2019中考数学试题及答案分类汇编：圆
一、选择题
1. （天津3分）已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ，若12O O =7 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是
(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 【答案】D 。
【考点】圆与圆位置关系的判定。
【分析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距12O O =7，根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。 2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是
A 、相交
B 、外切
C 、外离
D 、内含
【答案】B 。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。
∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米。 ∵圆心距是1+2=3厘米，∴这两个圆的位置关系是外切。故选B 。
3,（内蒙古包头3分）已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点
D ，则∠CDP 等于
A 、30°
B 、60°
C 、45°
D 、50°
【答案】
【考点】角平分线的定义，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形外角定理。 【分析】连接OC ，
∵OC=OA，，PD 平分∠APC， ∴∠CPD=∠DPA，∠CAP=∠ACO。 ∵PC 为⊙O 的切线，∴OC⊥PC。
∵∠CPD+∠DPA+∠CAP +∠ACO=90°，∴∠DPA+∠CAP =45°，即∠CDP=45°。故选C 。
4.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD 中，DC∥AB，BC=1，
AB=AC=AD=2．则BD 的长为
A. 14
B. 15
C. 32
D. 23
【答案】B 。
【考点】圆周角定理，圆的轴对称性，等腰梯形的判定和性质，勾股定理。 【分析】以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF 。 根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°； 根据圆的轴对称性和DC∥AB，得四边形FBCD 是等腰梯形。
∴DF=CB=1，BF=2+2=4。∴BD=2222BF DF 4115-=-=。故选B 。
5.（内蒙古呼伦贝尔3分）⊙O 1的半径是cm 2，⊙2的半径是cm 5，圆心距是cm 4，则两圆的位置关系为 A. 相交 B. 外切 C.外离 D. 内切 【答案】A 。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。由于5－2＜4＜5＋2，所以两圆相交。故选A 。 6.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点,则
线段OM 长的最小值为. A. 5 B. 4 C. .3 D. 2 【答案】C 。
【考点】垂直线段的性质，弦径定理，勾股定理。
【分析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质，知线段OM 长的最小值为点O 到弦AB 的垂直线段。如图，过点O 作OM⊥AB 于M ，连接OA 。
根据弦径定理，得AM ＝BM ＝4，在Rt△AOM 中，由AM ＝4， OA ＝5，根据勾股定理得OM ＝3，即线段OM 长的最小值为3。故选C 。
7.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上 ，∠BOD=110°，AC∥OD，则∠AOC 的度数 A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】D 。
【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平角定义，平行的性质。
【分析】由AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，知OA ＝OC ，根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形
内角和定理，得∠AOC＝1800－2∠OAC。
由AC∥OD，根据两直线平行，内错角相等的性质，得∠OAC＝∠AOD。
由AB 是⊙O 的直径，∠BOD=110°，根据平角的定义，得∠AOD＝1800－∠BOD=70°。 ∴∠AOC＝1800－2×70°＝400。故选D 。
8.（内蒙古乌兰察布3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果
∠BOC = 700 ，那么∠A 的度数为 A 70 0 B. 350 C. 300 D . 200 【答案】B 。
【考点】弦径定理，圆周角定理。
【分析】如图，连接OD ，AC 。由∠BOC = 700，
根据弦径定理，得∠DOC = 1400；
根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠DAC = 700。 从而再根据弦径定理，得∠A 的度数为350。故选B 。
17．填空题
1.（天津3分）如图，AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC
于点B ．若OB=5，则BC 的长等于 ▲ 。 【答案】5。
【考点】解直角三角形，直径所对圆周角的性质。 【分析】∵在Rt△ABO 中，00
OB 5OB 5
AO 53,AB 10tan CAD tan30sin CAD sin30C ======∠∠，
∴AD=2AO=103。 连接CD ，则∠ACD=90°。
∵在Rt△ADC 中，0
AC ADcos CAD 103cos3015=∠==，
∴BC=AC－AB=15－10=5。
2.（河北省3分）如图，点0为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D 在AB 延长线上，BD=BC ，则∠D= ▲ ． 【答案】27°。
【考点】圆周角定理，三角形的外角定理，等腰三角形的性质。
【分析】∵∠AOC=108°，∴∠ABC=54°。∵BD=BC，∴∠D=∠BCD=1
2
∠ABC=27°。 3.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，直线PA 过半圆的圆心O ，交半圆于A ，B 两点，PC 切半圆与点C ，
