . 7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖). (1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (米)的函数关系式,并指出其定义域. (2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求最低总造价. 8.(★★★★★)已知函数f (x )在(-∞,0)∪(0,+∞)上有定义,且在(0,+∞)上是增函数,f (1)=0,又g (θ)=sin 2θ-m cos θ-2m ,θ∈[0,2 π ],设M ={m |g (θ)<0,m ∈R },N ={m |f [g (θ)]<0},求M ∩N . 参考答案 难点磁场 (1)证明:令x =y =0,得f (0)=0 令y =-x ,得f (0)=f (x )+f (-x ),即f (-x )=-f (x ) ∴f (x )是奇函数 (2)解:1°,任取实数x 1、x 2∈[-9,9]且x 1<x 2,这时,x 2-x 1>0,f (x 1)-f (x 2)=f [(x 1-x 2)+x 2]-f (x 2)=f (x 1-x 2)+f (x 2)-f (x 1)=-f (x 2-x 1) 因为x >0时f (x )<0,∴f (x 1)-f (x 2)>0 ∴f (x )在[-9,9]上是减函数 故f (x )的最大值为f (-9),最小值为f (9). 而f (9)=f (3+3+3)=3f (3)=-12,f (-9)=-f (9)=12. ∴f (x )在区间[-9,9]上的最大值为12,最小值为-12. 歼灭难点训练 一、1.解析:分类讨论当a >1时和当0<a <1时. 答案:C 2.解析:用特值法,根据题意,可设f (x )=x ,g (x )=|x |,又设a =2,b =1, 则f (a )=a ,g (a )=|a |,f (b )=b ,g (b )=|b |,f (a )-f (b )=f (2)-f (-1)=2+1= 3. g (b )-g (-a )=g (1)-g (-2)=1-2=-1.∴f (a )-f (-b )>g (1)-g (-2)=1-2=-1. 又f (b )-f (-a )=f (1)-f (-2)=1+2=3. g (a )-g (-b )=g (2)-g (1)=2-1=1,∴f (b )-f (-a )=g (a )-g (-b ). 即①与③成立. 答案:C 二、3.解析:设2x =t >0,则原方程可变为t 2+at +a +1=0 ① 方程①有两个正实根,则??? ??>+=?>-=+≥+-=?0100)1(42 1212a t t a t t a a 解得:a ∈(-1,2-22]. 答案:(-1,2-22] 三、4.解:(1)当a =0时,函数f (-x )=(-x )2+|-x |+1=f (x ),此时f (x )为偶函数;当a ≠0时,f (a )=a 2+1,f (-a )=a 2+2|a |+1,f (-a )≠f (a ),f (-a )≠-f (a ).此时函数f (x )既不是奇函数也不是偶 函数. (2)①当x ≤a 时,函数f (x )=x 2-x +a +1=(x -2 1 )2+a +4 3,若a ≤2 1,则函数f (x )在(-∞,a ]上单调递减,从而,函数f (x )在(-∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1. 若a >21,则函数f (x )在(-∞,a ]上的最小值为f (21)=4 3+a ,且f (2 1)≤f (a ). ②当x ≥a 时,函数f (x )=x 2+x -a +1=(x +21)2-a +43;当a ≤-2 1 时,则函数f (x ) 在[a ,+∞)上的最小值为f (-21)=43-a ,且f (-21)≤f (a ).若a >-2 1 , 则函数f (x ) 在[a ,+∞)上单调递增,从而,函数f (x )在[a ,+∞]上的最小值为f (a )=a 2+1. 综上,当a ≤-21时,函数f (x )的最小值是43-a ,当-21<a ≤2 1时,函数f (x )的最小值是a 2+1;当a >21时,函数f (x )的最小值是a +4 3. 5.(1)证明:由??? ??≠+>+-0 2011x x x 得f (x )的定义域为(-1,1),易判断f (x )在(-1,1) 内是减函数. (2)证明:∵f (0)=21,∴f --1(21)=0,即x =2 1是方程f --1(x )=0的一个解.若方程f -- 1 (x )=0还有另一个解x 0≠21,则f --1(x 0)=0,由反函数的定义知f (0)=x 0≠2 1,与已知矛 盾,故方程f --1(x )=0有惟一解. (3)解:f [x (x -21)]<21,即f [x (x -2 1)]<f (0). .415121041510)21(1)21(1+<<<<-???? ???? >-<-<-∴x x x x x x 或 6.证明:对f (x )+f (y )=f (xy y x ++1)中的x ,y ,令x =y =0,得f (0)=0,再令y =-x ,又得 f (x )+f (-x )=f (0)=0,即f (-x )=-f (x ),∴f (x )在x ∈(-1,1)上是奇函数.设-1<x 1<x 2<0,则f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (-x 2)=f ( 21211x x x x --),∵-1<x 1<x 2<0,∴x 1-x 2<0,1-x 1x 2>0.∴2 12 11x x x x --<0,于是由②知f ( 2 12 11x x x x --) >0,从而f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),故f (x )在x ∈(-1,0) 上是单调递减函数.