习 题 四 解 答
1、设010,1x x ==，写出()x f x e -=的一次插值多项式1()L x ，并估计插值误差。
设插值函数为1()L x ax b =+，由插值条件，建立线性方程组为
1
01
1a b a b e -?+=???+=? 解之得11
1
a e
b -?=-?=?
则11()(1)1L x e x -=-+ 因为(),()x x y x e y x e --'''=-= 所以，插值余项为
(1)(2)
(2)011
()()()()()
(1)!
1()()2!1
()()()2!1
(0)(1)((0,1))2n r x f x p x f x n f x f x x x x e x x ξξπξπξξ+-=-=+=
=--=--∈
所以
01
0101
()max max (1)
2111248x r x e x x e ξξ-≤≤≤≤-≤-=??=。
2选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)。
解：设三次插值多项式为230123()f x a a x a x a x =+++，由插值条件，建立方程组为
23012323
012323
01232301
23(0.1)(0.1)(0.1)0.9950.30.30.30.995
0.70.70.70.7651.1 1.1 1.10.454
a a a a a a a a a a a a a a a a ?+?-+?-+?-=?+?+?+?=??+?+?+?=??+?+?+?=?
即
012301230123
123012312301230.10.010.0010.9950.10.010.0010.9950.30.090.0270.9950.40.080.02800.70.490.3430.7650.80.480.344 1.761.1 1.21 1.3310.454a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-=-+-=??+++=++=???
+++=++=??+++=?12301231232330.40.720.9880.3110.10.010.0010.9950.40.080.02800.320.288 1.760.384 3.831a a a a a a a a a a a a a ??????++=-?
-+-=??++=???
+=?
?-=-?
解之得 01
230.416.293.489.98
a a a a =??=-??
=-??=? 则所求的三次多项式为23()0.41 6.29 3.489.98f x x x x =--+。 所以
2323
(0.2)0.41 6.290.2 3.480.29.980.20.91
(0.8)0.41 6.290.8 3.480.89.980.8 1.74f f =-?-?+?=-=-?-?+?=-
3、设(0,1,2,,)i x i n =是 n+1个互异节点，证明： （1）0()(0,1,2,
,)n
k k i i i x l x x k n ===∑；
（2）0
()()0(0,1,2,
,)n
k i i i x x l x k n =-==∑。
证明： （1）由拉格朗日插值定理，以x 0,x 1,x 2,…x n 为插值节点，对y=f(x)=x k 作n 次插值，插值多项式为 0()()n
n i i i p x l x y ==∑，
而y i =x i k ,
所以0
()()()n
n
k n i i i i i i p x l x y l x x ====∑∑
同时，插值余项
(1)(1)11
()()()()()()0(1)!(1)!
n k n k n r x x p x f x x x n n ξξππ++=-=
==++
所以0
()n
k k i i i l x x x ==∑
结论得证。
（2）取函数()(),0,1,2,,k f x x t k n =-=
对此函数取节点(0,1,2,,)i x i n =，则对应的插值多项式为
()()()n
k n i i i p x x t l x ==-∑，
由余项公式，得
(1)
(1)0
11
()()()()()()()()0
(1)!(1)!n
n k
k
n k
i i i r x x t x t l x f x x t x n n ξ
ξππ++==---==-=++∑所以
0()()()n
k
k i i i x t x t l x =-=-∑
令t=x ，
()()0n
k
i
i
i x x l x =-=∑
4
()f x = (1)试用线性插值计算f(2.3)的近似值，并估计误差；
(2)试用二次Newton 插值多项式计算f(2.15)的近似值，并估计误差。
解：用线性插值计算f(2.3)，取插值节点为2.2和2.4，则相应的线性插值多项式是
1.54919 1.48320
() 1.48320( 2.2)
2.4 2.2
1.483200.32995(
2.2)p x x x -=+
--=+- 用x=2.3代入，得
(2.3) 1.483200.32995(2.3 2.2) 1.450205f ≈+?-= (2)
根据定理2f(x)＝f(x 0)＋f[x 0，x 1](x-x 0)+f[x 0，x 1，x 2](x-x 0)(x-x 1)+…
+f[x 0，x 1，…，x n ](x-x 0)(x-x 1)…(x-x n －1)
+f[x 0，x 1，…，x n ，x]π(x) 。 以表中的上方一斜行中的数为系数，得
f(2.15)＝1.41421＋0.3501 ×(2.15-2.0)－0.047 ×(2.15-2.0) ×(2.15-2.1) ＝1.663725
指出： 误差未讨论。 5
57
()0167(1)(1)(2)(1)(2)(4)26
p x x x x x x x x x x x =++--------。
指出： 余项未讨论。
解：由已知条件，显然，x 0=0，h=1，x=t 。
0(1)(1)(2)(1)(2)(3)
()()01614(2)(140)2!3!4!(1)(2)35
167(1)(1)(2)(3)
36
n n t t t t t t t t t p x th p t t t t t t t t t t t t ------+==+?+
?+?-+?---=+------指出:
在本题这种情况下,实际上
()()n n p t p x =，也就是说,在这样的条件下,t 的多项式就是x 的多项式，可以直接转换。
一般情况下，把t 的关系转换为x 的关系需要根据x=x 0+th ，将t 用x 表示，即
将0
x x t h
-=代入得到的多项式。
6解：所给节点是等距结点：
000.125,0.125,,0,1,2,3,4,5i x h x x ih i ===+=。
令0
0()x x th t h
=+=
,根据等距结点插值公式，得 0(1)
()()0.79618(0.02284)(0.00679)
2!
