人教版初中数学《第20章同余》竞赛专题复习含答案
第20章同余
20.1.1★(1)证明：任意平方数除以4，余数为0或1；
(2)证明：任意平方数除以8，余数为0、1或4．
解析(1)因为
奇数()2
22214411(mod 4)k k k =+=++≡，
偶数()222240(mod 4)k k ==≡，
所以，正整数21(mod 4),;0(mod 4),.n n n ?≡??奇偶为数为数(2)奇数可以表示为21k +，从而
奇数()22441411k k k k =++=++．
因为两个连续整数k 、1k +中必有一个是偶数，所以()41k k +是8的倍数，从而
奇数()2811mod8i =+≡．
又，偶数()2
2224k k ==(k 为整数)．
若k =偶数2t =，则()224160mod 8k t ==．
若k =奇数21t =+，则
()()22244211644(mod8)k t t t =+=++≡．所以，平方数()()()0mod8,1mod8,4mod8.
??≡???评注事实上，我们也可以这样来证：因为对任意整数a ，有0a ≡，±1，2(mod 4)，所以，0a ≡，1(mod4)；又a ≡0，±1，±2，±3，4(mod8)，所以，2a ≡0，1，()4mod8．
20.1.2★求证：一个十进制数被9除所得的余数，等于它的各位数字被9除所得的余数．解析设这个十进制数1210n n A a a a a a -= ．
因10≡1(mod9)，故对任何整数k ≥1，有
()1011mod9k k ≡=．
因此
1210
n n A a a a a a -= 1110
101010n n n n a a a a --=?+?++?+
()110mod9n n a a a a -≡++++ ．
即A 被9除所得的余数等于它的各位数字之和被9除所得的余数．
评注(1)特别地，一个数能被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除．(2)算术中的“弃九验算法”就是依据本题的结论．
20.1.3★★求证：(1)()199985517+；
(2)()2837n +；
(3)()100017191-．
解析(1)因()551mod8≡-，所以
()1999551mod8≡-，
()19995517117160mod8+≡-+=≡，于是19998(5517)+．
(2)因为2391(mod8)=≡，231(mod8)n ≡，所以()237170mod8n +≡+≡，即
()2837n +．
(3)因为()192mod17≡，()44192161mod17≡=≡-，所以
()()()25025010004191911mod17=≡-≡，
于是
()100017191-．
20.1.4★★对任意的正整数n ，证明：2903803464261n n n n A =--+能被1897整除．
解析18977271=?，7与271互质．因为
()29035mod7≡，()8035mod7≡，
()4642mod7≡，()2612mod7≡，
所以()290380346426155220mod7n n n n n n n n A =--+≡--+=，故7|A
又因为
()2903193mod271≡，
()803261mod271≡，
()464193mod271≡，
所以
2903803464261n n n n
A =--+()1932611932610mod271n n n n ≡--+=，故271|A
因(7，271)=1，所以1897整除A ．
20.1.5★证明：2222555555552222+能被7整除．
解析
因为()55554mod7≡，()34641mod7≡≡，所以
()22222222222205555444162mod7≡≡?≡≡．因为()22223mod7≡，()232mod7≡，()231mod7≡，所以
5555555555550
2222333≡≡?()9252263333223
≡???≡??()5mod7≡．
于是
()()()222255555555222225mod70mod7+≡+≡，
即222255557|55552222+．
20.1.6★★求最大的正整数n ，使得102431-能被2n 整除．
解析因为
()()()()()1024512256112831313313131+-=+++- ，①
而对于整数k ≥1，有
()()2231112mod 4k
k +≡-+=，所以，①式右边的11个括号中，(3+1)是4的倍数，其他的10个都是2的倍数，但不是4的倍数．故n 的最大值为12．
20.1.7★求使21n -为7的倍数的所有正整数n ．
解析因为()3281mod7≡≡，所以对n 按模3进行分类讨论．
(1)若3n k =，则
()()3212181110mod 7k
n k k -=-=-≡-=；(2)若31n k =+，则
()321221281k
n k -=?-=?-()2111mod7k ≡?-=;
(3)若32n k =+，则
()2321221481k
n k -=?-=?-()4113mod7k ≡?-=．
所以，当且仅当3|n 时，21n -为7的倍数．20.1.8★设n 是正整数，求证：7不整除()41n +．解析因为()144mod7≡，()242mod7≡，()341mod7≡．所以当3n k =时，
()()34141112mod 7k
n +=+=+=；当31n k =+时，
()()341441415mod 7k
n +=?+=+=；当32n k =+时，
()()34141611613mod 7k
n +=?+=+=．所以，对一切正整数n ，7不整除41n +．20.1.9★今天是星期日，过1003天是星期几?解析()33271mod7=≡-，所以
()()()333310033331334mod 7=?≡-?=-≡．
因此，过1003天是星期四．
20.1.10★★求3326(25746)+被50除所得的余数．解析()2577mod50≡，()33332577mod50≡．又()27491mod50=≡-，所以
()471mod50≡．
()()8
3347777mod50=?≡．即()332577mod50≡．
从而()33257467463mod50+≡+≡．
()332626(25746)3mod50+≡．
由于()532437mod50==-．()103491mod50≡≡-，所以()2031mod50≡．于是()()262053333732129mod50=??≡-?=-≡．故3326(25746)+除以50所得的余数为29．20.1.11★(1)求33除19982的余数；
(2)求8除2171n +-的余数．
解析(1)先找与()1mod33±同余的数．因为()52321mod33=≡-，
