《复变函数与积分变换》期末试卷1 参考答案及评分标准 第一题：填空。 1．1； 2. 连通开集； 3. 奇点； 4. 3-； 5. 圆周； 6.解析； 7. 绝对收敛； 8. 本性奇点； 9. 0 0lim()()z z z z f z →-； 10. 保角性。 第二题：选择。 1：B ；2：A ；3：C ；4：D ；5：B 。 第三题：计算。 1：13(23)13(arctan 2)22 n n L i l i k ππ-+=+-+，k Z ∈； 模2分，辐角4分 2：C 的参数方程为0(02)i z z re θθπ=+≤≤ 22(1)10001()i i n n n in n C dz ire d e d z z r e r θ ππθθθθ---==-??? 221 1 cos(1)sin(1)n n i i n d n d r r π π θθθθ--= -+ -? ? （4分） 21 01i n n π=?=?≠? 。（2分） 3：1 10 ()1n k k n n k S z z z -+==-=-∑。 （1分） 当1z <时，lim 1n n S →∞ =-，故级数收敛于1-； 当1z =时，lim 0n n S →∞ =，故级数收敛于0； 当1z =-时，lim n n S →∞ 不唯一，故级数发散； 当1z =而i z e θ=(0)θ≠时，cos sin n z n i n θθ=+，因为cos n θ和sin n θ的极限都不存在，所以lim n n S →∞ 不存在，级数发散； 当1z >时，级数显然发散。 （以下讨论每步1分） 4：显然，点ai 是函数的二阶极点。 2 22 2R e [(),]l i m [()]() ibz z ai d e s f z ai z az dz z a →=-+2 l i m []()ibz z ai d e dz z ai →=+ （4分） 2321lim ()4ibz ab z ai ibz ab ab e i z ai a e →--+==-+。 （2分） 5：0 ()()j t j t F f t e dt Ae dt τ ωωω+∞ ---∞==??()(1)0j t j t A A e e j j ωωτω ω--=-=-。 （第一步4分，结果2 分）
习题六 1. 求映射1 w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0
第1次 复变函数（1） 一、填空题。 1. 设(1)(2)(3) (3)(2) i i i z i i +--= ++，则z =__________ 2. 设z =, 3arg()4 z i π -= ,则z=________________ 3. 不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线_______________的内部。 4. 复数i 31-的三角表达式为 二、请计算i +1的值。 三、已知21z z 和是两个复数，证明)Re(2212 2212 21z z z z z z ++=+ 四、下列坐标变换公式写成复数形式； 1） 平移公式：11 11 x x a y y b =+??=+?，
2）旋转公式：1111 cos sin sin cos x x y y x y αα αα=-??=+? 五、指出下列各题中点z 的轨迹或所在范围，并作图。 1）56z -=； 2）21z i +≥； 3)314z z +++=。 4) 3 12 z z -≥- 六、将下列方程（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出： 1）(1)z t i =+； 2）t ib t a z sin cos += (b a ,为实常数) 3）2 2i z t t =+ 。 4) it it z ae be -=+
第2次 复变函数（2） 一、填空题 1. 2 4 1lim (12)z i z z →+++=________________ 2. 由映射2 )(z z f =得到的两个二元实函数=),(y x u =),(y x v . 3. 函数z z z f = )( 在0→z 时极限为 4. 已知映射3 z =ω, 则点i z =在该映射下在ω平面的象为 二、对于映射11 ()2w z z =+，求出圆周|z|=4的像。 三、函数1 w z = 把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎样的曲线？ 1）2 2 4x y +=； 2） y x =。 3) 1x =。 4) 2 2 (1)1x y -+=.
