反比例函数
● 用函数观点解实际问题学习技巧，
⑴要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），
⑵要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围； ⑶要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有
利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路
基础训练一、填空题
1．长方形的面积为60cm 2，如果它的长是ycm ，宽是xcm ，那么y 是x 的 函数关系，y 写成x 的关系式是 。
2．A 、B 两地之间的高速公路长为途中是匀速直线运动，速度为v
函数，t 可以写成v 3系式是 ；反比例函数关系式是二、选择题
1．三角形的面积为8cm 2x （cm
2A ：小明完成100m 赛跑时，时间t 系。
B ：菱形的面积为48cm 2
C ：一个玻璃容器的体积为30L 时，的关系。
D ：压力为600N 时，压强p 3．如图，A 、B 、C B 、C 向x 、y 轴作垂线，S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3A ：S 1＝S 2＞S 3 B ：S 1C ：S 1＞S 2＞S 3 D ：S 1（三）解答题
1池中的水所用的时间t(h)（1（2）写出此函数的解析式
（3）若要6h （4）如果每小时排水量是5m 3，那么水池中的水将要多长时间排完？
2．如图正比例函数y=k 1x
A 向x 轴y （1（2（3）求△ODC 的面积。
能力提升 创新思维拓展
例1、某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间x (分钟)成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题图中所提供的信息解答下列问题：
(1)药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为________，自变量x 的取值范围是________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为________． (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量小于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，学生才能回到教室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
针对训练：1、制作一种产品，需先将材料加热，达到60℃后，再进行操作，据了解，该材料加热时，温度y ℃与时间x （min ）成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y ℃与时间x （min ）成反比例关系，如图所示，已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5min
后温度达到60 ℃。
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料温度低于15 ℃时，必须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
例3.某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD。该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米。设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB的长为x米，修建健身房的总投入为y元。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）为了合理利用大厅，要求自变量x必须满足8≤x≤12.当投入资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少米？
针对训练：海门吉安隧道是中国大陆第一条海底隧道，设计主线时速为80km/h，计划2009年通车，隧道全长9km，其中海底隧道6km，隧道建筑限界净宽13.5m，净高5m。（隧道可以看作长方体）
（1）求每天挖出土方量m（m3）与开挖隧道天数n的函数关系：并求通车后，列车通过隧道的时速v与时间t的函数关系；
（2）计划2009年通车，假设一期工程打通隧道共计约1000天，问每天至少挖运多少m3的土方，每天进展至少为多少米？
初中反比例函数习题集合（经典） （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11 += x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2 x y =-⑥13y x = ； 其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 （4）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （6）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5）和（2， n ）， 求（1）n 的值；（2）判断点B （24，2-）是否在这个函数图象上，并说明理由 （7）已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1； x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值． （8）若反比例函数2 2)12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （9）已知0k >，函数y kx k =+和函数k y x =在同一坐标系内的图象大致是（ ） （10）正比例函数2x y = 和反比例函数2 y x =的图象有 个交点． （11）正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图象相交于点A （1，a ）， 则a ＝ ． （12）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =． x y O x y O x y O x y O A B C D
