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大一高数期末考试题带答案的哦!!!(精)

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(

0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .

（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.

2. ）

时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x

x βα.

（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；

（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.

3. 若

()()()0

F x t x f t dt

=-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且

'>()0f x ，则（）.

（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；

（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

)

(

)( , )(2)( )(1

=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设

（A ）22x （B ）2

2x +（C ）1x - （D ）2x +.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =

+→x

x x sin 2

)

31(l i m .

,)(cos 的一个原函数是已知

x f x

?x x

x f d cos )(则

7. lim (cos cos cos )→∞-+++=

221 n n n n n n ππ

ππ .

8. =

-+?

211

arcsin －

dx x

x x .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 设函数=()y y x 由方程

sin()1x y

e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17

x x x x ?+-求

11. ．

　求，，设?--?????≤<-≤=1 32

)(1020

)(dx x f x x x x xe x f x

12. 设函数)(x f 连续，=?1

0()()g x f xt dt

，且→=0

()

lim

x f x A x ，A 为常数. 求

'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.

13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足

(1)9y 的解.

四、解答题（本大题10分）

14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点

M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）

15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围

成平面图形D.

(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

V .

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，

()()≥??q

f x d x q f x dx

17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0

)(0=?π

x d x f ，0

cos )(0=?π

dx x x f .

证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提

示：设

x f x F 0

)()(）

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 6e .

6.c

x x +2

)cos (21　.7. 2π. 8.3π.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

(1)c o s ()()x y

e y xy xy y +''++

+= cos()

()cos()x y x y

e y xy y x e x xy +++'=-+

0,0x y ==，(0)1y '=-

10. 解：7

67u x x dx du ==

1(1)112

()7(1)71u du du

u u u u -==-++??原式 1

(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712

ln ||ln |1|77x x C =-++

11. 解：1

330

()x

f x dx xe dx ---=+

()x

xd e --=-+??

cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----??=--+-=???

　令

321

4e π

12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

===

??1

()()()x

xt u

f u du

g x f xt dt x

(0)x ≠

()()()(0)

xf x f u du

g x x x

-'=

≠?

0()()A

(0)lim

lim

22x x x f u du

f x

g x x →→'===?

()()lim ()lim

22x

x x xf x f u du

A A

g x A x

→→-'==-

?，'()g x 在=0x 处连续。

13. 解：2

ln dy y x dx x +=

(ln )

dx dx x x y e e xdx C -??=+?

ln 39x x x Cx -=

(1),09y C =-=，

11ln 39y x x x

=- 四、解答题（本大题10分）

14. 解：由已知且0

2d x

y y x y

'=+?，

将此方程关于x 求导得y y y '+=''2

特征方程：022

=--r r

解出特征根：.2,121=-=r r

其通解为

x x e C e C y 221+=-

代入初始条件y y ()()001='=，得

31,3221==

C C

故所求曲线方程为：x

x e e y 23132+=-

五、解答题（本大题10分）

15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)

ln 00

0x x x x y -=-

由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：

e y 1= 则平面图形面积

?-=

-=1

121

)(e dy ey e A y

（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则

2131

e V π=

曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2

?-=1

22)(dy

e e V y π

D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

)

3125(6221+-=

-=e e V V V π

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

16. 证明：1

()()q

f x d x q f x dx -??1

()(()())

f x d x q f x d x f x dx =-+???

(1)()()q

q f x d x q f x dx

=--??

1212[0,][,1]

()()

12(1)()(1)()

0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=

---≥

故有：

()()≥??q

f x d x q f x dx

证毕。

17.

证：构造辅助函数：π

≤≤=?x dt t f x F x

0,)()(0。其满足在],0[π上连续，在)

,0(π上可导。)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F 由题设，有

????+===π

π0

)(sin cos )()(cos cos )(0|dx

x F x x x F x xdF xdx x f ，

有?=π

0sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即

0)(=ξF

综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在

),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .

高等数学I 解答

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是

无穷小. (A) ()()x x βα+

(B) ()()x x 2

2βα+

(C)

[])()(1ln x x βα?+

(D) )()

(2x x βα

2. 极限a

x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1

（B ） e

（C ） a

cot （D ） a

tan

???

??=≠-+=001

sin )(2x a x x

e x x

f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1

（B ） 0

（C ） e （D ） 1-

4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=--+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）.

