2012届高考数学二轮复习资料
专题七立体几何（理）（教师版）【考纲解读】
1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。
2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。
3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。
4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。
5.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.
6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.
7.空间平行与垂直关系的论证.
8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题.
9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）.对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离.
【考点预测】
在2012年高考中立体几何命题有如下特点：
1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系．
2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．
3.多面体及简单多面体的概念、性质、三视图多在选择题，填空题出现．
4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点．
此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.
【要点梳理】
1.三视图：正俯视图长对正、正侧视图高平齐、俯侧视图宽相等.
2.直观图:已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y 轴的线段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半.
3.体积与表面积公式:
(1)柱体的体积公式:V =柱Sh ;锥体的体积公式: V =锥1
3
Sh ;
台体的体积公式: V =
棱台1()3h S S '+;球的体积公式: V =球34
3
r π. (2)球的表面积公式: 2
4S R π=球.
4.有关球与正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台的结合体问题，要抓住球的直径与这些几何体的有关元素的关系.
5.平行与垂直关系的证明,熟练判定与性质定理. 6．利用空间向量解决空间角与空间距离。 【考点在线】 考点一 三视图
例1.（2011年高考海南卷文科第8题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，
【解析】由主视图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥的组合体，所以，左视图是D.
【名师点睛】本题考查三视图的基础知识.
【备考提示】三视图是高考的热点之一,年年必考,所以必须熟练立体几何中的有关定理是解答好本题的关键.
练习1: （2011年高考江西卷文科9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）
【解析】左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案.
考点二 表面积与体积
例2..(2011年高考安徽卷文科8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
【答案】C
【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()1
2244242
?
+?=，四个侧面的面积为(
44224++=+48+.故选C.
【名师点睛】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.
【备考提示】：表面积与体积的求解也是高考的热点之一，年年必考，大多以三视图为载体，在选择与填空题中考查，难度不大，也可能在解答题的一个问号上.
练习2：（2011年高考湖南卷文科4)设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A ．942π+ Ｂ．3618π+ Ｃ．9
122π+ Ｄ．9182
π+ 【答案】D
【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322
V ππ=
??+（）. 考点三 球的组合体
例3. （2011年高考辽宁卷文科10)己知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点．AB=2,45ASC ∠= , 则棱锥S ABC -的体积为( )
(A)
3
(B) 3
(C) 3
(D) 3
【答案】C
【解析】取SC 的中点D,则D 为球心，则AD=BD=DS=2。因为∠ASC=∠BSC=45°，所以∠SDB=∠SDA=900，即A D ⊥SC,BD ⊥SC,⊿ABD 是等边三角形，故棱锥S-ABC 的体积等于棱锥S-ABD 和棱锥C-ABD
的体积和，即21243?=
【名师点睛】本小题考查三棱锥的外接球体积的求解,关键是找出球的半径.
【备考提示】：球的组合体,在高考中,经常考查球与长方体、正方体、三棱锥、四棱锥、圆锥、圆柱等的组合，熟练这些几何体与其外接球的半径的关系是解决此类问题的关键
.
正视图
侧视图
俯视图
图1
练习3：（2011年高考海南卷文科16)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的3
16
,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 . 【答案】
13
【解析】设圆锥的底面半径为r ,球半径为R ,则2
23416r R ππ=?,解得r R =,所以对应球心距为
12R ,故小圆锥的高为1122R R R -=,大圆锥的高为32
R ,所以之比为1
3.
考点四 空间中平行与垂直关系的证明
例 4. （2011年高考山东卷文科19)如图，在四棱台1111ABCD A BC D -中，1D D ⊥平面
ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=∠60°.
（Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面.
【解析】（Ⅰ）证明：因为AB=2AD ，所以设
AD=a,则AB=2a,又因为BAD=∠60°,所以在ABD ?中,由余弦定理得：
2222
(2)22c o s 603B D a a a a a =+-??= ,所以,所以222AD BD AB +=,故BD
⊥AD,又因为
1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D ⊥BD,又因为1AD D D D ?=, 所以BD ⊥平面11ADD A ,
故1AA BD ⊥.