根据奇函数的图象关于原点对称,知f (x )在x ∈(0,1)上仍是递减函数,且f (x )<0. . ),2 1()21()21(, 0)21 (,1210), 21()21()]21()11([)]41()31([)]31()21([) 131()111()51() 21 ()11()2 11112111(] ) 2)(1(11) 2)(1(1 []1)2)(1(1[)131(22故原结论成立有时f n f f n f n n f f n f n f f f f f n n f f f n f n f n n n n f n n n n f n n f n n f >+-∴<+<+<+-=+-+++-+-=+++++∴+-+=+? +-+- +=++- ++=-++=++ 7.解:(1)因污水处理水池的长为x 米,则宽为 x 200 米,总造价y =400(2x +2×x 200)+248×x 200×2+80×200=800(x +x 324 )+1600,由题设条件 ?? ? ??≤<≤<16200 0, 160x x 解得12.5≤x ≤16,即函数定义域为[12.5,16]. (2)先研究函数y =f (x )=800(x + x 324 )+16000在[12.5,16]上的单调性,对于任意的x 1,x 2∈[12.5,16],不妨设x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=800[(x 2-x 1)+324( 1 211x x -)]=800(x 2-x 1)(1- 21324x x ),∵12.5≤x 1≤x 2≤16.∴0<x 1x 2<162<324,∴2 1324 x x >1,即1-2 1324 x x <0.又x 2-x 1>0,∴f (x 2)-f (x 1)<0,即f (x 2)<f (x 1),故函数y =f (x )在[12.5,16]上是减函数.∴当x =16时,y 取得最小值,此时,y min =800(16+ 16 324 )+16000=45000(元),16 200 200= x =12.5(米) 综上,当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低为45000 元. 8.解:∵f (x )是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,∴f (x )在(-∞,0)上也是增函数. 又f (1)=0,∴f (-1)=-f (1)=0,从而,当f (x )<0时,有x <-1或0<x <1, 则集合N ={m |f [g (θ)]<θ=}={m |g (θ)<-1或0<g (θ)<1}, ∴M ∩N ={m |g (θ)<-1}.由g (θ)<-1,得cos 2θ>m (cos θ-2)+2,θ∈[0, 2 ],令x =cos θ,x ∈[0,1]得:x 2>m (x -2)+2,x ∈[0,1],令①:y 1=x 2,x ∈[0,1]及②y 2=m (m -2)+2,显然①为抛物线一段,②是过(2,2)点的直线系,在同一坐标系内由x ∈[0,1]得y 1>y 2.∴m >4-22,故M ∩N ={m |m >4-22}. 1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 (1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围; (2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. (1)由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-,则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立, 而()()2 '21f x x =--+,其最大值为1. 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? (2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b = 当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-, 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点,且|AB|=2,αββα-=-)()(f f . 数学归纳法 每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 结合起来看效果更好 体会绝妙解题思路 建立强大数学模型 感受数学思想魅力 品味学习数学快乐 数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想,抽象与概括,从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. ●难点磁场 (★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+… +n(n+1)2= 12)1 ( n n (an2+bn+c). ●案例探究 [例1]试证明:不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N*且a、b、c互不相等时,均有:a n+c n>2b n. 命题意图:本题主要考查数学归纳法证明不等式,属★★★★级题目. 错解分析:应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立,不应只证明一种情况. 技巧与方法:本题中使用到结论:(a k -c k )(a -c )>0恒成立(a 、b 、c 为正数),从而a k +1+c k +1>a k ·c +c k ·a . 