tan
=?+???C D c x T x T y W δδδ0
)sin 2csc ()cos (cos 2=?+?+?δααααδααδαl a W l T Tl 0
)]sin 2csc (cos 2[2=?+?δααααl a W lT )1csc 2(tan )sin 2csc (cos 222
??=?=
αααααl
a W l a l W T
拉格朗日方程的应用及举例 拉格朗日方程有以下几个特点：（1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的n个方程，是一个包含n个二阶常微分方程组，方程组的阶数为2n。求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。（2）拉格朗日方程的形式具有不变性。对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取而变化。特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。（3）所有的理想约束的约束反力均不出现在运动微分方程中。系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。（4）拉格朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用的广义力，避开了力、速度、加速度等矢量的复杂运算。（5）拉格朗日方程不但可以建立相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐标。 纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。我们将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有时过于繁琐，并有较多的耦合项。 应用拉格朗日方程建立动力学方程时，应首先建立以广义坐标q和广义速度q 表示的动能函数和广义力Q。为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉格朗日方程的应用。 一、动能的计算 对于系统的动能，可以写出关于广义速度q 的齐次函数的表达式。在实际计算中，应用理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。 例1-1 已知质量为m，半径为r的均质圆盘D， 沿OAB直角曲杆的AB段只滚不滑。圆盘的盘面和曲 杆均放置在水平面上。已知曲杆以匀角速度ω1绕通过 O点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。 解：取广义坐标x和?，x为圆盘与曲杆接触点到 曲杆A点的距离，?为曲杆OAB的转角，? = ω1t。 应用柯尼希定理求圆盘的动能。为此，先求圆盘质心C的速度和相对于质心平动坐标- - 优质资料
第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型 §2.1概述 拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范 适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。 §2.2拉格朗日方程 1． 哈密尔顿原理 系统总动能 ),,,,,,,(321321N n q q q q q q q q T T = （2－1） 系统总势能 ),,,,(321t q q q q U U N = （2－2） 非保守力的虚功 N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211 （2－3） 哈密尔顿原理的数学描述： 0)(2 1 21 =+-??t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4） 2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式： ),3,2,1()(N i Q q U q T q T dt d i i i i ==??+??-?? （2－5） （推导：） 将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有 0)( 22112211221122112 1 =+++??-??-??-??++??+??+??+??+??? dt q Q q Q q Q q q T q q U q q U q q T q q T q q T q q T q q T q q T N N N N N N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6） 利用分步积分
dt q q T dt d q q T dt q q T i t t i t t i i i t t i δδδ?? ??-??=??21212 1 )(][ （2－7） 并注意到端点不变分（端点变分为零） 0)()(21==t q t q i i δδ （2－8） 故 dt q q T dt d dt q q T i i t t i t t i δδ)(212 1 ??-=???? （2－9） 从而有 0)])([2 1 1 =+??-??+??- ?∑=dt q Q q U q T q T dt d i i i t t i i N i δ （ （2－10） 由变分学原理的基本引理： （设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导 数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有 ? =f t t T dt t M t 0 0)()(η 则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ） 我们可以得到： 0)(=+??