第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ----------------------------------------------------
复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） ——课后习题答案
习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππe cos isin 44-??????=-+- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+ ); 33 3;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 322222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ (( )( ){ }3 3 2 3 2 111313188-+? ???== --?-?+?-????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1=?? , Im 0=?? ． ④解： ∵ () ( )(( )2 3 3 2 3 13131i 8 ??--?-?+?-???? =?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1 =? ? , Im 0=? ? ． ⑤解： ∵()()1,2i 211i, k n k n k k n k ?-=? =∈?=+-???￠． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i -+= 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()( )2i 32i 2i 32i ++=++= ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 22++== ()1i 11i 222i ++-??== ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+，
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解：
1 ar 2 1 ar 2 1 ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π ?? + ? ?? == ? ? =? ? ? (2) 解： 6 22 6363 4 63 22 2 i k i i i i e i e e e i π ππππ ππ ???? ++ ? ? ???? ?? + ? ?? ? =+ ? ? ? ? ====+ ? ? ?=- ? (3) i i 解： ()22 22 i i k k i i e e ππ ππ ???? +-+ ? ? ???? == (4) 解： ()1/22 22 i i k k e e ππ ππ ???? ++ ? ? ???? == (5) cos5α 解：由于：()() 55 2cos5 i i e e ααα - +=， 而： ()()()() ()()()() 5 555 5 5 555 5 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i α α αααα αααα - = - - = =+= =-=- ∑ ∑ 所以： ()()()() ()()() ()()()() 5 55 5 5 55 5 4325 3 5 4325 1 cos5cos sin cos sin 2 1 cos sin11 2 5cos sin cos sin cos 5cos sin10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααα αα ααααα ααααα -- = -- = ??=+- ?? ?? =+- ?? =++ =-+ ∑ ∑ (6) sin5α 解：由于：()() 55 2sin5 i i e e ααα - -=， 所以：
工程数学积分变换答案 【篇一：复变函数与积分变换是一门内容丰富】 建立和发展与解决实际问题的需要联系密切，其理论与方法被广泛 应用在自然科学的许多领域，是机械、电子工程、控制工程，理论 物理与流体力学，弹性力学等专业理论研究和实际应用中不可缺少 的数学工具。 课程包含2部分内容：向量分析与场论，复变函数论与积分变换。 本课程的目的，是使学生掌握向量分析与场论，复变函数论，积分 变换的基本理论、基本概念与基本方法，使学生在运用向量分析与 场论，复变函数论，积分变换的思想和方法解决实际问题的能力方 面得到系统的培养和训练,为在后 继专业课程和以后的实际工作打下良好的数学基础 向量分析与场论部分 第一章向量与向量值函数分析学时：4 几何向量，几何向量的加法、数乘、数量积、向量积，向量的混合 积与三重向量积，向量值函数的定义，向量值函数的加法、数乘、 复合、数量积运算，向量值函数的极限、连续，向量值函数的导数，向量值函数的体积分、曲线积分、曲面积分，高斯公式，斯托克斯 公式。 第二章数量场学时：2 数量场的等值面，数量场的方向导数、梯度的概念，哈米尔顿算子 的用法。 第三章数量场学时：6 向量场的向量线，向量场的通量，向量场的散度，向量场的环量， 向量场的环量面密度、向量场的旋度，向量场场函数的导数与向量 场的散度、旋度及数量场的梯度之间的关系。 第四章三种特殊形式的向量场学时：4 保守场，保守场的旋度，保守场的势函数，管形场，管形场的向量势，调和场，调和函数。 复变函数与积分变换部分 第一章：复数与平面点集学时：2 复数的直角坐标表示法，三角表示法，指数表示法。复数的模和辐角，复数的四则运算。平面区域，邻域，聚点，闭集，孤立点，边 界点，边界，连通集，区域，单连通区域，多连通区域。
复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；
（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件
习题三 1. 计算积分2 ()d C x y ix z -+?,其中C 为从原点到点1+i 的直线段. 解 设直线段的方程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤ 故 ()()1 22 1 23 1 0()1 1 (1)(1)(1)333C x y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+?=+=?? ? 2. 计算积分(1)d C z z -?，其中积分路径C 为 (1) 从点0到点1+i 的直线段; (2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i 的弧段. 解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 11()C z dz x ix d x ix i -=-++=?? (2)设2 z x ix =+. 01x ≤≤ ()()1 22 211()3 C i z dz x ix d x ix -=-++=?? 3. 计算积分d C z z ?，其中积分路径C 为 (1) 从点-i 到点i 的直线段; (2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i 到点i; (3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i 到点i. 解 (1)设z iy =. 11y -≤≤ 11 1 1 C z dz ydiy i ydy i --===??? (2)设i z e θ =. θ从32π到2π 22 332 2 12i i C z dz de i de i π π θ θππ===???
