第二章 状态空间法
现代控制理论的研究方法是状态空间法。现代控制理论的分析与设计方法以及整个的理论体系都是建立在状态空间法的基础上。
本章介绍状态空间法的基本内容。
第一节 概述
一、状态空间法的提出
在经典控制理论中，常采用传递函数作为系统的数学模型，如图2-1（a ）所示。传递函数)(s G 表达的是系统单输入u 与单输出y 之间的关系，它消除了中间变量，未提供系统的内部状态的必要信息，描述的只是系统的端部特性。但是具有相同端部特性的系统，其结构特性可并非总是一样的，只知端部特性也不能充分了解一个系统的运动状况。因此，用传递函数作为系统的描述有时是不完整的，对掌握系统的全体性质往往也是不够的。
图2-1 传递函数法与状态空间法的比较 (a)传递函数法 (b)状态空间法
现代控制理论研究高阶的复杂的多输入－多输出系统，如图2-1（b ）所示，将多输入r u u u ,,,21 与多输出m y y y ,,,21 之间的信号传递关系，
分成动态部分与测量部分两个部分。动态部分揭示了系统的内部状态n x x x ,,,21 的变化；而测量部分则给出了系统状态
n x x x ,,,21 与输出m y y y ,,,21 之间信号静态传递关系。可以将系统的微分方程归结为一
阶线性微分方程组，这种方程及其解的形式简单、直观，便于采用矩阵方法及计算机进行分
析、设计，便于进行实时控制，这就是状态空间法的基本思想。
显然，状态空间法不仅可以表示系统多输入和多输出之间的外部关系，还能表示出系统内部全部状态和特性；系统输入与状态，状态与输出的关系可以用简单的矩阵方程来表示，不会因系统输入、输出数目的增多而增加其形式上的复杂性；便于用计算机进行分析、设计与实时控制。因此状态空间法是一种更全面描述系统特性的较好的方法。
二、几个术语
下面对状态空间法中常用的几个术语下定义。
1、状态
系统的状态就是指系统的过去、现在和将来的状况。当系统的所有外部输入已知时，为确定系统未来运动所必要与充分的信息的集合叫做系统的状态。
我们知道，系统在0t t ≥的状态，由0t 时的状态和0t t ≥时的输入唯一确定，而与0t 时刻以前的状态和输出无关。因此系统的状态也就是指能够完全描述系统的一个最少变量组。这里的“完全”表示反映系统的全部状况；“最少”表示确定系统的状况无多余信息。
2、状态变量
状态变量是指完全描述系统行为的最少变量组中的每一个变量。例如，
)(,),(),(21t x t x t x n 构成的变量组可以完全描述系统的行为，则其中的每一个变量)(t x i
)~1(n i =便是一个状态变量。状态变量一般是时间的函数。
对于一个系统来说，状态变量的选取不是唯一的，应根据具体情况来确定，但在实用中，多选择容易测量的量作为状态变量。在液压系统和机械系统中常采用系统中各点的流量、压力、位移、速度、加速度以及它们的导数作为状态变量；在电学系统中，常以电压、电流、电荷、磁通等以及它们的导数来作为状态变量。从物理上解释，系统的状态变量的个数仅等于系统包含的独立储能元件的个数，因此一个n 阶系统仅有n 个状态变量可以选择，状态变量之间最大线性无关组即为完全描述系统行为的最少变量组。
3、状态向量
以系统的一组状态变量)(,),(),(21t x t x t x n 为分量所构成的向量)(t X 称为状态向量。记为
[]T
21)(,),(),()(t x t x t x t n =X
当给定了0t t ≥的输入)(t u 和起始时刻的状态)(0t X ，则状态向量)(t X 就能唯一地确定任何0t t ≥时系统的状态。
4、状态空间
把n 个状态变量分别作为n 维空间的坐标轴，则此空间称为n 维状态空间。系统的任一状态可以用状态空间的一个点来表示。
5、控制系统的三种类型变量
图2-2为现代控制理论研究的控制系统，其中的变量可分为三种类型：输入变量，输出变量和状态变量。
图2-2 控制系统的三种类型变量
输入变量)(,),(),(21t u t u t u r 是给系统的行为予以不同的影响；输出变量
)(,),(),(21t y t y t y m 与控制系统的要求直接有关；状态变量)(,),(),(21t x t x t x n 则反映了
系统内部的时域特性且和输入、输出变量相关联。只要弄清楚这三个变量的变化及其相互关系，就可以掌握系统的各种特性。
需要注意的是，系统的输出变量和输入变量是两个完全不同的概念。输出变量可以是某个状态变量，但状态变量是描述系统行为的信息，而输出变量是人们希望从系统中获得的响应。
第二节 系统的状态空间表达式
一、状态方程和输出方程的概念
为了分析动态系统的运动，首先需要建立系统的微分方程。对于经典控制理论需要从系统的微分方程出发，建立输入和输出之间的传递函数；同样，对于现代控制理论也要从系统的微分方程出发，建立输入与状态及状态与输出之间的状态空间表达式，即建立系统的状态方程和输出方程。这是对系统进行研究所必需的一步。
由状态变量的定义可知，系统在某时刻t 的状态是由0t t =时刻的初始状态向量)(0t X 和0t 到t 时刻加在系统上的输入向量),(0t t U 所唯一确定，于是可写出系统的状态方程
)},(),({)(00t t t F t U X X = （2-1）
式中，)(0t X 为初始状态向量，T
002010)](,),(),([)(t x t x t x t n =X ；
),(0t t U 为从0t 到t 的输入向量，T
002010)],(,),,(),,([),(t t u t t u t t u t t r =U ；
{}F 表示一个单值向量函数。
类似地可以写出在t 时刻的输出向量T
21)](,),(),([)(t y t y t y t m =Y 与输入向量及状
态向量的关系，即系统的输出方程
)},(),({)(00t t t G t U X Y = （2-2）
式中，{}G 也表示一个单值向量函数。
在一般情况下，控制系统的状态变量在暂态过程中是随时间变化的。因此描述系统状
态的方程不是代数方程而应是微分方程，所以状态方程和输出方程常分别表示如下
)](),([)(t t F t U X X = （2-3）
)](),([)(t t G t U X Y = （2-4） 若所论系统是线性时变系统，则其状态方程和输出方程将变为如下线性变系数矩阵微分方程
)()()()()(t t t t t U B X A X += （2-5）
)()()()()(t t t t t U D X C Y += （2-6） 式中，)(t A 是n n ?阶矩阵，称为系统矩阵；)(t B 是r n ?阶矩阵，称为控制矩阵或输入矩阵；)(t C 是n m ?阶矩阵，称为输出矩阵；)(t D 是r m ?阶矩阵，称为直达矩阵；这些矩阵中的各元素是时间的函数。状态方程式（2-5）和输出方程式（2-6）可用图2-3所示的方块图来表示。在方块图中的方框内是矩阵符号或积分符号，各方框的输入和输出箭头上标明了相应的各种变量。
图2-3系统的方块图
当所论线性系统的特性不随时间变化时，则此线性定常系统的状态方程和输出方程将变成常系数矩阵微分方程和代数矩阵方程，即
)()()(t t t BU AX X += （2-7）
)()()(t t t DU CX Y += （2-8） 式中，D C B A ,,,分别为n n ?，r n ?，n m ?及r m ?阶常数矩阵。
从以上的表达式可知：系统的状态方程是表示系统构造和性质的微分方程式，而输出
方程则只是一种变量的变换式。不论系统是简单还是复杂，状态方程和输出方程的形式都是完全标准化的，只是D C B A ,,,矩阵的结构和内容不同而已。
为了加深对系统状态空间描述的理解，下面介绍两个实例。
在图2-4所示的网络中，若已知电路中的初始电流)(0t i L 和电容上的初始电压)(0t u c 则网络在任意时刻的状态都能唯一地被确定，故)(0t i L 和)(0t u c 可作为这一系统在0t 时刻的状态。由电学理论可知，在控制电压)(t u 的作用下，只需要知道L i 和c u 就能够完全描述图2-4所示网络的行为，L i 、c u 就可作为此系统的状态变量，当然也可以选择R u 和c u 作为状态变量。由此可见，状态变量不是唯一的，但应该指出，同一系统的一组状态变量必为另一组状态变量的线性组合。
图2-4 RLC 网络
当选择L i 和c u 作为状态变量时，图2-4所示的系统的运动微分方程为
u u t
u RC
t
u LC c c c =++d d d d 22
（2-9）
令 t
u C
i x c L d d 1== ，c u x =2
则可将式（2-9）写为
u x Rx x
L =++211 整理后得
u L
x L x L R x 11211+
-
-= （2-10）
121x C x
= （2-11）
因此，就把一个二阶微分方程变成了关于两个状态变量L i x =1和c u x =2的两个一阶微分方程，方程式（2-10）和式（2-11）可以合并为矩阵的形式，即
u L x x C
L L R
x x ????????+??????????