所以()1021mod33≡．
()()199199810532222825mod33=??≡-≡．故所求的余数为25．
(2)因为()71mod8≡-，所以
()()2121711mod8n n ++≡-=-，
()217126mod8n +-≡-≡．
即余数为6．
20.1.12★求5555512399100+++++ 除以4所得的余数．解析因为()()520mod 4n ≡，()()52121mod 4n n +≡+，所以55555
12399100+++++ ()213599500mod4≡++++=≡ ．20.1.13★形如221k n F =+，n =0，1，2，…的数称为费马数．证明：当n ≥2时，n F 的末位数字是7．解析
当n ≥2时，2n 是4的倍数，故令24n t =．
于是21
2k n F +=()421161617mod10t t t =+=+=+≡．即n F 的末位数字是7．
评注费马数的头几个是03F =，15F =，217F =，3257F =，465537F =，它们都是素数．费马便猜测：对所有的正整数n ，n F 都是素数．然而，这一猜测是错误的．首先推翻这个猜测的是欧拉，他证明了下一个费马数5F 是合数．有兴趣的读者可以自己去证明．20.1.14★★已知19191919
19 191 919 1 919n = 个，求n 被9除后所得商的个位数字是多少?
解析因为
1919191919 191 919 1 919n =
个()19191919≡?+++
人教版初中数学有理数专项训练及答案 一、选择题 1．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋2(a b )-的结果是（ ） A ．2a+b B ．-2a+b C ．b D ．2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简． 【详解】 解：由数轴可知：0a <，0b >， ∴0a b -<， ∴()()2 2a a b a b a a b -=-+-=-+， 故选：B ． 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键． 2．数轴上表示数a 和数b 的两点之间的距离为6，若a 的相反数为2，则b 为（ ） A ．4 B ．4- C ．8- D ．4或8- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相反数的性质求出a 的值，再根据两点距离公式求出b 的值即可． 【详解】 ∵a 的相反数为2 ∴20a += 解得2a =- ∵数轴上表示数a 和数b 的两点之间的距离为6 ∴6a b -= 解得4b =或8- 故答案为：D ． 【点睛】 本题考查了数轴上表示的数的问题，掌握相反数的性质、两点距离公式是解题的关键．
3．如果实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ） A ．a b < B ．a b >- C ．2a >- D ．b a > 【答案】D 【解析】 【分析】 根据数轴可以发现a ＜b ，且-3＜a ＜-2，1＜b ＜2，由此即可判断以上选项正确与否． 【详解】 ∵-3＜a ＜-2，1＜b ＜2，∴|a|＞|b|，∴答案A 错误； ∵a ＜0＜b ，且|a|＞|b|，∴a+b ＜0，∴a ＜-b ，∴答案B 错误； ∵-3＜a ＜-2，∴答案C 错误； ∵a ＜0＜b ，∴b ＞a ，∴答案D 正确． 故选：D ． 【点睛】 本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键． 4．已知实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，且a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，e 的绝对值为2，f 的算术平方根是8，求 23125c d ab e f ++++( ) A ．922B ．922C ．922+922-D ．132 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出c+d ，ab 及e 的值，代入计算即可． 【详解】 由题意可知：ab=1，c+d=0，2=±e f=64， ∴2222e =±=（）33644f =＝， ∴ 23125 c d ab e f ++++=11024622 +++=； 故答案为：D 【点睛】 此题考查了实数的运算，算术平方根，绝对值，相反数以及倒数和立方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
人教版初中数学四边形专项训练及答案 一、选择题 ?绕点A顺时针旋转90?到1．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE ?的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（） ABF A．4 B．25C．6 D．26 【答案】D 【解析】 【分析】 利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求 出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】 Q绕点A顺时针旋转90?到ABF ADE ? ?的位置． ∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20， ∴==， AD DC 25 Q， DE= 2 ∴?中，2226 Rt ADE AE AD DE =+= 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应 边关系是解题关键． 2．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（） A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】A 【解析】 【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解． 【详解】∵E是AC中点，