(2)连结AC,设AC ?BD=0, 连结1AO ,由底面
ABCD 是平行四边形得:O 是AC 的中点,由四棱
台1111ABCD A BC D -知:平面ABCD ∥平面1111A B C D ,因为这两个平面同时都和平面11
ACAC 相交,交线分别为AC 、11AC ，故11
AC AC ，又因为AB=2a, BC=a, ABC=120∠ ，所以可由
余弦定理计算得，又因为A 1B 1=2a, B 1C 1, 111A B C =120∠ ，所以可由余弦定
理计算得A 1C 1a ，所以A 1C 1∥OC 且A 1C 1=OC ，故四边形OCC 1A 1是平行四边形，所以CC 1∥A 1O ，又CC 1?平面A 1BD ，A 1O ?平面A 1BD ，所以11CC A BD ∥平面.
【名师点睛】本题以四棱台为载体,考查空间中平行与垂直关系的论证,考查空间想象能力、逻辑思维能力,分析问题与解决问题的能力.
【备考提示】：熟练课本中有关平行与垂直的定理是解答好本类题的关键.
练习4. (2011年高考江苏卷16)如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点.求证：（1）直线E F ∥平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD.
【解析】证明: （1）因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点, 所以E F ∥PD,又因为E F ?平面PCD,PD ?平面PCD, 所以直线E F ∥平面PCD ；
（2）设AB=AD=2a ,则AF=a ,又因为∠BAD=60°，
所以在ABF ?中,由余弦定理得：， 所以2
2
2
2
4AF BF a AB +==，所以BF ⊥AF ，
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，BF ?平面ABCD ，所以BF ⊥平面PAD ，因为BF ?
平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD.
考点五 空间角与距离的求解
例5. (2011年高考浙江卷理科20).如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，
使得二面角A-MC-β为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。 【解析】法一：（Ⅰ）证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系o xyz -，则(0,0,0)O ，(0,3,0)A -，(4,2,0)B ，(4,2,0)C -，(0,0,4)P ，
(0,3,4)AP = ，(8,0,0)BC =-
由此可得0AP BC ?= ，所以AP BC ⊥ ，即AP BC ⊥
（Ⅱ）解：设,1PM PA λλ=≠ ，则(0,3,4)PM λ=--
， BM BP PM BP PA λ=+=+
(4,2,4)=--(0,3,4)λ+--
(4,23,44)λλ=--+-，(4,5,0)AC =- ，(8,0,0)BC =-
设平面BMC 的法向量1111(,,)n x y z =
，
平面APC 的法向量2222(,,)n x y z =
由1200BM n BC n ??=???=??
得11114(23)(44)080x y z x λλ--++-=??-=? 即111
02344x z y λλ=??
+?=?-?
，可取1
23(0,1,)44n λλ+=- 由220
AP n AC n ??=??
?=??
即2222340450y z x y +=??-+=?得
222254
34
x y z y ?=???
?=-?? 可取2(5,4,3)n =- ，由120n n ?= 得2343044λλ+-?
=-解得4
5
λ= ，故3AM = 综上所述，存在点M 符合题意，3AM =
法二（Ⅰ）证明：,AB AC D BC =为中点,,AD BC ∴⊥
又,PO ABC ⊥平面PO BC ∴⊥因为PO AD O ∴= 所以BC ⊥平面PAD 故BC PA ⊥
（Ⅱ）如图，在平面PAB 内作,BM AP M ⊥于连结CM, 由（Ⅰ）知P ⊥BC A,得P ⊥A 平面BMC ， 又P ?A 平面PAC,所以平面BMC ⊥平面PAC, 在Rt ADB 中，2
2
2
41AB AD BD =+=
得AB =在Rt POD 中，222
PD PO OD =+，
在Rt PDB 中，222PB PD BD =+所以2222
36PB PO OD BD =++=得6PB =，
在Rt POA 中，2
2
2
25PA AO OP =+=得5PA =又2221
cos 23
PA PB AB BPA PA PB +-∠=
=? 从而cos 2PM PB BPA =∠=，所以3AM PA PM =-=综上所述，存在点M 符合题意，
3AM =.
【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向
量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力.
【备考提示】：空间角与距离是高考的一个热点，年年必考，熟练三种角及距离的求法，是解答本类题目的关键.
练习5.(2011年高考全国卷理科16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.
