概率论与数理统计1-5章(魏宗舒版)

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则

，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，

，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，

=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，

(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r } (ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC =成立？

(3)什么时候关系式B C ?是正确的？

(4) 什么时候B A =成立？

解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) C ABC = 等价于AB C ?，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。用i A 表示下列事件：

(1)没有一个零件是不合格品；

(2)至少有一个零件是不合格品；

(3)仅仅只有一个零件是不合格品；

(4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n i

j j j i A A 11)]([=≠=;

(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 n

j i j i j i A A ≠=1,；

1.4 证明下列各式：

(1)A B B A ?=?;

(2)A B B A ?=?

(3)=??C B A )()(C B A ??;

(4)=??C B A )()(C B A ??

(5)=??C B A )(??)(C A )(C B ? (6) n

i i n i i A A 11===

证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

解 样本点总数为7828?=A 。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以

事件A “所得分数为既约分数”包含63221513

23??=?+A A A 个样本点。于是 14

978632)(=???=

A P 。 1.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。 解 样本点总数为1035=???

? ??。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必

须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A “所取三条线段能构成一

个三角形”包含3个样本点，于是10

3)(=A P 。 1.7 一个小孩用13个字母T T N M M I I H E C A A A ,,,,,,,,,,,,作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率为多大？

解 显然样本点总数为!13，事件A “恰好组成“MATHEMATICIAN ”包含

!2!2!2!3个样本点。所以!

1348!13!2!2!2!3)(==

A P 1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。

解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于891109=-?个不同位置，当

它处于和红“车”同行或同列的1789=+个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为

89

17)(=A P 1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79。事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含79A 个样本点，于是

7799

)(A A P =。 1.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？

解 用A 表示“牌照号码中有数字8”，显然4

4109100009)(??

? ??==A P ，所以 1)(=A P -4410911000091)(??

? ??-=-=A P 1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：

(1)该数的平方的末位数字是1；

(2)该数的四次方的末位数字是1；

(3)该数的立方的最后两位数字都是1；

解 (1) 答案为5

1。 (2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为5

2104= (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含210个样本点。用事件A 表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a ，则该数的立方的最后两位数字为1和3a 的个位数，要使3a 的个位数是1，必须7=a ，因此A 所包含的样本点只有71这一点，于是

。

1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到n 2根草的情形。

解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故

对头而言有135??种接法，同样对尾也有135??种接法，所以样本点总数为2)135(??。用A 表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有135??种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为24?。所以A 包含的样本点数为)24)(135(???，于是158)135()24)(135()(2

=?????=A P (2) n 2根草的情形和(1)类似得

1.13 把n 个完全相同的球随机地放入N 个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k 个球的概率为???? ??-+???? ??---+n n N k n k n N 12，n k

≤≤0

(2)恰好有m 个盒的概率为???? ??-+???? ??---???? ??n n N m N n m N 111，1-≤≤-N m n N

(3)指定的m 个盒中正好有j 个球的概率为???? ??-+???

? ??---+-???? ??--+n n N j n j n m N m j m 1111，

.0,1N j N m ≤≤≤≤

解 略。

1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。

解 所求概率为5

3)(=A P 1.15 在ABC ?中任取一点P ，证明ABC ABP ??与的面积之比大于n

n 1-的概率为21n

。 解 截取CD n

D C 1='，当且仅当点P 落入B A C ''?之内时ABC ABP ??与的面积之比大于n

n 1-，因此所求概率为22

)(CD D C ABC C B A A P '=?''?=的面积有面积2221CD D C n '=21n =。

1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

解 分别用y x ,表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当10,20≤-≤≤-≤x y y x 。因此所求概率为

121.024

2221232124)(22

22≈?-?-=A P 1.17 在线段AB 上任取三点321,,x x x ，求：

(1) 2x 位于31x x 与之间的概率。

(2) 321,,Ax Ax Ax 能构成一个三角形的概率。

解 (1) 31)(=A P (2) 2

11213131)(=??-=B P 1.18 在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为c b a ,,（均小于d ），求三角形与平行线相交的概率。