∵EF ∥BC ，交AB 于点F ， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴BC=2EF=2×3=6， ∴菱形ABCD 的周长是4×6=24， 故选A ． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键. 3．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE AD BCE ⊥∠=?，.若2AE =，则边BC 的长为( ) A 5 B 6 C 7 D ．22【答案】B 【解析】 【分析】 由菱形的性质得出AD ∥BC ，BC=AB=AD ，由直角三角形的性质得出3，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE 2+22=3）2，解得：2，即可得出结果． 【详解】 ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD BC BC AB =，∥. ∵BE AD ⊥.∴BE BC ⊥. ∴30BCE ∠=?，∴2EC BE =， ∴223AB BC EC BE BE ==-=. 在Rt ABE △中，由勾股定理得)22223BE BE += ， 解得2BE =，∴36BC BE == 故选B. 【点睛】 此题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 4．如图 ，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )
初中数学复习讲学案 姓名： 班级： 学号： 实数专题复习课 第一部分 知识梳理 1.实数的组成与分类 ???????????????????????????????????????正整数整数零 负整数有理数实数正分数分数有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 ?????????????????????????????正整数正有理数正实数正分数正无理数实数还可以分为零 负整数负有理数负实数负分数负无理数 2.数轴、相反数、绝对值、倒数 3.平方根与立方根 平方根：如果一个数的平方等于a ，这个数叫做a 的平方根。数a 的平方根记作)0(≥±a a 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。 正数a 的正的平方根也叫做a 的算术平方根，零的算术平方根还是零。 开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。 立方根：如果一个数的立方等于a ，则称这个数为a 立方根 。数a 的立方根用3a 表示。 性质：任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。 开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。 ③正确理解：a 、a -、a ±、3a ④几个性质：a a =2、)0(2≥=a a a 、a a =3、a a =33）（ 4.二次根式及其运算 ②乘法法则：)0;0(≥≥= ?b a ab b a 与)0;0(≥≥?=b a b a ab ③除法法则：)0;0(>≥=b a b a b a 与)0;0(>≥=b a b a b a 第二部分 精讲点拨 考点1. 平方根、算术平方根、立方根的概念
解一元一次方程的练习题 解下列方程：（每题4分） （1）3（x-2）=2-5(x-2) (2) 2(x+3)－5(1－x)=3(x －1) (3) 3(1)2(2)23x x x +-+=+ (4) 3(2)1(21)x x x -+=-- (5) 2x －13 =x+22 +1 (6) 12131=--x (7) x x -=+3 8 (8) 12542.13-=-x x
(9 ) 310.40.342x x -=+ (10) 3142125 x x -+=- (11) 3125724 3 y y +-=- (12) 57 6132 x x -=-+ (13) 143321=---m m (14) 5 2 221+-=--y y y
(15)12136x x x -+-=- (16) 38 123 x x ---= (17) 12(x-3)=2-12(x-3) (18)35 .012.02=+--x x (19) 301.032.01=+-+x x (20) 223 146 x x +--=
（21）124362x x x -+--= (22) x x 23231423 =?? ? ???-??? ??- (23) 112 [(1)](1)223x x x --=- （24）27(3y+7)=2 - 32y (25)设k 为整数，方程kx=4-x 的解x 为自然数，求k 的值。
7324x x -= 23255x += 70%20% 3.6x x += 312054x ?=? 425%105x += 15%68x x -= X ＋8 3X ＝121 5X －3× 21 5 ＝75 32X ÷41＝12 6X ＋5 =13.4 83 4143=+X 3X=8 3
初中数学
目录 专题一有理数与实数 (3) 专题一方程与应用 (12) 专题二函数与图像 (25) 专题三三角形与锐角三角函数 (45) 专题四四边形 (68) 专题五圆 (73)
? 专题一 有理数与实数 一、 有理数 (一) 知识点整理 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正 分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ????? ????负分数负整数负有理数零正分数 正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比 0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；
铺垫 温 故 中考中的实际应用问题一般涉及方程的应用（含一元一次方程、知 一元二次方程、分式方程、二元一次方程组）、函数的应用（含正 比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数）、不等式的应用（含 一元一次不等式、一元一次不等式组）、新解直角三角形的应用、统借助数学模型，计与概率等. 让学生经历了观察、猜想、推理、验证的探究过程,激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识和探究精神，为互余和互补的学习打好基础。 充分发挥学生
