第三章：控制系统的能控性及能观测性(第五讲)
内容介绍：
能控性和能观测性定义、判据、对偶关系、标准型、结构分解。 能控性和能观测性是现代控制理论中最基本概念， 是回答：“输入能否控制状态的变化”及
“状态的变化能否由输出反映出来”这样两个问题。
换句话说，能控性是“能否找到一向量u(t)有效控制x(t)变化”。 能观测性问题是：“能否通过输出y(t)观测到状态的变化。” 一、能控性定义及判据
给出一个多变量系统（多输入、多输出）
若系统G(s)在适当的控制u(t)作用下，每个状态都受影响，亦在有限的时间内能使系
统G 由任意初始状态转移到零状态，或者说在有限的时间内能使系统由零状态转移到任意指定状态。
这说明：
输入对状态的控制能力强，反之若
G 的某一状态根本不受影响，那么在有限时间内就
无法利用控制使这个状态变量发生变化。说明输入对状态控制能力差。
可见：反映输入对状态控制能力的概念是能控性概念。
1． 定义：若对系统，在时刻的任意状态x()都存在一个有限的时间区间（
ξ
t t ,0）（0
t t ?ξ）
和定义在
[]ξ
t ,t
0上适当的控制u(t),使在u(t)作用下x()=0。
则称系统在时刻是状态能控的。
如果系统在有定义的时间区域上的每一时刻都能控，称系统为完全能控。
()x u x 01011012=???
? ??+???? ??-=考查能控性？
状态变量图（信号流图）：
y
2 由于u 的作用只影响不影响，故()t x 2为不能控。 某一状态不能控，则称系统不能控。 2．判据：
u 1
： y 1
：
对线性定常系统=Ax+Bu ，
若对某一时刻能控，则称系统完全能控。 设：
p
输出 n n A *、p n B *、n m C * 给出一定理：
由=Ax+Bu 所描述的系统是状态完全能控的必要且充分条件为 下列n ×np 阵的秩等于n 。
=B
AB ……B A
n 1
-称为能控性阵。
换言之：系统的状态完全能控的必要且充分的条件是能控性阵的秩为n 。 定理证明可参考书。 状态完全能控称“（A ，B ）能控”
例：
u x x ????
??-+???? ??--=42314310 224310
??
??? ??--=A 则系统为二阶 ，n=2 B AB ……B A n 1
-=?????
?-AB )B (4231=???
???---7114342
3
1
rankB AB]=2=n
4
231
≠-有二阶子式
秩的确定：最高阶不为0子式的阶次
可知：系统的状态能控，称（A ，B ）能控
信号流图： 顺便：
计算的行数小于列数的矩阵的秩时，应用下列关系较方便：
rank()=rank(T c c Q Q )T
c
c Q Q 为方阵其秩计算较简单。
利用判定能控性方法被广泛采用。
新出现的PBH 秩检验法也可用于能控性判别。
=Ax+Bu
y=cx
PBH 秩检验法：
系统∑
)
,(B A 能控的充分必要条件是：
rank[ B A I i -λ] =n 。 式中为A 的各特征值。
Ex:
u x x ??????????--+??????????=111112310020231 |λI-A|=（λ-1）（λ-2）（λ-3） λ1=1，λ2=2，λ3=3
而 rank[B λI-A]=rank ?????????
?-λ---λ----λ302 123 011011112
λ3=3时，rank[B ,λI-A]=2<3 系统不能控。
3. 能控性的不变性及第二判据
能控性不变性：系统的状态经线性变换其能控性不变。
??
?=+==cpz y pz x Bu
p Apz p z -1-1 具有能控性
前述：第一种判据使用方便，但如果系统状态不能控，难以找出究竟哪个状态失控。 第二判据可以给出回答。 结论（第二判据）： ① 具有互异特征值的系统∑
)
,(B A
其状态完全能控的充分必要条件是经非奇异变换化为对角型时，对应输入阵无全零行。
亦：u B x x n +?????
?????λλ= 1 式中阵不含元素全为零的行
换言之，中全零行对应的状态就是不能控状态。
②当系统具重特征值，且每个重特征值只对应单一约当块时，
系统状态能控的充要条件是经非奇异变换化为约当型时，输入阵中与约当块末行对应行无全零行。
亦： u B x J J x K +?????
?????= 1
上式中每个约当块的最后一行对应的阵中的各行元素不全为零。
若重特征值不对应单一约当块时，则该特征值所对应的状态能控的充要条件是相重特征值
的每个约当小块最后一行对应的阵中的各行线性无关。
Ex:
u x x ??????????+??????????---=3402 0 00 4 00 1 4 可见，此为约当型，状态能控。（注：每个特征值对应单一约当块。）
u x x ?????
?????+??????????---=002 3042 0 00 4 00 1 4
特征值=－4（二重）对应的约当块最后一行对应中第二行为全零行。 可见：不能控。
又：
u x x ??????+??????=01101001 （注：特征值对应非单一约当块） 中相关行线性无关时能控否则不能控。 4． 输出能控性
类似可定义输出能控性，并给出判据。 输出能控的条件为：
[]
D ,B CA
,,B CA ,CAB ,CB n 1
2
- 的秩为m 。
举例：
u x x ???? ??-+???? ??-=150154 由第二判据，判定能控性。 解：1）、求P
)
S )(S (S )S (S
s A SI 51541
54+-=-+=--+=
-
特征值=-5、=1
?
???
??----=-λ51511)A I (
求(I －A)之第一行代数余子式组成?
???
??-=151P ???? ??--=-λ11552)A I (之代数余子式?
???
??=112P
??????=∧?
?????
??-=?
??
?
??-==-1005- 656161611115P2] 11P P [P
2）、1
-P B=????
