1
时,)(x f 的零点个数为2
错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））设函数()()2
1x f x x e kx =--(其中k ∈R ).
(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1,12k ??
∈
???
时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【答案】(Ⅰ) 当1k
=时, ()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-
令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:
x (),0-∞
0 ()0,ln 2
ln 2
()ln 2,+∞
()
f x '
+
-
+
()f x
极
大值
极小值
右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞.
(Ⅱ) ()()()
1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,
令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=
-=>,所以()g k 在1,12??
???
上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈
所以当()()
0,ln 2x k ∈时,()0f x '<;当()()
ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>; 所以()(){}(){}
3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---
令()()3
11k
h k k e k =--+,则()()
3k h k k e k '=-,令()3k
k e k ?=-,则()330k
k e e ?'=-<-<
所以()k ?在1,12??
???上递减,而()()1313022e ??????=-< ?????
所以存在01,12x ??∈ ???使得()00x ?=,且当01,2k x ??
∈ ???时,()0k ?>,当()0,1k x ∈时,()0k ?<,
所以()k ?在01,2x ??
???上单调递增,在()0,1x 上单调递减.
因为17028h ??=> ???,()10h =,所以()0h k ≥在1,12??
???
上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.
综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()3
1k M k e k =--.
错误！未指定书签。．（2013年高考江西卷（理））已知函数
1()122f x a x ??
=-- ??
?,a 为常数且>0a .
(1) 证明:函数()f x 的图像关于直线1
=
2
x 对称; (2) 若0x 满足00(())=f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为函数()f x 的二阶周期点,如果()f x 有两个二阶周期点12,,x x 试确定a 的取值范围;
(3) 对于(2)中的12, x x 和a , 设1x 为函数(())f f x 的最大值点, ()()()11223,(()),,(()),,0A x f f x B x f f x C x ,记△ABC 的面积为()S a ,讨论()S a 的单调性.
【答案】(1)证明:因为()()1112,1222f x a x f x a x ??
??
+=--=-
? ???
??,有1122f x f x ????
+=- ? ?????
, 所以函数()f x 的图像关于直线1
2
x =对称.
(2)解:当102a <<时,有2
2
4,(())4(1),a x f f x a x ??=?-??
1
,
21.
2
x x ≤>
所以(())f f x x =只有一个解0x =,又(0)0f =,故0不是二阶周期点.
当12a =时,有,(())1,x f f x x ?=?-?
1,
21.
2
x x ≤>
所以(())f f x x =有解集1|2x x ??≤????,又当12x ≤时,()f x x =,故1|2x x ?
?≤???
?中的所有点都不是二阶周期点.
当12
a >时,有22
2221,
44,11,24,42(())1412(12)4,,2444,41.
4x a
a x x a a x a f f x a a a a x x a a a x a x a
≤??<≤-?=?--+?<≤?-?
->
所以(())f f x x =有四个解2222240,,,141214a a a a a a +++,又22(0)0,()1212a a
f f a a
==
++, 2222
2244(),()14141414a a a a
f f a a a a
≠≠++++,故只有22224,1414a a a a ++是()f x 的二阶周期点.综上所述,所求a 的取值范围为1
2a >.
(3)由(2)得2
1222
24,1414a a x x a a
==++, 因为3x 为函数(())f f x 的最大值点,所以314x a =或341
4a x a
-=.
当314x a =时,221()4(14)a S a a -=+.求导得:'()S a =,
所以当1(2a ∈时,()S a 单调递增,当)a ∈+∞时()S a 单调递减;
当341
4a x a
-=时,22861()4(14)a a S a a -+=+,求导得:2221243'()2(14)a a S a a +-=+,
因1
2
a >,从而有222
1243'()02(14)a a S a a +-=>+, 所以当1
(,)2
a ∈+∞时()S a 单调递增.
错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））设()()2
56ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线
()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.
(1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间与极值.
【答案】
(3)26ln 3f =+
错误！未指定书签。．（2013年高考四川卷（理））已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ?++<=?>?
,其中a 是实数.设
11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <.