力。反 学以致用，三 巩固提高. 体现全体学生 及时的参与意识，三、日，月21·西宁）青海新闻网讯：2016年2（2.2016发现问题，纠正错趁西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用.市政误，加深对知识的府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配理解与运用热 置720辆公共自行车.今后将逐年增加投资，用于建设新题目基础，学生站点、配置公共自行车.预计2018年将投资340.5万元，运用设未知数列打 方程解决问. 新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车题铁.( 几何问
题代）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多1（数法) 少万元？（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的 年平均增长率. 四、引导学生从知例2 某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种画识、能力、情感、商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，经过统困惑等方面，龙小结点本节课的内容为正整数）销售的相关信息，如xx计得到此商品单价在第天（睛突出本节课的下表所示：重点、难点 （1）请计算第几天该商品单价为25元/件？ （天）x关于（元）y天里所获利润30求网店销售该商品）2（．
人教版初中数学教材 总目录 七年级上册 第一章有理数 1.1正数和负数1.2有理数1.3有理数和加减法1.4有理数的乘除法1.5有理数的乘方 第二章整式的加减 2.1整式2.2整式的加减 第三章一元一次方程 3.1从算式到方程3.2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项3.3解一元一次方程（二）——去括号与去分母3.4实际问题与一元一次方程 第四章图形认识初步 4.1多姿多彩的图形4.2直线、射线、线段4.3角4.4课题学习 设计制作长方体形状的纸盒 七年级下册 第五章相交线与平行线 5.1相交线5.2平行线5.3平行线的性质5.4平移 第六章平面直角坐标系 6.1平面直角坐标系6.2坐标方法的简单应用 第七章三角形 7.1与三角形有关的线段7.2与三角形有关的角7.3多边形及其内角相和 第八章二元一次方程组 8.1二元一次方程组8.2消元8.3再深实际问题与二元一次方程组 第九章不等式与不等式组 9.1不等式9.2实际问题与一元一次不等式9.3一元一次不等式组 第十章数据的收集、整理与描述 10.1统计调查全面调查简单随机抽样分层抽样7 {0 t; ]9 w- ~( a# ^ 实验与研究：瓶子中有多少粒豆子 10.2用直方图描述数据直方图面积表视频数信息技术应用：利用计算机画统计图 10.3课题学习：从数据谈节水 八年级上册 第十一章一次函数 11.1变量与函数11.2一次函数11.3用函数观点看方程（组）与不等式 第十二章数居的描述 12.1几种常见的统计图表12.2用图表描述数据12.3课题学习 k3 }2 G7 t8 Q3 A$ t: B0 W 从数据谈节水 第十三章全等三角形 13.1全等三角形13.2三角形全等的条件13.3角的平分线的性质 第十四章轴对称 14.1轴对称14.2轴对称变换14.3等腰三角形 第十五章整式 15.1整式的加减15.2整式的乘法15.3乘法公式15.4整式的除法15.5因式分解 八年级下册 第十六章分式 16.1分式16.2分式的运算16.3分式方程
正方形 7. 如图所示，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部 分的面积是． 8. 如图，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落 在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是cm． 9. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，点H是AF的中点， 那么CH的长是． 三、解答题（共2小题；共26分） 11. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长 线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的长． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD， BC，AC上，且四边形OECF是正方形． （1）求证：点O在∠BAC的平分线上； （2）若AC=5，BC=12，求OE的长．
答案 第一部分 1. B 2. C 3. A 4. D 5. C 第二部分 6. 有一个角是直角或对角线相等 7. 2 8. 12 9. √5 10. 12 第三部分 11. （1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠B=90°，∠DAF+∠FAB=∠BAM+∠AMB=90°，∴∠AMB=∠EAF． 又EF⊥AM， ∴∠AFE=90°， ∴∠B=∠AFE， ∴△ABM∽△EFA． （2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5， ∴AM=√122+52=13，AD=12． ∵F是AM的中点， ∴AF=1 2AM=13 2 ． ∵△ABM∽△EFA， ∴BM AF =AM AE ，即513 2 =13 AE ， ∴AE=16.9， ∴DE=AE?AD=4.9． 12. （1）过点O作OM⊥AB于点M． ∵正方形OECF， ∴OE=EC=CF=OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F．∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E． ∴OM=OE=OF． ∴点O在∠BAC的平分线上．