(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)(0.00316)0.00488(0.00460)
3!4!5!
n n t t p x th p t t t t t t t t t t t t t t -+==+?-+?----------+?-+?+?-则
(0.1581)(0.1581)(0.1250.2648)0.790294822,
(0.636)(0.6363)(0.125 4.088)0.651804826n n n n f p p h f p p h ≈=+=≈=+=。
7、设f(x)在[-4,4]有连续的4阶导数，且 (1)1,(0)2,(0)0,(3)1,(3)1f f f f f ''-=====
(1)试构造一个次数最低的插值多项式p(x)，使其满足
(1)(1)1,(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f p f ''''-=-=-======== (2)给出并证明余项f(x)-p(x)的表达式。 解：
(1)由7*可以求出满足
(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f ''''======== 的三次埃尔米特插值多项式
32
52()2273
H x x x =-+。
设2232
2252()()(3)2(3)273
p x H x a x x x x a x x =+-=-++-，则p(x)满足
(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f ''''========， 由(1)1f -=得 3222521
(1)(1)2(13)(1)1273108a a ?--?-++---=?=-
， 所以
223222
432
521
()()(3)2(3)273108
11332108544p x H x a x x x x x x x x x =+-=-+--=-++-+。
(2)余项具有如下结构
22()()()()(1)(3)r x f x p x k x x x x =-=+- 作辅助函数
22()()()()(1)(3)t f t p t k x t t t ?=--+-
则显然()t ?在点,1,0,3x -处有6个零点（其中0，3是二重零点），即 ()0,(1)0,(0)0,(0)0,(3)0,(3)0x ??????''=-=====， 不妨假设(1,0)x ∈-。
由罗尔定理，存在123(1,),(,0),(0,3)x x ξξξ∈-∈∈， 使得123()0,()0,()0?ξ?ξ?ξ'''===，
再注意到(0)0,(3)0??''==，即()t ?'有5个互异的零点12303ξξξ<<<< 再次由罗尔定理得，存在111223343(,),(,0),(0,),(,3)ηξξηξηξηξ∈∈∈∈， 使得1234()0,()0,()0,()0?η?η?η?η''''''''====
第三次应用罗尔定理得，存在112223334(,),(,),(,)ξηηξηηξηη∈∈∈ 使得123()0,()0,()0?ξ?ξ?ξ'''''''''===，
第四次应用罗尔定理得，存在112223(,),(,)μξξμξξ∈∈ 使得(4)(4)12()0,()0?μ?μ==，
第五次应用罗尔定理得，存在12(,)τμμ∈
使得(5)()0?τ= 注意到
(5)(5)(5)()()5!()()5!()t r t k x f t k x ?=-=-
（()()()r t f t p t =-中p(t)是4次函数，其5次导数为0）。 所以
(5)(5)(5)
()()()5!()=0()=5!
f f k x k x ξ?ττ=-?，
代入余项表达式，有
(5)22()
()()()(1)(3)5!