(Ⅰ)指出函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求21x x -的最小值; (Ⅲ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围.
【答案】解:
()I 函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞-,单调递增区间为[)1,0-,()0,+∞
()II 由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为()1f x ',点B 处的切线斜率为()2f x ',故当点A 处的切线与点B 处的切垂直时,有()()121f x f x ''=-.
当0x <时,对函数()f x 求导,得()22f x x '=+. 因为120x x <<,所以()()1222221x x ++=-, 所以()()12220,220x x +<+>.
因此()()
21121
222212x x x x -=
-+++≥=???
? 当且仅当()122x -+=()222x +=1,即1231
22
x x =-=且时等号成立.
所以函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直时,21x x -的最小值为1
()III 当120x x <<或210x x >>时,()()12f x f x ''≠,故120x x <<. 当10x <时,函数()f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线方程为 ()()()21111222y x x a x x x -++=+-,即()21122y x x x a =+-+ 当20x >时,函数()f x 的图象在点()()22,x f x 处的切线方程为
()2221ln y x x x x -=
-,即22
1
ln 1y x x x =?+-. 两切线重合的充要条件是12221
1
2 2 ln 1 x x x x a ?=+???-=-+?①
②
由①及120x x <<知,110x -<<.
由①②得,()2211111
ln 1ln 22122
a x x x x =+-=-+-+.
设()()2
1111ln 221(10)h x x x x =-+--<<,
则()1111
201
h x x x '=-
<+. 所以()()1110h x x -<<是减函数. 则()()10ln 21h x h >=--, 所以ln 21a >--.
又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时,()1h x 无限增大,所以a 的取值范围是()ln 21,--+∞. 故当函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合时,a 的取值范围是()ln 21,--+∞
错误！未指定书签。．（2013年高考湖南卷（理））已知0a
>,函数()2x a
f x x a
-=
+.
(I)记[]()0,4f x a 在区间上的最大值为g(),求a g()的表达式;
(II)是否存在a ,使函数()y f x =在区间()0,4内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】解:???????<<-++=++-≥-<+=+-=>时，是单调递减的。当时，是单调递增的。或当a x a a x a a
x a x a x a x a
x a a x a x x f a 2,231-2,2,23-12)(,0
(Ⅰ)2
1
231-)0(]4,0[)(4=+=∈>a a f x x f a 为上单调递减，其最大值在时，由上知，当
上单调递增。
上单调递减，在在时，当]4,[],0[)(4a a x f a ≤ );0()(]4,1(],4,1(,2
1
)0(243-
1)4(f a g a a f a a f 的最大值为时，即当解得：令∈∈=<+=
)4()(]1,0(f a g a 的最大值为时，当∈
??????
?+∞∈∈+=时当时当),1(,2
1]1,0(,243-1综上，g(a)a a a
a (II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两点),(),,(2211y x Q y x P 满足题目要求,则P,Q 分别在两个图像上,且1)(')('21-=?x f x f .
???
???
???<<<<-+-≥-<+=402,)2(3,2,)2(3)('2
2a a x a a x a a x a x a x a
x f 时当时或当 不妨设)2)(2(3]8,(),,0(,1)2(3)2(321212
221a x a x a a x a x a x a
a x a ++=?∈∈-=+-?+ ??
???<<<+--<
?+--=?-+++=?8
24230242334)(20222
222
2122121x a a a
x a ax a a x a ax a x a a x x a x x )21,0(403116
42432434216222424328214230222222∈?<<
??<--<-<-???
???<<<--
a x a x a a x x a a x a x ，且
所以,当)2
1
,0(∈a 时,函数()y f x =在区间()0,4内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直.
错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈
(1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程;
(2)求函数()f x 的极值.
【答案】解:函数
()f x 的定义域为(0,)+∞,()1'=-a
f x x .
(Ⅰ)当2=a 时,()2ln =-f x x x ,2
()1(0)'=->f x x x
,
(1)1,(1)1'∴==-f f ,
()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x , 即20+-=x y .