?
?
????-
-=??????010112121 （2-12） 这一方程称为系统的状态方程。
系统的输出为
2x u y c == 也可以写成矩阵的形式
[]??
?
???=2110
x x y （2-13） 这个方程称为系统的输出方程，它与系统的状态方程一起称为系统的状态空间描述式，它们完全可以描述系统。
系统的状态方程式（2-12）和输出方程式（2-13）一般都表示为如下简单的矩阵形式
u B AX X += （2-14）
CX Y = （2-15） 式中，
[]22121,10,01,01
1,,x L C L L R
x x x x ==???
?????=????
??????--=??????=??????=Y C B A X X 。 作为机械系统的例子，下面来求图2-5所示的具有被动悬挂的单自由度汽车的状态方
程。
由牛顿第二定律可建立车体的运动微分方程
图2-5 单自由度汽车模型
)()(00x x C x x K x m ----= )()(00x x m
C x x m
K x
-+
-= （2-16）
选择车体的绝对速度x
和相对位移x x -0为状态变量，并令 00201,,v x x
x x x x ==-= 则 0201v x x x x +-=-= （2-17）
因此式（2-16）可以写成
2012x m
C x
m C x m K x
-+
= （2-18）
由式（2-17）和式（2-18）可得 02121/110v m C x x m C m
K
x x
???
??
?+??????????????--=?????? 这就是所求的状态方程。
写成矩阵形式，状态方程为
u B AX X
+= 式中，???
???=21x x X ，0,/1,10v u m C m C m K
=???
???=???
?????--=B A 。
若选车身速度x
为输出变量，则输出方程为 2x x
y == 写成矩阵形式，输出方程为
CX Y =
式中，[]2,10
x ==Y C 。
通过以上对状态空间描述的初步认识，可总结出如下几点：
（1）状态空间描述考虑了“输入－状态－输出”这一过程，其中它考虑了被经典控制理论的输入－输出描述所忽略的状态，因此它揭示了问题的本质，即输入引起状态的变化，而状态决定了输出。
（2）输入引起的状态变化是一个运动过程，数学上表现为矩阵微分方程，即状态方程。状态决定输出是一个变换过程，数学上表现为矩阵代数方程，即输出方程。
（3）系统的状态变量不一定是物理上可测量或可观测的量，但从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观测的量更为合适。
（4）对于给定的系统，状态变量的选择不是唯一的。如果X 是系统的一个状态向量，
只要矩阵P 是非奇异的，那么X P X
1?-=也是一个状态向量。 （5）对于结构和参数已知的系统，建立状态方程的步骤是：首先选择状态变量，其次根据物理或其它方面的机理或定律写出微分方程，并将其化为状态变量的一阶微分方程组，
最后将一阶微分方程组化为向量矩阵形式即得状态空间描述。对于结构和参数未知的系统，通常只能通过辨识的途径建立状态方程。
（6）系统的状态空间描述是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机来计算。
二、状态空间表达式的建立
众所周知，一般系统的动态行为常可用系统的运动微分方程式来表示，而系统的运动微分方程式又可以根据系统的物理本质来写出。在力学和其它学科中已对如何建立系统的运动微分方程式作了比较详尽的讨论，在此只介绍如何根据系统的运动微分方程来写出系统状态空间表达式的问题。
（一）微分方程式作用函数不含导数的情况 1、单输入－单输出系统
在单输入u 作用下，n 阶系统的常微分方程为
u b y a y a y a y a y n n n n n 001)
2(2)1(1)(=+++++---- （2-19）
式中u 和y 是系统的输入变量和输出变量。根据常微分方程理论，若知道0=t 时的)0(y ，
)0(,),0()1(-n y y
和0≥t 时的输入)(t u ，就可以完全确定系统的未来行为，因此可选择)(t y ，)(,),()1(t y t y
n - 为n 个状态变量，即可令 )()(1t y t x =
)()(2t y
t x = )()()1(t y t x n n -= 于是方程式（2-19）可以改写为n 个一阶微分方程组 21x x
= 32x x
= （2-20）
n n x x
=-1 u b x a x a x a x
n n n 012110+----=- 引入状态向量X 及其微分
?
?
??
?
???????=n x x
x
21X
????????????=n x x x 21X 则可由式（2-20）写出系统的状态方程及输出方程
u B AX X += （2-21）
CX =y （2-22） 式中，
1012
1
0000,10000
1
00010
??-??
?
???
??
??
?????????
?=??
??????????????----=n n n n b a a a a
B A （2-23）
[]n ?=1001
C （2-24）
注意一下A 矩阵的特点：①它是一个n n ?阶方阵，它的维数正好就是微分方程的阶数；
②它的最后一行的元素正好就是微分方程中对应的系数，只是在前面加了一个负号，它的主对角线上方的元素都是1，其余的元素均是零。在现代控制理论中，把这种形式的矩阵称为“友矩阵”。
从上面的方程可以看出，一个n 阶常微分方程，当选择输出函数)(t y 及1～)1(-n 阶导数为n 个状态变量后，便可得到n 个一阶微分方程，从而组成一个n 维状态方程。
状态方程和输出方程可直观而清晰地用状态方块图来表示，如图2-6所示。
图2-6 状态方块图
【例2-1】设系统的微分方程式为
u y y y
y 67416=+++ 试求此系统的状态方程和输出方程。
【解】此系统的输出变量和输入变量为y 和u 。选择y 及其1、2阶导数为状态变量：
)()(),()(),()(321t y t x t y t x t y t x ===，由式（2-21）、式（2-22）、式（2-23）、式（2-24）
可写出此系统的状态方程和输出方程
u x x x x x
x
????
?
?????+????????????????????---=??????????600641
7
100010321321 []????
?
?????=32100
1
x x x y 2、多输入－多输出系统
设多输入－多输出系统的输入向量、输出向量和状态向量分别为 []T
2
1
r u u u
=U ，[]T
2
1
m y y y
=Y ，[]T
2
1
n x x x
=X
状态方程可用如下方程组表示
r r n n u b u b u b x a x a x a x
121211112121111+++++++= r r n n u b u b u b x a x a x a x
222212122221212+++++++= …………
r nr n n n nn n n n u b u b u b x a x a x a x
+++++++= 22112211 输出方程为
r r n n u d u d u d x c x c x c y 121211112121111+++++++= r r n n u d u d u d x c x c x c y 222212122221212+++++++=
…………
r mr m m n mn m m m u d u d u d x c x c x c y +++++++= 22112211 式中，ij ij ij ij d c b a ,,,分别为常数或时间函数。
引入矩阵记号，得多输入－多输出系统的状态方程和输出方程为
BU AX X
+= DU CX Y +=
式中，
,,2122221
11211
212222111211r
n nr n n r
r n
n nn n n n n b b b b b b
b b b a a a a a a a a a ??????????????=??