专题训练试题1 巧解选择、填空题 一、选择题 1．下列运算结果正确的是( D ) A ．m 2＋m 2＝m 4 B ．(m ＋1m )2＝m 2＋1 m 2 C ．(3mn 2)2＝6m 2n 4 D ．2m 2n ÷m n ＝2mn 2 2．(·齐齐哈尔)下列算式： ①9＝±3；②(－13)－ 2＝9；③26÷23＝4；④(－2016)2＝；⑤a ＋a ＝a 2. 运算结果正确的概率是( A ) A .15 B .25 C .35 D .45 3．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S 1，S 2，则S 1∶S 2等于( D ) A ．1∶ 2 B ．1∶2 C ．2∶3 D ．4∶9 4．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x ”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x 的取值范围是( C ) A ．x ≥11 B ．11≤x ＜23 C ．11＜x ≤23 D ．x ≤23 5．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点P 是BC 边上的一个动点(点P 与点B ，C 都不重合)，现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作∠BPF 的角平分线交AB 于点E.设BP ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( C ) ,A ) ,B )
,C ) ,D ) 6．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s(米)与各自所用时间t(秒)之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ，则下列说法正确的是( D ) A ．甲的速度随时间的增加而增大 B ．乙的平均速度比甲的平均速度大 C ．在起跑后第180秒时，两人相遇 D ．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面 ,第6题图) ,第7题图) 7．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶ 3 ，则大楼AB 的高度约为( D )(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45) A ．30.6 B ．32.1 C ．37.9 D ．39.4 8．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10 cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14 cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B ，下列说法错误的是( C ) A ．圆形铁片的半径是4 cm B ．四边形AOB C 为正方形 C ．弧AB 的长度为4π cm D ．扇形OAB 的面积是4π cm 2 ,第8题图) ,第10题图) 9．已知两点A(5，6)，B(7，2)，先将线段AB 向左平移一个单位，再以原点O 为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的1 2得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为( A ) A ．(2，3) B ．(3，1) C ．(2，1) D ．(3，3) 10． 如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF ∥AD ，与AC ，DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连接DE ，EH ，DH ，FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH ＋∠ADH ＝180°；③△EHF ≌△DHC ；④若 AE AB ＝2 3 ，则3S △EDH ＝13S △DHC ，
轴对称 1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（） A． ． D ． 2．若点A（a-2，3）和点B（-1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（） A．50° B．51° C．51.5° D．52.5° 4．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） 5．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（） 6．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（） A、AD=AE B、DB=EC C、∠ADE=∠C D、DE=BC
7．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（） A．45° B．55° C．60° D．75° 8．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（） A．30° B．36° C．45° D．70° 9．下列命题： ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合， ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的最小边是底边； ④等边三角形的高、中线、角平分线都相等； ⑤等腰三角形都是锐角三角形． 其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．坐标平面内有两点P（x，y），Q（m，n），若x+m=0，y﹣n=0，则点P与点Q（）A．关于x轴对称 B．无对称关系 C．关于原点对称 D．关于y 轴对称 11．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，它的周长是 cm． 12．已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则此三角形的周长为． 13．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是度． 14．如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE.