(Ⅱ)由()1,0-'=-
=>a x a f x x x x
可知: ①当0≤a 时,()0'>f x ,函数()f x 为(0,)+∞上的增函数,函数()f x 无极值; ②当0>a 时,由()0'=f x ,解得=x a ;
(0,)∈ x a 时,()0'f x
()∴f x 在=x a 处取得极小值,且极小值为()ln =-f a a a a ,无极大值. 综上:当0≤a 时,函数()f x 无极值
当0>a 时,函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ,无极大值.
错误！未指定书签。．（2013年高考新课标1（理））(本小题满分共12分)已知函数
()f x =2x ax b ++,()g x =()x e cx d +,
若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线42y x =+ (Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值;(Ⅱ)若x ≥-2时,()f x ≤()kg x ,求k 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)由已知得
(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====,
而()f x '=2x b +,()g x '=()x
e cx d c ++,∴a =4,b =2,c =2,d =2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2()42f x x x =++,()2(1)x
g x e x =+,
设函数()F x =()()kg x f x -=2
2(1)42x ke x x x +---(2x ≥-), ()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-, 有题设可得(0)F ≥0,即1k ≥, 令()F x '=0得,1x =ln k -,2x =-2,
(1)若2
1k e ≤<,则-2<1x ≤0,∴当1(2,)x x ∈-时,()F x <0,当1(,)x x ∈+∞时,()F x >0,即()F x 在1(2,)x -单调递减,在1(,)x +∞单调递增,故()F x 在x =1x 取最小值1()F x ,而1()F x =21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0, ∴当x ≥-2时,()F x ≥0,即()f x ≤()kg x 恒成立,
(2)若2
k e =,则()F x '=22
2(2)()x e x e e +-,
∴当x ≥-2时,()F x '≥0,∴()F x 在(-2,+∞)单调递增,而(2)F -=0, ∴当x ≥-2时,()F x ≥0,即()f x ≤()kg x 恒成立, (3)若2
k e >,则(2)F -=2
22ke --+=2
2
2()e k e ---<0, ∴当x ≥-2时,()f x ≤()kg x 不可能恒成立, 综上所述,k 的取值范围为[1,2
e ].
错误！未指定书签。．（2013年高考湖北卷（理））设n 是正整数,r 为正有理数.
(I)求函数()
()1
()111(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值;
(II)证明:
()()1
1
11
111
1
r r r r r
n n n n n
r r ++++--+-<<
++;
(III)设x R ∈,记x ????为不小于x 的最小整数,例如22=????,4π=????,312??
-=-????
.
令
S =+++求S ????的值.
(参考数据:4
3
80344.7≈,43
81350.5≈,43
124618.3≈,43
126631.7≈)
【答案】证明:(I)()()()()()()111111r r
f x r x r r x ??'=++-+=++-??
()f x ∴在()1,0-上单减,在()0,+∞上单增.
min ()(0)0f x f ∴==
(II)由(I)知:当1x >-时,()
()1
111r x r x ++>++(就是伯努利不等式了)
所证不等式即为:()()()()
11111111r r r r r r
n r n n n r n n ++++?-+<-??++<+?? 若2n ≥,则()()
()()1
1
111111r
r r r n
r n n n r n n ++??
-+<-?--<-- ???
1111r
r n n ??
?-<- ?-??
①
111r
r n n ??
->-+ ??? ,1r r n n ->-
- 11111r
r r n n n ??
∴->->-
?-??
,故①式成立. 若1n =,()()
1
1
11r r r n
r n n ++-+<-显然成立.
()()
()1
1
111111r
r r r
n
r n n n r n n ++??
++<+?++<++ ???
1111r
r n n ??
?+<+ ?+??
②
111r
r n n
??
+>+ ??? ,1r r n n >
+ 11111r
r r n n n ??
∴+>+>+
?+??
,故②式成立. 综上可得原不等式成立.
(III)由(II)可知:当*
k N ∈时,()()4144433333331144k k k k k ????--<<+-????????
()444125433
338133112580210.22544k S k k =????∴>--=-≈ ???????