??01 出现全零行，故系统第二状态应不能控。
可见：u 能控制
ex3
u x x ??????????+??????????=1004 5- 21 0 00 1 0 2
1 2131,22=λ=λ--=-)S ()S (A SI
求对应的特征向量，构造P 阵
??????????-=432232132P EMBED Equation.3 ??
??
?
?????=-2010111
AP P ????
????
????????-=-061411
B P
可见：B P 1
-中与约当块对应行出现全零行与能控性相关
可以证明：具有能控标准型的系统一定能控。 而且能控的系统一定可以化为能控标准型。 注意：离散系统的能控性可类似给出。 二、能观测性及判据
能观测性是回答：能否由输出)(t y 唯一确定状态x 相的问题。 由输出方程： y=cx(t)
由于c 的各元素不同，每个状态对系统输出的响应也不同，而若系统的任意状态分量从输出y(t)的观测中没有反映，那么该状态就是不能观测的。 1． 定义：若任意状态x() 可在有限时间间隔内
1
0t t t ≤≤， 由y(t)及任意给定的u(t)唯一确定，
称在时刻状态为能观测的，简称能观。
若为任意，则称系统完全能观测。
对线性定常系统只要在某时刻能观测，则系统定为完全能观。
u x x
u x x
+-=
+-=2211
32
y=
考查状态变量图：
－1
s /1s /1 y
y=并不能得到 为不能观测的， 所以系统不能观。
u x x +-==1221
y= u 亦y= ，可观测。
且影响亦对y 有影响，能观。 2. 判据
对给定系统Du y Bu x
++
完全能观充要条件能观测阵
?
???
??
???
???=-10n CA CA C Q 的秩为n 。 ()[]
T n T T T T T
C A C A C Q 1
0-= 的秩为n 。
常用：n CA CA C rank n =????
??
???
???-1 称()∑C A ,能观测
ex ：
??????
????
? ??+???? ??=????
??+???? ??-=u x y u x x 011201214310
已知：n=2、p=1、m=2、
n CA C rank CA CA C rank n ==??????=????
????????-21
系统能观
3．能观测性的不变性及第二判据
系统经线性变换能观性不变。 x=pz
Du
cpz
Bu p Apz p ++--11
????
??
???????=?????????
???----1111n n )AP P (CP AP P CP CP rank ?CA CA C rank
第二判据： ① A 特征值互异时
由线性变换知存在P 将A 化为
Du y Bu p z z
++-1
系统能观测的充要条件是CP 中无全零列。 ② A 有重特征值时存在P 可将A → J 系统能观测的充要条件是： 一特征值对应一约当块时
CP 阵中与各约当块首行对应的各列中无全零元素。
一特征值对应约当块不单一时，
CP 中与（重特征值的）每个约当块首行相对应的列线性无关时，具有能观性。
Ex:??????
????? ??-=????
??-+????- ??=z y u z z 1 11 1733 0 01
可见 A 为对角阵，
?
??? ??-=1111CP 无全零列，能观。
z
y u z S S z ???? ??
?
???
??-+???? ?
?1010730021
A 为对角阵
????
??=0101cp 中第二列全为零（21S S ≠时） 说明对应状态变量不能观测，系统不能观。
Ex3:???
?
?????
???
?
?
?=????
??--=x y x x 0100301
3
A 为约当量，具有重特征值，只有一约当块，输出阵????
??=0100
cp 中
与约当块第一行对应的第一列?
???
?
?10不全为零，故系统能观。 Ex4: ()z
c c y u b b z a a z 212
1 00=???
? ??+????
??=
具二重特征值，但A 中有二约当块，经考查，CP 中与每个约当块首行对应的列的线性相关性决定能观性。
*所谓“线性相关”是存在非零行向量并能将其中之一向量表示成其它向量的线性组合。 此例只经考查与是否线性无关。 线性无关时, 系统能观，否则不能观。
*若一个系统即为能控, 又为能观，称系统为能控能观。 一般实际系统 均具能控 能观性。称∑(A,B,C)能控能观。 三、对偶关系 1、能控且能观的系统
经典控制理论中，用以描述线性定常系统的数学模型常采用传递函数，且当时假定给出的传递函数都没有零－极点相消情形。
事实上：传递函数描述的系统是能控且能观的。 结论：若描述系统的传递函数无零－极相消，
则系统总可用状态空间表达式表作成完全能控，完全能观的系统。
事实上，对存在零－极相消传递函数，由于其状态变量取法不同，系统将表示为不能控或不能观系统。
Ex ：u u y y y +=++
2 ①设????
?-==u y
x y x 21 方程化为??
?
??---=+=u
x x x
u
x
x
2
1
2
2
1
2
y=x 1 (可验证系统为能观不能控的) ②引入变量x （哑元）
)()
()1()1(2
s u s y x s x s =++ EMBED Equation.3 x x x
t u x s s u ++=+= 2)()1()(2 使x x x u ++=
2 y=x x
+ 令x x
x x
'==2
1
,
u x x x x x
+--==212212
y=+
可验证系统为能控不能观测的。
?????=???? ??+???? ??-=x y u x x )1 1(102110 （能控标准型） (此系统可控不能观)
可见，经典理论中介绍传递函数概念（无零极相消）是现代控制理论中描述系统的一类——能控且能观。单从面上，经典理论研究的范围窄了。一般系统或能控能观，或能控不能观，或能观不能控，或不能控不能观。 2、对偶关系
设给定系统的状态空间表示 cx Bu Ax +
其能控矩阵 [
]B
A A
B B Q n c 1,,,-=
能观测阵
[
]T
n T T T T C A C A C Q 10)(,,,-= ，
再设一系统与对应（称为的对偶系统）。
x
B
u C x A T T T =+=
其能控性阵：[]
T n T T
T
C A C
A C 1)(,,,-
其能观性阵：[]
[]
B A AB B B A B A B n T T n T T T
T T
T T
T 11
,,,)()(,,)(),)(--= （
对比21s 与s ：的能控阵与能观阵同；的能控性阵与能观性阵同。 可得到对偶原理：系统能控（能观测）则对偶系统能观测（能控）。
通常采用对偶原理推断对偶系统的性质、特性。 四、系统的能控标准型和能观标准型
所谓标准型是指状态空间表达式的某种特定规范形式。各种标准型不仅可揭示系统代数结构的本质特点，同时为以后分析、研究系统（系统的识别、实现、指定、位动态补偿等）提供了重要研究工具。
前已介绍了用特征向量法如何得到对角型和约当标准型，今天介绍能控标准型和能观标准型。
1、单输入系统的能控标准型
能控标准型有两种形式，若直接取能控阵中的n 个列向量为基底，所导出的状态空间表达式称为第一能控标准型。
c
1CQ C 001B 1100=?
