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2019中考数学试题及答案分类汇编:圆

2019中考数学试题及答案分类汇编:圆

一、选择题

1. (天津3分)已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ,若12O O =7 cm ,则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是

(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 【答案】D 。

【考点】圆与圆位置关系的判定。

【分析】两圆半径之和3+4=7,等于两圆圆心距12O O =7,根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。 2.(内蒙古包头3分)已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米,圆心距是3厘米,则这两个圆的位置关系是

A 、相交

B 、外切

C 、外离

D 、内含

【答案】B 。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。

∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米,∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米。 ∵圆心距是1+2=3厘米,∴这两个圆的位置关系是外切。故选B 。

3,(内蒙古包头3分)已知AB 是⊙O 的直径,点P 是AB 延长线上的一个动点,过P 作⊙O 的切线,切点为C ,∠APC 的平分线交AC 于点

D ,则∠CDP 等于

A 、30°

B 、60°

C 、45°

D 、50°

【答案】

【考点】角平分线的定义,切线的性质,直角三角形两锐角的关系,三角形外角定理。 【分析】连接OC ,

∵OC=OA,,PD 平分∠APC, ∴∠CPD=∠DPA,∠CAP=∠ACO。 ∵PC 为⊙O 的切线,∴OC⊥PC。

∵∠CPD+∠DPA+∠CAP +∠ACO=90°,∴∠DPA+∠CAP =45°,即∠CDP=45°。故选C 。

4.(内蒙古呼和浩特3分)如图所示,四边形ABCD 中,DC∥AB,BC=1,

AB=AC=AD=2.则BD 的长为

A. 14

B. 15

C. 32

D. 23

【答案】B 。

【考点】圆周角定理,圆的轴对称性,等腰梯形的判定和性质,勾股定理。 【分析】以A 为圆心,AB 长为半径作圆,延长BA 交⊙A 于F ,连接DF 。 根据直径所对圆周角是直角的性质,得∠FDB=90°; 根据圆的轴对称性和DC∥AB,得四边形FBCD 是等腰梯形。

∴DF=CB=1,BF=2+2=4。∴BD=2222BF DF 4115-=-=。故选B 。

5.(内蒙古呼伦贝尔3分)⊙O 1的半径是cm 2,⊙2的半径是cm 5,圆心距是cm 4,则两圆的位置关系为 A. 相交 B. 外切 C.外离 D. 内切 【答案】A 。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。由于5-2<4<5+2,所以两圆相交。故选A 。 6.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图,⊙O 的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的动点,则

线段OM 长的最小值为. A. 5 B. 4 C. .3 D. 2 【答案】C 。

【考点】垂直线段的性质,弦径定理,勾股定理。

【分析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质,知线段OM 长的最小值为点O 到弦AB 的垂直线段。如图,过点O 作OM⊥AB 于M ,连接OA 。

根据弦径定理,得AM =BM =4,在Rt△AOM 中,由AM =4, OA =5,根据勾股定理得OM =3,即线段OM 长的最小值为3。故选C 。

7.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图,AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上 ,∠BOD=110°,AC∥OD,则∠AOC 的度数 A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】D 。

【考点】等腰三角形的性质,三角形内角和定理,平角定义,平行的性质。

【分析】由AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,知OA =OC ,根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形

内角和定理,得∠AOC=1800-2∠OAC。

由AC∥OD,根据两直线平行,内错角相等的性质,得∠OAC=∠AOD。

由AB 是⊙O 的直径,∠BOD=110°,根据平角的定义,得∠AOD=1800-∠BOD=70°。 ∴∠AOC=1800-2×70°=400。故选D 。

8.(内蒙古乌兰察布3分)如图, AB 为 ⊙ O 的直径, CD 为弦, AB ⊥ CD ,如果

∠BOC = 700 ,那么∠A 的度数为 A 70 0 B. 350 C. 300 D . 200 【答案】B 。

【考点】弦径定理,圆周角定理。

【分析】如图,连接OD ,AC 。由∠BOC = 700,

根据弦径定理,得∠DOC = 1400;

根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠DAC = 700。 从而再根据弦径定理,得∠A 的度数为350。故选B 。

17.填空题

1.(天津3分)如图,AD ,AC 分别是⊙O 的直径和弦.且∠CAD=30°.OB⊥AD,交AC

于点B .若OB=5,则BC 的长等于 ▲ 。 【答案】5。

【考点】解直角三角形,直径所对圆周角的性质。 【分析】∵在Rt△ABO 中,00

OB 5OB 5

AO 53,AB 10tan CAD tan30sin CAD sin30C ======∠∠,

∴AD=2AO=103。 连接CD ,则∠ACD=90°。

∵在Rt△ADC 中,0

AC ADcos CAD 103cos3015=∠==,

∴BC=AC-AB=15-10=5。

2.(河北省3分)如图,点0为优弧ACB 所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D 在AB 延长线上,BD=BC ,则∠D= ▲ . 【答案】27°。

【考点】圆周角定理,三角形的外角定理,等腰三角形的性质。

【分析】∵∠AOC=108°,∴∠ABC=54°。∵BD=BC,∴∠D=∠BCD=1

2

∠ABC=27°。 3.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图,直线PA 过半圆的圆心O ,交半圆于A ,B 两点,PC 切半圆与点C ,

已知PC=3,PB=1,则该半圆的半径为 ▲ . 【答案】4。

【考点】切线的性质,勾股定理。

【分析】连接OC ,则由直线PC 是圆的切线,得OC⊥PC。设圆的半径为

x ,则在Rt△OPC 中,PC=3,OC= x ,OP=1+x ,根据地勾股定理,得OP 2=OC 2+PC 2,即(1+x )2= x 2+32,解得x=4。即该半圆的半径为4。

【学过切割线定理的可由PC 2=PA?PB 求得PA=9,再由AB=PA -PB 求出直径,从而求得半径】 4.(内蒙古呼伦贝尔3分)已知扇形的面积为12π,半径是6,则它的圆心角是 ▲ 。 【答案】1200。 【考点】扇形面积公式。

【分析】设圆心角为n ,根据扇形面积公式,得20

n 612360

=ππ??,解得n =1200。 18.解答题

1.(天津8分)已知AB 与⊙O 相切于点C ,OA=OB .OA 、OB 与⊙O 分别交于点D 、E. (I) 如图①,若⊙O 的直径为8,AB=10,求OA 的长(结果保留根号); (Ⅱ)如图②,连接CD 、CE ,若四边形ODCE 为菱形.求

OD

OA

的值.

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【答案】解:(I) 如图①,连接OC ,则OC=4。 ∵AB 与⊙O 相切于点C ,∴OC⊥AB。 ∴在△OAB 中,由OA=OB ,AB=10得1

AC AB 52

=

=。 ∴ 在△RtOAB 中,2222OA OC AC 4541=+=+=。 (Ⅱ)如图②,连接OC ,则OC=OD 。 ∵四边形ODCE 为菱形,∴OD=DC。

∴△ODC 为等边三角形。∴∠AOC=600。

∴∠A=300。∴1

OC 1OD 1

OC OA 2OA 2OA 2

===

,,即。 【考点】线段垂直平分线的判定和性质,勾股定理,等边三角形的判定和性质,300角直角三角形的性质。 【分析】(I) 要求OA 的长,就要把它放到一个直角三角形内,故作辅助线OC ,由AB 与⊙O 相切于点C 可知OC 是AB 的垂直平分线,从而应用勾股定理可求OA 的长。

(Ⅱ)由四边形ODCE 为菱形可得△ODC 为等边三角形,从而得300角的直角三角形OAC ,根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。

2.(河北省10分)如图1至图4中,两平行线AB 、CD 间的距离均为6,点M 为AB 上一定点.

思考

如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB ,CD 之间(包括AB ,CD ),其直径MN 在AB 上,MN=8,点P 为半圆上一点,设∠MOP=α.

当α= ▲ 度时,点P 到CD 的距离最小,最小值为 ▲ . 探究一

在图1的基础上,以点M 为旋转中心,在AB ,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,得到最大旋转角∠BMO= ▲ 度,此时点N 到CD 的距离是 ▲ .

探究二

将如图1中的扇形纸片NOP 按下面对α的要求剪掉,使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ,CD 之间顺时针旋转.

(1)如图3,当α=60°时,求在旋转过程中,点P 到CD 的最小距离,并请指出旋转角∠BMO 的最大值;

(2)如图4,在扇形纸片MOP 旋转过程中,要保证点P 能落在直线CD 上,请确定α的取值范围. (参考数椐:sin49°=

34,cos41°=34,tan37°=3

4

.)