【解析】延长CB、FE交于M，连结AM，过B作BN⊥AM于N，连结EN，则∠ENB为平面AEF与平面ABC所成的二面角，
，
1
,,tan
23
AB
EB
BN AB Rt EBN ENB
BN
∴=∠===
在中.
【易错专区】
问题：三视图与表面积、体积
例.（2011年高考陕西卷文科5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A）
2
8
3
π
-（B）8
3
π
-
（C）82π
-（D）
2
3
π
【答案】A
【解析】由三视图可知该几何体为立方体与圆锥，立方体棱长为2，圆锥底面半径为1、高为2，所以体积为32
1
212
3
π
-???=
2
8
3
π
-故选A.
【名师点睛】：本小题以三视图为载体考查空间几何体的体积的求解．
【备考提示】：由三视图准确判断几何体的形状以及找出几何体各个边长是解答此类问题的关键所在.
【考题回放】
1.(2011年高考浙江卷理科4)下列命题中错误的是( )
（A）如果平面αβ
⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
（B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ?，那么l γ⊥平面 （D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】 D
【解析】两个平面垂直，两个平面上的所有直线都不是垂直了，比如α平面垂直β平面，垂线为AB ，直线CD 属于α，与AB 交与E 点，角度为60°，不垂直平面β，故选D. 2. (2011年高考山东卷理科11)下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：
①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如 下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是( ) (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】A
【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.
3.(2011年高考浙江卷理科3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
【解析】：A ，B 与正视图不符，C 与俯视图不符，故选D .
4.(2011年高考辽宁卷理科8)如图，四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．
的是（ ）
(A) AC ⊥SB
(B) AB ∥平面SCD
(C) SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 (D)AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角 【答案】D
【解析】对于A:因为S D ⊥平面ABCD ，所以DS ⊥AC.因为四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ，故AC ⊥平面ABD,因为SB ?平面ABD,所以AC ⊥SB ，正确.对于B ：因为AB//CD,所以AB//平面SCD.对于C:设AC BD O = .因为AC ⊥平面ABD ，所以SA 和SC 在平面SBD 内的射影为SO ，则∠ASO 和∠CSO 就是SA 与平面SBD 所成的角和SC 与平面SBD 所成的角，二者相等，正确.故选D.
5．(2011年高考江西卷理科8)已知1α，2α，3α是三个相互平行的平面．平面1α，2α之间的距离为1d ，平面2α，3α之间的距离为2d ．直线l 与1α，2α，3α分别相交于1P ，2P ，
3P ，那么“12PP =23P P ”是“12d d =”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】过点1P 作平面2α的垂线g,交平面2α，3α分别于点A 、B 两点,由两个平面平行的性质可知2P A ∥3P B ,所以
12
112
2PP d PP d =,故选C. 6.(2011年高考重庆卷理科9)
高为
4
的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( ) （A
（B
（C ）1 （D
【答案】C
【解析】设底面中心为G ，球心为O
，则易得2AG =
，于是2
OG =，用一个与ABCD
所在平面距离等于
4
的平面去截球，S 便为其中一个交点，此平面的中心设为H ，则
OH ==，故2
22
718
SH =-=??，故
1SG === 7．(2011年高考四川卷理科3)1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) (A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ? （B ）12l l ⊥，23l l ?13l l ⊥
(C)233l l l ? 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面 【答案】B
【解析】若1223,,l l l l ⊥⊥则13,l l 有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A 不对.虽然
123////l l l ，或123,,l l l 共点，但是123,,l l l 可能共面，也可能不共面，故C 、D 也不正确.
8.(2011年高考全国卷理科6)已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，
,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1,AB AC BD ===则D 到平面ABC 的距离等于( )
（A ）
3
（B （C （D ）1
【答案】C
【解析】如图，作DE BC ⊥于E ，由l αβ--为直二面角，AC l ⊥，得AC ⊥平面β，进而AC DE ⊥,又BC DE ⊥,BC AC C = ,
于是DE ⊥平面ABC 。故DE 为D 到平面ABC 的距离。
在Rt BCD ?中，利用等面积法得BD DC DE BC ?=
==
15. (2011年高考全国卷理科11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成0
60，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) (A)7π (B)9π (c)11π (D)13π 【答案】D
【解析】：由圆M 的面积为4π得2MA =，
2224212OM =-=
OM ?=030Rt ONM OMN ∠= 中,
12
ON OM ∴===13N S π∴=圆故选D.