??????????=
B A r
m mr m m r
r n
m mn m m n n d d d d d d d d d c c c c c c c c c ????????
???
???=??
???????
???= 2
1
22221
11211
2
1
22221
11211,D C 矩阵D C B A ,,,确定了系统的状态空间表达式，可用),,,(D C B A 表示一个确定的系统。 【例2-2】图2-7表示了一个由阻尼器、弹簧、质量块组成的机械位移系统。图中m 为质量块的质量，R 为阻尼器系数，K 为弹簧的弹性系数，0F 为作用在质量块左边的外力，1F 为作用在质量块右边的弹簧力与阻尼力的合力，210,,v v v 为图中对应点的速度。设系统的输入为0F 与0v ，输出为质量块的位移1x 、速度1x 及加速度1x 。求此二输入－三输出系
统的状态空间表达式。
图2-7 机械位移系统图
【解】机械位移系统的微分方程式为
101F F x m -=
)(0111v v R Kx F -+=
设系统的状态变量1x 为质量块的位移，12x
x =为质量块的速度。系统的输入变量0201,v u F u ==；系统的输出变量为232211,,x
y x y x y ===。由以上关系可得 21212Ru u Rx Kx x
m ++--= 从而可得系统的状态方程为
21x x
=
212121u m
R u m
x m
R x m
K x
+
+
-
-=
输出方程为
11x y = 22x y =
==23x
y 21211u m R u m x m R x m K +
+
-
-
写成矩阵形式
BU AX X
+= DU CX Y +=
式中，??
?
???=???
?????-
-
=??????=???
?
?
?????=??????=m R m m R m K
u u y y y x x //10
,10,,,2132121B A U Y X ， C ??
???
?????--=m R m
K //100
1
，D ????
?
?????=
m /R m /1000
（二）微分方程式作用函数中含有导数项的情况
设微分方程的形式为
u b u b u
b u b y a y
a y
a y
a y
n n n n n n n n n 01)
1(1)
(01)
2(2)
1(1)
(++++=+++++------ （2-25）
在这种情况下就不能采用前面的方法选择输出变量y 及其各阶导数)1(,,-n y y
为状态变量。因为这组状态变量，将使相应的状态方程右端出现作用函数)(t u 的各阶导数项，于是在现代控制理论中，常选择以下几个变量作为一组状态变量，即
u y x 01β-=
u x u u y
x 11102βββ-=--= u x u u u y x 222103ββββ-=---= （2-26）
u x u u
u
u
y
x n n n n n n n n 1112)
2(1)
1(0)
1(--------=-----=βββββ 其中
n b =0β
0111ββ---=n n a b
021122βββ-----=n n n a a b （2-27）
03122133ββββ-------=n n n n a a a b
0011110ββββa a a b n n n ----=--
为了得到状态方程，将式（2-26）的最后一个等式两端对t 求导，得
u u u u y x n n n n n n 12)1(1)(0)(--------=ββββ 由式（2-25）得()
n y
的表达式，再由式（2-26）的前1-n 个等式求出)1(,,,-n y y
y ，将这些关系一并代入上式并整理，得
u x a x a x a x
n n n n β+----=-12110 考虑到式（2-26）和上式，可得系统得状态方程和输出方程
?????
??
??+----=+=+=+=---u x a x a x a x
u x x u x x u x x n n n n n n n ββββ1211011
232121
（2-28） u x y 01β+= （2-29）
进一步可写成矩阵形式
u B AX X += （2-30）
u y D CX += （2-31） 式中
??
??????
????????=?????????????
??
?----=????????????????=---n n n n n a a a a
x x x x ββββ12
112
1
0121,100001
00
010,
B A X
[]n b ===0,00
1
βD C
应该注意到微分方程中含有作用函数导数项与不含导数项状态方程的区别：它们的系
统矩阵A 形式完全一样，但控制矩阵B 形式完全不同。输出方程在含导数项n b 不为零时增加了直接传递项。
【例2-3】设系统的微分方程为
u u y y y
y 62432+=+++ 试求此系统的状态方程和输出方程。
【解】设系统的微分方程与式（2-25）对比得
0,2,6,2,3,4,33210210========b b b b a a a n 根据公式（2-27）得
2,2,0,03210====ββββ
由公式（2-30）和式（2-31）可得系统的状态方程和输出方程如下
u x x x x x
x
????
??????+????????????????????---=??????????220234100010321321 []????
?
?????=32100
1
x x x y （三）由系统的传递函数写出状态空间表达式
前面介绍了由系统的微分方程式写出状态空间表达式的方法，但是很多情况下往往先得到系统的传递函数，这是因为目前一些标准的和典型的系统和元件，它们的传递函数已基本定型，可以从参考文献和有关书籍中找到这些定型的传递函数。有些控制用元件的传递函数也可以由生产厂家提供。此外，系统和元件的传递函数还可以通过试验来求得。在已得到传递函数的情况下，便应该由传递函数来导出状态空间表达式。由传递函数导出状态空间表达式的方法有很多，而且由一个传递函数可写出很多形式上不尽相同的状态空间表达式。本节仅讨论用传递函数直接导出状态方程和输出方程的问题。
设系统的传递函数为
11
10
11
1)
()(a s a s
a s
b s b s b s b s U s Y n n n
n n n n ++++++++=
----
n n n n
n n n n b a s a s a s b s b s
b s
b +++++++++=------0
11
1'
'
12
'
21
1'
n b s U s Z +=)
()( （2-32）
式中
11'
1----=n n n n a b b b 22'
2----=n n n n a b b b
（2-33）
11'
1a b b b n -=
00'
0a b b b n -= '
0'12
'21
1'
)(b s b s
b s
b s Z n n n n ++++=----
由式（2-32）可得 )()()(s U b s Z s Y n += （2-34） 将式（2-32）中分数部分的分母和分子分别表示为
11
111
)()(a s a s a s s U s X n n n ++++=-- （2-35） =)
()(1s X s Z '
0'12
'21
1'
b s b s
b s
b n n n n ++++---- （2-36）
对上两式分别作拉氏逆变换得
?????++++==++++------1011)
2(12)1(1
11011)1(1
1)(1''''x b x b x b x b z u x a x a x a x n n n n n n n （2-37）
选择以下n 个变量为状态变量：11x x =，12x
x =，123x x x ==，…，)1(11--==n n n x x x ；并利用式（2－37）中第1式的关系，可得系统的状态方程
21x x
= 32x x
= …… （2-38） n n x x
=-1 u x a x a x a x x
n n n n +----==-12110)(1 对式（2-34）作拉氏逆变换，再代入公式（2-37）中第2式便可得到系统的输出方程
u b z y n +==u b x b x b x b x b n n n n n +++++---'
11'22'11'0 （2-39）
将状态方程式（2-38）和输出方程式（2-39）写成矩阵形式得
u B AX X += （2-40）
u y D CX += （2-41）
式中
?
????
???????=???
???
??
??????
?
?----=????????????=-10
0,100001
00
010
,12
1
02
1
B A X n n a a a a
x x x
[
]
n n b b b b ==-D C ,'
1'
1
'
应该注意到，由系统的传递函数写出状态方程只适用于单输入－单输出系统，得出的系统矩阵A 也是“友矩阵”的形式。当0=n b 时，输出矩阵[]110-=n b b b C ，直达矩阵0=D ，输出方程中不含直接传递项。
【例2-4】系统的传递函数为
4
326
2)()(2
3
++++=s s s s s U s Y 求此系统的状态方程和输出方程。
【解】与式（2-32）比较得
0,2,62
,3,4,3321'
10'0210==========b b b b b b a a a n 代入式（2-40）和式（2-41）得系统的状态方程和输出方程为
u x x x x x
x
????
?