证明:(1)设a 、b 、c 为等比数列,a =q b ,c =bq (q >0且q ≠1) ∴a n +c n =n n q b +b n q n =b n (n q 1+q n )>2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列,则2b =a +c 猜想2n n c a +>(2 c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明: ①当n =2时,由2(a 2 +c 2 )>(a +c )2 ,∴222)2 (2c a c a +>+ ②设n =k 时成立,即,)2 (2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时, 4 1 211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) >41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41 (a k +c k )(a +c ) >(2c a +)k ·(2c a +)=(2 c a +)k +1 [例2]在数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,a n ,S n ,S n -2 1 成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4,并推出a n 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论; (3)求数列{a n }所有项的和. 命题意图:本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托:等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析:(2)中,S k =- 3 21 -k 应舍去,这一点往往容易被忽视. 技巧与方法:求通项可证明{ n S 1}是以{11S }为首项,2 1 为公差的等差数列, 高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中,满足唯一性的是 (). A.过直线外一点作与该直线垂直的直线 B.过直线 外一点与该直线平行的平面C.过平面外一点与平面平行的直 线D.过一点作已知平面的垂线分析:本题考查的是空间线线 关系和线面关系,对定义的准确理解是解本题的关键.要注意空间垂直并非一定相关.解:A.过直线外一点作与这条直线垂直的直线,由于并没有强调相交,所以这样的垂线可以作无数条.事实上这无数条直线还在同一个平面内,这个平面为该直线的一个垂面.B.过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行,但可以作无数个平面和该直线平行.C.过此点作平面内任一直线的平行线,这条平行线都平行于平面.所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条..过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条.假设空间点、平面,过点有两条直线、都垂直于,由于、为相交直线,不妨设、所确定的平面为 ,与的交线为,则必有,,又由于、、都在平面内,这样在内经过点就有两条直线和直线垂直,与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾.故选D.说明:有关“唯一性”结论的问题,常用反证法,或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明.在本书中,过一点作已知平面的垂线有且仅有一条,同时,过一点作 已知直线的垂面也是有且仅有一个.它们都是“唯一性”命题,在空间作图题中常常用到.典型例题二例2 已知下列命题:(1)若一直线垂直于一个平面的一条斜线,则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影;(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行;(3)若平面外的两条直线,在这个平面上的射影互相垂直,则这两条直线互相垂直;(4)若两条直线互相垂直,且其中的一条平行一个平面,另一条是这个平面的斜线,则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直.上述命题正确的是(). A.(1)、(2) B.(2)、(3) C.(3)、(4) D.(2)、(4)分析:本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用.应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件,同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形.解:(1)已知直线不一定在平面内,所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系; - 1 - 高中数学经典例题讲解(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直,所以它们之间也平行;(3)根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直,但不能进一步说明直线和直线垂直;(4)根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念,不难证明此命题的正确性.故选D.说明:(3)中若一直线与另一直线的射影垂直,则有另一直线必与这一直线的射影垂直.如E、FGBC在 典型例题一 例1 三条直线两两相交,由这三条直线所确定平面的个数是( ). A .1 B .2 C .3 D .1或3 分析:本题显然是要应用推论2判断所能确定平面的个数,需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形,有如下图的三种情况(如图): 答案:D . 说明:本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形,应养成在三维空间考虑问题的习惯. 典型例题二 例2 一条直线与三条平行直线都相交,求证这四条直线共面. 分析:先将已知和求证改写成符号语言.证明诸线共面,可先由其中的两条直线确定一个平面,然后证明其余的直线均在此平面内.也可先由其中两条确定一个平面α,另两条确定平面β,再证平面α,β重合. 已知:c b a ////,A a l = ,B b l = ,C c l = . 求证:直线a ,b ,c ,l 共面. 