（A ） )(3a f ' （B ） )(2a f '

(31

a f '

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限)

0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1.

6. 由

x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y

xe ye x y

x xy

ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直

线l 的方程为

1211--=--=-z y x . 8. 求函数2

)4ln(2x x y -=的单调递增区间为（－∞，0）和（1，+∞ ） .

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

9. 计算极限10(1)lim

x x e

x →+-.

解：1

ln(1)120

00(1)1ln(1)lim

lim lim 2x x

x x x x e e x x e e e x x x +-→→→+--+-===- 10. 已知：||3a = ，||26b = ，30a b ?= ，求||a b ? 。解：

1312

cos 1sin ,135cos 2=-==?=θθθb a b a ，

=?b a

11. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且

]

,[)()()(b a x dt t f t x x F x

∈-=?，试求出)(x F ''。

解：

??-=x

t tf dt t f x x F )()()(

??=-+='x

t f x xf x xf dt t f x F )()()()()(

)()(x f x F =''

12. 求

3cos .sin x x dx x ? 解：

3cos 1sin sin 2x x

dx xd x x -=-??

2221111

sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C

---=-+=--+?

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

13. 求

-2

x x dx .

令　

1x t =

--=212

322)1

(11

11dt t t t

原式

t 12

=arcsin t

32=

6 14. 求函数

212x x y +=

的极值与拐点. 解：函数的定义域（－∞，+∞）

22)1()

1)(1(2x x x y ++-='

22)1()3(4x x x y +--='' 令0='y 得 x 1

= 1, x 2

= -1

0)1(<''y x 1 = 1是极大值点，0)1(>-''y x 2

= -1是极小值点

极大值1)1(=y ，极小值1)1(-=-y

0=''y 33故拐点（-3，-23），（0，0）（3，23

）

15. 求由曲线

x y =与2

3x x y -=所围成的平面图形的面积. 解　:,,

x x x x x x 3

232431240=--+=

x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123

S x x x dx x x x dx

=-++---??()()3260

3024334 =-++---()()x x x x x x 423602340

21632332316

=+=4521347

3 16. 设抛物线2

4x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧 A B 上，求一点(,)P x y 使ABP ?的面积最大.

解：

AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程：点到的距离　的面积

+-==+-=-++-≤≤2104521

235

132()

S x x x x x ()()

=??-++=-++124523

522322

当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()40

1 此时所求点为，y =313()

另解：由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线

的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使　解得所求点为?ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,(),(),,(,)002

0004253312113-'=-=--+=-=

六、证明题（本大题4分）

17. 设0x >，试证x x e x

+<-1)1(2.

证明：设0),1()1()(2>+--=x x x e x f x

1)21()(2--='x e x f x ，x xe x f 24)(-=''，

0)(,0≤''>x f x ，因此)(x f '在（0，+∞）内递减。

在（0，+∞）内，)(,0)0()(x f f x f ='<'在（0，+∞）内递减，

在（0，+∞）内，),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x

亦即当 x >0时，x x e x

+<-1)1(2 。

高等数学I A

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 18. 函数

???

??????<+<≤>-+=0,sin 1

0,2tan 1,1)

1ln()(x x x x x x x x x f π

的全体连续点的集合是（）

(A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞)

+∞)

(D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞)

19.

设0)11

(lim 2=--++∞→b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（）

（A ）（1，0）（B ）（0，1）（C ）（1，1）（D ）（1，-1） 20.

设在[0，1]上)(x f 二阶可导且0)(>''x f ，则（）

（A ）)0()1()1()0(f f f f -<'<'

(B) )1()0()1()0(f f f f '<-<'

（D ）)0()1()0()1(f f f f '<'<-

21.

,1cos sin 2

4dx x x

x M ?-

)cos (sin

πdx x x N ?-

432

)cos sin (π

πdx

x x x

P 则（）

（A ） M < N < P （B ） P < N < M （C ） P < M < N （D ） N < M < P

二填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1. 设=->)1arctan (12

x x d x （）

2. 设?+=,sin )(c x dx x f 则

dx x f n )()

(（）

3. 直线方程

p z n y m x +-==--65

24，与xoy 平面，yoz 平面都平行，

那么m n p ,,的值各为（）

? ??=+∞

→∑2

lim

n i n

i x e

（）

三解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）

1. 计算

??? ??-→2201s i n 1

l i m x x x 2. 设

???