F O 1 C B A D ① 21 21 ② 1 2③ 12④ N M B A 初一数学人教版七下几何复习专题 专题一、基本概念与定理专题 例1．下列说法中，正确的是（ ） （A ）相等的角是对顶角 （B ）有公共顶点，并且相等的角是对顶角 （C ）如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2 （D ）两条直线相交所成的两个角是对顶角 例2．如图所示，∠1的邻补角是( ) A.∠BOC B.∠BOE 和∠AOF C.∠AOF D.∠BOC 和∠ AOF 例3．下列说法中错误．． 的个数是（ ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种。 （4）不相交的两条直线叫做平行线。 （5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。 A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 例4.如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行使，M 、N 分别是位于公路AB 两侧的村庄. ⑴ 设汽车行使到公路AB 上点P 位置时，距离村庄M 最近；行使到点Q 位置时，距离村庄N 最近.请你在图中公路AB 上分别画出点P 、Q 的位置.（保留画图痕迹） ⑵ 当汽车从A 出发向B 行使时，在公路AB 的哪一段上距离M 、N 两村都越来越近？在哪一段上距离村庄N 越来越近，而离村庄M 却越来越远？（分别用文字语言表示你的结论，不必证明） 例5．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角．．． 的是（ ） A . ②③ B . ①②③ C . ①②④ D . ①④
例6．如图4所示，下列说法中错误的是 ( ). ①∠1和∠3是同位角；②∠1和∠5是同位角； ③∠1和∠2是同旁内角；④∠1和∠4是内错角. A.①和② B.②和③ C.②和④ D. ③和④ 考点5：平行线性质与判定定理 例7．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据 是（） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等 例8．（2007浙江绍兴课改）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4) ）： 从图中可知，小敏画平行线的依据有（） ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行． Ａ．①②Ｂ．②③Ｃ．③④Ｄ．①④ 考点6：命题 例9．下列命题中，真命题是（）. A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．同旁内角互补 例10．.命题“等角的补角相等”的题设是___________________，结论是___________________. 考点7：平移的概念 例11.（2006黑龙江中考题）下列图形中只能用其中一部分平移可以得到的是（） A B C D 图4 1 2 3 4 5
第12章 专题练习-二倍角模型 姓名___________班级__________学号__________分数___________ 1．（5401）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＋BD ＝AC ，求∠B ∶∠C 的值． D C B A 2．（5644）已知：如图，在等腰△ABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，求证：BC ＋CD ＝AB ； E D C B A 3．（1335）已知：如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，且AC ＝AB + BD ，求∠B ︰∠C 的值． C B A 4．（8581）如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，AD 是△ABC 的角平分线，∠1＝∠B ，求证：AB ＝AC ＋CD ； A B C D E 1
※5．（5655）已知：如图，△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 是∠BAC 的角平分线，求证：AB + BD ＝AC ； C B A D ※6．（11647）在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，如图①，当∠C ＝90°，AD 为∠ABC 的角平分线时，在AB 上截取AE ＝AC ，连接DE ，易证AB ＝AC ＋CD ， (1)如图②，当∠C ≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想： (2)如图③，当AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． A B C E D 图① 图② A B C D A D B C F 图③
初中数学新教材目录（2012修订） 七年级上 第1章有理数（19） 1.1 正数和负数（2） 1.2 有理数（4） 1.2.1 有理数 1.2.2 数轴 1.2.3 相反数 1.2.4 绝对值1.3 有理数的加减法（4） 1.3.1 有理数的加法 1.3.2 有理数的减法 实验与探究填幻方 阅读与思考中国人最先使用负数 1.4 有理数的乘除法（4） 1.4.1 有理数的乘法 1.4.2 有理数的除法 观察与猜想翻牌游戏中的数学道理 1.5 有理数的乘方（3） 1.5.1 乘方 1.5.2 科学记数法 1.5.3 近似数 数学活动 小结（2） 第2章整式的加减（8） 2.1 整式（3） 阅读与思考数字1与字母X的对话 2.2 整式的加减（4） 信息技术应用电子表格与数据计算 数学活动 小结（1） 第3章一元一次方程（19） 3.1 从算式到方程（4） 3.1.1 一元一次方程 3 .1.2 等式的性质 阅读与思考方程史话 3.2 解一元一次方程（一）——移项与合并（4） 实验与探究无限循环小数化分数 3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母（4） 3.4 实际问题与一元一次方程（5） 数学活动 小结（2） 第4章几何图形初步（16） 4.1 几何图形（4） 4.1.1 立体图形与平面图形 4.1.2 点、线、面、体 阅读与思考几何学的起源 4.2 直线、射线、线段（3） 阅读与思考长度的测量 4.3 角（5） 4.3.1 角 4.3.2 角的比较与运算 4.3.3 余角和补角