???
????????=????????????--= ααn A
线性变换对应的阵P=
[]c
n Q b A Ab b =-1
（以b A Ab b n 1
,,,- 为基底）
其中，为
n n n A I αλαλαλλ++++=--11
1)det( 的系数 与此对应在§1－4实现问题中介绍的标准型实现 能控型实现：
100B 10
10
1
????
??
?
???????
=???????
?????
????--=
α
αn
A
称为第二能控标准型。
其中n αα 1，为：G(s)=
n n n n
n n S S S S ααβββ++++++--- 1
12211中分母多项式的系数。 事实上，第二能控标准型是以 b,Ab,……,b A n 1
-等n 个列向量的某种组合为基底得到的
标准型。对应线性变换阵c T p =
Ex ：将下状态空间表达式变换为第一能控标准型。
[
]x y u
x x 10011202011302
1=?
??
???????+??????????-=
解：构造=] Ab [2
b A
b =?????
?????12218611642
rank=3 所以系统能控， 可化为第一能控标准型。（线变：x Q x c =）
计算 det =-)(A I λ EMBED Equation.3 293
+-λλ
可见：
B)
(Q 001b 0109
012001-c
?
??
???????=????
??
??
??-=A EMBED
Equation.3
[]1221==c cQ c
另设线性变换： x=
x
T c
取=
[]
?????????
???---101
,,,11121ααα n n n b b A b A 则= ??????????????--1110
ααn
= ?????????
?????????100 EMBED Equation.3
[]
1ββ n c CT C == （为第二能控
标准型）
其中，中为
n
n n A I αλαλλ+++=-- 11)det(的系数。
2、单输出系统的能观标准型
能观测标准型也有两种形式：
1）非奇异阵10-=Q P 进行线性变换
x Q x 1
0-= 可得到
=
0-EMBED Equation.3 ?
?????
???
???=-10n CA CA C Q
= 1 1
0-Q ，其中1
0-Q 为逆，称为第一能观标准型。 2）以非奇异阵 进行变换x=x T 0 EMBED Equation.3 0T P =
得到：????????
????
????--=1
1100αα
n
A
=
b
T 1
0-
=C=[ 0 . . . . . 0 1]
称为第二能观标准型。
其中：???
????????
???????????
????????=---C CA T n n 1111101....1ααα αi 为
n n n
A I α
λ
α
λ
λ+++=-- 1
1
)det(系数。
3、变输入变输出系统的能控性及能观性标准型 五、线性系统（定常）的结构分解
如果一个n 维系统是不完全能控的，且rank ＝，则其状态空间中所有的个能控状态构成一个维能控子空间，而其余n －个不能控状态形成一个（n －）维不能控子空间。对n 维系统rankQ 0＝则同样有能观子空间（维），n －维不能观子空间。
一般情况下，这些子空间并没有被分解出来。
本节目的：就是将通过非奇异变换，将系统的状态空间按能控性和能观测性进行结构分解。
1．能控性分解
定理：设线性定常系统 ∑ (A , B, C)是状态不完全能控， 其能控阵Q C 的秩rank Q C =n 1 则存在非奇异变换? ?????=c c x x Rc x 使状态空间表达式变换为 ?????? ?? ?????=+??? ???=??????c c c c c c x x c y u B x x A x x 其中， ?? ?? ???==-2212111 0A A A AR R A c c EMBED Equation.3 ? ? ? ???==-011B B R B c [] 21C C CR C c == 并且∑c B A ) ,(111是能控的，即能控。 而∑c A ) 0,(22是不能控的，即不能控。 非奇异变换阵 [] n n n c R R R R R 11,11+=前n 1个列向量可由中顺次取n1个线性无关的 列，另外(n-n 1)个列向量在确得非奇异条件下是任意。 结构分解如图示： 可见，能控子系统∑c ： c c c x A u B x A x 12 1 11 ++= 能控(n 1维) 不能控子系统∑c ：c c x A x 22 = 不能控（n-n 1维） 2。按能观性分解 定理：:若线性定常系统∑ ) ,,(C B A 是状态不完全能观。 能观阵的秩rank=? ???????????-1n CA CA C =n2 则存在非奇异阵x=? ?????00x x 。 状态空间表达式变换为 ??????00x x =X+BU y=? ?????00x x 其中 ? ??? ??==-222111 0100A A A AR R A EMBED Equation.3 ??????==-211 B B B R B O [] O C CR C O 1== 并且()∑0111 C A 是能观测，即能观； 而() ∑0 22 0A 是不能观测的，即不能观。 非奇异阵???? ? ?? ? ?? ??????????=+-n n n R R R R R 122110 结构分解图如图： y 前n2个行向量R1…….Rn1是从能观测阵中顺次取的n1个线性无关向量。 后（n －n2）个向量在保证10-R 非奇异条 件下可任意。 － 能观测子系统∑0 ： o o o x C y u B x A x 1 1 11 = + = （n2维子系统能观测） 不能观测系统 ∑o : u B x A x A x o c2 21 22 + + = 例1、对以下系统进行能控性结构分解 )x y u x x 2 1 1 1 3 1 3 1 - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? - - - 解：rank [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - = 2 1 3 1 1 1 1 2rank b A Ab b =2<3不能控，存在一状态不能控。 构造 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 1 1 1 1 c R （其中R3= ? ? ? ? ? ? ? 1 为任意） 变换后 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - = + ? ? ? ? ? ? = = ? ? ? ? ? ? - - 1 2 2 1 1 1 1 1bu R x x AR R x x c c c c c c c EMBED Equation.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? 1 c c x x u [] ? ? ? ? ? ? ? ? - - = ? ? ? ? ? ? ? ? = c c c c c x x x x cR y2 1 1 3．按能控性和能观性分解 对线性定常系统 ∑),,(C B A 如果不完全能控和不完全能观，那么可对该系统同时按能控性和能观性进行分解。这样将使系统分解为四个部分。 