??≤>=00,1cos )(2

x x x x

x x f 试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f ' 3. 设函数),()(+∞-∞=在x f y 连续，在x ≠0时二阶可导，且其导函数)(x f '的图形如图

所示，给出

)(x f

)(x f y =的拐点。

四解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分） 1. 求不定积分

?-+x dx

x x 2)

12(

2. 计算定积分

x 1ln

3. 已知直线

5221:

121:

21-=-=--==z y x l z y x l ,求

l 1且平行于直线

l 2的平面方程。

4. 过原点的抛物线2

ax y =及y =0,x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为π581

，确定

抛物线方程中的a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积。

五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

1. 设)()1()(2

x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f ，试证明存在

ξ（21<<ξ）使得0)(=''ξF 。

?≥-=x

n x tdt t t x f 0

22)

0(sin )()(

（1）求)(x f 的最大值点；

（2）证明：

)32)(22(1

)(++≤

n n x f

一、单项选择题 B D B C .

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. dy =dx x x x )1arctan 411(2-+-.

6. ?=dx x f n )()

(?++=+c

n x dx n x )2sin()2cos(π

π. 7.

0,6,2≠-==n p m .

8. )1(21

-e .

三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）

9. (8分)计算极限 22011lim()

sin x x x →-.

解：222222

0011sin lim()lim sin sin →→--=x x x x x x x x

30sin sin lim →-+=x x x x x x x

201cos 12lim 33x x x →-==

10. (8分)设

?????≤>=00,1cos )(2

x x x x

x x f ，试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f '.

解：当

x x x x f x 1sin 1cos

2)(,0+='>；当1)(,0='

2001

cos

00'(0)lim 0'(0)lim 1

x x x x x x f f x x +-?→+?→-?-?-?=====??

故f (x )在x =0处不可导。

()?????

<>+='0101sin

1cos 2x x x

x x x f 11. (8分)设函数()y f x =在(,)-∞+∞连续，在0x ≠时二阶可导，且其导函数

()f x '的图形如图.给出()f x 的极大值点、极小值点以及曲线()y f x =的拐

解：极大值点：x a =x d = 极小值点：x b = 拐点(0,(0)),(,())f c f c

四解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）

12. (9分)求不定积分 2

2(2)(1)x dx x x --?.

解：原式=2413()(1)1dx x x x -++--?

4ln 3ln 11x x c x -

--+-

13. (9分)计算定积分

1ln e

x dx

解：原式=()1

ln ln e e

x dx xdx

-+??

()[]111ln ln e

x x x x x x =--+-????

2e =-

14. (9分)已知直线

11:

123x y z l -==，2123:254x y z l ---==,求过直线l 1且平行于直线l 2的平面方程. 解：12(1,2,3)(2,5,4)(7,2,1)n s s =?=?=-

取直线l 1上一点M 1(0,0,1) 于是所求平面方程为 72(1)0

x y z -++-= 15. (9分)过原点的抛物线2

ax y = (0)a >

及y =0, x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为π

581

. 求a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积.

解：

22200

()5x V a x dx a

ππ==?2

5a π=

由已知得

5815

π=

a 故 a = 9 抛物线为：2

9x y =

绕y 轴一周所成的旋转体体积：

29V x x dx π=??1

9184

2x π

π==

五综合题（每小题4分，共8分）

16. (4分)设)()1()(2

x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f .

证明：存在ξ（12ξ<<）使得()0F ξ''=。

证明：由)(x f 在[1，2]上二阶可导，故F (x )在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故F (1)=F (2) = 0

在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点)21(,00<

在[1，x 0]上对)(x F '用罗尔定理，至少有点)21(0<<

17. (4分).

解：（1）1x =为()f x 的最大值点。

22()()sin n f x x x x '=-，当01x <<，22()()sin 0n f x x x x '=->；当1x >，22()()sin 0n f x x x x '=-≤。(1)f 为极大值，也为最大值。（2）

220

()()sin (1)

n f x t t tdt f =-≤?

22220

(1)()sin ()(22)(23)n n f t t tdt t t t dt n n =-≤-=

++??