-??+??- i i i i Q q U q T q T dt d （2－11） 即 i i i i Q q U q T q T dt d =??+??-??)( （2－12） 对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型， 则阻尼力与广义速度}{q 成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ， }]{[}{2 1 q C q D T ≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为：
1 应用柯尼希定理求圆盘的动能。为此，先求圆盘质心 C 的速度和相对于质心平动坐标 拉格朗日方程的应用及举例 拉格朗日方程有以下几个特点：（ 1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最 少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的 n 个方程，是一个包含 n 个二阶常微 分方程组，方程组的阶数为 2n 。求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。 （2）拉格朗日方程的形式具有不变性。对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取 而变化。特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。（ 3 ）所有的理想约束的约束反力均 不出现在运动微分方程中。系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。（ 4）拉格 朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用 的广义力，避开了力、速度、加速度等矢量的复杂运算。（ 5）拉格朗日方程不但可以建立 相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对 运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐 标。 纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描 述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论 上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和 规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。我们 将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有时过 于繁琐，并有较多的耦合项。 应用拉格朗日方程建立动力学方程时， 应首先建立以广义坐标 q 和广义速度q 表示的动 能函数和广义力 Q 。为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉 格朗日方程的应用。 、动能的计算 对于系统的动能，可以写出关于广义速度 q 的齐次函数的表达式。在实际计算中，应用 理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。 例1-1 已知质量为m ,半径为r 的均质圆盘D ， 沿OAB 直角曲杆的 AB 段只滚不滑。圆盘的盘面和曲 杆均放置在水平面上。已知曲杆以匀角速度-'1绕通过 O 点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。 解：取广义坐标x 和;:，x 为圆盘与曲杆接触点到 曲杆A 点的距离，：为曲杆OAB 的转角，：=rt 。 B
2、第二类拉格朗日方程 的应用
例1质量为m 1的物块C 以细绳跨过定滑轮B 联于点A, A ，B 两轮皆为均质圆盘，半径为R ，质量为m 2, 弹簧刚度为k ，质量不计 。 A C O x
A O C x
例2已知：如图所示的运动系统中，重物M 1的质量为m 1，可沿光滑水平面移动。摆锤M 2的质量为m 2，两个物体用长为l 的无重杆连接 。M 1 M 2 φ C 求：此系统的运动微分方程。 2、第二类拉格朗日方程的应用 解：系统有两个自由度，选M 1的水平坐标x 1和φ为广 义坐标, 并将质点位置用广义坐标表示： 111212,0;sin ,cos x x y x x l y l j j ===-=将上式两端对时间t 求导数得： 111212,0;cos sin x x y x x l y l j j j j ===-=-&&&&&&&&，系统的动能为:222122211()22T m x m x y =++&&&2 2212111()(2cos )22 m l m m x l x j j j =++-&&&&选质点M 2在最低处时的位置为系统的零势能位置，则系统的势能为： ) cos 1(2j -=gl m V 系统的主动力为有势力，此为保守系统，可写出系统的动势，运用保守系统的拉格朗日方程求解，此处我们运用一般形式的第二类拉格朗日方程求解。 d 0(12)d k T T Q k N t q q ????--==?÷??L &，，，注意：零势能位置的选取不是唯一的。选取原则：计算方便
