2010年福建省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2010?福建）若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于（）A．{x|2＜x≤3} B．{x|x≥1} C．{x|2≤x＜3} D．{x|x＞2}
【考点】交集及其运算．
【分析】结合数轴直接求解．
【解答】解：如图，
故选A．
【点评】本题考查集合的交运算，属容易题，注意结合数轴，注意等号．
2．（5分）（2010?福建）计算1﹣2sin222.5°的结果等于（）
A．B．C．D．
【考点】二倍角的余弦．
【专题】三角函数的求值．
【分析】利用二倍角公式把要求的式子化为cos45°，从而可得结果．
【解答】解：由二倍角公式可得1﹣2sin222.5°=cos（2×22.5°）=cos45°=，
故选B．
【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．
3．（5分）（2010?福建）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积等于（）
A．B．2 C．2D．6
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力．由图可知，棱柱的底面边为2，高为1，代入柱体体积公式易得答案．
【解答】解：由正视图知：
三棱柱是以底面边长为2，
高为1的正三棱柱，
∴底面是边长为2的等边三角形，故底面积S==，
侧面积为3×2×1=6，
故选D．
【点评】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：
如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；
如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；
如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；
如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；
如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．
如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．
如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．
4．（5分）（2010?福建）i是虚数单位，等于（）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】复数的分子、分母化简，可得结果．
【解答】解：=，
故选C．
【点评】本题考查复数的基本运算，考查计算能力．
5．（5分）（2010?福建）设x，y∈R且，则z=x+2y的最小值等于（）
A．2 B．3 C．5 D．9
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】压轴题．
【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件
，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．
【解答】解：约束条件，对应的平面区域如下图示：
当直线Z=x+2y过点（1，1）时，z=x+2y取最小值3，
故选B．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
6．（5分）（2010?福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】程序框图．
【专题】图表型．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S的值，并输出满足条件S＞11时，变量i的值．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a S i 是否继续循环
循环前/0 1/
第一圈 2 2 2 是
第二圈8 10 3 是
第三圈24 34 4 否
此时i值为4
故选C
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
7．（5分）（2010?福建）函数的零点个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】分段解方程，直接求出该函数的所有零点．由所得的个数选出正确选项．
【解答】解：当x≤0时，令x2+2x﹣3=0解得x=﹣3；
当x＞0时，令﹣2+lnx=0解得x=100，所以已知函数有两个零点，
故选：B．
【点评】本题考查函数零点的概念，以及数形结合解决问题的方法，只要画出该函数的图象不难解答此题．
8．（5分）（2010?福建）若向量=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“||=5”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】向量的模．
【分析】当x=4时能够推出|a|=5成立，反之不成立，所以是充分不必要条件．
【解答】解：由x=4得=（4，3），所以||=5成立
反之，由||=5可得x=±4 所以x=4不一定成立．
故选A．
【点评】本题考查平面向量和常用逻辑用语等基础知识．
9．（5分）（2010?福建）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）
A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92
【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．
【专题】图表型．
【分析】根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果．
【解答】解：由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，
所以其中位数为=91.5，
平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，
故选A．
【点评】本题考查茎叶图的基础知识，考查同学们的识图能力，考查中位数与平均数的求法．在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
10．（5分）（2010?福建）将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位．若所得图
象与原图象重合，则ω的值不可能等于（）
A．4 B．6 C．8 D．12
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题．
【分析】由题意将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，说明是函数周期的整数倍，求出ω与k，的关系，然后判断选项．
【解答】解：因为将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位．
若所得图象与原图象重合，所以是已知函数周期的整数倍，即k?=（k∈Z），
解得ω=4k（k∈Z），A，C，D正确．
故选B．