证明: ∵ b a //, ∴ a ,b 确定一个平面α. ∵ A a l = ,B b l = , ∴ α∈A ,α∈B ,故α?l . 又 ∵ c a //, ∴ a ,c 确定一个平面β. 同理可证β?l . ∴ a =βα ,且l =βα . ∵ 过两条相交直线a ,l 有且只有一个平面,故α与β重合 即直线a ,b ,c ,l 共面. 说明:本例是新教材第9页第9题的一个简单推广,还可推广到更一般的情形.本例证明既采用了归一法,同时又采用了同一法.这两种方法是证明线共面问题的常用方法.在证明α?c 时,也可以用如下反证法证明: 假设直线α?c ,则c 一定与α相交,此时直线c 与a 内的所有直线都不会平行,这显然 与c a //矛盾.故α?c . 典型例题三 例3 已知ABC ?在平面α外,它的三边所在的直线分别交平面α于P ,Q ,R 三点, 证明P ,Q ,R 三点在同一条直线上. 分析:如图所示,欲证P ,Q ,R 三点共线,只须证P , Q ,R 在平面α和平面ABC ?的交线上,由P ,Q ,R 都是 两平面的公共点而得证. 证明:∵ P AB =α ,Q BC =α , ∴ PQ 是平面α与平面ABC 的交线. 又 ∵ R AC =α , ∴ α∈R 且∈R 平面ABC , ∴ PQ R ∈, ∴ P ,Q ,R 三点共线. 说明:证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点,由公理2,这些点都在这两平面的交线上. 典型例题四 例4 如图所示,ABC ?与111C B A ?不在同一个平面内,如果三直线1AA 、1BB 、1CC 两 两相交,证明:三直线1AA 、1BB 、1CC 交于一点. 分析:证明三线共点的一般思路是:先证明两条直线交于一点,再证明该点在第三条直线上即可. 证明:由推论2,可设1BB 与1CC ,1CC 与1AA ,1 AA 与1BB 分别确定平面α,β,γ. 取P BB AA =11 ,则1AA P ∈,1BB P ∈. 又因1CC =βα ,则1CC P ∈(公理2), 于是P CC BB AA =111 , 2010-2016高考理科数学题型全归纳题型1、集合的基本概念 题型2、集合间的基本关系 题型3、集合的运算 题型4、四种命题及关系 题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型6、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围 题型7、判断命题的真假 题型8、含有一个量词的命题的否定 题型9、结合命题真假求参数的范围 题型10、映射与函数的概念 题型11、同一函数的判断 题型12、函数解析式的求法 题型13、函数定义域的求解 题型14、函数定义域的应用 题型15、函数值域的求解 题型16、函数的奇偶性 题型17、函数的单调性(区间) 题型18、函数的周期性 题型19、函数性质的综合 题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型21、二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布及条件题型22、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题 题型23、指数运算及指数方程、指数不等式 题型24、指数函数的图像及性质 题型25、指数函数中的恒成立的问题 题型26、对数运算及对数方程、对数不等式 题型27、对数函数的图像与性质 题型28、对数函数中的恒成立问题 题型29、幂函数的定义及基本性质 题型30、幂函数性质的综合应用 题型31、判断函数的图像 题型32、函数图像的应用 题型33、求函数的零点或零点所在区间 题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围 题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型36、函数与数列的综合 题型37、函数与不等式的综合 题型38、函数中的创新题 题型39、导数的定义 题型40、求函数的导数 题型41、导数的几何意义 题型42、利用原函数与导函数的关系判断图像 ?0 ③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2(x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块,其中一块是梯形,记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 , 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 。 34 .( 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35.(20XX 年高考江苏卷试题 14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长) 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . (Ⅰ)若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 . 典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ,的点都在曲线C 上”不正确,那么以下正确的命题是 (A )曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ,. (B )坐标满足方程()0=y x f ,的点有些在C 上,有些不在C 上. (C )坐标满足方程()0=y x f ,的点都不在曲线C 上. (D )一定有不在曲线C 上的点,其坐标满足方程()0=y x f ,. 分析:原命题是错误的,即坐标满足方程()0=y x f ,的点不一定都在曲线C 上,易知答案为D . 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系. 分析:“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件,二者缺一不可.