f r x f x p x x x x ξ=-=+-。
指出：
本题是非标准插值问题，比较简单的求解方法有：
①求插值问题的基本方法是待定系数法。以本题来说，有5个条件，可以确定一个4次的插值多项式，设为23301233y a a x a x a x a x =++++，将条件代入，建立一个5元的线性方程组，求出各参数，就可以求出插值多项式。
②求插值问题的第二种方法是基函数法，即根据给定条件设定插值多项式的结构和各基函数的结构，根据条件确定基函数即可。具体方法与拉格朗日插值基函数构造和埃尔米特插值基函数构造相似。
③以标准插值为基础的方法是一种更简单的方法，本题中，首先利用4个条件构造一个埃尔米特插值，在此基础上设定所求插值多项式的一般形式，保证其满足埃尔米特插值条件，代入未利用条件解方程（组），求出其中的未知参数，即可求出插值多项式。
本题也可以先利用(1)(1)1,(0)(0)2,(3)(3)1p f p f p f -=-=-====构造一个2次插值多项式2()p x ，以此为基础构造4次插值多项式4()p x ，4()p x 的结构是
42()()()(1)(3)p x p x ax b x x x =+++-，
满足
(1)(1)1,(0)(0)2,(3)(3)1p f p f p f -=-=-====
再根据(0)(0)0,(3)(3)1p f p f ''''====列出两个线性方程组成的方程组，求出a 、b 两个参数，即可求出所求的插值多项式。 求插值函数余项()r x 的常用方法是：
()()()r x f x p x =-应具有如下形式（以本题为例） 22()()()()(1)(3)r x f x p x k x x x x =-=+-
作辅助函数
22()()()()(1)(3)t f t p t k x t t t ?=--+-
则()t ?在点,1,0,3x -处有6个零点（其中0，3是二重零点）。反复应用罗尔定理，直到至少有一个(4,4)τ∈-，使得(5)()0?τ=。此时即有
(5)(5)(5)
()
()()5!()=0()=5!
f f
k x k x ξ?ττ=-?
代入余项表达式即可求出。
7*、设f(x)在[-4,4]有连续的4阶导数，且 (0)2,(0)0,(3)1,(3)1f f f f ''====
试用两种方法构造三次埃尔米特插值多项式H(x)，使其满足 (0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f ''''========。 解一（待定系数法）：
解：设230123()H x a a x a x a x =+++，则
2123()23H x a a x a x '=++，
由插值条件得 01
0123123
2(0)0(0)1(1)1(1)23H a H a H a a a a H a a a ==??'==??
==+++??'==++? 解之得012325
2,0,,327
a a a a ===-=，
所以32
52()2273
H x x x =-+。
解二（基函数法）：
解：设300110011()()()()()()()()()H x f x x f x x f x x f x x ααββ''=+++，
因为线性拉格朗日插值基函数为100133()033
x x x x
l x x x ---===--，01100()303x x x x
l x x x --===--，
由④得
200001
2
1001012
231
()[12()
]()1[12()]13[12(0)
]033279227
x x x l x x x x x x x x x x x x x x x α=---??
-=-- ?
--??-??=-- ?-??
-+=
同理
2
23
01101102()92()[1]27
x x x x x x x x x x x α??---=+=
?--?? 由⑤得
2
2
100013()()3x x x x x x x x x β??--??
=-= ? ?-????
2
32
011103()()9x x x x x x x x x β??--=-=
?-??
则
32
52()2273
H x x x =
-+。 8、设()(01)x f x e x =≤≤，试作一个二次多项式p(x)，使其满足 (0)(0),(0)(0),(1)(1)p f p f p f ''===，并导出余项估计式。 解：设此二次式为2()p x a bx cx =++， 因为(),()x x f x e f x e '==， 所以，由已知条件
(0)(0)1,(0)(0)1,(1)(1)p f p f p f e ''====== 将其代入2(),()2p x a bx cx p x b cx '=++=+，得 11112a a b b a b c e c e ==????=?=????++==-??
所以，要求的二次多项式为 2()1(2)p x x e x =++-。
因为0是2重零点，1是1重零点，因此可以设余项具有如下形式： 2()()()()(0)(1)r x f x p x K x x x =-=--， 其中K(x)为待定函数。 固定x ，作辅助函数
2()()()(0)(1)t r t K x t t ?=--- 显然
(0)0,(0)0,()0,(1)0x ????'====， 不妨假设(0,1)x ∈。
由罗尔定理，存在12(0,),(,1)x x ξξ∈∈， 使得12()0,()0?ξ?ξ''==， 再注意到(0)0?'=
再次由罗尔定理得，存在11212(0,)(0,1),(,)(0,1)ηξηξξ∈?∈?， 使得12()0,()0?η?η''''==
再次应用罗尔定理，存在12(,)(0,1)ξηη∈?