(3) 设i z e θ =. θ从32π到2π 2 32 12i C z dz de i π θ π==?? 6. 计算积分()sin z C z e z dz -???,其中C 为0 z a =>. 解 ()sin sin z z C C C z e z dz z dz e zdz -?=-????蜒 ? ∵sin z e z ?在z a =所围的区域内解析 ∴sin 0z C e zdz ?=?? 从而 ()20 22 sin 0 z i C C i z e z dz z dz adae a i e d π θ π θθ-?====?? ??蜒 故()sin 0 z C z e z dz -?=?? 7. 计算积分2 1 (1) C dz z z +??,其中积分路径C 为 （1）11:2 C z = （2） 23 :2 C z = （3） 31:2 C z i += （4） 43:2 C z i -= 解：（1）在 1 2 z = 所围的区域内， 21 (1)z z +只有一个奇点0z =. 12 1 11111 ()2002(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -?-?=--=+-+?? 蜒（2）在2C 所围的区域内包含三个奇点 0,z z i ==±.故 22 1 11111()20(1) 22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ= -?-?=--=+-+?? 蜒（3）在2C 所围的区域内包含一个奇点 z i =-,故 32 1 11111()00(1) 22C C dz dz i i z z z z i z i ππ= -?-?=--=-+-+??蜒（4）在4C 所围的区域内包含两个奇点 0,z z i ==,故
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2007－08 学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换 考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 4 .34arctan 3 A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=- 2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+ 2 .||D z z z ?= 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） .z A z e + 2 sin . 1 z B z + .tan z C z e + .sin z D z e + 6．在复平面上，下列命题中，正确．． 的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = .cos sin iz C e z i z =+ . ||D z = 7．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ）
习题六 1. 求映射1w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 (主编:王忠仁 张静) 高等教育出版社 习题一(P12) 1、1 对任何z ,2 2z z =就是否成立？如果就是,就给出证明。如果不就是,对哪些z 值才成立？ 解:设z x iy =+,则2222z x y xyi =-+,2 22z x y =+; 若2 2z z =成立,则有2222 2x y xyi x y -+=+,即222220 x y x y xy ?-=+?=?,解得0y =, 即z x =。 所以,对任何z ,2 2z z =不成立,只对z 为实数时才成立。 1、2 求下列各式的值: (1)5 )i ; (2)6(1)i +; ; (4)13 (1)i -。 解:(1)因为6 2i i e π- -=,所以 5 55 55 6661)223232())2i i i i e e e i i πππ --?-??====-=- ??? (2)因为4 1i i e π+=,所以 6 36634 42(1)288i i i e e e i πππ ??+====-?? (3)因为1cos sin i ππ-=+,所以 ()1 6 22cos sin cos sin 6 6 k k k w i i ππ ππ ππ++==+=+,其中 0,1,2,3,4,5k =; 即01cos sin 6 6 2w i i π π =+= +,1cos sin 22 w i i ππ =+=, 2551cos sin 6622w i i ππ=+=-+,3771 cos sin 6622 w i i ππ=+=--,
2－2 1．求下列函数的Laplace 变换式： 1）()232f t t t =++. 解:由[]2 132!1232132m m m t s s s s s t t +????==++=++???? 及有L L L . 2)()1e t f t t =-. 解 ：[]() () 11 11 ,e e t t t t t s s s s --????= ==- ????2 2 2+1-1L L ,L 1-. 3)()()2 1e t f t t =-. 解： ()22-1e e 2e e t t t t t t t ????=-+???? L L () () () 2 3 2 3 2 2 145 .-1-1-1s s s s s s -+= - + = -1 5）()cos f t t at =. 解: 由微分性质有: [][]() 2 2 2 222 2 d d cos cos d d s s a t at at s s s a s a -?? =-=-= ? +?? +L L 6) ()5sin 23cos 2f t t t =- 解:已知[][]2 2 2 2 sin ,cos s t t s s ω ωωω ω= = ++L L ,则 []52 2 222103sin 23cos 25 34 4 4 s t t s s s --=-= +++L 8)()4e cos 4t f t t -=. 解: 由[]2 cos 416 t s +s = L 及位移性质有 42cos 4416 e t s t s -??=??++4（＋）L . 3．若()()f t F s ??=??L ，证明（象函数的微分性质）:
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静） 高等教育出版社 习题一（P12） 对任何z ，2 2z z =是否成立如果是，就给出证明。如果不是，对哪些z 值才成立 解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，2 22z x y =+； 若2 2z z =成立，则有2222 2x y xyi x y -+=+，即222220 x y x y xy ?-=+?=?，解得 0y =，即z x =。 所以，对任何z ，2 2z z =不成立，只对z 为实数时才成立。 求下列各式的值： （1）5 )i ； （2）6(1)i +； （3； （4）1 3 (1)i -。 解：（16 2i i e π- =，所以 5 55 55 6661)223232())2i i i i e e e i i πππ --?-??====-=- ??? （2）因为41i i e π +=，所以 6 3663 442(1)288i i i e e e i πππ ??+====-?? （3）因为1cos sin i ππ-=+，所以 ()1 6 22cos sin cos sin 6 6 k k k w i i ππ ππ ππ++==+=+，其中 0,1,2,3,4,5k =； 即01cos sin 6 6 22w i i π π =+= +，1cos sin 22 w i i ππ =+=， 2551cos sin 662w i i ππ=+=+，3771 cos sin 662 w i i ππ=+=-，
433cos sin 22 w i i ππ =+=- ，511111cos sin 662w i i ππ=+=-。 （4 ）因为1cos()sin()44i i ππ?-=-+-??，所以 1 13 6 2244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ??-+-+?? =-=+???? ?? ，其中0,1,2k =； 即 16 02cos()sin()1212w i ππ? ?=-+-?? ? ?， 1 6 1772cos sin 1212w i ππ? ?=+???? ， 1 6 2552cos sin 44w i ππ? ?=+???? 。 求方程380z +=的所有根。 解法一：用因式分解法求解。 因为 33322 82(2)(24)(2)(21)3z z z z z z z z ??+=+=+-+=+-++?? 22 (2)(1)((2)(11z z z z z ??=+-+=+-+--?? 所以由380z += ，得(2)(110z z z +-+--=， 解得 12z =- ，21z =- 31z =+ 故方程380z +=的所有根为12z =- ，21z =+ 31z =+ 解法二：用复数的方根的方法求解。 由380z +=，得38z =-，即z 是8-的三次方根；而 88(cos sin )i ππ-=+，所以 2222cos sin 2cos sin 3333k k k k k z i i ππππππππ++++?? ?==+=+??????，其中0,1,2k =； 即02cos sin 133z i ππ? ?=+=+ ?? ?12(cos sin )2z i ππ=+=， 2552cos sin 133z i ππ? ? =+=- ?? ?
??????????????????????精品自学考 料推荐?????????????????? 全国 2018 年 4 月高等教育自学考试 复变函数与积分变换试题 课程代码： 02199 一、单项选择题 (本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分 ) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．设 z=3+4i, ，则 Re z 2=( ) A ．-7 B ． 9 C ． 16 D ．25 2．下列复数中，使等式 1 =-z 成立的是 ( ) z A ． z=e 2 i B ． z=e i i 3 i D ． z= e 4 C ． z= e 2 3．设 0 年级专业： 教学班号： 学号： 姓名: 装订线 课程名称：复变函数与积分变换考试时间：110_分钟 课程代码：7100031试卷总分：100_分 一、计算下列各题（本大题共3小题，每小题5分，总计15分） 1 ; 2、； 3、' |和它的主值 二、（8分）设 '，函数 '■在?平面的哪些点可导？若可导， 求出在可导点的导数值。 三、（10分）证明为调和函数，并求出它的共轭调和函 数。 四、（25分，每小题各5分）计算下列积分: 的正向; -de + sin 0 5. 五、（10分）将函数 gm 在下列圆环域内分别展开为洛朗级数 1. 2. ；?伫一 15界 ^： M=i ? ? 的正向; 3. ，■: 的正向; 4. 们；＜：6山「： 的正向; (1) (2) 六、（10）1、求将上半平面lm（z>0映射到单位圆域，且满足 arg r（n =匸 ■，的分式线性映射，。 I U-1"=—- 2、平面的区域恥环犬-.被映射映射到’平面的什么区域？ 「2 （f f（t）-- 七、（5分）求矩形脉冲函数〔° 曲我的傅氏变换。 八、（6分）求’1的拉普拉斯变换。 九、（5分）求的拉氏逆变换。 