其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”,即纯粹性;“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,即完备性.这是我们判断方程是不是指定曲线的方程,曲线是不是所给方程的曲线的准则. 解:如下图所示,过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ,因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ,所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上.但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上,因此方程1=y 不是直线l 的方程,直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分. 说明:本题中曲线上的每一点都满足方程,即满足纯粹性,但以方程的解为坐标的点不都在曲线上,即不满足完备性. 典型例题三 例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系. 分析:该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析. 解:方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等.但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =,例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3,但它不满足方程x y =.因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程,到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹. 说明:本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”,即满足完备性,而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”,即不满足纯粹性.只有两者全符合,方程才能叫曲线的方程,曲线才能叫方程的曲线. 典型例题四 例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点,求k 的取值范围.有一个交点呢?无交点呢? 分析:直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点,就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解,也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0. 解:由?? ?=-++-=. 4)1(,4)2(2 2y x x k y 得04)23()23(2)1(2 2 2 =--+-++k x k k x k ∴]4)23)[(1(4)23(42 2 2 2 --+--=?k k k k )5124(42+--=k k )52)(12(4---=k k ∴当0>?即0)52)(12(<--k k ,即 25 21< 例若<<,则不等式-- <的解是1 0a 1(x a)(x )01a [ ] A a x B x a .<<. <<11a a C x a D x x a .>或<.< 或>x a a 11 分析比较与 的大小后写出答案. a 1a 解∵<<,∴<,解应当在“两根之间”,得<< . 选. 0a 1a a x A 11a a 例有意义,则的取值范围是 .2 x x 2 --x 6 分析 求算术根,被开方数必须是非负数. 解 据题意有,x 2-x -6≥0,即(x -3)(x +2)≥0,解在“两根之外”,所以x ≥3或x ≤-2. 例3 若ax 2+bx -1<0的解集为{x|-1<x <2},则a =________,b =________. 分析 根据一元二次不等式的解公式可知,-1和2是方程ax 2+bx -1=0的两个根,考虑韦达定理. 解 根据题意,-1,2应为方程ax 2+bx -1=0的两根,则由韦达定理知 -=-+=-=-=-???????b a a ()()121 1122 ×得 a b = =-12 12 ,. 例4 解下列不等式 (1)(x -1)(3-x)<5-2x (2)x(x +11)≥3(x +1)2 (3)(2x +1)(x -3)>3(x 2+2) (4)3x 2 -+--+-3132 5113 12 2x x x x x x >> ()() 分析 将不等式适当化简变为ax 2+bx +c >0(<0)形式,然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成). 答 (1){x|x <2或x >4} (2){x|1x }≤≤ 32 (3)? (4)R (5)R 说明:不能使用解公式的时候要先变形成标准形式. 例不等式+> 的解集为5 1x 11-x [ ] A .{x|x >0} B .{x|x ≥1} C .{x|x >1} D .{x|x >1或x = 0} 分析 直接去分母需要考虑分母的符号,所以通常是采用移项后通分. 解不等式化为+->, 通分得 >,即 >, 1x 0001111 2 2 ----x x x x x ∵x 2>0,∴x -1>0,即x >1.选C . 说明:本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解. 例与不等式 ≥同解的不等式是6 0x x --32 [ ] A .(x -3)(2-x)≥0 B .0<x -2≤1 C . ≥23 0--x x D .(x -3)(2-x)≤0 解法一原不等式的同解不等式组为≥, ≠. ()()x x x ---???32020 故排除A 、C 、D ,选B . 解法二≥化为=或-->即<≤ x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x 两边同减去2得0<x -2≤1.