代入拉格朗日方程得到： 1212110()cos T T m m x m l x x j j ??==+-??&&&，2 121221d ()()cos sin d T m m x m l m l t x j j j j ?=+-+×?&&&&&&1 0x V Q x ?=-=?先计算)cos 1(2j -=gl m V 22 212111()(2cos )22 m l T m m x l x j j j =++-&&&&2 21221sin cos T T m lx m l m lx j j j j j j ??==-??&&&&&，2 22121d ()cos sin d T m l m lx m lx t j j j j j ?=-+×?&&&&&&&2sin V Q m gl j j j ?=-=-?2 12122()cos sin 0m m x m l m l j j j j +-+×=&&&&&(cos sin )sin 0m l l x x m gl j j j j j -+×+=&&&&&&2、第二类拉格朗日方程的应用 x 1φ 再计算
1 拉格朗日方程的应用及举例 拉格朗日方程有以下几个特点：（1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的n 个方程，是一个包含n 个二阶常微分方程组，方程组的阶数为2n 。求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。（2）拉格朗日方程的形式具有不变性。对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取而变化。特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。（3）所有的理想约束的约束反力均不出现在运动微分方程中。系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。（4）拉格朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用的广义力，避开了力、速度、加速度等矢量的复杂运算。（5）拉格朗日方程不但可以建立相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐标。 纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。我们将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有时过于繁琐，并有较多的耦合项。 应用拉格朗日方程建立动力学方程时，应首先建立以广义坐标q 和广义速度q 表示的动能函数和广义力Q 。为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉格朗日方程的应用。 一、动能的计算 对于系统的动能，可以写出关于广义速度q 的齐次函数的表达式。在实际计算中，应用理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。 例1-1 已知质量为m ，半径为r 的均质圆盘D ，沿OAB 直角曲杆的AB 段只滚不滑。圆盘的盘面和曲杆均放置在水平面上。已知曲杆以匀角速度ω1绕通过O 点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。 解：取广义坐标x 和?，x 为圆盘与曲杆接触点到曲杆A 点的距离，?为曲杆OAB 的转角，? = ω1t 。 应用柯尼希定理求圆盘的动能。为此，先求圆盘质心C 的速度和相对于质心平动坐标
拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。 简介 拉格朗日方程：对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。 通常可写成： 式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q'j所表示的动能；Qj为对应于qj的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n 为系统的质点数；k为完整约束方程个数。 从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。 拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。如
果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。 通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。 应用 用拉格朗日方程解题的优点是：①广义坐标个数通常比x坐标少，即N<3n，故拉氏方程个数比直角坐标的牛顿方程个数少，即运动微分方程组的阶数较低，问题易于求解；②广义坐标可根据约束条件作适当的选择，使力学问题的运算简化，并且不必考虑约束力；③T和L都是标量，比力的矢量关系式更易表达，因此较易列出动力方程。下面是两个例子： ①图1是一个半径为a、质量为m1的圆盘，它的中心用铰链与质量为m2的直杆相连。此杆的另一端用铰链固接在半径为b的空心圆筒的中心O；杆长l=b-a。圆盘绕O点摆动。杆的动能为
