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2019-2020年中考数学专题练习 解直角三角形的应用

2019-2020年中考数学专题练习 解直角三角形的应用
2019-2020年中考数学专题练习 解直角三角形的应用

2019-2020年中考数学专题练习 解直角三

角形的应用

知识点1.仰角、俯角问题:

例1.如图,为了测量某建筑物CD 的高度,先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°,然后在水平地面上向建筑物前进了m 100,此时自B 处测

结果精确到m 1)

知识点2.坡度、坡角问题:

例2.如图,衡阳市防洪指挥部发现湘江边一处长m 400,高m 8,背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横截面为梯形ABCD )急需加固,经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是:背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽m 2,加固后,背水坡EF 的坡比2:1=i .

(1)求加固后坝底增加的宽度AF 的长;(2)求完成这项工程需要土石多少立方米.

知识点3.方向角问题:

例3.南中国海是中国固有领海,我渔政船经常在此海域执勤巡察,一天我渔政船停在小岛A 北偏西37°方向的B 处,观察A 岛周边海域,据测算,渔政船距A 岛的距离AB 长为10海里,此时位于A 岛正西方向C 处的我渔船遭到某国军舰的袭扰,船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船,便发出紧急求救信号,渔政船接警后,立即沿BC 航线以每小时30海里的速度前往救助,求渔政船大约需多少分钟到达渔船所在的C 船.(参考数据:6.037sin ≈?,8.037cos ≈?,77.050sin ≈?,64.050cos ≈?)

基础训练:

1.水库原大坝的横断面是梯形ABCD ,如图,m DC B m AB 3106010=?=∠=,,,加固后大坝的横断面为梯形ABED ,若m CE 5=.

(1)若加固的大坝长为m 100,求需要填方多少立方米;(2)求斜坡DE 的坡度.

2.衡阳市雨母山的主峰海拔约为m 300,市政府准备在主峰AB 上建一座电信信号发射架

BC ,现在山脚P 处测得封顶的仰角为α,发射架顶端的仰角为β,求发射架高BC .(参

考数据53tan =

α,8

5tan =β)

3.如图,两条公路CD AB 、均视为直线,东西方向公路CD 段限速,规定最高行驶速度不能超过60千米/时,并在南北向公路离该公路100米的A 处设置了一个监测点,点C 在A 的北偏西60°方向上,点D 在A 的北偏东45°方向上.

(1)若一辆汽车从点C 匀速行驶到点D 所用的时间是15秒,试判断该汽车在这段限速路上是否超速,并说明理由;(参考数据:732.13=)(2)若一辆大货车在限速路上由D 处向西行驶,一辆小汽车在南北向公路上由A 处向北行驶,设两车同时开出,小汽车的速度是大货车速度的2倍,求两车在匀速行驶过程中的最近距离.

4.如图,某人在山坡坡角C 处测得一座建筑物顶点A 的仰角为60°,沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为45°,m BC 90=,且D C B 、、在同一直线上,山坡坡度为2:1.

(1)求该建筑物AB 的高度;(2)求此人所在位置点P 的铅垂高度.

能力训练:

5.如图,小岛A 在港口P 的南偏西45°方向,距离港口70海里处,甲船从A 出发,沿AP 方向以每小时20海里的速度驶向港口P ;乙船从P 出发,沿南偏东60°方向以每小时15海里的速度驶离港口,若两船同时出发.

(1)设甲船出发x 小时,与港口P 距离______________海里;(2)当x 取何值时,两船与港口P 的距离相等;(3)当乙船在甲船的正东方向时,船体发生了故障不能继续航行,此时,乙船向甲船发出求救信号,若甲船以现在的航速赶去救援,需几小时才能到达出事地点.(参考数据:414.12≈,732.13≈,最后结果精确到1.0)

挑战压轴题:垂直+面积+平行

6.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,边长为5得到正三角形OAB 的OA 边在x 轴的正半轴上,点D C 、同时从点O 出发,点C 以1个单位长/秒的速度向点A 运动,点D 以2个单位长/秒的速度沿折线A B O →→运动,设运动时间为t 秒,且50<

(1)当2

5

0<

2019-2020年中考数学专题练习一元二次方程

一、选择题

1. 下列方程中是一元二次方程的是( ) A.210x +=

B.2

1y x +=

C.2

10x +=

D.

21

1x x

+= 2. 关于x 的方程2

(2)20ax a x -++=只有一解(相同解算一解),则a 的值为( ) A .0a = B .2a = C .1a = D .0a =或2a = 3. 关于x 的方程2

(5)410a x x ---=有实数根,则a 满足( ) A. 1a ≥ B.15a a >≠且 C.15a a ≠≥且 D. 5a ≠

4. 若关于x 的一元二次方程2

2

(1)5320m x x m m -++-+=有一根是0,则m 的值等于( )A .1 B .2 C .1或2 D.0

5. 若x 1,x 2是方程x 2

=4的两根,则x 1+x 2的值是( ) (A)8. (B)4. (C)2. (D)0.

4. 若关于x 的一元二次方程0235)1(2

2=+-++-m m x x m 的常数项为0,则m 的值等于( ) A .1

B .2

C .1或2

D .0

10. 关于x 的方程2

(6)860a x x --+=有实数根,则整数a 的最大值是( ) A .6 B .7

C .8

D .9

二、填空题

11. 关于x 的一元二次方程2

(1)210m x x -++=有两个不相等的实数根,那么m 的取值范围是 .

12. 若2

320a a --=,则2

526a a +-= .

13. 将4个数a b c d ,,,排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成

a b c

d

,定义

a b c

d

ad bc =-,上述记号就叫做2阶行列式.若

1111

x x x

x +--+

6=,则x = .

14. 方程x x =+6的根是 .

15. 方程x 2

-2x -1=0的两个实数根分别为x 1,x 2,则(x 1-1)(x 2-1)= . 16. 若一元二次方程()2

220x a x a -++=的两个实数根分别是3b 、,则

a b +=_________.

17. 设1x ,2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根,则22

11223x x x x ++的值为

__________________.

18. 已知三角形两边长是方程0652=+-x x 的两个根,则三角形的第三边c 的取值范围是 .

19. 等腰ABC △两边的长分别是一元二次方程2

560x x -+=的两个解,则这个等腰三角形的周长是 .

20. 已知2+是一元二次方程2

260x x c -+=的一个根,则方程的另一个根

是 . 三、解答题: 21.解方程:

22(21)(3)x x -=- 2(3)4(3)0x x x -+-=.

22760x x -+= (32)(3)14x x x ++=+

2210x x --=. 26120x x --=

22. 当m 为何值时,关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根?此时

这两个实数根是多少?

23. 已知:关于x 的方程2

210x kx +-=

(1)求证:方程有两个不相等的实数根;

(2)若方程的一个根是1-,求另一个根及k 值.

24. 已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2(k -1)x + k 2

-1 = 0有两个不相等的实数根.

(1)求实数k 的取值范围;

(2)0可能是方程的一个根吗?若是,请求出它的另一个根;若不是,请说明理由.

25. 在等腰△ABC 中,三边分别为a 、b 、c ,其中5a =,若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根,求△ABC 的周长.

26.关于x 的一元二次方程2

30x x k --=有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.

(2)请选择一个k 的负整数值,并求出方程的根.

27. 如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等.设甬道的宽为x 米.

(1)用含x 的式子表示横向甬道的面积;

(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时,求甬道的宽;

(3)根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么当甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?

28. 已知ABC △的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程

22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根,第三边BC 的长为5.

(1)当k 为何值时,ABC △是直角三角形;

(2)当k 为何值时,ABC △是等腰三角形,并求出ABC △的周长.

解直角三角形练习题

解直角三角形练习 一、耐心填一填 1.如图1,某车间的人字屋架为等腰三角形,跨度14AB =米,CD 为中柱,则上弦AC 的长是________米(用A ∠的三角函数表示). 2.如图2,在菱形ABCD 中,AE BC ⊥于E ,1EC =,5cos 13B =,则这个菱形的面积是________. 3.计算:22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30++-+= ________. 4.如图3,测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度,选择M 点 作为观测点,从M 点测得山顶P 的仰角为30°,在比例尺为1∶ 50000的该地区等高线地形图上,量得这两点间的图上距离为3cm , 则山顶P 的海拔高度约为________m .(取3 1.732≈). 5.已知ABC △中,90C ∠=,A B C ∠∠∠,,所对的边分别是a b c ,,,且3c a =,则cos A =________. 二、精心选一选 6.在ABC △中,90C ∠=,若2B A ∠=∠,则cos A 等于( ) A.3 B.32 C.12 D.23 7.在ABC △中,90C ∠=,AC BC =,则sin A 的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.1 8.ABC △中,90C ∠=,3sin 5A = ,则:BC AC 等于( ) A.3:4 B.4:3 C.3:5 D.4:5 9.如图4,Rt ABC △中,90C ∠=,D 为BC 上一点,30DAC ∠=, 2BD =,23AB =,则AC 的长是( ) A.3 B.22 C.3 D.332 10.Rt ABC △中,90C ∠=,:3:4a b =,运用计算器计算,A ∠的度数(精确到1°)

中考数学专题复习:解直角三角形

中考数学专题复习:解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义: 在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为:sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切:tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数 【名师提醒:1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关 2、取值范围 】 二、特殊角的三角函数值: 【名师提醒:1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆 2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而 sin A 3、几个特殊关系:⑴sinA+cos2A= ,tanA= ⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】 三、解直角三角形: 1、定义:由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形 2、解直角三角形的依据: RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c ⑴三边关系: ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系:sinA cosA tanA

sinB cosB tanB 【名师提醒:解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角:如图:在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角:如图: 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为 用字母α表示,则i=h l = ⑶方位角:是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图:OA表示OB表示 OC表示(也可称西南方向) 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤: ⑴把实际问题抓化为数字问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案 【名师提醒:在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一:锐角三角函数的概念 例1 (?内江)如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为() A.1 2 B. 5 5 C. 10 10 D. 25 5 思路分析:利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答.解:如图:连接CD交AB于O, 根据网格的特点,CD⊥AB, 在Rt△AOC中,

(完整版)初中解直角三角形练习题

解直角三角形练习题 一、 真空题: 1、 在Rt △ABC 中,∠B =900,AB =3,BC =4,则sinA= 2、 在Rt △ABC 中,∠C =900,AB =,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中,∠C =900,SinA=5 4 ,AB=10,则BC = 4、α是锐角,若sin α=cos150,则α= 若sin53018\=0.8018,则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角,且2cosB -1=0则∠B = 6、在△ABC 中,∠C =900,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c ,a =9,b =12,则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中,∠C =900,tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中,∠C =900,若b a 32=则tanA= 9.等腰三角形中,腰长为5cm ,底边长8cm ,则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角,且tan 2A+2tanA -3=0则∠A = 11、Rt △ABC 中,∠A =600,c=8,则a = ,b = 12、在△ABC 中,若32=c ,b =3,则tanB= ,面积S = 13、在△ABC 中,AC :BC =1:3,AB =6,∠B = ,AC = BC = 14、在△ABC 中,∠B =900,AC 边上的中线BD =5,AB =8,则tanACB=

二、选择题 1、在Rt △ABC 中,各边的长度都扩大2倍,那么锐角A 的正弦、余弦值 ( ) A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角,且cotA <3,则∠A ( ) A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中,已知a 边及∠A ,则斜边应为 ( ) A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2:3,则顶角为( ) A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中,A ,B 为锐角,且有sinA =cosB ,则这个三角形是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形,斜边为1cm ,则斜边上的高为( ) A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm

2018年广东省中考数学总复习选择填空题组训练(1)含答案

题组训练 选择填空题组训练一 (时间:45分钟 分值:54分 得分:__________) 一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分) 1.9的相反数为( ) A .-19 B .19 C .9 D .-9 2.(2017重庆)下列图形中是轴对称图形的是( ) 3.(2017广元)根据央视报道,去年我国汽车尾气排放总量大约为47 000 000吨.将47 000 000用科学记数法表示为( ) A .0.47×108 B .4.7×107 C .47×107 D .4.7×106 4.一个多边形的内角和是1 440°,这个多边形的边数是( ) A .10 B .9 C .8 D .7 5.在某校举行的“汉字听写”大赛中,七名学生听写汉字的个数分别为:35,31,32,25,31,34,36,则这组数据的中位数是( ) A .33 B .32 C .31 D .25 6.关于x 的一元二次方程2x 2-3x +m =0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是( ) A .m >98 B .m =9 8 C .m <9 8 D .m <-9 8 7.下列运算正确的是( ) A .x 2·x 6=x 12 B .(-6x 6)÷(-2x 2)=3x 3 C .2a -3a =-a D .(x -2)2=x 2-4

8.(2017扬州改编)在一列数:a 1,a 2,a 3,…,a n 中,a 1=3,a 2=7,从第三个数开始,每一个数都等于它前两个数之积的个位数字,则这一列数中的第7个数是( ) A .1 B .3 C .7 D .9 9.若△ABC ∽△DEF ,AB DE =1 4,△ABC 的面积为2,则△DEF 的面积为( ) A .32 B .16 C .14 D .18 10.如图1,点P 是平行四边形ABCD 边上一动点,沿A →D →C →B 的路径移动,设P 点经过的路径长为x ,△BAP 的面积是y ,则大致能反映y 与x 之间的函数关系的图象是( ) 图1 二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分) 11.分解因式:3x 2-6x =__________. 12.-8的立方根是__________. 13.不等式组????? 12x ≤1, 2-x <3 的整数解的和是__________. 14.(2017重庆)如图2,BC 是⊙O 的直径,点A 在圆上,连接A O ,AC ,∠A O B =64°,则∠ACB =__________. 图2 15.已知一个三角形的三条边长为3,5,x ,则x 的取值范围是__________. 16.如图3,将矩形纸片ABCD 折叠,使点D 与点B 重合,点C 落在C ′处,折痕为

解直角三角形练习题及答案

解直角三角形 一、选择题 1、如图,已知正方形ABCD 的边长为2,如果将线段BD 绕着点B 旋转后,点D 落在CB 的延长线上的D ′处,那么tan ∠BAD ′等于( ) (A).1 (B).2 (C).22 (D).22 2、如果α是锐角,且54 cos =α,那么αsin 的值是( ). (A )259 (B ) 54 (C )53 (D )2516 3、等腰三角形底边长为10㎝,周长为36cm ,那么底角的余弦等于( ). (A )513 (B )12 13 (C )1013 (D )5 12 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) (A )(1,3,2) (B )(3,4,5) (C )(3,4,5) (D )(32,42,52) 5、在Rt △ABC 中,∠C =90°,下列式子中正确的是( ). (A )B A sin sin = (B )B A cos sin = (C )B A tan tan = (D )B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E ,设∠ADE=α,且53 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为( ). (A )3 (B )316 (C )320 (D )516 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境,已知这种草皮每平方米a 元,则购买这种草皮至少要( ). (A )450a 元 (B )225a 元 (C )150a 元 (D )300a 元 8、已知α为锐角,tan (90°-α)=3,则α的度数为( ) (A )30° (B )45° (C )60° (D )75° 9、在△ABC 中,∠C =90°,BC =5,AB =13,则sin A 的值是( ) (A )135 (B )1312 (C )125 (D )512 10、如果∠a 是等边三角形的一个内角,那么cos a 的值等于( ).

解直角三角形 中考经典专题

第一章复习题(一) 1. 菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示, 452AOC OC ∠==°,,则点B 的 坐标为( )A .(21), B .(12), C .(211)+, D .(121)+, 2. 如图,菱形ABCD 的周长为20cm ,DE ⊥AB ,垂足为E ,5 4 A cos =,则下列结论中正确的个数为( ) ①DE=3cm ; ②EB=1cm ; ③2 ABCD 15S cm =菱形. A .3个 B .2个 C .1个 D .0个 3. 如图,小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离,在A 点测得30BAD ∠=°,在C 点测得60BCD ∠=°,又测得50AC =米,则小岛B 到公路l 的距离为( )米. A .25 B .253 C . 1003 3 D .25253+ 4. 如图,在梯形ABCD 中,AD//BC ,AC ⊥AB ,AD =CD ,cos ∠DCA= 5 4 ,BC =10 ,则 AB 的值是( ) A .3 B .6 C .8 D .9 5. 在一次夏令营活动中,小亮从位于A 点的营地出发,沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地,然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地,测得A 地在C 地南偏西30°方向,则A .C 两地的距离为( ) (A ) km 3310 (B )km 3 3 5 (C )km 25 (D )km 35 6. 如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C =90o ,AC =6,D 是AC 上一点,若tan ∠DBA =5 1 ,则AD 的长为( ) (A ) 2 (B )3 (C )2 (D )1 7. 如图,在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E ,∠EDC ∶∠EDA=1∶3,且AC=10,则DE 的长度是( ) A .3 B .5 C .25 D .2 2 5 8. 如图,在ABC △中,C ∠9060B D =∠=°,°,是AC 上一点,DE AB ⊥于E ,且 21CD DE ==,,则BC 的长为( ) A .2 B . 4 33 C .23 D .43 x y O C B A B C A D l A B C D E

广东中考数学专题训练(二):几何综合题(圆题)

广东中考数学专题训练(二):几何综合题(圆题) 一、命题特点与方法分析 以考纲规定,“几何综合题”为数学解答题(三)中出现的题型.一般出现在该题组的第2题(即试卷第24题),近四年来都是以圆为主体图形,考察几何证明. 近四年考点概况: 也相对复杂.难度也较高(尤其是14、15年),考查学生综合多方面知识进行几何证明的能力. 本题除了常规的证明以外,主要的命题特点有以下两种: 1.改编自常考图形,有可能成为作辅助线的依据.如16年的构图中包含弦切角定理的常用图,17年第(2)问则显然是“切线+垂直+半径相等”得出角平分线的考察,依此就不难判断出辅助线的构造,应该对常考图形有一定的识别能力. 2.利用数量关系求出特殊角.如15年第(1)问,17年第(3)问,这常常是容易被遗忘的点,在做这类题目的时候,首先要通过设问推敲,其次在观察题干中是否有给出角度的条件,如果没有,一般就是通过数量关系求出特殊角. 二、例题训练 1.如图,⊙O 为?ABC 外接圆,BC 为⊙O 直径,BC =4.点D 在⊙O 上,连接OA 、CD 和 BD ,AC 与BD 交于点E ,并作AF ⊥BC 交BD 于点 G ,点 G 为BE 中点,连接OG . (1)求证:OA ∥CD ; (2)若∠DBC =2∠DBA ,求BD 的长; (3)求证:FG = 2 DE .

2.如图,⊙O为 ABC外接圆,AB为⊙O直径,AB=4.⊙O切线CD交BA延长线于点D,∠ACB平分线交⊙O于点E,并以DC 为边向下作∠DCF=∠CAB交⊙O于点F,连接AF. (1)求证:∠DCF=∠D+∠B; (2)若AF=3 2 ,AD= 5 2 ,求线段AC的长; (3)若CE AB⊥CF.

初三解直角三角形基本模型复习学习资料

初三解直角三角形基本模型复习

课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数,理解三角函数表示的意义,学会利用三角函数求线段长度和角 度; 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考(建议不超过10分钟) 1.(2017?绍兴)如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学 楼顶部D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为20°,量得实验楼与教学楼之间的距离 AB=30m. (1)求∠BCD的度数. (2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据:tan20°≈0.36,tan18°≈0.32) 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾:三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0 1.解直角三角形的定义:

在直角三角形中,除直角外,共有5个元素,即3条边和2个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系: 在Rt △ABC 中,∠C=90°,则: ①三边关系:a 2+b 2= c 2 ; ②两锐角关系:∠A +∠B= 90°; ③边与角关系:sin A=cos B= a c ,cos A=sin B=b c ,tan A=a b ; ④平方关系:1cos sin 2 2=+A A ⑥倒数关系:tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系:tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长; ②已知一锐角和一边。 注意:已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法: 对于非直角三角形,往往要通过作辅助线构造直角三角形来解,作辅助线的一般思路是: ①作垂线构成直角三角形; ②利用图形本身的性质,如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线: 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.(2017?恩施州)如图,小明家在学校O 的北偏东60°方向,距离学校80米的A 处,小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处,小华家在小明家的正南方向,求小华家到学校的距离.(结果精确到1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45) 例2(2017?海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的方案是:水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE 的坡度i=1:1(即DB :EB=1:1),如图所示,已知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC . (参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)

解直角三角形练习题1(含答案)

解直角三角形练习题1 一. 选择题:(每小题2分,共20分) 1. 在△EFG 中,∠G=90°,EG=6,EF=10,则cotE=( ) A.43 B. 34 C. 53 D. 3 5 2. 在△ABC 中,∠A=105°,∠B=45°,tanC 的值是( ) A. 21 B. 3 3 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中,若2 2cos =A ,3tan = B ,则这个三角形一定是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18,在△EFG 中,∠EFG=90°,FH ⊥EG ,下面等式 中,错误的是( ) A.EG EF G =sin B. EF EH G =sin C. FG GH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为( ) A. sin65°cos26° C. sin65°=cos26° D. sin65°+cos26°=1 6. 已知30°<α<60°,下列各式正确的是( ) A. B. C. D. 7. 在△ABC 中,∠C=90°,5 2 sin = A ,则sin B 的值是( ) A.32 B.52 C.54 D. 5 21 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15,它们的夹角为 60°,则平行四边形的面积是( )米2 A. 150 B.375 C. 9 D. 7 9. 如图19,铁路路基横断面为一个等腰梯形,若腰的坡度为i= 2∶3,顶宽是3米,路基高是4米,则路基的下底宽是( ) A. 7米 B. 9米 C. 12米 D. 15米 10. 如图20,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它 们的交角为α,则它们重叠部分(图中阻影部分)的面积为( ) A. αsin 1 B. α cos 1 C. αsin D. 1 二. 填空题:(每小题2分,共10分) 11. 已知0°<α<90°,当α=__________时,2 1 sin =α,当α=__________时,Cota=3. 12. 若 ,则锐角α=__________。 13. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,5 3 sin = A ,36=++c b a ,则a=__________,b=__________,c=__________,cotA=__________。 14. 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ,则底边上的高为__________cm ,底角的余弦值为__________。

2019年中考数学专题复习第十九讲解直角三角形(含详细参考答案)

2019年中考数学专题复习 第十九讲解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义: 在Rt△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为:sinA= ,∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切:tanA= ,它们统称为∠A的锐角三角函数 【名师提醒:1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有单位,这些比值只与有关,与直角三角形的无关 2、取值范围 】 二、特殊角的三角函数值: 【名师提醒:1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆 2、正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而 3、几个特殊关系:⑴sinA+cos2A= ,tanA=sin A ()⑵若∠A+∠B=900,则sinA= ,tanA.tanB= 】

三、解直角三角形: 1、定义:由直角三角形中除直角外的 个已知元素,求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形 2、解直角三角形的依据: Rt ∠ABC 中,∠C=900 三边分别为a 、b 、c ⑴三边关系: ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系:sinA cosA tanA sinB cosB tanB 【名师提醒:解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角:如图:在图上标上仰角和俯 角 ⑵坡度坡角:如图: 斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度,用i 表示,即i= 坡面 与水平面得夹角为 用字母α表示,则i=tanα=h l 。 ⑶方位角:是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图:OA 表示 OB 表示 铅直 水平线 视线

广东中考数学专题训练:解答题(三)(压轴题)

中考数学专题训练(一):代数综合题(函数题) 一、命题特点与方法分析 以考纲规定,“代数综合题”为数学解答题(三)中的题型,一般出现在该题组的第1题(即试卷第23题),近四年来都是对函数图像的简单考察. 近四年考点概况: 年份考点 2014 一次函数、反比例函数、一元二次方程 2015 一次函数、反比例函数、轴对称(路径最短问题) 2016 一次函数、反比例函数、二次函数 2017 二次函数、三角函数、平行截割、一次函数 由此可见,近年来23题考点围趋向综合,命题主体可以是一次函数与反比例函数或者一次函数与二次函数,但难度基本都不太大. 主要的命题形式有以下3种: 1.求点的坐标或求直线解析式中的待定系数.这种题一般考查列方程解答,难度较低,在试题的前两问出现. 2.考察图像的性质.如14年第(1)问和16年第(2)(3)问,都是对函数图象的性质来设问,要求对图像性质有清晰的记忆. 3.考查简单的几何问题.考查简单的解析几何的容,基本上出现在试题的第(3)问,一般都利用基本的模型出题,几何部分难度不会太大,可以尝试了解高中解析几何的基础知识. 二、例题训练 1.如图,在直角坐标系中,直线y=x5与反比例函数y=b x (x>0)交于A1,4、B 两点. (1)求b的值; (2)求点B的坐标; (3)直线y=3与反比例函数图像交于点C,连接AC、CB,另有直线y=m与反比例函数图像交于点D,连接AD、BD,此时△ACB与△ADB面积相等,求m的值.

2.如图,在直角坐标系中,直线y =x +b 与反比例函数y =1x (x <0)交于点A m ,1.直 线与x 轴、y 轴分别交于点B 、C . (1)求m 的值; (2)求点B 、C 的坐标; (3)将直线y =x +b 向上平移一个长度单位得到另一条直线,求两直线之间的距离. 3.如图,在直角坐标系中,抛物线y =1m x 2mx m 2 4经过原点且开口向下,直线y =x +b 与其仅交于点A . (1)求抛物线的解析式; (2)求点A 的坐标; (3)求直线y =x +b 关于x 轴对称的直线的解析式.

中考专题:解直角三角形

(2007年泸州)21.某海滨浴场的海岸线可以看作直线l (如图6),有两位救生员在岸边的点A 同时接到了海中的点B (该点视为定点)的呼救信号后,立即从不同的路径前往救助。其中1号救生员从点A 先跑300米到离点B 最近的点D ,再跳入海中沿直线游到点B 救助;2号救生员先从点A 跑到点C ,再跳入海中沿直线游到点B 救助。如果两位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒,在水中游泳的速度都是2米/秒,且∠BAD=450,∠BCD=600,请问1号救生员与2号救生员谁先到达点B ? (10四川泸州)19.如图5,某防洪指挥部发现长江边一处长500米,高I0米,背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是:沿背水坡面用土石进行加固。并使上底加宽3米,加固后背水坡EF 的坡比i=1:3。 (I)求加固后坝底增加的宽度AF ; (2)求完成这项工程需要土石多少立 方米?(结果保留根号) (2011四川泸州,25,7分)如图,一艘船以每小时60海里的速度自A 向正北方向航行,船在A 处时,灯塔S 在船的北偏东30°,航行1小时后到B 处,此时灯塔S 在船的北偏东75°,(运算结果保留根号) (1)求船在B 处时与灯塔S 的距离; (2)若船从B 处继续向正北方向航行,问经过多长时间船与 灯塔S 的距离最近. 19.(2008年泸州市)如图6,在气象站台A 心,该台风中心以每小时20km 的速度沿北偏东o 60的BD 130km 内的地方都要受到其影响。 ⑴台风中心在移动过程中,与气象台A 的最短距离是多少? ⑵台风中心在移动过程中,气象台将受台风的影响, 求台风影响气象台的实践会持续多长? B C D E F 45 图5 1:3 i 北 60o 东 D C B A 图6

广东省2019年中考数学专题训练(七)及答案

2019年广东省数学中考专题训练七 三、解答题 11.(6分)计算:01 2 )2011(7130sin 4)3(π--?? ? ??++- 15、已知抛物线与x 轴没有交点. (1)求c 的取值范围; (2)试确定直线y =cx +1经过的象限,并说明理由.

16、目前我市“校园手机”现象越来越受到社会的关注.针对这种现象,市辖区某中学班主任 李老师在“统计实习”活动中随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机到学校”现象的看法,统计整理并制作了如下的统计图: (1)求这次调查的家长总数及家长表示“无所谓”的人数,并补全图①; (2)求图②中表示家长“无所谓”的圆心角的度数; (3)从这次接受调查的家长中,随机抽查一个,恰好是“不赞成”态度的家长的概率是多少?

17、(8分)如图,矩形ABCD 中,AB =1,BC =2,BC 在x 轴上,一次函数y =kx -2的图象 经过点A 、C ,并与y 轴交于点E ,反比例函数y = m x 的图象经过点A . (1)点E 的坐标是 ; (2)求一次函数和反比例函数的解析式; (3)根据图象写出当x >0时,一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围. 18、肇庆市某施工队负责修建1800米的绿道.为了尽量减少施工对周边环境的影响,实际工作效率比原计划提高了20%,结果提前两天完成.求原计划平均每天修绿道的长度.

19. 一次数学活动课上,老师带领学生去测一条南北流向的河宽,如图所示,某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ,测得C 在A 北偏西31°的方向上,沿河岸向北前行40米到达B 处,测得C 在B 北偏西45°的方向上,请你根据以上数据,求这条河的宽度.(参考数值:tan 31°≈) 21.(10分)如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ,过点D 作EF ⊥AC 于点E ,交AB 的延长线于点F . (1)求证:EF 是⊙O 的切线; (2)当∠BAC =60o时,DE 与DF 有何数量关系?请说明理由; (3)当AB =5,BC =6时,求tan ∠BAC 的值.

解直角三角形的基本类型及其解法公式

解直角三角形的基本类型及其解法公式(总结) 1、解直角三角形的类型与解法 已知、解法 三角 类型 已 知 条 件 解 法 步 骤 Rt △ABC B c a A b C 两 边 两直角边(如a ,b ) 由tan A =a b ,求∠A ;∠B =90°-A , c = 2 2b a + 斜边,一直角边(如c ,a ) 由Sin A =a c ,求∠A ;∠B =90°-A ,b =22a -c 一 边 一 角 一角边 和 一锐角 锐角,邻边 (如∠A ,b ) ∠B =90°-A ,a =b ·Sin A ,c =b cosA cosA 锐角,对边 (如∠A ,a ) ∠B =90°-A ,b =a tanA ,c =a sinA 斜边,锐角(如c ,∠A ) ∠B =90°-A ,a =c ·Sin A , b =c ·cos A 2、测量物体的高度的常见模型 1)利用水平距离测量物体高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 侧倾器 皮尺 α、β、 水平距离a tan α=1 x ι ,tan β=2x ι ι=a ·tan α·tan βtan α+tan β 直角 三角 形的 边角 关系 tan α= x a +ι tan β= x ι ι=a ·tan α·tan β tan β-tan α 2)测量底部可以到达的物体的高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 皮尺 镜子 目高a 1 水平距离a 2 3a h =2 1a a ,h =231a a a 反射 定律 β α a x 1 x 2 ι α β x a ι 镜子 1a 2a 3a h

中考数学专题练习解直角三角形

《解直角三角形》 一、选择题:(满分24分) 1.在△ABC 中,∠B =90°,AB =3,BC =4,则tan A 的值是( ) A .45 B .35 C .43 D .34 2. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A = ,则sin B 的值为( ) A . B .513 C . D . 3. 已知0°<α<90°,则m =sin α+cos α的值( ) A .m >1 B .m =1 C .m <1 D .m ≥1 4.在ABC △中,若23sin (1tan )02 A B -+-=,则C ∠的度数是( ) A .45? B . 60? C .75? D .105? 5. 如果直线2y x =与x 轴正半轴的夹角为α,那么下列结论正确的是( ) A. sin 2α= B. cos 2α= C. tan 2α= D. 1tan 2 α= 6.如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上,则tan ∠ACB 的值为( ) A .13 B .12 C .22 D .3 7. 如图,坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ,则坡面距离AB 为( ) A.4m 3 43 D.43 8. 如图,一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ,坝顶宽10米,坝高12米,斜坡AB 的坡度1:1.5i =,则坝底AD 的长度为( )

A .26米 B .28米 C .30米 D .46米 第6题图 第7题图 第8题图 二、填空题:(每小题3分,共24分) 9. 在Rt △ABC 中,∠C =90o,BC =5,AB =13,sin A =_________. 10.计算:=?+0030cos 60tan 45sin 2 = . 11.如图,在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度,AC =7米,则树高BC 为 米(用含α的代数式表示). 12.如图,小明爬一土坡,他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB =4米,此时,他离地面高度为h =2米,则这个土坡的坡角∠A = . 13.在一次夏令营活动中,小明同学从营地A 出发,要到A 地的北偏东60°方向的C 处,他先沿正东方向走了200米到达B 地,再沿北偏东30°方向走,恰能到达目的地C (如图),那么,由此可知,B C 、两地相距 米. 第11题图 第12题图 第13题图 14.一架梯子AB 斜靠在墙上,若梯子底端到墙的距离是AC =3米,且3cos 4BAC ∠=,则梯子AB 的长度为 米. 15.如图,在△ABC 中,∠A =30°,∠B =45°,AC = ,则AB 的长为 . 16.如图,在半径为5的⊙O 中,弦AB =6,点C 是优弧 上一点(不与A ,B 重合),那么cos C ∠的值是 . 第15题图 第16题图 三、解答题(本大题共8个小题,满分52分): 17. (本题4分)计算:00(32)4sin 60223-+-- 18.(本题4分) 如图,在△ABC 中,AB =AC =5,BC =8.若∠BPC =12 ∠BAC ,试求tan ∠BPC 的值. 19.(本题6分)如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度,他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°,然后沿AD 方向前行10m ,到达B 点,在B 处测得树顶C 的仰角高度为60° (A 、B 、D 三点在同一直线上).请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1m ).(参考数据:≈1.414,≈1.732) 20.(本题6分)如图,在Rt ?ABC 中,∠ACB =90°,D 是AB 的中点,过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ,BC =6,5 3sin =A ,求DE. AB

中考数学复习专题七:解直角三角形

中考数学复习专题7 解直角三角函数 一、知识点回顾 1、锐角∠A 的三角函数(按右图Rt △ABC 填空) ∠A 的正弦:sin A = , ∠A 的余弦:cos A = , ∠A 的正切:tan A = , ∠A 的余切:cot A = 2、锐角三角函数值,都是 实数(正、负或者0); 3、正弦、余弦值的大小范围: <sin A < ; <cos A < 4、tan A ?cot A = ; tan B ?cot B = ; 5、sin A = cos (90°- ); cos A = sin ( - ) tan A =cot ( ); cot A = 6、填表 7、在Rt △ABC 中,∠C =90゜,AB =c ,BC =a ,AC =b , 1)、三边关系(勾股定理): 2)、锐角间的关系:∠ +∠ = 90° 3)、边角间的关系:sin A = ; sin B = ; cos A = ; cos B = ; tan A = ; tan B = ; cot A = ;cot B = 8、图中角 可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角; 9、(1)坡度(或坡比)是坡面的 高度(h )和 长度(l )的比。 记作i ,即i = ; (2)坡角——坡面与水平面的夹角。记作α,有i = l h =tan α (3)坡度与坡角的关系:坡度越大,坡角α就越 ,坡面就越 (1)

