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种群增长的Gompertz模型

种群增长的Gompertz模型
种群增长的Gompertz模型

种群增长的Gompertz 模型

摘要 本文根据题目要求,在渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz 模型的情况下,建立捕捞情况下渔场产量模型。根据模型,对渔场鱼量的平衡点及其稳定性进行讨论,并且在稳定的前提下,使用图解法讨论如何控制捕捞使持续产量达到最大。最后,对模型的优缺点进行了讨论。

关键词:Gompertz 模型 稳定性模型 图解法

正文

1 问题复述

已知某渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz 模型:().ln N x t rx x

=,其中r 是固有增长率,N 是环境容许的最大鱼量。并且单位时间捕捞量为h Ex =,其中比例常数E 表示单位时间捕捞率,又称捕捞强度。现要求:

(1)建立在捕捞情况下渔场鱼量的数学模型,讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性;

(2)在鱼量稳定的前提下,求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和

渔场鱼量水平*0x 。

2 模型假设

(1)捕捞过程视为连续性过程;

(2)忽略种群间的相互作用及环境突变对渔场鱼量变造成的影响。

3 符号说明

()x t 表示时刻t 时渔场中的鱼量;

()0,1i x i =表示渔场鱼量平衡点;

*0

x 表示获得最大持续产量的渔场鱼量水平; r 表示种群的固有增长率;

N 表示环境容许的最大鱼量;

()f x 表示单位时间渔场鱼量的增长量;

()h x 表示单位时间的捕捞量;

m h 表示单位时间的最大持续产量;

()F x 表示在捕捞情况下渔场的鱼量;

()'F x 表示()F x 的导数;

E 表示单位时间捕捞率,即捕捞强度;

m E 表示获得最大持续产量时的捕捞强度;

4 模型建立

(1)在无捕捞条件下,()x t 的增长服从Gompertz 规律,即

()().ln N x t f x rx x

== ① (2)单位时间的捕捞量(即产量)()h x 与渔场鱼量()x t 成正比,比例系数为E ,于是单位时间的捕捞量为

()h x Ex = ②

(3)由①式与②式可以得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程

()().ln N x t F x rx Ex x

==- ③

5 模型求解

5.1 渔场鱼量平衡点及其稳定性讨论

根据上面得到的在捕捞情况下渔场的鱼量()F x 所满足的方程③式,令

()ln 0N F x rx Ex x

=-= 得到两个平衡点

01,0E r N

x x e == ④

由于()'ln N F x r r E x

=--,因此有()'00F x r =-<,故0x 点稳定(与E ,r 的大小无关);同时,可证1x 点不稳定。

5.2 渔场鱼量稳定前提下持续产量最大问题的讨论

根据①,②式作曲线()y f x =和直线()y h x Ex ==,如图1所示。由于稳定点0x 与E ,r 的大小无关,因此应用图解法,由图1可知,当y Ex =与()y f x =在顶点*P 相交时可获得最大持续产量,此时的稳定平衡点为

*01N N

x e = ⑤

且单位时间的最大持续产量为

1m N r

h e = ⑥

由④易算出获得最大产量的捕捞强度为

m r E N

= ⑦

图1 最大持续产量的图解法

根据⑦式可知,将捕捞强度控制在固有增长率r 与环境容许的最大鱼量N 的比值时,能够获得最大持续产量。

6模型优缺点分析及改进方向

根据上述模型所建立的捕捞情况下渔场产量模型,可以很好的解决如何控制捕捞使持续产量达到最大的问题。然而,建模过程中,简化了许多因素,因而与实际情况有偏差。要想建立更好的产量模型,必须综合多方面因素,根据实际情况建立模型。

种群相互竞争模型

数学实验设计 课题: 两种群相互竞争模型如下: ()1(11)12()2(12)12x y x t r x s n n x y y t r y s n n ? =--??? ?=--?? 其中x (t ),y(t)分别是甲乙两种群`的数量,r1,r2为它们的固有增长率,n1,n2为它们的最大容量。s1的含义是,对于供养甲的资源而言,单位数量乙(相对n2)的消耗量为单位数量甲(相对n1)消耗的s1倍,对于s2也可做相应的解释。 分析: 这里用x (t)表示甲种群在时刻t 的数量,即一定区域内的数量。y(t)表示乙种群在时刻t 的数量。假设甲种群独立生活时的增长率(固有增长率)为r1,则x (t)/ x=r1,而种群乙的存在会使甲的增长率减小,且甲种群数量的增长也会抑制本身数量的增长,即存在种间竞争。这里,我们设增长率的一部分减少量和种群乙的数量与最大容纳量的比值成正比,与s1(s1表示最大容纳量乙消耗的供养甲的资源是最大容纳量甲消耗该资源的s1倍)成正比。另一部分的减少量和种群甲的数量与甲的最大容纳量的比值成正比。则我们可以得到如下模型: x(t)=r1*x*(1-x/n1-s1*y/n2)