能控且能观 ∑co ，能控不能观 ∑o c ，不能控能观 ∑o c ，不能控且不能观 ∑o c 四个系统。 对这样的系统须经几次变换可将系统分解为不同子系统，称之为逐步分解法。 1）先将系统∑),,(C B A 按能控性分解?? ? ???=+??????==?? ????--2212111 10A A A bu R x x AR R x x c c c c c c c EMBED Equation.3 u B x x c c ??????+??????01 []??????=?? ? ???=c c c c c x x c c x x cR y 21 2）上式中不能控子系统∑c C A ) ,0,(222按能观性分解。 对取变换= ? ?????=o c o c x x R 02可将c ∑分解为： ?? ??????????=??????= ???-o c o c o c o c c o o c x x A A A x x R A R x 4443332221 20 []? ?????=??????o c o c o c o c c x x c x x 0,32 其中 12 -o R 是按能观测分解的变换阵。 3）后将能控子系统∑ c C B A A ) ,,(1 1 12 , 11按能观性分解，对取线性变换 = ???? ????o c co x x R 01 则 u B x A x A x c c c 1 1211++= , 将R 01 R 02代入 u B x x R A x x R A x x R o c o c o c co o c co 1 02 1201 1101 +???? ????+???? ????=??? ? ???? u B R x x R A R x x R A R x x o c o c o c co o c co 1 101 02 12101 01 11101 ---+??? ?????+??? ?????=??? ? ???? EMBED Equation.3 u B B x x A A A x x A A A o c o c o c co ???? ? ???+???????????? ????+?????????????? ??=2 124 23 1322 21 1100 [] ???? ????=??? ? ????=o c co o c co x x C x x R C y 0 1 01 1 可见：为能控能观， 能控不能观状态。 经以上三次变换，可导出系统按能控性和能观性进行结构分解形式： u B B x x x x A A A A A A A A A x x x x o c o c o c co o c o c o c co ????????????????+??????????????? ??????????????? ? ?=??????????????? ?0 000000002144 433324 2311211311 [] ??????????????? ?=o c o c o c co x x x x C C y 0 03 1 步骤： ? ?? ???→??????→??????→o c co o c c c c x x x x x x x 0 例2：对例1结构分解 1、将系统先按能控性分解（由例1已知） [] ??????????? ??? ?????-=????? ?????+????????????? ?????-----=????????c c c c c c x x y u x x x x 2 11001100221110 2、可见：不能控子系统?? ?? ?-=-=c c c x y x x 是能观测的， 即o c c x x =（不能控能观测）无需再行分解。 3、将能控子系统() ? ?? ????-=??? ? ??+??? ? ??--+??? ? ??--=c c c c x y u x x x 1101212110 按能观性分解， 构造非奇异阵 ?? ?? ????-=-1011101 R 则[][] ???? ???????? ? ????=??? ? ????-=??? ? ???????? ????-+????????????????-=????????o c co o c co o c o c co o c co x x x x R y u x x x x x 011 10121101101 综合上述结果： [] ????????????? ????? ???????-=? ???? ?????+???????? ??????????????---=????????????o c o c co o c o c co o c o c co x x x y u x x x x x x 201001100210111 六、传递函数阵的最小实现 前已述及传递函数（阵）的实现并非唯一，称所有实现中阶次最低的实现为最小实现。 对传递函数而言（单输入——单输出系统）， 一旦给出了G(s)便可直接写出其实现。(按第二标准型) [] Cc 100Bc 10 10 1 1 β βα α n n C A =???? ?? ? ??????? =??????? ?????????--= (能控标准型) 或 [] 100C B 11000 1 n 10 =??????? ? ????????=??????? ? ??????? ?--=ββααn A (能观标准型) 其中 n n α α α ,,1 1 -,n n β β β,,1 1 -为G(s)系数 n n n n n n s s s s s G α αβ β β++++++= --- 1 1 1 1 1 )( 这里已假定G(s)满足物理上可实现的条件： 1、分子多项式阶次m 分母多项式阶次n ； 2、多项式系数为实常数。 传递函数（阵）所反映的是系统中能控且能观测的子系统。 因此，既可用能控性作为实现，又能用能观标准型作实现。 将G(s)化写为：（类似于传递函数形式） n n n n n n s s s s s G α α β β β ++++++= --- 1 1 1 1 1 )( 其中n n ββ β ,,1 1 -均为m ?p 阵分母多项式为特征多项式。 可见，G 是一个阵有理分式阵。 其能控标准型实现为： [] Cc Ip 0Op B 1n 1ββαα =?????? ? ?????? ?=???????????? ???? --=Ip Ip Ip Ip Op Ac n Op ，Ip 均为p ?p 阵，P 为输入维数。 实现的维数可见为np 维（n 为分母多项式阶次）， (p=m=1时，简化为n 维。) 同样能观形实现有： [] Im C B Im Im Im Im 0 1 n 10 Om Om Om Om A n =??????? ? ????????=????? ?? ????? ????--=ββαα 其中Om,Im 为m ?m 零阵、单位阵，m 维输出向量维数，实现的维数为mn 。 可见：m 〉p 时，应采用能控形实现（维数低）； m 〈p 时，应采用能观性实现。 应注意：G(s)为严格真有理分式阵。 1．G ij (s)的分子阶次低于分母阶次时，实现为∑（A ，B ，C ，D ） 2．分子阶次等于分母阶次时，实现为∑（A ，B ，C ，D ）， 且 ) (s G im l D s ∞ →= 最小实现：n 级线性系统的表示为最小实现其传递函数阵G(s)的特征多项式?(s)等于阵A 的特征多项式。?(s)=det (SI-A) 定理:当传递函数G(s)的实现（A,B,C ）完全能控且能观测时，则∑（A,B,C ）就是G(s) 的一个最小实现。对具严格真有理分式的传递函数阵，其最小实现基本步骤： 1、当给定G(s)时，先选其能控标准型实现（p 2、再对其进行(能控或)能观性分解。