使得
()0?ξ'''=。 注意到
()()3!()()3!()t r t K x f t K x ?'''''''''=-=-
（()()()r t f t p t =-中p(t)是2次函数，其3次导数为0）。 所以
()
()()3!()=0()=
3!
f f K x K x ξ?ξξ'''''''''=-?， 代入余项表达式，有
2
2()()()()(0)(1)=(1)3!3!f e r x f x p x x x x x ξξ'''=-=---。
指出：
石瑞民《数值计算》关于余项讨论很清楚。
9、给出sinx 在[0,π]上的等距结点函数表，用线性插值计算sinx 的近似值，
使其截断误差为41
102
-?，问该函数表的步长h 取多少才能满足要求？
解：设(0,1,)k x k =为等距结点，步长为h ，则1k k x x h +=+ 当1[,]k k x x x +∈时，作f(x)的线性插值
11111()()()k k
k k k k k k
x x x x L x f x f x x x x x ++++--=+--
则有
11()
()()()()2
k k f f x L x x x x x ξ+''-=--，
由此易知
12
11111()()max ()()(),[,]224
k k k k k k x x x h f x L x f x x x x x x x x +++≤≤''-≤--≤?∈
因此
2
1()()8
h f x L x -≤
由241
1082h -≤?，得0.02h ≤。 指出：关于最大值的计算与12题相同。
10、求4()f x x =在区间[a,b]上的分段埃尔米特插值，并估计误差。 解：由分段三次埃尔米特插值多项式
30()[()()()()]n
i i i i i H x f x x f x x αβ='=+∑
则4()f x x =的分段埃尔米特插值为
30
430
()[()()()()]
[()4()]
n
i i i i i n
i i i i i H x f x x f x x x x x x αβαβ=='=+=+∑∑
其中
2
11112
11112
1112
112()[1],,0
2()()[1],,0,(),,0()(),i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x i x x x x x x x x x x x x i n
x x x x x x x x x x x i x x x x x x x x x x αβ----++++---++???--?+≤≤≠ ?--??????--?
=+≤≤≠? ?--???
????
??--≤≤≠ ?-????-=- ?-??其他1,0,i x x i n
+?????
≤≤≠??
????
其他
其余项估计式为
444(4)
()max ()4!38438416
a x
b h h h r x f x ≤≤≤=?=。
解：这是第一类边界条件，要求解方程组 001111222102012M g M g M g μλ?????? ??? ?= ??? ? ??? ??????? 其中
0101210101117.5 2.55
107.5 2.52
0.66667
3
10.33333
h x x h x x h h h μλμ=-=-==-=-====+=-=
10
011
10211
12212122
226()0.5646() 1.120026
() 1.608y y g y h h y y y y g h h h h y y g y h h ?-'=-=???--=-=-?+??-'=-=??
将以上数据代入方程组 001
111222102012M g M g M g μλ?????? ??? ?= ??? ? ??? ???????
解之得
012
0.8073391.0506781.329334M M M =??
=-??=? 将获得的数据代入到
3322111
11()()()()()
6666i i i i i i i i i i i i i i i i i
x x x x M x x M x x S x M M y h y h h h h h ---------=++-+- 中，得
33
33
0.026911(7.5)0.035023( 2.5)0.127218(7.5) 2.275565( 2.5)()0.070045(10)0.088622(7.5) 3.237783(5.0) 1.446111(7.5)x x x x s x x x x x ??--?-+?-+?-?=?-?--?-+?-+?-??
