实验中学2015级第一次月考
数学试题 2015/10
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)
1.
A 2. 下列各组函数是同一函数的是
A .211
,1
1
--=
-+=
x
y x x y B .1,112-=+?-=x y x x y
C .33,
x y x y == D . 2)(|,|x y x y ==
3. 下列函数中,在R 上是增函数的是
A . 1+-=x y
B .2y x =-
C .1
y x =
D . 3y x =
4. 已知集合{}{}7,6,5,3,2,1,8,6,4,2,1==B A ,设B A P =,则集
合P 的真子集个数为
A .8
B .7
C .6
D .5
5. 已知??
???≤->-=020)3()(3
x x x x x f x f ,则)]5([f f = A .-3 B . 1 C .-1 D . 4
6.函数
)2()()(x x x g x x f -==与的单调增区间依次为
A .(-∞,0] ,[1,+∞)
B .(-∞,0],(-∞,1]
C .[0,+∞), [1,+∞)
D .[0,+∞),(-∞,1]
7. 下列说法中正确的有
①若任取x 1,x 2∈I ,当x 1<x 2时,f (x 1)<f (x 2),则y =f (x )在I 上是增函数; ②函数y =x 2在R 上是增函数; ③函数y =-1
x 在定义域上是增函数; ④y =1
x 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
A .0个
B .1个
C .2个
D .3个 8. 函数f (x )=-x 2+4x +a ,x ∈[0,1],若f (x )有最小值-2,则最大值为
A .-1
B .0
C .1
D .2
9.函数f (x )=|x -1|的图象是( )
10.定义在R 上的偶函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数,又f (7)=6,则f (x )( )
A .在[-7,0]上是增函数,且最大值是6
B .在[-7,0]上是减函数,且最大值是6
C .在[-7,0]上是增函数,且最小值是6
D .在[-7,0]上是减函数,且最小值是6
11. 设B A ,是非空集合,定义},|{B A x B A x x B A ???∈=?且,已知
}20|{≤≤=x x A ,}0|{≥=x x B ,则B A ?等于
A .),2(+∞
B .),2[]1,0[+∞?
C .),2()1,0[+∞?
D . ),2(]1,0[+∞?
12.???≥-<+-=)1( , )
1( ,4)13()(x ax x a x a x f 是定义在),(+∞-∞上的减函数,则a 的取值范围
是
A .[11
,)83
B .[1
0,3]
C .(1
0,)3
D .(1
,3
-∞]
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.已知全集
=,或
,{}03|<+=x x N ,则
(N M C U ?
14. 若函数f (x )=kx 2+(k -1)x +3是偶函数,则f (x )的递减区间是________. 15. 已知02)13(2)(++-=
x x
x x f ,则)(x f 的定义域为 .
16. 若函数a x y -=4在区间]4,(-∞上单调递减,则实数a 的取值范围是 .
三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程.)
17. (本题满分10分) 集合{}{}B A a B a a A ?∈+=-+=5,5,
2|,3|,32,2,32且若,
求实数a 的值.
19.(本题满分12分) 已知函数1
)(-=
x x
x f , (Ⅰ)求)(x f 的定义域和值域;
(Ⅱ)判断函数)(x f 在区间(2,5)上的单调性,并用定义来证明所得结论.
20.(本题满分12分)定义在实数集R 上的函数y =f (x )是偶函数,当x ≥0时,f (x )=-4x 2+8x -3.
(1)求f (x )在R 上的表达式;
(2)求y =f (x )的最大值,并写出f (x )在R 上的单调区间(不必证明).
21.(本题满分12分)为鼓励节约用水,某市打算出台一项水费政策措施.规定:每季度每人用水量不超过5吨时,每吨水费收基本价1.3元;若超过5吨而不超过6吨时,超过部分的水费按基本价3倍收取;若超过6吨而不超过7吨时,超过部分的水费按基本价5倍收取.
某人本季度实际用水量为)70(≤≤x x 吨,应交水费为()f x 元。 (Ⅰ)求)5.6(),5.5(),
4(f f f 的值;
(Ⅱ)试求出函数()f x 的解析式.
22.(本题满分12分)设函数y =f (x )的定义域为R ,并且满足f (x +y )=f (x )+f (y ),f (1
3)=1,且当x >0时,f (x )>0.
(1)求f (0)的值; (2)判断函数的奇偶性;
(3)如果f (x )+f (2+x )<2,求x 的取值范围.
18.解:(Ⅰ) ∵ f(x)为二次函数 f(1)=f(3)=0
∴对称轴为x=2 ……………1分 ∵二次函数f(x)的最小值为1-
∴设二次函数的解析式为:0,1)2()(2>--=a x a x f ……………2分
∵f(1)=0 ∴a 1-=0 即 a=1 ……………4分 ∴f(x)=(x-2)2 -1 =x2-4x+3
故a=1, b=4-, c=3 …………6分 (Ⅱ)f(x)的单调减区间为:[-1,2],单调增区间为:[2,4]………8分 ∴f(x)在x=2处取得最小值为1- …………9分
而f(x)在x=1-处取得最大值为8 ………10分 故f(x)在[-1,4]上的的值域为:[1-,8] ………12分
20.解: (1)设x <0,则-x >0,…………1分
f (-x )=-4(-x )2+8(-x )-3=-4x 2-8x -3. …………3分 ∵f (x )是R 上的偶函数,∴f (-x )=f (x ).…………4分 ∴当x <0时,f (x )=-4x 2-8x -3. …………6分
∴f (x )=?
??
-4x 2
+8x -3 (x ≥0),
-4x 2
-8x -3 (x <0).…………7分 (2)结合f (x )的图象可知:y =f (x )有最大值f (x )max =f (-1)=f (1)=1. …………10分
函数y =f (x )的单调递增区间是(-∞,-1]和(0,1],单调递减区间是(-1,0]和(1,+∞).…………12分
22.解:∴f (0)=0. …………2分 (2)令y =-x ,得f (0)=f (x )+f (-x )=0.
∴f (-x )=-f (x ),故函数f (x )是R 上的奇函数.…………5分 (3)任取x 1,x 2∈R ,x 1
∴f (x 2)-f (x 1)=f (x 2-x 1+x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)>0. …………7分
∴f (x 1) 3)=2. ∴f (x )+f (2+x )=f [x +(2+x )] =f (2x +2) 3).…………10分 又由y =f (x )是定义在R 上的增函数,得2x +2<23,解之得x <-2 3. 故x ∈(-∞,-2 3).…………12分