所得能控能观子系统，即为G(s)最小实现。 实验十 系统能控性与能观性分析 一、实验目的 1. 通过本实验加深对系统状态的能控性和能观性的理解； 2. 验证实验结果所得系统能控能观的条件与由它们的判据求得的结果完全一致。 二、实验设备 同实验一。 三、实验内容 1. 线性系统能控性实验; 2. 线性系统能观性实验。 四、实验原理 系统的能控性是指输入信号u 对各状态变量x 的控制能力。如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间内把系统所有的状态变量转移到状态空间的坐标原点。则称系统是能控的。 系统的能观性是指由系统的输出量确定系统所有初始状态的能力。如果在有限的时间内，根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。 对于图10-1所示的电路系统，设i L 和u c 分别为系统的两个状态变量，如果电桥中 4 32 1R R R R ≠，则输入电压u 能控制i L 和u c 状态变量的变化，此时，状态是能控的；状态变量 i L 与u c 有耦合关系，输出u c 中含有i L 的信息，因此对u c 的检测能确定i L 。即系统能观的。 反之，当 4 32 1R R ＝ R R 时，电桥中的c 点和d 点的电位始终相等， u c 不受输入u 的控制， u 只能改变i L 的大小，故系统不能控；由于输出u c 和状态变量i L 没有耦合关系，故u c 的检测不能确定i L ，即系统不能观。 1.1 当 4 32 1R R R R ≠时 u L u i R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L u i C L C L ? ??? ? ??+? ??? ???????? ??+++-+- +- ? ?+- +- +++- =???? ??01)11(1)( 1 ) ( 1)( 14321434 3212 14 342 124 3432 121 (10-1) y=u c =[0 1] ??? ? ? ??c L u i (10-2) 由上式可简写为 bu Ax x += cx y = 式中???? ??=C L u i x ???? ?? ? +++- +-+- ? ?+-+-++ +-=)11( 1)( 1 )( 1)( 1 432 1434 3212 14 342 124 343212 1R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L A 实 验 报 告 课程 线性系统理论基础 实验日期 年 月 日 专业班级 学号 同组人 实验名称 系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现 评分 批阅教师签字 一、实验目的 加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌 握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。 1、系统的能观测性、能控性分析； 2、系统的稳定性分析； 3、系统的最小实现。 二、实验内容 （1）能控性、能观测性及系统实现 （a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结 果。 gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，18 2710)(23++++=s s s a s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性； （c ）已知系统矩阵为???? ??????--=2101013333.06667.10666.6A ，??????????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性； （d ）求系统18 27101)(23++++= s s s s s G 的最小实现。 （2）稳定性 （a ）代数法稳定性判据 已知单位反馈系统的开环传递函数为：) 20)(1()2(100)(+++=s s s s s G ，试对系统闭环判别其稳定性 （b ）根轨迹法判断系统稳定性 已知一个单位负反馈系统开环传递函数为 ) 22)(6)(5()3()(2+++++=s s s s s s k s G ，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。 （c ）Bode 图法判断系统稳定性 已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为 s s s s G s s s s G 457.2)(,457.2)(232231-+=++= 用Bode 图法判断系统闭环的稳定性。 （d ）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO 稳定。 []x y u x x 0525,100050250100010-=????? ?????+??????????-= 实 验 报 告 课程 自动控制原理 实验日期 12 月26 日 专业班级 姓名 学号 实验名称 系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置 评分 批阅教师签字 一、实验目的 加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。 1、系统的能观测性、能控性分析； 2、系统的最小实现； 3、进行状态反馈系统的极点配置； 4、研究不同配置对系统动态特性的影响。 二、实验内容 1.能控性、能观测性及系统实现 （a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。 gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, mineral ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，18 2710)(23++++= s s s a s s G ， 当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性； （c ）已知系统矩阵为??????????--=2101013333.06667.10666.6A ，?? ??? ?????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性； （d ）求系统18 27101 )(2 3++++=s s s s s G 的最小实现。 2.实验内容 原系统如图1-2所示。图中，X 1和X 2是可以测量的状态变量。 图1-2 系统结构图 试设计状态反馈矩阵 ,使系统加入状态反馈后其动态性能指标满足给定的要求: (1) 已知：K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为： σ%≤20%，ts≤1秒。 (2) 已知：K=1，T=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为： σ%≤5%，ts≤0.5秒。 