解 分别用321,,A A A 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然.0)()(21==A P A P 所求概率为)(3A P 。分别用bc ac ab c b a A A A A A A ,,,,,表示边c b a ,,，二边bc ac ab ,,与平行线相交，则=)(3A P ).(bc ac ab A A A P ??显然)(a A P )()(ac ab A P A P +，=)(b A P )()(bc ab A P A P +，=)(c A P )()(bc ac A P A P +。所以

2

1)(3=A P [+)(a A P +)(b A P )(c A P ])(22c b a d ++=π)(1c b a d ++=π （用例1.12的结果）

1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。

解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A “该点命中AB 的中点”的概率等于零，但A 不是不可能事件。

1.20 甲、乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。

解1ω表示白，2ω表示黑白，3ω表示黑黑白，…白黑黑表示个

b b 1+ω，

则样本空间=Ω{1ω，2ω，…，1+b ω}，并且b

a a P +=})({1ω， 1})({2-+?+=

b a a b a b P ω， 2

11})({3-+?-+-?+=b a a b a b b a b P ω，…， )

1()2()2(11})({--+?--+--??-+-?+=i b a a i b a i b b a b b a b P i ω a b a b a a b P b )1)((!})({1-++=

+ω 甲取胜的概率为})({1ωP +})({3ωP +})({5ωP +…

乙取胜的概率为})({2ωP +})({4ωP +})({6ωP +…

1.21 设事件B A ,及B A ?的概率分别为p 、q 及r ，求)(AB P ，)(B A P ，)(B A P ，)(B A P

解 由)()()()(AB P B P A P B A P -+=?得

r q p B A P B P A P AB P -+=?-+=)()()()(

q r AB P A P AB A P B A P -=-=-=)()()()( ，p r B A P -=)(

r B A P B A P B A P -=?-=?=1)(1)()(

1.22 设1A 、2A 为两个随机事件，证明： (1) )()()(1)(212121A A P A P A P A A P +--=; (2) )()()()()()(121212121A P A P A A P A A P A P A P +≤?≤≤--.

证明 (1) -=?=1)()(2121A A P A A P )(21A A P ?=)()()(12121A A P A P A P +--

(2) 由(1)和0)(21≥A A P 得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。

1.23 对于任意的随机事件A 、B 、C ，证明：)()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+ 证明 )()()()]([)(ABC P AC P AB P C B A P A P -+=?≥

)()()(BC P AC P AB P -+≥

1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：

(1)只订甲报的；

(2)只订甲、乙两报的；

(3)只订一种报纸的；

(4)正好订两种报纸的；

(5)至少订一种报纸的；

(6)不订任何报纸的。

解 事件A 表示订甲报，事件B 表示订乙报，事件C 表示订丙报。 (1) ))(()(AC AB A P C B A P ?-==)()(AC AB P A P ?-=30% (2) %7)()(=-=ABC AB P C AB P (3) %23)]()()([)()(=-+-=ABC P BC P AB P B P C A B P %20)]()()([)()(=-+-=ABC P BC P AC P C P B A C P ?C B A P (+C A B +)B A C =)(C B A P +)(C A B P +)(B A C P =73% (4) =++)(A BC B AC C AB P %14)()()(=++A BC P B AC P C AB P

(5) %90)(=++C B A P (6) %10%901)(1)(=-=++-=C B A P C B A P

1.26 某班有n 个学生参加口试，考签共N 张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？

解 用i A 表示“第i 张考签没有被抽到”， N i ,,2,1 =。要求)(1 N

i i A P =。

n i N N A P ??

? ??-=1)(，n j i N N A A P ??? ??-=2)(，……，0)(1=??? ??-=n N N N N A A P n N i i N N N A P ??? ??-????? ??=∑=11)(1n N N N ??? ?