∑
()444125433338133
112681210.944k S k k =????<+-=-≈ ???????
∑
211S ∴=????
错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））已知函数()e ,x f x x =∈R .
(Ⅰ) 若直线1y kx =+与()f x 的反函数的图像相切, 求实数k 的值;
(Ⅱ) 设0x >, 讨论曲线()y f x =与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数.
(Ⅲ) 设a b <, 比较()()2f a f b +与()()
f b f a b a
--的大小, 并说明理由.
【答案】解:(Ⅰ) ()f x 的反函数x x g ln )(=. 设直线1y k x =+
与x x g ln )(=相切于点
00
22
00000kx 1lnx P(x ,y ), x ,1k g'(x )x
e k e -+=???==?==??
.所以2-=e k
(Ⅱ) 当0x >0m >时, 曲线()y f x = 与曲线2(0)y mx m => 的公共点个数即方程2
)(mx x f = 根的个数.
由2
222
)
2()(')(,)(x
x xe x h x e x h x e m mx x f x x x -=?==?=令, 则()h x 在()(0,2)()(2),;h x h ∈+∞上单调递减，这时
()(2,),(x)((2),).h x h h +∞∈+∞在上单调递增这时 2
(2)4
e h =. (2)()h y h x =是的极小值也即最小值。
所以对曲线()y f x =与曲线2
(0)y mx m => 公共点的个数,讨论如下:
当 2(0,)4e m ∈时,有0个公共点;当 24e m =,有1个公共点;当 2
4e m ∈+∞（，）
有2个公共点; (Ⅲ) 设)
(2)
()2()()2()()(2)()(a b b f a b a f a b a b a f b f b f a f -??--+?+-=
---+ a
a b b a e a b e a b a b a b e a b e a b ?-??--++-=-??--+?+-=-)
(2)2()2()(2)2()2(
令x
x x e x e x x g x e x x x g ?-+=?-++=>?-++=)1(1)21(1)(',0,)2(2)(则. ）上单调递增，在（的导函数∞+>?=?-+=0)('所以,0)11()('')('x g e x e x x g x g x x ,且
,0)0(,),0()(0)('.0)0('=+∞>=g x g x g g 而上单调递增在，因此 0)(),0(>+∞x g 上所以在.
,0)2(2)(0b a e x x x g x x <>?-++=>且时，当
0)
(2)2()2(>?-??--++-∴-a a b e a b e a b a b
所以a
b a f b f b f a f -->+)
()(2)()(,
b 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））设函数2()x x
f x c e
=
+(e =2.71828是自然对数的底数,c R ∈).
(Ⅰ)求()f x 的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于x 的方程ln ()x f x =根的个数.
【答案】解:(Ⅰ)'2()(12)x
f x x e -=-,
由'
()0f x =,解得
12x =, 当12x >时,'
()0f x <,()f x 单调递减
所以,函数()f x 的单调递增区间是1(,)2-∞,单调递减区间是1(,)
2+∞,
最大值为11()22f c
e =+
(Ⅱ)令2()ln ()ln x x
g x x f x x c
e =-=-- (0,)x ∈+∞
(1)当(1,)x ∈+∞时,ln 0x >,则2()ln x x
g x x c
e =--,
所以,
2'2()(21)x
x
e g x e
x x -=+-
因为210x ->,20x
e x > 所以 '
()0g x >
因此()g x 在(1,)+∞上单调递增. (2)当(0,1)x ∈时,当时,ln 0x <,则
2()ln x x g x x c e =--
-,
所以,
2'2()(21)
x
x
e g x e
x x -=-+-
因为
22
(1,)x e e ∈,210x e x >>>,又211x -< 所以2210x e x x -+-< 所以 '
()0g x <
因此()g x 在(0,1)上单调递减.