状态反馈后的系统，如图1-3所示： 第五章能控性和能观性 5－1 离散时间系统的可控性 定义设单输入n阶线性定常离散系统状态方程为： ……………………………………………………………（5－1） 其中 X(k)__n维状态向量； u(k) __1维输入向量； G__n×n系统矩阵； h__n×1输入矩阵； 如果存在有限步的控制信号序列u(k)，u(k+1)，…，u(N-1)，使得系统第k步上的状态X(k) 能在第N步到达零状态，即X(N)＝0，其中N是大于k的有限正整数，那么就说系统第k步上的状态X(k)是能控的；如果第k步上的所有状态都能控，则称系统（5－1）在第k步上是完全能控的。进一步，如果系统的每一步都是可控的，那么称系统（5－1）完全可控，或称系统为能控系统。 定理1单输入n阶离散系统（5－1）能控的充要条件是，能控判别阵： 的秩等于n，即： ……………………………………（5－2） 【证】：因为系统为一线性系统，不妨设系统从任一初态X(0)开始，在第n步转移到零状态，即X(n)=0。根据离散状态方程的解： ……………………………………………………（5－3） 因为X(n)＝0，所以： 写成矢量形式： …………………………………（5－4） 从线性代数知识可知，上式中对于任意的初始状态X(0)，要求都存在一组控制序列u(0)，u(1)，…，u(n-1)的充要条件是阶系数矩阵 满秩，即 【例5－1】设离散系统状态方程为： 判断系统的可控性。 解： M是一方阵，其行列式为： 所以系统能控判别阵满秩，系统可控。 定理2考虑多输入离散系统情况，假如线性定常离散系统状态方程为： ………………………………………………………（5－5） 其中X为阶矢量，U为阶矢量，G为阶矩阵，H为n×r阶能控矩阵。那么离散系统（5－5）能控的充要条件是：能控判别阵 的秩等于n。 （证略）。 第三章 控制系统的能控性和能观测性 3-1能控性及其判据 一：能控性概念 定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。 可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。 二：线性定常系统能控性判据 设系统动态方程为： x 2不能控 y 2则系统不能控 ，若2121,C C R R ==?? ?+=+=Du Cx y Bu Ax x 设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得： 即： 由凯莱-哈密尔顿定理： 令 上式变为： 对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。 判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是： ?-+=f t f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ??---=--=-f f t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 0 1)()()()()()()0(τ ττφφτττφφ?--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1 )()(n k k k A A e τατφτ ∑??∑-=-=-=-=1 01 )()()()()0(n k t k k t n k k k f f d u B A d Bu A x τ τταττταk t k u d u f =? )()(ττταU Q u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k k k -=???? ? ?? ?????????-=-=--=∑ 321121 ],,,[)0( 实验三利用Matlab分析能控性和能观性 实验目的：熟练掌握利用Matlab中相关函数分析系统能控能观性、求取两种标准型、系统的结构分解的方法。 实验内容： 1、能控性与能观性分析中常用的有关Matlab函数有： Size(a,b) 获取矩阵的行和列的数目 Ctrb(a,b) 求取系统能控性判别矩阵 Obsv(a,c) 求取能观性判别矩阵 Rank(t) 求取矩阵的秩 Inv(t) 求矩阵的逆 [abar,bbar,cbar,t,k]=ctrbf(a,b,c) 对系统按能控性分解，t为变换阵，k为各子系统的秩[abar,bbar,cbar,t,k]=obsvf(a,b,c) 对系统按能观性分解 2、利用Matlab判定系统能控性和能观性 A、求取判别矩阵的秩，而判别矩阵可用两种方法得到： M=ctrb(a,b) 或者M=[b,a*b,a^2*b,……] B、将系统变换为对角线型或者约当标准型，根据结果直接判断。化为标准型可以使用第 一次实验中介绍的ss2ss、canon等函数。 3、化为能控标准型和能观标准型 如：>> a=[1 0 1;0 1 0;1 0 0]; >> b=[0 1 1]'; >> c=[1 1 0]; >> m=ctrb(a,b) m = 0 1 1 1 1 1 1 0 1 >> n=length(a);tc1=eye(n);tc2=eye(n); >> tc1(:,1)=m(:,3) tc1 = 1 0 0 1 1 0 1 0 1 >> tc1(:,2)=m(:,2) tc1 = 1 1 0 1 1 0 1 0 1 >> tc1(:,3)=m(:,1) tc1 = 1 1 0 1 1 1 1 0 1 >> qc=rank(m) qc = 3 >> den=poly(a) den = 1.0000 - 2.0000 0.0000 1.0000 >> tc2(2,1)=den(2) tc2 = 1 0 0 -2 1 0 0 0 1 >> tc2(3,2)=den(2);tc2(3,1)=den(3) tc2 = 1.0000 0 0 -2.0000 1.0000 0 0.0000 -2.0000 1.0000 >> tc3=tc1*tc2;tc4=inv(tc3); >> a1=tc4*a*tc3 a1 = -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0 1.0000 -1.0000 0.0000 2.0000 >> b1=tc4*b b1 = 0.0000 1.0000 >> c1=c*tc3 c1 = -2.0000 0 1.0000 参照该例，掌握其他标准型的求解办法。 4、系统的结构分解 A 、 找到变换矩阵c R 或者o R ，利用线性变换进行结构分解。 第三章：控制系统的能控性及能观测性(第五讲) 内容介绍： 能控性和能观测性定义、判据、对偶关系、标准型、结构分解。 能控性和能观测性是现代控制理论中最基本概念， 是回答：“输入能否控制状态的变化”及 “状态的变化能否由输出反映出来”这样两个问题。 换句话说，能控性是“能否找到一向量u(t)有效控制x(t)变化”。 能观测性问题是：“能否通过输出y(t)观测到状态的变化。” 一、能控性定义及判据 给出一个多变量系统（多输入、多输出） 若系统G(s)在适当的控制u(t)作用下，每个状态都受影响，亦在有限的时间内能使系 统G 由任意初始状态转移到零状态，或者说在有限的时间内能使系统由零状态转移到任意指定状态。 这说明： 输入对状态的控制能力强，反之若 G 的某一状态根本不受影响，那么在有限时间内就 无法利用控制使这个状态变量发生变化。说明输入对状态控制能力差。 可见：反映输入对状态控制能力的概念是能控性概念。 1． 