?-???? ??-=-11)1(11 n N i j i N N N A A P ??? ??-???? ??-=-∑≤≤22)(1n

N N N ??? ??-???? ??-=-22)1(12，…… 所以n

N i i N i i N i N A P ??? ??--=∑=-=111)1()(

1.27 从n 阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？

解n 阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为n ni i i a a a 2121，当且仅当n ,,2,1 的排列)(21n i i i 中存在k 使k i k =时这一项包含主对角线元素。用k A 表示事件“排列中k i k =”即第k 个主对角线元素出现于展开式的某项中。则

n i n n A P i ≤≤-=

1!)!1()( )1(!)!2()(n j i n n A A P j i ≤<≤-=，…… 所以!1)1(!)!()1()(11111i n i n i n A P n i i n i i N i i ∑∑=-=-=-=-???

? ??-= 1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。

解 用g b ,分别表示男孩和女孩。则样本空间为：

)},,)(,,}(,,),,(),,,)(,,(),,,(),,,{(g g g b g g g b g g g b b b g b g b g b b b b b =Ω

其中样本点依年龄大小的性别排列。A 表示“有女孩”， B 表示“有男孩”，则

7

68/78/6)()()|(===A P AB P A B P 1.30 设M 件产品中有m 件是不合格品，从中任取两件，

(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。

(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。

解（1）设A 表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B 表示“所取产

品都是不合格品”，则 ???? ?????? ??-???? ??+???? ??=2112)(M m M m m A P ???

? ?????? ??=22)(M m B P ===)()()()()|(A P B P A P AB P A B P 1

21---m M m (2)设C 表示“所取产品中至少有一件合格品”， D 表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则

???? ?????? ??-+???? ??-???? ??=2211)(M m M m M m C P ???

? ?????? ??-???? ??=211)(M m M m D P

===)()()()()|(C P D P C P CD P C D P 1

2-+m M m 1.31 n 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：

(1)已知前1-k )(n k ≤个人都没摸到，求第k 个人摸到的概率；

(2)第k )(n k ≤个人摸到的概率。

解 设i A 表示“第i 个人摸到”， n i ,,2,1 =。 (1) 1

1)1(1)|(11+-=--=-k n k n A A A P k k (2) =)(k A P =-)(11k k A A A P n

k n n n n n 111121=+-??--?- 1.32 已知一个母鸡生k 个蛋的概率为)0(!>-λλλe k k

，而每一个蛋能孵化成小

鸡的概率为p ，证明：一个母鸡恰有r 个下一代（即小鸡）的概率为p r

e r p λλ-!

)(。 解 用k A 表示“母鸡生k 个蛋”， B 表示“母鸡恰有r 个下一代”，则 )|()()(k r k k A B P A P B P ∑∞==r k r r k k p p r k k e -∞=--????

? ???=∑)1(!λλ ∑∞=----=r

k r k r

r k p e r p )!()]1([!)(λλλ)1(!)(p r

e e r p --?=λλλ p r

e r p λλ-=!

)( 1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。

解 用k A 表示“任选一名射手为k 级”， 4,3,2,1=k ，B 表示“任选一名射手能

进入

决赛”，则)|()()(41

k k k A B P A P B P ∑==645.02.02015.02077.02089.0204=?+?+?+?=

1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任

取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？

解 用1A 表示“任取一只产品是甲台机器生产”

2A 表示“任取一只产品是乙台机器生产”

3A 表示“任取一只产品是丙台机器生产”

B 表示“任取一只产品恰是不合格品”

。 则由贝叶斯公式： 6925)|()()|()()|(31111==∑=k k

k A B P A P A B P A P B A P 69

28)

|()()|()()|(31222==∑=k k k A B P A P A B P A P B A P

69

16)|()()

|()()|(31333==∑=k k

k A B P A P A B P A P B A P 1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？