高等数学上B （07）解答

一、填空题：（共24分，每小题4分）

1．2

sin[sin()]y x =，则

dy dx =222cos[sin()]cos x x x 。 2．已知2

dx x π+∞-∞=+?，a =__1______。

3． 1ln e

x dx =?22e -。 4． x

y e =过原点的切线方程为y ex =。

5．已知()x f x e =，则

'(ln )

f x dx x ?=x c +。

6．a =32-

，b =92

时，点(1,3)是曲线32

y ax bx =+的拐点。

二、计算下列各题：（共36分，每小题6分） 1．求cos (sin )x

y x =的导数。

解：cos lnsin cos lnsin ()(sin lnsin cot cos )x x

x x y e e x x x x ''==-+ 2．求sin ln xdx

?。

解：sin ln sin ln cos ln xdx x x xdx

=-?

sin ln cos ln sin ln x x x x xdx

=--?

(sin ln cos ln )2x x x x C =

-+ 3

．求。

解：

212=+

5ln |x C =+ 4．设

0()1,0x k

e x

f x x x ?≥?=?+

00(0)lim lim k

k x x x f x x --→-→-

'==

(0)l i m 1

x x e f x +→+-'== 1k =

．求极限

n →∞

。解：

1lim n n

n k →∞

→∞

1lim n

n k →∞

0ln(|ln(1x =+=+

6．求过点(2,2,0)且与两直线21010x y z x y z +-+=??-+-=?和200x y z x y z -+=??-+=?平行的平面

方程。

解：两直线的方向向量分别为1(1,2,1)(1,1,1)(1,2,3),s =-?-=--2(2,1,1)(1,1,1)(0,1,1)s =-?-=--，平面的法向量

(1,2,3)(0,1,1)(1,1,1)n =--?--=--。

平面方程为0x y z -+=。

三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）

1．设cos sin x R t y R t =??=?，求22

d y dx 。

解：cot dy

dx =-

311

(cot )sin sin t d y t dx

R t R t '=-=-- 2．求0()(1)x

F x t t dt

=-?在[1,2]-上的最大值和最小值。

解：()(1)0,0,1F x x x x x '=-===

1012001

(0)0,(1)(1),

(1)(1),(2)(1)63F F t t dt F t t dt F t t dt -==-=--=-=-=-=

??? 最大值为23，最小值为5

。

3．设()y y x =由方程22

(1)ln(2)0x y x y +-+=确定，求'(0)y 。解：方程22

(1)ln(2)0x y x y +-+=两边同时对x 求导

2222(1)20

2x y y xyy x y '

+'++-=+ 将

0,2x y ==

代入上式

'(0)

8y = 4．求由2y x =与2

y x =围成的图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积。

解：

()V y y dy

π=-?

310π=

四、证明题：(共12分，每小题6分)

1．证明过双曲线1xy =任何一点之切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。

证明：双曲线1xy =上任何一点(,)x y 的切线方程为

()Y y X x x -=-

切线与x 轴、y 轴的交点为1

(0,),(2,0)

y x x +

故切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为 1

()2

s x y x =+=

2．设函数()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上连续，证明：至少存在一点ξ使得

()()()()b a

f g x dx g f x dx

ξξ=??

证明：令

()()()b

F x g x dx f x dx

=??

()()0F a F b ==，由Rolle 定理，存在一点[,]a b ξ∈，使()0F ξ'=，即

()()()()b

f g x dx g f x dx

ξξ=??

高等数学上解答（07）

一、单项选择题（每小题4分，共16分）

1．|sin |

()cos x f x x xe

-=()x -∞<<+∞是 A 。（A ）奇函数；（B ）周期函数；（C ）有界函数；（D ）单调函数

2．当0x →时，2

()(1cos )ln(12)f x x x =-+与 B 是同阶无穷小量。（A ）3

x ；（B ）4

x ；（C ）5

x ；（D ）2

3．直线2020x y z x y z -+=??

+-=?与平面1x y z ++=的位置关系是 C 。（A ）直线在平面内；（B ）平行；（C ）垂直；（D ）相交但不垂直。

4．设有三非零向量,,a b c 。若0, 0a b a c ?=?= ，则b c ?=

A 。（A ）0；（

B ）-1；（

C ）1；（

D ）3

二、填空题（每小题4分，共16分）

1．曲线ln y x =上一点P 的切线经过原点(0,0)，点P 的坐标为(,1)e 。

2．

20tan lim (1)x x x x x e →-=-13。 3．方程

610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。 4．曲线

2 y x =、1x =与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为5π

。

三、解下列各题（每小题6分，共30分）

1．已知2sin ()lim ()

t t x f x t →+∞-=，求()f x '。

解：22sin sin ()lim()t

t t x f x e t -→+∞-==

sin ()sin 2x f x e x -'=- 2．求不定积分1

[ln(ln )]ln x dx x +

?。

解:

[ln(ln )]ln(ln )ln ln x dx x dx dx x x +

=+???

ln(ln )ln ln x x dx dx x x =-+?

ln(ln )x x C =+

3．计算定积分1

241sin (1x x dx x -++?。

解：1

112

244111sin sin ((11x x x dx x dx x dx x x ---+=+++???