综合(1)(2)可知 当(0,)x ∈+∞时,2
()(1)g x g e c -≥=--, 当
2
(1)0g e c -=-->,即2c e -<-时,()g x 没有零点, 故关于x 的方程
ln ()
x f x =根的个数为0;
当
2(1)0g e c -=--=,即2c e -=-时,()g x 只有一个零点, 故关于x 的方程
ln ()
x f x =根的个数为1;
当
2(1)0g e c -=--<,即2c e ->-时, ①当(1,)x ∈+∞时,由(Ⅰ)知
1
21()ln ln ()ln 12x x g x x c x e c x c e -=--≥-+>--
要使()0g x >,只需使ln 10x c -->,即1(,)c
x e +∈+∞; ②当(0,1)x ∈时,由(Ⅰ)知 1
21()ln ln ()ln 12x x g x x c x e c x c e -=--
-≥--+>---;
要使()0g x >,只需使ln 10x c --->,即
1(0,)c
x e --∈; 所以当2
c e ->-时,()g x 有两个零点,故关于x 的方程
ln ()
x f x =根的个数为2;
综上所述:
当2
c e -<-时,关于x 的方程ln ()
x f x =根的个数为0; 当2
c e -=-时,关于x 的方程ln ()x f x =根的个数为1; 当2
c e ->-时,关于x 的方程
ln ()
x f x =根的个数为2.
错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））已知R a ∈,函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f
(1)求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程;(2)当]2,0[∈x 时,求|)(|x f 的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得:2
()363(1)33f x x x a f a ''=-+∴=-,且(1)133331f a a =-++-=,所以所求切
线方程为:1(33)(1)y a x -=--,即为:3(1)430a x y a --+-=;
(Ⅱ)由已知得到:2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+,其中44a ?=-,当[0,2]x ∈时,(2)0x x -≤, (1)当0a ≤时,()0f x '≤,所以()f x 在[0,2]x ∈上递减,所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =,因为
max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|()|(0)33f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-;
(2)当440a ?=-≤,即1a ≥时,()0f x '≥恒成立,所以()f x 在[0,2]x ∈上递增,所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =,因为
max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|()|(2)31f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-; (3)当440a ?=->,即01a <<时
,
212()363011f x x x a x x '=-+=∴=-=+,且1202x x <<<,即
x
1(0,)x
1x
12(,)
x x 2
x
2(,2)x
2 ()
f x '
+
-
+
()f x
33a
-
递增 极大值 递减 极小值
递增
31
a -
所以12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--,且
31212()()20,()()14(1)0,f x f x f x f x a ∴+=>=--<所以12()|()|f x f x >, 所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =;
由2
(0)(2)3331003
f f a a a -=--+>∴<<,所以
(ⅰ)当2
03
a <<时,(0)(2)f f >,所以(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时,()y f x =递增,(1,)x a ∈时,()
y f x =递减,所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =,因为
1()(0)12(1332(1(23)f x f a a a a -=+--+=---=,又因为
2
03a <<
,所以230,340a a ->->,所以1()(0)0f x f ->,
所以max 1|()|()12(1f x f x a ==+-(ⅱ)当2
13
a ≤<时,(2)0,(0)0f f ><,所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =,因
为
1()(2)12(1312(1(32)f x f a a a a -=+--+=---=
,此时320a ->,当2
13a <<时,34a -是大于零还是小于零不确定,所以
① 当23
34a <<时,340a ->,所以1()|(2)|f x f >,
所以此时max 1|()|()12(1f x f x a ==+-;
② 当3
14
a ≤<时,340a -<,所以1()|(2)|f x f <,所以此时max |()|(2)31f x f a ==-
综上所述
:max 33,(0)3
|()|12(1)43
31,()4
a a f x a a a a ?
-≤??=+-<
错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知函数
()()()
1=ln 1.1x x f x x x
λ++-
+
（I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;；
（II ）设数列{}21111
1,ln 2.234n n n n a a a a n n
=+++???+-+
>的通项证明：
错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））已知函数2l ()n f x x x =.
(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;
(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.
(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有
2ln ()15ln 2
g t t <<.
错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（理））设l为曲线C：
ln x
y
x
在点(1，0)处的切线.
(I)求l的方程；
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方