十、（6分）利用拉氏变换（其它方法不得分）求解微分方程： 一、参考答案及评分标准：（本大题共3小题，每小题5分，总计15分） 1、 * _ JT It & (1 - = ]6[oos( ——) + /sin( ——)] - m + + 4 4 =16(QDS(-2JT)-F /SII M -2?)) =16 (2) 3 3、 2 1 四、参考答案及评分标准：（每小题 5分，共25分） 由柯西-黎曼方程得： ' 即 '.所以’在 ’可导. 三、参考答案及评分标准：（10分） v^= 2-3?十3穴二…欣空二= “ &x J A 2 dy 得, 卩二 J(-6砂必=-3A y 十 g(y} - r 故 -?」；、’；J/' 二、参考答案及评分标准：（ 8 分) 解： ■ 异上F ，因为 dv ov =乩——= 0,——=2y Ex d 2u 沪 口 W C?j/ ，所以 为调和函数. 证明: 复变函数与积分变换试题（一） 一、填空(3分×10) 1．)31ln(i --的模 ?? ,幅角 ?? 。 2．-8ｉ的三个单根分别为: , ， 。 3．Ln ｚ在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：? ?? ? 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ? ??。 ６．=?? ? ???0,sin Re 3z z s ?? ?。 ７.指数函数的映照特点是：??? ? ?? ??。 8.幂函数的映照特点是: ? ?? ? ?。 9.若)(ωF =F [f (ｔ)]，则)(t f = F )][(1ω-f ?? ??。 10．若f （t )满足拉氏积分存在条件，则L ［f (t )]= ? ? 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解 析函数,且ｆ(０)=0。 三、(1０分)应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×２) 1．?=-2 ||) 1(z z z dz 2．? -c i z z 3 )(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<- 1-1 1． 试证：若 ()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有 ()()()d d 0 cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞ -∞-∞ ==?? 分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试 用三角形式证明. 证明：利用Fourier 积分的复数形式，有 ()()j j e e d π12t t f t f ωωτω+∞+∞--∞-∞??= ? ????? ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞??=-???? ?? ()()()j j d 1cos sin 2 a b t t ωωωωω+∞ -∞??= -+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 ()()()d d 11cos sin 22 f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞= +?? ()()d d 0 cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 2．求下列函数的Fourier 积分： 1）()22 21,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0, 0;e sin 2,0 t t f t t t -???为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞ +∞?====-?-∞ ???F 复变函数与积分变换试题与答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设复数z 1cos i sin 33π π =++，则arg z=（ ） A.-3π B.6π C.3π D.23π 2.w=z 2将Z 平面上的实轴映射为W 平面的（ ） A.非负实轴 B.实轴 C.上半虚轴 D.虚轴 3.下列说法正确的是（ ） A.ln z 的定义域为 z>0 B.|sin z|≤1 C.e z ≠0 D.z -3的定义域为全平面 4.设C 为正向圆周|z|=1，n C sin z dz z ?=2π i ，则整数n 为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 5.设C 为正向圆周|z|=2，则2C z dz z ?=（ ） A.-2πi B.0 C.2πi D.4πi 6.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=2C sin 6 d (z) π? ??-?，则f′(1)=（ ） A.-3 i 36 π B.3 i 36π 7.设n n n 0a z ∞ =∑n n n 0b z ∞=∑和n n n n 0 (a b )z ∞=+∑的收敛半径分别为R 1，R 2和R ，则（ ） A.R=R 1 B.R=min{R 1,R 2} C.R=R 2 D.R≥min{R 1,R 2} 8.罗朗级数n n n 1n 0n 0 1z z 2∞ ∞-==+∑∑的收敛域为（ ） A.|z|<1 B.|z|<2 C.1<|z|<2 D.|z|>2 9.已知sinz=n 2n 1 n 0(1)z (2n 1)!+∞=-+∑，则Res 4sin z ,0z ?? =????（ ） A.1 B.-1 3!《复变函数与积分变换》试题及答案.
复变函数与积分变换试题及答案
积分变换课后答案
复变函数与积分变换试题与答案
相关主题
文本预览