12、设2()[,]f x C a b ∈（具有二阶连续导数），且f(a)=f(b)=0，证明：
21
max ()()max ()8
a x
b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 证明：以a 、b 为节点进行插值，得
1()()()
1
()()()()()2!1
()()()()2!f x p x r x x b x a f a f b f x a x b a b b a f x a x b a b ξξξ=+--''=
++----''=--<< 因为()()x a x b --在1
()2
x a b =+处取得最大值，故
21
max ()max ()max ()()21
()max ()
8
a x
b a x b
a x
b a x b f x f x x a x b b a f x ≤≤≤≤≤≤≤≤''≤--''=-
用两种方法求其二次拟合曲线。 解一：
设所求的拟合函数为2y a bx cx =++， 则5
221[()]i i i i L a bx cx y ==++-∑。
对a 、b 、c 分别求偏导，并令偏导数等于0，得 5
21
5
21555
21
1
1
2[()]0[()]0
50
i i i i i i i i i i
i i i i L a bx cx y a a bx cx y a b x c x y =====?=++-=??++-=?++-=∑∑∑∑∑
5
21
5
215555
2
3
1
1
1
1
2[()]0[()]0
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i L a bx cx y x b a bx cx y x a x b x c x x y ======?=++-=??++-=?++-=∑∑∑∑∑∑
5
221
5
2215555
23
4
21
1
1
1
2[()]0[()]0
i i i i i i i i i i i
i i i i i i i i L a bx cx y x c a bx cx y x a x b x c x x y ======?=++-=??++-=?++-=∑∑∑∑∑∑
将各数据点的数值代入，得方程组为
510
2.910 4.210347a c b a c +=??
=??+=?
解之得a=0.4086，b=0。42，c=0.0857， 所以数据点所反映的函数的近似关系为 20.40860.420.0857y x x =++
解二：设所求的拟合函数为2y a bx cx =++， 将数据代入方程得 240.10.10.4
0.924 1.6
a b c a b c a a b c a b c -+=-??-+=??
=??++=?++=?? 方程组的系数矩阵和右端向量为
1240.11110.1,1000.41110.9124 1.6A B --???? ? ?- ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ?????
因为
124111115010111210120100,
10041014100341111240.111111 2.90.121012 4.20.44101470.91.6T T A A A B -?? ?
-???? ? ? ? ?=--= ? ? ? ? ????
? ? ???
-?? ?
???? ? ? ? ?=--= ? ?
? ? ?????
? ???
所以
5010 2.90100 4.2100347a b c ?????? ??? ?= ??? ? ??? ???????
解之得a=0.4086，b=0。42，c=0.0857， 所以数据点所反映的函数的近似关系为 20.40860.420.0857y x x =++
用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式，并计算均方误差。 解：设2y a bx =+ 则
5
221[()]i i i L a bx y ==+-∑
对a 、b 分别求偏导，并令偏导数等于0，得
5
21
5
2155
21
1
2[()]0[()]0
50
i i i i i i i i i i L a bx y a a bx y a b x y ====?=+-=??+-=?+-=∑∑∑∑
5
221
5
221555
24
21
1
1
2[()]0[()]0
i i i i i i i i i
i i i i i i L a bx y x b a bx y x a x b x x y =====?=+-=??+-=?+-=∑∑∑∑∑
将数据代入得
22222222224444422
2225(1925313844)(19.032.349.073.397.8)0(1925313844)(1925313844)(1919.02532.33149.03873.34497.8)0a b a b ?+?++++-++++=??+++++?++++-?+???+?+?+?=?
化简得
55327271.40
53277277699369321.50
a b a b +-=??
+-=? 第二个方程减去第一个方程乘以1065进一步化简得
55327271.40
2160444480279.50a b a b +-=??
+-=? 解之得 1.01
0.05
a b =??
=? 则x 与y 的函数关系是 y=1.01+0.05x 2。 此时，平方逼近误差为
5
221[()]0.017i i i L a bx y ==+-=∑
所以,
0.13=。 指出：
均方误差实际上就是按最小二乘法则确定的残差。 15
求运动方程。
解：设运动方程为s ＝a+bt 则
6
666
21
1
1
1
14.7,53.63,280,1078i i
i i i i i i i t
t s t s ========∑∑∑∑
将上述数据代入方程组
66
11
666
21
116i i i i i i i i i i i a b t s a t b t t s =====?
+=????+=??∑∑∑∑∑ 得方程组
614.7280
14.753.631078a b a b +=??
+=? 解之得
7.8550478
22.25376a b =-??
=?
所以，7.855047822.25376s t =-+。 指出：
利用统计型计算器，有关中间数据可以简单求出。
用最小二乘法求y=f(t)。
解：描草图，观察草图可以发现，该组数据分布近似于指数函数曲线，而且随着t 的增大，y 的增速放缓，故设
b t
y ae =。
两边取对数，得
1
ln ln y a b t =+，
令1
ln ,,ln y z s a c t
===，
则拟合函数转化为线性拟合关系z c bs =+。
11
11
2110.6039755,0.06232136i
i i i s
s ====∑∑
1111
1
1
13.639649,0.5303303i
i i i i z
s z ====∑∑。
将上述数据代入
1111
11
111111
211111i i i i i i i i i i i c b s z c s b s s z =====?