4.4 课题学习制作长方体形状的包装盒（2） 数学活动 小结（2） 七年级下 第5章相交线与平行线（14） 5.1 相交线（3） 5.1.1 相交线 5.1.2 垂线 5.1.3 同位角、内错角、同旁内角观察与猜想看图时的错觉 5.2 平行线及其判定（3） 5.2.1 平行线 5.2.2 平行线的判定 5.3 平行线的性质（4） 5.3.1 平行线的性质 5.3.2 命题、定理、证明 信息技术应用探索两条直线的位置关系 5.4 平移（2） 数学活动 小结（2） 第6章实数（8） 13.1 平方根（3） 13.2 立方根（2） 13.3 实数（2） 阅读与思考为什么说不是有理数 数学活动 小结（1） 第7章平面直角坐标系（7） 7.1 平面直角坐标系（3） 7.1.1 有序数对7.1.2 平面直角坐标系 阅读与思考用经纬度表示地理位置 7.2 坐标方法的简单应用（3） 7.2.1 用坐标表示地理位置7.2.2 用坐标表示平移 数学活动 小结（1） 第8章二元一次方程组（12） 8.1 二元一次方程组（1） 8.2 消元——解二元一次方程组（4） 8.3 实际问题与二元一次方程组（3） 8.4 三元一次方程组解法（2） 阅读与思考一次方程组的古今表示及解法 数学活动 小结（2） 第9章不等式与不等式组（11） 9.1 不等式（3） 9.1.1 不等式及其解集9.1.2 不等式的性质
翻折的应用 班级 姓名 一．选择题 1．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合， 点C 落在C′处，折痕为EF ，若AB=1，BC=2， 则△ABE 和BC′F 的周长之和为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 2. Rt △ABC 中，AB=AC ，点D 为BC 中点，∠MDN=90°， 1题图 ∠MDN 绕点D 旋转，DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点，下列结论： ①（BE +CF ）=BC ； ②S 四边形AEDF =AD ?BD ； ③AD ≥EF ； ④AD 与EF 可能互相平分． ⑤2222DE BE CF =+ 其中正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2题图 3．如图，已知长方形ABCD 中，AD=6，AB=8，P 是AD 边上的点， 将△ABP 沿BP 折叠，使点A 落在点E 上，PE 、BE 与CD 分别交于 点O 、F ，且OD=OE ，则AP 的长为（ ） A ．4.8 B ．5 C ．5.2 D ．5.4 3题图 4、将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 边中点B′重合，A′B′交AD 于点G ， 若AE=1，AB=2，BC=3，下面有4个结论中，正确的个数是（ ） ① △A′EG ≌△DB′G ； ②B′F=； ③S △FCB′：S △B′DG =16：9； ④S 四边形EGB′F = ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4题图 二．填空题 5．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合， 点C 落在C′处，折痕为EF ，若AB=3，BC=5，则S △BEF = ． 5题图
人教版初中数学圆的专项训练及解析答案 一、选择题 1．如图，已知ABC ?和ABD ?都O e 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ?的相似的三角形是（ ） A ．BCE ? B ．AB C ? C ．AB D ? D ．AB E ? 【答案】A 【解析】 【分析】 根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ??∽． 【详解】 解：BCE BDA ∠=∠Q ，CEB DEA ∠=∠ ADE BCE ∴??∽， 故选：A ． 【点睛】 考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等． 2．如图，在矩形ABCD 中，6,4AB BC ==，以A 为圆心，AD 长为半径画弧交AB 于点E ，以C 为圆心，CD 长为半径画弧交CB 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．13π B ．1324π+ C ．1324π- D ．524π+ 【答案】C 【解析】 【分析】
先分别求出扇形FCD 和扇形EAD 的面积以及矩形ABCD 的面积，再根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）即可得解． 【详解】 解：∵S 扇形FCD 29036096ππ==??，S 扇形EAD 2 40360 94ππ==??，S 矩形ABCD 6424=?=， ∴S 阴影＝S 扇形FCD ﹣（S 矩形ABCD ﹣S 扇形EAD ） ＝9π﹣（24﹣4π） ＝9π﹣24+4π ＝13π﹣24 故选：C ． 【点睛】 本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）是解答本题的关键． 3．下列命题中，是假命题的是( ) A ．任意多边形的外角和为360o B ．在AB C V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V C ．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边 D ．同弧所对的圆周角和圆心角相等 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相关的知识点逐个分析． 【详解】 解：A. 任意多边形的外角和为360o ,是真命题； B. 在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V ，根据HL ，是真命题； C. 在一个三角形中，任意两边之差小于第三边，是真命题； D. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，本选项是假命题. 故选D ． 【点睛】 本题考核知识点：判断命题的真假. 解题关键点：熟记相关性质或定义． 4．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形．延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC=50°，则∠DBC 的度数为（ ）
最新人教版中考数学二轮复习专题训练汇总（共11个专题共108页附解析） 目录 专题一数与式 专题二方程（组）与不等式（组） 专题三三角函数 专题四：函数及其图像 专题五：三角形 专题六：四边形 专题七：圆 专题八：第二轮专题复习《视图与变换》检测卷 专题九：统计与概率 专题十：《几何探究》检测卷 专题十一：代数综合（二次函数综合）