第２７卷第ｌ期２０００年１月 华北电力大学学报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈＣｈｉｎａＥＩｅｃｔｒｉｃＰｏ聊ｒＵⅡｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｍ２７Ｎ０１ Ｊａｎ２０００ 文章编号：１００７—２６９１（２０Ｄ０）０ｌ，００８３—０４ 拉格朗日方程在点的运动分析中的应用 王养丽１，王璋奇２，马岗３ （１．西安武警工程学院，陕西西安７１００８６；２．华北电力大学机械工程系，河北保定 ０７１００３；３．保定供电局，河北保定０７】０００） 摘要：利用拉格朗日方程，推证了质点复合运动的加速度合成定理和球坐标系下质点运动加速度的计算公 式。研究结果表明了力学理论中的动力学和运动学之间的统～性。 关键词：质点动力学；质点运动学：加遗度合成 中图分类号：Ｏ３１６文献标识码：Ａ 拉格朗日（Ｌａｇｒ∞ｇｅ）方程是解决具有理想的完整约束的质点系统动力学问题的基本方程，通常用来研究复杂的非自由质点系统动力学问题。如用拉格朗日方程建立复杂系统的运动微分方程等。 本文将Ｌａｇｒａｎｇｅ方程应用到质点运动学中，研究质点运动学的基本问题，推证质点运动分析中的有关计算公式和定理。若质点系的动能用壤示，则系统的Ｌａｇｒａｎｇｅ方程可表示为 爿矧一器屯ｍ式中，ｘ表示广义坐标，聩示与广义坐标对应的广义力。动力学理论中的牛顿第二定律描述了质点受力和运动加速度之间的关系，由此得到质点运动加速度的计算公式 ａ＝鲁（２）式中，口表示质点运动的加速度，ｍ表示质点的质量，，为作用在质点上的合力。利用动力学理论研究运动学问题的基本过程是：首先写出质点系统动能的表达式，再由动力学的Ｌａｇｒａｎｇｅ方程式（１）计算与广义坐标相对应的广义力，最后由式（２）计算质点运动的加速度，得到运动学中点运动加速度的计算公式。 本文按照这一思路，推证点的运动学中点复合运动的加速度合成定理和球坐标系中质点运动加速度的计算公式，证明过程具有规范、清晰、物理含义明确，并且易于理解等特点。 １质点复合运动加速度合成定理的推证 质点复合运动是点的运动分析的主要内容，速度合成定理和加速度合成定理是它的核心内容。在现有的教课书中”ｌ，对这两个定理的证明均采用运动分析的几何方法。应用几何方法证明速度合成定理时，证明过程直观、易理解，但对加速度合成定理的证明，尤其是当牵连运动为转动时的加速度合成定 收稿日期：１９９９－０８．３０． 作者简介：王养耐（１９６８一），女，西安武警工程学院物理教研室讲师 万方数据
第3章拉格朗日方程 以动力学普遍方程为基础，拉格朗日导出了两种形式的动力学方程，分别称为第一类和第二类拉格朗日方程。将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立起动力学普遍方程，避免了理想约束力的出现；再把普遍方程变为广义坐标形式，进一步转变为能量形式，导出了第二类拉格朗日方程，实现了用最少数目的方程描述动力系统；应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的普遍方程和约束方程而建立的一组动力学方程，是第一类拉格朗日方程，便于程式化处理约束动力系统问题。拉格朗日方程是分析力学得以发展之源。 3.1 第二类拉格朗日方程 第二类拉格朗日方程是分析力学中最重要的动力学方程，它给出动力学问题一个普遍、简单而又统一的解法。拉格朗日方程只适用于完整约束的质点系。 3.1.1 几个关系式的推证 为方便起见，在推导拉格朗日方程前，先推证几个关系式。 质点系由n个质点、s个完整的理想约束组成，它的自由度数为k＝ 3n–s，广义坐标数与自由度数相等。该系统中，任一质点M i的矢径r i可表示成广义坐标q1，q2，…，q k和时间t的函数，即 r i＝r i(q1，q2，…，q k，t) i＝1,2,…,n 它的速度 (3-1) i＝1,2,…,n 式中称为h个广义坐标的广义速度，分别为广义坐标和时间的函数，与广义速度没有直接的关系。式(3-1)对求偏导数，则有 (3-2) 这是推证的第一个关系式，它表明，任一质点的速度对广义速度的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数。为推证第二个关系式，将式(3-1)对广义坐标q j求偏导数， 或 (3-3) 这是第二个关系式，它表明，任一质点的速度对广义坐标的偏导数等于
拉格朗日方程 约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。 拉格朗日公式（lagrange formula）包括拉格朗日方程、拉格朗日插值公式、拉格朗日中值定理等。 中文名 拉格朗日公式 外文名 lagrange formula 涉及领域 信息科学、数学 发现者 约瑟夫·拉格朗日 发现者职业 法国数学家，物理学家 包括 拉格朗日方程等 目录 .1拉格朗日 .?生平 .?科学成就 .2拉格朗日方程
.?简介 .?应用 .3插值公式 .4中值定理 .?定律定义 .?验证推导 .?定理推广 拉格朗日 约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。 生平 拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年是家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。 到了青年时代，在数学家雷维里的教导下，拉格朗日喜爱上了几何学。17岁时，他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后，感觉到“分析才是自己最热爱的学科”，从此他迷上了数学分析，开始专攻当时迅速发展的数学分析。 18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商，他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。不久后，他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了。这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，相反，更坚定了他投身数学分析领域的信心。 