+=????+=??∑∑∑∑∑ 得
110.603975513.639649
0.60397550.062321360.5303303c b c b +=??
+=? 解之得
7.4961692, 1.6515592 5.2151048b c a =-=?= 所以
7.4961692
5.2151048t
y e
-
=。
指出：
（1）T=0，该拟合函数不适用。
（2）专业的变化规律（经验函数）应当由专业人员给出。仅仅从有限数据的草图得出的规律可能不具普遍性。 17
用最小二乘法求形如y ae =的经验公式。 解：对bx y ae =两边取对数，得 ln ln y a bx =+，
令01ln ,ln ,y Y a a b a ===， 则
01Y a a x =+，
代入数据，建立方程组为 0101517.319.97968815
17.364.2368.55117703a a a a +=??
+=? 解之得
00114.45380
85.95290.1323290.132329a a a e a b a =??==??
?=-==-?? 所以
0.13232985.9529x y e -=。
18、用最小二乘法求方程组
241135326214x y x y x y x y +=??-=?
?
+=??+=? 的近似解。
分析：这是方程个数多于未知数个数的超定方程组，是矛盾方程组，用最小二乘
法求解。
解：设方程组中各个方程的一般形式为i i i a x b y c +=，则
4
21[()]i i i i L a x b y c ==+-∑
对x 、y 分别求偏导，并令偏导数等于0，得 4
1
4
1444
2111
2[()]0[()]0
i i i i i i i i i i i
i i i i i i i L a x b y c a x a x b y c a x a y a b a c =====?=+-=??+-=?+-=∑∑∑∑∑
4
1
4
1444
21
1
1
2[()]0[()]0
i i i i i i i i i i i i i
i i i i i L
a x
b y
c b y a x b y c b x a b y b b c =====?=+-=??+-=?+-=∑∑∑∑∑
将数据代入得 153510
349690x y x y --=??
-+-=?
解之得 3.727
1.636
x y =??
=?
它有形如()p x a bx =+的拟合函数，试求本问题的最小二乘解。
解：令1
y z
=，则拟合函数变形为
z a bx =+，原拟合问题转化为线性拟合问题。 则8
21[()]i i i L a bx y ==+-∑。
对a 、b 分别求偏导，并令偏导数等于0，得 8
1
8
188
1
1
2[()]0[()]0
80
i i i i i i i i i i L a bx y a a bx y a b x y ====?=+-=??+-=?+-=∑∑∑∑
8
1
8
1888
2
1
1
1
2[()]0[()]0
i i i i i i i i i i i i i i i L a bx y x b a bx y x a x b x x y =====?=+-=??+-=?+-=∑∑∑∑∑
将数据代入，得
88
11
888
211180836419.90836419.90362042479.4848737.900i i i i i i i i i i i a b x y a b a b a b b a x b x x y =====?
+-=?+-=+-=????????+--+=?
??+-=??∑∑∑∑∑ 解之得 520.58
104.02
a b =??
=-? 所以，所求的拟合函数为
1
()520.58104.02p x x
=
-。 20、在平面上给出三个点，它们的坐标是123(1,1),(2,0),(1.5,3)T T T
x x x ===，每个点对应一个函数值1231.8, 2.6, 3.1z z z ===，找出一个通过这三个点的平面。 解：这实际上是求过三个点(1,1,1.8),(2,0,2.6),(1.5,3,3.1)的平面方程。 由解析几何知识可知，平面的三点式方程为 1112223
2
31
1011
x y z x y z x y z x y z =
将三点坐标代入，解此方程就可求出所求平面方程。 （以下从略）
补充题（一）
1、求次数不超过2和3的多项式p 2(x)和p 3(x)。使得
p 2(0)＝p 3(0)＝0，p 2(1)＝p 3(1)＝1，p 2(2)＝p 3(2)＝8，p 3(3)＝27。 解一：设二次多项式为p 2(x)=a 0+a 1x+a 2x 2 ，则有
20122
0122012000111228a a a a a a a a a ?+?+?=?+?+?=??+?+?=?