解 则 159)(1=A P ， 153)(2=A P ，152)(3=A P ，15

1)(4=A P 71)|(1=A B P ，72)|(2=A B P ，73)|(3=A B P ，7

1)|(4=A B P 由贝时叶斯公式得 22

9)

|()()|()()|(41111==∑=k k k A B P A P A B P A P B A P

1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、

0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是41、3

1、12

1，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？ 解 用1A 表示“朋友乘火车来”，2A 表示“朋友乘轮船来”，3A 表示“朋友乘汽车来”，4A 表示“朋友乘飞机来”，B 表示“朋友迟到了”。

则 21)|()()|()()|(41

111==∑=k k

k A B P A P A B P A P B A P

1.37 证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则B A ?、AB 及B A -都与C 独立。

证明 （1）)()()())((ABC P BC P AC P C B A P -+=?

=)()(C P B A P ?

（2）)()()()()()C P AB P C P B P A P PABC ==

（3）)())(())((ABC AC P C AB A P C B A P -=-=-=)()(C P B A P -

1.38 试举例说明由)()()()(C P B P A P ABC P =不能推出)()()(B P A P AB P =一定成立。

解 设},,,,{54321ωωωωω=Ω，641})({1=

ωP ，6418})({5=ωP ， =})({2ωP =})({3ωP 64

15})({4=ωP ，},{21ωω=A ，},{31ωω=A ，},{41ωω=A 则 4

16415641)()()(=+===C P B P A P ， )()()(64

1})({)(1C P B P A P P ABC P ===ω 但是)()(64

1})({)(1B P A P P AB P ≠==ω 1.39 设n A A A ,,,21 为n 个相互独立的事件，且)1()(n k p A P k k ≤≤=，求下列事件的概率：

(1) n 个事件全不发生；

(2) n 个事件中至少发生一件；

(3) n 个事件中恰好发生一件。

解 (1) ∏∏===-==n

k k k k n k k p A P A P n 111)1()()( (2) ∏===--=-=n

k k n k k n k k p A P A P 111)1(1)(1)( (3) ])1([)()]([111111 n

k j j j n k j j n k k j n k k n k n k j j j k p p A A A A P ≠=≠====≠=-==∑∑.

1.40 已知事件B A ,相互独立且互不相容，求))(),(min(B P A P （注：),min(y x 表示y x ,中小的一个数）。

解 一方面0)(),(≥B P A P ，另一方面0)()()(==AB P B P A P ，即)(),(B P A P 中至少有一个等于0，所以.0))(),(min(=B P A P

1.41 一个人的血型为AB B A O ,,,型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率

(1)两个人为O 型，其它三个人分别为其它三种血型；

(2)三个人为O 型，两个人为A 型；

(3)没有一人为AB 。

解 (1)从5个人任选2人为O 型，共有???

? ??25种可能，在其余3人中任选一人

为A 型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B 型，共有2种可能，另一

人为AB 型，顺此所求概率为：0168.013.011.040.046.023252≈?????????

? ?? (2) 1557.040.046.03522≈?????

? ?? (3) 8587.0)03.01(5≈-

1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。

解 用k A 表示“第k 门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， ,2,1=k ，B 表示“击中飞机”。则6.0)(=k A P ， ,2,1=k 。 (1) 84.04.01)(1)(22121=-=-=?A A P A A P (2) 99.04.01)(1)(11>-=-=?=n n k k n A P A A P , 026.54

.0lg 01.0lg ≈>

n 取6=n 。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。

1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p ，求在成功n 次之前已失败了m 次的概率。

解 用A 表示“在成功n 次之前已失败了m 次”， B 表示“在前1-+m n 次试验中失败了m 次”， C 表示“第m n +次试验成功”

则 p p p m m n C P B P BC P A P m n ?-???

? ??-+===-)1(1)()()()(1

m n p p m m n )1(1-???

? ??-+= 1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r 根火柴（n r ≤≤1）的概率。

解 用i A 表示“甲盒中尚余i 根火柴”， 用j B 表示“乙盒中尚余j 根火柴”，

D C ,分别表示“第r n -2次在甲盒取”

，“第r n -2次在乙盒取”， C B A r 0表示取

了r n -2次火柴，且第r n -2次是从甲盒中取的，即在前12--r n 在甲盒中取了

1-n ，其余在乙盒中取。所以 21

2121112)(10????

