2017年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足：，则复数z的虚部为（）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
2．已知集合A={x|log2（x﹣1）＜1}，，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）
A
．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x
4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
5．如图所示程序框图，其功能是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．在数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，且（n ∈N +），则S 100=（ ）
A ．0
B ．1300
C ．2600
D ．2602
8．若函数f （x ）=2sin （）（﹣2＜x ＜10）的图象与x 轴交于点A ，过点
A 的直线l 与函数的图象交于
B 、
C 两点，则（+
）?
=（ ）
A ．﹣32
B ．﹣16
C ．16
D ．32
9．2017年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六人队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ） A ．34种 B ．48种
C ．96种
D ．144种
10．函数
（﹣π≤x ≤π且x ≠0）的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图，已知椭圆C 1：
，曲线C 2：y=x 2﹣1与y 轴的交点为M ，过坐
标原点O 的直线l 与C 2相交于A ，B 两点，直线MA ，MB 分别与C 1相交于D ，E
两点，则的值是（）
A．正数B．0 C．负数D．皆有可能
12．已知函数f（x）=|lnx|，若方程|f（x）+g（x）|=a 有4个实根，则a的取值范围是（）
A．（0，1]B．（0，2﹣ln2）C．[1，2﹣ln2] D．[1，2﹣ln2）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数则不等式f（x）＞1的解集为．
14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．15．设非零向量与夹角是，且，则的最小值是．16．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），
若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，D 是BC边上的一点．
（Ⅰ） 求角B 的大小；
（Ⅱ） 若AC=7，AD=5，DC=3，求AB 的长．
18．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥AB ，EF ⊥EA ，AB=2EF=2，∠AED=90°，AE=ED ，H 为AD 的中点． （1）求证：EH ⊥平面ABCD ；
（2）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角B ﹣FD ﹣P 的大小为？若存在，
求出BP 的长；若不存在，请说明理由．
19．2016年10月21日，台风“海马”导致江苏、福建、广东3省11市51个县（市、区）189.9万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E （ξ）和方差D （ξ）．
附：，其中n=a+b+c+d
20．已知直线y=x﹣1过椭圆C：的右焦点，且椭圆C的离
心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）以椭圆C：的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内
圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为F2，试判断△PF2Q的周长是否为定值，若是求出该定值．
21．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．
（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a 的值；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有
＞2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．已知直线l的参数方程为（其中t为参数），曲线C1：
ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．
（1）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；
（2）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离最大值及点P．若不存在，请说明理由．
选修4-5：不等式选讲
23．已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．
（1）求M；
（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．
2017年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足：，则复数z的虚部为（）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．
【解答】解：由，
得=1﹣i，
则复数z的虚部为：﹣1．
故选：D．
2．已知集合A={x|log2（x﹣1）＜1}，，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用对数函数的单调性化简集合A，利用不等式的解法可得B，再利用简易逻辑的判定方法即可得出．
【解答】解：由log2（x﹣1）＜1，可得0＜x﹣1＜2，解得1＜x＜3．
∴A=（1，3）．
由＜0，?（x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣1＜x＜3．∴B=（﹣1，3）．
则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．
故选：A．
3．已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）
A
．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程．