1755年拉格朗日19岁时，在探讨数学难题“等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果为依据，用纯分析的方法求变分极值。第一篇论文“极大和极小的方法研究”，发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。变分法的创立，使拉格朗日在都灵声名大震，并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时欧洲公认的第一流数学家。1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。 1764年，法国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，他的研究获奖。接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题(木星的四个卫星的运动问题)，为此又一次于1766年获奖。
二、拉格朗日方程及其应用 虽然可以直接用牛顿第二定律或达朗贝尔原理建立多自由度系统的运动微分方程，但是在许多情况下应用拉格朗日方程法更为方便。这里用最简单的方式推导拉格朗日方程，以便更好地理解这个被广泛应用的方程的意义。我们知道，对于一能量守恒的系统，系统的动能和势能的总和是不变的，因此，它们的总和对时间的导数等于零，即： 式中：是系统的动能，它是系统广义速度的函数；是系统的势能，它是系统广义坐标 的函数。下面将说明，这两者分别可以用广义坐标和广义速度的二次型表示。 单自由度系统的动能和势能公式如下： 这个结论可以推广到多自由度系统。如下图4-6，使系统各质点产生位移 ，则在处的力为 （a） 设系统有个力作用，则系统总势能为： （b） 把公式（a）代入（b）中，得： （c） 若用矩阵符号，上式可写成： 若把改为更一般的广义坐标符号，上式变为： （d） 上式就是用广义坐标和刚度矩阵的二次型表示的系统势能表达式。
若以表示质量的速度，可以仿照单自由度系统动能的方法表示多自由度系统的动能： 或写成矩阵形式： 我们假设系统的动能只与广义速度有关而与广义坐标无关，对微振动这是成立的。下面来推导拉格朗日方程。为此，对进行全微分： （e） 将对求导，有： 将上式乘以并对从到求和，有： （f） 比较（a）,（f）两式可知： （g） 对（g）进行一次微分，得 （h） （h），（e）两式相减可得： 根据守恒系统的原理,有 （i）
因为个广义坐标是独立的，不可能都等于零，因此要上式成立必须使 （j）当系统还作用有除有势力之外的附加力时, 外力在上所作的功将是 令，则可得： （4-8）式中是除有势力之外的所有外力，其中包括阻尼力，阻尼力可表示为： （4-9）
目录 摘要 (1) 关键字 (1) Abstract (1) Key Words (1) 1引言 (1) 2拉格朗日方程的推导 (1) 3在物体平衡上的应用 (3) 2.1平衡体系中拉格朗日的特殊形式 (3) 2.2实例 (4) 4结论 (5) 参考文献 (5)
拉格朗日方程对平衡问题的运用 摘 要：本文通过对拉格朗日方程得推导和对其可以在平衡系统中运用的原因的阐述，来说明了拉格朗日方程在平衡系统中运用的可行性和方便性，并通过举例说明了一类较典型的问题和解决该问题的方法。 关键字：拉格朗日;平衡;约束力;广义坐标 The Use Of The Lagrange Equation T o Balance Abstract: By Lagrange's equations pushed to this article, and can cause the ap -plication of the balanced system set out to illustrate the Lagrangian of the feasibility and ease of application of the balanced system, and illustrates a more typical issues and ways to solve the problem. Key Words : Lagrange; balance; binding; generalized coordinates 1引言 牛顿运动力学]1[作为描述物体运动的重要方程大家都有了解，但本文介绍的拉格朗日方程，在力学体系特别是动力学体系有着举足轻重的地位，同时在平衡问题上也发挥了一定的作用，本文将带领大家了解并熟悉这一方程，和它在平衡问题上的运用。 2拉格朗日方程的推导 拉格朗日方程的判定是由其坐标的性质决定的。直接有广义坐标所表示的方程就是拉格朗日方程[2]。我们常以q 来表示广义坐标，而一个系统所拥有的广义坐标个数是由系统的自由度和约束条件所确定，一般满足s=3n-k （其中那位所含物体的个数，k 是系统的约束条件个数，s 是广义坐标个数）。 当确定了广义坐标后，该系统的i r 物体位置即可表示为： 12(,,,)i i s r r q q q t = (1) 利用上式将达朗贝尔方程[3]中的i r δ和i r 用广义坐标表示出来就可得到拉格朗日方程，推导如下： 由(1)式得 ∑ =??= ?s i i q q r r 1 ααα δ (2)