?????+????????????????????---=??????????10023
4
100010321321 []????
??????=32102
6
x x x y 第三节 状态方程的解
在建立了控制系统的状态空间表达式后，更重要的问题是确立系统在时间域中的解，以便进一步计算出评价控制系统的性能指标。由微分方程理论可知，一个线性非齐次微分方
程的解是它对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解之和。因此，本节先介绍连续型线性定常系统齐次方程的解法并引出状态转移矩阵的概念，然后介绍矩阵指数函数的计算方法，再介绍非齐次方程的解法，最后介绍连续型状态方程的离散化及时变系统的解法。 一、连续型线性定常系统齐次方程的解
连续系统的定常齐次方程为
)()(t t AX X = （2-42）
现来求该方程满足初始条件：00=t 时，00)(X X =t 的通解。
1、用级数法求解
用级数法求解线性定常齐次状态方程的解法与求解纯量一阶常微分方程非常类似，可假设齐次状态方程的解为时间的幂级数。即假设
+++++=k
k t b t b t b b t 2210)(X （2-43）
式中i b 是待定的系数列阵。当00=t 时，00)0(X X ==b 。
在A 是常数矩阵的情况下，将式（2-43）及其导数代入式（2-42）得
)(323322101
2
321 +++++=+++++-k
k k k t
b t b t b t b b A t
kb t b t b b
由于此式对所有的时间t 都成立，因此等式两端同次幂前的系数应相等，即
00X =b 0
01AX A ==b b
02
122121X A A ==b b 03
02
23!
312
13
131X A X A A A =
?
=
=
b b
021!11
11X A A A A k
k k k k b k k b k b =
=-?
=
=
--
将这些系数代入解的幂级数表达式（2-43），便可求得常系数线性齐次方程的解，即
03
32
2
)!
1!
31!21()(X A A A A I X ++
++
+
+=k
k t
k t t t t 0X A t
e
= （2-44）
式中 ++
++
+
+=k
k
t
t k t t t e
A A A A I A !
1!
31!
213
3
22
（2-45）
称为矩阵指数函数（matrix exponential function ）。
2、用拉氏变换法求解
对式（2-42）两端取拉氏变换并考虑到初始条件，得 )0()0()(AX X X =-s s 整理得 )0()()(X X A I =-s s 用1
)
(--A I s 左乘上式两端，得)0()
()(1
X A I X --=s s
对上式两端取拉氏逆变换，得齐次方程的解为
)0(])
[()(1
1
X A I X ---=s L t （2-46）
3、矩阵指数函数的性质
由于矩阵指数在状态方程的解中起着至关重要的作用，故有必要对其性质作较详细的讨论，而这些性质又是计算矩阵指数的理论基础。矩阵指数的性质如下：
1）I A =?0
e
（2-47）
2）)
(ττ
+=t t
e
e
e A A A （2-48）
证明： )!
21)(!
21(2
22
2
+++++
+=τ
ττ
A A I A A I A A t t e
e t
+++
++++=3
3
2
2
)(!
31)(!
21)(τττt t t A A A I )
(τ+=t e
A
3）[]
t
t e
e
A A --=1
（2-49）
由式（2-47）和式（2-48）可知 I A A A A ===??--0)(e e e e t t t t 另一方面 I A A =?-1][t t e e 比较以上两式便可得到
1
][-t
e
A ＝t e
A - 此式表明矩阵指数的逆矩阵是t e A -，即t e A 求逆时，只需将t e A 中的A 异号即得。
4)
A A A A A ?==t
t
t
e
e
e
t d d (2-50)
此式表明t e A 和A 是可以交换的，此性质可证明如下：
)!
31!
21(d d d d 3
32
2 ++
+
+=
t t t t
e
t t
A A A I A
++
+=2
3
2
!
21t t A A A t
e
)t !
t !
t (A A A A A I A ?=++
++= 332
2
3121
A A A A A I ?=++
+
+=At
e t t t )!
31!
21(3
3
22
5）1
0][d --=?A
I A A t
t
e
e
ττ
（2-51）
将式（2-45）代入直接积分得
τττ
d )!
31!
21(d 0
3
32
2?
?
++
+
+=
t
t
t t t e
A A A I A
1
4
33
22
)!
4!
3!
2(-++
+
+
=AA
A A A t
t t
t
1
3
3
2
2
)!
31!
21(-+++
+-=A A A A I I t t t 1
][--=A
I A t
e
6）])
[(1
1---=A I A s L e
t
（2-52）
式（2-44）、式（2-46）都是齐次方程（2-42）的解，根据微分方程解的唯一性，由式（2-44）、式（2-46）进行比较，就可以得出式（2-52）的关系式。
4、状态转移矩阵及其性质
由式（2-44）、式（2-46）可知，线性定常系统齐次状态方程)()(t t AX X
= 满足初始条件0)0(X X =的解可以统一写成 )0()()(X ΦX t t = （2-53） 式中，==t
e
t A Φ)(])
[(1
1---A I s L （2-54）
由式（2-53）可知，齐次方程在任意时刻t 的解)(t X 仅是初始状态)0(X 的转移。因此n
n ?
阶矩阵)(t Φ称为状态转移矩阵。)(t Φ为时间t 的函数，它描述了系统从初始状态唯一地转移到)(t X 的自由运动的全部信息。状态转移矩阵决定了由初始状态)0(X 激发的运动。
根据式（2-54）和矩阵指数函数的性质，可以看出状态转移矩阵)(t Φ具有如下几个重要性质：
1）I ΦA ==?0)0(e 2）
A ΦA ΦΦ)()()(d d t t t t
==
3）)()(1t t -=-ΦΦ 4）)()]([kt t k ΦΦ= 5）)()()(2121t t t t +=ΦΦΦ
6）若初始时刻为0t ，则t 时刻的状态为)()()(00t t t t X ΦX -=。 注意对线性定常系统，有)
(00)(t t A e
t t -=-Φ。
二、矩阵指数函数的计算
求线性定常系统齐次状态方程的解，关键是归结为求矩阵指数函数。下面介绍矩阵指数函数的计算方法。
1、按幂级数计算
根据矩阵指数函数的定义式（2-45）知 ∑
∞
==
++
++
+
+=0
3
32
2!
1!
1!
31!
21k k
k k
k t
t k t k t t t e
A A A A A I A
可以用幂级数直接进行计算，但用这种方法时要考虑幂级数的收敛性要求。
【例2-5】已知,0110??
??
??-=A 求t
e A 。 【解】用幂级数计算。 4
43
32
2!
41!
31!
21t t t t e
t
A A A A I A +
+
++=
+??
????-+??????-+??????-+??????-+??????=4
4
33
22
01
10
!4101
10
!3101
10!2101
1010
01t t t t
+??
?
???+??????-+?
?????--+??????-+??????=4433220
0!4100
!310
0!21001001t t
t
t t t t
t ????
?
?
?????
?++-+-+-++
-
++-=
!4!21!5!3!5!3!4!214
25
35
3
4
2t t t t t t
t
t t
t ??
?
???-=t t t t c o s s i n s i n c o s
2、用拉氏逆变换法求解
由式（2-52）知，])[(11---=A I A s L e t ，故当A 的阶次较低时可用拉氏逆变换来计算矩阵指数，但一般来说，求拉氏逆变换比较麻烦。
3、通过非奇异变换法求解
1）当A 矩阵具有互异特征值n λλλ,,,21 时，通过变换矩阵P 可将A 阵化为对角形矩阵Λ，即有
?????
????
?
??==-n λλλ0
02
11
AP P Λ Λ的矩阵指数为
?
??????
??????
?=t t
t t
n e e
e e
λλλ0021
Λ 于是有 1
-=P
P Λt
At
e e
。
2）当A 阵具有n 重特征值1λ时，通过变换矩阵Q 可将A 阵化为约当形矩阵J ，即有 ???????
?????