16. (2011年高考全国新课标卷理科15)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O
的球面上，且6,AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。 【答案】38
【解析】如图，连接矩形对角线的交点1O 和球心O ,则，
322
1
,341==
=AC A O AC ,四棱锥的高为2)32(4221=-=O O ,所以，体积为3823263
1
=???=V
17. (2011年高考全国新课标卷理科18) (本小题满分12分)
如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；
(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。
【解析】(1)证明：在三角形ABD 中，因为∴
=?=∠AD AB BAD 2,60该三角形为直角三角形，所以
D AD PD BD PD PAD PD AD BD =?⊥∴⊥⊥且平面 ,,PA BD PAD PD PAD BD ⊥∴?⊥平面平面,
（2）建立如图的坐标系，设点的坐标分别是
),0,0(),0,3,(),0,3,0(),0,0,(a P a a C a B a A -
则),0,(),0,0,(),0,3,(a a a a a -=-=-=，设平面PAB 的法向量为),,(z y x =，
所以，?????=?=?0
0 取得)3,3,3(=n ，同理设平面PBC 的法向量为m ，
????
?=?=?0
取得)3,1,0(--=
，于是，772-==，因此二面角的余弦值是7
7
2-
. 18．(2011年高考湖南卷理科19)如图5，在圆锥PO 中，已知PO
=，⊙O 的直径
2AB =,C 是 AB 的中点，D 为AC 的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD ⊥平面PAC ; （Ⅱ）求二面角B PA C --的余弦值. 【
解
法
一
】
连
结
OC
，
因
为
,O A O C D A C =⊥是的中点,所以AC OD.
又PO ⊥底面⊙O ，AC ?底面⊙O ，所以AC PO ⊥， 因为OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD ，
而AC ?平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC 。
（II ）在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，由（I ）知，
平面,POD PAC ⊥平面所以OH ⊥平面PAC ，又PA ?面PAC ，所以.PA OH ⊥ 在平面PAO 中，过O 作
OG PA ⊥于G ，连接HG ，
则有PA ⊥平面OGH ，从而PA HG ⊥，故OGH ∠为二面角B —PA —C 的平面角。
在,sin 45Rt ODA OD OA ?=??=中
在,Rt POD OH ?=
=
=中
在,3
Rt POA OG ?=
=
=中
在,sin OH Rt OHG OGH OG ?∠===中 所
以c o s .O G H ∠故二面角B —PA —C
【解法二】（I ）如图所示，以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴，z
轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0),O A B C P -，
11(,,0)22
D -
设1111(,,)n x y z =是平面POD 的一个法向量，则由110,0n OD n OP ?=?=
，
得111
1
10,220.x y ?-+=?= 所以111110,,1,(1,1,0).z x y y n ====取得设2222(,,)n x y z =是平面PAC 的一个法向量，
则由220,0n PA n PC ?=?=
，得22220,
0.
x y ?-=??=??
所以22222,.1,x y ==取z
得2(n =。
因为12(1,1,0)(0,n n ?=?= 所以12.n n ⊥从而平面POD ⊥平面PAC 。
（II ）因为y 轴⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为3(0,1,0).n =
由（I ）知，平面PAC
的一个法向量为2(n =,设向量23n n 和的夹角为θ，则
2323cos ||||5n n n n θ?=
==?由图可知，二面角B —PA —C 的平面角与θ相等，
所以二面角B —PA —C
的余弦值为5
【高考冲策演练】 一、选择题：
1．（2009年高考广东卷A 文科第6题）给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 （ ）
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．②和④ 【答案】D
【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D
2．（2009年高考湖南卷文科第6题）平面六面体
1111ABCD A BC D -中，既与
AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6【答案】C
【解析】如图，用列举法知合要求的棱为：BC 、CD 、11C D 、1BB 、1AA ，故选C. 3. (山东省青岛市2011年3月高考第一次模拟)已知直线 l 、m ，平面α、β，且l α⊥，
m β?，则//αβ是l m ⊥的( )
A .充要条件
B .充分不必要条件