实际问题与反比例函数（1） 1．京沈高速公路全长658km，汽车沿路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为 2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式 3．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10时，ρ＝1.43，（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V＝2时氧气的密度ρ 4．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）,（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ （2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？5．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6 吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天, （1）则y与x之间有怎样的函数关系 （2）画函数图象 （3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？ 实际问题与反比例函数 (二) 达标练习： 1、某蓄水池的排水管每小时排水8米3，6小时可交将满池水全闻排空。 （1）蓄水池的容积是多少？ （2）如果每小时排水量达到Q（米）3，那么将满池水排空所需时间为t(小时)，
写出t 与Q 之间的函数关系。 2、学校锅炉旁建有一个储煤为库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完。若每天耗煤量为x 吨，那么这批煤能维持y 天。 （1） y 与x 之间有怎样的函数关系？ （2） 请画出函数图象； （3） 若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？ 巩固提高 1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气体体积V （立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位） （1）写出这个函数的解析式； （2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？ 实际问题与反比例函数（三） 求反比例有关的面积 1、如图2，在x 轴上点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线交双曲线x y 8 于点B ，连结BO 交AP 于C ，设△AOP 的面积为S 1，△BOD 面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是S 1 S 2。（选填“>”“<”或“＝”）面积= 。 O x y 图2 A B D P C
一、选择题 1. （2011?泰州，5，3分）某公司计划新建一个容积V （m 3）一定的长方体污水处理池，池的底面积S （m 2）与其深度h （m ）之间的函数关系式为错误!未找到引用源。(0)v S h h =≠，这个函数的图象大致是（ ） A 、 B 、. C 、. D 、. 考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。 专题：几何图形问题；数形结合。 分析：先根据长方体的体积公式列出解析式，再根据反比例函数的性质解答．注意深度h （m ） 的取值范围． 解答：解：根据题意可知：(0)v S h h =≠错误!未找到引用源。， 依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分． 故选C ． 点评：主要考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解 题．反比例函数y=错误!未找到引用源。的图象是双曲线，当k ＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限； 当k ＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 2. （2011湖北咸宁，5，3分）直角三角形两直角边的长分别为x ，y ，它的面积为3，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。 专题：图表型。 分析：根据题意有：xy=3；故y 与x 之间的函数图象为反比例函数，且根据x y 实际意义x 、y 应大于0，其图象在第一象限；故可判断答案为C ． 解答：解：∵错误!未找到引用源。xy=3，
∴y=错误!未找到引用源。（x＞0，y＞0）． 故选C． 点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．3.（2011黑龙江大庆，4，3分）若一个圆锥的侧面积是10，则下列图象中表示这个圆锥 母线l与底面半径r之间的函数关系的是（） A、B、C、D、 考点：圆锥的计算；反比例函数的图象；反比例函数的应用。 专题：应用题。 分析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求得圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系，看属于哪类函数，找到相应的函数图象即可．解答：解：由圆锥侧面积公式可得l=错误!未找到引用源。，属于反比例函数． 故选D． 点评：本题考查了圆锥的计算及反比例函数的应用的知识，解决本题的关键是利用圆锥的侧面积公式得到圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系． 4.（2011?南充，7，3分，）小明乘车从南充到成都，行车的平均速度v（km/h）和行车时间t（h）之间的函数图象是（） A、B、 C、D、 考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。 专题：数形结合。 分析：根据时间t、速度v和路程s之间的关系，在路程不变的条件下，得v=错误!未找到引用源。，则v是t的反比例函数，且t＞0． 解答：解：∵v=错误!未找到引用源。（t＞0）， ∴v是t的反比例函数， 故选B． 点评：本题是一道反比例函数的实际应用题，注：在路程不变的条件下，v是t的反比例函数．
反比例函数经典中考例题解析二 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、反比例函数y ＝ x n 5 图象经过点（2，3），则n 的值是（ ）． A 、－2 B 、－1 C 、0 D 、1 2、若反比例函数y ＝ x k （k ≠0）的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点（ ）． A 、（2，－1） B 、（－ 2 1 ，2） C 、（－2，－1） D 、（ 2 1 ，2） 3、(08双柏县)已知甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ） 4、若y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，则y 与z 之间的关系是（ ）． A 、成正比例 B 、成反比例 C 、不成正比例也不成反比例 D 、无法确定 5、一次函数y ＝kx －k ，y 随x 的增大而减小，那么反比例函数y ＝ x k 满足（ ）． A 、当x ＞0时，y ＞0 B 、在每个象限内，y 随x 的增大而减小 C 、图象分布在第一、三象限 D 、图象分布在第二、四象限 6、如图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂 线PQ 交双曲线y ＝ x 1 于点Q ，连结OQ ，点P 沿x 轴正方向运动时， Rt △QOP 的面积（ ）． A 、逐渐增大 B 、逐渐减小 C 、保持不变 D 、无法确定 Q p x y o t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O A ． B ． C ． D ．