【解答】解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，±2）．
双曲线my2﹣x2=1（m∈R）的焦点坐标为（0，±），
∵双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，
∴=2，∴m=，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x．
故选：A．
4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，
则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，
又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，
则a﹣2d=a﹣2×=．
故选：B．
5．如图所示程序框图，其功能是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】EF：程序框图．
【分析】由已知的程序框图，我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数
y=的值，结合输入的x值与输出的y值相等，我们分类讨论后，即可得到结论．
【解答】解：由题意得该程序的功能是：
计算并输出分段函数y=的值，
又∵输入的x值与输出的y值相等，
当|x|≤1时，x=x3，解得x=0，或x=±1，
当|x|＞1时，x=ln|x|，无解．
故满足条件的x值共有3个．
故选：B．
6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，
四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，
圆锥的底面半径是1、高是2，
∴所求的体积V==，
故选：B．
7．在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且（n∈N+），则S100=（）A．0 B．1300 C．2600 D．2602
【考点】8E：数列的求和．
【分析】奇数项：a2k
+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k
﹣1
=a2k
﹣1
，偶数项：a2k
+2
=1+（﹣1）2k+a2k=2+a2k，
所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2，由此能求出S奇数项：a2k
+1
=1+
（﹣1）2k﹣1+a2k
﹣1=a2k
﹣1
，故能求出S100．
【解答】解：奇数项：a2k
+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k
﹣1
=a2k
﹣1
，
=1+（﹣1）2k+a2k=2+a2k
偶数项：a2k
+2
所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2
a100=a2+49×2=100，
S100=50×a1+50×（a1+a100）×
=50+50（2+100）×=2600．
故选：C．
8．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点
A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）?=（）
A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32
【考点】9R：平面向量数量积的运算；H2：正弦函数的图象．
【分析】由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解
【解答】解：由f（x）=2sin（）=0可得
∴x=6k﹣2，k∈Z
∵﹣2＜x＜10
∴x=4即A（4，0）
设B（x1，y1），C（x2，y2）
∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点
∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0
则（+）?=（x1+x2，y1+y2）?（4，0）=4（x1+x2）=32
故选D
9．2017年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六人队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）
A．34种B．48种C．96种D．144种
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分3步进行分析：①、先分析队长，由题意易得其站法数目，
②、甲、乙两人必须相邻，用捆绑法将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，
③、将甲乙整体与其余3人进行全排列；由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①、队长主动要求排在排头或排尾，则队长有2种站法；
②、甲、乙两人必须相邻，将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，有A22=2种情况；
③、将甲乙整体与其余3人进行全排列，有A44=24种情况，
则满足要求的排法有2×2×24=96种；
故选：C．
10．函数（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象是（）
A．B．
C．D．
【考点】3O：函数的图象．
【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．
【解答】解：函数（﹣π≤x≤π且x≠0），
f（﹣x）=（﹣x+）（﹣sinx）=（x﹣）sinx=f（x），函数是偶函数，排除选项C、D．
当x=时，f（）=（）×＜0，排除A，
故选：B．
11．如图，已知椭圆C1：，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E 两点，则的值是（）
A．正数B．0 C．负数D．皆有可能
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】由题意设出A，B的坐标，再设出过原点的直线l的方程，联立直线方
程与抛物线方程，利用根与系数的关系可得，再结合，
得答案．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
过原点的直线l：y=tx，
联立，得x2﹣tx﹣1=0．
则x1+x2=t，x1x2=﹣1．
∴=x1x2+（y1+1）（y2+1）
=（t2+1）x1x2+t（x1+x2）+1=﹣（t2+1）+t2+1=0．