C .必要不充分条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】B
4．(山东省济宁市2011年3月高三第一次模拟)已知a 、b 为直线，α、β为平面．在下列四
个命题中， ① 若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； ②若 a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；
③ 若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β； ④ 若α∥b ，β∥b ，则α∥β． 正确命题的个数是 （ ）
A ． 1
B ． 3
C ． 2
D ． 0
【答案】C
【解析】由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假，选C ．
5. （山东省泰安市2012届高三上学期期末文科）设l 、m 、n 为不同的直线，βα、为不同的平面，有如下四个命题：( ) ①若βαβα//,l ，l 则⊥⊥ ②若βαβα⊥?⊥l ，l 则, ③若n l n m m l //,,则⊥⊥
④若n m n m ⊥⊥则且βαβα////,
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】B
6. （山东省济南一中2012届高三上学期期末文科）已
知正三棱锥V ABC -的主视图、俯视图如下图所示，其中VA=4，AC=32,则该三棱锥的左视图的面积 ( )
A ．9
B ．6
C ．33
D ．39
【答案】B
7．(山东省烟台市2012届高三上学期期末文科)已知空间两条不同的直线n m ,和两个不同的平面,αβ，则下列命题中正确的是( ) A ．若//,,//m n m n αα?则 B ．若,,m m n n αβα=⊥⊥ 则
C ．若//,//,//m n m n αα则
D ．若//,,,//m m n m n αβαβ?= 则
【答案】D
8．(2010年高考全国2卷理数9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =
的体积最大时，它的高为( )
（A ）1 （B （C ）2 （D ）3
9．(2010年高考全国2卷理数11）与正方体1111ABCD A BC D 的三条棱
AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点( )
（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个
10. (2010年高考重庆市理科10)到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）
（A ） 直线 （B ） 椭圆
（C ） 抛物线
（D ） 双曲线
【答案】D
【解析】排除法 轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹与已知直线不能有交点，排除B 11. (2010年全国高考宁夏卷10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在
一个球面上，则该球的表面积为（ ） (A) 2
a π (B)
273
a π (C)
2
113
a π (D) 25a π 【答案】B
【解析】如图，P 为三棱柱底面中心，O 为球心，易知
21,3232AP OP a =?==，所以球的半径R 满足：
2222
17)()212
R a a a =+=，故2
2743
S R a ππ==球
． 12．（2010年高考广东卷理科6）如图1，△ ABC 为三角形，AA '//BB ' //CC ' , CC ' ⊥
二．填空题：
13．(2011年高考上海卷理科7)若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 。
【答案】
3
； 14．（2009年高考江苏卷第12题）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）.
【答案】(1)(2)
15. (山东省济南市2011年2月高三教学质量调研文科)已知右上图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 .
【答案】8π
16.（2011年高考全国卷文科15)已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为 . 【答案】
2
3
【解析】取11A B 的中点F ，AEF ∠为所求角，设棱长为2，则3,2A E A F F ===，
2222cos .23
AE EF AF AEF AE EF +-∠==?
三．解答题：
17．(2011年高考山东卷理科19)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ)若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
【解析】（Ⅰ)连结AF,因为EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，
EF ∩ＦＧ=F,所以平面EFG ∥平面ABCD,又易证EFG ?∽ABC ?,所以
1
2
FG EF BC AB ==,即1
2FG BC =
,即1
2
FG AD =,又M 为AD 的中点,所以1
2AM AD =,又因为ＦＧ∥ＢＣ∥ＡD ，所
以ＦＧ∥ＡM,所以四边形AMGF 是平行四边形,故GM ∥FA,又因为ＧＭ?平面ＡＢＦＥ,FA ?平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ.