【点评】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识，是已知函数周期的整数倍，是本题解题关键．
11．（5分）（2010?福建）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭
圆上的任意一点，则的最大值为（）
A．2 B．3 C．6 D．8
【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．
【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得
，
因为，，
所以=，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，
因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，
故选C．
【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．
12．（5分）（2010?福建）设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤n≤1；③若n=，则﹣≤m≤0．其中
正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性．
【专题】集合．
【分析】根据题中条件：“当x∈S时，有x2∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，得，②，则对于③若，则，最后解出不等式，根据
解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．
【解答】解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S知，符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证m∈S时，有m2∈S即m2≥m，符合条件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证n∈S时，有n2∈S即n2≤n，正对各个命题进行判断：
对于①m=1，m2=1∈S故必有可得n=1，S={1}，
②m=﹣，m2=∈S则解之可得≤n≤1；
对于③若n=，则解之可得﹣≤m≤0，
所以正确命题有3个．
故选D
【点评】本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2010?福建）若双曲线﹣=1（b＞0）的渐近线方程式为y=，则b
等于1．
【考点】双曲线的简单性质；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题．
【分析】根据双曲线的性质求得渐近线方程的表达式求得b．
【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程为y=±，又双曲线的渐近线方程式为y=，
∴，解得b=1．
故答案为1
【点评】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题．
14．（4分）（2010?福建）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．
【考点】频率分布直方图．
【专题】计算题．
【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．
【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，
则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，
解得，
所以前三组数据的频率分别是，
故前三组数据的频数之和等于=27，
解得n=60．
故答案为60．
【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．
15．（4分）（2010?福建）对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是②③（写出所有凸集相应图形的序号）．
【考点】元素与集合关系的判断．
【专题】新定义；集合．
【分析】由凸集的定义，可取一些线段试一下，若有不在图形内部的点即可排除．
【解答】解：①中取最左边的点和最右边的点的连线，不在集合中，故不为凸集；
④中取两圆的公切线，不在集合中，故不为凸集；②③显然符合．
故答案为：②③．
【点评】本题为新定义题，正确理解定义是解决问题的关键，难度不大．
16．（4分）（2010?福建）观察下列等式：
①cos2α=2cos2α﹣1；
②cos4α=8cos4α﹣8cos2α+1；
③cos6α=32cos6α﹣48cos4α+18cos2α﹣1；
④cos8α=128cos8α﹣256cos6α+160cos4α﹣32cos2α+1；
⑤cos10α=mcos10α﹣1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α﹣1；
可以推测，m﹣n+p=962．
【考点】类比推理．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等．观察等式左边的α的系数，等式右边m，n，p的变化趋势，我们不难归纳出三个数的变化规律，进而得到结论．
【解答】解：因为2=21，8=23，32=25，…，128=27
所以m=29=512；
每一行倒数第二项正负交替出现，1×2，﹣2×4，3×6，﹣4×8，5×10，可推算出p=50，然后根据每行的系数和都为1，可得n=﹣400．
所以m﹣n+p=962．
故答案为：962．
【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2010?福建）数列{a n}中，a1=，前n项和S n满足S n+1﹣S n=（）n+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n以及前n项和S n；
（Ⅱ）若S1，t（S1+S2），3（S2+S3）成等差数列，求实数t的值．
【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差关系的确定．
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）根据a n+1=S n+1﹣S n求得a n+1进而根据a1求得数列{a n}的通项公式，根据等比数列的求和公式求得前n项的和．
（Ⅱ）根据求得（1）的前n项和的公式，求得S1，S2，S3，进而根据等差中项的性质求得t．
【解答】解：（Ⅰ）由S n+1﹣S n=（）n+1得（n∈N*）；
又，故（n∈N*）
从而（n∈N*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，．
从而由S1，t（S1+S2），3（S2+S3）成等差数列可得：，
解得t=2．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式．属基础题．
18．（12分）（2010?福建）设平面向量=（m，1），=（2，n），其中m，n∈{1，2，3，4}．（Ⅰ）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；
（Ⅱ）记“使得m⊥（m﹣n）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；计数原理的应用．