定义：若对系统，在时刻的任意状态x()都存在一个有限的时间区间（ ξ t t ,0）（0 t t ?ξ） 和定义在 []ξ t ,t 0上适当的控制u(t),使在u(t)作用下x()=0。 则称系统在时刻是状态能控的。 如果系统在有定义的时间区域上的每一时刻都能控，称系统为完全能控。 ()x u x 01011012=??? ? ??+???? ??-=考查能控性？ 状态变量图（信号流图）： y 2 由于u 的作用只影响不影响，故()t x 2为不能控。 某一状态不能控，则称系统不能控。 2．判据： u 1 ： y 1 ： 对线性定常系统=Ax+Bu ， 若对某一时刻能控，则称系统完全能控。 设： p 输出 n n A *、p n B *、n m C * 给出一定理： 由=Ax+Bu 所描述的系统是状态完全能控的必要且充分条件为 下列n ×np 阵的秩等于n 。 =B AB ……B A n 1 -称为能控性阵。 换言之：系统的状态完全能控的必要且充分的条件是能控性阵的秩为n 。 定理证明可参考书。 状态完全能控称“（A ，B ）能控” 例： u x x ???? ??-+???? ??--=42314310 224310 ?? ??? ??--=A 则系统为二阶 ，n=2 B AB ……B A n 1 -=????? ?-AB )B (4231=??? ???---7114342 3 1 rankB AB]=2=n 4 231 ≠-有二阶子式 秩的确定：最高阶不为0子式的阶次 可知：系统的状态能控，称（A ，B ）能控 信号流图： 顺便： 计算的行数小于列数的矩阵的秩时，应用下列关系较方便： rank()=rank(T c c Q Q )T c c Q Q 为方阵其秩计算较简单。 利用判定能控性方法被广泛采用。 新出现的PBH 秩检验法也可用于能控性判别。 =Ax+Bu y=cx 第三章 线性控制系统的能控性和能观性 注明：*为选做题 3-1 判别下列系统的能控性与能观性。系统中a,b,c,d 的取值对能控性与能观性是否有关，若有关其取值条件如何？ （1）系统如图所示。 题3-1（1）图 系统模拟结构图 （2）系统如图所示。 题3-1（2）图 系统模拟结构图 （3）系统如下式： 1122331122311021010000200000x x x a u x x b x x y c d x y x ?????-?????? ? ??? ? ?=-+ ??? ? ? ??? ? ?-?????? ??? ?????? ?= ? ? ????? ??? 3-2* 时不变系统： 311113111111x x u y x ? -????=+ ? ?-??????= ?-?? 试用两种方法判别其能控性与能观性。 3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数,i i αβ。 （1）0∑()1201,,1101A b C αα????===- ? ????? （2） ()230021103,,001014A b C ββ???? ? ?=-== ? ? ? ?-???? 3-4* 线形系统的传递函数为： ()()32102718 y s s a u s s s s +=+++ （1）试确定a 的取值，使系统为不能控或不能观的。 （2）在上述a 的取值下，求使系统为能控状态空间表达式。 （3）在上述a 的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。 3-5* 试证明对于单输入的离散时间定常系统(,)T G h =∑，只要它是完全能控 的，那么对于任意给定的非零初始状态0x ，都可以在不超过n 个采样周期的时间内，转移到状态空间的原点。 3-6 已知系统的微分方程为： 61166y y y y u ?????? +++= 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 3-7 已知能控系统的状态方程A,b 阵为： 121,341A b -????== ? ????? 试将该状态方程变换为能控标准型。 3-8已知能观系统的状态方程A,b ，C 阵为： ()112,,11111A b C -????===- ? ????? 试将该状态空间表达式变换为能观标准型。 3-9 已知系统的传递函数为： 2268()43 s s W s s s ++=++ 3.1 线性定常系统的能控性 线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态 空间结构的关系。 第一节线性定常系统的能控性 能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）： 一、离散系统的状态可控性 引例设单输入离散状态方程为： 初始状态为： 用递推法可解得状态序列： 可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从 初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。系统中只要有一个状态变量不受控制， 便称作状态不完全可控，简称不可控。可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。下面来进行一般分析。 设单输入离散系统状态方程为： (3-1) 式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其 幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩 阵：表示离散瞬时，为采样周期。 初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方 便，且不失一般性地假定。 单输入离散系统状态可控性定义如 下： 实验六 系统能控性与能观性分析 一、实验目的 1. 通过本实验加深对系统状态的能控性和能观性的理解； 2. 验证实验结果所得系统能控能观的条件与由它们的判据求得的结果完全一致。 二、实验设备 同实验一。 三、实验内容 1. 线性系统能控性实验; 2. 线性系统能观性实验。 四、实验原理 系统的能控性是指输入信号u 对各状态变量x 的控制能力。如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间内把系统所有的状态变量转移到状态空间的坐标原点。则称系统是能控的。 系统的能观性是指由系统的输出量确定系统所有初始状态的能力。如果在有限的时间内，根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。 对于图6-1所示的电路系统，设i L 和u c 分别为系统的两个状态变量，如果电桥中 4 3 21R R R R ≠，则输入电压u 能控制i L 和u c 状态变量的变化，此时，状态是能控的；状态变量i L 与u c 有耦合关系，输出u c 中含有i L 的信息，因此对u c 的检测能确定i L 。即系统能观的。 反之，当 4 3 21R R ＝R R 时，电桥中的c 点和d 点的电位始终相等， u c 不受输入u 的控制，u 只能改变i L 的大小，故系统不能控；由于输出u c 和状态变量i L 没有耦合关系，故u c 的检测不能确定i L ，即系统不能观。 1.1 当4 321R R R R ≠时 u L u i R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L u i C L C L ??? ? ? ??