解之得，0120,2,3a a a ==-=。所以
22()23p x x x =-+。
设三次多项式为p 3(x)=a 0+a 1x+a 2x 2＋a 3x 3 ，则有
23012323
012323
01232301
2300001111
222833327
a a a a a a a a a a a a a a a a ?+?+?+?=?+?+?+?=??+?+?+?=??+?+?+?=? 解之得，01230,0,0,1a a a a ====。所以
32()p x x =。
解二：由题6，可以直接利用插值多项式公式求出所要求的多项式来。 解三：在学习了差商和差分后，也可以利用牛顿插值公式或等距节点插值公式求出所求多项式。
对f(x)在0，1，2，3处求差商得
所以，p 2(x)=p 2(0)+1×(x-0)+3×(x-0)(x-1)=3x 2-2x ， p 3(x)=p 3(0)+1×(x-0)+3×(x-0)(x-1)+1×(x-0)(x-1)(x-2)=x 3。
2、已知函数f(x)在节点－1，0，1处的值分别是0.3679,1.000,2.7182，用待定系数法和插值基函数法两种方法求出拉格朗日插值。
解1：设所求的多项式为
22012()p x a a x a x =++，把已知条件代入得
20122
0122012(1)(1)0.3679(0)(0) 1.000
(1)(1) 2.7182a a a a a a a a a ?+?-+?-=?+?+?=??+?+?=? 解之得
0121, 1.751,0.5431a a a ===
所以
22()1 1.17510.5431p x x x =++。
第一章 误差 1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差. 解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2 4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生 的误差即为模型误差. 在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 12 222...q q π=? ?? 其中 11 2,3,... n q q n +?=?? ==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得 3.141587725...π≈ 这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位 4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位 5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字? 解: 已知4311 d 10,d 1022 a b --
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于
【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q
(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
数值计算方法试题一 一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1），（2），（3），（4）， （1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)
三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）
《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题 1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ 2 10- ）。 2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ))((!2) (b x a x f --''ξ ） 。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （5 2 ）。 4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题 1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。 A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2 )(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝?? ? ? ??3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ） ． Ａ． 2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6 π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）. A ．)(h o Ｂ．)(2 h o Ｃ．)(3 h o Ｄ．)(4 h o 三、计算题 1．求矛盾方程组：??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2 212 212 2121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?， 由 0,021=??=??x x ? ?得：???=+=+9 629232121x x x x ， 解得14 9 ,71821== x x 。
（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2）
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因
，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和.
解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表
数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k
n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!
.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj
练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.*x=–1 2.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限 ≤ 4 10 2 1 - ? 。( ) 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。( ) 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。( )
4. 用 2 12x -近似表示cos x 产生舍入误差。 ( ) 5. 3.14和3.142作为π的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1. 为了使计算()()2334912111y x x x =+-+---的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ； 2. *x =–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限 为 ，相对误差限为 ； 3. 误差的来源是 ； 4. 截断误差为 ； 5. 设计算法应遵循的原则 是 。 三、选择题 1．*x =–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值
3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s *=21 g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是 在时间t 内的实际距离，则s t s *是（ ）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。 四、计算题 1． 3.142，3.141，22 7分别作为π的近似值，各有几位有效数字？ 2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？ 3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确： (1)1||,11211<<+-++x x x x ， (2) 1||1112<<+?+x dt t x x (3) 1||,1<<-x e x ， (4) 1)1ln(2>>-+x x x 4．真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =21 g t 2，g 为重力加速度。现设g 是精确的，而对t 有0.1±秒的测量误差，证明：当t 增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数
是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公
数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 1122k k k k k k x a x x x x +-??=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ? ?+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）
则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为00678.07 .20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 2102 1 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字
第一章 题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1） （1） 3 ()432f x x x =-+ （2） （2） 4 3 ()2f x x x =- 解 （1）(4) ()0f x =， 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=； （2）(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --，其中01x x ξ≤≤， 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x ： （1） （1） 用待定系数法； （2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 （1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2 123()23p x a a x a x '=++， 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之，得01230 021 a a a a =??=?? =??=-?
《计算方法》习题 习题一 1． 设85.9,64.3,23.1321===x x x 均准确到末位数字，试估计由这些数据计算 321x x x +的相对误差。 ??? ? ??? ??-=??????? ????????? ? ?----4170212153222352 32 31 4321x x x x 4． 用追赶法解方程组