??????

?????? ??---=--r

n n r n r n C B A P

由对称性知)()(00D B A P C B A P r r =，所求概率为：

=?)(00D B A C B A P r r 1

202111

2)(2--???

?????? ??---=r n r n r n C B A P

第二章 离散型随机变量

2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？

(1)???? ??2.03.05.05

31 (2) ???

?

??1.01.07.0321 (3) ????? ????? ????? ????? ?? n n 312131213121212102 (4)??

??

?

????? ????? ?? 2221

212121n

解 （1）是

（2）11.01.07.0≠++，所以它不是随机变量的分布列。

（3）4

3312131213121212=+???

??

++??? ??+??? ??+ n

,所以它不是随机变量的分布列。

（4）,021>??? ??n n 为自然数，且1211=??

? ??∑∞

=n n

，所以它是随机变量的分布列。

2.2 设随机变量ξ的分布列为：5,4,3,2,1,15)(===k k

k P ξ，

求(1))21(==ξξ或P ; (2)25

21

(<<ξP ) ； (3) )21(≤≤ξP 。

解 (1) 51

152151)21(=+===ξξ或P ; (2) 51

)2()1()25

21

(==+==<<ξξξP P P ;

(3) )21(≤≤ξP 51

)2()1(==+==ξξP P .

2.3 解 设随机变量ξ的分布列为3,2,1,32)(=??

? ???==i C i P i

ξ。求C 的值。

解 1

32323232

=??????????? ??+??? ??+C ，所以3827

=C

。

2.4 随机变量ξ只取正整数N ，且)(N P =ξ与2N 成反比，求ξ的分布列。 解 根据题意知2)(N

C

N P ==ξ，其中常数C 待定。由于16212=?=∑∞=πC N C N ，所以26

π=C ，即ξ的分布列为226

)(N N P πξ==，N 取正整数。

2.5 一个口袋中装有m 个白球、m n -个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了ξ个白球，求ξ的分布列。

解 设“k =ξ”表示前k 次取出白球，第1+k 次取出黑球，则ξ的分布列为：

.,,1,0,)

()1())(1()1()(m k k n n n m n k m m m k P =---+--==ξ 2.6 设某批电子管的合格品率为43，不合格品率为4

1，现在对该批电子管进行测试，设第ξ次为首次测到合格品，求ξ的分布列。

解 .,2,1,4

341)(1 =??? ??==-k k P k ξ 2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以ξ表示取出球的取大号码，求ξ的分布列。

解 .5,4,3,3521)(=???

? ?????? ??-==k k k P ξ

2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p )10(<

解 ,3,2,)(11=+==--k q p p q k P k k ξ，其中p q -=1。

2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。

解 设ξ，η表示第二名队员的投篮次数，则

4.04.06.0)(11--==k k k P ξ+6.04.06.01-k k ,2,1,24.076.01=?=-k k ；

6.04.06.0)(1-==k k k P η4.04.06.0k k + ,2,1,4.06.076.01=?=-k k k 。

2.10 设随机变量ξ服从普哇松分布，且==)1(ξP )2(=ξP ，求)4(=ξP 。

解 ,2,1,0)0(!)(=>==-k e k k P k

λλξλ。由于,22

λλλλ--=e e 得,21=λ0

2=λ（不合要求）。所以224

3

2!42)4(--===e e P ξ。 2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。

解 设ξ为该种商品当月销售数，x 为该种商品每月进货数，则

999

.0)(≥≤x P ξ。查普哇松分布的数值表，得16≥x 。 2.12 如果在时间t （分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t 成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。

解 设ξ为时间t 内通过交叉路口的汽车数，则 ,2,1,0),0(!