?
??
?==-11
11
01101
λλλ
AQ Q J J 的矩阵指数为
???????
?
????????-=-t
t t
t
n t
t t
e
te e
e
t
n te e e
1111110
0)!
1(11
λλλλλλ
J 于是有 1-=Q Q J A t t e e 。
【例2-6】已知??
??
??--=32
10A ，求t
e A 。 【解】用拉氏逆变换法求解。 ???
?
???
????
? ????????---????
??=-=----1
1
1132
1000])[(s s
L s L e
t
A I A ?????
???????++??????+-=???????????? ?
?+-=---2)3(321a d j 32
1111
s s s s
L s s
L ?
?
?
???+-+---=?????
?
???
?
??
++++-+++++=---------t t
t t t
t t
t e e
e
e e
e e
e s s s s s s s s s s L 222212222)2)(1()2)(1(2)2)(1(1
)
2)(1(3 通过非奇异变换法求解。
A 的特征值为2,121-=-=λλ。将A 化为对角形矩阵Λ，AP P
Λ1
-=，得
,20
01????
??--=Λ变换矩阵??
????--=??
?
???--=-1112,2111
1
P P 于是 ??
?
???=--t t t
e e e
200Λ， ??????--????????????--==---11
120
021
11
21
t t
t
t
e e e
e
P
P ΛA ?
?
????+-+---=--------t t
t t t
t t
t e e
e
e e
e
e e 2222222 可见两种算法的结果是完全一样的。
4、用凯勒－哈密顿（Cayley-Hamilton ）定理计算
用幂级数计算t
e
A 可归结为计算一个无穷项的矩阵和，这显然很不方便。根据凯勒－哈
密顿定理可将这个无穷级数化为A 的有限项的表达式。先介绍一下凯勒－哈密顿定理。
定理 n n ?阶方阵A 必满足其自身的特征方程。 设A 的特征多项式为
∑==++++=-=n
k k
k
n
n a
a a a a f 0
2210)(λλλλλλ I A （2-55）
则必有0)(2210=+++++=n n a a a a f A A A I A 。
证明：根据逆矩阵的定义可知 [][][])
(a d j a d j 1
λλλλλf I A I
A I A I A -=
--=
--
上式等号两端左乘以[]I A λ-，然后乘以)(λf ，得
[][]I A I A I λλλ--=a d j )(f （2-56）
因为矩阵[]I A λ-是n 阶的，所以其伴随矩阵[]I A λ-adj 的元素中λ的最高次数为
1-n ，因此可将它写成系数为矩阵的λ的1-n 次多项式
[]1
12210a d j --++++=-n n λλλλB B B B I A （2-57）
将式（2-55）、式（2-57）代入式（2-56），得
2
12
010
)()(λλλB AB
B AB AB
I -+-+=∑=n
k k
k
a
n
n n n n λλ
11
21
)(------++B B AB
比较等式两端λ的同幂次的系数，可得
00AB I =a )(011B AB I -=a
)(12
2B AB
I -=a
…… ……
)(21
1----=n n n a B AB
I
1--=n n a B I
将以上一组方程中的第二个方程左乘以A ，第三个方程左乘以,,2
A 最后一个（第1
+n 个）方程左乘以n A ，然后将这些等式的左端和右端分别相加。显然，等式右端互抵消成为零矩阵，即
02
210=++++n
n a a a a A
A
A I
亦即0)(=A f ，从而定理得证。
应用凯勒－哈密顿定理，对于A 的任何高于n 的幂可以用低于n 的各次幂表示。例如：
《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解 第二章 2-1 试求图2-T-1所示RC 网络的传递函数。 (a)111 11111+=+? =Cs R R Cs R Cs R z ，22R z =，则传递函数为： (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压方程： 并且有 联立三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为： 2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以i u 为输入，o u 为输出的传递函数。 (a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：dt du C dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=， 对上式进行拉氏变换得到 故传递函数为 (b)由运放虚短、虚断特性有：02 2=-+--R u R u u dt du C c c i c ，0210=+R u R u c ， 联立两式消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得 故此传递函数为 (c)02/2/110=+-+R u R u u dt du C c c c ，且2 1R u R u c i -=，联立两式可消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得到 故此传递函数为 2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输入量，以电动机的转角θ为输出量的微分
方程式和传递函数。 解：设激磁磁通f f i K =φ恒定 2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c 表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r 表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差e u 即是无惯性放大器（放大系数为a K ）的输入，放大器向直流电动机M 供电，电枢电压为u ，电流为I 。电动机的角位移为θ。 解： ()() ()φ φφπφ m A m e a a a a m A C K s C C f R i s J R f L i Js iL C K s R s C +?? ? ??++++=26023 2-5 图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流d i 与d u 间的关系为 ? ?? ? ??-?=-110026.06 d u d e i 。假设电路中的Ω=310R ，静态工作点V u 39.20=，A i 301019.2-?=。试求在工作点),(00i u 附近)(d d u f i =的线性化方程。 解：()2.0084.01019.23-=?--d d u i 2-6 试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力—电压的相似量画出相似电路。 解：分别对物块1m 、2m 受力分析可列出如下方程： 代入dt dy v 11= 、dt dy v 22=得 2-7 图2-T-7为插了一个温度计的槽。槽内温度为i θ，温度计显示温度为θ。试求传递函数 ) () (s s i ΘΘ（考虑温度计有贮存热的热容C 和限制热流的热阻R ）。 解：根据能量守恒定律可列出如下方程：
即 112442k g k f M L M ML θθθ??=-+++ ??? && 212 44k k g M M L θθθ??=-+ ??? && （2）定义状态变量 11x θ=，21x θ=&，32 x θ=，42x θ=& 则 一．（本题满分10分） 如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。 【解】 （1）对左边的质量块，有 ()2111211 cos sin sin cos sin 222 L L L ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?-&& 对右边的质量块，有 ()221222 sin sin cos sin 22 L L ML k MgL θθθθθ=?-?-&& 在位移足够小的条件下，近似写成： ()1121 24f kL ML Mg θθθθ=---&& ()2122 4kL ML Mg θθθθ=--&&
2 / 7 1221 334413 44244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =?? ???=-+++ ???? ? =????=-+? ????? &&&& 或写成 11 223 34401 000014420001000044x x k g k x x M L M f ML x x x x k k g M M L ? ? ?? ?????????? ??-+???? ???????????=+???? ????? ??????????????????? ????-+?? ? ? ?????? ? &&&& 二．（本题满分10分） 设一个线性定常系统的状态方程为=x Ax &，其中22R ?∈A 。 若1(0)1?? =??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-?? x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为 2()t t e t e --?? =??-?? x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。 【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有 221()1t t t e t e e --????==????--???? A x 22()1t t t e t e e --????==????--???? A x 合并得 2212211t t t t t e e e e e ----????=????----?? ??A 求得状态转移矩阵为 1 22221212221111t t t t t t t t t e e e e e e e e e -----------?????? ?? ==????????------???? ????A 22222222t t t t t t t t e e e e e e e e --------?? -+-+=??--??