选B . 说明:注意“零”. 例不等式 <的解为<或>,则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1 [ ] 数学家高斯的故事 高斯(Gauss,1777—1855)、著名的德国数学家。1777年4月30日出生在德国的布伦兹维克。父亲是一个砌砖工人,没有什么文化。 还在少年时代、高斯就显示出了他的数学才能。据说、一天晚上,父亲在计算工薪账目、高斯在旁边指出了其中的错误、令父亲大吃一惊。10岁那年、有一次老师让学生将1、2、3、…连续相加、一直加到100、即1+2+3+…+100。高斯没有像其他同学那样急着相加、而是仔细观察、思考、结果发现: 1+100=101、2+99=101、3+98=101、…、50+51=101一共有50个101、于是立刻得到: 1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050 老师看着小高斯的答卷、惊讶得说不出话。其他学生过了很长时间才交卷、而且没有一个是算对的。从此、小高斯“神童”的美名不胫而走。村里一位伯爵知道后、慷慨出钱资助高斯、将他送入附近的最好的学校进行培养。 中学毕业后、高斯进入了德国的哥廷根大学学习。刚进入大学时、还没立志专攻数学。后来听了数学教授卡斯特纳的讲课之后、决定研究数学。卡斯特纳本人并没有多少数学业绩、但他培养高斯的成功、足以说明一名好教师的重要作用。 从哥廷根大学毕业后、高斯一直坚持研究数学。1807年成为该校的数学教授和天文台台长、并保留这个职位一直到他逝世。 高斯18岁时就发明了最小二乘法、19岁时发现了正17边形的尺规作图法、并给出可用尺规作出正多边形的条件、解决了这个欧几里得以来一直悬而未决的问题。为了这个发现、在他逝世后、哥廷根大学为他建立了一个底座为17边形棱柱的纪念像。 对代数学、高斯是严格证明代数基本定理的第一人。他的《算术研究》奠定了近代数论的基础、该书不仅在数论上是划时代之作、就是在数学史上也是不可多得的经典著作之一。高斯还研究了复数、提出所有复数都可以用平面上的点来表示、所以后人将“复平面”称为高斯平面、高斯还利用平面向量与复数之间的一一对应关系、阐述了复数的几何加法与乘法、为向量代数学奠定了基础。1828年高斯出版《关于曲面的一般研究》、全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学。并提出了内蕴曲面理论。高斯的数学研究几乎遍及当时的所有数学领域、而且在不少方面的研究走在了时代的前列。他在数学历史上的影响可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。 高斯一生共有155篇论文。他治学严谨、把直观的概念作为入门的向导、然后试图在完整的逻辑体系上建立其数学的理论。他为人谨慎、他的许多数学思想与结果从不轻易发表、而且、他的论文很少详细写明思路。所以有的人说:“这个人、像狐狸似的、把沙土上留下的足迹、用尾巴全部扫掉。” 典型例题一 例1 若10< 说明:解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在变形中脱去绝对值符号;解法二用对数性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法自然简捷、明快. 典型例题二 例2 设0>>b a ,求证:.a b b a b a b a > 分析:发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值与1的大小关系,从而证明不等式. 证明:b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ,∴ .0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a , ∴.a b b a b a b a >. 说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步 骤是:判断符号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ,求证 444 ()22 a b a b ++≥(当且仅当a b =时取等号) 分析 这个题若使用比较法来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有4 ( )2 a b +,展开后很复杂。若使用综合法,从重要不等式:2 2 2a b ab +≥出发,再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明:∵ 222a b ab +≥(当且仅当22 a b =时取等号) 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+, 即: 44222 ()22 a b a b ++≥ (1) 又:∵ 22 2a b ab +≥(当且仅当a b =时取等号) 两边同加2 2 2 2 2 ():2()()a b a b a b ++≥+ 如何由递推公式求通项公式 高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一,是一类考查思维能力的题型,要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式,重点是递推的思想:从一般到特殊,从特殊到一般;化归转换思想,通过适当的变形,转化成等差数列或等比数列,达到化陌生为熟悉的目的。 下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳,以供参考。 类型一:1()n n a a f n +-= 或 1 () n n a g n a += 分析:利用迭加或迭乘方法。即:112211()()+()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+…… 或1 21 121n n n n n a a a a a a a a ---=…… 例1.(1) 已知数列{}n a 满足11211 ,2n n a a a n n +==++,求数列{}n a 的通项公式。 (2)已知数列{}n a 满足1(1)1,2n n n a a s += =,求数列{}n a 的通项公式。 解:(1)由题知:121 1 1 1 (1)1n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++…… 1111111 ()()()121122 n n n n =-+-++-+---…… 312n = - (2)2(1)n n s n a =+Q 112(2)n n s na n --∴=≥ 两式相减得:12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥ 即:1(2) 1n n a n n a n -=≥- 12 1 121 n n n n n a a a a a a a a ---∴=??…… 121 121n n n n -=??--…… 典型例题一 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 (1)解:原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 (2)解法一:原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二:原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 第一章集合与常用逻辑用语 第一节集合 题型1-1 集合的基本概念 题型1-2 集合间的基本关系 题型1-3 集合的运算 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题型1-4 四种命题及关系 题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型1-7 判断命题的真假 题型1-8 含有一个量词的命题的否定 题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围 第二章函数 第一节映射与函数 题型2-1 映射与函数的概念 题型2-2 同一函数的判断 题型2-3 函数解析式的求法 第二节函数的定义域与值域(最值) 题型2-4 函数定义域的求解 题型2-5 函数定义域的应用 题型2-6 函数值域的求解 第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性 题型2-7 函数奇偶性的判断 题型2-8 函数单调性(区间)的判断 题型2-9 函数周期性的判断 题型2-10 函数性质的综合应用 第四节二次函数 题型2-11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型2-12 二次方程的实根分布及条件 题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题 第五节指数与指数函数 题型2-14 指数运算及指数方程、指数不等式题型2-15 指数函数的图象及性质 题型2-16 指数函数中恒成立问题 第六节对数与对数函数 题型2-17 对数运算及对数方程、对数不等式 题型2-18 对数函数的图象与性质 题型2-19 对数函数中恒成立问题 第七节幂函数 题型2-20 求幂函数的定义域 题型2-21 幂函数性质的综合应用 第八节函数的图象 题型2-22 判断函数的图象 题型2-23 函数图象的应用 第九节函数与方程 题型2-24 求函数的零点或零点所在区间 题型2-25 利用函数的零点确定参数的取值范 围 题型2-26 方程根的个数与函数零点的存在性 问题 第十节函数综合 题型2-27 函数与数列的综合 题型2-28 函数与不等式的综合 题型2-29 函数中的信息题 第三章导数与定积分 第一节导数的概念与运算 题型3-1 导数的定义 题型3-2 求函数的导数 第二节导数的应用 题型3-3 利用原函数与导函数的关系判断图像 题型3-4 利用导数求函数的单调性和单调区间 题型3-5 函数的极值与最值的求解 题型3-6 已知函数在区间上单调或不单调,求 参数的取值范围 题型3-7 讨论含参函数的单调区间 题型3-8 利用导数研究函数图象的交点和函数 零点个数问题 题型3-9 不等式恒成立与存在性问题 题型3-10 利用导数证明不等式 题型3-11 导数在实际问题中的应用 第三节定积分和微积分基本定理 题型3-12 定积分的计算 题型3-13 求曲边梯形的面积 第四章三角函数 第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和 诱导公式 题型4-1 终边相同角的集合的表示与识别 题型4-2 α 2 是第几象限角 题型4-3 弧长与扇形面积公式的计算 题型4-4 三角函数定义 题型4-5 三角函数线及其应用 题型4-6 象限符号与坐标轴角的三角函数值 题型4-7 同角求值——条件中出现的角和结论 中出现的角是相同的 题型4-8 诱导求值与变形 第二节三角函数的图象与性质 题型4-9 已知解析式确定函数性质 题型4-10 根据条件确定解析式 题型4-11 三角函数图象变换 第三节三角恒等变换 题型4-12 两角和与差公式的证明 题型4-13 化简求值 第四节解三角形 题型4-14 正弦定理的应用 题型4-15 余弦定理的应用 题型4-16 判断三角形的形状 题型4-17 正余弦定理与向量的综合 题型4-18 解三角形的实际应用 第五章平面向量 第一节向量的线性运算 题型5-1 平面向量的基本概念 题型5-2 共线向量基本定理及应用 题型5-3 平面向量的线性运算 题型5-4 平面向量基本定理及应用 题型5-5 向量与三角形的四心 题型5-6 利用向量法解平面几何问题 第二节向量的坐标运算与数量积 题型5-7 向量的坐标运算 题型5-8 向量平行(共线)、垂直充要条件的坐 标表示 题型5-9 平面向量的数量积 题型5-10 平面向量的应用 第六章数列 第一节等差数列与等比数列 题型6-1 等差、等比数列的通项及基本量的求 解 题型6-2 等差、等比数列的求和 题型6-3 等差、等比数列的性质应用 题型6-4 判断和证明数列是等差、等比数列 题型6-5 等差数列与等比数列的综合 第二节数列的通项公式与求和 题型6-6 数列的通项公式的求解 题型6-7 数列的求和 