7、在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量 m 的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度ρ也随之改变． ρ与V 在一定范围内满足ρ＝ V m ，它的图象如图所示，则该 气体的质量m 为（ ）． A 、1.4kg B 、5kg C 、6.4kg D 、7kg 8、若A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （－1，y 3）三点都在函数y ＝－x 1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大 小关系是（ ）． A 、y 1＞y 2＞y 3 B 、y 1＜y 2＜y 3 C 、y 1＝y 2＝y 3 D 、y 1＜y 3＜y 2 9、已知反比例函数y ＝ x m 21-的图象上有A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）． A 、m ＜0 B 、m ＞0 C 、m ＜2 1 D 、m ＞ 2 1 10、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两 点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围 是（ ）． A 、x ＜－1 B 、x ＞2 C 、－1＜x ＜0或x ＞2 D 、x ＜－1或0＜x ＜2 二、填空题（每小题3分，共30分） 11.某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的函数关系式 为 . 12、已知反比例函数 x k y = 的图象分布在第二、四象限，则在一次函数b kx y +=中，y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”或“不变”）． 13、若反比例函数y ＝x b 3 -和一次函数y ＝3x ＋b 的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为6，则b ＝ ． 14、反比例函数y ＝（m ＋2）x m 2 － 10的图象分布在第二、四象限内，则m 的值为 ．
探究内容：1.2反比例函数的图象与性质（第3课时） 目标设计：1、能够求反比例函数与一次函数的解析式及其交点坐标； 2、培养学生自主探究知识的能力。 重点难点：根据已知条件求函数解析式。 探究准备：作图工具、小黑板等。 探究过程： 一、复习导入： 1、一次函数y kx b =+ （0k ≠）与x 轴、y 轴交点： x 轴：（,0b k -） y 轴：（0,b ） 反比例函数与x 轴、y 轴无交点。 2、当0k >时，一次函数图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；反比例函数图象分两支在一、三象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 当0k <时，类似。 二、新知探究： 题例： 1、如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数的图象交于M 、N 两点。 ⑴求反比例函数和一次函数的解析式； ⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围。 分析： ⑴∵点N （-1，-4）在反比例函数k y x =的图象上 ∴41 k -= - 即 4k = ∴反比例函数的解析式为4y x =。 又∵点M （2，M ）也在双曲线上 ∴4 22 m == ∴点M 的坐标为（2，2）。 又∵点M （2，2），点N （-1，-4）均在y ax b =+的图象上 N
∴224a b a b +=?? -+=-? 解得 2 2a b =??=-? ∴一次函数的解析式为22y x =-。 ⑵由图象可知，当02x <<或1x <-时，反比例函数值大于一次函数的值。 解析如下： ∵422y y x x =>=- ∴422x x >- 即21x x >- ① 分两种情况讨论： ①当0x >时，①式可化为220x x --< 即()()210x x -+< ∴2010x x ->?? +? 即21x x >??<-? 或2 1x x -? ∴02x << ②当0x <时，①式可化为220x x --> 即()()210x x -+> ∴2010x x ->?? +>?或2010x x -??>-? 或2 1x x
反比例函数知识点归纳和典型例题 知识点归纳 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称 点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三 角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线 与双曲线的关系： 当 时，两图象没有交点； 当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
5.2反比例函数(3) 教材分析： 本节课学习用待定系数法来求反比例函数的解析式和根据反比例函数的性质求矩形的面积．确定反比例函数解析式也是解决实际问题的基础，让学生进一步立即ｋ的意义． 学生分析： 用待定系数法求函数解析式学生在学习一次函数时有所了解，所以本节课可以对比求一次函数解析式的方法学习，让学生明白由于反比例函数只有一个待定系数ｋ，所以只需知道图象上一个点的坐标就可以求出ｋ. 教学目标： 知识与技能：1、能运用一次函数与反比例函数的图象和性质解决有关问题． 2、一步提高学生的分析能力归纳能力与数形结合能力． 过程与方法：经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题. 情感态度和价值观：激发学生积极参与交流，并积极发表意见，个性化的表达自己的见解．教学重难点： 重点：用待定系数法确定反比例函数解析式. 难点：用反比例函数知识求矩形面积. 课前准备 教具准备教师准备PPT课件 课时安排：4课时 教学过程： 知识回顾： 解析式： k y x （k是常数，k≠0） 图象：双曲线 性质：1. 当k>0时, 图象的两个分支分别在第一、三象限内．在每个象限内，y随x的增大 而减小； 2. 当k<0时, 图象的两个分支分别在第二、四象限内．在每个象限内，y随x的增大而增大. 【设计意图】： 通过对反比例函数解析式、图象、性质的回顾，一方面巩固学生的旧知，另一方面对本 节课的学习起到引入作用. 自学指导： 阅读课本第20－22页，例3，例4完成以下内容： 1、怎样利用反比例函数的知识求矩形的面积 2、怎样利用反比例函数的知识求三角形的面积