（Ⅱ）取AB 的中点O,连结CO,因为ＡＣ＝ＢＣ,所以CO ⊥AB,
又因为ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，CO ?平面ＡＢＣＤ,所以ＥＡ⊥CO,
高考数学理试题分类汇编----立体几何 一、已给三视图求立体图形的体积/表面积 1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为 （A ）π3 2+31 （B ）π32+ 31 （C ）π62+31 （D ）π62 +1 【答案】C 3、（2016年全国I 高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若 16131 2 1
该几何体的体积是28π 3 ，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A 4、（2016年全国II 高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C 5、（2016年全国III 高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的表面积为
（A ） （B ） （C ） 90 （ D ）81 【答案】B 6、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________． 7、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则 该四棱锥的体积为_______m 3 . 【答案】2 二．求值 8、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2 ，体积是 cm 3. 18+54+
立体几何中的最值问题 一、运用变量的相对性求最值 例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO ⊥平面ABCD 于O ，SO=2，底面边长为2，点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，则P 、Q 两点的最短距离为（ ） A. 5 5 B. 5 5 2 C. 2 D. 1 解析：如图1，由于点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动，当OQ 最小时，PQ 最小。过O 作OQ ⊥SC ，在Rt △SOC 中，5 5 2=OQ 中。又P 在BD 上运动，且当P 运动到点O 时，PQ 最小，等于OQ 的长为5 5 2，也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。故选B 。 图1 图2 二、定性分析法求最值 例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB ⊥CD ，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为______。 解析：如图2，过点B 作平面α的垂线，垂足为O ，连结AO ，则∠BAO=30°。过B 作BE//CD 交平面α于E ，则BE=CD 。连结AE ，因为AB ⊥CD ，故AB ⊥BE 。则在Rt △ABE 中，BE=AB ·tan ∠BAE ≥AB ·tan ∠BAO=3·tan30°=3。故3≥CD 。 三、展成平面求最值 例3. 如图3-1，四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a ，AC=BD=b ，AD=BC=c 。平面α分别截棱AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、Q 、R 、S ，则四边形PQRS 的周长的最小值是（ ） A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c 图3-1 图3-2 解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD ，AC=BD ，AD=BC ，所以，A 与A ’、D 与D ’在四面体中是同一点，且''////D A BC AD ， '//CD AB ，A 、C 、A ’共线，D 、B 、D ’共线，BD DD AA 2''==。又四边形PQRS 在展开图中变 为折线S ’PQRS ，S ’与S 在四面体中是同一点。因而当P 、Q 、R 在S ’S 上时， RS QR PQ P S +++'最小，也就是四边形PQRS 周长最小。又''SA A S =，所以最小值''DD SS L ==b BD 22==。 故选B 。
2019年高考理科数学全国一卷 一、单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。 1．已知集合M={x |-4＜x ＜2}，N={x | -x -6＜0}，则M∩U = A{x |-4＜x ＜3} B{x |-4＜x ＜-2} C{x |-2＜x ＜2} D{x |2＜x ＜3} 2．设复数z 满足|z -i|=1，z 在复平面内对应的点为(x ，y)，则 A B C D 3．已知a =2.0log 2，b =2.02,c =3 .02 .0,则 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.b ＜c ＜a 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是 ??? ? ??≈称之为黄金分割.618.021 -521-5，著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 1 -5 。若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 5．函数()][ππ，的-cos sin 2 x x x x x f ++= 图像大致为 A B C D 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的６个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有３个阳爻的概率是 A. 165 B.3211 C.3221 D.16 11 7．已知非零向量，满足 ，且 ，则与的夹角为 A. 6π B.3π C.32π D.6 5π
2015高考数学专题复习：函数零点 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标． ()x g x f y -=)(的零点（个数）?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标（个数） ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根（个数） ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标（个数） 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 （ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 （ ） A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 （ ） A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 （ ） A ．()21， B ．()32， C ．()43， D ．()54， 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______
2018届高考数学立体几何（理科）专题02 二面角 1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1,90A A AB ABC =∠=?侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证： 1AB ⊥平面1A BC ； (2)若15360AC BC A AB ==∠=?，，,求二面角11B A C C --的余弦值.
2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面 平面，点为的中点． （1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 2AB AD =， BD =，且PD ⊥底面ABCD . （1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ； （2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ?=u u u v u u u v ，求二面角Q BD C --的大小.
4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面. （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.
5．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点. （1）求证： //EF 平面PCD ； （2）若0 ,120,AD AP PB APB ==∠=，求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值.
6．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1 2,1,2 PA PD BC AD CD === ==（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; （Ⅱ）求证:平面PQB ⊥平面PAD ; （Ⅲ）若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值.
2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 1 2 C ．1 D ．2 2．已知集合{} 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．}{}{ |1|2x x x x <->U D ．}{}{ |1|2x x x x ≤-≥U 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144 AB AC - u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．设抛物线C ：y 2 =4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=? >?，， ，， ()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径 分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则
立体几何与球专题讲义 一、球的相关知识 考试核心：方法主要是“补体”和“找球心” 1.长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径． 2．正方体的切球其棱长为球的直径． 3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线．4．正四面体的外接球与切球的半径之比为3∶1. 5.性质的应用 2 2 2 1 2r R OO d- = = ，构造直角三角形建立三者之间的关系。 真题回放： 1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( ) A．36π B.64π C.144π D.256π
参考答案1、 2. 3. 4.