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【答案】解:思考:90,2。

探究一:30,2。

探究二(1)当PM⊥AB时,点P到AB的最大距离是

MP=OM=4,

从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2。

当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时,弧MP

与AB相切,

此时旋转角最大,∠BMO的最大值为90°。

(2)如图4,由探究一可知,

点P是弧MP与CD的切线时,α大到最大,即OP⊥CD,

此时延长PO交AB于点H,

α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°,

如图5,当点P在CD上且与AB距离最小时,MP⊥CD,α达到最小,

连接MP,作HO⊥MP于点H,由垂径定理,得出MH=3。

在Rt△MOH中,MO=4,∴sin∠MOH=MH3

=。∴∠MOH=49°。

OM4

∵α=2∠MOH,∴α最小为98°。

∴α的取值范围为:98°≤α≤120°。

【考点】直线与圆的位置关系,点到直线的距离,平行线之间的距离,切线的性质,旋转的性质,解直角三角形。【分析】思考:根据两平行线之间垂线段最短,直接得出答案,当α=90度时,点P到CD的距离最小,∵MN=8,∴OP=4,∴点P到CD的距离最小值为:6﹣4=2。

探究一:∵以点M为旋转中心,在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,

∵MN=8,MO=4,NQ=4,∴最大旋转角∠BMO=30度,点N到CD的距离是2。

探究二:(1)由已知得出M与P的距离为4,PM⊥AB时,点MP 到AB的最大距离是4,从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2,即可得出∠BMO的最大值。

(2)分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH,即可得出α的取值范围。

3.(内蒙古呼和浩特8分)如图所示,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC 于点D,DB DC2

==.

DP DO3

(1)求证:直线PB是⊙O的切线;

(2)求cos∠BCA的值.

【答案】(1)证明:连接OB 、OP

DB DC 2

DP DO 3

==且∠D=∠D ,∴

△BDC∽△PDO。

∴∠DBC=∠DPO。∴BC∥OP 。 ∴∠BCO=∠POA ,∠CBO=∠BOP。

∵OB=OC,∴∠OCB=∠CBO。∴∠BOP=∠POA。 又∵OB=OA, OP=OP , ∴△BOP≌△AOP(SAS )。 ∴∠PBO=∠PAO。又∵PA⊥AC, ∴∠PBO=90°。 ∴ 直线PB 是⊙O 的切线 。 (2)由(1)知∠BCO =∠P OA 。 设PB a =,则BD=a 2, 又∵PA=PB a =,∴AD=22a 。 又∵ BC∥OP ,∴

DC

2CO =。∴1DC CA 2222a a ==?=。∴2OA 2a = 。 ∴6OP 2

a = ∴cos∠BCA=co s∠POA=33

【考点】切线的判定和性质,平行的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义,勾股定理,切线长定理。 【分析】(1)连接OB 、OP ,由

DB DC 2

DP DO 3

==,且∠D=∠D,根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO,可得到BC∥OP,易证得△BOP≌△AOP,则∠PBO=∠PAO=90°。

(2)设PB a =,则BD=a 2,根据切线长定理得到PA=PB a =,根据勾股定理得到AD=22a ,又BC∥OP,得到DC=2CO ,得到1

DC CA 2222a a ==

?=,则2OA 2

a =,利用勾股定理求出OP ,然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA 的值。

4.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分)如图,等圆⊙O 1 和⊙O 2 相交于A,B 两点,⊙O 2 经

过⊙O 1 的圆心O 1,两圆的连心线交⊙O 1于点M ,交AB 于点N,连接BM,已知AB=23。

(1) 求证:BM 是⊙O 2的切线; (2)求 ⌒AM 的长。

【答案】解(1)证明:连结O 2B ,

∵MO 2是⊙O 1的直径,∴∠MBO 2=90°。

1

2

N M

A

B

O O

∴BM 是⊙O 2的切线。

(2)∵O 1B=O 2B=O 1O 2,∴∠O 1O 2B=60°。 ∵AB=23,∴BN=3,∴O 2B 12BN

O O B

sin =∠=2。

∴ ⌒AM= ⌒BM=

120π×2180=4π3

。 【考点】切线的判定和性质,相交两圆的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,弧长的计算。 【分析】(1)连接O 2B ,由MO 2是⊙O 1的直径,得出∠MBO 2=90°从而得出结论:BM 是⊙O 2的切线。 (2)根据O 1B=O 2B=O 1O 2,则∠O 1O 2B=60°,再由已知得出BN 与O 2B ,从而计算出弧AM 的长度。 5.(内蒙古包头12分)如图,已知∠ABC=90°,AB=BC .直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C .点F 是圆O 上异于B 、C 的动点,直线BF 与l 相交于点E ,过点F 作AF 的垂线交直线BC 与点D . (1)如果BE=15,CE=9,求EF 的长; (2)证明:①△CDF∽△BAF;②CD=CE;