二、巩固练习 (1)、三角函数的定义及性质 1、在△ABC 中,,900=∠C 13,5==AB AC ,则cos B 的值为 2、在Rt ⊿ABC 中,∠C =90°,BC =10,AC =4,则______tan _____, cos ==A B ; 3、Rt △ABC 中,若,900=∠C 2,4==BC AC ,则tan ______=B 4、在△ABC 中,∠C =90°,1,2==b a ,则=A cos 5、已知Rt △ABC 中,若,900=∠C cos 24,13 5 == BC A ,则._______=AC 6、Rt △ABC 中,,900=∠C 3 5 tan ,3= =B BC ,那么.________ =AC 7、已知32sin -=m α,且a 为锐角,则m 的取值范围是 ; 8、已知:∠α是锐角,?=36cos sin α,则α的度数是 9、当角度在?0到?90之间变化时,函数值随着角度的增大反而减小的三角函是 ( ) A .正弦和正切 B .余弦和余切 C .正弦和余切 D .余弦和正切 10、当锐角A 的2 2 cos >A 时,∠A 的值为( ) A 小于?45 B 小于?30 C 大于?45 D 大于?60 11、在Rt ⊿ABC 中,若各边的长度同时都扩大2倍,则锐角A 的正弦址与余弦值的情况( ) A 都扩大2倍 B 都缩小2倍 C 都不变 D 不确定 12、已知α∠为锐角,若0 30cos sin =α,αtan = ;若1t an 70tan 0 =?α,则_______=∠α; 13、在△ABC 中,,900 =∠C sin 2 3 = A , 则cos B 等于( ) A 、1 B 、 23 C 、2 2 D 、21 (2)、特殊角的三角函数值 1、在Rt △ABC 中,已知∠C =900,∠A=450 则A sin = 2、已知:α是锐角,22 1 cos = α,tan α=______;

最新广东中考数学专题训练规律探索

规律探索 类型一 数式规律 1. 我国战国时期提出了“一尺之棰,日取其半,万世不竭”这一命题,用所学知识来解释可理解为:设一尺长的木棍,第一天折断一半,其 长为12尺,第二天再折断一半,其长为14尺,…,第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺. 1 2n 2. 如图,是按一定规律排成的三角形数阵,按图中数阵的排列规律,第9行从左至右第5个数是________. 第2题图 41【解析】由图形可知,第n 行最后一个数为1+2+3+…+n =n (n +1)2 ,∴第8行最后一个数为8×92=36=6,则第9行从 左至右第5个数是36+5=41. 3. 观察下列关于自然数的式子: 第一个式子:4×12-12 ①

第二个式子:4×22-32 ② 第三个式子:4×32-52 ③ … 根据上述规律,则第2019个式子的值是______. 8075 【解析】∵4×12-12=3①,4×22-32=7②,4×32-52=11③,…,4n 2-(2n -1)2=4n -1,∴第2019个式子的值是4×2019-1=8075. 4. 将数1个1,2个12,3个13,…,n 个1n (n 为正整数)顺次排成一列: 1,12,12,13,13,13,…,1n ,1n ,…,记a 1=1,a 2=12,a 3=12,…,S 1=a 1,S 2=a 1+a 2,S 3=a 1+a 2+a 3,…,S n =a 1+a 2+…+a n ,则S 2019=________. 63364 【解析】根据题意,将该数列分组,1个1的和为1,2个12的 和为1,3个13的和为1,…;∵1+2+3+…+63=2016个数,则第 2019个数为64个164的第3个数,则此数列中,S 2019=1×63+3×164= 63364. 类型二 图形规律 5. 如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1,第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2,第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3,…,

(完整word版)初三解直角三角形基本模型复习

课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数,理解三角函数表示的意义,学会利用三角函数求线段长度和角度; 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考(建议不超过10分钟) 1.(2017?绍兴)如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学楼 顶部D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为20°,量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m. (1)求∠BCD的度数. (2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据:tan20°≈0.36,tan18°≈0.32) 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾:三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0

1.解直角三角形的定义: 在直角三角形中,除直角外,共有5个元素,即3条边和2个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系: 在Rt △ABC 中,∠C=90°,则: ①三边关系:a 2+b 2= c 2 ; ②两锐角关系:∠A +∠B= 90°; ③边与角关系:sin A=cos B= a c ,cos A=sin B= b c ,tan A=a b ; ④平方关系:1cos sin 2 2 =+A A ⑥倒数关系:tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系:tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长; ②已知一锐角和一边。 注意:已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法: 对于非直角三角形,往往要通过作辅助线构造直角三角形来解,作辅助线的一般思路是: ①作垂线构成直角三角形; ②利用图形本身的性质,如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线: 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.(2017?恩施州)如图,小明家在学校O 的北偏东60°方向,距离学校80米的A 处,小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处,小华家在小明家的正南方向,求小华家到学校的距离.(结果精确到1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)

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