)()(=>==-k e k t k P t k

λλξλ 1=t 时，2.0)0(===-λξe P ，所以5ln =λ；2=t 时，5ln 2=t λ，因而 =>)1(ξP -=-)0(1ξP ==)1(ξP 83.025/)25ln 24(≈-。

2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。

解 在指定的一页上出现某一个错误的概率500

1=p ，因而，至少出现三个错误的概率为 k k k k -=??? ????? ?????? ??∑50050035004995001500k k k k -=??? ????? ?????? ??-=∑5002050049950015001 利用普哇松定理求近似值，取1500

1500=?

==np λ，于是上式右端等于 080301.0251!11120≈-=--=∑e e k k 2．14 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？

解 设每箱至少装x +100个产品，其中有k 个次品，则要求x ,使

k x k x

k k x -+=∑???? ??+≤100097.003.01009.0， 利用普哇松分布定理求近似值，取303.0)100(≈?+=x λ，于是上式相当于

30!39.0-=∑≤e k x

k k

，查普哇松分布数值表，得5=x 。

2.15 设二维随机变量),(ηξ的联合分布列为：

)10,0()!(!)1(),(<<>--===--p e m n m p p m n P m

n m n λληξλ ,2,1,0,,1,0==n n m

求边际分布列。

解 ∑=====n m m n P n P 0),()(ηξξm n m n m n p p m n m n n e -=---=

∑)1()!(!!!0λλ

,2,1,0!==-n n e n λ

λ

∑∞=====0),()(n m n P m P ηξηm n m m n m p p m n m n m e p -∞

=---=∑)1()!(!!!λ ,2,1,0!)(==-m m e p p

m λλ。

2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为ξ、η、ζ，求),,(ζηξ的联合分布列与各自的边际分布列。

解 k n m k n m k n m P 2.03.05.0!

!!!4),,(====ζηξ ，.44,3,2,1,0,,=++=k n m k n m m m m m P -???

? ??==45.05.04)(ξ ，4,3,2,1,0=m ； n n n n P -???

? ??==47.03.04)(η ，4,3,2,1,0=n ；

k k k k P -???

? ??==48.02.04)(ζ ，4,3,2,1,0=k 。

2.18 抛掷三次均匀的硬币，以ξ表示出现正面的次数，以η表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求),(ηξ的联合分布列及边际分布列。

2.21 设随机变量ξ与η独立，且)1(=ξP 0)1(>===p P η，

又)0(=ξP 01)0(>-===p P η，定义???++=为奇数

若为偶数若ηξηξζ01，问p 取什么值时ξ与ζ独立？

解)1()1()0()0()1(==+====ηξηξζP P P P P =22)1(p p +-

)1()0()1()0()0(==+====ηξηξζP P P P P )1(2p p -=

而)1,1(==ζξP 2)1,1(p P ====ηξ，由)1,1(==ζξP )1()1(===ζξP P 得2

1=p

2.22 设随机变量ξ与η独立，且)1(±=ξP 21)1(=

±==ηP ，定义ξηζ=，证明ηξζ,,两两独立，但不相互独立。

证明2

1)1()1()1()1()1(=-=-=+====ηξηξζP P P P P 21)1()1()1()1()1(=

=-=+-===-=ηξηξζP P P P P 因为4

1)1,1()1,1(======ηξζξP P )1)1(===ζξP P 4

1)1,1()1,1(=-===-==ηξζξP P )1)1(-==ζξP P 4

1)1,1()1,1(=-=-===-=ηξζξP P )1()1(=-=ζξP P 4

1)1,1()1,1(==-==-=-=ηξζξP P )1()1(-=-=ζξP P 所以ξζ,相互独立。同理η与ζ相互独立。

但是)1()1()1()1,1,1(===≠===ζηξζηξP P P P ，因而ηξζ,,不相互独立。

2.23设随机变量ξ与η独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明ηξ+不服从均匀分（即不可能有12,,3,2,11

1)( ===+k k P ηξ。） 证明 设,)(k p k P ==ξ6,,2,1,)( ===k q k P k η。 若12,,3,2,11

1)( ===+k k P ηξ，则 11

1)2(11===+q p P ηξ )1( 11

1)7(165261=+++==+q p q p q p P ηξ )2( 11

1)12(66===+q p P ηξ )3( 将（2）式减去（1）式，得：0)(116<-q p p ，于是16p p <。同理16q q <。因此11

11166=

2.24 已知随机变量ξ的分布列为??????