题型总结 类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（两题互换条件形成不同的题） 1．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1 OO =A 、B 是圆1O 上两点，若A ，B 两点间的球面距离为23 π ，则1AO B ∠= . 2．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1 OO ，A 、B 是圆1O 上两点，若1AO B ∠=2 π ，则A,B 两点间的球面距离为 （2009年文科） 类型二：球接多面体，利用圆接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径 r C c 2sin =，从而解决问题。 3. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===, 120BAC ∠=?， 则此球的表面积等于 。 4.正三棱柱111ABC A B C -接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ． 5.12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3，ο30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为 A ．33 B ．32 C ．3 D ．1
2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法：
高考理科数学试题分类汇编：1集合 一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134， ， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12， 【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合 对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是
立体几何证明题 考点1:点线面的位置关系及平面的性质 例1.下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行； ⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是__________ . 【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现 两平面只有一条公共线（当这三个公共点共线时），②错.③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面.⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图（1）所示. ABC —A B C D'中，直线BB丄AB, BB丄CB但AB与CB不平行，???⑥错. AB // CD BB n AB= B,但BB与CD不相交，.??⑦错?如图（2）所示，AB= CD BC= AD四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错. I、m外的任意一点，贝U （ A.过点P有且仅有条直线与I、m都平行 B.过点P有且仅有条直线与I、m都垂直 C.过点P有且仅有条直线与I、m都相交 D.过点P有且仅有条直线与I、m都异面 答案 B 解析对于选项A,若过点P有直线n与I , m都平行，则I // m这与I , m异面矛盾. 对于选项B,过点P与I、m都垂直的直线，即过P且与I、m的公垂线段平行的那一条直线. 对于选项C,过点P与I、m都相交的直线有一条或零条. 对于选项D,过点P与I、m都异面的直线可能有无数条.
高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（） A． B． C． D． 2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）A．33 B．36 C．40 D．48 3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）. 5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答） 6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________． 7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答） 8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数． 10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法
1. 【2014江西高考理第8题】若1 2 ()2(),f x x f x dx =+? 则1 ()f x dx =?（ ） A. 1- B.13- C.1 3 D.1 2. 【2014江西高考理第14题】若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________. 3. 【2014辽宁高考理第11题】当[2,1]x ∈-时，不等式32 430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9 [6,]8 -- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--
4. 【2014全国1高考理第11题】已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),2-∞- D ．(),1-∞- 5. 【2014高考江苏卷第11题】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2 b y ax x =+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += . 【答案】3-
6. 【2014高考广东卷理第10题】曲线25+=-x e y 在点()0,3处的切线方程为 . 7. 【2014全国2高考理第8题】设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 【2014全国2高考理第12题】设函数()x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足 ()2 22 00x f x m +
2018年高考数学理科试卷（江苏卷） 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．． ． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=?B A ． 2．若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ． 5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．
6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ． 7．已知函数()??? ??<<-+=22 2sin ππ ?x x y 的图象关于直线3π=x 对称，则?的值 是 ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的右焦点()0,c F 到一条 渐近线的距离为 c 2 3 ，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()??? ? ???≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x x f π， 则()()15f f 的值为 ． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ． 11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=122 3 在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上 的最大值与最小值的和为 ．
第7章立体几何 全国卷五年考情图解高考命题规律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制2道小题、1 道解答题，分值约占22分. 2.考查内容 (1)小题主要考查三视图、几何体 体积与表面积计算，此类问题属于 中档题目；对于球与棱柱、棱锥的 切接问题，知识点较整合，难度稍 大. (2)解答题一般位于第18题或第19 题的位置，常设计两问：第(1)问 重点考查线面位置关系的证明；第 (2)问重点考查空间角，尤其是二 面角、线面角的计算．属于中档题 目. 空间几何体的结构及其表面积、体积 [考试要求] 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. 4.了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式．
1．多面体的结构特征 名称棱柱棱锥棱台 图形 底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点 侧面形状平行四边形三角形梯形 (1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体． 3．旋转体的结构特征 名称圆柱圆锥圆台球 图形 母线互相平行且相 等，垂直 于底面 长度相等且相交 于一点 延长线交于一点 轴截面全等的矩形全等的等腰三角 形 全等的等腰梯形圆 侧面展开图矩形扇形扇环 旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等 直观图斜二测画法： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或