合作探究一: 矩形的面积 任取一点向两坐标轴作垂线得到的矩形面积是一个定值，为｜k |. 合作探究二: 三角形的面积 三角形的面积是定值 【设计意图】： 以上结论先由学生独立思考，再由小组合作，在交流中通过思维的碰撞，使思路变得清晰. 当堂检测： 1．反比例函数y =k /x 的图象经过点(-2,-1),那么k 的值为_________. 2．如果点(a ,-2a )在函数y =k /x 的图象上,那么k ______0.(填“>”或“<”) 3．已知反比例函数 ，当____时，其图象的两个分支在第二、四象限内；当______时，其图象在每个象限内随的增大而减小. 4．若ab < 0，则函数y =ax 与y =b /x 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） 5．如图,面积为2的△ABC ,一边长为x ,这边上的高为y ,则y 与x 的变化规律用图象表示大致为( ) 6．如图,点P 是x 轴上的一个动点,过点P 作x 轴的垂线PQ 交双曲线于点Q ,连结OQ , 当点P 沿x 轴正半方向运动时,Rt △QOP 面积( ). A ．逐渐增大 B ．逐渐减小 C ．保持不变 D ．无法确定 7．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A （-4，-2）和B （a ，4）． （1）求反比例函数的解析式和点B 的坐标； （2）根据图象回答，当x 在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 8．如图所示,一个反比例函数的图象在第二象限内,点A 是图象上的任意一点,AM ⊥x 轴于M ,O 是原点,若S △AOM =3,求该反比例函数的解析式,并写出自变量的取值范围. 2 k 3m 2y x -=
反比例函数的实际应用 第一部分：知识点回顾 详解点一、反比例函数在实际问题中的应用 在解决实际问题时主要应用反比例函数的性质：在 中，当0k >时，在每个象限内，y 随x 的 增大而减小；当0k <时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 说明：（1）在实际问题中，k 都取大于零的值。 （2）实际问题中的自变量一般为正数，因此图象一般只在第一象限内。 详解点二、利用反比例函数解决实际问题 反比例函数的性质在实际生活中应用广泛，在运用时要看清问题中的数量关系，充分利用数形结合来解决。主要考点有： 考点1、对实际问题的反比例函数图象的考查 考点2、反比例关系的确定及其应用 考点3、反比例函数与一次函数在实际问题中的综合应用 第二部分：例题剖析 例1．（2009年青岛市）一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图4所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A ，那么此用电器的可变电阻应（ A ） A ．不小于Ω B ．不大于Ω C ．不小于14Ω D ．不大于14Ω 分析：本题是与物理学中的有关知识相结合，必须借助物理知识，建立数学模型，从而使问题获解．解这类题的一般步骤是：（1）由图象可知，是一支双曲线，因而可判断该函数为反比例函数， 故可设m I R = ，问题便可解决；2）将数字代入，解方程即可；（3）解简单的不等式即可． 解：由图象可知，是一支双曲线，故可设m I R =，将（6，8）代入得：m=48，所以， 48I R =，又由题意得：48R ≤10，所以I≥，故选A ． 6 O R /Ω I /A 8 图4
反比例函数 知识点及考点： （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11 += x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x = ；其中是y 关于 x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （4）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 练习：（1）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （2）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5， n ）， 求1）n 的值； 2）判断点B （24，）是否在这个函数图象上，并说明理由 （6）已知y 与2x －3成反比例，且4 1 =x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．
第三节 反比例函数 姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟 1．(2018·无锡)已知点P(a ，m)、Q(b ，n)都在反比例函数y ＝－2 x 的图象上，且a<00 C ．m
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．(2018·郴州) 如图，A ，B 是反比例函数y ＝4 x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分 别是2和4，则△OAB 的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6．(2018·玉林)如图，点A ，B 在双曲线y ＝3x (x ＞0)上，点C 在双曲线y ＝1 x (x ＞0)上，若AC∥y 轴，BC∥x 轴，且AC ＝BC ，则AB 等于( ) A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．3 2 7．(2017·长沙)如图，点M 是函数y ＝3x 与y ＝k x 的图象在第一象限内的交点，OM ＝4，则k 的值为________． 8．(2018·盐城)如图，点D 为矩形OABC 的AB 边的中点，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过点D ，交BC 边于点E.若△BDE 的面积为1，则k ＝________．
反比例函数的典型例题一 例 下面函数中，哪些是反比例函数？ （1）3x y - =；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）15-=x y ；（5）.8 1=xy 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）． 说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，x k y =)0(≠k ，它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式， （4），（5）就是这两种形式． 反比例函数的典型例题二 例 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)． (1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）； (3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）； (5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）； (7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）； (8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）； (9)x 越来越大时，y 越来越小，y 与x 的关系 （ ）； (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ）． 答： 说明：本题考查了 正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义． 反比例函数的典型例题三 例 已知反比例函数6 2)2(--=a x a y ，y 随x 增大而减小，求a 的值及解析式． 分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题． 解 因为6 2)2(--=a x a y 是反比例函数，且y 随x 的增大而减小， 所以???>--=-.02,162a a 解得???>±=. 2,5a a