第三节数列的综合 题型6-8 数列与函数的综合 题型6-9 数列与不等式综合 第七章不等式 第一节不等式的概念和性质 题型7-1 不等式的性质 题型7-2 比较数(式)的大小与比较法证明不 等式 第二节均值不等式和不等式的应用 题型7-3 均值不等式及其应用 题型7-4 利用均值不等式求函数最值 题型7-5 利用均值不等式证明不等式 题型7-6 不等式的证明 第三节不等式的解法 题型7-7 有理不等式的解法 题型7-8 绝对值不等式的解法 第四节二元一次不等式(组)与简单的线性规 划问题 题型7-9 二元一次不等式组表示的平面区域 题型7-10 平面区域的面积 题型7-11 求解目标函数中参数的取值范围 题型7-12 简单线性规划问题的实际运用 第五节不等式综合 题型7-13 不等式恒成立问题中求参数的取值 范围 1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 (1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围; (2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. (1)由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-,则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立, 而()()2 '21f x x =--+,其最大值为1. 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? (2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b = 当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-, 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 高考数学典型题归纳 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页.满分150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.若全集U ={1,2,3,4,5,6},M ={1,4},N ={2,3},则集合等于 A .{2,3} B .{2,3,5,6} C .{1,4} D .{1,4,5,6} 2.设复数满足,则z 的共轭复数z = A . B . C . D . 3. “x <0”是“ln(x +1)<0”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 4.抛物线()2 40y ax a = ≠的焦点坐标是 A. ()0,a B. (),0a C. 10,16a ? ? ??? D. 1,016 a ?? ??? 5. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差2d =,236n n S S +-=,则n = A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm )可得这个几何体的体积是 A. 4 3 3cm B. 833cm C.33cm D.4 3cm 7. 已知实数满足约束条件11y x x y y ≤?? +≤??≥-? ,则的 最大为 A . B. C. D. 8. 若执行如图所示的程序框图,则输出的值是 ,x y 2z x y =+3323 2 -3-k ()N M 题型1、集合的基本概念 题型2、集合间的基本关系 题型3、集合的运算 题型4、四种命题及关系 题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型6、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围题型7、判断命题的真假 题型8、含有一个量词的命题的否定 题型9、结合命题真假求参数的范围 题型10、映射与函数的概念 题型11、同一函数的判断 题型12、函数解析式的求法 题型13、函数定义域的求解 题型14、函数定义域的应用 题型15、函数值域的求解 题型16、函数的奇偶性 题型17、函数的单调性(区间) 题型18、函数的周期性 题型19、函数性质的综合 题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型21、二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布及条件 题型22、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题 题型23、指数运算及指数方程、指数不等式 题型24、指数函数的图像及性质 题型25、指数函数中的恒成立的问题 题型26、对数运算及对数方程、对数不等式 题型27、对数函数的图像与性质 题型28、对数函数中的恒成立问题 题型29、幂函数的定义及基本性质 题型30、幂函数性质的综合应用 题型31、判断函数的图像 题型32、函数图像的应用 题型33、求函数的零点或零点所在区间 题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围 题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型36、函数与数列的综合 题型37、函数与不等式的综合 题型38、函数中的创新题 题型39、导数的定义 题型40、求函数的导数 题型41、导数的几何意义 题型42、利用原函数与导函数的关系判断图像 题型43、利用导数求函数的单调区间 题型44、含参函数的单调性(区间) 题型45、已知含参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间,求参数范围题型46、函数的极值与最值的求解 题型47、方程解(函数零点)的个数问题 题型48、不等式恒成立与存在性问题高考数学大题经典习题
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