同样,我们可以得到乙种群在t时刻的数量表达式:y(t)=r2*y*(1-s2*x/n1-y/n2) 如果给定甲、乙种群的初始值,我们就可以知道甲、乙种群数量随时间的演变过程。 对于上述的模型,我们先设定好参数以后,就可以用所学的龙格库塔方法及MATLAB 软件求其数值解; 问题一: 设r1=r2=1,n1=n1=100,s1=0.5,s2=2, 初值x0=y0=10,计算x(t),y(t),画出它们的图形及相图(x,y),说明时间t充分大以后x(t),y(t)的变化趋势(人民今天看到的已经是自然界长期演变的结局)。 编写如下M文件: function xdot=jingzhong(t,x) r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=0.5;s2=2; xdot=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r 2*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)])*x; 然后运行以下程序: ts=0:0.1:10; x0=[10,10]; [t,x]=ode45(@jingzhong,ts,x0); [t,x] plot(t,x),grid,

人口指数模型(完整资料).doc

指数函数的数据拟合 世界人口预测问题 下表给出了本世纪六十年代世界人口的统计数据(单位:亿) 有人根据表中数据,预测公元2000年世界人口会超过60亿。这一结论在六十年代末令人难以置信,但现在已成为事实。试建立数学模型并根据表中数据推算出2000年世界人口的数量。 根据马尔萨斯人口理论,人口数量按指数递增的规律发展 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年,英国经济学家马尔萨(T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型: 精品文档,下载后可编辑

精品文档,下载后可编辑 rt e y y 0= 其中t 表示经过的时间, 0y 表示t =0时的人口数,r 表示人口的年平均增长率。 表3是1950~1959年我国的人口数据资料: (1)如果以各年人口增长平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符; 解:设1951~1959年的人口增长率分别为 于是, 1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为 129r ,r ,......,r .155196(1)56300,1951, r +=≈≈≈≈≈≈≈≈≈1 2 34 5 678 9 可得年的人口增长率r 0.0200.同理可得r 0.0210,r 0.0229,r 0.0250,r 0.0197,r 0.0223,r 0.0276,r 0.0222,r 0.0184. 55196,1950~1959y =令则我国在年期间的人口增长模型为

有关多种群的数学模型

自然界的多种群模型分析 摘要:在我们生活的大自然中,有着太多太多的秩序和规则。种群之间的你争我斗,弱肉强食也是非常激烈。种群,顾名思义就是指同一种生物的一个集合。不同种群之间的关系大致分为四种:捕食与被捕食关系,互利共生关系,相互竞争关系和寄生与寄主关系。我们这次的建模就是围绕着种群之间的关系来展开的,下面我将从这几个方面来进行分类讨论,由于寄生与寄主的关系不是很常见,关系也比较简单,在此便不再赘述。 捕食与被捕食关系:这种关系很简单,大家也能很容易地理解,通俗地解释,就是指一种生物以另一种生物为食,举个例子大家也许会更容易地理解。比如说狼和羊的关系,狼是捕食者,羊是被捕食者,狼以羊为食,是羊的天敌。 互利共生关系:指两种生物共同生活在一个区域有助于提高另一种生物的种群密度,假如其中一种生物的数量减少,也会影响另一种生物的数量,使其数量减少。比如草地和森林优势植物的根多与真菌共生形成菌根,多数有花植物依赖昆虫传粉,大部分动物的消化道也包含着微生物群落,最典型的就是大豆与根瘤菌。大豆给根瘤菌提供养分,根瘤菌给大豆提供氮元素。 相互竞争关系:有种内和种间两种竞争方式。这里是指两种共居一起,为争夺有限的营养、空间和其他共同需要而发生斗争的种间关系。竞争的结果,或对竞争双方都有抑制作用,大多数的情况是对一方有利,另一方被淘汰,一方替代另一方。举个例子,牛和羊生活在共同的一片草地上,因为这两种生物都以草为食,它们之间不存在其他关系,所以它们之间是竞争关系。 以上就是三种种群之间的关系,下面我们就从这三个方面对物种种群密度的变化进行分析。在以下的讨论中我们将建立微分方程的数学模型,对生物多种群之间各种关系进行 关键词:生物种群,数量,关系,互相作用,竞争 问题重述: 生物学的研究对维持地球生态平衡有着不可替代的作用,是可持续发展的重要组成部分!地球上的物种一直只在减少,现在也有很多物种濒临灭绝,因此对

年龄分组的种群增长模型

讨论问题:在按年龄分组的种群增长模型中,设一群动物的最高年龄为15岁,每5岁一组,分成3个年龄组,各组的繁殖率为b1=0,b2=4,b3=3,存活率为s1=1/2,s2=1/4,开始时3组各有1000只。求15年后各组分别有多少只,以及时间充分长以后种群的增长率(即固有增长率)和按年龄的分布。 成员: 按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 以雌性个体数量为对象 建立差分方程模型,讨论稳定状况下种群的增长规律 模型建立 种群按年龄大小等分为n 个年龄组,记i=1,2,… , n 时间离散为时段,长度与年龄组区间相等,k=1,2,… 第i 年龄组1雌性个体在1 时段内的繁殖率为bi 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di xi(k)~时段k 第i 年龄组的种群数量 ) ( ) 1 ( 11 k x b k x i n i i ( 设至少 1 个 b i >0)