由哈密顿原理推导拉格朗日方程 谭建 222010315210236 2010级4班 一、问题重述 试由210t t Ldt δ=?推导()0d L L dt q q αα ???-=?? 二、问题分析及 由于是等时变分，有()d q q dt δδ?= ，和 22 11()0t t t t Ldt L dt δδ==?? (1) 现在来秋L δ。L 是q , q ? , t 的函数，又由于是等时变分，所以有 L L L q q q q δδδ????=+??……………………..（2） ()()()L L d d L d L q q q q dt dt dt q q q q δδδδ?????????==?-????……………….（3） 将（3）代入（2）得 ()()d L d L L L q q q dt dt q q q δδδδ?????=?-+???…………………………（4） 将（4）代入（1）得 2121()(())0t t t t L d L L q q q dt dt q q q δδδ??????+-+=????…………………………….（5） 在12,t t 处0q δ=，所以（5）变为 2 1(())0t t d L L q q dt dt q q δδ???-=???………………………………（6）即 2 1[(())]0t t d L L q dt dt q q δ???-+=???……………………………………（7） q 是独立变量，所以有 ()0d L L dt q q ???-+=??即 ()0d L L dt q q ???-=??此式即为拉格朗日方程
第二章用拉格朗日方程建立系统的数学模型 §2.1概述 拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范 适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。 §2.2拉格朗日方程 1．哈密尔顿原理 系统总动能 （2－1）系统总势能 （2－2）非保守力的虚功 （2－3）哈密尔顿原理的数学描述： （2－4）2．拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式： （2－5）（推导：） 将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有 （2－6）利用分步积分 （2－7）并注意到端点不变分（端点变分为零） （2－8）故
（2－9）从而有 （2－10）由变分学原理的基本引理： （设 n维向量函数M(t)，在区间内处处连续，在内具有二阶连续导数，在处为零，并对任意选取的n维向量函数，有 则在整个区间内，有） 我们可以得到： （2－11）即 （2－12）对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型，则阻尼力与广义速度成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D， （2－13）阻尼力产生的广义非保守力为： （2－14）对于仅受有势力和线性阻尼力作用的系统，其拉格朗日方程为： （2－15）如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力，如结构受到的外激励力（对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得，仍记为），则系统的拉格朗日方程为： （2－16）§2.3 拉格朗日方程在振动系统建模中应用 在某些结构振动问题中，取分离体、确定各分离体的受力情况，然后利用牛顿第二定律建立方程的方法不一定可用，或者很不方便，这时，采用拉格朗日方程来建立振动方程就很方便。 1．集中参数模型中应用
麦克斯韦方程组得几种推导方法及其比较 摘要:介绍麦克斯韦方程组得几种推导方法。从经典、能量守恒、拉格朗日方程得方 面推导得出现有得麦克思维方程组,从侧面说明了麦克斯韦得普遍适用性与有其她一些普遍存在得定理定律得等价性。通过分析三种方法得优缺点,从而加深对麦克斯韦方程组得物理意义得理解,培养科学求真得探索精神。 关键词:拉格朗日方程、麦克思维方程组、能量守恒定律 目录 引言: (1) 1_用经典方法推导麦克斯韦方程组得方法 (2) 1、1 第一方程式得推导 (2) 1、2第二方程式得推导 (3) 1、3第三方程式得推导 (3) 1、4第四方程式得推导 (5) 2_从电磁场能量与能流形式推导麦克斯韦方程组 (6) 3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组得方法。 (8) 4_三种方法得比较 (11) 4、1经典方法得优势 (11) 4、2能量方法推导得优缺点 (12) 4、3拉格朗日方程推导得特点 (12) 结束语: (13) 参考文献: (13) 引言: 麦克斯韦方程组就是电磁理论得基本方程,在电磁学中有很重要得地位,在与很多工业领域有很多应用。关于它得推导建立,有我们熟知得经典方法,还有后来得根据拉格朗日方程等分析力学方法推导,以及由能量守恒得方法推导等诸多方法。下面我们来一一推导证明
1_用经典方法推导麦克斯韦方程组得方法 1、1 第一方程式得推导 电荷得库仑定律: F =0ε41πr r q q 3 ' 此电荷得场强为: E =0ε41πr r q 3 对电荷得场强沿着球面求面积分,得到: ?S dS E =∑0εi Q =?V 01dV ρε 电场强度通过面元d S 得通量为: dS E ? =Ecos θds=204r Q πεcos θds 。 θ就是d S 与E 得夹角,cos θds/2r 位球面得立体角元。所以包裹电荷得闭合曲面 与球面得积分就是相同得。由于对电荷得场强求面积分只与包裹着得电荷有关系,所以积分得面没有关系。 又因为电荷得体密度得定义: ρ=V q 根据斯托克斯公式可以把面积分化成散度得体积分: ???V dV E =ρV/0ε 得到: 0/ερ=??E 等效都就是在真空下得方程式,如果在介质下得束缚电荷密度p ρ,那么: E ??=(ρ+p ρ)/0ε。定义电位移矢量: D =0ε E +P