1(0

x dx -=+?

sin 2220

2sin cos x t

t tdt

π==?

8π

4．求不定积分1sin 1cos x

dx x ++?。

解：1sin 1sin 1cos 1cos 1cos x x

dx dx dx x x x +=++++???

21cos sec 221cos x d x dx x =-+??

tan ln |1cos |2x

x C

=-++

5．已知(ln )f x x '=，且(1)1f e =+，求()f x 。

解：令ln x t =，()t

f t e '=

()x

f x e C =+ (1)1f e =+，()1x

f x e =+

四、（8分）设()f x 对任意x 有(1)2()f x f x +=，且

(0)2f '=-

。求(1)f '。

解：由(1)2()f x f x +=，(1)2(0)f f =

1()(1)

(1)lim

1x f x f f x →-'=- 10(1)(1)lim x t t f t f t =+→+-=

02()2(0)

lim

t f t f t →-=

2(0)1f '==-

五、（8分）证明：当1x >时，22(1)ln (1)x x x ->-。

证明：只需证明(1)ln 1x x x +>-。

令()(1)ln 1f x x x x =+-+

1()ln 0f x x x '=+

>，()f x 在[1,)+∞单调递增。

(1)0f =，当1x >时，()0f x >。即22

(1)ln (1)x x x ->-。

六、（8分）

已知

220

()()()x

F x x t f t dt

''=-?，()f x ''连续，且当0x →时，()F x '与2

为等价无穷小量。求(0)f ''。

解： 20()lim 1x F x x →'=

22220

()()()()()x x x

F x x t f t dt x f t dt t f t dt

''''''=-=-??? 220

()2()()()2()x

F x x f t dt x f x x f x x f t dt

'''''''''=+-=??

22002()()lim lim 2(0)x

x x x f t dt F x f x x →→'''''==?

(0)2f ''=

七、（8分）

设有曲线2

4 (01)y x x =≤≤和直线 (04)y c c =<<。记它们与y 轴所围图形的面积为1A ，它们与直线1x =所围图形的面积为2A 。问c 为何值

时，可使12A A A =+最小？并求出A 的最小值。

解：

4120

(1c A A A dy

=+=+-?

()1A c '

令()10A c '=，得1c =。

1(1)02A ''=

>，1c =为最小值点。

401min (11A dy =+=?

八、设()f x 在(,)a b 内的点0x 处取得最大值，且|()| ()f x K a x b ''≤≤≤。

证明：|()||()|()f a f b K b a ''+≤-

证明：0()0f x '=

在0[,]a x 对()f x '应用拉格朗日定理

01010()()()() ()f x f a f x a a x ξξ''''-=-<< 100()()(), |()|() f a f a x f a K x a ξ''''=-≤-

在0[,]x b 对()f x '应用拉格朗日定理

02002()()()() ()f b f x f b x x b ξξ''''-=-<<

200()()(), |()|() f b f b x f b K b x ξ''''=-≤-

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

1、

)1ln(2)(;)1ln(2)(;)1ln()()1ln()(,d 1

c e x D c x e C c e B c e A I x e e I x x x x x x ++-+-++++-=

+-=? 则设

答( )

2、

lim ()()()()n n n n n

e e e

e A B e C e D e →∞

-??=

1212

1 答（） 3、

)

()1()1()()1(1)()1)(1()1()()1)(1(1)()10)(()(11

)(1

121

111 答式中格朗日型余项阶麦克劳林展开式的拉的++++++++θ--θ-θ-+-θ-+<θ<=-=

n n n n n n n n n n n x

x D x x C x

x n B x x n A x R n x

x f

4、

)()()()()()()()()(0

, 2cos 1)

(lim

,0)0(,0)(0 答的驻点但不是极值点　是的驻点不是的极小值点　是的极大值点是则点且的某邻域内连续在设x f D x f C x f B x f A x x

x f f x x f x ==-==→

5、

13)(49)(94)(421)()1(2)4,0(422002　

图形的面积所围成的平面与曲线处的切线上点曲线D C B A A x y T M M x x y =

-=+-=

答( )

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)

1、设　，则＿＿＿＿

y x x y =++'=ln tan()11

、

并相应求得下

选内的近似根时，在用切线法求方程023,)01(0152x x x x -=--- __________________ 101 分别为，则一个近似值x x x

3、设空间两直线λ1

2111-=+=-z y x 与x y z +=-=11相交于一点，则λ=????? 。

4、. ___________0 , 001

sin )(2==???