18.4．3反比例函数（3课时） （设计人:刘颖----2013.3.21） 【课程目标】 【教学过程】 能力知识思维框架 探究 灵活运用 使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质 能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
10ˊ间的联系， 体会数形结 合及转化的 思想方法 从反比例函数 x k y=（k≠0）的图象 上任一点P（x，y）向x轴、y轴作垂线 段，与x轴、y轴所围成的矩形面积 k xy S= = ， 例3．如图，过反比例函数 x y 1 =（x＞0）的图 象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为 C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别 是S 1 、S 2 ，比较它们的大小，可得（） （A）S 1 ＞S 2 （B）S 1 ＝S 2 （C）S 1 ＜S 2 （D）大小关系不能确定 ＝；当x＜－2时；y的取值范围 是；当x＞－2时；y的取值范围是 3．已知反比例函数y a x a =-- ()226，当 x>0时，y随x的增大而增大，求函数 关系式 4已知反比例函数y= 3m x - 的两点 (x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),当x 1 <0
反比例函数 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握反比例函数的意义 2.了解k 的符号不同，反比例函数与图像对应的性质 1.定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，0≠k ）的函数称为反比例函数。x k y =还可以写成 __________。 2.反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数___________. ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3.反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y = （k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过______，断开的两个分支，延伸部分逐渐_______坐标轴，但是永远______________相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是______________）。 ⑷反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为______。 4．反比例函数性质如下表：
反比例函数应用教学反思 具体分析本节课，首先简单的用几分钟时间回顾一下反比例函数的基本理论，“学习理论是为了服务于实践”的一句话，打开了本节课的课题，过渡自然。本节课用函数的观点处理实际问题，主要围绕着路程、工程这样的实际问题，通过在速度一定的条件下路程与时间的关系，认识到反比例函数与实际问题的关系，在讲解这几个例子的时候，创设了学生熟悉的情境，简单的一句话引出问题，这样更能引起学生的兴趣，使学生更积极地参与到教学中来，因为情境熟悉，也能快速地与学生产生共鸣。创设了轻松和谐的教学环境与氛围，师生互动较好，这样能使学生主动开动思维，利用已有的知识顺利的解决这几个问题。在讲解例题的同时，试着让学生利用图象解决问题，培养学生数形结合的思想，并提示学生注意自变量在实际情境中的取值范围问题。而后，给学生几分钟的思考时间，让他们通过平时对生活的细心观察，生活中有关反比例函数的有价值的问题，说出来与全班共同分享。这一环节的设置，不仅体现新教改的合作交流的思想，更主要的培养他们与人协作的能力。更好的发展了学生的主体性，让他们也做了一回小老师，展示他们的个性，这样有益于他们健康的人格的成长。最后在总结中让学生体会到利用反比例函数解决实际问题，关键在于建立数学函数模型，并布置了作业。从总体看整个教学环节也比较完整。 本节课的教学，我本意是通过反比例函数及其图像相关问题的复习，引出本节课所要讨论的问题反比例函数的应用，而后通过对问题1的讨论切入正题，重点研究“数”与“形”的互相渗透，并通过这节课的学习让学生体会“数形结合”的数学思想，利用函数图像来解决应用题。在教学中，我发现这种教学设计出现了以下几个问题。 首先，目标教学的第一环节，前测激趣，但没有达到激趣的目的，这种引课方式，在课堂反映出来显得非常平淡，没有新意，没能引起学生的认知发生冲突，激发学生的求知欲。 其次，在导探激励环节中，问题设计较好，但问题的处理上操之
第十七章 反比例函数 一、基础知识 1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y = 还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函 数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4 5. 点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数, 但是反比例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用二、例题 【例1】如果函数2 22 -+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值 是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x k y = ，（0≠k ）
即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0