由哈密顿正则方程证明拉格朗日方程 姓名：谭建学号：222010315210236 学院：物理学院年级：2010级4班 一、 问题重述 已知H q p α? ??=?，H p q α???=-?，H L t t ??=-??(1,2,...,)s ?= 求证拉格朗日方程()0d L L dt q q ???-=?? 二、 问题分析及证明 H 是q,p,t 的函数，L 是q,q ?,t 的函数，因此我们要先将H 换成q,q ? ,t 的函数。勒让德变换有 1s H L H p p ααα =?=-+?∑……………………………………..（１） 1(( ))s H H dL dH d p dp p p ααααα =??=-++??∑…………..（２） 此处的H 仍是q,p,t 的函数，因此将H 全微分有 1()s H H H dH dp dq dt p q t αααα α=???=++???∑…………….（３） 将（３）式带入（２）得 1 (())s H H H dL d p dq dt p q t ααααα=???=--???∑………..（4） 再将已知条件H q p α???=?，H p q α???=-?，H L t t ??=-??(1,2,...,)s ?= 代入（4）有1 ()s L dL p d q p dq dt t αααα???=?=++ ?∑………………（5） 而L 是q,q ?,t 的函数，即L （q,q ?,t ）。我们将L 全微分 1()s L L L dL dq d q dt q t q ααααα??=???=++???∑ (6)
比较（5）、（6）两式我们可得到如下公式 L p q αα??=?，L p q αα ??=? 所以我们可得到()d L p dt q αα???=?，L p q αα??= ? 所以有()0d L L p p dt q q αα?????-=-=??……………..（7） 第七式即为拉格朗日方程。 三、 参考资料 分析力学，勒让德变换，哈密顿正则方程
学年论文 题目：光电效应的应用 学生：张韩佩 学号： 201212020104 院（系）：理学院 专业：应用物理学 指导教师：罗道斌 2014 年 11月15日
目录 摘要......................................................... 关键字..................................................... Abstract (1) Key Words..................................................................1. 1引言 (1) 2 光电效应的概念 (1) 3光电效应的实验规律 (2) 4光电效应和经典理论的矛盾处 (5) 5光电效应的科学释 (7) 6光电效应在近代技术中的应用.......................... 6.1常用的光学器件............ 6.2常用光学器件的检测 7结束语 参考文献 (7)
光电效应的应用 物理121：指导教师：罗道斌 （陕西科技大学理学院陕西西安 710021） 摘要 本文介绍了光电效应的发现及其发展，简要叙述了爱因斯坦的光量子假说对光电子效益的解释及其通过实验来验证了爱因斯坦的光量子假说对光电效应解释的正确性，并介绍了光电效应在现代科学技术中的应用。 关键字：光电效应；光量子；频率；相对论 The Use Of The Lagrange Equation To Balance Abstract: By Lagrange's equations pushed to this article, and can cause the ap -plication of t he balanced system set out to illustrate the Lagrangian of the feasibility and ease of applicatio n of the balanced system, and illustrates a more typical issues and ways to solve the problem. Key Word s: Lagrange; balance; binding; generalized coordinates 1引言 牛顿运动力学[1]作为描述物体运动的重要方程大家都有了解，但本文介绍的拉格朗日方程，在力学体系特别是动力学体系有着举足轻重的地位，同时在平衡问题上也发挥了一定的作用，本文将带领大家了解并熟悉这一方程，和它在平衡问题上的运用. 2拉格朗日简介 拉格朗日方程 Lagrange equation 从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，
习 题 15-1 如图15-7所示的升降机，在主动轮C 上作用一驱动力偶M ，使质量m 1的物体A 上升。已知平衡物B 的质量为m 2，主动轮C 和从动轮D 都为均质圆轮，半径和质量分别为r 和m 3。如不计胶带质量，试求A 物的加速度。 图15-7 a m F A 1I = a m F B 2I = ra m r a r m M M D C 323I I 2 1 )(21== = 动力学普遍方程 0δ)(δ)(δ) (I 2I 1I I =-++---s F W s F W r s M M M B A D C 0)()(1 )2121(221133=-++---a m g m a m g m r ra m ra m M r m m m gr m m M a )()(32112++-+= 15-2 图15-8所示调速器由两个质量各为m 1的滑块及质量为m 2的平衡重块组成，长l 的杆不计重量，弹簧刚度为k ，当? = 0时，为原长。若调速器绕铅垂轴等角速度旋转，试求ω与θ的关系。 