??=≠-+=a x x a x x

e x x

f ax 处连续，则在，当，当

5、是实数．

，其中b dx x b

_________________ 0

三、解答下列各题 ( 本大题4分 )

设平面π与两个向量 a i j =+3和 b i j k =+-4平行，证明：向量 c i j k =--26与平面π垂直。

四、解答下列各题 ( 本大题8分 )

的敛散性．讨论积分?

p x dx

五、解答下列各题 ( 本大题11分 )

为自然数。

其中的递推公式导出计算积分n x x

x I n

n ,1

d 2

六、解答下列各题

( 本大题4分 )

求过P 0423(,,)-与平面π:x y z ++-=100平行且与直线??

?=-=--+0100

52:1z z y x l 垂

直的直线方程。

七、解答下列各题 ( 本大题6分 )

x x x

x x x tan 2cos sin 1lim

-+→计算极限

八、解答下列各题 ( 本大题7分 )

．

，并计算积分为自然数的递推公式试求??=e

e n

n dx x n dx x I 1

)(ln )()(ln

九、解答下列各题 ( 本大题8分 ) 设在内可微但无界，试证明在内无界。f x a b f x a b ()(,),()(,)'

十、解答下列各题 ( 本大题5分 )

[])

()(lim , )()(lim )(lim 0000

u f x f u f u f u x x x u u x x =?==?→→→证明：，设。

十一、解答下列各题 ( 本大题4分 ) 体的高求体积最大的内接圆柱的球内在半径为,R

十二、解答下列各题 ( 本大题5分 )

重量为p 的重物用绳索挂在A B ,两个钉子上，如图。设cos ,cos αβ=

=12134

5，求A B

,所受的拉力f f 12,。

十三、解答下列各题

( 本大题6分 )

一质点沿抛物线运动其横坐标随着时间的变化规律为的单位是秒的单位是米求该质点的纵坐标在点，处的变化速率．

,(),(,),()y x x t x t t t x M =-=1086

十四、解答下列各题 ( 本大题7分 )

;

)1.(,02,2求这个平面图形的面积围成一平面图形及设曲线=-==

y y x y x .)2(积轴旋转而成的立体的体求此平面图形绕x

、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

1、C

2、答：B

3、C 10分

4、（Ｂ）

5、C

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)

1、()sec ()(tan())

111212

+++x

x x x x

10分

2、x 00=

5分 x 11

5=-

10分

(完整word版)大一高数练习题

1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是同阶无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f .

9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续;

大一高等数学复习题含答案

复习题一、单项选择题： 1、5 lg 1 )(-= x x f 的定义域是（ D ） A 、()),5(5,+∞∞-Y B 、()),6(6,+∞∞-Y C 、()),4(4,+∞∞-Y D 、())5,4(4,Y ∞-Y ()),6(6,5+∞Y 2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2 )的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、]2,2[- D 、]2,1[]1,2[Y -- 3、函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ) A 、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数，非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2 )=lg1=0 4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1 x f （ C ） A 、21x - B 、21x -- C 、)01(12≤≤--x x D 、)01(12≤≤---x x 5、下列数列收敛的是（ C ） A 、1)1()(1 +-=+n n n f n B 、?????-+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,11 )( C 、?????+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1 )( D 、???????-+=为偶数为奇数n n n f n n n n ,2 21,221)( 解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设1 111.0个n n y Λ=，则当∞→n 时，该数列（ C ） A 、收敛于0.1 B 、收敛于0.2 C 、收敛于 9 1 D 、发散解：)10 11(91101101101111.02n n n y -=+++= =ΛΛ 7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ．　求，，设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

大学高等数学期末考试题及答案详解(计算题)

大学数学期末高等数学试卷（计算题）一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ．求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求二、解答下列各题