现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： 一．填空题（共27分，每空1.5分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T 为周期进行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为 __________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义 能量， V(x, t)称为___________。 8.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函
数的所有极点具有______。 9. 控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的_________、_________和较强的_________。 10. 所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的 系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 11. 实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r 维控 制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 12. _________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的 重要方法。 二． 判断题（共20分，每空2分） 1. 一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。 （×） 2. 传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。 （√） 3. 状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。 （×） 4. 对于任意的初始状态)(0t x 和输入向量)(t u ，系统状态方程的解存在并且 惟 一 。 （√） 5. 传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。 （×）
信息工程学院现代控制理论课程习题清单
正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的求解方法。 重点容：状态空间表达式的建立，状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当标准型。难点：状态变量选取的非唯一性，多输入多输出状态空间表达式的建立。 预习题 1.现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有何区别？ 2.状态、状态空间的概念？ 3.状态方程规形式有何特点？ 4.状态变量和状态矢量的定义？ 5.怎样建立状态空间模型？ 6.怎样从状态空间表达式求传递函数？ 复习题 1.怎样写出SISO系统状态空间表达式对应的传递函数阵表达式 2.若已知系统的模拟结构图，如何建立其状态空间表达式？ 3.求下列矩阵的特征矢量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 2 5 10 2 2 1- 1 A 4.（判断）状态变量的选取具有非惟一性。 5.（判断）系统状态变量的个数不是惟一的，可任意选取。 6.（判断）通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输 出关系的系统，表达为状态空间描述。 7.（判断）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定 常系统中应用，也可以在时变系统中应用. 8.如果矩阵A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,则只能化为 模态阵。 9.动态系统的状态是一个可以确定该系统______（结构，行为）的信息集 合。这些信息对于确定系统______（过去，未来）的行为是充分且必要 的。 10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时， 则称这样的系统为______（线性定常，线性时变）系统。如果这些元素 中有些是时间t 的函数，则称系统为______（线性定常，线性时变）系 统。 11.线性变换不改变系统的______特征值，状态变量）。 12.线性变换不改变系统的______（状态空间，传递函数矩阵）。 13.若矩阵A 的n 个特征值互异，则可通过线性变换将其化为______（对 角阵，雅可比阵）。 14.状态变量是确定系统状态的______（最小，最大）一组变量。 15.以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交______（线性，非线性） 空间，称之为______（传递函数，状态空间）。
一．（本题满分10分） 请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。 【解答】根据基尔霍夫定律得： 1113222332 1L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=? 改写为1 13111 22 322 312 11111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ?=-+???=-?? ，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为
[]11 111222 2 331231011000110010R L L x x L R x x u L L x x C C x y x x ??? --???????????????? ???????=-+???? ??????? ??????????????? ? ???-?????? ? ? ??? ?? ?=??? ?????? 二．（本题满分10分） 单输入单输出离散时间系统的差分方程为 (2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++ 回答下列问题： （1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性； （3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。 【解答】 （1）在零初始条件下进行z 变换有： ()()253()2()z z Y z z R z ++=+ 系统的脉冲传递函数： 2()2 ()53 Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为 2()530D z z z =++= 特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。 （3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到 21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得 (2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+- []212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有： 212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为 12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为
第2章 线性系统理论 线性系统是实际系统的一类理想化模型，通常用线性的微分方程或差分方程描述。其基本特征是满足叠加原理，可分为线性定常系统和线性时变系统。 现代控制理论中，采用状态变量法描述系统，它既能反映系统内部变化情况，又能考虑初始条件，也为多变量系统的分析、综合提供了强有力的工具。 2.1 基本概念 输入：外部施加到系统上的全部激励。 输出：能从外部测量到的来自系统的信息。 状态变量：确定动力学系统状态的最小的一组变量。 状态向量：若n 个状态变量)(1t x ，)(2t x ，…，)(t x n 是向量)(t x 的各个分量，即 )(t x 为状态向量。 状态空间：以各状态变量作为基底组成的n 维向量空间。在特定的时间，状态向量)(t x 在状态空间中只是一个点。 状态轨迹：状态向量)(t x 在状态空间中随时间t 变化的轨迹。 连续时间系统：)(t x 的定义域为某时间域],[f 0t t 内一切实数。 离散时间系统：)(t x 的自变量时间t 只能取到某实数域内的离散值。 状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间动态关系的一阶微分方程
组或一阶差分方程组。一般形式为 或 式中 u ——输入向量； k ——采样时刻。 状态方程表征了系统由输入引起的内部状态的变化。 输出方程：描述输出变量与系统输入变量和状态变量间函数关系的代数方程，具有形式 它是一个代数变换过程。 状态空间表达式：状态方程与输出方程联立，构成对动态系统的完整描述，总称为系统的状态空间表达式，又称动态方程。 线性系统的状态空间表达式具有下列一般形式： 1）连续时间系统 ? ??+=+=)()()()()()()()()()(t t t t t t t t t t u D x C y u B x A x & （2–1） 式中 A (t )——系统矩阵或状态矩阵，n ?n 矩阵； B (t )——控制矩阵或输入矩阵，n ?p 矩阵； C (t )——观测矩阵或输出矩阵，q ?n 矩阵； D (t )——输入输出矩阵，q ?p 矩阵； x ——状态向量，n 维； u ——控制作用，p 维； y ——系统输出，q 维。 2）离散时间系统
第二章 状态空间表达式的解 3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。 （1） ???? ??-=2010A （2） ?? ? ???-=0410A （3） ??????--=2110 A （4） ???? ??????-=452100010A （5）?? ??????? ???=000010000100 0010A （6）? ???? ? ??? ???=λλλλ000100010000A 【解】： （1） ???? ? ? ????? ?++=?? ????+-=-=Φ-----)2(10)2(11}201{])[()(11 111s s s s L s s L A sI L t ??? ? ????-=????? ? ??????++-=---t t e e s s s s L 22105.05.01)2(10)2(5.05.01 （2） ?? ? ???-=???? ? ? ??????+++- +=?? ????-=-=Φ-----t t t t s s s s s s L s s L A sI L t 2cos 2sin 22sin 5.02cos 44 441 4}41{])[()(222211 111 （3） ??? ? ? ?????? ?++-+++=?? ????+-=-=Φ-----222211 111)1()1(1)1(1 )1(2 }211{])[()(s s s s s s L s s L A sI L t ??? ? ????--+=Φ------t t t t t t te e te te e te t )( （4） 特征值为：2,1321===λλλ。 由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为
第二章 状态空间表达式的解 3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。 （1） ???? ??-=2010A （2） ?? ? ???-=0410A （3） ??????--=2110 A （4） ???? ??????-=452100010A （5）?? ??????? ???=000010000100 0010 A （6）? ???? ? ??????=λλλλ000100010000A 【解】： （1） （2） （3） （4） 特征值为：2,1321===λλλ。 由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为 ???? ??????=421211101P ，??????????----=-1211321201 P 线性变换后的系统矩阵为： （5） 为结构四重根的约旦标准型。 （6） 虽然特征值相同，但对应着两个约当块。 或}0 100010000{ ])[()(1 111----?? ??? ????? ??------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。 【解】：
（1） （2） 特征方程为： 特征值为： 2,1321===λλλ。 由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。 求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得： 0110000000312111=????????????????????--P P P ，???? ? ?????=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得： 对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为： []??????????-==11001000132 1 P P P P ，???? ??????=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为： （3） 特征值为： 2,1321===λλλ。 即 (4) 3-2-3 试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A 。 （1）??? ???????-=Φt t t t t sin cos 0cos sin 0001 )(（2）????????-=Φ--t t e e t 220)1(5.01)( （3）???? ??? ?+--+--=Φ--------t t t t t t t t e e e e e e e e t 22222222)(（4）? ??? ??? ?++-+-+=Φ----t t t t t t t t e e e e e e e e t 33335.05.025.025.05.05.0)( 【解】： （1） ∴不满足状态转移矩阵的条件。 （2） ∴满足状态转移矩阵的条件。 由)()(t A t Φ=Φ &，得A A =Φ=Φ)0()0(&。
第二章控制系统的数学模型 数学模型 时域模型频域模型方框图和信号流图
第二章控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型 2-1 1 控制系统的时域数学模型 控制系统的复数域数学模型2 控制系统的复数域数学模型2-2 控制系统的结构图和信号流图3 控制系统的结构图和信号流图2-3 .
21 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型 1.1. 1. 线性元件的微分方程线性元件的微分方程 2.2. 2. 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立 3. 3. 线性系统的特性3.线性系统的特性 4. 4. 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解 5. 5. 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化 6.6. 6. 运动的模态运动的模态.