而，，
∴=．
故选：B．
12．已知函数f（x）=|lnx|，若方程|f（x）+g（x）|=a 有4个实根，则a的取值范围是（）
A．（0，1]B．（0，2﹣ln2）C．[1，2﹣ln2] D．[1，2﹣ln2）
【考点】54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】令h（x）=f（x）+g（x），求出h（x）的解析式，判断h（x）的单调性，作出|h（x）|的图象，根据图象得出a的范围．
【解答】解：f（x）=|lnx|=，g（x）=，
∴f（x）+g（x）=，
令h（x）=f（x）+g（x），
当0＜x≤1时，h（x）是减函数，
当1＜x≤2时，h′（x）==＜0，∴h（x）在（1，2]上是减函数，
当x＞2时，h′（x）=＞0，∴h（x）在（2，+∞）上单调递增．
作出h（x）的函数图象如图所示：
将x轴下方的图象翻折到x轴上方，得到y=|h（x）|的函数图象，如图：
由图象可知，当1≤a＜2﹣ln2时，|h（x）|=a有4个解．
故选D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数则不等式f（x）＞1的解集为．【考点】5B：分段函数的应用；7J：指、对数不等式的解法．
【分析】根据题意，由f（x）＞1，变形可得①或②，解①②再取并集可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数的解析式为，
若不等式f（x）＞1，①或②，
解①可得：﹣1＜x≤0，
解②可得：0＜x＜，
综合可得：x的取值范围：﹣1＜x＜，
即（x）＞1的解集为（﹣1，）；
故答案为：（﹣1，）．
14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40．
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值来，然后再由规律求出常数项
【解答】解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，
所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为
由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40
故答案为40
15．设非零向量与夹角是，且，则的最小值是
．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】由可知=﹣，根据数量积的定义可得=﹣|||
|，从而得出||=||，计算的平方得出关于t的函数，从而得出最小值．
【解答】解：∵，∴=+2+，即=﹣=﹣||2，∵=||||cos=﹣||||，
∴﹣||2=﹣||||，即||=||，
∴（）2==t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3，
∴当t=1时，取得最小值．
故答案为．
16．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），
若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为（1，）．【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，画出区域Ω，由
=﹣1的几何意义是点（x，y）与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，结合图象，连接PA，可得斜率最大，再由双曲线的a，b，c关系和离心率公式计算即可得到所求范围．
【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，
抛物线y2=﹣4x的准线1：x=1，
渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，如图，
=﹣1的几何意义是点（x，y）
与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，
求得A（1，），B（1，﹣），
连接PA，可得斜率最大为，
由题意可得﹣1＜0，
可得＜3，即3a＞b，9a2＞b2=c2﹣a2，
即c2＜10a2，即有c＜a．
可得1＜e＜．
故答案为：（1，）．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，D 是BC边上的一点．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若AC=7，AD=5，DC=3，求AB的长．
【考点】HP ：正弦定理．
【分析】（Ⅰ）根据三角形内角和定理和正弦定理化简可得角B 的大小； （Ⅱ）根据余弦定理，求出∠ADC ，在利用正弦定理即可求AB 的长．
【解答】解：（Ⅰ） 由，
得
，即
，
根据正弦定理，．
∴
，
又0°＜B ＜180°， ∴B=45°．
（Ⅱ） 在△ADC 中，AC=7，AD=5，DC=3，
由余弦定理得
=
，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
在△ABD 中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理，得
，
故得AB=．
18．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥AB ，EF ⊥EA ，AB=2EF=2，∠AED=90°，AE=ED ，H 为AD 的中点． （1）求证：EH ⊥平面ABCD ；
（2）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角B ﹣FD ﹣P 的大小为？若存在，
求出BP 的长；若不存在，请说明理由．
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出AB⊥EA，AB⊥AD，从而AB⊥EH，再求出EH⊥AD．由此能证明EH⊥平面ABCD．
（2）由AD，OH，HE两两垂直，建立空间直角坐标系H﹣xyz，利用向量法能求出结果．
【解答】证明：（1）因为AB∥EF，EF⊥EA，所以AB⊥EA．
因为AB⊥AD，且EA∩AD=A，所以AB⊥平面AED．
因为EH?平面AED，所以AB⊥EH．
因为AE=ED，H是AD的中点，所以EH⊥AD．
又AB∩AD=A，所以EH⊥平面ABCD．
解：（2）因为AD，OH，HE两两垂直，
如图，建立空间直角坐标系H﹣xyz，
则A（1，0，0）D（﹣1，0，0），F（0，1，1），O（0，1，0），C（﹣1，2，0）．设点P（m，2，0）（﹣1≤m＜1），
于是有，．
设平面PDF的法向量，则，即．
令x=2，得y=﹣（m+1），z=m﹣1，所以．
平面BDF的法向量，
所以，解得m=﹣1．
所以点P的坐标为（﹣1，2，0），
与点C的坐标相同，所以BP=BC=2．