T n k x k x k x k x )] (),(),([)(21 ~按年龄组的分布向量 X(k+1)=LX(k),k=0,1,2,… 当矩阵L 和按年龄组的初始分布向量x (0)已知时,可以预测任意时段k 种群按年龄组的分布为: 稳定状态分析的数学知识 1 , , 2 , 1 ), ( ) 1 ( 1 n i k x s k x i i i 0 0 0 12 1 12 1 n n n s s s b b b b L ) ( ) ( x L k x k

矩阵存在正单特征根1, >0, 则1 ( lim cx k x k k T n n s s s s s 11 1 2 2 1 2 1 1 1 ,, ,, 1 1 ( lim cx k x k k 0, )( lim 1 1 x Pdiag k x k k

几类不同增长的函数模型

几类不同增长的函数模型 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系,可选用( ) A .一次函数 B .二次函数 C .指数型函数 D .对数型函数 2.若()0,1x ∈,则下列结论正确的是( ) A .122lg x x x >> B .122lg x x x >> C .122lg x x x >> D .12lg 2x x x >> 3.四人赛跑,假设他们跑过的路程(){}() 1,2,3,4i f x i ∈和时间()1x x >的函数关系分别是()12f x x =,()22f x x =,()32log f x x =,()42x f x =,如果他们一直跑下去, 最终跑在最前面的人具有的函数关系是( ) A .()12f x x = B .()22f x x = C .()32log f x x = D .()42x f x = 4.西部某地区实施退耕还林,森林面积在20年内增加了5%,若按此规律,设2016 年的森林面积为m ,从2016年起,经过x 年后森林面积y 与x 的函数关系式为( ) A . 1.0520mx y = B .0.05120x y m ??=- ??? C .()2015%x y m =+ D .()15%x y m ??=+?? 5.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ,则x ,y 之间的函数关系为( ) A .1000.9576x y = B.1000.9576 x y = C .0.9576100x y ??= ??? D .10010.042x y =- 6.下列函数中在某个区间()0,x +∞内随x 增大而增大速度最快的是( ) A.100ln y x = B.100y x = C.1e 100 x y = D.1002x y =? 7.以下四种说法中,正确的是( ) A .幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

题型一-高中生物学中“模型建构”

题型一高中生物学中“模型建构” 1.(2015·天津卷,1)如图表示生态系统、群落、 种群和个体的从属关系。据图分析,下列叙述正确的是() A.甲是生物进化的基本单位 B.乙数量达到环境容纳量后不再发生波动 C.丙是由生产者和消费者构成的 D.丁多样性的形成受无机环境影响 解析根据生态系统、群落、种群和个体的从属关系可以判断出,甲是个体、乙是种群、丙是群落、丁是生态系统。生物进化的基本单位是种群,而不是个体,A错误;在自然环境中种群的增长往往呈S型增长,达到K值即环境容纳量后,由于受到各种因素的影响,数量在K值附近呈现波动,B错误;生态系统中的群落根据功能划分包括生产者、消费者和分解者,C错误;生态系统是无机环境和生物群落相互作用的统一整体,所以其多样性的形成受无机环境的影响,D正确。 答案D 2.(2014·福建卷,4)细胞的膜蛋白具有物质运输、信息传递、免疫识别等重要生理功能。下列图中,可正确示意不同细胞的膜蛋白及其相应功能的是()

解析血红蛋白存在于红细胞内,不是在细胞膜上,A错误;抗原对T淋巴细胞来说是信号分子,通过T淋巴细胞膜上的受体来接受,而不是抗体,B错误;受体具有特异性,胰高血糖素应作用于胰岛B细胞上的胰高血糖素受体,而不是胰岛素的受体,C错误;骨骼肌作为反射弧中的效应器,骨骼肌细胞上有接受神经递质的受体,同时葡萄糖进入细胞也需要载体协助,D正确。 答案D 解答此类试题的总体思路:加强对基础知识的理解→迁移、整合→联系实际形成应用能力。也就是说,在复习中要狠抓基础知识,搞清概念的内涵和外延,明确原理的内容、适用对象和条件,尤其要对教材中主要模型加以梳理整合。在此基础上要学会对相关概念、原理的迁移和整合,达到举一反三的目的;最后学会应用相关原理、概念去解决生产生活中的实际问题,也就是要培养应用能力。 1.模型及类型 (1)模型:模型是人们为了某种特定目的而对认识对象所作的一种简化的概括性的描述,这种描述可以是定性的,也可以是定量的;有的借助于具体的实物或其他形象化的手段,有的则通过抽象的形式来表达。 (2)模型类型: ①概念模型:即构建相关概念、原理及生理过程的内在包含关系。 ②物理模型:物理模型是指以实物或图画形式直观地表达认识对象的特征。如沃森和克里克

人口指数增长模型

《数学模型》实验报告 实验名称:如何预报人口的增长成绩:___________ 实验日期: 2009 年 4 月 22 日 实验报告日期: 2009 年 4 月 26 日 一、实验目的 预报人口的增长变化规律,作出较准确的预报,为以后有效的控制人口增长提供依据,为设计型实验。 二、实验内容 根据统计资料得出的人口增长率不变的假设,建立人口指数增长模型。利用微积分数学工具视x(t)为连续可微函数,记t=0时人口为x0,人口增长率为常数r, 变有dx/dt=rx,x(0)=x0,解出x(t)=x0*exp(rt)。 三、实验环境 MATLAB6.5 四、实验步骤 为了用数据进行线形最小二乘法的计算,故将x(t)=x0*exp(rt)两边取对数可得lnx(t)=lnx0*exp(rt), lnx(t)=lnx0+rt,另y=lnx(t),a= lnx0,所以可得y= rt+a。 根据所提供的数据用MATLAB函数p=polyfit(t,x,1)拟合一次多项式,然后用画图函数plot(t,x,’+’,t,x0*exp(rt),’-’),画出实际数据与计算结果 之间的图形,看结果如何。 利用1790-1900年的数据进行试验,程序如下: t=linspace(0,11,12); x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0]; p=polyfit(t,log(x),1); r=p(1) x0=exp(p(2))

plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-') 利用1790-2000年的数据进行试验,程序如下: t=linspace(0,21,22); x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106 .5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4]; p=polyfit(t,log(x),1); r=p(1) x0=exp(p(2)) plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-') 五、实验结果 以1790年至1900年的数据拟合y= rt+a,用软件计算可得r=0.2743/10年,x0=4.1884,下图为拟合的图象: 以1790年至2000年的数据拟合y= rt+a,用软件计算可得r=0.2022/10年,x0=6.0450,下图为拟合的图象:

人口的logistic模型

第六次建模作业 组员:何睿洁 张鹏 刘顺 一.logistic 模型模拟 【摘要】物种种群数量的变化规律一直是我们所探究的问题,考虑到一些自然灾害和物种间的食物链或竞争关系,我们可以在一定条件下模拟某一种群的变化规律。对于人口的增长一直是一个热门话题,我们通过数据的统计和拟合可以总结出某地区的人口变化规律,并在其他地区进行模型检验,分析该动态机理模型是否在一定程度上成立。 【关键词】人口增长 数据统计 模型检验 动态机理模型 【问题重述】美国人口数据随时间的变化: 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 123 132 151 179 204 227 251 281 【模型建立】首先我们可用微积分的思想将连续的微分方程离散化,不妨设x(n)表示第n 次普查所得人口数,根据logistic 模型 dy/dt=r(1-y/K)y 可得: ())())(1()()1(n x K n x r n x n x -=-+ 进一步化简有 ))(1()()()1(K n x r n x n x n x -=-+

令 )()()1(n x n x n x u -+= ,)(n x v = 可得: K rv r u -= 【求解模型】现在我们可以用线性拟合,借助matlab 来进行运算得到r ,K 运行程序: X=[3.9 ; 5.3 ; 7.2 ; 9.6 ; 12.9; 17.1; 23.2; 31.4; 38.6 ; 50.2 ; 62.9 ; 76.0 ; 92.0 ; 106.5; 123 ; 132 ; 151; 179 ; 204 ; 227 ; 251 ; 281]; Y=[] for i=1:21 Y(i)=(X(i+1,:)-X(i,:))./(X(i,:)); Y=[Y ,Y(i)] End 运行结果运用cftool 工具线性模拟: Result Linear model Poly1: f(x) = p1*x + p2 Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = -0.0009825 (-0.001254, -0.0007108) p2 = 0.3178 (0.2832, 0.3525)

Logistic人口阻滞增长模型

Logistic 人口阻滞增长模型 一、模型的准备 阻滞增长模型的原理:阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用,对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上,使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有: 0)0(,)(x x x x r dt dx == (1) 对)(x r 的一个最简单的假定是,设)(x r 为x 的线性函数,即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r (2) 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ,当m x x =时人口不再增长,即 增长率0)(=m x r ,代入(2)式得m x r s =,于是(2)式为 )1()(m x x r x r -=???????????? ?(3) 将(3)代入方程(1)得: ?????=-=0 )0() 1(x x x x rx dt dx m ???? ??? ???(4) 解方程(4)可得: rt m m e x x x t x --+= )1(1)(0 (5) 二、模型的建立 我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1

1、将1954年看成初始时刻即0=t ,则1955为1=t ,以次类推,以2005年为51=t 作为终时刻。用函数(5)对表1中的数据进行非线性拟合,运用Matlab 编程得到相关的参数-0.0336,180.9871 ==r x m ,可以算出可决系数(可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标): 由可决系数来看拟合的效果比较理想。所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线: t e t x 0336.0.0)12 .609871.180(19871 .180)(--+= (6) 根据曲线(6)我们可以对2010年(56=t )、2020年(66=t )、及2033年(79=t ) 进行预测得(单位:千万): 结果分析:从所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口高峰,形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础;因此这段时期人口波动较大,可能影响模型结果的准确性。1959、1960、1961年为三年自然灾害时期,这段时期人口的增长受到很大影响,1962年处于这种影响的滞后期,人口的增长也受到很大影响。总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布, 程序: 结果: 2、 将1963年看成初始时刻即0=t ,以2005年为32=t 作为终时刻。运用Matlab 编程得到相关的参数0.0484 ,151.4513 ==r x m ,可以算出可决系数9994.02=R 得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线: t e t x 0484.0)11 .694513.151(14513 .151)(--+= (7) 根据曲线(7)我们可以对2010年(47=t )、2020年(57=t )、及2033年(70=t ) 进行预测得(单位:千万): 结果分析:1963年-1979年其间,人口的增长基本上是按照自然的规律增长,特别是在农村是这样,城市受到收入的影响,生育率较低,但都有规律可寻。总的来说,人口增长的外界大的干扰因素基本上没有,可以认为这一阶段随机误差服从正态分布;1980-2005年这一时间段,虽然人口的增长受到国家计划生育政策的控制,但计划生育的政策是基本稳定的,这一阶段随机误差也应服从正态分布,因此用最小二乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。 程序: 结果: 3、从1980-2005年,国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实,这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制,人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。因此我们进一步选择1980年作为初始年份2005年作为终时刻进行拟合。运用Matlab 编程得到相关的参数0.0477 ,153.5351 ==r x m ,可以算出可决系数9987.02=R 得到中国各年份人 口变化趋势的第三条拟合曲线:

种群增长的Gompertz模型

种群增长的Gompertz 模型 摘要 本文根据题目要求,在渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz 模型的情况下,建立捕捞情况下渔场产量模型。根据模型,对渔场鱼量的平衡点及其稳定性进行讨论,并且在稳定的前提下,使用图解法讨论如何控制捕捞使持续产量达到最大。最后,对模型的优缺点进行了讨论。 关键词:Gompertz 模型 稳定性模型 图解法 正文 1 问题复述 已知某渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz 模型:().ln N x t rx x =,其中r 是固有增长率,N 是环境容许的最大鱼量。并且单位时间捕捞量为h Ex =,其中比例常数E 表示单位时间捕捞率,又称捕捞强度。现要求: (1)建立在捕捞情况下渔场鱼量的数学模型,讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性; (2)在鱼量稳定的前提下,求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和 渔场鱼量水平*0x 。 2 模型假设 (1)捕捞过程视为连续性过程; (2)忽略种群间的相互作用及环境突变对渔场鱼量变造成的影响。 3 符号说明 ()x t 表示时刻t 时渔场中的鱼量; ()0,1i x i =表示渔场鱼量平衡点; *0x 表示获得最大持续产量的渔场鱼量水平; r 表示种群的固有增长率; N 表示环境容许的最大鱼量; ()f x 表示单位时间渔场鱼量的增长量; ()h x 表示单位时间的捕捞量; m h 表示单位时间的最大持续产量; ()F x 表示在捕捞情况下渔场的鱼量; ()'F x 表示()F x 的导数;

E 表示单位时间捕捞率,即捕捞强度; m E 表示获得最大持续产量时的捕捞强度; 4 模型建立 (1)在无捕捞条件下,()x t 的增长服从Gompertz 规律,即 ()().ln N x t f x rx x == ① (2)单位时间的捕捞量(即产量)()h x 与渔场鱼量()x t 成正比,比例系数为E ,于是单位时间的捕捞量为 ()h x Ex = ② (3)由①式与②式可以得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程 ()().ln N x t F x rx Ex x ==- ③ 5 模型求解 渔场鱼量平衡点及其稳定性讨论 根据上面得到的在捕捞情况下渔场的鱼量()F x 所满足的方程③式,令 ()ln 0N F x rx Ex x =-= 得到两个平衡点 01,0E r N x x e == ④ 由于()'ln N F x r r E x =--,因此有()'00F x r =-<,故0x 点稳定(与E ,r 的大小无关);同时,可证1x 点不稳定。 渔场鱼量稳定前提下持续产量最大问题的讨论 根据①,②式作曲线()y f x =和直线()y h x Ex ==,如图1所示。由于稳定点0x 与E ,r 的大小无关,因此应用图解法,由图1可知,当y Ex =与()y f x =在顶点*P 相交时可获得最大持续产量,此时的稳定平衡点为 *01N N x e = ⑤ 且单位时间的最大持续产量为

指数模型

8指数模型 8.1单指数模型 在均值-方差模型的讨论中,各证券间的协方差我们可以作任何假定,它们可以是由证券间存在的任意数量和种类的关系产生,而且在计算风险时所用的公式VX X r T X =)(2 σ中,我们必须对所选择的证券间的协方差进行估计。如果证券数目太大,我们就必须进行大量的协方差估计,使得在计算任一给定投资组合的方差时,需要花费大量时间。这是使用上节中的马柯维茨模型所存在的问题。 在∑ == n i i i X r E x r E 1 )()(,∑∑ ∑ =≠==+ = n i n i k k k i ik k i n i i i X x x x 1,11 222σ σρσ σ 公式中,这里的数学公 式告诉我们,如果投资者考虑的是由n 个资产构成的组合,那么在求解有效资产组合时,需要掌握三个方面的基本数据: (1)每一资产的平均收益率)(i r E ,共需n 个; (2)每一资产收益方差i σ,共需n 个; (3)每一对资产之间的相关系数ik ρ,共需n*(n-1)/2个。 总计需要2n+ n*(n-1)/2个基础性数据。对于每天追踪30~50种股票的投资机构来说,每天需要处理495~1325个数据;对于每天追踪150-250种股票的投资机构来说,每天需要处理11475~31625个数据;显然,这对各种投资者来说都是一件非常耗时的事情。那么,如何使投资组合理论和方法有效实用,简便易行,真正为金融财务工作者服务,就成了金融财务经济学家极为关心的问题。单指数模型能帮助我们克服这一困难,使得确定投资组合的方差计算过程变得简单。 在股票市场中,我们发现,当市场投资组合(如股票市场指数)的收益率显著上升或下降时,几乎所有股票的收益率都随之上升或下降,虽然可能有一些股票的收益率比另一些股票的收益率上升或下降得要快,但总的来说都是呈相同趋势变化。这意味着,市场投资组合收益率的变化能充分反映各种证券的共同变化趋势。因此对各个证券收益率之间的协方差的计算,可以用每一证券收益率与市场投资组合收益率之间的协方差代替。单指数模型就是在假定证券的收益率只受市场投资组合即单指数收益率的影响下确定投资组合的权重。 设证券的收益率具有简单线性结构,即其收益率r 和市场投资组合收益率r M 具有关系式 e r r M ++=βα 其中α,β为待估参数,e 为残差。 假定市场中有N 个证券,则按上述结构,第i 个证券的收益率满足

试验一种群的Logistic增长模式

生态学实验指导 浙江大学生命科学学院 生物科学系 生态学课程组 2012年2月

目录 前言 (1) 实验一、二种群增长观测及Logistic增长模型 (2) 实验三、四代谢生态-群体密度调控指数确定 (4) 实验五、六环境诱导细胞钙信号对气孔开闭的调控 (6) 实验七、八群落物种多样性测定与计算 (8) 实验九、十城市植被与土壤碳特征的关系 (10) 实验十一、十二城市树木年龄与生产力关系 (15) 实验十三、十四植物吸收水中铵氮能力比较分析 (16) 实验十五、十六植物吸收水中硝氮能力比较分析 (18)

前言 “工欲善其事,必先利其器”——在科学研究的构成中,方法占有极其重要的意义,甚至可以说,一部科学发展的历史就是一部科学方法不断发展的历史。生态学是生命科学的一个分支学科,同其他学科一样,实验是其最重要的内容。掌握基本方法,掌握基本技能,对于理解生态学理论,并将之运用于实践,具有重要意义。 在科学方法论中,实验是狭义的。包括我们经常说到的观察和实验两个内容。科学观察是指在自然条件下,人们对自然现象进行搜集、描述和记载的一种手段。在各种科学手段十分发达的今天,观察依然是生态研究中的重要方法。目前生态学中的观察主要有野外观测(包括野外考察和定位观测)和实验室(包括试验田)观察两大类。 依照研究目的,使用科学仪器和设备,有意义地去控制自然过程条件,模拟自然现象,避开次要矛盾,突出主要因素,在特定条件下去探索客观规律,认识客观世界,这种方法即实验方法。生态学中的实验方法主要有原地实验和人工控制实验两类。原地实验是在野外条件下通过某些措施获得某个因素的变化对生物的影响及生物的响应数据。例如,在牧场进行围栏可以分析出食草动物对群落结构和生产力的影响;在田间人工“小岛”上接种昆虫,以观测昆虫出现后的生态关系变化,等等。人工控制实验是在受控条件系统中研究单项或多项因子对目标的作用,如人工气候箱中的实验。 在科学研究中实验只是手段,由观察、实验获得的大量第一手资料,需要经过比较与分类,进一步进行归纳、演绎、分析、综合,进行逻辑思维与抽象(经常要用到模型方法,进行逻辑思维与抽象,形成概念,提出假说,发展成理论。因此,生物科学的研究过程中不能只动手,而应该同时动脑。 生态学实验不是一般的验证实验,而是探索型实验。同学们必须对实验数据进行充分的比较\综合和分析,最后得出自己的结论。这期间需要阅读科学文献,共享其他成员和实验组的数据,并按照科学论文的格式进行写作。 迈开了解和参与科学研究的第一步,你的投入越多,你的收获越丰!

几类不同增长的函数模型(1)

几类不同增长的函数模型(1) 一、教学目标 (一)知识目标: 1.借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异. 2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等几类不同增长的函数模型的意义. 3.恰当运用函数的三种表示法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题. (二)能力目标:初步培养学生应用数学知识解决实际问题的意识与能力。(三)情感目标:培养学生数学应用意识以及比较分析的数学思想,激发学生的学习热情. 二、教学重难点 (一)重点:将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义. (二)难点:怎样选择数学模型分析解决实际问题. 三、活动设计 1.自主学习,从实际问题出发能构建出相应的数学模型. 2.探究与活动,在教师的指引下通过列表、描点,画出相应函数模型的图形,并能比较发现它们的增长趋势. 四、教学过程 一、创设情景,引入新课 我们知道,函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述,能否举出一些函数模型的具体例子? 指数函数、对数函数、幂函数等等. 当我们面临一个实际问题时,应如何选择恰当的函数模型来刻画它呢?如果我们能够找出相应的数学模型,又是如何去研究它的性质呢?本节课先通过具体实例来比较几类不同增长的函数模型的增长趋势.(板书几类不同增长的函数模型)二、讲解新课 例题剖析 【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案?

数模Logistic曲线模型

传染病问题中的SIR模型 摘要: 2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间,给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,探索制止传染病蔓延的手段等,一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点,我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播,而是从一般的传播机理分析建立各种模型,如简单模型,SI模型,SIS 模型,SIR模型等。在这里我采用SIR(Susceptibles,Infectives,Recovered)模型来研究如天花,流感,肝炎,麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病,它主要沿用由Kermack 与McKendrick在1927年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律,预测疾病发生的状态,评估各种控制措施的效果,为预防控制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济发展。 关键字:传染病;动力学;SIR模型。 一﹑模型假设 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总 人口数N(t)不变,人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类: 易感染者(Susceptibles), 其数量比例记为s(t),表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例;感染病者(Infectives), 其数量比例记为i(t),表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例; 恢复者(Recovered),

其数量比例记为r(t),表示t时刻已从染病者中移出的人数(这部分人既非已感染者,也非感染病者,不具有传染性,也不会再次被感染,他们已退出该传染系统。)占总人数的比例。 病人的日接触率(每个病人每天有效接触的平均人数)为常数λ,日治愈率(每天被治愈的病人占总病人数的比例)为常数μ, 显然平均传染期为1/μ,传染期接触数为σ=λ/μ。 该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距,这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。 Logistic曲线模型: 如下为拟合的原始数据点:

人口增长模型的确定

人口增长模型的确定 Prepared on 22 November 2020

题目:人口增长模型的确定 摘要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一,人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型,以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据,对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。关键词:人口增长;马尔萨斯人口指数增长模型;阻滞增长模型;人口预测

一、问题重述 问题背景 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 问题提出 我们需要解决以下问题: 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型,并对接下来的每隔十年预测五次人口数量,并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符,再对以上模型进行改进,寻找更为合适的模型进行预测,并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量,用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 首先,我们运用Matlab软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图,如图1。 图1 1790到1980年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的,而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性,所以我们很自然想

到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型,马尔萨斯生物总数增长定律指出:在孤立的生物群体中,生物总数N的变化率与生物总数成正比。 三、问题假设 为简化问题,我们做出如下假设: (1)在模型中预期的时间内,人口不会因发生大的自然灾害,突发事件或战争而受到大的影响; (2)所给出的数据具有代表性,能够反映普遍情况; (3)一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动; (4)在查阅的资料与文献中,所得数据可信; (5)假设人口净增长率为常数。 四、变量说明 在此,对本文所使用的符号进行定义。 表2 变量说明 符号符号说明 N(0) 起始年人口容纳量 N(t) t年后人口容纳量 t 年份 r 增长率 五、模型建立 问题一:马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设:t表示年份(起始年份t=0),r表示人口增长率,N(t)表示t年后的人口数量。

种群数量增长几种数学曲线模型例析

种群数量增长的几种数学曲线模型例析 种群生态学研究的核心是种群的动态问题。种群增长是种群动态的主要表现形式之一,它是在不同环境条件下,种群数量随着时间的变化而增长的 状态。数学曲线模型能直观反映种群数量增长的规律,它能达到直接观察和实验所得不到的效果。为了更好理解种群数量增长规律,下面结合实例介绍种群数量增长的几种数学曲线模型。 1.种群数量增长曲线模型 种群在“无限”的环境中,即环境中空间、食物等资源是无限的,且气候适宜、没有天敌等理想条件下,种群的增长率不随种群本身的密 度而变化,种群数量增长通常呈指数增长。也就是说,种群数量每年以 一定的倍数增长,第二年的数量是第一年的λ倍,t年后种群数量为N t =N0λt,如果绘成坐标图指数式增长很像英文字母“J”,称之为“J” 型增长曲线。然而自然种群不可能长期地呈指数增长。当种群在一个有 限的环境中,随着密度的上升,个体间对有限的空间、食物和其他生活 条件的种内斗争也将加剧,加之天敌的捕食,疾病和不良气候条件等因 素必然要影响到种群的出生率和死亡率,从而降低了种群的实际增长率,一直到停止增长。种群在有限环境条件下连续增长称之为逻辑斯谛增长,这种增长曲线很像英文字母“S”,称之为“S”型增长曲线。两种类型种群增长模型如右图所示。 例1.右图为某种群在不同环境的增长曲线,据图判断下列说法不正确的是 ( D ) A.A曲线呈“J”型,B曲线呈“S”型 B.改善空间和资源有望使K值提高 C.阴影部分表示有环境阻力存在 D.种群数量达到K值时,种群增长最快 解析:由图可知,A曲线呈“J”型增长,B曲线呈“S”型增长。在种群生态学中,环境容纳量(K值)是指在环境条件不受破坏的情况下,一定空间中所能维持的种群最大数量。环境容纳量是一个动态的变量,只要生物或环境因素发生变化,环境容纳量也就会发生相应的变化。因此,改善空间和资源有望使K值提高。图像中阴影部分表示环境阻力所减少的生物个体数,代表环境阻力的大小。种群数量在k/2时增长速率最大。 2.种群λ值变化曲线模型 在种群指数式增长过程中,λ值表示相邻两年(生物的两代)种群数量的倍数。从理论上讲,λ有以下四种情况:λ>1 种群上升;λ=1 种群稳定;0<λ<1 种群下降;λ=0 种群无繁殖现象,且在一代中灭亡。

人口的logistic模型

第六次建模作业 一.logistic模型模拟 【摘要】物种种群数量的变化规律一直是我们所探究的问题,考虑到一些自然灾害和物种间的食物链或竞争关系,我们可以在一定条件下模拟某一种群的变化规律。对于人口的增长一直是一个热门话题,我 们通过数据的统计和拟合可以总结出某地区的人口变化规律,并在其他地区进行模型检验,分析该动态机理模型是否在一定程度上成立。 【关键词】人口增长数据统计模型检验动态机理模型 【问题重述】美国人口数据随时间的变化: 1790180018101820183018401850 3.9 5.37.29.612.917.123.2 I860187018801890190019101920 31.438.650.262.976.092.0106.5 19 301940195019601970198019902000 123132151179204227251281【模型建立】首先我们可用微积分的思想将连续的微分方程离散化, 不妨设x(n)表示第n次普查所得人口数,根据logistic模型 dy/dt=r(1-y/K)y 可得: (x(n +1) —x(n) )= r(1 —n) K x(n +1) -X(n) _ r(1x(n)) x(n) K 进一步化简有 U = x(n+1) -x(n) x( n) V = x(n)

rv u = r-—— K 可得: 【求解模型】现在我们可以用线性拟合,借助 matlab 来进行运算得 到r ,K X=[3.9 ; 5.3 7.2 ; 9.6 ; 50.2 ; 62.9 ; 76.0 ; 92.0 ; 204 ; 227 ; 251 ; 281]; Y=[] for i=1:21 23.2; 31.4; 38.6 ; 132 ; 151; 179 ; End Y=[Y ,Y(i)] 运行结果运用cftool 工具线性模拟: Result Lin ear model Poly1: f(x) = p 1*x + p2 Coefficie nts (with 95% con fide nee boun ds): p1 = -0.0009825 (-0.001254,-0.0007108) p2 = 0.3178 (0.2832, 0.3525) 运行程序: Y(i)=(X(i+1,:)-X(i,:))./(X(i,:)); 106.5; 123 ; 12.9; 17.1;

美国人口增长预测模型

2016年数学建模论文 第一套 论文题目:人口增长模型的确定 组别:第35组 姓名:耿晨闫思娜王强 提交日期:2016年7月4日

题目:美国人口增长预测模型 摘要 本文根据近两个世纪美国每十年一次的人口统计数据,建立了指数增长模型,即Malthus模型,并通过1790-1890年的数据验证了它的准确性。但是,随着时间的推移,拟合函数与统计数据误差逐渐增大,所以,又建立了阻滞增长模型,即Logistic 模型,这个模型的拟合函数与统计数据误差较小,并用该模型对美国未来几年的人口做出了预测。总体来说,阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。 关键词:指数增长模型,阻滞增长模型,人口预测

一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1:人口记录表 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型,并对接下来的每隔十年预测五次人口数量,并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符,再对以上模型进行改进,寻找更为合适的模型进行预测,并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量,用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 影响人口增长的因素很多,其中最主要的两个因素是出生率和死亡率。出生率受到婴儿死亡率、对避孕的态度及措施效果、对堕胎的态度、怀孕期间的健康护理等因素的影响;死亡率则受到卫生设施与公共卫生状况、战争、污染、医疗水平、饮食习惯、心理压力和焦虑等因素的影响。此外,影响人口在一个地区增长的因素还有迁入和迁出、生存空间的限制、水和食物、疾病等。在这些因素中,有些是常态的或者有规律的,这些因素对人口的增长是恒定的;而有些因素是随机的,对人口的增长是没有规律的。因此,当大范围、长时期研究人口增长问题时,对人口增长产生影响的随机因素就不在考虑了。 建立该模型的目的是要能通过模型预测美国后来每十年的人口数具体变化,并与实际的数据进行对比,看误差的大小。在此基础上利用改进的模型对美国人口同时期数量进行预测,并进行总结分析。 三、问题假设 人口指数增长模型中采用以下基本假设: (1)单位时间的人口总量增长与当时的人口呈正比,比例常数为k; (2)假设t时刻的人口为N(t),因为人口数一般是很大的,所以将N(t)近似地视为连续,可微的函数。记初始时刻(t=0)的人口数为N0。新生人口数百分率为a,死亡的百分率为b,那么,经过Δt时间后,人口数量为N(t+Δt)就是原来人口数量加上Δt时间内新生人口数减去死亡人口数。 四、变量说明

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