??41214120ππ，求232+=ξη与ξζcos =的分布列。

解 η分布列为41)2(==ηP ，21)32(=+=πηP ，4

1)322(=+=πηP ； ζ的分布列为41)1(=-=ζP ，21)0(==ζP ，4

1)1(==ζP 。 2.25 已知离散型随机变量ξ的分布列为???? ??--3011151516151

31012，求2ξη=的分布列。 解51)0(=

=ηP , 307)1(==ηP , 51)4(==ηP , 30

11)9(==ηP 2.26 设离散型随机变量ηξ与的分布列为ξ：???? ??818321310 ， η ：???

? ??323110，且ηξ与相互独立，求ηξζ+=的分布列。

解 ???? ??1212414124116143210 2.27 设独立随机变量ηξ与分别服从二项分布：),;(1p n k b 与),;(2p n k b ，求ηξ+的分布列。

解 设ξ为1n 重贝努里试验中事件A 发生的次数（在每次试验中p A P =)(），

η为2n 重贝努里试验中事件A 发生的次数（在每次试验中p A P =)(）

，而ηξ与相互独立，所以ηξ+为21n n +重贝努里试验中事件A 发生的次数，因而

,,,1,0,)(2121 =???? ??+==+-+k q p k n n k P k n n k ηξ21n n +。

2.28 设ηξ与为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为 ,2,1,21)()(==

===n n P n P n ηξ 求ηξ+的分布列。 解n k n n k k n k n k n P k P n P 212121)()()(1

111-=?=-====+--=-=∑∑ηξηξ

2.29 设随机变量ξ具有分布：5,4,3,2,1,5

1)(===k k P ξ，求ξE 、2ξE 及2)2(+ξE 。 解，3)54321(51=++++=ξE ，11)54321(5

1222222=++++=ξE =+2)2(ξE 2ξE +4ξE +4=27

2.30设随机变量ξ具有分布： ,2,1,2

1)(===k k P k ξ，求ξE 及ξD 。 解 221212

111=??? ??==-∞=∞=∑∑k k k k k k E ξ，621212112122=??? ??==-∞=∞=∑∑k k k k k k E ξ

2)(22=-=ξξξE E D 2.31设离散型随机变量ξ的分布列为： ,2,1,21]2)1([==-=k k P k k k

ξ，问ξ是否有数学期望？

解 ∑∑∞=∞==?-11121|2)1(|k k k k k

k k ，因为级数∑∞=11k k 发散，所以ξ没有数学期望。 2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1克、2克、…、10克，现有三组砝码：

（甲组）1，2，2，5，10（克）

（乙组）1，2，3，4，10（克）

（丙组）1，1，2，5，10（克）

问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？

解 设1ξ、2ξ、3ξ分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有

物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1ξ 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1

2ξ 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1

3ξ 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1

于是 8.1)1332212211(10

11=+++++++++=

ξE 7.1)1332221111(10

12=+++++++++=ξE 2)1432213211(1013=+++++++++=ξE

所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。

2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49, 10±米的概率各是0.16，20±米的概率各是0.08，30±米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。

解 设场地面积为2米S ，边长的误差为ξ米，则2)500(+=ξS 且

0=ξE 186)05.03008.02016.010(22222=?+?+?=ξE

所以)(2501862500001000)500(222米=++=+=ξξξE E E ES

2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为1p 、2p 、3p 。试证发生故障的仪器数的数学1p +2p +3p 。

证 令3,2,101=???=i i i i 架仪器未发生故障

第架仪器发生故障第ξ ξ为发生故障的仪器数，则3,2,1,)1(====i p P E i i i ξξ，

所以=++=321ξξξξE E E E 1p +2p +3p 。

2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。

解 设，

则i η的分布列为???