专题一 数与式 一、选择题 1.12007- 的相反数是（ ） A ．12007 B ．12007 - C ．2017 D ．2017- 2.下列各数中比1大的数是（ ） A ．2 B ．0 C ．-1 D ．-3 3.计算5)3(+-的结果等于（ ） A ．2 B ．2- C ．8 D ．8- 4.下列实数中，为有理数的是（ ） A ．3 B ．π C ．32 D ．1 5.据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（ ） A ．610826.0? B ．71026.8? C ．6106.82? D ．81026.8? 6. 下列计算正确的是（ ） A ． B ． C. D. 7.化简2111x x x +--的结果是（ ） A ．x+1 B ．x ﹣1 C ．2 1x - D ．211x x +- 8.实数,,,a b c d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A ．4a >- B ．0bd > C. a b > D ．0b c +> ()()2222a a a +-=-()()2122a a a a +-=+-()2 22a b a b +=+()2222a b a ab b -=- +
人教版初中数学《四边形》竞赛专题复习 §10.1 平行四边形与梯形 10.1.1★如图(a)，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，已知ABC △是等边三角形，30ADC ∠=?，3AD =，5BD =，求边CD 的长． D A B C D A B C E (a) (b) 解析 如图(b)，以CD 为边向四边形ABCD 外作等边CDE △，连结AE ．由于AC BC =，CD CE =， BCD BCA ACD ∠=∠+∠DCE ACD =∠+∠ACE ∠． 所以BCD △≌ACE △，从而BD AE =． 又因为30ADC ∠=?，5BD =，3AD =，于是90ADE ∠=?，从而在Rt ADE △中 ，4DE =．所以4CD =． 10.1.2★在ABCD 中，2AB AD =，F 为AB 中点，CE AD ⊥D 交AD (或延长线)于E ．求证：3BFE AEF ∠=∠． 解析 如图，取CD 中点G ，连结FG 、CF ． A F B E D G C 易知四边形ADGF 与FGCB 均为菱形，FG 垂直平分CE ，于是EFG ∠CFG CFB =∠=∠，于是33BFE EFG AEF ∠=∠∠=∠． 10.1.3★AD 、BE 、CF 是ABC △的三条中线，FG BE ∥，EG AB ∥,四边形ADCG 是平行四边形． 解析 如图，连结EF ，则EF 是中位线． A G F E B D C 由条件知EG BF ∥，故EG AF ∥，于是AG EF CD ∥∥ ，故结论成立． 10.1.4★延长矩形ABCD 的边CB 到E ，使CE CA =，F 是AE 的中点，求证：BF FD ⊥． 解析 如图，取BD 中点G ，连结FG ，则()1111 2222 FG AD BE CE CA BD = +===，于是BF FD ⊥．
第7章三角函数 §7．1锐角三角函数 7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小： （1）sin19?与cos70?； （2）cot65?与cos40?； （3）cos1?，tan46?，sin88?和cot38?． 解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将cos70?化sin20?，再与sin19?比大小． 因为() cos70cos9020sin20 ?=?-?=?，而 sin19sin20 ??>， 所以cot60cos45 ??>?=． 因为() cos1cos9089sin89 ?=?-?=?， 所以sin88sin891 ??>?>?． 评注比较三角函数值的大小，一般分为三种类型： （1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小． （2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小． （3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某 些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30?，45?，60?的三角函数值． 7．1．2 ★化简求值： （1）tan1tan2tan3tan89 ???????? ； （2sin83?； （3） 22 22 tan sin tan sin αα αα ? - ； （4cos79sin79 ?-?；
分步表量 数字先行 ---例谈中考23题的解题思路与计算 重庆市永川中学 蒋发白 一、中考预测 中考必考，解答题23题，10分，考查范围广，涉及销售、工程、种植等问题。考查学生能够熟练运用方程（不等式）思想、函数思想建立数学模型，能够根据具体问题中的数量关系下列出方程（组）、一元一次不等式（组）、一元二次方程或二次函数关系等以解决生活中的实际问题。 二、基本等量 1. 销售利润问题： 总销售额= 。 总盈利=单盈利 数量 利润=售价-进价 利润率= 。 售价=进价（1+利润率） 2. 工程问题：(略) 三、 例练结合 例1：气温回暖，春暖花开，正值草莓销售旺季．盘溪某水果批发中心第一周购进一批草 莓2080斤，购进价格为每斤20元．第一周试销发现售价为每斤24元，则可全部售出．若售价每涨价0.5元，销售量就减少60斤． （1）若该批发中心在第一周销售量不低于1600斤，则销售单价最高为多少元？ （2）因为畅销，第二周该种草莓进价比第一周的进价增加10%，该批发中心同时增加了进货量，并加大销售力度，结果第二周的销售量比第一周在（1）的条件下的最低销售量增加了m %，但售价比第一周在（1）的条件下的最高售价减少 528 m %，结果第二周获利8960元，求m 的值． 练习1：某水果批发市场今年3月底购进一批水果1260千克，在4月份进行试销。购进价格为每千克10元，若售价为每千克12元，则可全部售出；若售价每千克涨价0.1元，销售量就减少2千克． （1）若市场4月份销量不低于1200千克，则售价应不高于多少元？ （2）因市场需求增加，5月份的进价比3月份的进价每千克增加20%，该市场增加了进货量，并提高销售力度，结果5月份的销售量比4月份的销售量在（1）的条件下的最低销售量增加了a%（a>15）,但售价比4月份在（1）的条件下的最高售价减少了 15 2 a %，，结果5月份的利润达到3696元，求a 的值．