已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ▲ ． 【答案】4。
【考点】切线的性质，勾股定理。
【分析】连接OC ，则由直线PC 是圆的切线，得OC⊥PC。设圆的半径为
x ，则在Rt△OPC 中，PC=3，OC= x ，OP=1＋x ，根据地勾股定理，得OP 2=OC 2＋PC 2，即（1＋x ）2= x 2＋32，解得x=4。即该半圆的半径为4。
【学过切割线定理的可由PC 2=PA?PB 求得PA=9，再由AB=PA －PB 求出直径，从而求得半径】 4.（内蒙古呼伦贝尔3分）已知扇形的面积为12π，半径是6，则它的圆心角是 ▲ 。 【答案】1200。 【考点】扇形面积公式。
【分析】设圆心角为n ，根据扇形面积公式，得20
n 612360
=ππ??，解得n ＝1200。 18．解答题
1.（天津8分）已知AB 与⊙O 相切于点C ，OA=OB ．OA 、OB 与⊙O 分别交于点D 、E. (I) 如图①，若⊙O 的直径为8，AB=10，求OA 的长(结果保留根号)； (Ⅱ)如图②，连接CD 、CE ，若四边形ODCE 为菱形．求
OD
OA
的值．
【答案】解：(I) 如图①，连接OC ，则OC=4。 ∵AB 与⊙O 相切于点C ，∴OC⊥AB。 ∴在△OAB 中，由OA=OB ，AB=10得1
AC AB 52
=
=。 ∴ 在△RtOAB 中，2222OA OC AC 4541=+=+=。 (Ⅱ)如图②，连接OC ，则OC=OD 。 ∵四边形ODCE 为菱形，∴OD=DC。
∴△ODC 为等边三角形。∴∠AOC=600。
∴∠A=300。∴1
OC 1OD 1
OC OA 2OA 2OA 2
===
，，即。 【考点】线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，300角直角三角形的性质。 【分析】(I) 要求OA 的长，就要把它放到一个直角三角形内，故作辅助线OC ，由AB 与⊙O 相切于点C 可知OC 是AB 的垂直平分线，从而应用勾股定理可求OA 的长。
(Ⅱ)由四边形ODCE 为菱形可得△ODC 为等边三角形，从而得300角的直角三角形OAC ，根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。
2.（河北省10分）如图1至图4中，两平行线AB 、CD 间的距离均为6，点M 为AB 上一定点．
思考
如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB ，CD 之间（包括AB ，CD ），其直径MN 在AB 上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．
当α= ▲ 度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为 ▲ ． 探究一
在图1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= ▲ 度，此时点N 到CD 的距离是 ▲ ．
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP 按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ，CD 之间顺时针旋转．
（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值；
（2）如图4，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围． （参考数椐：sin49°=
34，cos41°=34，tan37°=3
4
．）
【答案】解：思考：90，2。
探究一：30，2。
探究二（1）当PM⊥AB时，点P到AB的最大距离是
MP=OM=4，
从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2。
当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP
与AB相切，
此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°。
（2）如图4，由探究一可知，
点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD，
此时延长PO交AB于点H，
α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°，
如图5，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小，
连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH=3。
在Rt△MOH中，MO=4，∴sin∠MOH=MH3
=。∴∠MOH=49°。
OM4
∵α=2∠MOH，∴α最小为98°。
∴α的取值范围为：98°≤α≤120°。
【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离，平行线之间的距离，切线的性质，旋转的性质，解直角三角形。【分析】思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α=90度时，点P到CD的距离最小，∵MN=8，∴OP=4，∴点P到CD的距离最小值为：6﹣4=2。
探究一：∵以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，
∵MN=8，MO=4，NQ=4，∴最大旋转角∠BMO=30度，点N到CD的距离是2。
探究二：（1）由已知得出M与P的距离为4，PM⊥AB时，点MP 到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2，即可得出∠BMO的最大值。
（2）分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH，即可得出α的取值范围。
3.（内蒙古呼和浩特8分）如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC 于点D，DB DC2
==．
DP DO3
（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求cos∠BCA的值．
【答案】（1）证明：连接OB 、OP
∵
DB DC 2
DP DO 3
==且∠D=∠D ，∴
△BDC∽△PDO。
∴∠DBC=∠DPO。∴BC∥OP 。 ∴∠BCO=∠POA ，∠CBO=∠BOP。
∵OB=OC，∴∠OCB=∠CBO。∴∠BOP=∠POA。 又∵OB=OA， OP=OP ， ∴△BOP≌△AOP（SAS ）。 ∴∠PBO=∠PAO。又∵PA⊥AC， ∴∠PBO=90°。 ∴ 直线PB 是⊙O 的切线 。 （2）由（1）知∠BCO =∠P OA 。 设PB a =，则BD=a 2， 又∵PA=PB a =，∴AD=22a 。 又∵ BC∥OP ，∴