图15-8 θωsin 211I l m F = )cos 1(θ-=kl F 动力学普遍方程 0δ)(δ22211I =+-r F g m r F θθcos δsin δ21r r = θtan δδ12r r = 故 0tan δ)]cos 1([δsin 212121=-+-θθθωr kl g m r l m θ θωcos 2) cos 1(12 2l m kl g m -+= 15-3 如图15-9所示，板DE 质量为m 1，放在三个质量均为m 2的滚子A 、B 和C 上，今在板上作用一水平向右的力F ，使板与滚子运动。如板与滚子，以及滚子与水平面之间均无滑动，试求板DE 的加速度.滚子可视为均质圆柱，不计滚动摩擦。 图15-9 DE a m F 11I = 2/22I DE a m F = DE DE O ra m r a r m M 222I 4 1 )2(21== 动力学普遍方程 0δ3δ3δ)(2I 22I 11I =---?C M r F r F F
四、完整约束保守系的拉格朗日方程： 上次课我们导出了在完整约束下的第二类拉格朗日方程： ),2,1(s Q q T q T dt d ?==??-??αααα ,并用它解了一些题目。考虑到如果我们要研究的系统所在的内外力场均是保守力场，或者其它作用于系统的力均不作虚功。在这种情况下，上面这 条完整约束下的第二类拉格朗日方程还可以进一步简化。这次课准备要讲的内容就是，先由 这条拉格朗日方程推出完整约束下保守系的拉格朗日方程，并举例应用，然后再讨论完整约 束保守系的拉氏方程的一次积分。我们由前面学过的知识可以知道，如果系统处在保守力场 中，保守力系必有与其对应的势能V ，此势能是系统中各个质点的位置函数，即： V=V(n r r r ??21)，且有V F i -?=1 它的三个分量表达式为：i iz i iy i ix z V F y V F x V F ??-=??-=??-=，，。如果将i r 用广义坐标表示：),(t q r r i i = 则势能也就是广义坐标及时间t 的函数：V=V(q ，t)，由此我们很容易求得在保守力场中广义力αQ 的 表达式。由广义力的定义得： ←??? ? ??????+????+????-=????-=???=∑∑∑i i i i i i i i i i i i q z z V y y y V q x x V q r V q r F Q ααααααα [根据复合函数的微分规则可知其结果为α q V ??-=]将此结果代入第二类拉格朗日方程就可将它写成为：0)(=?-?-??→??-=??-??α ααααq V T q T dt d q V q T q T dt d ∵0=??αq V ∴左边的式子又可写成为：()()0=?-?-?-?α αq V T q V T dt d 在这里就定义：V T L -=，L 称作为拉格朗日函数，简称为拉氏函数，它就等于系统的动能与势能之差。那么上式就可写成为： ()s q L q L dt d ?==??-??,2,10ααα 这个方程就是完整约束保守系的拉格朗日方程。有时也叫它为拉格朗日方程或拉氏方程。由前面的推导可知这个方程适用的条件是：完整约束，保守力 系或者除了保守力系之外的其它力均不作虚功，T 和V 即L 都是相对惯性系的量。下面我 们就举个例子用它来求解。应用保守系拉氏方程解题的步骤基本上和用第二类拉氏方程解题 的步骤相同，只是将上次课中的求广义力这一步改成为求势能V 及拉氏函数L 就可。在这 里要注意，势能必须包含系统内力的势能和外力的势能。还有由于保守系的拉氏方程中包含
Application of the Lagrange Equation 201022780 ??? Xiangmiao Hao A simple pendulum system ：The system: x-axis parallel to the ground, y-axis perpendicular to the x-axis, pointing to the ground. Pendulum P quality is m, position is (x, y). Swing rope length is l.Quality of pendulum support that the Q is M. This point Q can movement along the x-axis parallel to the straight line. Q-point position is (X, 0). Rope swing angle and the y-axis is θ. Then:Kinetic energy T ， Potential energy U mgy U -= Therefore, the Lagrangian volume : 。 Geometrical relationship : 、
。 Substituted into the Lagrangian V olume: X and θis the amount of generalized coordinates。Substituted into the Lagrangian equation: 。 Equations of motion : 。 As the Lagrangian contains should not appear generalized coordinates X，And its corresponding generalized momentum Px is a constant K1: 。 For theθcoordinates, ； Finally, the equations of motion : 。 If the rop is spring, The initial length is△X,Spring elastic modulus is K,We can also solve the equations of motion.