湘教版九上数学第3课时反比例函数的图象与性质 的综合应用 【知识与技能】 1.会求反比例函数的表达式； 2.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题； 3.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题． 【过程与方法】 经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】 能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题. 【教学重点】 1.会用待定系数法求反比例函数的表达式； 2.理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题. 【教学难点】 学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质. 一、情境导入，初步认识 1.正比例函数有哪些性质？ 2.一次函数有哪些性质？ 3.反比例函数有哪些性质？ 4.我们学会了根据函数表达式画函数图象，那么你能根据一些条件求反比例函数的表达式吗？ 【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解. 二、思考探究，获取新知
1.思考：已知反比例函数k y x = 的图象经过点P （2,4） （1）求k 的值，并写出该函数的表达式； （2）判断点A （-2，-4），B(3，5)是否在这个函数的图象上； （3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大如何变化？ 分析： (1)题中已知图象经过点P （2，4），即表明把P 点坐标代入解析式成立，这样能求出k ，解析式也就确定了. (2)要判断A 、B 是否在这条函数图象上，就是把A 、B 的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在. (3)根据k 的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y 随x 的值的变化情况. 【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式. 2.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P （-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象. 解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=k 1x ，2 k y x =，其中，k 1，k 2是常数，且均不为0. 由于这两个函数的图象交于P （-3,4），则P （-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P 的坐标分别满足这两个表达式. 因此，()2 143,43 k k =?-=- 解得，124 123 k k =- =- 所以，正比例函数解析式为43y x =-，反比例函数解析式为12 y x =-. 函数图象如下图.
反函的实际应用 1、某单位打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD．该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米．设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB的长为米，修建健身房墙壁的总投入为元．（1）求与的函数关系式；（2）为了合理利用大厅，要求自变量必须满足条件：，当投入的资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少? 2、保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
3、近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO 的浓度达到4 mg/L ，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L ，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO 浓度成反比例下降.如图11，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后．． 空气中CO 浓度y 与时间x 的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的CO 浓度达到34 mg/L 时，井下3 km 的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h 的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的CO 浓度降到4 mg/L 及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井? 4、如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O 左侧固定位置B 处悬挂重物A ，在中点O 右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O 的距离x （cm ），观察弹簧秤的示数y （N ）的变化情况。实验数据记录如下： （1）把上表中x ，y 的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测y （N ）与x （cm ）之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）当弹簧秤的示数为24N 时，弹簧秤与O 点的距离是多少cm ？随着弹簧秤与O 点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？ 图11
反比例函数知识点归纳总结与典型例题 （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ；其中是y 关 于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （4）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5， n ）， 求1）n 的值； 2）判断点B （24， (二)反比例函数的图象和性质： 知识要点： 1、形状：图象是双曲线。 2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________； （2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。 4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6 和y = x 6 -）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。 例题讲解： 反比例函数的图象和性质： （1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ． （2）若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （3）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =． （4）已知反比例函数2 y x -= 的图象上有两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且12x x <，