? ??151415101，因而151=i E η。设ξ为查得的不合格品数，则

∑==1501i i ηξ，所以10150

1==∑=i i E E ηξ。

2.38 从数字0，1，…，n 中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。

解 设ξ为所选两个数字之差的绝对值，则n k n k n k P ,,2,1,211)( =???

? ??++-==ξ， 于是32])1[()1(2211121+=-++=???? ??++-=∑∑==n k k n n n n k n k E n k n

k ξ。 2.39 把数字n ,,2,1 任意在排成一列，如果数字k 恰好出现在第k 个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论与数理统计及其应用第二版课后答案浙江大学

第1章 随机变量及其概率 1,写出下列试验的样本空间: （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次,记录投 掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次, 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现,观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币,若出现H 则再抛一次;若出现T,则再抛一颗骰子,观 察出现的各种结果。 解:(1)}7,6,5,4,3,2{=S ;(2)},4,3,2{Λ=S ;(3)},,,,{ΛTTTH TTH TH H S =;(4)}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2,设B A ,就是两个事件,已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ,求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解:625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P , 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P , 875.0)(1)(___ --=AB P AB P , 5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3,在100,101,…,999这900个3位数中,任取一个3位数,求不包含数字1个概率。 解:在100,101,…,999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??,所以所求得概率为

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望

概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_参考答案_

习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{

解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题

您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题

您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题

您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它

天津理工大学概率论与数理统计同步练习册标准答案详解

天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解

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第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18x 与22≤x 相容事件 (5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容 (6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件

概率论与数理统计在生活中的应用

概率论与数理统计在生活中的应用 单位:兴隆场初级中学姓名:姜宏琼 摘要：随机现象无处不在，渗透于日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论就是通过研究随机现象及其规律从而指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。生活中买彩票显示了小概率事件发生的几率之小，抽签与体育比赛赛制的选择用概率体现了公平与不公平，用概率来指导决策，减少错误与失败等等，显示了概率在人们日常生活中越来越重要。数理统计在人们的生活中也不断的发挥重要的作用，如果没有统计学，人们在收集资料和进行各项的大型的数据收集工作是非常困难的，通过对统计方法的研究，使得我们处理各种数据更加简便，所以统计也是一门很实用的科学，应该受到大家的重视。 关键字：概率、保险、彩票、统计、数据、应用 由赌徒的问题引起，概率逐渐演变成一门严谨的科学。1654年，有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题：梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人谁先赢满3局谁就得到全部赌注。在游戏进行了一会儿后，梅勒赢了2局，他的朋友赢了1局。这时候，梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？梅勒的朋友认为，既然他接下来赢的机会是梅勒的一半，那么他该拿到梅勒所得的一半，即他拿20个金币，梅勒拿40个金币。然而梅勒争执道：再掷一次骰子，即使他输了，游戏是平局，他最少也能得到全部赌注的一半——30个金币；但如果他赢了，并可拿走全部的60个金币。在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币。 赌本究竟如何分配才合理呢？后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡，这居然也难住了帕斯卡，因为当时并没有相关知识来解决此类问题，而且两人说的似乎都有道理。帕斯卡又写信告诉了另一个著名的数学家费马，于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，他们最终正确地解决了这个问题。他们设想：如果继续赌下去，梅勒（设为甲）和他朋友（设为乙）最终获胜的机会如何呢？他们俩至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，所以赌注应按3：1的比例分配，即甲得

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计及其应用第二版课后答案

第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求 )])([(),(),(),(___ ___ AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5 .0)(625.0)])([()()])([()])([(___ =-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。

解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648 = 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为 48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48 = （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 48.0100 48 = 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为338 4 12 1 31425=C C C C ；

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数: