2018-2019学年北京市东城区八年级(下)期末数学试卷-含详细解析

2018-2019学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）

1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()

A. 4，5，6

B. 5，12，13

C. 2，3，4

D. 1，√2，3

2.用配方法解一元二次方程x2?6x+1=0，则配方后所得的方程为()

A. (x+3)2=10

B. (x+3)2=8

C. (x?3)2=10

D. (x?3)2=8

3.有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己

的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的()

A. 平均数

B. 中位数

C. 众数

D. 方差

4.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同

学拟定的方案，其中正确的是()

A. 测量对角线是否相互平分

B. 测量两组对边是否分别相等

C. 测量一组对角是否都为直角

D. 测量其中四边形的三个角都为直角

5.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如

果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是()

A. 8

B. 12

C. 16

D. 20

6.如图，已知正比例函数y1=kx与一次函数y2=?x+b的图象交于点P.下面有四个结论：

①k>0；②b>0；③当x>0时，y1>0；④当x?x+b.其中正确的是()

A. ①③

B. ②③

C. ③④

D. ①④

7.如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交

PQ于点C，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是()

A. √2

B. √5

C. √2+1

D. √5+1

8.如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.1]=2，[?2.1]=?3，那么函数y=x?[x](?3≤

x≤3)的图象为()

A. B.

C. D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.函数y=kx(k≠0)的图象上有两个点A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，当x1y2，写出一个满足

条件的函数解析式______．

10.如果a是一元二次方程x2?3x?5=0的一个根，那么代数式8?a2+3a=____．

11.已知一元二次方程x2?2x+m=0有两个相等的实数根，则m=______，x=______．

12.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且

BE=BO，则∠EOA=______度．

13.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1,3)、(n,3)，若直线y=2x与线段AB有公共

点，则n的值可以为______.(写出一个即可)

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，且A(4,0)，B(6,2)，则直线AC的解

析式为______．

15.如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为______．

16.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一

个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方

法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD=

2，AE=3，则正方形ODCE的边长等于______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.现代互联网技术的厂泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了

解甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．

(1)当x>l时，请分別直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数关

系式；

(2)在(1)的条件下，小明选择哪家快递公司更省钱？

四、解答题（本大题共11小题，共62.0分）

18.下面是小明设计的“作矩形ABCD“的尺规作图过程．

已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°．

求作：矩形ABCD.作法：如图，

1.以点B为圆心，AC长为半径画弧；

2.以点C为圆心，AB长为半径画弧；

3.两弧交于点D，A，D在直线BC的同侧；

4.连接AD，CD．

所以四边形ABCD是矩形．

根据小明设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明．证明：连接BD．

∵AB=______，AC=______，BC=BC，

∴△ABC≌△DCB．

∴∠ABC=∠DCB=90°．

∴AB//CD．

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵∠ABC=90°∴四边形ABCD是矩形．(______)(填推理的依据)．

19.用配方法解一元二次方程(不用配方法解不得分)

2x2?5x+1=0．

20.如图，在?ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于

点G、H.求证：AG=CH．

21.已知关于x的一元二次方程mx2?(m+3)x+3=0总有两个不相等的实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)若此方程的两根均为正整数，求正整数m的值．

22.某地2018年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增

加．2020年在2018年的基础上增加投入资金1600万元，从2018年到2020年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

23.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．

(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；

(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

24.甲、乙两位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图．

平均数方差中位数命中9环以上的次数(包括9环)

甲7 1.2______ 1

乙______ 5.47.5______

(3)教练根据两人的成绩最后选择乙去参加比赛，你能不能说出教练让乙去比赛的理由？(至少说出两

条理由)

25.如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P(1,b)．

(1)求b，m的值；

(2)垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值．

26.有这样一个问题：探究函数y=2

x?1

?3的图象与性质．

小亮根据学习函数的经验，对y=2

x?1

?3的图象与性质进行了探究

下面是小亮的探究过程，请补充完整：

(1)函数y

=

2

x?1

?3中自变量x的取值范围是______

x…?3?2?10

1

23

2

2345…

y…

?7

2

?11

3

?4?5?7m?1?2

?7

3

?5

2

…

求的值；

(1)在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数

的图象；

(2)根据画出的函数图象，发现下列特征：

该函数的图象与直线x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线______越来越靠近而永不相交．

27.在正方形ABCD中，点E是射线AC上一点，点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，且CF=

AE，连接BE，EF．

(1)如图1，当E是线段AC的中点时，直接写出BE与EF的数量关系；

(2)当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断(1)中的结论是否成

立，并证明你的结论；

(3)当点B，E，F在一条直线上时，求∠CBE的度数．(直接写出结果即可)

28.对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分

别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形．当原点正方形上存在点Q，满足PQ≤1时，称点P为原点正方形的友好点．

(1)当原点正方形边长为4时，

①在点P1(0,0)，P2(?1,1)，P3(3,2)中，原点正方形的友好点是______；

②点P在直线y=x的图象上，若点P为原点正方形的友好点，求点P横坐标的取值范围；

(2)一次函数y=?x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，若线段AB上存在原点正方形的友好

点，直接写出原点正方形边长a的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；

B、∵52+122=132，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故可以构成直角三角形；

C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；

D、∵12+(√2)2≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形．

故选：B．

根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．

本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

2.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查解一元二次方程?配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤．

两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．

【解答】

解：∵x2?6x+1=0，

∴x2?6x=?1，

则x2?6x+9=?1+9，即(x?3)2=8，

故选D．

3.【答案】B

【解析】解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就是第10位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以．

故选：B．

因为第10名同学的成绩排在中间位置，即是中位数．所以需知道这19位同学成绩的中位数．

中位数是将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．学会运用中位数解决问题．

4.【答案】D

【解析】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；

B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；

C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；

D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．

故选：D．

根据矩形的判定定理有：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；

(2)有三个角是直角的四边形是矩形；

(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形．

本题考查的是矩形的判定定理，难度简单．

5.【答案】C

【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

∵OM⊥AC，

∴MA=MC．

∴△CDM周长=MD+MC+CD=MD+MA+CD=AD+DC=8．

∴平行四边形ABCD周长=2(AD+DC)=16．

故选：C．

先证明MO为AC的线段垂直平分线，则MC=AM，依次通过△CDM周长值可得AD+DC值，则平行四边形周长为2(AD+DC)．

本题主要考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，解决平行四边形周长问题一般是先求解两邻边之和．

6.【答案】A

【解析】【分析】

此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．

根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．

【解答】

解：∵直线y1=kx经过第一、三象限，

∴k>0，故①正确；

∵y2=?x+b与y轴交点在负半轴，

∴b<0，故②错误；

∵正比例函数y1=kx经过原点，且y随x的增大而增大，

∴当x>0时，y1>0；故③正确；

当x

故选：A．

7.【答案】C

【解析】解：由题意得，BC=AB=1，

由勾股定理得，AC=√AB2+BC2=√2，

则AM=√2，

∴点M对应的数是√2+1，

故选：C．

根据题意求出BC，根据勾股定理求出AC，得到AM的长，根据数轴的性质解答．

本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．8.【答案】A

【解析】解：当?3≤x

同理可得，其他各段内的函数图象与?3≤x

故选：A．

根据题意，可以得到y与x的函数图象，从而可以解答本题．

本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

9.【答案】y=?x(k<0即可)

【解析】解：∵A1(x1,y1)，A2(x2,y2)满足x1y2，

∴函数y=kx(k≠0)满足k<0

∴y=?x(k<0即可)；

故答案为：y=?x(k<0即可)．

根据A1(x1,y1)，A2(x2,y2)满足x1y2判断出函数图象的增减性即可．

本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0，y随x的增大而增大；当k<0，y随x的增大而减小．

10.【答案】3

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

根据一元二次方程的解的定义得到a2?3a=5，再把8?a2+3a变形为8?(a2?3a)，然后利用整体代入的方法计算即可．

【解答】

解：把x=a代入x2?3x?5=0得a2?3a?5=0，

所以a2?3a=5，

所以8?a2+3a=8?(a2?3a)=8?5=3．

故答案为：3．

11.【答案】1 1

【解析】解：∵有两个相等的实数根，a=1，b=?2，c=m

∴△=b2?4ac=(?2)2?4×1×m=4?4m=0，

解得m=1，

把m=1代入原方程得x2?2x+1=0，

解得x=1．

一元二次方程x2?2x+m=0有两个相等的实数根，必须满足△=b2?4ac=0，建立关于m的方程，求得m的值后，再求得x的值．

总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)△>0?方程有两个不相等的实数根；

(2)△=0?方程有两个相等的实数根；

(3)△<0?方程没有实数根．

12.【答案】25

【解析】解：∵∠BAD=80°，菱形邻角和为180°

∴∠ABC=100°，

∵菱形对角线即角平分线

∴∠ABO=50°，

∵BE=BO

=65°，

∴∠BEO=∠BOE=180°?50°

2

∵菱形对角线互相垂直

∴∠AOB=90°，

∴∠AOE=90°?65°=25°，

故答案为25．

根据∠BAD和菱形邻角和为180°的性质可以求∠ABC的值，根据菱形对角线即角平分线的性质可以求得

∠ABO的值，又由BE=BO可得∠BEO=∠BOE，根据∠BOE和菱形对角线互相垂直的性质可以求得∠EOA 的大小．

本题考查了菱形对角线互相垂直平分且平分一组对角的性质，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中正确的计算∠BEO=∠BOE=65°是解题的关键．

【解析】解：∵直线y =2x 与线段AB 有公共点，

∴2n ≥3，

∴n ≥32

． 故答案为：2．

由直线y =2x 与线段AB 有公共点，可得出点B 在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于n 的一元一次不等式，解之即可得出n 的取值范围，在其内任取一数即可得出结论．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于n 的一元一次不等式是解题的关键．

14.【答案】y =?x +4

【解析】解：∵四边形OABC 是平行四边形，

∴OA//BC ，OA =BC ，

∵A(4,0)，B(6,2)，

∴C(2,2)，

设直线AC 的解析式为y =kx +b ，

∴{2k +b =24k +b =0， 解得：{k =?1b =4

， ∴直线AC 的解析式为y =?x +4，

故答案为：y =?x +4．

根据平行四边形的性质得到OA//BC ，OA =BC ，由已知条件得到C(2,2)，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，列方程组即可得到结论．

此题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质以及利用待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出其中心对称点的坐标．

15.【答案】√262

【解析】解：根据勾股定理，AB =√12+52=√26，

BC =√22+22=2√2，

AC =√32+33=3√2，

∵AC 2+BC 2=AB 2=26，

∴△ABC 是直角三角形，

∵点D 为AB 的中点，

∴CD =12AB =12×√26=

√262

． 故答案为：√262． 根据勾股定理列式求出AB 、BC 、AC ，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出△ABC 是直角三角形是解题的关键．

【解析】解：设正方形ODCE的边长为x，

则CD=CE=x，

∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO，

∴AF=AE，BF=BD，

∴AB=2+3=5，

∵AC2+BC2=AB2，

∴(3+x)2+(2+x)2=52，

∴x=1，

∴正方形ODCE的边长等于1，

故答案为：1．

设正方形ODCE的边长为x，则CD=CE=x，根据全等三角形的性质得到AF=AE，BF=BD，根据勾股定理即可得到结论．

本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．17.【答案】解：(1)由题意可得，

=22+15(x?1)=15x+7，

y

甲

=16x+3；

y

乙

(2)x>1时，令y甲

即15x+7<16x+3

解得：x>4，

令y甲=y乙，

即15x+7=16x+3，

解得：x=4，

令y甲>y乙，

即15x+7>16x+3，

解得：x<4，

综上可知：当14时，选甲快递公司省钱．

【解析】(1)根据题意可以得到甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数关系式；

(2)根据题意和(1)中的函数解析式，可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．

本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数与不等式的性质解答．

18.【答案】CD BD有一个角是直角的平行四边形是矩形

【解析】解：(1)如图1，四边形ABCD 为所作；

(2)完成下面的证明：

证明：如图2，连接BD ．

∵AB =CD ，AC =BD ，BC =BC ，

∴△ABC≌△DCB(SSS)．

∴∠ABC =∠DCB =90°．

∴AB//CD ．

∴四边形ABCD 是平行四边形．

∵∠ABC =90°

∴四边形ABCD 是矩形．(有一个角是直角的平行四边形是矩形)

故答案为：CD ，BD ，有一个角是直角的平行四边形是矩形．

(1)根据作法画出对应的几何图形即可；

(2)先利用作图证明△ABC≌△DCB ，得AB//CD ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论．

本题考查了作图?复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形和矩形的判定方法．

19.【答案】解：2x 2?5x +1=0，

移项，得

2x 2?5x =?1，

化二次项系数为1，得

x 2?52x =?12

， 方程的两边同时加上2516，得

(x ?54)2=1716，

直接开平方，得

x ?54=±√174，

∴x 1=5+√174，x 2=5?√174．

【解析】配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

20.【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD =BC ，∠A =∠C ，AD//BC ，

∴∠E =∠F ，

∵BE =DF ，

∴AF =EC ，

在△AGF 和△CHE 中

{∠A =∠C AF =EC ∠F =∠E

，

∴△AGF≌△CHE(ASA)，

∴AG =CH ．

【解析】利用平行四边形的性质得出AF =EC ，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．

此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握平行线的性质是解题关键． 21.【答案】解(1)根据题意得m ≠0且Δ=[?(m +3)]2?4×m ×3=(m ?3)2>0，

解得m ≠0且m ≠3；

(2)x =

m +3±(m ?3)2m

所以x 1=1，x 2=3m ，

因为此方程的两根均为正整数

所以正整数m 的值1．

【解析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与Δ=b 2?4ac 有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．

(1)利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m ≠0且Δ=[?(m +3)]2?4×m ×3=(m ?3)2>0，从而可得到m 的范围；

(2)利用求根公式解方程得到x 1=1，x 2=3m ，利用此方程的两根均为正整数得到m =1或m =3，然后利用(1)的范围可确定m 的值．

22.【答案】解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x ，根据题意，

得：1280(1+x)2=1280+1600，

解得：x =0.5或x =?2.5(舍)，

答：从2018年到2020年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．

【解析】本题主要考查一元二次方程的应用，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程是解题的关键．设年平均增长率为x，根据：2018年投入资金给×(1+增长率)2=2020年投入资金，列出方程组求解可得．

23.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB//CD，

∴∠FAE=∠CDE，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

又∵∠FEA=∠CED，

∴△FAE≌△CDE，

∴CD=FA，

又∵CD//AF，

∴四边形ACDF是平行四边形；

(2)BC=2CD．

证明：∵CF平分∠BCD，

∴∠DCE=45°，

∵∠CDE=90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CD=DE，

∵E是AD的中点，

∴AD=2CD，

∵AD=BC，

∴BC=2CD．

【解析】(1)利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD//AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；

(2)先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．

本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．

24.【答案】7 7 3

【解析】解：(1)通过折线图可知：

甲的环数按从小到大排列是5、6、6、7、7、7、7、8、8、9，

则数据的中位数是(7+7)÷2=7；

(2+4+6+7+8+7+8+9+9+10)=7；

乙的平均数=1

10

乙命中9环以上的次数(包括9环)为3．

填表如下：

故答案为7，中位数为7，3；

(2)因为平均数相同，s 甲2

所以甲的成绩比乙稳定；

(3)理由1：因为平均数相同，命中9环以上的次数甲比乙少，所以乙的成绩比甲好些；

理由2：因为平均数相同，甲的中位数小于乙的中位数，所以乙的成绩比甲好些；

理由3：甲的成绩在平均数上下波动：而乙处于上升勢头，从第4次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．

(1)根据中位数、平均数的概念计算；

(2)从平均数和方差相结合看，方差越小的越成绩越好；

(3)理由1：平均数相同，命中9环以上的次数甲比乙少，所以乙的成绩比甲好些；

理由2：平均数相同，甲的中位数小于乙的中位数，所以乙的成绩比甲好些；

理由3：甲的成绩在平均数上下波动：而乙处于上升勢头，从第4次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．

本题考查的是折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．也考查了中位数、平均数和方差的概念．在实际生活中常常用它们分析问题．

25.【答案】解：(1)∵点P(1,b)在直线l 1：y =2x +1上，

∴b =2×1+1=3；

∵点P(1,3)在直线l 2：y =mx +4上，

∴3=m +4，

∴m =?1．

(2)当x =a 时，y C =2a +1；

当x =a 时，y D =4?a ．

∵CD =2，

∴|2a +1?(4?a)|=2，

解得：a =13或a =53．

∴a 的值为13或53．

【解析】(1)由点P(1,b)在直线l 1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b 值，再将点P 的坐标代入直线l 2中，即可求出m 值；

(2)由点C 、D 的横坐标，即可得出点C 、D 的纵坐标，结合CD =2即可得出关于a 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．

本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：(1)利用一次函数图象上点的坐标特征求出b 、m 的值；(2)根据CD =2，找出关于a 的含绝对值符号的一元一次方程．

26.【答案】x ≠1 y =3

【解析】解：(1)由题意得：x ?1≠0，

解得：x ≠1．

故答案为：x ≠1；

(2)当x =32时，m =2

32?1?3=4?3=1，

即m 的值为1；

(3)图象如图所示：

(4)根据画出的函数图象，发现下列特征：

该函数的图象与直线x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y=3越来越靠近而永不相交，故答案为y=3．

(1)根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；

(2)将x=3代入函数解析式中求出m值即可；

(3)连点成线即可画出函数图象；

(4)观察函数图象即可求解．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．

27.【答案】解：(1)如图1中，结论：EF=√2BE．

理由：

∵四边形ABCD是正方形，

∴BA=BC，∠ABC=∠BCD=90°，∠ACD=∠ACB=45°，

∵AE=EC，

∴BE=AE=EC，

∵CM平分∠DCG，

∴∠DCF=45°，

∴∠ECF=90°，

∵CF=AE，

∴EC=CF，

∴EF=√2EC，

∴EF=√2BE．

(2)图形如图2所示：(1)中的结论仍然成立，即EF=√2BE．

理由：连接ED，DF．

由正方形的对称性可知，BE=DE，∠CBE=∠CDE

∵正方形ABCD，

∴AB=CD，∠BAC=45°，

∵点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，

∴∠DCF=45°，

∴∠BAC=∠DCF，

由∵CF=AE，

∴△ABE≌△CDF(SAS)，

∴BE=DF，∠ABE=∠CDF，

∴DE=DF，

又∵∠ABE+∠CBE=90°，

∴∠CDF+∠CDE=90°，

即∠EDF=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形

∴EF=√2DE，

∴EF=√2DE．

(3)如图3中，当点B，E，F在一条直线上时，∠图形如图2所示：(1)中的结论仍然成立，即EF=√2BE．

CBE=22.5°．

理由：∵∠ECF=∠EDF=90°，

∴E，C，F，D四点共圆，

∴∠BFC=∠CDE，

∵∠ABE=∠ADE，∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠CDE=∠CBE，

∴∠CBF=∠CFB，

∵∠FCG=∠CBF+∠CFB=45°，

∴∠CBE=22.5°．

【解析】(1)证明△ECF 是等腰直角三角形即可．

(2)图形如图2所示：(1)中的结论仍然成立，即EF =√2BE.只要证明BE =DE ，△DEF 是等腰直角三角形即可．

(3)图形如图2所示：(1)中的结论仍然成立，即EF =√2BE.只要证明∠CBF =∠CFB 即可．

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 28.【答案】P?和P?

【解析】解：(1)①∵原点正方形边长为4，

当P 1(0,0)时，正方形上与P 1的最小距离是

2，故不存在Q 使P 1Q ≤1；

当P 2(?1,1)时，存在Q(?2,1)，使P 2Q ≤1；

当P 3(3,2)时，存在Q(2,2)，使P 3Q ≤1；

故答案为P?、P?；

②如图所示：阴影部分就是原点正方形友好

点P 的范围，

由计算可得，点P 横坐标的取值范围是：

1≤x ≤2+√22或?2?√2

2≤x ≤?1；

(2)一次函数y =?x +2的图象分别与x 轴，

y 轴交于点A ，B ，

∴A(0,2)，B(2,0)，

∵线段AB 上存在原点正方形的友好点，

如图所示：

原点正方形边长a 的取值范围2?√2≤a ≤6．

(1)由已知结合图象，找到点P 所在的区域；

(2)分别求出点A 与B 的坐标，由线段AB 的位置，通过

做圆确定正方形的位置．

本题考查一次函数的性质，新定义；能够将新定义的内

容转化为线段，圆，正方形之间的关系，并能准确画出

图形是解题的关键．