+???? ??????????+++-+-+- ??+-+-+++-=???? ??01)11(1)(1) (1)( 143214343212 14342124343212 1 (6-1) y=u c =[0 1] ??? ? ? ??c L u i (6-2) 由上式可简写为 bu Ax x += cx y = 式中???? ??=C L u i x ???? ? ?? +++-+- +- ? ?+-+-+++-=)11(1)( 1)(1)(14321434 32121434212 4343212 1R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L A 信控学院上机实验 实验报告 课程自动控制原理实验日期12 月26 日 专业班级姓名学号 实验名称系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置评分 批阅教师签字 一、实验目的 加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。 系统的能观测性、能控性分析；、12、系统的最小实现； 3、进行状态反馈系统的极点配置； 4、研究不同配置对系统动态特性的影响。 二、实验内容 1.能控性、能观测性及系统实现 （a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。 gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, mineral； s?a?)G(s，）已知连续系统的传递函数模型，b（32?27s?18ss?10当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性； 页共页第 信控学院上机实验 6.666?10.6667?0.33330?????????11A1?B0已知系统矩阵为（，，c）????????0121??????，判别系统的能控性与能观测性；21?C0s?1?s)G(的最小实现。）求系统（d 32?27s10s?s18? 2.实验内容是可以测量的状态变量。和原系统如图1-2所示。图中，XX21 图1-2 系统结构图 试设计状态反馈矩阵使系统加入状态反馈后其,: 动态性能指标满足给定的要求 (1) 已知：K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为： σ%≤20%，ts≤1秒。 (2) 已知：K=1，T=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为： σ%≤5%，ts≤0.5秒。 状态反馈后的系统，如图1-3所示： 页共页第 信控学院上机实验 状态反馈后系统结构图1-3 图并检验系统分别观测状态反馈前后两个系统的阶跃响应曲线，的动态性能指标是否满足设计要求。 三、实验环境台；1、计算机1套。MATLAB6.5软件12、 四、实验原理（或程序框图）及步骤、系统能控性、能观性分析1 设系统的状态空间表达式如下：?xBuAx???pnm Ryx?R?uR??DuCxy???（1-1）×为p×m维输入矩阵；C为×其中A为nn维状态矩阵；Bn 0。维传递矩阵，一般情况下为为n维输出矩阵；Dp×m(1-2)系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式所示：页共页第 信控学院上机实验 num((s)?1D?sI?(s)?A)B?C(G)sden((1-2) num)(s中，式(1-2)表示传递函数阵的分子阵，其维数是p×)(sden降幂排列的 后，各表示传递函数阵的分母多项式，按s；m 项系数用向量表示。系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。,1-1）系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（）内，t-t 若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（01，则称此状态)x(tx(t)转移至预期的终端能把任一给定的初态10是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。种：一般判别和直接判别法，后2状态能控性判别方法分为是对角标准形或约当标准形的系统，状A者是针对系统的系数阵态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。状态能控性判别式为： ??1?n BRankB?RankQABAn??c）（1-3,1-1）系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（?的测量值，y(t)]上的t 第3章 能控性与能观性分析 教材【1】：《现代控制理论》，俞立编著. 清华大学出版社，2007年4月 主要参考书： 【2】《现代控制理论简明教程》，许世范等，中国矿业大学出版社，1996年1月第1版； 【3】《现代控制理论与工程》，东南大学 王积伟 主编 高等教育出版社，2003年2月第1版，研究生用书。 作业：9087P P -习题3.1；3.3；3.4；3.11；3.12；3.13；3.14；3.25 现代控制理论中，用状态空间方法描述系统，将系统的的输出-输入关系分成两部分： ① 系统的控制输入)(t u 对状态)(t x 的影响—由状态方程描述； ② 系统输出)(t y 与状态)(t x 的关系—由输出方程描述。 1960年，Kalman 根据“控制输入对状态的影响”首先提出了系统状态的能控性问题，根据“输出与状态的关系”提出了系统状态的能观性问题。 ① 能控性：输入)(t u 能否通过“状态方程”引起系统任一状态)(t x i 的变化 )(t x i ？能控性描述通过输入)(t u 对系统状态)(t x 的控制能力； ② 能观性：系统任一状态)(t x i 的变化能否通过“输出方程”引起输出) (t y 的变化？或者由输出)(t y 的变化能否通过“输出方程”确定系统所有状 态变量)(t x i ，能观性描述通过输出)(t y 对系统状态)(t x 的测辨能力。 3.1 系统的能控性 3.1.1 能控性的定义和性质 系统能控性定义：在初始时刻0t t =时，对系统施加控制)(t u 使系统状态 )(t x 发生变化，并且输出)(t y ,)()()()()(t u t B t x t A t x += ，)()()(t x t C t y =，0t t ≥ 如果在有限时间T t t ≤≤0内存在容许（满足∞
实验十 系统能控性与能观性分析
系统的能控性、能观测性、稳定性分析
系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置
能控性和能观性
(整理)控制系统的能控性和能观测性
实验三 利用Matlab分析能控性和能观性
能控性及能观测性
线性控制系统的能控性和能观性
现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性
指导书系统能控性与能观性分析
系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置要点
3.能控性与能观性分析
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