大一高等数学试题及答案

期末总复习题一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为发散。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系（ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是（ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ）

A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是（ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为（ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为（ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的（ B ） A 、充要条件 B 、必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7

高数2-期末试题及答案

北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案）适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12）因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛二.解答下列各题（每小题6分，共36分）

同济大学大一高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷考试形式：闭卷考试时间：120 分钟适用层次：适用专业；阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）． A ．条件收敛 B ．绝对收敛 C ．发散 D ．敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

大学高等数学高数期末考试试卷及答案

大学高等数学高数期末考试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e

大一高数同济版期末考试题(精) - 副本

高等数学上（1）一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ．　求，，设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x

大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小；（C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。，在处连续。 13.解：，四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且，将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明：故有：证毕。

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

高等数学(大一)题库

（一）函数、极限、连续一、选择题： 1、在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A) ;1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y 2、当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( ) （A ）无穷大量（B ）无穷小量（C ）无界函数（D ）有界函数 3、当x →1时，31)(,11)(x x x x x f -=+-= ?都是无穷小，则f (x )是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小（B ）低阶无穷小（C ）同阶无穷小（D ）等阶无穷小 4、 x =0是函数 1 ()arctan f x x =的( ) （A ）可去间断点（B ）跳跃间断点；（C ）振荡间断点（D ）无穷间断点 5、下列的正确结论是（）（A ）)(lim x f x x →若存在，则f (x )有界；（B ）若在 0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0 x g x x →),(lim 0 x h x x →都存在，则),(lim 0 x f x x →也存在；（C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根; （D ）当∞→x 时，x x x x x a sin )(,1) (== β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题： 1、若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1 则f (x )的表达式为 ; 2、已知数列n x n 1014- =的极限是4, 对于,101 1=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214 lim 1 x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、设 ,)(a x a x x f --=则x =a 是f (x )的第类间断点; 5、 ,0 , ; 0, )(,sin )(?? ?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ；三、计算题: 1、计算下列各式极限：（1）x x x x sin 2cos 1lim 0-→；（2）x x x x -+→11ln 1lim 0；

大学高数期末考试题及答案

第一学期高等数学期末考试试卷答案一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）， 1．求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→．解： ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x ． 2．设0→x 时，()x f 与2 2 x 是等价无穷小， ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，求常数k 与A ．解：由于当0→x 时， ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f ．而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6 1 ,1==A k ． 3．如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件．解：

高等数学学期期末考试题(含答案全)

05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为

大一上学期(第一学期)高数期末考试题

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()() x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 221 n n n n n n ππ ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 20 32z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z += 所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)

高数期末考试题

华东理工大学2008–2009学年第一学期《高等数学(上)11学分》期末考试试卷 2009.1 B 开课学院：_理学院_ ，考试形式：_闭卷_，所需时间： 120 分钟考生姓名：学号：班级：任课老师：注意：本试卷共三大张，七大题一、（本题8分）求2 2 sin 2d 3sin 4cos x x x x +? 二、 (本题8分) 求sin 3 (cos ) 1 lim x x x x →-

三（本题8分）判别级数 12! n n n n n ∞ = ∑的敛散性. 四、(本题8分) 求1 d. x x ?

五．填空题.(每小题4分，共40分) 1、设3 (cos ) ()a x b x f x x ++=有可去间断点0,x =则__________.b = 2、设()f x 在0x 的某邻域内有(1)n -阶导数,在0x 处有n 阶导数 (1) 000 '()''()()0,n f x f x f x -==== 则0 00()()lim ____________.() n x x f x f x x x →-=- 3、设sin ()cos(sin )x y x e x π=?，则0 ___________.x dy == 4、 2 cos sin ___________.x xdx π π - =? 5、设cos ,sinx y x x =+则'()___________.y π= 6、设曲线方程为22 2sin x t sin t y t t ?=++?=+?,则此曲线在(2,0)处的切线方程为 ____________.y = 7、设 0 2 ()0()0 x tf t dt x F x x a x ??≠=?? =??，　，，其中()f x 是连续函数，且(0)1,f =则当()F x 在 0x =处连续时，___________.a = 8 、函数ln y =x 的幂级数。 9、计算sin y x =在2 x π =处的曲率为。 10、幂级数() 2 1n n x n n ∞ =-∑ 在收敛区间(1,1)-上的和函数。

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高数2-期末试题及答案

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