21 控制系统的时域数学模型 控制系统的时域数学模型 列写系统运动方程的步骤 ?确定系统的输入量和输出量. ?根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各元件的运动方程. ?消中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式 .
如图例2.1RLC 电路，试列写以u u c (t)为输出量的网络微分方程。 i(t))()()()(t u t Ri t u t di L r c =++解: u r (t) dt =dt t i t u c )(1 )(∫c )() ()(2 2 t u dt t du RC dt t u d LC c c c =++
例2.2图为机械位移系统。试列写质量m 在外力F作用下位移(t)的运动方程在外力F作用下位移y(t)的运动方程。 dt t dy f t F ) ()(1=解:阻尼器的阻尼力: ) ()(2t ky t F =弹簧弹性力: )()()()(212 2 t F t F t F dt t y d m ??=)()() ()(2 2 t F t ky t dy f t y d m =++整理得:dt dt
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。 解:系统的模拟结构图如下: 系统的状态方程如下: 令y s =)(θ,则1x y = 所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流与电容上的电压作为状态变量的状态方程,与以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解:由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y = 有电路原理可知:? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为: 1-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式与传递函数阵。 解:系统的状态空间表达式如下所示: 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图。 解:令.. 3. 21y x y x y x ===，，,则有 相应的模拟结构图如下: 1-6 (2)已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++= s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图 解:s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- ++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式 []??? ? ? ?????=???? ??????+????????????????????----=??????????321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘ （1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数
E2.4A laser printer uses a laser beam to print copy rapidly for a computer. The laser is positioned by a control input,r(t),so that we have Y(s)= 5(s+100) s2+60s+500 R(s) This input r(t)represents the desired position of the laser beam.(a)If r(t) is a unit step input,?nd the output y(t).(b)What is the?nal value of y(t)? E2.14Obtain the di?erential equations in terms of and for the circuit in Figure E2.14. Figure E2.14Electric circuit. E2.15The position control system for a spacecraft platform is governed by the following equation. d2p dt2+2 dp dt +4p=θv1=r?p dθ dt =0.6v2 v2=7v1 The variable involved are as follows: r(t)=desired platform position;p(t)=desired platform position; v1(t)=ampli?er input voltage;v2(t)=ampli?er output voltage;θ(t)=motor shaft position 1
现代控制理论基础课程总结 学院:__机械与车辆学院_ 学号:____2120120536___ 姓名:_____王文硕______ 专业:___交通运输工程__ 《现代控制理论》学习心得 摘要:从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。现代控制论是用状态空间方法表示,概念抽象,不易掌握。对于《现代控制理论》这门课程,本人选择了最为感兴趣的几个知识点进行分析,并谈一下对于学习这么课程的一点心得体会。 关键词:现代控制理论;学习策略;学习方法;学习心得 在现代科学技术飞速发展中,伴随着学科的高度分化和高度综合,各学科之间相互交叉、相互渗透,出现了横向科学。作为跨接于自然科学和社会科学的具有横向科学特点的现代控制理论已成为我国理工科大学高年级的选修课和研究生的学位课。 从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。经典控制论限于处理单变量的线性定常问题,在数学上可归结为单变量的常系数微分方程问题。现代控制论面向多变量控制系统的问题,它是以矩阵论和线性空间理论作为主要数学工具,并用计算机来实现。现代控制论来源于工程实际,具有明显的工程技术特点,但它又属于系统论范畴。系统论的特点是在数学描述的基础上,充分利用现有的强有力的数学工具,对系统进行分析和综合。系统特性的度量,即表现为状态;系统状态的变化,即为动态过程。状态和过程在自然界、社会和思维中普遍存在。现代控制论是在引入状态和状态空间的概念基础上发展起来的。状态和状态空间早在古典动力学中得到了广泛的应用。在5O年代Mesarovic教授曾提出“结构不确定
性原理”,指出经典理论对于多变量系统不能确切描述系统的内在结构。后来采用状态变量的描述方法,才完全表达出系统的动力学性质。6O年代初,卡尔曼(Kalman从外界输入对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力这两方面提出能控制性和能观性的概念。这些概念深入揭示了系统的内在特性。实际上,现代控制论中所研究的许多基本问题,诸如最优控制和最佳估计等,都是以能能控性和能观性作为“解”的存在条件的。 现代控制理论是一门工程理论性强的课程,在自学这门课程时,深感概念抽象,不易掌握;学完之后,从工程实际抽象出一个控制论方面的课题很难,如何用现代控制论的基本原理去解决生产实际问题则更困难,这是一个比较突出的矛盾。 对现代控制理论来说,首先遇到的问题是将实际系统抽象为数学模型,有了数学模型,才能有效地去研究系统的各个方面。许多机电系统、经济系统、管理系统常可近似概括为线 性系统。线性系统和力学中质点系统一样,是一个理想模型,理想模型是研究复杂事物的主要方法,是对客观事物及其变化过程的一种近似反映。现代控制论从自然和社会现象中抽象出的理想模型,用状态空间方法表示,再作理论上的探讨。 线性系统理论是一门严谨的科学。抽象严谨是其本质的属性,一旦体会到数学抽象的丰富含义,再不会感到枯燥乏味。线性系统理论是建立在线性空间的基础上的,它大量使用矩阵论中深奥的内容,比如线性变换、子空间等,是分析中最常用的核心的内容,要深入理解,才能体会其物理意义。比如,状态空间分解就是一种数学分析方法。在控制论中把实际系统按能控性和能观性化分成四个子空间,它们有着确切的物理概念。线性变换的核心思想在于:线性系统的基本性质(如能控性、能观性、极点、传递函数等在线性变换下都不改变,从而可将系统化为特定形式,使问题的研究变得简单而透彻。 在学习现代控制理论教材时,发现不少“引而未发”的问题。由于作者有丰富的教学经验与学术造诣,能深入浅出阐述问题,发人深省。因此,通过自己反复阅读教材,就能理解这些内容。比如,在探讨线性系统的传递函数的零极点相消时,如果潜伏着
2.1 状态空间描述的基本概念 系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入－输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入－单输出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。因此传递函数不能包含系统的所有信息。由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。 第一节基本概念 状态变量指描述系统运动的一组独立（数目最少的）变量。一个用阶微分方程描述含有个独立变量的系统，当求得个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于，必有变量不独立；若少于， 又不足以描述系统状态。因此，当系统能用最少的个变量 完全确定系统状态时，则称这个变量为系统的状态变量。 选取状态变量应满足以下条件：给定时刻的初始值， 以及的输入值，可唯一确定系统将来的状态。而时 刻的状态表示时刻以前的系统运动的历史总结，故状态变量是对系统过去、现在和将来行为的描述。 状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组数目最少的变量。状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。