【专题】计算题．
【分析】（I）按照第一个数字从小变大的顺序，列举出所有的事件，共有16种结果．（II）根据向量垂直的充要条件，列出关于m，n的关系式．把关系式整理成最简单的形式，根据所给的集合中的元素，列举出所有满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：（I）有序数对（m，n）的所有可能结果是：
（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）
（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）共有16个，
（II）∵m⊥（m﹣n），
∴m2﹣2m+1﹣n=0，
∴n=（m﹣1）2
∵m，n都是集合{1，2，3，4}的元素．
∴事件A包含的基本事件为（2，1）和（3，4），共有2个，
又基本事件数是16，
∴所求的概率是P==
【点评】本题主要考查概率古典概型，考查向量垂直的充要条件，考查运算求解能力、应用意识，是一个比较好的题目，这种题目值得同学们仔细研究．不要没有规律的胡乱写出来，防止漏掉．
19．（12分）（2010?福建）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．
（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．【解答】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y2=2px，
得4=2p，p=2
∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=﹣1
（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，
由得y2+2y﹣2t=0，
∵直线l与抛物线有公共点，
∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣
又∵直线OA与L的距离d==，求得t=±1
∵t≥﹣
∴t=1
∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=0
【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．
20．（12分）（2010?福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G
（Ⅰ）证明：AD∥平面EFGH
（Ⅱ）设AB=2AA1=2a，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE﹣D1DCGH内的概率为p，当点E、F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EF=a 时，求p的最小值．
【考点】直线与平面平行的判定；几何概型．
【专题】综合题；空间位置关系与距离；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）证明AD∥平面EFGH，只需证明AD∥EH；
（Ⅱ）根据几何槪型的概率公式，结合基本不等式求出取自于几何体A1ABFE﹣D1DCGH
内的概率为p的最小值，即可求出概率．
【解答】（Ⅰ）证明：∵AD∥A1D1，EH∥A1D1，
∴AD∥EH，
∵AD?平面EFGH，EH?平面EFGH
∴AD∥平面EFGH；
（Ⅱ）解：根据几何槪型的概率公式可知，点取自于几何体A1ABFE﹣D1DCGH内的概率为P=，
∴若p最小，则只需几何体A1ABFE﹣D1DCGH的体积最小，即五边形A1ABFE的面积最小，等价为三角形EFB1的面积最大，
∵EF=a，
∴=a2，
则S△B1EF=≤（B1E2+B1F2）=，当且仅当B1F=B1E时取等号，
此时五边形A1ABFE的面积最小为2a2﹣=，
则取自于几何体A1ABFE﹣D1DCGH内的概率为P==．
【点评】本题主要考查线面平行，考查几何槪型的概率计算，根据体积槪型结合基本不等式求出最值是解决本题的关键．
21．（12分）（2010?福建）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（Ⅲ）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）先假设相遇时小艇的航行距离为S，根据余弦定理可得到关系式
S=整理后运用二次函数的性质可确定答
案．
（2）先假设小艇与轮船在某处相遇，根据余弦定理可得到（vt）2=202+（30t）2﹣2?20?30t?cos （90°﹣30°），再由t的范围可求得v的最小值．
（3）根据（2）中v与t的关系式，设然后代入关系式整理成400u2﹣600u+900﹣v2=0，
将问题等价于方程有两个不等正根的问题，进而得解．
【解答】解：（1）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则
S=
==
故当t=时，，v=
即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
（2）设小艇与轮船在某处相遇
由题意可得：（vt）2=202+（30t）2﹣2?20?30t?cos（90°﹣30°）
化简得：=400
由于0＜t，即
所以当时，v取得最小值10
即小艇航行速度的最小值为10海里/小时
（3）由（2）知：，设（u＞0）
于是400u2﹣600u+900﹣v2=0①
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程①应有两个不等正根，即
，解得15＜v＜30
所以，v 的取值范围是（15，30）
【点评】本题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力，抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归思想．
22．（14分）（2010?福建）中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门对全市3万名高中生的视力状况进行一次抽样调查统计，所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图，从左至右五个小组的频率之比依次是2：4：9：7：3，第五小组的频数是36．（1）本次调查共抽测了300名学生；
（2）本次调查抽测的数据的中位数应在第三小组；
（3）如果视力在4.9﹣5.1（含4.9、5.1）均属正常，那么全市高中生视力正常的约有8400人．
【考点】频率分布直方图．
【专题】图表型．
【分析】（1）先求出每一份有多少人，36÷3=12（人），然后求出总人数12×（2+4+9+7+3）=300（人）；
（2）根据中位数的定义，第150和第151个同学视力的平均数是这组数据的中位数，通过计算落在第三小组；
（3）先算出300人中视力正常的有多少人，再计算全市高中生视力正常的约有多少人．【解答】解：（1）36÷=300（名）
答：本次调查共抽测了300名学生．
（2）中位数在第三小组；
∵这300个数据的中位数是从小到大排列后的第150和第151个数的平均数，而第150和第151个数位于第三小组
∴中位数在第三小组．
（3）∵视力在4.9﹣5.1范围内的人有84人，×30000=8400（人）
答：全市高中生视力正常的约有8400人．
故答案为：300；三；8400．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．