(3)探求动点F 在什么位置时,相应的点D 位于线段BC 的延长线上,且

使

BC=3CD ,请说明你的理由.

【答案】解:(1)∵直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C ,

∴∠BCE=90°,

又∵BC 为直径,∴∠BFC=∠CFE=90°。∴∠CFE=∠BCE。 ∵∠FEC=∠CEB,∴△CEF∽△BEC。∴CE EF

BE EC

=

。 ∵BE =15,CE=9,即:

9EF 159=

,解得:EF=27

5

。 (2)证明:①∵∠FCD+∠FBC=90°,∠ABF+∠FBC=90°,∴∠ABF=∠FCD。 同理:∠AFB=∠CFD。∴△CDF∽△BAF。 ②∵△CDF∽△BAF,∴CF CD

BF BA

=

。 又∵△CEF∽△BCF,∴

CF CE

BF BC

=

。∴CD CE BA BC =。 又∵AB=BC,∴CE=CD。

(3)当F 在⊙O 的下半圆上,且2

BF BC 3

=

时,相应的点D 位于线段BC 的延长线上,且使BC=3CD 。理由如下:

∵CE=CD,∴BC=3CD=3CE 。

在Rt△BCE中,tan∠CBE=CE

=,

BC3

∴∠CBE=30°,∴CF所对圆心角为60°。

∴F在⊙O的下半圆上,且2

=。

BF BC

3

【考点】相似三角形的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,切线的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。

【分析】(1)由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C,即可得∠BCE=90°,∠BFC=∠CFE=90°,则可证得△CEF∽△BEC,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得EF的长。

(2)①由∠FCD+∠FBC=90°,∠ABF+∠FBC=90°,根据同角的余角相等,即可得∠ABF=∠FCD,同理可得∠AFB=∠CFD,则可证得△CDF∽△BAF。

②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF,根据相似三角形的对应边成比例,易证得CD CE

=,又

BA BC

由AB=BC,即可证得CD=CE。

(3)由CE=CD,可得BC=3CD=3CE,然后在Rt△BCE中,求得tan∠CBE的值,即可求得∠CBE 的度数,则可得F在⊙O的下半圆上,且2

=。

BF BC

3

6.(内蒙古乌兰察布10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900D是AB 边上的一点,以BD为直径的⊙0与边AC 相切于点E,连结DE并延长,与BC的延长线交于点F .

( 1 )求证:BD = BF ;

( 2 )若BC = 12 , AD = 8 ,求BF 的长.

【答案】解:(1)证明:连结OE,

∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED。

∵⊙O与边AC 相切于点E,

∴OE⊥AE。∴∠OEA=90°。

∵∠ACB=90°,∴∠OEA=∠ACB。∴OE∥BC。∴∠F=∠OED。

∴∠ODE=∠F。∴BD=BF。

(2)过D作DG⊥AC于G,连结BE,

∴∠DGC=∠ECF,DG∥BC。

∵BD为直径,∴∠BED=90°。

∵BD=BF,∴DE=EF。

在△DEG 和△FEC 中,

∵∠DGC=∠ECF,∠DEG=∠FEC,DE=EF ,∴△DEG≌△FEC(AAS )。∴DG=CF。 ∵DG∥BC,∴△ADG∽△ABC。∴AD DG

AB BC

=

。 ∴

8CF 812CF 12

=

++,∴2

CF 20CF 960+-=,∴CF 4=或CF 24=-(舍去)。 ∴BF=BC+CF=12+4=16。

【考点】等腰三角形判定和性质,圆切线的性质,平行的判定和性质,圆周角定理,对顶角的性质,全等三角形判定和性质,相似三角形判定和性质。

【分析】(1)连接OE ,易证OE∥BC,根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F,则根据等角对等边即可求证。

(2)易证△AOE∽△ABC,根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径,即可求解。

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