2018年11月14日高中数学作业 温馨提示：（每题4分满分100分时间90分钟）姓名________________ 一、单选题 1．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( ) A． 360种 B． 432种 C． 456种 D． 480种 2．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有（） A．种 B．种 C．种 D．种 3．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种 A． 19 B． 26 C． 7 D． 124．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（） A． B． C． D． 5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（） A． 300种 B． 150种 C． 120种 D． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A． 105 B． 95 C． 85 D． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（） A．种 B．种 C．种 D．种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（） A． 168种 B． 156种 C． 172种 D． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（） A．14400 B．28800 C．38880 D．43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故 序号123456789101112选项 13141516171819202122232425
解析几何 1．直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角的范围为[0，π)． （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2 x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直 线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC . [问题1] （1）直线的倾斜角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？ （2）直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________． 2．直线的方程 （1）点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线． （2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线． （3）两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标 轴的直线． （4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋y b ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直 线和过原点的直线． （5）一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式． [问题2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________． 3．点到直线的距离及两平行直线间的距离 （1）点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2； （2）两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝ |C 1－C 2|A 2 ＋B 2. [问题3] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． 4．两直线的平行与垂直 ①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2?k 1＝k 2；l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1. ②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2?A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0. 特别提醒：(1)A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2、A 1A 2≠B 1B 2、A 1A 2＝B 1B 2＝C 1 C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解 析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线． [问题4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合． 5．圆的方程 （1）圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. （2）圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，只有当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为1 2D 2＋E 2－4F 的圆． [问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 6．直线、圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系 直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断： ①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0?相交；Δ<0?相离；Δ＝0?相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d
高考数学１７题(1)：解三角形 1.正弦定理：______________________ 2.余弦定理：______________________ ______________________ ______________________ 3.三角形面积公式： Ｓ＝____________________________ ４.三角形中基本关系：A+B+C=_____ sin(A+B)=___________ cos(A+B)=___________ tan(A+B)=___________ 注：基本不等式：若________，则______________ 重要不等式：若________，则______________
高考数学１７题(2)：数列 1.知S n 求a n:( 这个关系式对任意数列均成立) a n= _________________ ２．等差数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等差数列性质:若_____________，则__________________３．等比数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，q为常数)． (2)等比中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等比数列性质:若_____________，则__________________
源于名校，成就所托 高中数学备课组教师班级学生日期上课时间 学生情况： 主课题：三角函数、立体几何 教学目标： 教学重点： 教学难点： 考点及考试要求：
教学内容 三角函数 1、已知：函数()2(sin cos )f x x x =-． （1）求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若函数()f x 的图象过点6(,)5 α， 34 4π πα<< .求()4 f π α+的值． 解：（1）()2(sin cos )f x x x =-222(sin cos )22 x x =? -?2sin()4x π=----3分 ∴函数的最小正周期为2π，值域为{|22}y y -≤≤。--------------------------------------5分 （2）解：依题意得：62sin(),45π α-= 3 sin(),45 πα-=---------------------------6分 ∵ 3.4 4π πα<< ∴0,42 ππ α<-< ∴cos()4π α- ＝2234 1sin ()1()455 πα--=-=-----------------------------------------8分 ()4f π α+＝2sin[()]44 π π α-+ ∵sin[()]sin()cos cos()sin 444444π πππππααα- +=-+-＝23472 ()25510 += ∴()4 f π α+＝ 72 5 ------------------------------------------------------------------------------12分 2、在ABC ?中，2AB =，1BC =，3 cos 4 C =． （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）求BC CA ?的值． 解：（1）在ABC ?中，由3cos 4C = ，得7sin 4 C =…………………………2分 又由正弦定理 sin sin AB BC C A = ………………………………………3分 得：14 sin 8 A = …………………………………………………………………………………4分 （2）由余弦定理：222 2cos AB AC BC AC BC C =+-??得：23 2124 b b =+-? ……6分