自动控制理论复习题 一、名词解释：1、频率响应 2、反馈 3、稳态误差4、最大超调量 5、单位阶跃响应6、相位裕量7、滞后一超前校正；8、稳态响应；9、频率特性；10、调整时间；11、峰值时间；12、截止频率；13、谐振峰值；14、谐振频率15、幅值穿越频率；16、相位穿越频率；17、幅值裕量；18、自动控制、19、状态变量、20、零阶保持器 二、分别建立图示系统的微分方程，求传递函数，并说出图（c ）,(d)属于何种 较正网络。 图中)(t x i ，)(0t x 为输入、输出位移；)(t u i ，)(0t u 为输入、输出电压。 三、已知系统方框图如下，求传递函数 ) (,)(,)(000s X s X s X ) (a )(b )t ) t ) (c ) (t x i 1 ) (0t x ) (d ) (0s ) (b X i ) s X i ) s
四、已知系统的开环的幅相特性（Nyguist ）如图所示，图中P 为开环传递函数G(s)H(s) 五、计算 1、设某二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，如果该系统为单位反馈型式， 试确定其开环传递函数。 2、某系统如图所示，n p t 调整时间 s t 。（设误差带宽度取± 2％ ） )(c ) (a ) )(a ) (b ) )
六、已知系统的开环传递函数)()(s H s G 的幅频特性曲线如图示，且)()(s H s G 为最小相位系统。试求)()(s H s G = ？ 七、某系统的开环传递函数为 ) 12() 1()()(-+= s s s K s H s G ，试画出其乃奎斯特图，并说明当K 取何值时系统稳定？ 八、已知系统闭环传递函数为) )() (01221101a s a s a s a s a a s a s X s X n n n n i +++???+++=-- 试证明系统对速度输入的稳态误差为零。 十、判断正误 1、各项时域指标（最大超调量，调整时间等）是在斜坡信号作用下定义的。 2、对于结构不稳定系统，可以通过改变某些系统结构参数而使其稳定。 3、对于最小相位系统，增益裕量和幅值裕量为正的系统是稳定的。 4、增加系统开环传递函数中积分环节数目有利于系统稳定,有利于提高系统稳态精度。 5、系统的传递函数是输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，所以与输入信号有关。 6、稳态误差的大小与系统型号无关。 7、在一个系统中，若K 某些值时，系统稳定。则系统为条件稳定系统。 8、在波德图上，“O ”型与“I ”型系统的幅频特性的低频段斜率不同。 9、右半平面既无零点又无极点的传递函数对应的系统为最小相位系统。 10、相位超前较正有利于提高系统的快速性。 11、在[S]平面上，系统的闭环极点离虚轴越远，则其对应的时间响应分量衰减越快。 12、扰动信号作用下的稳态误差是否为零与其作用点之后积分环节的多少有关。 十一、试求图示系统的稳态误差。 )(s G c 可为比例、比例加 积分或比例加 积分加微分控制器，具体 参数自己假定。 ω ω ω X ) (s
自动控制理论(二) 第五章测试题 一、单项选择题(每小题2分) 1、系统特征方程式的所有根均在根平面的左半部分是系统稳定的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.以上都不是 2、下列判别系统稳定性的方法中，哪一个是在频域里判别系统稳定性的判据（ ） A.劳斯判据 B.赫尔维茨判据 C.奈奎斯特判据 D.根轨迹法 3、设单位负反馈系统的开环传函为G(s)= 3 )1s (22+，那么它的相位裕量γ的值为 （ ） A.15o B.60o C.30o D.45o 4、 系统稳定的充分必要条件是其特征方程式的所有根均在根平面的( ) A. 实轴上 B. 虚轴上 C. 左半部分 D. 右半部分 5、下列频域性能指标中，反映闭环频域性能指标的是( ) A.谐振峰值M r B.相位裕量γ C.增益裕量K g D.剪切频率ωc 6、在经典控制理论中，临界稳定被认为是( ) A.稳定 B.BIBO 稳定 C.渐近稳定 D.不稳定 7、奈奎斯特稳定性判据是利用系统的( )来判据闭环系统稳定性的一个判别准则。 A.开环幅值频率特性 B.开环相角频率特性 C.开环幅相频率特性 D.闭环幅相频率特性 8、系统的开环传递函数由 1)s(s K +变为2) 1)(s s(s K ++，则新系统( )。 A.稳定性变好 B.稳定性变坏 C.稳定性不变 D.相对稳定性变好 9、利用奈奎斯特图可以分析闭环控制系统的（ ） A.稳态性能 B.动态性能 C.稳态和动态性能 D.抗扰性能 10、设单位负反馈控制系统的开环传递函数G o (s)=) a s (s K +，其中K>0,a>0，则闭 环控制系统的稳定性与（ ） A.K 值的大小有关 B.a 值的大小有关 C.a 和K 值的大小有关 D.a 和K 值的大小无关 11、已知系统的特征方程为(s+1)(s+2)(s+3)=s+4，则此系统的稳定性为（ ） A ．稳定 B ．临界稳定 C ．不稳定 D ．无法判断
现代控制理论基础 １．一个线性系统的状态空间描述( B ) A．是唯一的； B．不是唯一的 C．是系统的内部描述；D．是系统的外部描述 2．设系统的状态空间方程为=X+u，则其特征根为（ D ） A． s1= -2,s2= -3；B． s1= 2,s2= 3；C． s1= 1,s2= -3；D．s1=-1,s2=-2 3．状态转移矩阵（t）的重要性质有（ D）。 A．φ（0）=0； B．φ-1（t）= -φ（t）； C．φk（t）=kφ（t）；D ．φ（t1+t2）=φ（t1）?φ（t2）4．系统矩阵A=,则状态转移矩阵φ（t）= （ C） A． ; B． ; C． ; D． ; 5. 设系统=X+u，y=x，则该系统( A )。 A．状态能控且能观测； B．状态能控但不能观测； C．状态不能控且不能观测 D．状态不能控且能观测； 6．若系统=X+u，y=x是能观测的，则常数a取值范围是（ C）。 A．a ≠ 1；B．a = 1；C．a ≠ 0；D．a = 0； 7. 线性系统和互为对偶系统，则（AD） A．C1=B2T；B． C1=B2；C． C1=C2；D．C1=B2T 8. 李雅普诺夫函数V(x)=（x1+x2）2，则V(x)是(C) A．负定的；B．正定的；C．半正定的；D．不定的 9.单位脉冲响应的拉氏变换为（B）
A．； B．; C． 0； D． 1 10.通过状态反馈能镇定的充分必要条件是，渐近稳定的子系统是（B） A．能控； B．不能控; C．能观测； D．不能观测 二.填空题（每空1分，10分） 11.状态方程揭示了系统的内部特征，也称为内部描述。 12.已知系统矩阵，则特征多项式为S2-S+1 。 13.对于完全能控的受控对象，不能采用输出反馈至参考信号入口处的结构去实现闭环极点的任意配置。 14.在状态空间分析中，常用状态结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。 15.为了便于求解和研究控制系统的状态响应，特定输入信号一般采用脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数等输入信号。 16.若已知线性系统的矩阵【A AB A2B】的秩为3，那么该系统是能控的。 17.当且仅当系统矩阵A的所有特征值都具有负实部时，系统在平衡状态时渐近稳定的。 18.同一个系统，状态变量的选择不是唯一的。 19.控制系统的稳定性，包括外部稳定性和内部稳定性。 20.能观测性是反映输出对系统状态的判断能力。 三.名词解释（共20分） 21.状态空间描述（3分） 答：用状态变量构成输入，输出与状态之间的关系方程组即为状态空间描述。 22. 零输入响应（3分） 答：是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。 23.稳定（3分） 答：系统稳定性包括外部稳定和内部稳定；外部稳定是指系统在零初始条件下通过其外部状
附录A 《自动控制理论 第2版》习题参考答案 第二章 2-1 (a) ()()1 1 2 12 11212212122112+++? +=+++=CS R R R R CS R R R R R R CS R R R CS R R s U s U (b) ()()1 )(1 2221112212121++++=s C R C R C R s C C R R s U s U 2-2 (a) ()()RCs RCs s U s U 1 12+= (b) ()()14 1 112+?-=Cs R R R s U s U (c) ()()?? ? ??+-=141112Cs R R R s U s U 2-3 设激磁磁通f f i K =φ恒定 ()()()? ? ? ???++++= Θφφπφm e a a a a m a C C f R s J R f L Js L s C s U s 2602 2-4 ()() ()φ φφπφ m A m e a a a a m A C K s C C f R i s J R f L i Js iL C K s R s C +?? ? ??++++= 26023 2-5 ()2.0084.01019.23 -=?--d d u i 2-8 (a) ()()()()3 113211G H G G G G s R s C +++= (b) ()()()()() 31243212143211H G H G G G H G G G G G G s R s C +++++= 2-9 框图化简中间结果如图A-2-1所示。
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