DC
2CO =。∴1DC CA 2222a a ==?=。∴2OA 2a = 。 ∴6OP 2
a = ∴cos∠BCA=co s∠POA=33
。
【考点】切线的判定和性质，平行的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线长定理。 【分析】（1）连接OB 、OP ，由
DB DC 2
DP DO 3
==，且∠D=∠D，根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°。
（2）设PB a =，则BD=a 2，根据切线长定理得到PA=PB a =，根据勾股定理得到AD=22a ，又BC∥OP，得到DC=2CO ，得到1
DC CA 2222a a ==
?=，则2OA 2
a =，利用勾股定理求出OP ，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA 的值。
4.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分）如图，等圆⊙O 1 和⊙O 2 相交于A,B 两点，⊙O 2 经
过⊙O 1 的圆心O 1,两圆的连心线交⊙O 1于点M ，交AB 于点N,连接BM,已知AB=23。
（1） 求证：BM 是⊙O 2的切线； （2）求 ⌒AM 的长。
【答案】解（1）证明：连结O 2B ，
∵MO 2是⊙O 1的直径，∴∠MBO 2=90°。
1
2
N M
A
B
O O
∴BM 是⊙O 2的切线。
(2)∵O 1B=O 2B=O 1O 2，∴∠O 1O 2B=60°。 ∵AB=23，∴BN=3，∴O 2B 12BN
O O B
sin =∠=2。
∴ ⌒AM= ⌒BM=
120π×2180=4π3
。 【考点】切线的判定和性质，相交两圆的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，弧长的计算。 【分析】（1）连接O 2B ，由MO 2是⊙O 1的直径，得出∠MBO 2=90°从而得出结论：BM 是⊙O 2的切线。 （2）根据O 1B=O 2B=O 1O 2，则∠O 1O 2B=60°，再由已知得出BN 与O 2B ，从而计算出弧AM 的长度。 5.（内蒙古包头12分）如图，已知∠ABC=90°，AB=BC ．直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C ．点F 是圆O 上异于B 、C 的动点，直线BF 与l 相交于点E ，过点F 作AF 的垂线交直线BC 与点D ． （1）如果BE=15，CE=9，求EF 的长； （2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；
（3）探求动点F 在什么位置时，相应的点D 位于线段BC 的延长线上，且
使
BC=3CD ，请说明你的理由．
【答案】解：（1）∵直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C ，
∴∠BCE=90°，
又∵BC 为直径，∴∠BFC=∠CFE=90°。∴∠CFE=∠BCE。 ∵∠FEC=∠CEB，∴△CEF∽△BEC。∴CE EF
BE EC
=
。 ∵BE =15，CE=9，即：
9EF 159=
，解得：EF=27
5
。 （2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠ABF=∠FCD。 同理：∠AFB=∠CFD。∴△CDF∽△BAF。 ②∵△CDF∽△BAF，∴CF CD
BF BA
=
。 又∵△CEF∽△BCF，∴
CF CE
BF BC
=
。∴CD CE BA BC =。 又∵AB=BC，∴CE=CD。
（3）当F 在⊙O 的下半圆上，且2
BF BC 3
=
时，相应的点D 位于线段BC 的延长线上，且使BC=3CD 。理由如下：
∵CE=CD，∴BC=3CD=3CE 。
在Rt△BCE中，tan∠CBE=CE
=，
BC3
∴∠CBE=30°，∴CF所对圆心角为60°。
∴F在⊙O的下半圆上，且2
=。
BF BC
3
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长。
（2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF。
②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得CD CE
=，又
BA BC
由AB=BC，即可证得CD=CE。
（3）由CE=CD，可得BC=3CD=3CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即可求得∠CBE 的度数，则可得F在⊙O的下半圆上，且2
=。
BF BC
3
6.（内蒙古乌兰察布10分）如图，在Rt△ABC中,∠ACB＝900D是AB 边上的一点，以BD为直径的⊙0与边AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F .
( 1 ）求证：BD = BF ;
( 2 ）若BC = 12 , AD = 8 ，求BF 的长．
【答案】解：（1）证明：连结OE，
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED。
∵⊙O与边AC 相切于点E，
∴OE⊥AE。∴∠OEA=90°。
∵∠ACB=90°，∴∠OEA=∠ACB。∴OE∥BC。∴∠F=∠OED。
∴∠ODE=∠F。∴BD=BF。
（2）过D作DG⊥AC于G，连结BE，
∴∠DGC=∠ECF，DG∥BC。
∵BD为直径，∴∠BED=90°。
∵BD=BF，∴DE=EF。
在△DEG 和△FEC 中，
∵∠DGC=∠ECF，∠DEG=∠FEC，DE=EF ，∴△DEG≌△FEC（AAS ）。∴DG=CF。 ∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC。∴AD DG
AB BC
=
。 ∴
8CF 812CF 12
=
++，∴2
CF 20CF 960+-=，∴CF 4=或CF 24=-（舍去）。 ∴BF=BC+CF=12+4=16。
【考点】等腰三角形判定和性质，圆切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，对顶角的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质。
【分析】（1）连接OE ，易证OE∥BC，根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F，则根据等角对等边即可求证。
（2）易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即可求解。